Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

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1 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n appartient pas à (P). Un vecteur normal à (P) est n ( ; ; ). H est le projeté orthogonal de A sur (P) si, et seulement si, AH est colinéaire à n. On a : AH( ; 9 ; 6). Il est clair que les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. H n est pas le projeté orthogonal de A sur (P) : la proposition est fausse.. On considère l équation différentielle (E) : y = y. Cette équation s écrit : y = y+ qui d après le cours, a pour solutions : u(x)=ke x +, k R. La condition ( u()= ) donne k+ = donc k =. Par conséquent : u(x)= e x + = e x. ln Alors : u = e ln = e ln = = donc la proposition est vraie.. On considère la suite (u n ) définie par u = et, pour tout entier naturel n, u n+ = 7u n. Effectuons une démonstration par récurrence. Soit P n la proposition : «u n 7» (initialisation) u = donc u 7. P est vraie. (Hérédité ) Supposons P n vraie pour un rang n. Alors : u n 7. En multipliant par 7, on obtient : 7u n 79. Comme la fonction racine carré est croissante sur son ensemble de définition, on en déduit : 7u n 49 = 7 donc la proposition est vraie au rang n+. On a montré que la par récurrence que la proposition est vraie pour tout n, donc la proposition est vraie. EXERCICE Pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité mathématiques. a. r est la rotation de centre O et d angle π. Une écriture complexe d une rotation de centreω(ω) et d angle θ est z ω=e iθ (z ω) donc une écriture de r est : z = e i π z. b. B a pour affixe z B = e i 5π 6 et C est l image de B par r. On en déduit : z C = e i π e i 5π 6 = e i π 6. z C = e i π 6. c. z B = d. voir figure à la fin i et z C = i.. a. D est le barycentre des points A, B et C affecté des coefficients, - et. Par conséquent : O A OB+OC = ( +) ( OD qui se traduit par l égalité sur les affixes : za z B +z C = z D d où z D = (z A z B + z C )= ) i+ + i+ i = + i. z D = + i. b. z A = i = ; z B = e i 5π 6 = car, pour tout x, e ix =. De même, z C = = ; z D = e i π 6 donc z D =. e i π 6 Les quatre points A, B, C et D sont sur le cercle centre O et de rayon.. a. h est l homothétie de centre A et de rapport. Une écriture complexe de h est : z z A = (z z A ) donc z i (z i) soit : z = z i. b. E est l image de D par h. On a : z E = z D i= +i i=. z E =.

2 Baccalauréat S A. P. M. E. P. 4. a. = + i + i ( ) i z E z C + = i + = i i i = + i = π ei. b. On en déduit : z E z = CD e C CE = i π = donc CD = CE. ( ) zd z ( C ( ) arg = CE ; CD )=arg e i π = π à kπ près. z E z C CDE est isocèle et l angle au sommet vaut π : c est un triangle équilatéral. z E z C = e i π. A v D O u E B C EXERCICE Pour les candidats ayant choisi la spécialité mathématiques. f est la transformation dont une écriture complexe est : z = ( i)z+. Cette écriture est de la forme z = αz+β avec α= i et β= donc f est une similitude directe. Elle a pour point fixeωd affixe ω avec ω= β α = ( i) = +i = i = i. Le rapport de cette similitude est α = i = ( i) = i =. α= i= ( ) i = e i π 4. Un argument de α est π 4. f est la similitude directe de point fixeω ( 5 5 ) i, de rapport et d angle π 4.. a. Soit B l image de B par f : z B = ( i)z B + = ( i)( 4+i)+= +i. z B = +i. z B z C b. = +i 4i = 4+8i = 4( i) = 4 = 4i. z A z C +5i 4i +i i( i) i ( ) ( ) On en déduit que C A ; CB zb z C = arg = arg(4i)= π + kπ, k Z. z A z C Par conséquent, les droites (CB ) et (CA) sont orthogonales.. Soit M d affixe z = x+iy. M = f(m) a pour affixe z avec z = ( i)z+=( i)(x+iy)+=x+y++i(z x). C M a pour affixe z z C = x+ y+ (x y 4)i. C A a pour affixe z C A = a c = +i. Les coordonnées des vecteurs C M et C A sont respectivement (x+ y ; y x 4) et ( ; ). C M et C A sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul, c est-à-dire si et seulement si (x+ y)+y x 4= soit x+ y = après simplifications. 4. Soit l équation (E) ; x+ y =, où x et y sont des entiers relatifs. a. 4+ = 4+6= donc ( 4 ; ) est solution de (E). Amérique du Nord Page /6 mai 7

