Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

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1 IUFM du Limousin PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables On rappelle ici quelques propriétés des fonctions de plusieurs variables, c est-à-dire définies sur une partie de R n et à valeurs dans R m, où n et m sont deux entiers naturels. Pour la présentation de la plupart des notions, on se restreint au cas où n = 2, les autres cas étant parfaitement similaires. Noter de plus que, au besoin, une fonction à valeurs dans R m se décompose naturellement en m fonctions à valeurs réelles, qui sont ses composantes dans la base canonique de R m. Pour p N et u = (u 1,..., u p ) R p, on note u l une des trois normes équivalentes (c est-à-dire qu elles engendrent la même topologie) : u = sup u i, u 1 = 1 i p ( p p u i, u 2 = i=1 ) 1/2 u 2 i. i=1 La limite en un point se définit de façon similaire au cas des fonctions d une variable. Définition 1 Soient A R 2, f : A R m, (x 0, y 0 ) A et l R m, alors f a pour limite l quand (x, y) tend vers (x 0, y 0 ) si ε > 0, η > 0, ( x x 0 < η et y y 0 < η ) f(x, y) l < ε. On peut aussi exprimer l implication de la manière suivante : (x, y) B ( (x 0, y 0 ), η) f(x, y) B(l, ε), où B(u, r) désigne la boule (ouverte) de centre u et de rayon r (pour la norme choisie), dans R 2 d un côté, dans R m de l autre. À partir de là on définit la notion de continuité comme dans le cas des fonctions d une variable. On dispose de fonctions de référence (polynômes, fractions rationnelles, racine carrée,...) et de théorèmes généraux (somme, produit, inverse, composée de fonctions... ). Si f est à valeurs réelles, on peut définir de manière analogue la notion de limite infinie. Exercice 1 Soit h la fonction définie de R 2 dans R par h(0, 0) = 0 et, si (x, y) (0, 0), h(x, y) = xy x 2 + y 2. Vérifier que h est continue en tout point (x, y) (0, 0). Calculer h(x, x) pour x R ; la fonction h est-elle continue en (0, 0)? 1

2 Étant donné (x 0, y 0 ) A, on définit les deux applications partielles associées à f en ce point par : f 1 : x f(x, y 0 ) et f 2 : y f(x 0, y). On appelle aussi f 1 et f 2 les fonctions directionnelles associées à f, de direction x pour la première, y pour la seconde. Ce sont des fonctions d une variable, que l on sait donc éventuellement dériver, ce qui permet de définir le cas échéant les dérivées partielles de f. Définition 2 f admet une dérivée partielle par rapport à x (resp. y) au point (x 0, y 0 ) si f 1 (resp. f 2 ) est dérivable en x 0 (resp. en y 0 ). Dans ce cas on note : f x (x 0, y 0 ) = f 1(x 0 ) (resp. f (x 0, y 0 ) = f 2(y 0 ) ). Si par exemple f 2 est dérivable sur A x0 = {y R, (x 0, y) A}, on obtient ainsi une nouvelle fonction de deux variables, f, définie sur A x 0. Attention à l éventuelle confusion provenant du fait qu on omet souvent de noter le couple de variables (x 0, y 0 ), ou qu on le note plus simplement (x, y), c est-à-dire qu on écrit souvent f f ou (x, y). Exercice 2 Montrer que la fonction h de l exercice précédent est dérivable par rapport à x et par rapport à y en tout point de R 2 et calculer ses dérivées partielles. Sont-elles continues en (0, 0)? Si les dérivées partielles de f existent et sont continues sur un ouvert U A de R 2, alors f est dite continûment différentiable, en abrégé C 1, sur U. L intérêt de cette notion est encore plus frappant que pour les fonctions d une variable. En effet, la continuité des applications partielles f 1 et f 2 n entraîne pas celle de f, comme on l a vu dans l exercice ci-dessus, qui montre aussi que l existence des dérivées partielles ne suffit pas plus à garantir la continuité de f. Par contre on a la propriété : f continûment différentiable sur U f continue sur U. Pour calculer les dérivées partielles d une fonction composée de manière agréable, on introduit la notion de matrice jacobienne. Plaçons-nous dans le cadre le plus général f : U R n R m, où U est un ouvert, et f admet des dérivées partielles par rapport à toutes les variables en un point u U. La matrice jacobienne de f en u est la matrice à m lignes et n colonnes égale à : ( ) fi J f (u) = (u). x j 1 i m 1 j n Lorsque n = m, on nomme jacobien de f le déterminant de la matrice jacobienne. Proposition 1 Soient f et g deux applications définies respectivement de U R n dans R m et de V R m dans R p, avec f(u) V. On suppose qu elles sont continûment dérivables respectivement aux points u U et v = f(u). Alors on a l égalité des matrices : Exercice 3 Retrouver les formules donnant f x J g f (u) = J g (v)j f (u). et f lorsque f(x, y) = F (u, v), où u = u(x, y), v = v(x, y). 2

