I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES"

Transcription

1 I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et B. le produit P = A B est indépendant de la droite choisie et est appelé puissance de par rapport au cercle. En effet, si une autre droite coupe le cercle en A et B, les triangles AB et A B sont semblables et donc A = B A B, ce qui prouve que A B = A B. B B A A A B A B Corollaire Soit quatre points A, B, A, B du plan tels que les droites AB et A B se coupent en. Les points sont cocycliques si et seulement si A B = A B. Conséquences : le signe de P donne la position du point par rapport au cercle :

2 I 2 P > 0 : est extérieur au cercle P < 0 : est intérieur au cercle P = 0 : est sur le cercle Diverses expressions de la puissance d un point par rapport à un cercle 1) En prenant un diamètre du cercle pour sécante P = (O + OA)(O + OB) = O 2 R 2 = d 2 R 2. 2) Soit C et D les extrémités d un diamètre quelconque du cercle. On a P = d 2 R 2 = O 2 OC 2 = ( O + OC)( O + OD) = C D. C O D 3) Si est extérieur au cercle et si T est un point du cercle tel que T est tangent au cercle P = T 2. T O 4) Si le cercle est donné par son équation cartésienne x 2 + y 2 2ax 2by + c = 0 et si a pour coordonnées (x,y), alors P = x 2 + y 2 2ax 2by + c. En effet le cercle a pour centre O = (a,b) et pour rayon R = a 2 + b 2 c, alors P = d 2 R 2 = (x a) 2 + (y b) 2 (a 2 + b 2 c).

3 I 3 Différence des puissances d un point par rapport à deux cercles - axe radical de deux cercles Soit deux cercles (O,R) et (O,R ) et un point du plan. Soit P et P les puissances de par rapport à (O,R) et (O,R ) respectivement. On a P P = O 2 R 2 (O 2 R 2 ) = ( O + O )( O O ) (R 2 R 2 ). Donc si ω est le milieu de OO, on a P P = 2 ω OO (R 2 R 2 ), ou encore, en appelant le projection de sur OO, P P = 2ω OO (R 2 R 2 ). O ω O Théorème L ensemble des points du plan tels que la différence des puissances par rapport à deux cercles non concentriques est une constante C est une droite, orthogonale à la ligne des centres en un point tel que ω = R2 R 2 + C. 2OO

4 I 4 Définition La droite obtenue dans le cas où C = 0 est appelée l axe radical des deux cercles. C est donc l ensemble des points d égales puissances par rapport aux deux cercles, et elle est orthogonale à la ligne des centres en un point H tel que ωh = R2 R 2 2OO. Remarques : 1) Si R est inférieur à R, les nombres OO et ωh sont de même signe, donc et O se trouvent du même côté de ω. 2) Si les cercles sont sécants ou tangents, leurs points d intersection vérifient P = P = 0 et se trouvent sur l axe radical, d où une construction évidente dans ce cas. 3) Si les cercles ne se coupent pas, l axe radical ne coupe aucun d eux. 4) Si les cercles ont même rayon, l axe radical est la médiatrice de OO. 5) L axe radical de deux cercles extérieurs passe par le milieu de leurs tangentes communes, ce qui permet de le construire. 6) Ce qui précède reste valable si l un ou les deux cercles sont réduits à des points. Centre radical de trois cercles Théorème - Définition Soit trois cercles dont les centres ne sont pas alignés. Il existe un point I et un seul, ayant la même puissance par rapport aux trois cercles. On l appelle le centre radical des trois cercles. Ce point est l intersection des trois axes radicaux des cercles pris deux à deux. En effet, un point d égal puissance est nécessairement sur les trois axes radicaux. Réciproquement, si I appartient aux axes radicaux de (O,R), (O,R ) et de (O,R ), (O,R ) il a même puissance par rapport aux trois cercles dont appartient à l axe radical de (O,R), (O,R ). Ceci permet de construire l axe radical de deux cercles. On les coupe par un troisième cercle. D après la remarque 2), on a facilement deux des trois axes radicaux. Ils se coupent en un point qui est sur l axe radical cherché. On prend alors la droite orthogonale à la ligne des centres passant par ce point. Sur le dessin suivant, I est le centre radical des trois cercles.

5 I 5 axe radical de (O,R) et de (O,R ) I O O O Cercles orthogonaux Définition Deux cercles sécants sont dits orthogonaux si leurs tangentes en un point d intersection sont orthogonales. Il en est alors de même pour l autre point d intersection.

