Représentation géométrique d un nombre complexe

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1 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres qui s écrivent a + ib où a et b sont des nombres réels.. Représentation géométrique d un nombre complexe Dans le plan muni d un repère orthonormé ( O ; u, v), à tout point M de coordonnées ( a, b), on associe le nombre complexe tel que = a + ib. On dit que M est l image du nombre complexe et que le nombre est l affixe du point M. De même, le vecteur OM est l image de et est l affixe de OM. L écriture a + ib est l écriture algébrique du nombre complexe L abscisse du point M est la partie réelle de notée Re( ). L ordonnée du point M est la partie imaginaire de notée Im( ). Remarque : Les parties réelle et imaginaire d un nombre complexe sont des nombres réels Conséquences M( a, b) et M ( a, b ) confondus a = a et b = b = a+ ib et = a + ib égaux M = O a = 0 et b = 0 = 0. M ( O, u ) b = 0 Im( ) = 0. L axe ( O, u ) est appelé l axe réel. M ( O, v ) a = 0 Re( ) = 0 i. Dans ce cas on dit que est un imaginaire pur et que l axe ( O, v ) des imaginaires ou l axe des imaginaires purs. est l axe

2 cours savoir-faire exercices corrigés Les points M( a, b) et M ( a, b) sont symétriques par rapport à O, leurs affixes sont opposées. Le point N( a, b) est l image du nombre complexe appelé conjugué de et noté. Les points M( a, b) et N( a, b) sont symétriques par rapport à l axe réel. b M( ) axe réel v O u a M ( ) axe imaginaire N( ) exemple d application 1. Écrire les nombres complexes, affixes respectives des points : A(0 ; ) ; B( ; 0) ; C(3 ; ) ; D(3 ; ) et E(0 ; ).. Reconnaître s il y a lieu des nombres conjugués. 1. L affixe du point A est = i ; l affixe du point B est B = ; A celle de C est C = 3 i ; celle de D est D = 3+ i et celle de E est E = i.. = et C = D. A E 11

3 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES Formes trigonométriques 1. Formes trigonométriques Soit un repère ( O ; u, v) orthonormé du plan. Un point M distinct de O est repéré de deux façons, soit par ses coordonnées cartésiennes ( a, b) soit par ses coordonnées polaires ( r, θ). Soit M l image du nombre complexe tel que = a + ib. On pose OM = r avec r 0. Le nombre positif r est appelé module de et noté. Le nombre réel θ est une mesure de l angle ( u, OM). Cette mesure est définie à k près avec k et est appelée argument de et on écrit : arg = θ ( ). Remarque : La notion d angle de vecteurs nécessite une orientation du plan (l orientation trigonométrique est la plus souvent utilisée.) + b M En projetant M sur chacun des axes, on obtient : a = rcosq et b = rsinq r d où = r( cosθ + i sinθ) et d après le théorème de v Pythagore = a + b θ O a ( r = OM = OM = ). u Sachant que r 0, on appelle forme trigonométrique du nombre complexe l écriture r( cosθ + i sinθ).. Propriétés du module et d un argument d un nombre complexe = 0 = 0. = = =, quel que soit. L argument de éro n est pas déterminé. Si 0, Si 0, arg( ) arg( ) = = arg + arg. ( ). = r = r r( cosθ + i sinθ) = r ( cosθ + i sinθ ) θ = θ ( ). 1

4 cours savoir-faire exercices corrigés 3. Passage de l écriture algébrique à une forme trigonométrique = a+ ib avec a b a b = +, d où = i a + b a + b Soit θ le nombre exprimé en radians tel que : a cosθ = a + b alors = ( cosθ + i sinθ). b sinθ = a + b Remarque : Il est nécessaire d avoir en tête les sinus et cosinus des valeurs particulières des angles. exemple d application Placer dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O ; u, v) les points M, N et R définis par OM = et ( u, OM) = -- [] ; ON = 1 et 4 ( u, ON) = -- [] et OR = 3 et ( u, OR) = []. 3 Le point M appartient au cercle de centre O et de rayon et à la bissectrice du premier quadrant. Le point N appartient au cercle trigonométrique et à la demi-droite [Oy ). Sur le cercle de centre O et de rayon 3, on reporte deux fois le rayon à partir de A(3 ; 0) dans le sens trigonométrique, on obtient ainsi le point R. R v O y N u y M A 13