3 Revenons au cas f : U R 2 R m de classe C 1. Les dérivées partielles étant des fonctions de deux variables, on peut considérer leurs dérivées partielles, à nouveau par rapport à x et par rapport à y, si elles existent. On obtient ainsi les dérivées partielles secondes de f, qui sont au nombre de 3 puisque le théorème de Schwarz stipule que l ordre dans lequel sont prises les dérivées partielles par rapport à différentes variables n importe pas, en clair : 2 f x = f x = f x = 2 f x. La fonction f est dite de classe C k sur U si toutes ses dérivées partielles à l ordre k existent et sont continues. (Question : combien y en a-t-il?) Celles d ordre 2 sont particulièrement importantes pour déterminer les extrema des fonctions à valeurs réelles. Supposons donc f : U R 2 R de classe C 2 et (x 0, y 0 ) U. On pose : p = f x (x 0, y 0 ), q = f (x 0, y 0 ), r = 2 f x 2 (x 0, y 0 ), s = 2 f x (x 0, y 0 ), t = 2 f 2 (x 0, y 0 ) et on appelle ( r s s t ) la matrice hessienne de f. On dit que f admet un extremum local en (x0, y 0 ) appartenant à U si f(x, y) f(x 0, y 0 ) garde un signe constant au voisinage de (x 0, y 0 ). Il s agit d un maximum local si ce signe est négatif, d un minimum local sinon. Théorème 2 Pour que f admette un extremum local en (x 0, y 0 ), il est nécessaire que p = q = 0. Pour que f admette un extremum local en (x 0, y 0 ), il suffit que la condition précédente soit remplie (on parle alors de point critique) et que s 2 rt < 0. Dans ce cas, on aura un minimum local si r > 0, un maximum local si r < 0. Noter que r 0, et que t est du même signe que r, si s 2 rt < 0. On peut montrer de plus qu on obtient un point col si s 2 rt > 0 ; si s 2 rt = 0, on ne peut rien dire. En fait, on a le développement de Taylor-Young suivant pour f au voisinage du point (x 0, y 0 ) : f(x 0 + h, y 0 + k) = f(x 0, y 0 ) + (ph + qk) (rh2 + 2shk + tk 2 ) + (h 2 + k 2 )ε(h, k), où ε(h, k) tend vers 0 quand (h, k) tend vers 0. Donc, si p = q = 0, f(x 0 + h, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) est pour (h, k) au voisinage de (0, 0) de même signe que l image de (h, k) par la forme quadratique de matrice la hessienne de f. Exercice 4 On revient à la fonction h du premier exercice. a) Montrer que, pour (x, y) (0, 0), h h x (x, y) = (x, y) = 0 si et seulement si x = ±y. b) Montrer que, pour tout (x, y) R 2, 1 2 h(x, y) 1 2 ; qu en déduit-on pour les points de coordonnées (x, ±x) avec x 0? c) Calculer les dérivées secondes de h en (x, y) (0, 0). Quels renseignements donne la matrice hessienne de h aux points de coordonnées (x, ±x) avec x 0? 2 Intégrales multiples Maintenant que l on connaît les fonctions de plusieurs variables, comment les intégrer? Nous allons dessiner les contours de la construction de l intégrale de Riemann de ces fonctions, dont on 3