6 I 6 Théorème vraie : Deux cercles sont orthogonaux si et seulement si une des propriétés suivantes est 1. Les rayons en un point d intersection sont orthogonaux. 2. Si les cercles ont pour rayons respectifs R et R et si la distance de leurs centres O et O est d, on a R 2 + R 2 = d 2 3. La puissance de O par rapport au cercle (O,R ) vaut R La puissance de O par rapport au cercle (O,R) vaut R Si une sécante, passant par O coupe (O,R) en X et Y et (O,R ) en et N, alors (XY,N) est une division harmonique. La définition équivaut à 1) car les rayons sont orthogonaux aux tangentes. 1) équivaut à 2) à cause du théorème de Pythagore. Le triangle OAO est rectangle si et seulement si R 2 + R 2 = d 2. 2) équivaut à 3) et à 4), puisque la puissance de O par rapport à (O,R ) vaut d 2 R 2 et celle de O par rapport à (O,R) vaut d 2 R 2. 3) équivaut à 5) car la puissance de O par rapport à (O,R ) vaut O ON et la relation O ON = R 2 avec O milieu de XY équivaut à dire que (XY,N) est une division harmonique (voir G). T T A X O O Y N

7 I 7 Faisceaux de cercles Définition On appelle faisceau linéaire de cercles une famille de cercles admettant deux à deux le même axe radical. Conséquences : 1) Les centres de tous les cercles du faisceau sont alignés sur une droite orthogonale à l axe radical. 2) Un point de l axe radical a même puissance par rapport à tous les cercles du faisceau. Un faisceau de cercles est donc caractérisé par l axe radical une droite D orthogonale à en un point H la puissance P de H par rapport aux cercles du faisceau. Classification des faisceaux de cercles 1) Si P est strictement négative, le point H est intérieur à tous les cercles du faisceau. La droite est une sécante qui coupe tous les cercles du faisceau suivant deux points fixes A et B équidistants de H et tels que HA = HB = P. Ces points sont appelés points de base du faisceau. Tout cercle passant par les points A et B appartient au faisceau. Le cercle de plus petit rayon possible appartenant au faisceau est celui de diamètre AB. Les centres des cercles décrivent toute la droite. A D H B

8 I 8 2) Si P est strictement positive, le point H est extérieur à tous les cercles du faisceau et ne coupe aucun d eux. Les plus petits cercles possibles sont deux cercles-points I et J tels que HI = HJ = P. Ces points sont appelés points limites du faisceau. Le faisceau se sépare en deux familles de cercles symétriques par rapport à. Chaque famille est formée de cercles entourant un des points I ou J. Tous les centres sont situés à l extérieur du segment IJ. L ensemble des points où les tangentes aux cercles issues de H coupent les cercles du faisceau est un cercle de rayon P et de diamètre IJ. D O I H J O 3) Si P est nul, on a l intermédiaire entre les cas précédents. les points de base et les points limites sont confondus. On dit qu il s agit d un faisceau singulier. Tous les cercles sont tangents à en H. On peut donc définir aussi un faisceau par : 1) la donnée de deux cercles du faisceau 2) la donnée des points de base ou des points limites (sauf pour un faisceau singulier où il faut donner une indication supplémentaire : ligne des centres ou axe radical, par exemple).

9 I 9 Etude analytique d un faisceau de cercles Théorème On se donne deux cercles non concentriques C et C d équations cartésiennes F(x,y) = x 2 + y 2 + f(x,y) = 0 et G(x,y) = x 2 + y 2 + g(x,y) = 0, où f et g sont des polynômes en x et y de degré au plus 1. Ces deux cercles définissent un faisceau. Un cercle C appartient à ce faisceau si et seulement si il existe un réel a tel que l équation de C soit L équation de l axe radical du faisceau est alors H(x,y) = af(x,y) + (1 a)g(x,y) = 0. f(x,y) g(x,y) = 0. Si a pour coordonnées (x,y), la puissance de par rapport à C est F(x,y), celle de par rapport à C est G(x,y). Donc appartient à l axe radical des deux cercles si et seulement si F(x,y) G(x,y) = f(x,y) g(x,y) = 0. Comme f(x,y) g(x,y) = 0 est l équation d une droite, on retrouve bien que l axe radical et une droite et l on obtient ainsi son équation. Soit C un cercle d équation H(x,y) = af(x,y) + (1 a)g(x,y) = 0. Supposons a non nul, (sinon C = C ). L axe radical de C et de C a pour équation soit H(x,y) G(x,y) = 0 a(f(x,y) G(x,y)) = 0. L axe radical de C et C est donc le même que celui de C et C. Donc C est bien un cercle du faisceau défini par C et C. Réciproquement, soit C un cercle du faisceau défini par C et C d équation H(x,y) = 0. L axe radical de C et C étant le même que celui de C et C, les équations H(x,y) G(x,y) = 0 et F(x,y) G(x,y) = 0 doivent êtres proportionnelles. Il existe un réel a tel que ce qui donne H(x,y) G(x,y) = a(f(x,y) G(x,y)) H(x,y) = af(x,y) + (1 a)g(x,y).

