Finance, Navier-Stokes, et la calibration
|
|
- Corentin Landry
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Finance, Navier-Stokes, et la calibration non linéarités en finance Avril 2013
2 Lignes directrices Non-linéarités en Finance 1 Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre 2
3 Lignes directrices Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre 1 Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre 2
4 Browniens et Fokker-Planck Les hypothèses classiques en mathématiques financières. Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre Données de marché : taux, forex, actions, commodités, etc.. : Ω R d, d >> 1, t S t Ω suivent un mouvement brownien ds t = r(t, S t )dt + σ(t, S t ) dw t, S t := ( S i,t )i=1..d Ω σ(t, ) est la volatilitée locale. Fokker-Planck : µ(t, ) densité de proba de S t suit l équation t µ + ((r ξ)µ ) ( ) = ξ µ, ξ := 1 2 σσt ( ) avec ξ := j jξ i,j i=1..d.
5 Browniens et Fokker-Planck Les hypothèses classiques en mathématiques financières. Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre Données de marché : taux, forex, actions, commodités, etc.. : Ω R d, d >> 1, t S t Ω suivent un mouvement brownien ds t = r(t, S t )dt + σ(t, S t ) dw t, S t := ( S i,t )i=1..d Ω σ(t, ) est la volatilitée locale. Fokker-Planck : µ(t, ) densité de proba de S t suit l équation t µ + ((r ξ)µ ) ( ) = ξ µ, ξ := 1 2 σσt ( ) avec ξ := j jξ i,j i=1..d.
6 Fokker-Planck. Termes de convection, de diffusion et d accrétion. Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre Termes de convection t µ + ((r ξ)µ ) = 0. est compressif si (r ξ) est convexe. Termes de diffusion ( ) t µ = ξ µ est diffusif si ξ est positive, accrétif si ξ possède des valeurs propres négatives.
7 Fokker-Planck. Termes de convection, de diffusion et d accrétion. Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre Termes de convection t µ + ((r ξ)µ ) = 0. est compressif si (r ξ) est convexe. Termes de diffusion ( ) t µ = ξ µ est diffusif si ξ est positive, accrétif si ξ possède des valeurs propres négatives.
8 Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre Un exemple de surfaces de volatilité locale. premier signe de non-linéarité : les termes convectifs sont toujours compressifs σ(t, ) : (a) Bonnans - Cognet - Volle. INRIA Estimation de la volatilité locale... Convection : la volatilité locale est toujours smilée : la convection est toujours localement compressive. Diffusion : diffusif dans les zones positives (rouge). Accrétion : accrétif dans les zones négatives (bleues). ξ := σσ T < 0? artefact numérique??
9 Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre Un exemple de surfaces de volatilité locale. premier signe de non-linéarité : les termes convectifs sont toujours compressifs σ(t, ) : (a) Bonnans - Cognet - Volle. INRIA Estimation de la volatilité locale... Convection : la volatilité locale est toujours smilée : la convection est toujours localement compressive. Diffusion : diffusif dans les zones positives (rouge). Accrétion : accrétif dans les zones négatives (bleues). ξ := σσ T < 0? artefact numérique??
10 Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre Un exemple de surfaces de volatilité locale. premier signe de non-linéarité : les termes convectifs sont toujours compressifs σ(t, ) : (a) Bonnans - Cognet - Volle. INRIA Estimation de la volatilité locale... Convection : la volatilité locale est toujours smilée : la convection est toujours localement compressive. Diffusion : diffusif dans les zones positives (rouge). Accrétion : accrétif dans les zones négatives (bleues). ξ := σσ T < 0? artefact numérique??
11 Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre Un exemple de surfaces de volatilité locale. premier signe de non-linéarité : les termes convectifs sont toujours compressifs σ(t, ) : (a) Bonnans - Cognet - Volle. INRIA Estimation de la volatilité locale... Convection : la volatilité locale est toujours smilée : la convection est toujours localement compressive. Diffusion : diffusif dans les zones positives (rouge). Accrétion : accrétif dans les zones négatives (bleues). ξ := σσ T < 0? artefact numérique??
12 Lignes directrices Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre 1 Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre 2
13 Les méthodes de calibration.....qui marchent plus ou moins bien... Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre problème inverse : trouver une densité µ(t, ) qui vérifie un ensemble de contrainte 0 m < M, 0 j < J(m) Cj m := ( Pj m µ = Cj m R ) [0, ] Ω oú ( Pj m ) m sont des pay-off de dérivés "sans risque", et ( C m j j sont des prix observés. Méthodes en 1D (d = 1) : ) m j (a) Dupire (instable) (b) Tykhonov (stable, mais relaxé) FIGURE : Méthodes de calibration de la volatilié locale σ(t, ).
14 Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre Et la méthode d Avellaneda. Deuxième signe de non linéarité : cette méthode ne marche pas très bien! Avellaneda : minimisation avec contraintes (Cj m ) m j inf d( µ 0, µ ), d ( µ 0, µ ) := µ 0 ln µ µ P(Ω) Ω µ 0 où µ 0 C (R + Ω) est le "prior" (calibration historique), et d ( µ 0, µ 1 ) l entropie de Kullback-Leibler. Pourtant : Theorem Si µ est dominée par µ 0, alors la méthode converge.... les densités de probabilité des donnés de marché seraient singulières??
