Fonctions de plusieurs variables

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1 Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les consulter! 1 Continuité, différentiabilité, calculs de dérivées partielles Exercice 1 Étudier la continuité et l existence de dérivées partielles (à calculer le cas échéant!) et enfin le caractère C 1 pour les applications suivantes de R 2 dans R : 1. (x, y) max(x, y) ; x 4 y 2. (x, y) x 6 + y 4 si (x, y) (, ) sinon 3. (x, y) x + y ; 4. (x, y) ln(1 + x 2 + y 2 ). Exercice 2 Ballade elliptique 1. Soit P R 2 (assimilé au plan P...) et ϕ : P R, M P M 2. Montrer que ϕ est de classe C 1 et calculer son gradient. On donnera une version «coordonnées» et une version «développement limité» avant de constater que la seconde est bien meilleure! 2. Soit (I, f) un arc paramétré de classe C 1 ne passant pas par P. Montrer que l application t P M t est de classe C 1, et donner sa dérivée. 3. Application : montrer( que si P appartient à une ellipse de foyers F et F, alors la normale à E en P est bissectrice de MF, MF ). Exercice 3 Montrer que l application «déterminant» est de classe C 1 sur M n (R). onner son gradient en un point A M n (R), puis en particulier en l identité. En quels points ce gradient est-il nul? Exercice 4 Calculer i+j f x i (x, y), avec f(x, y) = sin(αx + βy). yj Exercice 5 Soit f C 1 (R 2, R). 1. Montrer que l application g : (x, y) f(x + y, x) est de classe C 1, et déterminer ses dérivées partielles. 2. Même chose sur (R +) 2 avec l application h : (x, y) (f(x/y, y/x), f(sin x, y x)) (donner sa jacobienne). Exercice 6 Soit f de classe C 1 sur Ω, un ouvert de R 2 connexe par arc. On suppose que f est de gradient nul. Que dire de f? Exercice 7 Fonctions harmoniques à symétrie radiale éterminer les fonctions de classe C 1 sur R 3, à symétrie radiale par rapport à l origine, et de laplacien nul. Exercice 8 Soient f C 2 (R 2, R) et g C 2 (R, R). Montrer que g f est de classe C 2 et calculer (g f). 1

2 Exercice 9 «Calculer le laplacien en polaire». On suppose f C 2 (R) puis on pose g(r, θ) = f(r cos θ, r sin θ). Calculer le laplacien de f en (r cos θ, r sin θ) à l aide de r, θ, et d informations sur g en (r, θ). Exercice 1 CCP 29 xy On pose f(x, y) = si (x, y) (, ) et f(, ) =. x2 + y2 1. Montrer que f est continue sur R Montrer que ses dérivées partielles existent sur R 2. Je pense deviner la suite... Exercice 11 Soit f : (x, y) R 2 x 2 y. Comparer f x (x2, y) et x f(x2, y). f(x) f(y) Exercice 12 Soit f C n+1 si x y (R, R). On définit g : (x, y) x y f (x) sinon Montrer que f est de classe C n. On pourra utiliser la formule de Taylor avec reste intégrul. Exercice 13 On définit, pour (x, y) (, ) : f(x, y) = xy x2 y 2 x 2. Montrer que f admet un prolongement continu sur R 2, puis que ce prolongement est de classe C 1, possède des dérivées partielles d ordre + y2 2, mais : 2 f x y (, ) 2 f (, ) y x 2 Extrema, points critiques Exercice 14 éterminer les points critiques et extrema locaux/globaux des applications suivantes : 1. (x, y) R 2 x 4 + x 5 + y 4 ; (x, y) R 2 x 2 + x 19 y 2 ; 2. (x, y) R 2 x 17 + y 17 ; (x, y) R 2 x 19 y 16 + y 512 ; 3. (x, y) R 2 sin(x 2 + y 2 ) ; 4. (x, y) R 2 x 2 y 2 x 2 y ; 5. (x, y) R + R x y. Exercice 15 Un maximum sur un simplexe éterminer le maximum du produit x 1...x n, pour (x 1,..., x n ) [, 1] n vérifiant x x n = 1. On se ramènera à une fonction continue sur un ouvert de R n 1... Exercice 16 CCP Soit f C 2 ([a, b], R) telle que f(a) = f(b) =, et f(c) = pour un certain c ]a, b[. Montrer qu il existe x ]a, b[ tel que f (x) =. 2. Soit f une fonction de classe C 2 sur le disque unité fermé telle que f(, ) =, avec f nulle sur le cercle unité. Montrer qu il existe un point du disque ouvert en lequel f s annule. Exercice 17 Mines éterminer les extrema locaux de f : (x, y) R 2 x 3 + y 3 + y 2 x Soit = {(x, y) R 2 ; x y 1}. éterminer les extrema globaux de g : (x, y) x 3 + x(y 3 x) y 3. Exercice 18 Mines 21 Soient a et b deux points distincts de l espace euclidien E. éterminer les points critiques de l application x E \ {a, b} x a + x b. 2