10 I 10 Faisceaux conjugués de cercles orthogonaux Théorème - Définition 1) Soit A et B deux points distincts. Tout cercle du faisceau à points de base A et B est orthogonal à tout cercle du faisceau à points limites A et B. 2) Soit D et D deux droites orthogonales en A. Tout cercle du faisceau singulier d axe radical D et de point A est orthogonal à tout cercle du faisceau singulier d axe radical D et de point A. Dans les deux cas on dit que les faisceaux sont orthogonaux. O T A H B O Pour le cas 1), prenons un cercle (O,R) du faisceau à points de base A et B, et un cercle (O,R ) du faisceau à points limites A et B. Soit OT la tangente issue de O au cercle (O,R ). La puissance de O par rapport à tous les cercles du faisceau à points limites A et B étant la même, la puissance de O par rapport à (O,R ) qui vaut OT 2, est égale à celle de O par rapport au cercle-point B qui vaut OB 2. Donc OB et OT sont égaux, et T est sur le cercle (O,R). Il en résulte que les cercles (O,R) et (O,R ) sont orthogonaux. Le cas 2) est évident.

11 I 11 Pôle et polaire par rapport à un cercle Définition On dit que deux points P et sont conjugués par rapport à un cercle (O,R) si le cercle de diamètre P est orthogonal à (O,R). Remarque : le centre O n a pas de conjugué. Il se trouve rejeté à l infini. Théorème - Définition L ensemble des points conjugués de P par rapport au cercle (O, R) est une droite orthogonale à OP en un point H tel que OP OH = R 2. Cette droite est appelée polaire de P par rapport au cercle. Inversement, si D est une droite ne passant pas par O, il existe un point P unique situé sur la droite orthogonale à D passant par O et dont D est la polaire. Ce point est appelé pôle de D par rapport au cercle. polaire de P par rapport à (O,R) O H H O P D Soit (O,R ) le cercle de diamètre P. La puissance de O par rapport à ce cercle vaut O OP. Ecrire que les cercles (O,R) et (O,R ) sont orthogonaux équivaut à la relation O OP = R 2

12 I 12 ou, en projetant sur OP OH OP = R 2 ce qui donne le théorème. (Il faut supposer P et H distincts de O). La relation OH OP = R 2 prouve que P et H sont toujours du même côté de O. D autre part le cercle (O,R ) est orthogonal à (O,R) et au cercle-point P. Donc O se trouve sur l axe radical de ces deux cercles, et la projection de O sur HP est le point H milieu de HP. Enfin, il résulte de la symétrie de la relation de conjugaison, que si la polaire de passe par P, celle de P passe par, et donc, que si décrit la polaire de P, la polaire de pivote autour de P. On en tire une conséquence intéressante qui permet de démontrer l alignement de trois points. Théorème Trois points sont alignés si et seulement si les polaires des trois points par rapport à un même cercle sont concourantes. Si les polaires sont concourantes, les trois points sont sur la polaire du point d intersection et sont donc alignés. Définition Deux droites D et D sont dites conjuguées par rapport à un cercle si chacune passe par le pôle de l autre par rapport au cercle. Construction de la polaire d un point par rapport à un cercle Théorème Soit (O,R) un cercle, et P un point. Si PAB et PA B sont deux sécantes au cercle issues de P, et si Q est l intersection de A B et de AB, et R celle de AA et de BB, alors la polaire de P par rapport au cercle est la droite QR. La droite QR est la polaire de P par rapport aux droites AA et BB (voir G), donc QR coupe AB et A B en deux points et qui sont tels que (P,AB) et (P,A B ) soient des divisions harmoniques. Ceci prouve que le cercle de diamètre P est orthogonal à (O,R), ainsi que celui de diamètre P. Les points P et Q sont donc sur la polaire cherchée. Remarque : si le point P est extérieur au cercle, et si PT et PT sont les tangentes au cercle issues de P, alors la droite TT est la polaire de P par rapport au cercle. Si P est sur le cercle sa polaire est la tangente au cercle en P.