15 Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre Et la méthode d Avellaneda. Deuxième signe de non linéarité : cette méthode ne marche pas très bien! Avellaneda : minimisation avec contraintes (Cj m ) m j inf d( µ 0, µ ), d ( µ 0, µ ) := µ 0 ln µ µ P(Ω) Ω µ 0 où µ 0 C (R + Ω) est le "prior" (calibration historique), et d ( µ 0, µ 1 ) l entropie de Kullback-Leibler. Pourtant : Theorem Si µ est dominée par µ 0, alors la méthode converge.... les densités de probabilité des donnés de marché seraient singulières??
16 Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre Et la méthode d Avellaneda. Deuxième signe de non linéarité : cette méthode ne marche pas très bien! Avellaneda : minimisation avec contraintes (Cj m ) m j inf d( µ 0, µ ), d ( µ 0, µ ) := µ 0 ln µ µ P(Ω) Ω µ 0 où µ 0 C (R + Ω) est le "prior" (calibration historique), et d ( µ 0, µ 1 ) l entropie de Kullback-Leibler. Pourtant : Theorem Si µ est dominée par µ 0, alors la méthode converge.... les densités de probabilité des donnés de marché seraient singulières??
17 Lignes directrices Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre 1 Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre 2
18 Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre Profils de carnets d ordre Troisième signe de non linéarité : ce sont des profils typiques de chocs entropiques. ν(t, S) P(Ω) : proba d avoir un ordre unitaire à S = (S i ) i. On note sa "cumulative" : N 1 (t, S) : Ω Λ := [ 1, 1] d. (a) action liquide (b) action moins liquide FIGURE : N 1 (t, S S t ), statistiques de carnet d ordre. Ce sont des profils typiques en mécanique des fluides (équation de Burger).
19 Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre Profils de carnets d ordre Troisième signe de non linéarité : ce sont des profils typiques de chocs entropiques. ν(t, S) P(Ω) : proba d avoir un ordre unitaire à S = (S i ) i. On note sa "cumulative" : N 1 (t, S) : Ω Λ := [ 1, 1] d. (a) action liquide (b) action moins liquide FIGURE : N 1 (t, S S t ), statistiques de carnet d ordre. Ce sont des profils typiques en mécanique des fluides (équation de Burger).
20 Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre Profils de carnets d ordre Troisième signe de non linéarité : ce sont des profils typiques de chocs entropiques. ν(t, S) P(Ω) : proba d avoir un ordre unitaire à S = (S i ) i. On note sa "cumulative" : N 1 (t, S) : Ω Λ := [ 1, 1] d. (a) action liquide (b) action moins liquide FIGURE : N 1 (t, S S t ), statistiques de carnet d ordre. Ce sont des profils typiques en mécanique des fluides (équation de Burger).
21 Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre Profils de carnets d ordre Troisième signe de non linéarité : ce sont des profils typiques de chocs entropiques. ν(t, S) P(Ω) : proba d avoir un ordre unitaire à S = (S i ) i. On note sa "cumulative" : N 1 (t, S) : Ω Λ := [ 1, 1] d. (a) action liquide (b) action moins liquide FIGURE : N 1 (t, S S t ), statistiques de carnet d ordre. Ce sont des profils typiques en mécanique des fluides (équation de Burger).
22 Lignes directrices Non-linéarités en Finance 1 Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre 2
23 Un modèle de marché naif. où le prix S t n est pas une variable stochastique! On note le "quantile" de ν : N(t, ) : [ 1, 1] d Ω. Alors S t = N(t, 0), pour un marché infiniment liquide On note la "cumulative" de ν : N 1 (t, ) : Ω [ 1, 1] d. d dt S t = N 1 (t, S t ), dynamique pour un marché non liquide On suppose l invariance des carnets d ordre N 1 (t, ) S(t, ) N 1 (0, S 0 ) + ɛ(t), oú ɛ ɛ(1/n) est la liquidité (N est le volume d échange).
24 Un modèle de marché naif. où le prix S t n est pas une variable stochastique! On note le "quantile" de ν : N(t, ) : [ 1, 1] d Ω. Alors S t = N(t, 0), pour un marché infiniment liquide On note la "cumulative" de ν : N 1 (t, ) : Ω [ 1, 1] d. d dt S t = N 1 (t, S t ), dynamique pour un marché non liquide On suppose l invariance des carnets d ordre N 1 (t, ) S(t, ) N 1 (0, S 0 ) + ɛ(t), oú ɛ ɛ(1/n) est la liquidité (N est le volume d échange).
25 Un modèle de marché naif. où le prix S t n est pas une variable stochastique! On note le "quantile" de ν : N(t, ) : [ 1, 1] d Ω. Alors S t = N(t, 0), pour un marché infiniment liquide On note la "cumulative" de ν : N 1 (t, ) : Ω [ 1, 1] d. d dt S t = N 1 (t, S t ), dynamique pour un marché non liquide On suppose l invariance des carnets d ordre N 1 (t, ) S(t, ) N 1 (0, S 0 ) + ɛ(t), oú ɛ ɛ(1/n) est la liquidité (N est le volume d échange).