4 verra qu ils rappellent fortement ce qu on fait pour les fonctions d une variable. On traite le cas des fonctions à valeurs réelles, étant entendu que le cas des fonctions à valeurs dans R m s en déduit en les traitant composante par composante. On donnera ensuite deux procédés permettant de calculer les intégrales multiples dans un certain nombre de cas. 2.1 Construction de l intégrale Plaçons-nous dans R n pour un entier n 2. On appelle pavé de R n le produit cartésien Π = I 1 I n de n intervalles I 1,..., I n de R. Le pavé Π est borné (resp. compact) si tous les I k le sont ; la mesure de Π est le produit µ(π) des longueurs des I k ; deux pavés sont quasi-disjoints si la mesure de leur intersection (qui est un pavé) est nulle. Si Π est un pavé compact, P = (Π 1,..., Π r ) est un pavage de Π si les Π k sont deux à deux quasi-disjoints, d union égale à Π. On vérifie alors que la mesure de Π est égale à la somme des mesure des Π k. On peut aussi définir la notion de pavage plus fin que deux pavages donnés P et P de Π. Soit Π un pavé. Une fonction ϕ : Π R est en escalier s il existe un pavage P de Π tel que, pour tout P P, ϕ P est constante ; P est alors dit adapté à ϕ. En notant χ P la fonction indicatrice d un pavé P, on voit qu il existe des réels λ P pour P P tels que ϕ = P P λ P χ P et on peut définir l intégrale de ϕ en posant : I(ϕ) = P P λ P µ(p ), en vérifiant que ceci ne dépend pas du pavage adapté à ϕ choisi (grâce à la notion de pavage plus fin). Notons E le R-espace vectoriel des fonctions en escalier définies sur Π. Pour f : Π R bornée, on peut alors définir I (f) = sup{i(ϕ) : ϕ f, ϕ E}, I (f) = inf{i(ϕ) : ϕ f, ϕ E}, et décider (avec Riemann) que f est intégrable si I (f) = I (f), auquel cas on note cette valeur : f = f(x 1,..., x n ) dx 1... dx n. Π Π Enfin, une partie bornée A de R n est dite mesurable si sa fonction indicatrice χ A est intégrable sur un pavé Π contenant A. Si tel est le cas, et si f : A R est bornée, alors f est intégrable sur A si fχ A est intégrable sur un pavé Π contenant A, auquel cas on pose : f = fχ A. A On montre en particulier que toute fonction continue sur une partie mesurable A est intégrable sur cette partie. 2.2 Théorème de Fubini On voit maintenant un théorème essentiel pour le calcul des intégrales multiples, puisqu il permet de découper celui-ci en plusieurs calculs d intégrales de fonctions d une variable. Sa preuve suit le cheminement effectué ci-dessus pour la construction de l intégrale (pour les fonctions en escalier, puis pour les fonctions intégrables). Π 4

5 Théorème 3 Soit A une partie mesurable de R p R q et f : A R une fonction intégrable. On suppose que, pour tout x R p : A x = {y R q (x, y) A} est mesurable ; y f(x, y) est intégrable sur A x. On suppose de plus que x A x f(x, y)dy est intégrable sur R p. Alors on a l égalité : Exercice 5 En déduire la valeur de A A f(x, y)dxdy = On pourra commencer par représenter la partie A. R p ( ) f(x, y)dy dx. A x xy x 2 + y 2 dxdy, où A = {(x, y) R 2 : x 0, y 0, x 2 + 2y 2 1}. Il est parfois plus pratique d utiliser ce résultat sous la forme suivante. Corollaire 4 En supposant de plus, pour tout y R q : A y = {x R p (x, y) A} est mesurable ; x f(x, y) est intégrable sur A y ; et y A y f(x, y)dx est intégrable sur Rq, on a l égalité : R p 2.3 Changement de variable ( ) f(x, y)dy dx = A x R q ( A y f(x, y)dx Le théorème de changement de variables classique, pour les fonctions de la variable réelle, se généralise aux intégrales multiples. Théorème 5 Si ϕ : U V est un C 1 -difféomorphisme mesurable entre deux ouverts U et V de R n, dont on note ϕ le jacobien, et f : V R une fonction intégrable, alors x f ( ϕ(x) ) ϕ (x) est intégrable sur U et f(y)dy = f ( ϕ(x) ) ϕ (x) dx. V U Un exemple d application très utile de ce résultat est le passage des ( coordonnées cartésiennes ) aux polaires, donné par le C 1 -difféomorphisme φ : R + ] π, π[ R 2 \ ], 0[ {0} tel que φ(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ). ) dy. Exercice 6 1. Déterminer la matrice jacobienne de φ. En déduire, pour f : R 2 R intégrable, f(x, y)dxdy = R 2 2. Établir l égalité R + [ π,π] R 2 e (x2 +y2) dxdy = π. 5 f(ρ cos θ, ρ sin θ)ρ dρ dθ.