5 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 3 Opérations dans 1. Addition des nombres complexes L addition des nombres complexes possède les mêmes propriétés que l addition dans. L ensemble est contenu dans. Tout nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle. Soit les vecteurs OM et OM d affixes respectives a + ib et a + ib. Le vecteur ( OM + OM ) a pour coordonnées ( a+ a, b+ b ) donc si = a+ ib et = a + ib, le nombre complexe + est tel que Re( + ) = a+ a et Im( + ) = b+ b d où + = ( a+ a ) + i( b+ b ). OS est l image de +. b+ b S MM. est l image de b M b v M O u a a a+ a + = + ; + = Re( ) ; = i Im( ).. Multiplication des nombres complexes La multiplication des nombres complexes possède les mêmes propriétés que la multiplication dans. = ( a + ib) ( a + ib ) = aa bb + i( ba + ab ). Remarque : aye toujours à l esprit que i = 1 et que i ne doit pas figurer dans un résultat ni aucune autre puissance de i. = ; = a + b = 14

6 cours savoir-faire exercices corrigés Si 0 et 0 et = r( cosθ + i sinθ) et = r ( cosθ + i sinθ ), alors = rr ( cos( θ + θ ) + i sin( θ + θ )). Donc : = et arg( ) = arg+ arg ( ) 3. Division de deux nombres complexes La division de deux nombres complexes a les mêmes propriétés que la division dans. 1 Tout nombre complexe non nul admet un inverse -- tel que : 1 1 a b -- = = i a + ib a + b a + b Remarque : cette écriture algébrique s obtient en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur. Si 0, = --- = aa + bb a b ab i a + b a + b Si 0, --- = donc, si 0, 1 -- et arg --- = arg arg ( ), 1 1 = ---- et arg -- = arg ( ). --- = --- Exemple d application 4 3i Soit Z le nombre complexe tel que Z = i Calculer Z et donner l écriture algébrique de Z. Indication : On applique la propriété --- = i 4 Z = = = = d où : Z = i Indication : On applique la propriété ---. = i 4+ 3i 4+ 3i ( 4+ 3i) ( 1 i) 7 Z = = = = d où : Z = i. i + i 1 ( + i) 4 4 Conseil : N oublie pas que = donc que ( 1+ i) ( 1 i) s écrit sans calcul. On pouvait aussi mettre Z sous forme algébrique et écrire ensuite Z. 15

7 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 4 Formes exponentielles 1. Formes exponentielles Soit la fonction f : θ cosθ + i sinθ. f( θ) f( θ ) = ( cosθ + i sinθ) ( cosθ + i sinθ ) f( θ) f( θ ) = ( cosθcosθ sinθ sinθ ) + i( sinθ sinθ + cosθ cosθ ) f( θ) f( θ ) = cos( θ + θ ) + i sin( θ + θ ). Donc f( θ) f( θ ) = f( θ + θ ). Cette relation fonctionnelle étant caractéristique des fonctions exponentielles on pose : Tout nombre complexe non nul de module r est tel que = r( sinθ + i sinθ). re iθ L écriture est une forme exponentielle du nombre complexe. Remarques : Cette écriture est à privilégier dans des calculs de quotients ou de puissances de nombres complexes. Tous les nombres complexes e iθ ont pour module un et pour images des points du cercle trigonométrique. De part l introduction de l écriture exponentielle : e iθ e iθ = e i( θ + θ ) ; = e i( θ θ ) ; ( e iθ ) n = e inθ avec n. Formules d Euler : e iθ e iθ e iθ = sinθ + i sinθ cosθ e iθ e iθ + e iθ e = ; sinθ = iθ. i re iθ = r e iθ r = r θ = θ ( ).. Résolution d une équation de type n = a Si n avec n, et a, on écrit et a sous forme exponentielle. 16