26 On obtient un modèle de la mécanique des fluides. (équation de Navier-Stokes, partie irrotationnellle) Proposition ν and N 1 vérifient le système suivant t ν (N 1 ν ) = ɛ ν, Conservation de la masse t N N = ɛ N 1, Conservation du moment. (1) Un observateur extérieur calibrant ce système verrait : Volatilité locale smilée, corrélation des tics!! Dans ce modèle, les prix sont homogènes à une vitesse. Ajoutez la partie rotationnelle, et vous obtiendrez des turbulences (de marché)!.
27 On obtient un modèle de la mécanique des fluides. (équation de Navier-Stokes, partie irrotationnellle) Proposition ν and N 1 vérifient le système suivant t ν (N 1 ν ) = ɛ ν, Conservation de la masse t N N = ɛ N 1, Conservation du moment. (1) Un observateur extérieur calibrant ce système verrait : Volatilité locale smilée, corrélation des tics!! Dans ce modèle, les prix sont homogènes à une vitesse. Ajoutez la partie rotationnelle, et vous obtiendrez des turbulences (de marché)!.
28 On obtient un modèle de la mécanique des fluides. (équation de Navier-Stokes, partie irrotationnellle) Proposition ν and N 1 vérifient le système suivant t ν (N 1 ν ) = ɛ ν, Conservation de la masse t N N = ɛ N 1, Conservation du moment. (1) Un observateur extérieur calibrant ce système verrait : Volatilité locale smilée, corrélation des tics!! Dans ce modèle, les prix sont homogènes à une vitesse. Ajoutez la partie rotationnelle, et vous obtiendrez des turbulences (de marché)!.
29 Cas non visqueux ɛ = 0 : Equations d Euler Solutions conservatives, Solutions entropiques, Modèle de retour à l équilibre. N(t, ) := N(0, y) ty (méthode des caractéristiques). Le système (1) (ɛ = 0) admet une infinité de solutions. Une solution est conservative : ν = ( h) + # m, avec N := ( h) + T factorisation polaire de Y. Brennier solution "non physique". Une solution est entropique : ν = ( h) # m, avec ( h) enveloppe convexe de N(t, ) solution "physique". La solution entropique converge vers un Dirac ν(t, ) := N(t, ) # m δ N0 (0), quand t.
30 Cas non visqueux ɛ = 0 : Equations d Euler Solutions conservatives, Solutions entropiques, Modèle de retour à l équilibre. N(t, ) := N(0, y) ty (méthode des caractéristiques). Le système (1) (ɛ = 0) admet une infinité de solutions. Une solution est conservative : ν = ( h) + # m, avec N := ( h) + T factorisation polaire de Y. Brennier solution "non physique". Une solution est entropique : ν = ( h) # m, avec ( h) enveloppe convexe de N(t, ) solution "physique". La solution entropique converge vers un Dirac ν(t, ) := N(t, ) # m δ N0 (0), quand t.
31 Cas non visqueux ɛ = 0 : Equations d Euler Solutions conservatives, Solutions entropiques, Modèle de retour à l équilibre. N(t, ) := N(0, y) ty (méthode des caractéristiques). Le système (1) (ɛ = 0) admet une infinité de solutions. Une solution est conservative : ν = ( h) + # m, avec N := ( h) + T factorisation polaire de Y. Brennier solution "non physique". Une solution est entropique : ν = ( h) # m, avec ( h) enveloppe convexe de N(t, ) solution "physique". La solution entropique converge vers un Dirac ν(t, ) := N(t, ) # m δ N0 (0), quand t.
32 Cas non visqueux ɛ = 0 : Equations d Euler Solutions conservatives, Solutions entropiques, Modèle de retour à l équilibre. N(t, ) := N(0, y) ty (méthode des caractéristiques). Le système (1) (ɛ = 0) admet une infinité de solutions. Une solution est conservative : ν = ( h) + # m, avec N := ( h) + T factorisation polaire de Y. Brennier solution "non physique". Une solution est entropique : ν = ( h) # m, avec ( h) enveloppe convexe de N(t, ) solution "physique". La solution entropique converge vers un Dirac ν(t, ) := N(t, ) # m δ N0 (0), quand t.