6 + 3. En déduire la valeur de e x2 dx à l aide du théorème de Fubini. 0 Dans le même genre d idée, on pourra calculer l aire de la portion de plan D = {(x, y) [0, 1] 2, x 2 + y 2 1}, après l avoir représentée, en utilisant la symétrie de cet ensemble par rapport à la diagonale. Il y a bien sûr d autres changements de variables possibles, à adapter selon les circonstances, par l exemple dans l exercice suivant. Exercice 7 Soit f la fonction définie de C = [0, 1] 2 dans R par f(x, y) = { xy x+y si (x, y) (0, 0) 0 sinon. a) Montrer que f(x, y) x pour tout (x, y) [0, 1] 2. En déduire que f est continue et intégrable. b) Montrer que I = C f(x, y)dxdy = 2 T f(x, y)dxdy, où T = {(x, y) C, y x}. c) On note T = {(x, y) ]0, 1[ 2, y < x} l intérieur de T. Montrer que l application φ : C C, (u, v) (u, uv), définit un C -difféomorphisme de ]0, 1[ 2 dans T, de jacobien φ (u, v) = u. d) En déduire, à l aide du théorème de changement de variable, que I = 2 3 (1 ln 2). 3 Intégrales dépendant d un paramètre En guise d illustration de la théorie des fonctions de plusieurs variables, voici deux théorèmes extrêmement utiles en analyse, et à connaître parfaitement pour pouvoir en vérifier les hypothèses avant de les appliquer. Théorème 6 Soient I un intervalle de R, a b deux nombres réels et K une fonction numérique définie et continue sur I [a, b]. Alors la fonction f définie sur I par f(x) = b a K(x, t) dt est continue. Noter que c est la continuité de K en tant que fonction de deux variables qui doit être satisfaite. Théorème 7 On conserve les hypothèses du théorème précédent et on suppose de plus que la dérivée partielle de K par rapport à x existe et est continue sur I [a, b]. Alors la fonction f définie sur I par f(x) = b a K(x, t) dt est de classe C1 et pour tout x I : f (x) = b a K (x, t) dt. x Ces théorèmes ne s étendent pas aux intégrales généralisées. Ainsi on montre, par des changements de variables adéquats, que + sin(xt) 0 t dt vaut π 2 pour x > 0 et π 2 pour x < 0, donc n est pas continue en 0, bien que K(x, t) = sin(xt) t si t > 0, x si t = 0, soit continue sur R [0, + [. Exercice 8 1 e (1+t2 )x 2 On considère la fonction f(x) = t 2 dt. 1. Justifier que f est définie dérivable sur R et exprimer sa dérivée à l aide de g(x) = x 0 e t2 dt (à laquelle on pourra appliquer le changement de variable u = t x lorsque x 0). 6

7 2. En déduire que f(x) = π 4 g2 (x) pour tout x R. 3. Établir que pour t [0, 1] et x assez grand, e (1+t2 )x 2 1 ; en déduire que lim f(x) = 0. x 2 x + 4. Montrer la formule : + e t2 dt = 0 π 2. 7