3 Baccalauréat S A. P. M. E. P. b. (E) s écrit alors : x+ y = 4+, c est-à-dire x+ 4=( y). divise ( y) donc divise x+ 4. Il existe k Z tel que x+ 4=k. En remplaçant dans l équation, on obtient : k = ( y) d où y = k qui donne y = k. L ensemble des solutions de (E) est S = {( 4+k ; k), k Z} c. On cherche les couples solutions de (E) vérifiant 5x 5 et 5 y k 5 donne k 9 d où k. Alors k { ; ; ; }. 5 k 5 donne 7 k d où k 7. Finalement, les valeurs possibles pour k sont,, ou. Les points M dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l intervalle [-5 ; 5] et tels que les vecteurs C M et C A soient orthogonaux sont les points de coordonnées (-4 ; ), (- ; ), ( ; ) et (5 ; -). Remarque : on retrouve le point B qu on avait trouvé à la question ) a). EXERCICE, E (X = ), E,9, E,9 E,95 E (X = ) E (X = ) E (X = ),8, E (X = ) E,9 E (X = ) E,95 E (X = ) E,95 E (X = ). Représentons un arbre : (voir ci-dessus) X est la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties. a. X peut prendre les valeurs,, ou. b. (X = )=(E E E ) (E E E ) (E E E ). C est une réunion d événements incompatibles, donc : p(x = )=p(e E E )+ p(e E E )+ p(e E E )=(,,,9)+(,, 9 )+(,8,)=,. p(x = )=,. De même : p(x = )= p(e E E )=,,,=,. Amérique du Nord Page /6 mai 7

4 Baccalauréat S A. P. M. E. P. c. p(x = )= p(e E E )=,8,95,95 =,7. p(x = ) [p(x = )+ p(x = )+ p(x = )]= (,7+,+, ) =,45. On en déduit la loi de probabilité de X, résumée dans le tableau suivant : d. L espérance de X est E(X )= E(X )=,. x i p(x = x i ),7,45,, x i p(x = x i )=(,7)+(,45)+(, )+(, ) =,. i=. a. Pour tout n non nul, p(e n E n+ )= p En (E n+ ) p(e n )=, p(e n )=,p n. De même : p(e n E n+ )= p En (E n+ ) p(e n )= ( p(e n ))= ( p n ). b. On a : E n+ = (E n E n+ ) (E n E n+ ) (réunion d événements incompatibles). Par conséquent : p n+ = p(e n+ )= p(e n E n+ )+ p(e n E n+ )=,p n + ( p n )= p n +. Soit la suite (u n ) définie pour tout entier naturel n non nul par : u n = p n 9. a. Pour tout n, u n+ = p n+ 9 = p n + 9 = p n+ 9 = p n 8 = u n. [ p n ] = 9 Pour tout n, u n+ = u n donc (u n ) est une suite géométrique, de raison q = et de premier terme u = p 9 =, 9 = 5 9 = ( ) n et p n = u n + 9 = ( ) n. 95 b. On en déduit : u n = u q n donc u n = 4 95 c. < ( ) n < donc lim = et par conséquent : lim n + p n = n + 9. EXERCICE 4 7 points. Restitution organisée de connaissances. a. Soit la fonction définie sur [ ; + [ par g (x)= e x x. g est dérivable comme différence de fonctions dérivables ; pour tout x de [ ; + [, g (x) = e x x > puisque e x > x pour tout x. g (x) est donc positif et g est croissante sur [ ; + [ ; g()= donc, pour tout x, g(x) g ()= donc g (x)>. b. On en déduit que, pour tout x, e x x ex. Pour x >, en divisant par x, on obtient : x > x. Comme x e x lim =+, d après le pré-requis, on en déduit lim x = +.. Soit f la fonction définie sur [ ; + [ par f (x)= 4 xe x. a. La fonction exponentielle est positive sur [ ; + [ donc, pour tout x de [ ; + [, f (x). b. Pour tout x, f (x)= x x e. On pose X = x. lim X =+. Par conséquent, d après le théorème sur la composition des limites, on a : lim f (x)= lim X + X X e X = lim X + e X. e x On a vu dans la question. que lim =+ donc x lim X X + e X =. Par conséquent : lim f (x)=. La courbe C admet donc une asymptote d équation y = en+. Amérique du Nord Page 4/6 mai 7

5 Baccalauréat S A. P. M. E. P. c. f est dérivable sur [ ; + [ comme produit et composée de fonctions dérivables. f = 4 uev en posant u(x)= x et v(x)= x. Alors f = 4 (uev ) = ( u e v + u v e v). 4 Pour tout x, on en déduit : f (x)= ( ( e x + x ) ) e x = ( ) 4 4 x x e = 8 ( x x)e. e x > donc f (x) est du signe de x donc positif pour x, nul en et négatif pour x. f est croissante sur [ ; ] et décroissante sur [ ; + [. Tableau de variations : x + f (x) + e f (x) ր ց x. Soit F la fonction définie sur [ ; + [ par ; F (x) = f (t) dt. a. F est la primitive de f qui s annule en donc F = f. Comme on a montré que f était positive, F est positive et F est croissante. x b. Pour tout x, F (x)= t 4 te. Posons α(t)= t d où α (t)= 4. A n = β (t)= 4 e t d où β(t)= e t. α et β sont continues donc on peut effectuer une intégration par parties. [ Alors : F (x)= ] x t te + x e t dt = x xe + [ ] e t x = x e x x e. ( c. lim x ) = donc par composition avec la fonction exponentielle, lim x e =. x x On a vu précédemment que lim e = donc lim F (x)=. On en déduit le tableau de variations de F : x + F (x)= f (x) + F (x) ր d. F est continue puisque dérivable ; F est strictement croissante ; F () = et lim F (x)=. D après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel positif α tel que F (α) =, 5. À la calculatrice, on trouve : α.6 à, près par excès. n f (t) dt = F (n) F () = F (n) car F () =. D après la question précédente, le plus petit entier n pour lequel A n,5 est n= 4. Amérique du Nord Page 5/6 mai 7