33 Lignes directrices Non-linéarités en Finance 1 Non-linéarités en Finance Les équations de Fokker-Planck (ou Kolmogorov) La calibration Le carnet d ordre 2
34 Calibration avec Wasserstein Solutions conservative, solution entropique, formations de singularités minimisation avec contraintes : µ 0 est le "prior" historique inf W 2(µ 0, µ ), contr. Pj m µ = Cj m µ P(Ω) W 2 (µ 0, µ ) Wasserstein (efficacité des marchés?). Il existe une infinité de solutions de ce problème : on note S 1 := x λ i ( P i ), Ω λ multiplicateurs Lagrange. Une solution est conservative : µ = ( h + ) # µ 0, S := ( h) + T factorisation polaire de Y. Brennier Une solution est entropique : µ = ( h) # µ 0, avec ( h) enveloppe convexe de S(t, )
35 Calibration avec Wasserstein Solutions conservative, solution entropique, formations de singularités minimisation avec contraintes : µ 0 est le "prior" historique inf W 2(µ 0, µ ), contr. Pj m µ = Cj m µ P(Ω) W 2 (µ 0, µ ) Wasserstein (efficacité des marchés?). Il existe une infinité de solutions de ce problème : on note S 1 := x λ i ( P i ), Ω λ multiplicateurs Lagrange. Une solution est conservative : µ = ( h + ) # µ 0, S := ( h) + T factorisation polaire de Y. Brennier Une solution est entropique : µ = ( h) # µ 0, avec ( h) enveloppe convexe de S(t, )
36 Calibration avec Wasserstein Solutions conservative, solution entropique, formations de singularités minimisation avec contraintes : µ 0 est le "prior" historique inf W 2(µ 0, µ ), contr. Pj m µ = Cj m µ P(Ω) W 2 (µ 0, µ ) Wasserstein (efficacité des marchés?). Il existe une infinité de solutions de ce problème : on note S 1 := x λ i ( P i ), Ω λ multiplicateurs Lagrange. Une solution est conservative : µ = ( h + ) # µ 0, S := ( h) + T factorisation polaire de Y. Brennier Une solution est entropique : µ = ( h) # µ 0, avec ( h) enveloppe convexe de S(t, )
37 Calibration avec Wasserstein Solutions conservative, solution entropique, formations de singularités minimisation avec contraintes : µ 0 est le "prior" historique inf W 2(µ 0, µ ), contr. Pj m µ = Cj m µ P(Ω) W 2 (µ 0, µ ) Wasserstein (efficacité des marchés?). Il existe une infinité de solutions de ce problème : on note S 1 := x λ i ( P i ), Ω λ multiplicateurs Lagrange. Une solution est conservative : µ = ( h + ) # µ 0, S := ( h) + T factorisation polaire de Y. Brennier Une solution est entropique : µ = ( h) # µ 0, avec ( h) enveloppe convexe de S(t, )
38 Calibration Monte-Carlo par Wasserstein Une calibration rapide, equi-probable, multi-dimensionnelle? minimisation discrète : (Si 0 ) i "quantile" historique. 1 inf S i Si 0 2, contr. 1 P j S i = C j S i N N i Illustration sur une liste de put / call i (a) quantile historique (b) conservatif (c) entropique FIGURE : Calibration Monte-Carlo sur BoA. Question : la solution entropique est-elle martingale?
39 Calibration Monte-Carlo par Wasserstein Une calibration rapide, equi-probable, multi-dimensionnelle? minimisation discrète : (Si 0 ) i "quantile" historique. 1 inf S i Si 0 2, contr. 1 P j S i = C j S i N N i Illustration sur une liste de put / call i (a) quantile historique (b) conservatif (c) entropique FIGURE : Calibration Monte-Carlo sur BoA. Question : la solution entropique est-elle martingale?
40 Calibration Monte-Carlo par Wasserstein Une calibration rapide, equi-probable, multi-dimensionnelle? minimisation discrète : (Si 0 ) i "quantile" historique. 1 inf S i Si 0 2, contr. 1 P j S i = C j S i N N i Illustration sur une liste de put / call i (a) quantile historique (b) conservatif (c) entropique FIGURE : Calibration Monte-Carlo sur BoA. Question : la solution entropique est-elle martingale?
41 Applications. Arbitrage, Hedging, et risque de contrepartie? Risque de contrepartie. Il y a deux économétries : l économétrie historique diffusée S 0 (t, ) et l économétrie de marchée, S(t, ) donnée par le Front-Office. Idée : utiliser une seule économétrie calibrée S(t, ) "proche" de S 0, mais répliquant les prix d instruments de mesure de risque bien choisis, i.e. "proche" de S(t, ). Avantages : Prix de marché du risque de contrepartie. Performance et simplicité de la librairie de pricing. Calibration crédit / action : WWR? Et surtout, plus juste! le calcul du risque de contrepartie est une équation backward, de type exercice américain (on se couvre sachant l exposition future).
42 Applications. Arbitrage, Hedging, et risque de contrepartie? Risque de contrepartie. Il y a deux économétries : l économétrie historique diffusée S 0 (t, ) et l économétrie de marchée, S(t, ) donnée par le Front-Office. Idée : utiliser une seule économétrie calibrée S(t, ) "proche" de S 0, mais répliquant les prix d instruments de mesure de risque bien choisis, i.e. "proche" de S(t, ). Avantages : Prix de marché du risque de contrepartie. Performance et simplicité de la librairie de pricing. Calibration crédit / action : WWR? Et surtout, plus juste! le calcul du risque de contrepartie est une équation backward, de type exercice américain (on se couvre sachant l exposition future).
43 Applications. Arbitrage, Hedging, et risque de contrepartie? Risque de contrepartie. Il y a deux économétries : l économétrie historique diffusée S 0 (t, ) et l économétrie de marchée, S(t, ) donnée par le Front-Office. Idée : utiliser une seule économétrie calibrée S(t, ) "proche" de S 0, mais répliquant les prix d instruments de mesure de risque bien choisis, i.e. "proche" de S(t, ). Avantages : Prix de marché du risque de contrepartie. Performance et simplicité de la librairie de pricing. Calibration crédit / action : WWR? Et surtout, plus juste! le calcul du risque de contrepartie est une équation backward, de type exercice américain (on se couvre sachant l exposition future).