3 3 Équations aux dérivées partielles Exercice 19 Résoudre sur R 2 \ {(, )} : Quelles solutions sont prolongeables sur R 2? x f f (x, y) + y x y (x, y) = x 2 + y 2. Exercice 2 Équation de propagation éterminer les applications f C 2 (R 2, R) vérifiant : (x, t) R 2, 2 f x 2 (x, t) = 1 2 f c 2 (x, t). t2 On effectuera le changement de variables (u, v) = (x ct, x + ct). Exercice 21 En passant en polaire, résoudre sur R + R : x f x + y f y = y x Exercice 22 Mines 21 éterminer les solutions f : (R +) 2 R de classe C 2 de l équation aux dérivées partielles : x 2 2 f x 2 y2 2 f y 2 =. 4 Courbes et surfaces : aspects différentiels Exercice 23 Étudier au voisinage de (, ) l ensemble des (x, y) tels que e x y = 1 + 2x + y. On montrera en particulier que c est localement une courbe de classe C 1, dont on déterminera la tangente en l origine, avec les positions relatives. Exercice 24 Étudier au voisinage de (, ) l ensemble des (x, y) tels que cos(x + y) + sin(x y) = 1. Exercice 25 Étudier l ensemble E des couples (x, y) (R +) 2 tels que x y = y x. On pourra : 1. Étudier f : x > ln x, et en déduire de premiers résultats sur E. x 2. Montrer que le gradient de (x, y) x y y x s annule en exactement un point : (e, e). 3. En déduire que E est constitué de sa branche triviale, ainsi que de deux autres branches de classe C. 4. Montrer que les deux branches non triviales se joignent en une branche continue, puis de classe C. Exercice 26 Soit f C 1 (R, R). Montrer que si y = f(z ) + x z, alors l équation y zx = f(z) définit localement z comme une fonction implicite de x et y. Montrer qu on a alors z x + z z y =. Exercice 27 Soit S { la surface d équation 2x 2 + 3yz 4z = 1. Trouver les plans tangents à S contenant y = 2 la droite d équations 4x = z 3

4 Exercice 28 Contour apparent d un hyperboloïde à deux nappes{ z = Soient H d équation x 2 y 2 z 2 = 1 et la droite d équations éterminer les points M 2x + y = de S tels que le plan tangent à S en M est parallèle à. Exercice 29 Soit C l intersection des deux cylindres x 2 + y 2 + xy = 1 et y 2 + z 2 + yz = éterminer en tout M C un vecteur dirigeant la tangente à C en M. 2. Montrer que C est la réunion de deux courbes planes. Exercice 3 éterminer explicitement une équation paramétrée de l intersection I de la sphère d équation x 2 + x 2 + z 2 = 1 et du cylindre d équation (x 1) 2 + y 2 = 1. éterminer de deux façons différentes la direction de la tangente à I en un point M I. 5 Intégrales multiples Exercice 31 CCP Calculer x cos(xy) cos 2 (rx)dxdy, avec = [, 1/2] [, r]. Exercice 32 CCP Calculer (x 2 y 2 )dxdy, avec = {(x, y) R 2 x 2 } a 2 + y2 b 2 1. Exercice 33 ENSAM dxdy Calculer (1 + x 2 + y 2 ) 2, avec = { (x, y) R 2 y x 2 + y 2 1 }. Exercice 34 Calculer dxdy (1 + x 2 )(1 + y 2 ), avec = { (x, y) R 2 x y 1 }. Exercice 35 CCP { } Calculer x2 + y 2 + a 2 dxdy, avec = (x, y) R 2 x 2 + y 2 a 2 et x 2 ay. Exercice 36 Calculer l aire de la partie «en haut à droite» du disque unité délimitée par l hyperbole 3 d équation xy = 4 Exercice 37 Soit E une ellipse de centre O, et F son image par la rotation de centre O et d angle π/2. éterminer l aire de E F. Vérifier la cohérence du résultat lorsque l excentricité est élevée (b << a). Exercice 38 éterminer l aire de l intérieur de la cardioïde d équation ρ = 1 + cos θ. Exercice 39 Représenter et déterminer l aire de la partie de R 2 : = {(x, y) R 2 x + y 1 et 1 x + 1 y 1}. Exercice 4 Ça donne envie... Calculer le volume de l intersection K du cylindre d équation x 2 +y 2 ay et de l ellipsoïde d équation b 2 (x 2 + y 2 ) + a 2 z 2 a 2 b 2. Exercice 41 CCP 21 Calculer (1 + xy)dxdy, avec = {(x, y) (R + ) 2 ; x + y 1}. Exercice 42 X 21 (PC) 4