8 cours savoir-faire exercices corrigés Soit = re iθ et a = ρe iα. n = a r n e inθ = ρe iα r n = ρ nθ = α + k avec k r n = ρ soit α θ = -- + k avec k. n n L équation admet alors n solutions en donnant à k, n valeurs consécutives. exemple d application Résoudre dans l équation 3 = 8i. Donner les solutions sous forme algébrique. On pose = re iθ avec r 0 et i = e i = 8i r 3 e i3θ = 8e i -- r 3 = 8 3θ = -- + k avec k r = soit θ = -- + k , k. 6 3 Pour k = 0, e i 6 -- = = cos -- + i sin = 3+ i ; pour k = 1, e i = = cos i sin = 3 + i ; 6 6 pour k =, e i = = cos i sin = i. S = { i ; 3+ i ; 3 + i}. 17

9 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 5 Résolutions d équations dans 1. Équations du premier degré Toute équation du premier degré d inconnue se ramène à a + b = 0 avec a et b. b Cette équation a pour solution = --. a Remarque : Il est souvent inutile de poser = x+ iy et de déterminer ensuite x et y par identification des parties réelles et imaginaires. Donner la solution sous une des trois formes algébrique, trigonométrique ou exponentielle.. Équations du second degré à coefficients réels Toute équation du second degré d inconnue se ramène à avec a, b et c. a + b + c = 0 Discriminant Solutions 0 = 0 0 b + x = x = a x = x = b a b x = x = a b + i a b i a Remarques : Si 0, les solutions sont des nombres complexes conjugués non réels. Veille à ne pas introduire le nombre complexe i sous un radical. existe si 0, on peut aussi écrire Équations dont le degré est strictement supérieur à Les méthodes de résolution sont souvent les mêmes que dans : il faut d abord essayer de factoriser, voir s il y a une identité remarquable, chercher une racine évidente. On désire donc se ramener à des produits de facteurs du premier degré ou du second degré. Remarque : il faut penser que 1 = i et donc que + 1 est factorisable dans alors qu il ne l est pas dans.

10 cours savoir-faire exercices corrigés Résoudre dans l équation exemples d application On regroupe les termes faisant intervenir : Indication : on calcule on peut écrire ( 1 i) + 3 = + i. ( 1 i)+ = 3 + i soit ( i) = 3 + i 3 + i ( 3 + i) ( + i) 7 1 d où = = = -- --i. i S = -- --i 5. 5 Résoudre dans l équation + 1 = 0. = 3i. = b 4ac = 1 4 = 3, 0 ; Indication : on sait alors que les solutions de l équation sont deux nombres complexes conjugués. Conseil : ne pas oublier la valeur absolue. 1 b + i 1+ i 3 = = a 1 i 3 = 1 = i 3 S ; 1 i 3 =

11 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 6 Transformations ponctuelles 1. Transformation et application associée Soit f une application définie par : f( ). Le point M étant l image de et M l image de tel que = f ( ), on définit dans le plan la transformation T associée à f, qui à M fait correspondre M.. Transformations usuelles Soit un repère orthonormé ( O ; u, v) direct. Transformation T Éléments caractéristiques Définitions de T avec M = T( M) Écritures complexes de T avec M( ) et M ( ) Translation Un vecteur non nul d affixe u u MM = u = + u Homothétie Un point Ω d affixe ω et un réel k 0 ΩM = kωm ω = k ( ω) ou bien = k + b avec b Rotation Un point Ω d affixe ω et un angle de mesure θ à près ΩM = ΩM ( ΩM, ΩM ) = θ ω = e iθ ( ω) ou bien = e iθ + b avec b. Symétrie d axe réel L axe réel OM = OM ( u, OM) = ( u, OM ) = 0

12 cours savoir-faire exercices corrigés exemple d application Parmi les écritures complexes suivantes, reconnaître les transformations et donner pour chacune d elles les éléments caractéristiques Indication : comme le coefficient de est 6, alors la transformation associée est une homothétie de rapport 6. Pour trouver son centre, qui est le seul point invariant de la transformation, on résout «l équation aux points fixes» c est-à-dire celle traduisant M = M donc =. Par suite = 6 + 3i soit 7 = 3i, 3 d où = -- --i L homothétie est celle de rapport 6 et de centre W d affixe -- --i Indication : comme le coefficient de est le nombre complexe i dont l écriture exponentielle est e i 6 --, alors la transformation associée à l écriture complexe est une rotation d angle Pour trouver son centre, on résout «l équation aux points fixes». = e i i soit i 4 + i = 4 + i d où = , i soit d où = 6 + 3i. 3 1 = i 4 + i. ( 4 + i) i = = i , = 4 3 i ( 3+ 3). La rotation est celle de centre Ω d affixe 4 3 i ( 3+ 3) et d angle

13 CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 7 Interprétations géométriques On se place dans un repère orthonormal ( O ; u, v). 1. Interprétation géométrique d une égalité de modules Soit A, B et M trois points d affixes respectives a, b et m. Si m a = m b, alors AM = MB ce qui signifie que le point M appartient à la médiatrice du segment [ AB]. Si m a = r, avec r +, AM = r donc le point M appartient au cercle de centre A et de rayon r.. Interprétation géométrique du quotient de deux nombres complexes Les points M et M ont pour affixes respectives et. Soit Z = --- avec 0 et 0. argz = arg arg = ( u, OM) ( u, OM ) () argz = ( u, OM) + ( OM, u ) = ( OM, OM) (). Remarque : un argument d un quotient de deux nombres complexes non nuls est un angle de vecteurs. Soit les points A( A ), B( B ), C( C ) et D( D ) avec A B et C D. Alors : A C arg B D = ( DC, BA) ( ) 3. Figures particulières (ABC est un triangle rectangle et isocèle direct en B) A B C B = e i -- = i. (ABC est un triangle équilatéral) B A = C B = C A. (ABC est un triangle équilatéral direct) C A B A = e i (ABC est un triangle équilatéral direct) C A arg = -- et A B arg = --. B A 3 C B 3 (ABCD est un parallélogramme) AB = DC B A = C D.

14 cours savoir-faire exercices corrigés exemples d application Quelle est la nature du triangle ABO sachant que les points A et B ont pour affixes respectives 3+ i et i? 0 A Indication : on explicite le complexe Z tel que Z = , puis on en détermine son module et un argument. B A Indication : les nombres complexes 3 i et 3 + i sont conjugués donc leurs modules sont égaux et leurs arguments opposés, donc Z = 1 soit : 0 A = B A OA = OB. arg( 3 i) i 5 = arg = (), 6 or argz = arg( 3 i) arg( 3 + i) = arg( 3 i), soit argz 5 = () d où argz = -- (). 6 3 soit argz = ( u, AO) ( u, AB) = ( AB, AO) d où ( AB, AO) = -- (). 3 Par suite le triangle AOB est équilatéral. Soit A, B et C les points d affixes respectives 1 + i, + i et 1 i. Quelle est la nature du triangle ABC? AO AB 3 i 3 i Z = = i 3 i 3 + i De plus argz = arg = arg( ) arg( ) AO AB Il est souhaitable de placer les points dans un repère pour bien poser le problème. BA On calcule le nombre complexe Z tel que Z = BC 1+ i ( + i) 3+ i ( 3+ i) ( 1+ 3i) Z = = = , 1 i ( + i) 1 3i 10 10i d où = = i ; on en déduit que ( BC, BA) = -- (). 10 De plus i = 1 BA = BC BA = BC. Le triangle ABC est donc rectangle et isocèle en B. 3