44 Applications. Arbitrage, Hedging, et risque de contrepartie? Risque de contrepartie. Il y a deux économétries : l économétrie historique diffusée S 0 (t, ) et l économétrie de marchée, S(t, ) donnée par le Front-Office. Idée : utiliser une seule économétrie calibrée S(t, ) "proche" de S 0, mais répliquant les prix d instruments de mesure de risque bien choisis, i.e. "proche" de S(t, ). Avantages : Prix de marché du risque de contrepartie. Performance et simplicité de la librairie de pricing. Calibration crédit / action : WWR? Et surtout, plus juste! le calcul du risque de contrepartie est une équation backward, de type exercice américain (on se couvre sachant l exposition future).
45 Applications. Arbitrage, Hedging, et risque de contrepartie? Risque de contrepartie. Il y a deux économétries : l économétrie historique diffusée S 0 (t, ) et l économétrie de marchée, S(t, ) donnée par le Front-Office. Idée : utiliser une seule économétrie calibrée S(t, ) "proche" de S 0, mais répliquant les prix d instruments de mesure de risque bien choisis, i.e. "proche" de S(t, ). Avantages : Prix de marché du risque de contrepartie. Performance et simplicité de la librairie de pricing. Calibration crédit / action : WWR? Et surtout, plus juste! le calcul du risque de contrepartie est une équation backward, de type exercice américain (on se couvre sachant l exposition future).
46 Applications. Arbitrage, Hedging, et risque de contrepartie? Risque de contrepartie. Il y a deux économétries : l économétrie historique diffusée S 0 (t, ) et l économétrie de marchée, S(t, ) donnée par le Front-Office. Idée : utiliser une seule économétrie calibrée S(t, ) "proche" de S 0, mais répliquant les prix d instruments de mesure de risque bien choisis, i.e. "proche" de S(t, ). Avantages : Prix de marché du risque de contrepartie. Performance et simplicité de la librairie de pricing. Calibration crédit / action : WWR? Et surtout, plus juste! le calcul du risque de contrepartie est une équation backward, de type exercice américain (on se couvre sachant l exposition future).
47 Non-linéarités en Finance Modèle non-linéaires. Perspectives : Introduction de singularités dans les données de marché. On sort de l analyse classique en Finance de marché. Avis personnel : peu d existant sur le sujet à ma connaissance. Ligne de pensée potentiellement très riche en applications et profonde pour la recherche.
48 Non-linéarités en Finance Modèle non-linéaires. Perspectives : Introduction de singularités dans les données de marché. On sort de l analyse classique en Finance de marché. Avis personnel : peu d existant sur le sujet à ma connaissance. Ligne de pensée potentiellement très riche en applications et profonde pour la recherche.
49 Non-linéarités en Finance Modèle non-linéaires. Perspectives : Introduction de singularités dans les données de marché. On sort de l analyse classique en Finance de marché. Avis personnel : peu d existant sur le sujet à ma connaissance. Ligne de pensée potentiellement très riche en applications et profonde pour la recherche.
50 Non-linéarités en Finance Modèle non-linéaires. Perspectives : Introduction de singularités dans les données de marché. On sort de l analyse classique en Finance de marché. Avis personnel : peu d existant sur le sujet à ma connaissance. Ligne de pensée potentiellement très riche en applications et profonde pour la recherche.
51 Annexe Lectures complementaires Lectures complementaires I Peter Tankov. Surface de volatilié, Calibration de Modèles et Couverture de Produits Dérivés M Avellaneda. Minimum-relative-entropy calibration of asset pricing models, International Journal of Theoretical and Applied Finance, (1998).
Les mathématiques de la finance Université d été de Sourdun Olivier Bardou olivier.bardou@gdfsuez.com 28 août 2012 De quoi allons nous parler? des principales hypothèses de modélisation des marchés, des
Plus en détailMATHS FINANCIERES. Mireille.Bossy@sophia.inria.fr. Projet OMEGA
MATHS FINANCIERES Mireille.Bossy@sophia.inria.fr Projet OMEGA Sophia Antipolis, septembre 2004 1. Introduction : la valorisation de contrats optionnels Options d achat et de vente : Call et Put Une option
Plus en détailLe modèle de Black et Scholes
Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un
Plus en détailProbabilités III Introduction à l évaluation d options
Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un
Plus en détailMathématiques pour la finance Définition, Evaluation et Couverture des Options vanilles Version 2012
Mathématiques pour la finance Définition, Evaluation et Couverture des Options vanilles Version 2012 Pierre Andreoletti pierre.andreoletti@univ-orleans.fr Bureau E15 1 / 20 Objectifs du cours Définition
Plus en détailOptions exotiques. April 18, 2000
Options exotiques Nicole El Karoui, Monique Jeanblanc April 18, 2000 1 Introduction Les options exotiques sont des produits complexes, qui constituent un marché d une réelle importance depuis les années
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailde calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d
Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation de quelques problèmes de calibration Plan de la présentation 1. Présentation de quelques modèles à calibrer 1a. Reconstruction d une courbe
Plus en détailSurface de volatilité
Surface de volatilité Peter TANKOV Université Paris-Diderot(ParisVII) tankov@math.univ-paris-diderot.fr Dernière m.à.j. February 15, 15 Ce document est mis à disposition sous un contrat Creative Commons
Plus en détailProcessus aléatoires avec application en finance
Genève, le 16 juin 2007. Processus aléatoires avec application en finance La durée de l examen est de deux heures. N oubliez pas d indiquer votre nom et prénom sur chaque feuille. Toute documentation et
Plus en détailCalibration de Modèles et Couverture de Produits Dérivés
Calibration de Modèles et Couverture de Produits Dérivés Peter TANKOV Université Paris VII tankov@math.jussieu.fr Edition 28, dernière m.à.j. le 1 mars 28 La dernière version de ce document est disponible
Plus en détailMaster IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1
Master IMEA Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o Corrigé exercices8et9 8. On considère un modèle Cox-Ross-Rubinstein de marché (B,S) à trois étapes. On suppose que S = C et que les facteurs
Plus en détailValorisation d es des options Novembre 2007
Valorisation des options Novembre 2007 Plan Rappels Relations de prix Le modèle binomial Le modèle de Black-Scholes Les grecques Page 2 Rappels (1) Définition Une option est un contrat financier qui confère
Plus en détailI. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.