5 1. Soit I : y R + e x2 /2 e ixy dx. Justifier l existence de I(y), et le calculer. 2. On munit R n du produit scalaire euclidien canonique < > et on fixe A S n ++ (R). On définit par ailleurs J : Y = (y 1,..., y n ) R n e <X AX> e i<x Y> dx 1...dx n. Justifier l existence de J(Y ) et le calculer. Exercice 43 Mines Pour z et z complexes de parties réelles >, établir l existence de Γ(z) = B(z, z ) = 1 t z 1 (1 t) z 1 dt. 2. Pour p, q complexes de partie réelle >, montrer : B(p, q)γ(p + q) = Γ(p)Γ(q). 6 Formes différentielles, intégrales curvilignes + t z 1 e t dt et de Exercice 44 Soit γ + (respectivement γ ) la partie «supérieure» du cercle trigonométrique (reliant A( 1, ) à B(1, )) parcourue selon les x croissants. 1. Calculer ydx et ydx ; comparer. γ + γ 2. Calculer (xdx ydy) et (xdx ydy) ; comparer. γ + γ ydx xdy 3. Calculer x 2 + y 2, avec γ une paramétrisation du cercle trigonométrique. Commenter. γ Exercice 45 Calculer la circulation de ω = (x y)dx + ( x + x 248 )dy sur le cercle trigonométrique (parcouru dans le sens que vous jugerez le plus sympa). Exercice 46 Intégrer la forme ω = (x 2 y 2 )dx + 2xy dy sur la branche de la parabole d équation y = 1 + x 2 située entre les abscisses et 2. Exercice 47 Calculer la circulation de y 2 dx + x 2 dy sur la partie supérieure d une ellipse centrée en l origine, d axes principaux (Ox) et (Oy), et demi-axes a et b. Exercice 48 Centrale Soient a, b tels que < a < b. On note γ la réunion des deux «demi-cercles supérieurs» centré en et de rayon a et b, ainsi que les deux segments permettant de les relier. 1. Faire un dessin! 2. Chercher f pour que la forme différentielle soit fermée. 3. Que vaut alors γ ω? 4. En déduire la valeur de Exercice 49 Mines ω = + e y x 2 (x cos x + y sin x) dx + f(x, y)dy + y2 sin t dt. t Soit f C 2 (R 2, R) de laplacien nul. On considère ϕ : R + R définie par ϕ(r) = 5 2π f(r cos θ, r sin θ)dθ.

6 1. Montrer que ϕ est dérivable. 2. En l interprétant comme une circulation, calculer ϕ (r), puis en déduire la valeur de ϕ. 3. Soit le disque de centre O et de rayon R. Calculer f(x, y)dxdy. Exercice 5 Mines Soient ; A et B d affixes respectifs, r et re iπ/4, avec r >. Soit Γ r l arc paramétré de C constitué de [, A], de l arc C r du cercle de centre et de rayon r d extrémités A et B, et du segment [BO] orienté de B vers Calculer I r = (dx + idy). 2. Que dire de J r = 3. Qu en déduire? Γ r e (x+iy) e (x+iy) 2 C r (dx + idy). Exercice 51 Soit Γ la courbe intersection de x 2 + y 2 + z 2 2ay = et de x 2 + y 2 2by, avec z > et < b < a. On oriente Γ dans le sens trigonométrique (via sa projection orthogonale sur le plan (Oxy)). Calculer (y 2 + z 2 )dx. Γ Exercice 52 Calculer de deux façons différentes + ( x 2 ydx + xy(2a y)dy ), avec + la frontière du demi disque supérieur de centre et rayon a >, parcouru dans le sens trigonométrique. 7 es indications ésolé mais pour la version finale, aller voir sur le web d ici quelque temps... Exercice 1 : f 1 C(R 2 ) C 1 (R 2 \ ) ; regarder f 2 (x, x 2 ) ; f 3 C(R 2 ) C 1 (R 2 \ ( 1 2 )) ; f 4 C(R 2 ) C 1 (R 2 \ {}). Exercice 2 : ϕ M = P M ; ψ P M t (t) =< M P M t> ; M t F M t + t F M t F M t F M t Exercice 3 : On s intéresse aux dérivées directionnelles selon les E i,j, matrices élémentaires constituant la base canonique de M n (R). On a alors Ei,j det(a) = ( 1) i+j m i,j, avec m i,j le mineur (i, j) de A. En particulier, det(i n ) = I n. On a déjà vu (il me semble) que tous les mineurs sont nuls si et seulement si A est de rang majoré par n 2. Exercice 4 : α i β j sin (αx + βy + (i + j)π/2). Exercice 5 : voir la feuille maple. Exercice 6 : Si A et B sont dans Ω et γ : [, 1] Ω est un chemin de classe C 1 les reliant, alors il suffit de noter g = f γ et d écrire g(1) = g() + 1 g. ans le cas où le chemin n est que continu, c est plus délicat. On peut par exemple considérer la borne supérieure des T tels que f est constante sur γ([, T ]). En utilisant le caractère ouvert de Ω et le caractère localement constant de f, on passe ainsi du local au global... Exercice 7 : voir la feuille maple : les solutions sur R 3 \{} sont les (x, y, z) K 1 + x2 + y 2 + z, 2 et il n y a que les fonctions constantes qui répondent au problème si on veut qu elles soient définies sur tout R 3. Exercice 8 : Si on fait confiance à maple ou au calcul utilisant formellement = 2 : (g f) = ( (g f)) = (< f g >) = ( f)g + < f g >. K 2 6

7 Exercice 9 : Si je fais confiance en mes souvenirs 1 : f = 2 g r g r r g r 2 θ 2 Exercice 1 : Il s agissait probablement ensuite de montrer que f n est pas de classe C 1, bien qu elle admette en l origine des dérivées dans toutes les directions. Exercice 11 : 2x 2 y vs 4x 3 y. Exercice 12 : The point is : g(x, y) = 1 f (x + t(y x))dt. Le reste est dans le cours sur la dérivation des intégrales fonctions d un paramètre... Exercice 13 : Passer en polaire est probablement une bonne idée pour une bonne partie du travail. Exercice 16 : On peut bien sûr double-rolliser, mais vu la question suivante, l esprit est probablement de voir qu il y a deux points intérieurs en lesquels f est respectivement positive et négative, puis TVI. La compacité du disque fermé est au programme, et le fait que f soit en un maximum peut se faire à la main. Ensuite, TVI en se ramenant à un segment. Exercice 17 : eux cols, un maximum et un minimum. expand(f(u,-2/3+v)),expand(f(2/3+u,v)),expand(f(2/3+u,-2/3+v)); u v2 + v 3 u 2, u2 + u 3 + v 3 + v 2, u 2 + u 3 v 2 + v 3. Figure 1 plot3d(f(x,y),x=-1/3..1,y=-1..1/3); Pour g, pas de point critique à l intérieur. expand(g(2/3+u,v)); u2 + u v3 + uv 3 Figure 2 plot3d(g(x,y),x=..1,y=..1); Exercice 18 : Le gradient étant connu, on trouve ]a, b[ ; ce qu on doit pouvoir retrouver géométriquement mais surtout wikipedia! 7

8 Exercice ( 22 : J espère qu un changement de variable (j ai tourné autour longtemps) a été donné... (u, v) = xy, x ) fonctionne bien... Avec F (u, v) = f(x, y), on trouve 2u 2 f y u v F =, puis : v f(x, y) = ϕ 1 (xy) + ( ) x xyϕ 2 y Exercice 4 : Après un passage en coordonnées cylindriques, on trouvera ba2( π 4 3). Exercice 41 : Je trouve Exercice 42 : On trouve I (y) = ii(y) puis I(y) = 2πe y2 /2. Sauf erreur, après diagonalisation : J(Y ) = πn/2 det(a) e Y 2 /2. Exercice 43 : Voir Γ(p)Γ(q) comme une intégrale sur R 2, limite d intégrales sur les triangles {u, v ; u + v n}. Exercice 45 : On enlève la partie fermée x 933 dx + x 248 dy pour obtenir finalement 2π. Exercice 47 : On trouvera 4 3 ab2. Exercice 49 : ϕ (r) est la circulation de la forme f y sur un étoilé (par exemple R 2 privé des λi, λ ). Exercice 45 : Calcul direct et Green-Riemann pour trouver a 4 ( 4 3 π 4 f dx+ dy, qui est exacte car fermée ( f = ) x ) 2. peut-être 8