13 P polaire de P par rapport à (O,R) I 13 A B A Q B R Cette construction montre aussi que PR est la polaire de Q et PQ celle de R. De plus PQ est orthogonal à OR, ainsi que QR à OP et RP à OQ. Donc l orthocentre du triangle PQR est le point O. P polaire de P par rapport à (O,R) O Q R

14 I 14 Définition Le triangle P QR ainsi construit est appelé triangle conjugué par rapport au cercle, ou triangle orthopolaire. Etude analytique Théorème Si un cercle a pour équation x 2 + y 2 2ax 2by + c = 0 et si P a pour coordonnées (u,v), la polaire de P par rapport au cercle a pour équation ux + vy a(x + u) b(y + v) + c = 0. Le centre du cercle est le point C de coordonnées (a,b) et le rayon du cercle vaut R = a 2 + b 2 c. Soit de coordonnées (x,y). La condition C CP = R 2 s écrit (u a)(x a) + (v b)(y b) = R 2 et, en développant, donne l équation indiquée. Exemples d applications 1) Soit un triangle ABC et son cercle circonscrit. Les bissectrices intérieures recoupent le cercle en A, B, C. Les tangentes au cercle en A et A, B et B, C et C respectivement se coupent en, N, P. Alors les points, N, P sont alignés. En effet, AA est la polaire de par rapport au cercle circonscrit. De même BB est celle de N et CC celle de P. Comme les bissectrices sont concourantes, les trois points sont alignés. On remarquera également que A, B et C sont les intersections du cercle avec les médiatrices du triangle, et que le point A est le milieu de l arc BC, le point B est le milieu de l arc CA et le point C est le milieu de l arc AB.

15 I 15 P N B C A B O C A 2) Soit un triangle ABC et son cercle inscrit, touchant les côtés en A, B,C. Soit l intersection de B C et de la parallèle à BC passant par le centre O du cercle, N l intersection de C A et de la parallèle à CA passant par O, et P l intersection de A B et de la parallèle à AB passant par O. Alors, N, P sont alignés. En effet appartient à la polaire de A par rapport au cercle, donc A appartient à la polaire de. De plus la polaire de est orthogonale à O, donc à BC. C est donc la hauteur issue de A. De même pour les polaires de N et P : ce sont les hauteurs issues respectivement de B et C. Comme les hauteurs sont concourantes, les points, N, P sont alignés.

16 I 16 N A B C O B A C P Transformation par polaire réciproque Théorème - Définition Etant donné un cercle fixe (O,R) et une courbe C de classe C 1 telle qu en tout point de la courbe le vecteur O et le vecteur tangent ne soient pas colinéaires, l enveloppe Γ des polaires des points de C par rapport au cercle est aussi l ensemble des pôles, par rapport au cercle, des tangentes à C. La transformation qui à C associe Γ est appelée transformation par polaires réciproques. Le résultat étant invariant par homothétie, montrons le dans le cas où le cercle est centré en l origine et de rayon 1. Supposons la courbe C paramétrée par (t) = (f(t),g(t)), où f et g sont des fonctions de classe C 1 définies sur un intervalle I. La polaire de (t) a pour équation f(t)x + g(t)y = 1.

17 I 17 L enveloppe de ces droites s obtient en résolvant le système { f(t)x + g(t)y = 1 f (t)x + g (t)y = 0. Par hypothèse f(t)g (t) g(t)f (t) n est pas nul et on obtient comme solution Cela définit un point x = g (t) f(t)g (t) g(t)f (t) f (t), y = f(t)g (t) g(t)f (t), ( g (t) P(t) = f(t)g (t) g(t)f (t), f ) (t) f(t)g (t) g(t)f (t) ce qui donne un paramétrage de la courbe Γ. L équation de la tangente à C et (t) est g (t)x f (t)y + f (t)g(t) g (t)f(t) = 0. On constate que ce n est autre que la polaire du point P(t) de la courbe Γ. Remarques 1) Les coordonnées d un point de Γ peuvent s écrire x = (1/g) (f/g), y = (1/f) (g/f). 2) Lorsque C est une droite ne passant pas par O, la courbe Γ se réduit à un point qui est le pôle de la droite par rapport au cercle. (Une droite passant par O n a pas de transformée car les polaires des points de la droite sont des droites parallèles). 3) On peut remarquer que la transformation conserve les contacts. En effet, d une part, si deux courbes se coupent en un point, la polaire de ce point sera une tangente commune aux deux courbes images. Si de plus les deux courbes de départ ont même tangente, les courbes images passeront par le pôle de cette tangente commune, et ce pôle est sur la polaire de leur point de contact. Les courbes images seront tangentes elles aussi. 4) On peut remarquer également que si la courbe C est transformée par l homothétie de centre O et de rapport k, la courbe Γ est transformée par l homothétie de centre O et de rapport 1/k. C est visible sur les équations paramétriques et aussi sur la relation O OH = R 2. 5) Il résulte du théorème que la transformation par polaire réciproque est involutive : la transformée de la transformée est la courbe de départ.