I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous
Plus en détailFiltrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de
Plus en détailValue at Risk. CNAM GFN 206 Gestion d actifs et des risques. Grégory Taillard. 27 février & 13 mars 20061
Value at Risk 27 février & 13 mars 20061 CNAM Gréory Taillard CNAM Master Finance de marché et estion de capitaux 2 Value at Risk Biblioraphie Jorion, Philippe, «Value at Risk: The New Benchmark for Manain
Plus en détailQUESTIONS D ENTRETIENS EN FINANCE DE MARCHE
QUESTIONS D ENTRETIENS EN FINANCE DE MARCHE Le présent document est un recueil de questions, la plupart techniques, posées à des candidats généralement jeunes diplômés, issus d école d ingénieurs, de commerce
Plus en détailTRAVAIL D ETUDE ET DE RECHERCHE. Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines
Ensimag - 2éme année Mai 2010 TRAVAIL D ETUDE ET DE RECHERCHE Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines Anne-Victoire AURIAULT 1/48 2/48 Cadre de l Étude Cette étude a été
Plus en détailThéorie Financière 8 P. rod i u t its dé dérivés
Théorie Financière 8P 8. Produits dit dérivés déié Objectifsdelasession session 1. Définir les produits dérivés (forward, futures et options (calls et puts) 2. Analyser les flux financiers terminaux 3.
Plus en détailANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique
1 ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique G. ALLAIRE 28 Janvier 2014 CHAPITRE I Analyse numérique: amphis 1 à 12. Optimisation: amphis
Plus en détailCalibration de modèles et couverture de produits dérivés
Calibration de modèles et couverture de produits dérivés Peter Tankov To cite this version: Peter Tankov. Calibration de modèles et couverture de produits dérivés. DEA. Calibration de modèles et couverture
Plus en détailIntroduction au pricing d option en finance
Introduction au pricing d option en finance Olivier Pironneau Cours d informatique Scientifique 1 Modélisation du prix d un actif financier Les actions, obligations et autres produits financiers cotés
Plus en détail1 Introduction et modèle mathématique
Optimisation parallèle et mathématiques financières Optimisation parallèle et mathématiques financières Pierre Spiteri 1 IRIT ENSEEIHT, UMR CNRS 5505 2 rue Charles Camichel, B.P. 7122 F-31 071 Toulouse,
Plus en détailFLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles
FLUIDES EN ÉCOULEMENT Méthodes et modèles Jacques PADET Professeur Émérite à l Université de Reims Seconde édition revue et augmentée TABLE DES MATIÈRES PRÉSENTATION Préface de la 1 ère édition Prologue
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailManuel d Utilisateur - Logiciel ModAFi. Jonathan ANJOU - Maud EYZAT - Kévin NAVARRO
Manuel d Utilisateur - Logiciel ModAFi Jonathan ANJOU - Maud EYZAT - Kévin NAVARRO Grenoble, 12 juin 2012 Table des matières 1 Introduction 3 2 Modèles supportés 3 2.1 Les diérents modèles supportés pour
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailOptions et Volatilité (introduction)
SECONDE PARTIE Options et Volatilité (introduction) Avril 2013 Licence Paris Dauphine 2013 SECONDE PARTIE Philippe GIORDAN Head of Investment Consulting +377 92 16 55 65 philippe.giordan@kblmonaco.com
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailTP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options
Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce
Plus en détailIntroduction à la finance quantitative présenté par N. Champagnat IECL et INRIA
Introduction à la finance quantitative présenté par N. Champagnat IECL et INRIA Contents 1 Introduction aux marchés financiers 2 1.1 Rôle des marchés financiers......................... 2 1.2 Les différents
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailExercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain
Exercice : la frontière des portefeuilles optimaux sans actif certain Philippe Bernard Ingénierie Economique & Financière Université Paris-Dauphine Février 0 On considère un univers de titres constitué
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailT.P. FLUENT. Cours Mécanique des Fluides. 24 février 2006 NAZIH MARZOUQY
T.P. FLUENT Cours Mécanique des Fluides 24 février 2006 NAZIH MARZOUQY 2 Table des matières 1 Choc stationnaire dans un tube à choc 7 1.1 Introduction....................................... 7 1.2 Description.......................................
Plus en détailRésumé... 9... 10... 10... 10
Bibliographie 1 Table des matières Table des matières.................................... 3 Résumé............................................ 9........................................ 10........................................
Plus en détailCONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)
CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un
Plus en détailTests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles
Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailERRATA ET AJOUTS. ( t) 2 s2 dt (4.7) Chapitre 2, p. 64, l équation se lit comme suit : Taux effectif = 1+
ERRATA ET AJOUTS Chapitre, p. 64, l équation se lit comme suit : 008, Taux effectif = 1+ 0 0816 =, Chapitre 3, p. 84, l équation se lit comme suit : 0, 075 1 000 C = = 37, 50$ Chapitre 4, p. 108, note
Plus en détail3ème séance de Mécanique des fluides. Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait. 2 Écoulements potentiels
3ème séance de Mécanique des fluides Rappels sur les premières séances Aujourd hui : le modèle du fluide parfait 1 Généralités 1.1 Introduction 1.2 Équation d Euler 1.3 Premier théorème de Bernoulli 1.4
Plus en détailEstimation du coût de l incessibilité des BSA
Estimation du coût de l incessibilité des BSA Jean-Michel Moinade Oddo Corporate Finance 22 Juin 2012 Incessibilité des BSA Pas de méthode académique reconnue Plusieurs méthodes «pratiques», dont une usuelle
Plus en détailINTRODUCTION INTRODUCTION
INTRODUCTION INTRODUCTION Les options sont des actifs financiers conditionnels qui donnent le droit mais pas l'obligation d'effectuer des transactions sur des actifs supports. Leur intérêt réside dans
Plus en détailTESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION
TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION Bruno Saussereau Laboratoire de Mathématiques de Besançon Université de Franche-Comté Travail en commun
Plus en détailMémoire d actuariat - promotion 2010. complexité et limites du modèle actuariel, le rôle majeur des comportements humains.
Mémoire d actuariat - promotion 2010 La modélisation des avantages au personnel: complexité et limites du modèle actuariel, le rôle majeur des comportements humains. 14 décembre 2010 Stéphane MARQUETTY
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailCours de Mécanique du point matériel
Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels
Plus en détailMaster Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2.
Master Modélisation Aléatoire Paris VII, Cours Méthodes de Monte Carlo en nance et C++, TP n 2. Techniques de correction pour les options barrières 25 janvier 2007 Exercice à rendre individuellement lors
Plus en détailÉquation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou
Équation de Langevin avec petites perturbations browniennes ou alpha-stables Richard Eon sous la direction de Mihai Gradinaru Institut de Recherche Mathématique de Rennes Journées de probabilités 215,
Plus en détailPrincipe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif
Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université
Plus en détailGénération de scénarios économiques
Modélisation des taux d intérêt Pierre-E. Thérond ptherond@galea-associes.eu pierre@therond.fr Galea & Associés ISFA - Université Lyon 1 22 novembre 2013 Motivation La modélisation des taux d intérêt est
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailListe des notes techniques... xxi Liste des encadrés... xxiii Préface à l édition internationale... xxv Préface à l édition francophone...
Liste des notes techniques.................... xxi Liste des encadrés....................... xxiii Préface à l édition internationale.................. xxv Préface à l édition francophone..................
Plus en détailUNIVERSITÉ DE PICARDIE JULES VERNE THÈSE D HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES
UNIVERSITÉ DE PICARDIE JULES VERNE THÈSE D HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES Spécialité : Mathématiques Analyse de Quelques Problèmes Elliptiques et Paraboliques non Linéaires Dégénérés : Existence,
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailDérivés Financiers Options
Stratégies à base d options Dérivés Financiers Options 1) Supposons que vous vendiez un put avec un prix d exercice de 40 et une date d expiration dans 3 mois. Le prix actuel de l action est 41 et le contrat
Plus en détailCURRICULUM VITAE. Directeur de thèse : Nizar Touzi, Ecole Polytechnique
CURRICULUM VITAE Dylan Possamaï 26 ans 21, boulevard de Grenelle Célibataire 75015 Paris Nationalité française Mail : dylan.possamai@polytechnique.edu Tél : 06 33 87 38 88 FORMATION Doctorat de Mathématiques
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailDe la mesure à l analyse des risques
De la mesure à l analyse des risques Séminaire FFA Jean-Paul LAURENT Professeur à l'isfa jean-paul.laurent@univ-lyon1.fr http://laurent.jeanpaul.free.fr/ 0 De la la mesure à l analyse des risques! Intégrer
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailMATHÉMATIQUES ET APPLICATIONS
MASTER 2 ème ANNÉE MATHÉMATIQUES ET APPLICATIONS Parcours Mathématiques du Risque et Actuariat ANNÉE UNIVERSITAIRE 2015 2016 1 PRESENTATION Le Master 2 Mathématiques du Risque et Actuariat a pour objectif
Plus en détailOptimisation et programmation mathématique. Professeur Michel de Mathelin. Cours intégré : 20 h
Télécom Physique Strasbourg Master IRIV Optimisation et programmation mathématique Professeur Michel de Mathelin Cours intégré : 20 h Programme du cours d optimisation Introduction Chapitre I: Rappels
Plus en détailCours Marché du travail et politiques d emploi
Cours Marché du travail et politiques d emploi L offre de travail Pierre Cahuc/Sébastien Roux ENSAE-Cours MTPE Pierre Cahuc/Sébastien Roux (ENSAE) L offre de travail 1 / 48 Introduction Introduction Examen
Plus en détailPrix et couverture d une option d achat
Chapitre 1 Prix et couverture d une option d achat Dans cette première leçon, on explique comment on peut calculer le prix d un contrat d option en évaluant celui d un portefeuille de couverture de cette
Plus en détailPlan. 5 Actualisation. 7 Investissement. 2 Calcul du taux d intérêt 3 Taux équivalent 4 Placement à versements fixes.
Plan Intérêts 1 Intérêts 2 3 4 5 6 7 Retour au menu général Intérêts On place un capital C 0 à intérêts simples de t% par an : chaque année une somme fixe s ajoute au capital ; cette somme est calculée
Plus en détailTD n 1 : la Balance des Paiements
TD n 1 : la Balance des Paiements 1 - Principes d enregistrement L objet de la Balance des Paiements est de comptabiliser les différentes transactions entre résidents et non-résidents au cours d une année.
Plus en détailProduits de crédit en portefeuille
Chapitre 6 Produits de crédit en portefeuille et défauts corrélés Dans ce chapitre, on étudie des produits financiers de crédit en portfeuille, notamment k th -to-default swap et CDOs (voir 1.2 pour une
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailLe théorème des deux fonds et la gestion indicielle
Le théorème des deux fonds et la gestion indicielle Philippe Bernard Ingénierie Economique& Financière Université Paris-Dauphine mars 2013 Les premiers fonds indiciels futent lancés aux Etats-Unis par
Plus en détailLa demande Du consommateur. Contrainte budgétaire Préférences Choix optimal
La demande Du consommateur Contrainte budgétaire Préférences Choix optimal Plan du cours Préambule : Rationalité du consommateur I II III IV V La contrainte budgétaire Les préférences Le choix optimal
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailPratique des options Grecs et stratégies de trading. F. Wellers
Pratique des options Grecs et stratégies de trading F. Wellers Plan de la conférence 0 Philosophie et structure du cours 1 Définitions des grecs 2 Propriétés des grecs 3 Qu est ce que la volatilité? 4
Plus en détailBaccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008
Baccalauréat ES Amérique du Nord 4 juin 2008 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats f est une fonction définie sur ] 2 ; + [ par : 4 points f (x)=3+ 1 x+ 2. On note f sa fonction dérivée et (C ) la représentation
Plus en détailCalcul Stochastique pour la finance. Romuald ELIE
Calcul Stochastique pour la finance Romuald ELIE 2 Nota : Ces notes de cours sont librement inspirées de différentes manuels, polycopiés, notes de cours ou ouvrages. Citons en particulier ceux de Francis
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailAutomatique Linéaire 1 Travaux Dirigés 1A ISMIN
Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés Travaux dirigés, Automatique linéaire 1 J.M. Dutertre 2014 TD 1 Introduction, modélisation, outils. Exercice 1.1 : Calcul de la réponse d un 2 nd ordre à une rampe
Plus en détailProduits structurés. Sacha Duparc, Développement & Trading Produits Structurés 20.12.2013
Produits structurés Sacha Duparc, Développement & Trading Produits Structurés 20.12.2013 Importance du marché des produits structurés en Suisse Les produits structurés constituent une catégorie d investissement
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailLimite de champ moyen
Limite de champ moyen Cours de DEA, 2001-2002 Cédric Villani UMPA, ESL 46 allée d Italie 69364 Lyon Cedex 07 cvillani@umpa.ens-lyon.fr 2 CHAPITRE 0 Ce document constitue le support écrit pour un cours
Plus en détailRésumé des communications des Intervenants
Enseignements de la 1ere semaine (du 01 au 07 décembre 2014) I. Titre du cours : Introduction au calcul stochastique pour la finance Intervenante : Prof. M hamed EDDAHBI Dans le calcul différentiel dit
Plus en détailDYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES
A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailCouverture des risques dans les marchés financiers
énéral2.6.137 1 2 Couverture des risques dans les marchés financiers Nicole El Karoui Ecole Polytechnique,CMAP, 91128 Palaiseau Cedex email : elkaroui@cmapx.polytechnique.fr Année 23-24 2 Table des matières
Plus en détailModule 7: Chaînes de Markov à temps continu
Module 7: Chaînes de Markov à temps continu Patrick Thiran 1 Introduction aux chaînes de Markov à temps continu 1.1 (Première) définition Ce module est consacré aux processus à temps continu {X(t), t R
Plus en détailErreur statique. Chapitre 6. 6.1 Définition
Chapitre 6 Erreur statique On considère ici le troisième paramètre de design, soit l erreur statique. L erreur statique est la différence entre l entrée et la sortie d un système lorsque t pour une entrée
Plus en détail4. Martingales à temps discret
Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les
Plus en détailGESTION DES RISQUES FINANCIERS 4 ème année ESCE Exercices / Chapitre 3
GESTION DES RISQUES FINANCIERS 4 ème année ESCE Exercices / Chapitre 3 1) Couvertures parfaites A) Le 14 octobre de l année N une entreprise sait qu elle devra acheter 1000 onces d or en avril de l année
Plus en détailAnalyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I
Analyse stochastique de la CRM à ordre partiel dans le cadre des essais cliniques de phase I Roxane Duroux 1 Cadre de l étude Cette étude s inscrit dans le cadre de recherche de doses pour des essais cliniques
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détail