18 I 18 Exemple : transformée d un cercle. Le cercle définissant la transformation étant toujours le cercle unité, cherchons analytiquement l image d un cercle de rayon R centré sur Ox au point d abscisse ar. On a donc l équation paramétrique du cercle f(t) = R(cos t + a), g(t) = R sin t. Et les formules obtenues plus haut donne le paramétrage de Γ x = 1 R ou encore en coordonnées polaires cos t 1 + acos t ρ = 1 R, y = 1 R acos t, ce qui est l équation d une conique d axe Ox. On obtient en effet sin t 1 + acos t ρr(1 + acos t) = R(ρ + ax) = 1 d où l on déduit et en développant x 2 + y 2 = (R 1 ax) 2 (1 a 2 )x 2 + y a R x 1 R 2 = 0. Lorsque a 2 = 1, c est-à-dire lorsque le cercle passe par O, on obtient une parabole d équation x = 1 2aR (1 R2 y 2 ). Dans les autres cas, l équation se met sous la forme ( x + ) 2 a R(1 a 2 ) + 1 R 2 (1 a 2 ) 2 y 2 1 R 2 (1 a 2 ) Lorsque a = 0, c est-à-dire lorsque le centre du cercle est O, sa transformée est un cercle de centre O et de rayon 1/R. En particulier, le cercle (O,1) est transformé en lui-même. On obtient ( une ellipse ) si 0 < a 2 < 1 et une hyperbole dans le cas contraire. Les coordonnées du centre a sont R(1 a 2 ),0 et l excentricité vaut a. = 1. Enfin, dans le cas de l hyperbole, les asymptotes ont pour pente ± a 2 1. Remarque : l image d une courbe fermée n est donc pas nécessairement une courbe fermée.

un repère orthonormé de l espace.

un repère orthonormé de l espace. Terminale S GEOMETRIE Ch 13 DANS L ESPACE. Soit ( O ; i, j, k ) un repère orthonormé de l espace. I) Droites et plans dans l espace : Propriété 1 : Soient A et B deux points de l espace. AB est l ensemble

Plus en détail

Produit scalaire dans l Espace

Produit scalaire dans l Espace Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1.

Plus en détail

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R

Plus en détail

Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège

Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Propriété : Si un point est sur un segment et à égale distance de ses extrémités alors ce point est le milieu du segment. Si un point est

Plus en détail

Résumé de cours sur les coniques. Lycée Brizeux - PCSI B. Année 2010-2011

Résumé de cours sur les coniques. Lycée Brizeux - PCSI B. Année 2010-2011 Résumé de cours sur les coniques. Lycée Brizeux - PCSI B. Année 010-011 novembre 010 I Définition d une conique en terme d équation cartésienne On se place dans le repère orthonormé direct (0, i, j ).

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Envoi no. 6 : géométrie

Envoi no. 6 : géométrie Envoi no. 6 : géométrie Exercice 1. Soit un triangle rectangle isocèle en. Soit un point de l arc du cercle de centre passant par et, H son projeté orthogonal sur (). On note I le centre du cercle inscrit

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux Exercice 2 : parallélogramme

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

CHAPITRE 6 Les vecteurs

CHAPITRE 6 Les vecteurs A/ Vecteurs Cours de Mathématiques Classe de Seconde Chapitre 6 Les Vecteurs CHAPITRE 6 Les vecteurs 1) Définition et exemples a) Définition Soient deux points A et B. On appelle vecteur AB "la flèche"

Plus en détail

FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES CLASSE DE TROISIEME

FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES CLASSE DE TROISIEME 2012 FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES CLASSE DE TROISIEME NOUS VOUS PRESENTONS ICI UN FORMULAIRE CONTENANT LES DEFINITIONS, PROPRIETES ET THEOREMES VUS EN COURS DE MATHEMATIQUES TOUT AU LONG DE VOTRE SCOLARITE

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Fonctions de référence Variation des fonctions associées

Fonctions de référence Variation des fonctions associées DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à

Plus en détail

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Introduction : Cette leçon s inscrit dans la continuité de la précédente. On supposera connu

Plus en détail

Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir le centre du cercle circonscrit..

Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir le centre du cercle circonscrit.. Correction-Exercices sur les droites remarquables 1. Construire un triangle ABC tel que AB = 5cm, BC = 6cm et AC= 8 cm et le cercle circonscrit à ce triangle Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir

Plus en détail

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte - Session 2009

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte - Session 2009 Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte - Session 2009 L usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur. I - Activités numériques II - Activités

Plus en détail

Fragments de géométrie du triangle

Fragments de géométrie du triangle Fragments de géométrie du triangle Pierre Jammes (version préliminaire du 2 août 2013) 1. Dénitions On donne ici les dénitions des principaux objets mis en jeu dans le début du texte. Dans le plan euclidien,

Plus en détail

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP)

concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP) SESSION DE 2005 concours externe de recrutement de professeurs certifiés et concours d accès à des listes d aptitude (CAFEP) section : mathématiques deuxième composition de mathématiques (épreuve de remplacement)

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation )

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Introduction : On se place dans plan affine euclidien muni

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Dessins géométriques avec L A TEX

Dessins géométriques avec L A TEX Dessins géométriques avec L A TEX J. Parizet 13 mai 2014 Montrons sur des exemples que L A TEX permet de dessiner correctement droites et coniques approximées par des arcs de paraboles se raccordant (Bezier.

Plus en détail

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Exercice 1 Ecrire un programme de construction de la figure suivante. On utilisera seulement deux mesures : le rayon du cercle est 8 cm, la largeur d

Plus en détail

PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points) COLLÈGE LA PRÉSENTATION BREVET BLANC Février 2010 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES classe de 3 e Durée : 2 heures Présentation et orthographe : points Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Cours fonctions, expressions algébriques

Cours fonctions, expressions algébriques I. Expressions algébriques, équations a) Développement factorisation Développer Développer un produit, c est l écrire sous forme d une somme. Réduire une somme, c est l écrire avec le moins de termes possibles.

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

3 Droite. Vecteur directeur, vecteur normal. Positions relatives de deux droites. GA2D-Cours.nb 2. Vecteur directeur

3 Droite. Vecteur directeur, vecteur normal. Positions relatives de deux droites. GA2D-Cours.nb 2. Vecteur directeur GAD-Cours.nb 1 Géométrie métrique -ème année niveau avancé Edition 007-008 3-ème année niveau standard DELM 3 et 4 Géométrie analytique D Liens hypertextes Exercices de géométrie analytique D: http://www.deleze.name/marcel/sec/cours/geomanalytiqued/gad-exercices.pdf

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Baccalauréat S Métropole 21 juin 2011

Baccalauréat S Métropole 21 juin 2011 Baccalauréat S Métropole 1 juin 011 EXERCICE 1 Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment. 4 points Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10 4. Dans un pays,

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires?

Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires? omment démontrer que deux droites sont perpendiculaires? Utilisons On sait que (hypothèses) or...(propriété, définition) donc...(conclusion) Réciproque de Pythagore,5 1,5 = + Si dans un triangle le carré

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Cours de mathématiques : Equation du second degré

Cours de mathématiques : Equation du second degré Cours de mathématiques : Equation du second degré I ) Formes de l'équation du second degré. L'équation du deuxiéme degré à une inconnue est celle où l'inconnue est élévé à la puissance de 2, sans y etre

Plus en détail

BJ - RELATIONS BINAIRES

BJ - RELATIONS BINAIRES BJ - RELATIONS BINAIRES Définitions Soit A et B deux ensembles non vides, et G une partie de A B. On dit qu un élément x de A est relié à un élément y de B par une relation binaire de graphe G, si le couple

Plus en détail

CHAPITRE I TRIGONOMETRIE

CHAPITRE I TRIGONOMETRIE CHAPITRE I TRIGONOMETRIE ) Le cercle trigonométrique Un cercle trigonométrique est un cercle C de rayon qui est orienté, ce qui veut dire qu on a choisi un sens positif (celui des ronds-points) et un sens

Plus en détail

Trigonométrie. I) Introduction. 1) Celui qui est à connaître en classe de seconde : l enroulement

Trigonométrie. I) Introduction. 1) Celui qui est à connaître en classe de seconde : l enroulement Trigonométrie I) Introduction On peut faire plusieurs liens entre droites et cercles mais aucune façon de le faire n est vraiment simple. En fait l une des difficultés pour faire le lien se cache dans

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

JUIN : EXERCICES DE REVISIONS

JUIN : EXERCICES DE REVISIONS . Les fonctions JUIN : EXERCICES DE REVISIONS y 30 0 0-8 -7-6 - - 0 3 4 6 7 8 x -0 - -0 0 Fonction n : f(x) = y = 30x Fonction n : f(x) = y = -x³ + 3x² + x - 3 Fonction n 3 : f3(x) = y = -x + 30 Fonction

Plus en détail

Chapitre 8 - Trigonométrie

Chapitre 8 - Trigonométrie Chapitre 8 - Trigonométrie A) Rappels et compléments ) Le cercle trigonométrique a) Définitions On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O et de rayon dans un repère orthonormal (O, I, J),

Plus en détail

Equations cartésiennes d une droite

Equations cartésiennes d une droite Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE

LA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau

Plus en détail

Le second degré. Table des matières

Le second degré. Table des matières Le second degré Table des matières 1 La forme canonique du trinôme 1.1 Le trinôme du second degré......................... 1. Quelques exemples de formes canoniques................. 1.3 Forme canonique

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

BREVET BLANC Corrigé 15 avril 2013

BREVET BLANC Corrigé 15 avril 2013 REVET LN orrigé 15 avril 2013 *********************** Exercice 1 : On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions. es représentations sont nommées 1, 2, 3. L une d entre elles est

Plus en détail

La fonction carré Cours

La fonction carré Cours La fonction carré Cours CHAPITRE 1 : Définition CHAPITRE 2 : Sens de variation CHAPITRE 3 : Parité et symétrie CHAPITRE 4 : Représentation graphique CHAPITRE 5 : Equation du type CHAPITRE 6 : Inéquation

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre 005 1 Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer

Plus en détail

Activités numériques

Activités numériques Sujet et correction Stéphane PASQUET, 25 juillet 2008 2008 Activités numériques Exercice On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre. a) Multiplier ce nombre pas 3. b) Ajouter le carré

Plus en détail

CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse

CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse A) La fonction "carré" : f() = ² ) Domaine de définition Elle est définie sur ℝ complet (on peut toujours multiplier deu nombres entre eu). 2) Sens de variation

Plus en détail

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES RAPPELS DE MATHEMATIQUES ORTHOPHONIE Première année 27 28 Dr MF DAURES 1 RAPPELS DE MATHEMATIQUES I - LES FONCTIONS A - Caractéristiques générales des fonctions B - La fonction dérivée C - La fonction

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Thème : Application affines en terminale

Thème : Application affines en terminale 6 ième ASSEMBLEE GENERALE de l Association des Professeurs de Mathématiques de la Région de Sikasso et Sympathisants Thème : Application affines en terminale BOUGOUNI 2010-2011 Présenté par : APROMARS/

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES Exercice n. (correction) Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question Soient A, B et C trois points distincts du plan. PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES a) A, B et C sont alignés si et seulement si :

Plus en détail

Savoir que AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (x B x A ; y B y A ) du vecteur AB

Savoir que AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (x B x A ; y B y A ) du vecteur AB Chapitre 3 La notion de vecteurs CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Vecteurs Définition de la translation qui transforme un point A du plan en un point B. Vecteur AB associé. Égalité de deux vecteurs

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

D = 5 2 4 0,5. 4 points. D = 5 2 2 D = 5 donc D est un nombre entier. 0,5

D = 5 2 4 0,5. 4 points. D = 5 2 2 D = 5 donc D est un nombre entier. 0,5 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 s) Montrer que D est un nombre entier. Ê D = 5 12 2 D = 5 2 Exercice n 1 : Toutes les étapes de calcul devront figurer sur la copie. 1. On donne A = + 1 + 2. Calculer et donner

Plus en détail

Quadrature n 74 (2009) 10 22. Online Material

Quadrature n 74 (2009) 10 22. Online Material Quadrature n 74 (009) 10 Online Material E. Brugallé, Online Material Un peu de géométrie tropicale Solutions des exercices Erwan Brugallé Université Pierre et Marie Curie, Paris 6, 175 rue du Chevaleret,

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Géométrie dans l Espace

Géométrie dans l Espace Géométrie dans l Espace Année scolaire 006/007 Table des matières 1 Vecteurs de l Espace 1.1 Extension de la notion de vecteur à l Espace............................. 1. Calcul vectoriel dans l Espace......................................

Plus en détail

COMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?

COMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire

Plus en détail

Brevet Juin 2007 Liban Corrigé Page 1 sur 6

Brevet Juin 2007 Liban Corrigé Page 1 sur 6 Brevet Juin 007 Liban Corrigé Page 1 sur 6 Exercice 1 : 1) A = 500 (10 3 ),4 10 7 8 10 4 = 500 10 6 4 10 1 10 7 8 10 4 500 4 = 8 = 500 3 8 8 = 500 3 100 10 4 = 1500 10 0 + 4 = 1500 10 4 = 1,5 10 3 10 4

Plus en détail

Une axiomatisation du plan euclidien

Une axiomatisation du plan euclidien Nicole opp Strasbourg, avril 2007 Une axiomatisation du plan euclidien Le but de ce texte est de montrer comment on peut axiomatiser le plan euclidien d une manière qui se rapproche, autant que faire se

Plus en détail

Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions

Cours de Mathématiques Seconde. Généralités sur les fonctions Cours de Mathématiques Seconde Frédéric Demoulin 1 Dernière révision : 16 avril 007 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini 1 frederic.demoulin (chez) voila.fr gilles.costantini

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

TRIGONOMETRIE ET CALCUL NUMERIQUE

TRIGONOMETRIE ET CALCUL NUMERIQUE TRIGONOMETRIE ET CALCUL NUMERIQUE Questions 2010-2013 Exercice 1 2 2 sin(4 x)cos( x) 2sin( x)cos (2 x) 1 2sin ( x) (valeurs numériques) x 45 k 90 ;10 k 120 ;50 k 120 k Exercice 2 tg x 3tg x 4 4 (valeurs

Plus en détail

MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE. Durée de l épreuve : 2 h 00. L usage de la calculatrice est autorisé.

MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE. Durée de l épreuve : 2 h 00. L usage de la calculatrice est autorisé. COMPOSITION SECONDE MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE Durée de l épreuve : 2 h 00 L usage de la calculatrice est autorisé. Toutes les réponses devront être justifiées. Exercice 1 Soit la fonction

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Introduction aux inégalités

Introduction aux inégalités Introduction aux inégalités -cours- Razvan Barbulescu ENS, 8 février 0 Inégalité des moyennes Faisons d abord la liste des propritétés simples des inégalités: a a et b b a + b a + b ; s 0 et a a sa sa

Plus en détail

Mécanique des solides déformables

Mécanique des solides déformables Mécanique des solides déformables Auteur Michel MAYA 1 Descriptions 2 Représentations graphiques Ce cours est mis à disposition selon les termes de la licence Creative Commons Paternité + Pas d utilisation

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

4. Géométrie analytique du plan

4. Géométrie analytique du plan GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DU PLAN 35 4. Géométrie analytique du plan 4.1. Un peu d'histoire René Descartes (La Haye en Touraine, 31/3/1596 - Stockholm, 11/2/1650) La géométrie analytique est une approche de

Plus en détail

La Rivière Situations Connexes. Arc de cercle. Voir. Courbe. Voir. Sur la sphère. Voir. Retour au Menu La Rivière

La Rivière Situations Connexes. Arc de cercle. Voir. Courbe. Voir. Sur la sphère. Voir. Retour au Menu La Rivière Arc de cercle Voir Courbe Voir Sur la sphère Voir Retour au Menu La Rivière Rivière en arc de cercle La rivière est un arc de cercle : Retour au Menu des Rivière en arc de cercle Expérience : Expérimenter

Plus en détail

Cercle trigonométrique et mesures d angles

Cercle trigonométrique et mesures d angles Cercle trigonométrique et mesures d angles I) Le cercle trigonométrique Définition : Le cercle trigonométrique de centre O est un cercle qui a pour rayon 1 et qui est muni d un sens direct : le sens inverse

Plus en détail

CORRECTIONS. Consignes pour le déroulement de l épreuve d une durée de 2 heures

CORRECTIONS. Consignes pour le déroulement de l épreuve d une durée de 2 heures Consignes pour le déroulement de l épreuve d une durée de 2 heures * Calculatrice autorisée pour les deux parties mais en précisant les étapes des calculs. A] Nombres et Calculs : Exercice n 1 : Compléter

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

MON CAHIER DE VACANCES n 1. MATHEMATIQUES 3 ème 2

MON CAHIER DE VACANCES n 1. MATHEMATIQUES 3 ème 2 MON CAHIER DE VACANCES n 1 MATHEMATIQUES 3 ème 2 Ce cahier appartient à. Ce cahier est à rapporter le vendredi 6 Novembre 201, à Mme Viault. Les exercices sont à rédiger, sur ce livret, le plus sérieusement

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

Les quatre opérations sur les nombres entiers Statistiques et probabilités I. Code Unités Devoirs Code Unités Devoirs

Les quatre opérations sur les nombres entiers Statistiques et probabilités I. Code Unités Devoirs Code Unités Devoirs 1 re secondaire 2 e secondaire Les quatre opérations sur les nombres entiers Statistiques et probabilités I MAT-1005-2 2 3 MAT-2008-2 2 3 (+, -, x, ) dans l ensemble des entiers Z. Ce premier cours portant

Plus en détail

CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE

CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En

Plus en détail

Partie I - Valeurs propres de AB et BA

Partie I - Valeurs propres de AB et BA SESSION 9 Concours commun Centrale MATHÉMATIQUES. FILIERE PSI Partie I - Valeurs propres de AB et BA I.A - Cas de la valeur propre. I.A.) Sp(AB) Ker(AB) {} AB / G L n (R) det(ab) =. I.A.) Sp(AB) det(ab)

Plus en détail

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban EXERCICE 1 : 4 Points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, une

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail