Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire

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1 Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1

2 1 Prérequis A Repérage sur une droit graduée, dans le plan repéré À savoir Sur une droite graduée, on peut repérer un point par son abscisse ; réciproquement chaque nombre réel correspond à un point de la droite, point dont il est l abscisse Exemple Sur l axe gradué ci-dessous : A B C O I D E 0 1 le point A a pour abscisse ( 3 ), le point B a pour abscisse (, 5), le point C a pour abscisse ( 1), le point D a pour abscisse ( ), le point E a pour abscisse ( 4, 5 ) environ Sur l axe gradué ci-dessous : E D C B A O I -3,5-0 0,5 1,6 5 le nombre 5 correspond au point A, le nombre,6 correspond au point B, le nombre 0,5 correspond au point C, le nombre correspond au point D, le nombre 3,5 correspond au point E Séquence MA0 3

3 À savoir Sur une droite graduée, on peut calculer la distance entre deux points dont on connaît les abscisses Pour calculer la distance entre A et B sur un axe, on effectue la différence entre «l abscisse la plus grande» et «l abscisse la plus petite» Exemple Sur l axe gradué ci-dessous : A B C O I D E 0 1 La distance DE est égale à : DE = "abscisse la plus grande" "abscisse la plus petite" = "abscisse de E" "abscisse de D" = 45, = 5, La distance CD est égale à : CD = "abscisse la plus grande" "abscisse la plus petite" = "abscisse de D" "abscisse de C" = ( 1)= 3 La distance CA est égale à : CA = "abscisse la plus grande" "abscisse la plus petite" = ( 1) ( 4)= 3 La distance BO est égale à : BO = "abscisse la plus grande" "abscisse la plus petite" = 0 (, 5)=, 5 Plan repéré À savoir Dans le plan muni d un repère orthogonal, on peut repérer un point par son abscisse et son ordonnée ; réciproquement chaque couple de nombres réels correspond à un point du plan, point dont ce couple est le couple (abscisse ; ordonnée) Exemples Dans le plan ci-dessous, muni d un repère : le point A a pour abscisse 3 et pour ordonnée 1,5 ; le point B a pour abscisse ( ) et pour ordonnée,5 ; le point C a pour abscisse ( 1,5) et pour ordonnée 0 ; le point D a pour abscisse ( 1) et pour ordonnée (,5) ; le point E a pour abscisse 0,5 et pour ordonnée ( 0,75) environ 4 Séquence MA0

4 Dans le même plan ci-dessous : le couple ( ; 3) correspond au point F ; le couple (1 ; 3) correspond au point G ; le couple (0 ; 1,5) correspond au point H ; le couple ( 3 ; 3) correspond au point J ; le couple ( 1 ; 4) correspond au point K K G B A 1 C 0 1 E D J H F B Fonction affine, représentation par une droite Fonction affine, représentation par une droite À savoir Dans le plan muni d un repère orthogonal, une fonction affine est représentée par une droite Voir séquence 1 Séquence MA0 5

5 C Figures de géométrie plane Figures particulières À savoir Se souvenir des propriétés géométriques des figures particulières étudiées au collège : quadrilatères, triangles, cercles, polygones réguliers Principaux théorèmes À savoir Se souvenir des principaux théorèmes de géométrie étudiés au collège : théorème de Thalès, réciproque de ce théorème, théorème de Pythagore, réciproque de ce théorème Trigonométrie À savoir Se souvenir des définitions du cosinus d un angle, de son sinus et de sa tangente, ainsi que des relations qui les lient D Solides de géométrie dans l espace Solides particuliers À savoir Se souvenir des propriétés géométriques des solides particuliers étudiés au collège : parallélépipède rectangle, prisme droit, cylindre, pyramides, cônes, sphères 6 Séquence MA0

6 Repérage dans le plan A Activités Activité 1 Vendée Globe La carte ci-dessous représente l océan Atlantique dans une projection équirectangulaire, c est-à-dire une projection de la sphère terrestre sur un plan, où l on s est arrangé pour que les parallèles et les méridiens se coupent à angle droit (ce qui n est pas le cas dans la réalité), avec une distance constante entre deux méridiens (ce qui n est pas le cas dans la réalité) et la même distance entre deux parallèles successifs où qu ils soient situés (ce qui n est pas non plus le cas dans la réalité) Ici on a même choisi un quadrillage carré (c est-à-dire que l on a pris la même distance entre deux parallèles successifs qu entre deux méridiens successifs), ce qui est le reflet de la réalité à proximité de l équateur, mais pas du tout aux pôles On a donc une déformation de la réalité : plus on va vers les pôles, plus les territoires sont étirés, aussi bien en longueur qu en largeur Sur cette carte de l Atlantique on veut représenter la position de cinq concurrents du Vendée-Globe au 7 février 009 Placer tout d abord Les Sables d Olonne, ville de départ et d arrivée de l épreuve, dont les coordonnées sont (1 W ; 47 N) Puis localiser les Açores, iles de l Atlantique que les concurrents contournent, et dont les coordonnées sont (8 W ; 39 N) On connaît la position de trois des concurrents Marc : (37 W ; 38 N) Arnaud : (37 W ; 14 N) Steve : (3 W ; 0 S) Placez-les sur la carte, en les nommant par leur initiale Séquence MA0 7

7 On sait que Dee est exactement au milieu du segment [MA] La placer sur la carte en la nommant D Calculer les coordonnées de sa position On s intéresse à un cinquième concurrent, Brian, dont on notera la position B On sait qu Arnaud est exactement au milieu du segment [BS] Placer sur la carte la position de Brian Calculer les coordonnées de sa position Activité Cadastre Le plan cadastral d une commune est quadrillé en carreaux de 10 m sur 10 m Chaque ligne du quadrillage est numérotée à partir d un point (0 ; 0) correspondant à un repère géodésique de l IGN Un géomètre doit borner un terrain qui vient d être acheté Sur l extrait du cadastre ci-dessous figure le quadrillage, le repère IGN, une route, un chemin et l emplacement de deux poteaux téléphoniques 8 Lire les coordonnées des points I, P 1, P On connaît la position de quatre points délimitant le terrain Ce sont les points P 1, A ( 1 ; 7), B(6 ; 7) et P 3, emplacement d un futur poteau téléphonique, situé de façon que P soit le milieu du segment [P 1 P 3 ] CHEMIN 3 Placer ces points sur le graphique Calculer les coordonnées du point P 3, ainsi que celles du point C, milieu du segment [P 1 A] Ign P 1 ROUTE P 1 0 Calculer la longueur des côtés [AB] et [B P 3 ], longueurs exprimées en décamètres Le propriétaire souhaite amener l électricité à partir du chemin, jusqu au point B, en implantant un poteau en A ou en C Quel emplacement faut-il choisir (A ou C) pour que la portion de ligne traversant le terrain soit la plus courte possible? 8 Séquence MA0

8 B Cours 1 Repérage d un point Coordonnées a) Repère Pour pouvoir repérer chaque point du plan de manière non-ambiguë, on peut fixer dans le plan deux axes gradués, sécants Définition On dit que le plan est muni d un repère lorsque l on a fixé dans ce plan deux axes gradués sécants On dit que le repère est orthogonal si les deux axes sont perpendiculaires On dit que le repère est orthonormé s il est orthogonal et si l unité de longueur est la même sur les deux axes y y y 1 J 1 0 I x 1 J 1 0 I x 1 J 1 0 I x Repère quelconque Repère orthogonal Repère orthonormé Remarque Même si ce n est pas toujours indispensable, on travaillera presque toujours dans un repère orthogonal (voire orthonormé) b) Coordonnées d un point Pour repérer un point du plan dans un repère orthogonal (O, I, J), on projette ce point orthogonalement sur chacun des deux axes gradués du repère La graduation correspondant au projeté sur le premier axe est appelée l abscisse du point Séquence MA0 9

9 La graduation correspondant au projeté sur le deuxième axe est appelée l ordonnée du point y Remarques M Si le repère n est pas orthogonal, on projette parallèlement aux deux axes 1 0-1,5 = x M J 5 = y M I 1 x L ordre dans lequel on considère les deux axes, pour établir un repère du plan, est fondamental, puisqu il permet de décider quelle graduation est l abscisse du point, et quelle graduation en est l ordonnée On note habituellement les abscisses des points avec la lettre x, x suivie en indice du nom du point, et les ordonnées avec la lettre y, y suivie en indice du nom du point Pour le point A, on notera x A et y A ; pour B, x B et y B ; pour M, x M et y M etc Propriété Dans le plan muni d un repère (O, I, J), on peut repérer un point M par son abscisse x M et son ordonnée y M Ces deux nombres sont appelés les coordonnées du point On note les coordonnées d un point sous la forme d un couple de nombres, le premier étant nécessairement l abscisse du point, et on écrit souvent ce couple immédiatement après le point On a donc une écriture de la forme : A xa; ya, Remarque x On trouve aussi le couple écrit verticalement : A A y A ( ) ou B ( x B ; 35, ), ou C ( 13, ; 0, ) Milieu d un segment Comme on a pu le voir dans l activité initiale, il est aisé de calculer les coordonnées du milieu d un segment lorsque l on connaît les coordonnées des extrémités de ce segment Propriété ( ) ( ) Si l on connaît les coordonnées de deux points du plan, A x A;yA et B x B;y B, les coordonnées du milieu du segment [AB] sont égales à : x = x A +x B milieu et : y = y A +y B milieu 10 Séquence MA0

10 Démonstration Considérons deux points A et B dont on connaît les coordonnées dans un repère du plan (repère orthogonal sur le dessin ci-contre, mais qui pourrait être quelconque) Appelons M le milieu du segment [AB] Projetons orthogonalement les points A, B et M sur l axe Ox On obtient les points A, B et M qui nous définissent les abscisses x A, x B et x M Supposons, pour la suite, que x B > x A Traçons le segment [CB] parallèlement à l axe Ox, x C étant le point d intersection de ce segment avec [AA ] On appelle K le point d intersection de ce segment avec [MM ] Dans le triangle ABC, les droites (AC) et (MK) sont parallèles et M est le milieu du segment [AB] On en déduit (théorème de Thalès) que K est le milieu de [CB] et donc que : BC = BK Or BC = B'A' et BK = B'M' (rectangles) On a donc : B'A' = B'M' C A y K M A' M' B' X A O X M X B x B Comme l abscisse de B est supérieure à celle de A, l abscisse de M est aussi supérieure à celle de A, et on a : B'A' = xb xa et B'M' = xb x M (voir les pré-requis) On en déduit que : xb xa = ( xb xm) x x Ce qui nous donne : x A + B M = Le résultat serait inchangé si l abscisse de B, et donc celle de M, étaient inférieures à celle de A (faites le calcul) On fait de même avec les ordonnées Remarque L abscisse du milieu d un segment est la moyenne des abscisses des extrémités de ce segment L ordonnée du milieu d un segment est la moyenne des ordonnées des extrémités de ce segment Exemple On considère, dans le plan repéré, les points A, B, C et D dont les coordonnées sont : A ( 13, ; 0),B( 85, ;, ),C( 09, ; 0, ) etd( 3, 5;, 4) Il semble, si l on place les points sur un graphique, que l on ait un parallélogramme Est-ce réellement le cas? Séquence MA0 11

11 Représentons ci-dessous les points dans un repère (que l on a pris pour une fois non-orthogonal) y D 1 J C 0 I 1 A x B Il semble effectivement que l on ait un parallélogramme, mais la précision du dessin n est pas suffisante pour en être sûr Pour vérifier si c est le cas, calculons les coordonnées du milieu M du segment [AC] On a : 13, + 0, 9 xm = ( ) = = + 0 0, 0, et ym = 01, Puis calculons les coordonnées du milieu K du segment [BD] On a : ( xk = 85, )+ 35, ( = et yk =, )+ 4, 0, = 0,1 On constate que l on obtient les mêmes coordonnées Les points M et K sont donc confondus Ceci signifie que les deux diagonales du quadrilatère se coupent en leur milieu On a donc bien un parallélogramme 3 Distance entre deux points La propriété que nous allons voir nécessite que l on soit dans un repère orthonormé Nous allons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer la distance entre deux points du plan, points dont on connaît les coordonnées dans un repère orthonormé 1 Séquence MA0

12 Propriété Si l on connaît les coordonnées de deux points du plan, ( ) ( ) A x A;yA et B x B;y B, dans un repère orthonormé (O, I, J), la ( ) ( ) distance AB est égale à : AB= x A x B + y A y B Démonstration Considérons deux points A et B dont on connaît les coordonnées dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan y Projetons orthogonalement les points A A et B sur l axe (OI) On obtient les points A et B qui nous définissent les abscisses x A et x B Traçons le segment [CB] parallèlement à l axe (OI), C étant le point d intersection de ce segment avec [AA ] Le triangle ABC est rectangle en C puisque les axes sont perpendiculaires C A' X A 0 B B' x X B On en déduit (théorème de Pythagore) que : AB = AC + CB Or on peut calculer les distances AC et CB à l aide des coordonnées des points On a CB = A'B' (rectangle), et donc : CB = A'B' = xb xa ou xa x B (voir les pré-requis) De la même façon en projetant les points A et B sur l axe (OJ) on obtient : AC = ya yb ou yb ya L égalité résultant du théorème de Pythagore s écrit alors : ( ) + ( ) AB = yb ya xb xa On peut noter que cette égalité ne dépend pas de l expression de chacune des distances AC et CB, puisque : ( yb ya) = ( ya yb) et ( xb xa) = ( xa xb) Enfin, puisqu une distance est un nombre positif, on a : ( ) + ( ) AB = yb ya xb xa Séquence MA0 13

13 Remarque Pour établir cette propriété, il est indispensable que les axes soient perpendiculaires, puisque l on a besoin d avoir un triangle ABC rectangle en C Il est aussi indispensable que l on mesure les distances avec les mêmes unités dans toutes les directions, pour pouvoir utiliser le théorème de Pythagore Il nous faut donc un repère orthonormé Exemple Reprenons, mais dans un repère orthonormé, les points A, B, C et D de l exemple précédent, dont les coordonnées sont : A ( 13, ; 0),B( 85, ;, ),C( 09, ; 0, ) etd( 3, 5;, 4) Pour montrer que ABCD est un parallélogramme, comparons les distances AB et CD, et les distances BC et DA On a : ( ) + ( ) = ( ) + ( ) AB = yb ya xb xa, 0 85, 13, =, 065 Et : ( ) + ( ) = ( ) + ( ( )) = CD = yd yc xd xc 4, 0, 35, 09,, 065 Ce qui nous donne : AB = CD De même on a : ( ) + ( ) = ( ) + ( ( )) = BC = yb yc xb xc, 0, 85, 09, 9565, ( ) + ( ) = ( ) + ( ) = Et : DA = yd ya xd xa 4, 0 35, 13, 9, 565 Ce qui nous donne : BC = DA Un quadrilatère non croisé ayant ses côtés opposés deux à deux de même longueur est un parallélogramme On a donc prouvé que ABCD est un parallélogramme 14 Séquence MA0

14 C Synthèse du cours Milieu d un segment Propriété Si l on connaît les coordonnées de deux points du plan, ( ) ( ) A x A;yA et B x B;y B, dans un repère quelconque (O, I, J), les coordonnées du milieu du segment [AB] sont égales à : x = x A +x B et : y = y A +y B milieu milieu Distance entre deux points Propriété Si l on connaît les coordonnées de deux points du plan, ( ) ( ) A x A;yA et B x B;y B, dans un repère orthonormé (O, I, J), la distance AB est égale à : AB= ( x A x B) + ( y A y B) D Exercices d apprentissage Exercice 1 coordonnées sont : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A 13, ; 4,B 15, ; 1,C 17, ; 3,,D 07, ; 56,,E 1,; 06, etf 11,; 16, triangles ABC et DEF? Calculer les coordonnées du milieu du segment [AD], celles du milieu du segment [BE], et celles du milieu du segment [CF] Que peut-on conclure pour les triangles ABC et DEF? Exercice Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C et K dont les coordonnées sont : A ( 43, ; 4),B( 16, ; 1),C( 160, ; ) etk( 05, ; 0, ) Faire une figure représentant ces points Séquence MA0 15

15 Représenter le triangle DEF, symétrique de ABC par rapport au point K Calculer les coordonnées des points D, E et F Exercice 3 Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B et C dont les coordonnées sont : ( ) ( ) ( ) A 3, ; 38,,B 11, ; 1 etc 5, ;, Faire une figure représentant ces points et placer le point D tel que ABCD soit un parallélogramme Calculer les coordonnées du milieu du segment [AC] En déduire les coordonnées du point D Exercice 4 Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C, D et E, dont les coordonnées sont : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A 13, ;,B 3, 5; 1,C 17, ; 3,,D 15, ; 0,6 et E 0, 9;, 1 Faire une figure représentant ces points Que peut-on conjecturer pour les droites (AB) et (DE)? Calculer les coordonnées du milieu du segment [AC] Démontrer que les droites (AB) et (DE) sont parallèles Exercice 5 Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C, D, E et K, dont les coordonnées sont : A 5, ; 6,B 85, ; 0,C 65, ; 6,D 35, ; 6, 45, ; , ; 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E etk ( ) Faire une figure représentant ces points Que peut-on conjecturer pour les points A, B, C, D et E? Calculer les distances KA, KB, KC, KD et KE Que peut-on conclure pour les points A, B, C, D et E? Exercice 6 Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C, D et E, dont les coordonnées sont : ( ) ( ) D( 06, ; 1, 3 16, ) ( ) + A 06, ; 16,,B 06, 1, 3; 04,,C 06, ; 08,, ( ) et E 18, ; 16, Faire une figure représentant ces points Que peut-on conjecturer sur la nature des triangles ABC, ABD et ABE? Calculer les distances AB, AC, AD et AE Déterminer la nature précise des triangles ABC, ABD et ABE 16 Séquence MA0

16 Exercice 7 Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A et B, dont les coordonnées sont : ( ) ( ) A 5; 1 etb 6; 4 On trace le cercle de centre A et de rayon AB La tangente à ce cercle passant par B coupe l axe (OJ) au point C Faire une figure représentant les points, le cercle et la tangente Calculer le rayon du cercle Déterminer les coordonnées du point C Exercice 8 Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B et C, dont les coordonnées sont : ( ) ( ) ( ) A ;,B 4 ; 4 etc 6 ; 4 On trace le cercle de centre A et de rayon AB On veut déterminer une valeur approchée de l angle BAC Faire une figure représentant les points et le cercle Montrer que C est sur le cercle de centre A et de rayon AB Déterminer les coordonnées du point D, point diamétralement opposé au point C sur le cercle Vérifier que le triangle BCD est rectangle en B Déterminer une valeur approchée de l angle BDC En déduire une valeur approchée de l angle BAC Séquence MA0 17

17 3 Équations de droites A Activités 1 Location à la journée Une société de location de voiture à la journée fait payer un forfait de 4,50 (quelle que soit la distance parcourue), plus 0,50 par km parcouru dans la journée On note f la fonction qui donne le montant d une facture (en euros) en fonction de la distance parcourue (en km) Calculer le montant d une facture pour une distance parcourue de 50 km, puis pour une distance parcourue de 150 km, puis pour une distance parcourue de x km Représenter graphiquement la fonction f qui donne le montant d une facture (en euros) en fonction de la distance parcourue (en km) ; on prendra un repère orthonormé du plan, 1 cm représentant 10 km sur l axe des abscisses et 10 euros sur l axe des ordonnées Des factures de bricoleurs Deux amis bricoleurs, Alain et Bernard, ont acheté dans le même magasin des dalles en teck pour construire une terrasse et des poutres pour soutenir cette terrasse Alain a acheté 10 poutres et 50 dalles et a payé 95 Bernard, quant à lui, a acheté 40 dalles et s est fait rembourser 0 poutres Il a payé 180 On note x le prix (en euros) d une poutre et y le prix (en euros) d une dalle Traduire par deux égalités les factures des deux amis À partir de l égalité traduisant la facture de Bernard, exprimer y en fonc- tion de x En déduire alors, à l aide de l égalité traduisant la facture d Alain, la valeur de x Puis celle de y 18 Séquence MA0

18 3 Médiatrice d un segment Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A et B, dont les coordonnées sont : A 4; 115, et B 8; 3, 5 ( ) ( ) On considère un point M quelconque de ce plan, dont les coordonnées sont : M x; y ( ) On veut chercher à quelle condition ce point M est sur la médiatrice du segment [AB] Faire une figure représentant les points et la médiatrice de [AB] Calculer, en fonction de x et y, y la distance AM Calculer de même, en fonction de x et y, y la distance BM A quelle condition géométrique le point M est-il sur la médiatrice de [AB]? En élevant les distances au carré, et en utilisant la question, traduire cette condition géométrique par une égalité portant sur x et y B Cours 1 Droites et fonctions affines a) Droites et fonctions affines Nous avons vu à la séquence 1 et à l activité 1 de ce chapitre que les fonctions affines, c est-à-dire les fonctions qui s expriment par f ( x)= ) ax + b, étaient représentées graphiquement, dans un repère quelconque, par des droites Un point de coordonnées x; y ( ) appartient à la droite représentant la fonction f si ses coordonnées vérifient la relation : y = ax + b Exemple Reprenons la fonction f de l activité 1, définie par f( x)= 05, x + 45, On a vu qu elle est représentée par la droite (AB), points A et B dont les coordonnées sont : ( ) ( ) A 50; 9, 5 et B 150; 79, 5 Regardons les points C et D dont les coordonnées sont : C( 73, ; 805, ) et D ( 751, ; 405, ) Il semble que ces points soient sur la droite Est-ce le cas? Séquence MA0 19

19 90 y 80 B y = 0,5x + 4, D 30 A 0 10 C x Réponse Pour répondre à cette question, regardons si les coordonnées de ces points vérifient l équation : y = 05, x + 45, Pour le point C, a-t-on yc = 05, xc + 45,? C est-à-dire : 8, 05 = 0, 5 7, 3+ 4, 5? La réponse est non, puisque 05, 73, + 45, = 815, Le point C n est donc pas un point de la droite Pour le point D, a-t-on yd = 05, xd + 45,? C est-à-dire :405, = 05, 751, + 45,? La réponse est oui, puisque 0, 5 75, 1+ 4, 5 = 4, 05 Le point D est donc bien un point de la droite Dénition La relation y = ax + b qui caractérise les points de la droite (AB) est appelée équation de la droite (AB) Remarque Il est important de retenir que le mot «équation» est ici utilisé dans un sens différent du sens habituel Il ne s agit pas ici d une égalité qui nous permettra de déterminer la valeur d une inconnue, mais plutôt d un critère d appartenance à une droite b) Équations de droites Nous allons maintenant regarder si toute droite du plan, dans un repère quelconque, a une équation du type de celle que l on vient de voir ( y = ax + b), c est-àdire si toute droite du plan représente une fonction affine 0 Séquence MA0

20 Pour cela considérons une droite du plan, et prenons deux points distincts quelconques de cette droite, A et B, de coordonnées A( xa; ya) et B ( xb; yb) Cherchons alors s il existe une fonction affine f telle que : ya f xa et yb f xb Autrement dit cherchons deux nombres réels a et b tels que : = ( ) = ( ) ya = axa + b et yb = axb+ b La première égalité impose que : b = ya axa La deuxième égalité nous donne alors : yb = axb + ya axa Soit : yb ya = a( xb xa ) On peut alors déterminer a, a mais à condition que ( xb xa) 0 (puisqu il va falloir diviser) Il nous faut donc envisager deux cas distincts y y y A A A y A y B B y B B x A x B x x A = x B x Figure 1 Figure 1 er cas : ( xb xa) 0 c est-à-dire xb xa (voir figure 1) Dans ce cas on peut diviser par xb xa ( ) et on obtient : a y y = B A xb xa y y On peut alors trouver la valeur de b : b = y ax = y B A A A A x xb x A A réduite, puisque l essentiel ici n est pas d avoir explicitement les valeurs de a et b, b mais d avoir prouvé qu ils existent On a donc montré que la droite (AB) est bien la représentation graphique d une fonction affine, et donc qu elle a bien une équation du type y = ax + b Séquence MA0 1

21 e cas : ( xb xa)= 0 xb = xa (voir figure ) Dans ce cas on ne peut pas diviser par xb xa de fonction affine satisfaisant les deux égalités proposées ( ) On ne peut donc pas trouver Mais on peut remarquer que, dans ce cas, la droite (AB) est parallèle à l axe des ordonnées, et que tous les points de cette droite ont nécessairement la même abscisse ( x A ) Ceci suffit à caractériser cette droite On dira que l égalité x = x A est une équation de cette droite Propriété Toute droite, non parallèle à l axe des ordonnées, a une équation de la forme y = ax + b Toute droite, parallèle à l axe des ordonnées, a une équation de la forme x = c où c est une constante Remarque On peut modifier les écritures de ces équations, ce qui fait qu une droite a plusieurs équations, de forme différente, mais toutes équivalentes Par exemple, la droite obtenue à l activité 1, dont une équation est y = 05, x + 45, a aussi pour équations : y 05, x = 45, ; y = x + 9 ; x = y 9 ; x y + 9= 0 ; 5x 10y = 45; etc L équation y = 05, x + 45, est appelée l équation réduite de la droite c) Coefficient directeur ; ordonnée à l origine Intéressons-nous particulièrement aux droites non parallèles à l axe des ordonnées, et regardons quelle interprétation graphique on peut faire des deux coefficients a et b qui interviennent dans l équation de ces droites : y = ax + b Pour le nombre b, b cela est assez simple, puisqu on voit facilement que le point de coordonnées ( 0; b) appartient à la droite Le coefficient b est donc l ordonnée du point de la droite qui a comme abscisse 0 On l appelle l ordonnée à l origine de la droite Pour le nombre a, a on a vu dans le calcul précédent (recherche d une fonction y y affine) que l on a nécessairement : a = B A On voit sur les figures ci-dessous qu il représente le coefficient de proportionnalité entre l augmentation en xb xa abscisse entre deux points, et l augmentation en ordonnée Séquence MA0

22 y y A y (x A B - x A ) B y B H b (y B - y A ) (y B - y A ) y B B x A x B y A A (x B - x A ) H x xa xb x b Figure 1 Figure Sur la figure 1, qui représente une droite correspondant à une fonction affine croissante, le coefficient a est la tangente de l angle BAH Sur la figure, qui représente une droite correspondant à une fonction affine décroissante, le coefficient a est l opposé de la tangente de l angle BAH (car yb ya est négatif) Le coefficient a indique donc, par son signe, si la droite «monte» ou «des- cend», et par sa valeur absolue, la «pente» de la droite On l appelle le coefficient directeur (puisqu il donne la direction) de la droite Définitions Si une droite a pour équation y = ax + b dans un repère du plan : b est l ordonnée du point de la droite qui a comme abscisse 0 On l appelle l ordonnée à l origine de la droite a indique la «pente» de la droite On l appelle le coefficient directeur de la droite Remarque Les droites parallèles à l axe des ordonnées, donc ayant une équation de la forme x = c, n ont ni coefficient directeur, ni ordonnée à l origine Savoir-faire Maintenant que l on a bien établi la signification de l équation d une droite, voyons quels savoir-faire de base doivent être maîtrisés Séquence MA0 3

23 a) Savoir tracer une droite dont on nous donne l équation Exemple y 5,5 C 4 Le plus simple est de déterminer, à l aide de l équation, les coordonnées de deux points de la droite et de les placer dans le repère choisi Il n y a plus qu à tracer la droite passant par ces deux points Dans un repère du plan, représenter les droites D 1, D et D 3 dont les équations respectives sont : 3 11 y = 08, x 3; y = x + ; x = 35, 10 Droite D 1 L ordonnée à l origine est ( 3 ), donc un premier point peut être le point A de coordonnées ( 0; 3) Pour un deuxième point, B, choisissons son abscisse, par exemple x B = 5 Son ordonnée y B vérifie alors : yb = 0, 8xB 3= 0, 8 5 3= 1 Le point B a donc comme coordonnées ( 5; 1) La droite D 1 est donc la droite (AB) Voir graphique ci-dessous Droite D L ordonnée à l origine est 11 D 3 F = 55,, donc un premier point peut être le point C de coordonnées ( 0; 5, 5) E D Pour un deuxième point, E, choisissons son abscisse, par exemple x E = 5 Son ordonnée y E vérifie alors : ye = xe + = + = Le point E a donc comme coordonnées ( 5; 4) 1 B D 1 La droite D est donc la droite (CE) Voir graphique ci-contre Droite D ,5 5 x L équation de cette droite nous montre qu elle est parallèle à l axe des ordonnées, et que ses points ont pour abscisse 3,5 On peut donc prendre comme points G de cette droite le point F de coordon- -3 A nées ( 35, ; 3), et le point G de coordonnées ( 35, ; ) La droite D 3 est donc la droite (FG) Voir graphique ci-contre 4 Séquence MA0

24 b) Vérifier par le calcul si un point est sur une droite dont on nous donne l équation Voir l exemple du 1 a) c) Connaissant l une de ses coordonnées, trouver l autre coordonnée d un point d une droite dont on nous donne l équation, Exemple Reprenons l exemple du 1 a), donc la droite d équation y = 05, x + 45, Quelle est l ordonnée du point de la droite qui a pour abscisse ( 17)? Quelle est l abscisse du point de la droite qui a pour ordonnée 13,77? Déterminer les coordonnées d un point de la droite Réponses Pour obtenir l ordonnée du point de la droite qui a pour abscisse ( 17), remplaçons x par ( 17) dans l équation y = 05, x + 45, Cela nous donne : y = 05, ( 17)+ 45, = 4 Le point de la droite qui a pour abscisse ( 17) est donc le point de coordonnées 17; 4 ( ) Pour obtenir l abscisse du point de la droite qui a pour ordonnée 13,77, remplaçons y par 13,77 dans l équation y = 05, x + 45, Cela nous donne : 13, 77 = 0, 5x + 4, 5 Soit : 0, 5x = 13, 77 4, 5 = 9, 7 C est-à-dire : x = 9, 7 = 18, 54 Le point de la droite qui a pour ordonnée 13,77 est donc le point de coordonnées ( 18, 54 ; 13, 77) Pour déterminer les coordonnées d un point de la droite, je peux choisir arbitrairement son abscisse, ou son ordonnée L autre coordonnée s obtient par un calcul analogue aux précédents Ici, choisissons par exemple son abscisse : 10 Son ordonnée vérifie alors : y = 05, , = 95, Un point de la droite est donc le point de coordonnées ( 10 ; 9, 5) d) Déterminer l équation d une droite dont on nous donne deux points Exemple Déterminer l équation de la droite passant par les points A et B de coordonnées : ( ) ( ) A 11; 7 et B 5; 5 Séquence MA0 5

25 Déterminer l équation de la droite passant par le point C de coordonnées : C 4, ; 1, ( ) et de coefficient directeur ( 3 ) Déterminer l équation de la droite passant par les points E et F de coordonnées : ( ) ( ) E 11, ; 7 et F 11, ; 5 Réponses Puisque les abscisses des deux points sont différentes, l équation de la droite est de la forme y = ax + b On a vu que le coefficient directeur, a, a s obtient par : y y 5 a = = ( 7 B A ) 1 = = 075, xb xa Pour trouver l ordonnée à l origine, b, b il suffit de traduire que le point A (ou le point B) est sur la droite Ce qui nous donne : ya = 075, xa + b Soit : 7 = 0, b= 8, 5 + b On obtient : b = 7+ 8, 5= 15, Une équation de la droite (AB) est donc : y = 075, x + 15, Puisque l on nous donne le coefficient directeur de la droite, celle-ci a une équation de la forme y = ax + b Ici on a : y = 3 x + b Pour trouver l ordonnée à l origine, b, b il suffit de traduire que le point C est sur la droite Ce qui nous donne : yc = 3 xc + b Soit : 1= 3 4, + b= 1, 6+ b On obtient : b = 1+ 1, 6= 116, Une équation de la droite est donc : y = 3x + 116, Puisque les abscisses des deux points sont égales, l équation de la droite est de la forme x = c Ici on a donc : x = xe = 11, Une équation de la droite (EF) est donc : x = 11, À savoir Si une droite passe par les points A et B dont les coordonnées sont ( ) ( ) alors le coefficient directeur de la droite est A xa; ya et B xb; yb, y y égal à : a = B A xb xa 6 Séquence MA0

26 e) Lire graphiquement le coefficient directeur d une droite et son ordonnée à l origine Exemple Lire le coefficient directeur et l ordonnée à l origine des droites D 1 et D représentées sur le graphique ci-dessous Réponse Droite D 1 L ordonnée à l origine est l ordonnée du point d intersection de D 1 avec l axe des ordonnées, c est-à-dire du point A L ordonnée à l origine est donc b = 05, Le coefficient directeur peut se lire en comparant l augmentation en ordonnée et en abscisse entre deux points de la droite Prenons par exemple les points B et C On a : xc xb = ( 1)= 3 et yc yb = 35, ( 1)= 45, y y Le coefficient directeur est donc : a = C B 45, = = 15, xc xb 3 Séquence MA0 7

27 Remarquons qu il est plus direct de choisir deux points dont la différence des abscisses vaut 1 En effet, prenons par exemple les points C et E On a : xe xc = 3 = 1 et ye yc = 5 3, 5= 15, y y Le coefficient directeur est donc : a = E C 15, = = 15, xe xc 1 Droite D L ordonnée à l origine est l ordonnée du point d intersection de D avec l axe des ordonnées, c est-à-dire du point F L ordonnée à l origine est donc b = 45, Le coefficient directeur peut se lire directement en choisissant deux points dont la différence des abscisses vaut 1 Prenons par exemple les points F et G On a bien : xg xf = 1 0= 1 Le coefficient directeur est donc : a= yg yf = 5, 45, = 3 Applications géométriques Plaçons-nous maintenant d un point de vue plus géométrique Les équations de droite vont nous permettre d aborder des problèmes géométriques a) Points alignés Exemple Réponse Dans un repère du plan, on considère les points A, B, C et D dont les coordonnées sont : A 1; 6, 3,B, 3; 19,,C 15, ; 0, 55,et D 41,; 54, ( ) ( ) ( ) Sont-ils alignés? ( ) Pour le savoir, cherchons d abord une équation de la droite (AB) y y Son coefficient directeur est : a = A B = 63, 19, = 759, = 3, xa xb 1, 3 33, Pour trouver l ordonnée à l origine, b, b il suffit de traduire que le point A est sur la droite Ce qui nous donne : ya = 3, xa + b Soit : 63, = 3, ( 1)+ b = 3, + b On obtient : b = 63, + 3, = 4 Une équation de la droite (AB) est donc : y = 3, x 4 Regardons maintenant si le point C est sur la droite (AB) Regardons donc si les coordonnées de C vérifient l équation de la droite A-t-on : yc = 3, xc 4? C est-à-dire a-t-on : 055, = 3, 15, 4? Oui puisque :, 3 1, 5 4 = 0, 55 Les points A, B et C sont alignés 8 Séquence MA0

28 Regardons maintenant si le point D est sur la droite (AB) Regardons donc si ses coordonnées vérifient l équation de la droite A-t-on : yd = 3, xd 4? C est-à-dire a-t-on : 5, 4 =, 3 4, 1 4? Non puisque :, 3 4, 1 4 = 5, 43 Les points A, B et D ne sont donc pas alignés b) Droites parallèles Propriété Deux droites, non parallèles à l axe des ordonnées, sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux Exemple Réponse Parmi les neuf droites suivantes, indiquer celles qui sont parallèles D 1 : équation y = 3, x 4 D : équation y = 05, x 1 3x 16 D 3 : équation y = 05, x + 04, D 4 : équation y = 1 D 5 : équation x = 4 D 6 : équation y = 3, x D 7 : équation x = 3, D 8 : équation y = 53, x 54, 1 D 9 : équation y = x , 4 Tout d abord les droites D 5 et D 7 sont parallèles à l axe des ordonnées (et ce sont les seules), elles sont donc parallèles Ensuite les droites D 1 et D 6 ont pour coefficient directeur,3 (et ce sont les seules), elles sont donc parallèles Les droites D, D 4 et D 9 ont également le même coefficient directeur puisque l équation y = peut s écrire y = x + 3x , et que 05= 3 1 = 1, 4 Enfin la droite D 3 de coefficient directeur 0,5 et la droite D 8 de coefficient directeur 5,3 ne sont parallèles à aucune autre droite de la liste c) Droites sécantes Propriété Deux droites qui ne sont pas parallèles sont sécantes Elles ont alors un seul point commun, appelé point d intersection C est le seul point dont les coordonnées vérifient à la fois l équation de la première droite et l équation de la deuxième droite Séquence MA0 9

29 Exemple Réponses On considère la droite D 1 d équation y = 3, x 4 Parmi les trois droites suivantes, indiquer celles qui sont sécantes avec D 1 et déterminer les coordonnées du point d intersection D : équation y = 05, x 1 D 3 : équation y = 3, x + 04, D 4 : équation x = 4 D 1 et D sont sécantes puisqu elles ont des coefficients directeurs différents Leur point d intersection, appelons-le A, a des coordonnées ( xa ; ya) vérifiant : ya = 3, xa 4 et ya = 05, xa 1 Puisque c est le même y A dans les deux égalités, on doit nécessairement avoir : 3, xa 4= 05, xa 1 Soit :, 3xA + 0, 5xA = 4 1 Et donc : x A = 3 55, 3 On calcule alors y A : y A = 3 = = ,,,,, 55, Le point d intersection des deux droites est le point A de coordonnées : 3 33, ; 55, 55, D 1 et D 3 sont parallèles puisqu elles ont des coefficients directeurs égaux D 1 et D 4 sont sécantes puisque D 4 est parallèle à l axe des ordonnées, alors que D 1 ne l est pas Leur point d intersection, appelons-le B, a des coordonnées ( xb; yb) vérifiant : yb = 3, xb 4 et x B = 4 On voit ainsi que l on connaît x B (on a x B = 4 ) Il reste à calculer y B : y B = 3, ( 4) 4= 13, Le point d intersection des deux droites est le point B de coordonnées : 4; 13, ( ) 4 Systèmes d équations linéaires a) Retour sur des situations précédentes Revenons tout d abord sur les trois activités du début de chapitre Dans l activité 1 nous nous sommes intéressés à un tarif de location de voiture La fonction qui donnait le montant d une facture (en euros) en fonction de la distance parcourue (en km) s exprimait par : f( x)= 05, x + 45, Elle était donc représentée par une droite d équation : y = 05, x + 45, Dans l activité c est la facture de bricolage de Bernard qui nous intéressait On obtenait : 40y 0x = 180, x étant le prix (en euros) d une poutre et y le prix (en euros) d une dalle 30 Séquence MA0

30 Ce qui nous donnait : y = 05, x + 45, Dans l activité 3 c est une équation de la médiatrice du segment [AB] que l on cherchait On obtenait l égalité : y = 05, x + 45, Nous voyons que ces trois problèmes conduisent à la même équation, y = 05, x + 45,, qui est une équation de droite, mais que ces équations n ont pas, concrètement, la même signification Dans l activité 1, on a une quantité variable, x, x qui est la distance parcourue, et l équation permet de calculer le coût de la location, y, y en fonction de x (on a une fonction) Dans l activité on a deux quantités inconnues, x et y, y qui ne varient pas, et qui ne dépendent pas l une de l autre, mais avec lesquelles on traduit deux situations, dans le but de les déterminer Enfin dans l activité 3, on établit l équation de la médiatrice d un segment, c està-dire un critère permettant de savoir si un point M de coordonnées ( x; y ) est sur cette médiatrice ou non Les nombres x et y ne représentent rien d autre que les coordonnées de points, on est dans une situation purement géométrique C est cette possibilité de passer du domaine des fonctions, à celui des inconnues ou à celui de la géométrie qui fait la richesse et l intérêt de ces «équations de droites» Revenons maintenant sur la deuxième partie de l activité et sur les droites sécantes (3 c)) Dans l activité, pour déterminer les prix en euros d une poutre et d une dalle, on a cherché les valeurs de x et y vérifiant à la fois y = 05, x + 45, et 10x + 50y = 95 Dans la recherche du point d intersection des droites D 1 et D on a cherché les coordonnées x et y vérifiant à la fois y = 3, x 4 et y = 05, x 1 Le fait d avoir simultanément deux équations à vérifier est appelé «système d équations» C est une situation fréquente (intersection de deux droites, problème linéaire à deux inconnues, valeur de la variable ayant la même image par deux fonctions affines différentes), et il est indispensable de savoir résoudre un système de deux équations à deux inconnues, et de savoir interprété graphiquement la situation Définition Résoudre un système d équations linéaires à deux inconnues ( y = ax + b et y = cx + d ), c est déterminer le (ou les) couple(s) ( x; y) vérifiant simultanément les deux équations On note un système sous la forme : y = ax + b y = cx + d Séquence MA0 31

31 Nous avons vu qu une équation de droite peut s écrire sous d autres formes que sous sa forme réduite ( y = ax + b ) On peut donc également trouver dans un système d équations linéaires des équations écrites sous une autre forme que leur forme réduite : ax + by = c ax ' + by ' = c' C est même le plus fréquent Remarque b) Techniques de résolution ; interprétation graphique Méthode par substitution La méthode de résolution d un système par substitution consiste à exprimer une inconnue en fonction de l autre, à l aide de l une des équations, puis à remplacer dans l autre équation cette inconnue (substitution) par l expression obtenue On a alors une équation avec une seule inconnue, donc facile à résoudre Exemples Prenons l exemple de l activité Nous avons obtenu les deux égalités : 40y 0x = 180 et 50y + 10x = 95 Pour déterminer le prix (en euros) d une poutre, x, x et le prix (en euros) d une dalle, y, y nous devons résoudre le système d équations : 40y 0x = y + 10x = 95 On nous donnait une indication dans la question : «À partir de l égalité traduisant la facture de Bernard, exprimer y en fonction de x» À partir de la première équation on obtient : 40y = 0x Soit : y = 05, x + 45, On va alors remplacer, dans la deuxième équation, y, y par 05, x + 45, Ce qui nous donne : 50( 0, 5x + 4, 5)+ 10x = 95 Donc : 35x = 70 On obtient donc : x = On peut alors calculer y en reprenant la première équation : y = 0, 5x + 4, 5= 0, 5 + 4, 5= 5, 5 Une poutre coûte donc et une dalle 5,5 Prenons maintenant l exemple de la recherche des coordonnées du point d intersection de deux droites sécantes (3 c)) 3 Séquence MA0

32 Dans la recherche du point d intersection des droites D 1 et D on cherche les coordonnées x et y vérifiant le système d équations : y = 3, x 4 y = 05, x 1 Ici les équations nous donnent directement y en fonction de x x On peut donc l exprimer à l aide de l une des équations (par exemple y = 3, x 4), et le substituer dans l autre Soit :3, x 4= 05, x 1 Donc :, 55x = 3 On obtient donc : x = 3 55, On peut alors calculer y en reprenant la première équation : 3 y = 3x 4= 3 = ,,,, 55, Le point d intersection des deux droites est le point de coordonnées : 3 33, ; 55, 55, Méthode par combinaison linéaire La méthode de résolution d un système par combinaison consiste à multiplier chaque équation par un coefficient bien choisi pour qu en additionnant (ou soustrayant) les deux équations, l une des inconnues «s élimine» On a alors une équation avec une seule inconnue, donc facile à résoudre Exemples Prenons encore l exemple de l activité Nous devons résoudre le système d équations : 40y 0x = y + 10x = 95 En multipliant la première équation par 1 (donc on n y touche pas) et la deuxième par, on voit que les termes en x vont s éliminer si l on ajoute membre à membre les deux égalités En effet on a : 40y 0x = 180 ( 1) 40y 0x = y + 10x = 95 ( ) 100y + 0x = 590 En additionnant les deux égalités membre à membre on obtient : ( 40y 0x)+ ( 100y + 0x)= Soit : 140y = 770 C est-à-dire : y = 55, On peut alors calculer x avec une des deux équations de départ (ou faire une autre combinaison qui «élimine» l inconnue y) y Reprenons maintenant l exemple de la recherche des coordonnées du point d intersection de deux droites sécantes (3 c)) Séquence MA0 33

33 Nous devons résoudre le système d équations : y = 3, x 4 y = 05, x 1 Ici, la méthode par substitution s impose, et il serait ridicule de vouloir utiliser une combinaison des deux équations Interprétation graphique Dans les exemples précédents de résolution d un système d équations, l interprétation graphique est évidente, chaque équation est représentée par une droite, la solution du système est le couple des coordonnées du point d intersection des deux droites Mais, dans quelques cas particuliers, l interprétation graphique sera importante pour comprendre ce qui se passe Voyons-le sur deux exemples Exemples Résoudre le système d équations : 1x 5y = 3 3y = 7, x + 9, 6 La forme de la deuxième équation nous incite à procéder par substitution Cette équation nous donne : y = 4, x + 3, En substituant cette expression à y dans la première équation, on obtient : 1x 5(, 4x + 3, )= 3 Soit : 1x 1x 16 = 3 Les termes en x s annulent, et il reste l équation : 16 = 3 Ce qui est évidemment faux! On ne peut donc pas trouver de valeur de x vérifiant le système d équations, et par conséquent pas de valeur pour y Le système d équations n a pas de solution Essayons de comprendre pourquoi, en faisant une interprétation graphique de la situation La première équation 1x 5y = 3 est représentée par une droite dont on peut chercher deux points A et B, de façon à en faire une représentation graphique On peut choisir, comme abscisse de A, x A = 0 On a alors : 1xA 5yA = 5yA = 3, soit : y A = 06, On peut choisir, comme ordonnée de B, y B = 0 On a alors : 1xB 5yB = 1xB = 3, soit : x B = 05, On peut alors représenter la droite (AB) Voir graphique ci-après La deuxième équation 3y = 7, x + 9, 6 est représentée par une droite dont on peut chercher deux points C et D, de façon à en faire une représentation graphique On peut choisir, comme abscisse de C, x C = 0 34 Séquence MA0

34 On a alors : 3yC = 7, xc + 9, 6 = 9, 6, soit : y C = 3, On peut choisir, comme ordonnée de D, y D = 0 On a alors : 3yD = 0 = 7, xd + 9, 6, soit : x D = 4 3 On peut alors représenter la droite (CD) Voir graphique ci-dessous On réalise alors pourquoi on n a pas trouvé de solution pour le système d équations Les deux droites dont on cherchait le point d intersection sont parallèles (du moins le semblent-elles sur le graphique), et n ont donc pas de point d intersection Pour confirmer notre observation graphique, on peut modifier chacune des équations pour les mettre sous forme d équation réduite de droite On obtient pour la première : y = 4, x 06, Et pour la deuxième : y = 4, x + 3, Ceci confirme que les deux droites ont le même coefficient directeur (,4) donc sont parallèles Elles n ont pas la même ordonnée à l origine (3, au lieu de 0,6) donc sont bien distinctes Séquence MA0 35

35 Résoudre le système d équations : 1x 5y = 16 3y = 7, x + 9, 6 La forme de la deuxième équation nous incite à procéder par substitution Cette équation nous donne : y = 4, x + 3, En substituant cette expression à y dans la première équation, on obtient : 1x 5(, 4x + 3, )= 16 Soit : 1x 1x 16 = 16 Les termes en x s annulent, et il reste l équation : 16 = 16 Ce qui est évidemment toujours vrai, indépendamment de la valeur de x! On peut donc choisir n importe quelle valeur de x, x la valeur de y correspondant se calculant avec l équation y = 4, x + 3, Le système d équations a donc une infinité de solutions Essayons de comprendre pourquoi, en faisant une interprétation graphique de la situation La première équation 1x 5y = 16 est représentée par une droite dont on peut chercher deux points E et F, de façon à en faire une représentation graphique On peut choisir, comme abscisse de E, x E = 0 On a alors : 1xE 5yE = 5yE = 16, soit : y E = 3, On peut choisir, comme ordonnée de F, y F = 0 On a alors : 1xF 5yF = 1xF = 16, soit : x F = 4 3 On peut alors représenter la droite (EF) Voir graphique ci-après La deuxième équation 3y = 7, x + 9, 6 est représentée par une droite On a déjà cherché deux points C et D de cette droite dans l exemple précédent ( )= ( ) On a trouvé C, de coordonnées : xc; yc 0; 3, Et D, de coordonnées : ( xd; yd )= 4 ; 3 0 On constate que C = E et D = F Voir graphique ci-après On réalise alors pourquoi on a trouvé une infinité de solutions pour le système d équations Les deux droites dont on cherchait le point d intersection sont confondues, et ont donc une infinité de points d intersection On aurait pu s en apercevoir par le calcul (sans représentation graphique) en modifiant chacune des équations pour les mettre sous forme d équation réduite de droite On obtient pour la première : y = 4, x + 3, Et pour la deuxième : y = 4, x + 3, 36 Séquence MA0

36 Ceci confirme que les deux droites sont confondues Séquence MA0 37

37 C Synthèse du cours 1 Équations de droites Propriété Toute droite, non parallèle à l axe des ordonnées, a une équation de la forme y = ax + b Toute droite, parallèle à l axe des ordonnées, a une équation de la forme x = c où c est une constante Définitions Si une droite a pour équation y = ax + b dans un repère du plan : b est l ordonnée du point de la droite qui a comme abscisse 0 On l appelle l ordonnée à l origine de la droite a indique la «pente» de la droite On l appelle le coefficient directeur de la droite À savoir Si une droite passe par les points A et B dont les coordonnées sont ( ) ( ) alors le coefficient directeur de la droite est A xa; ya et B xb; yb, y y égal à : a = B A xb xa Applications géométriques ét Propriété Deux droites, non parallèles à l axe des ordonnées, sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux 3 Systèmes d équations linéaires À savoir Résoudre un système d équations linéaires par la méthode de substitution Résoudre un système d équations linéaires par la méthode de combinaison Interpréter graphiquement un système d équations linéaires 38 Séquence MA0

38 D Exercices d apprentissage Exercice 9 Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère la droite D, d équation : y = x 1, et les points A, B et C dont les coordonnées sont : 3 A 1; 3,B 3; 1 etc 0, 6; 15, ( ) ( ) ( ) Déterminer si le point A appartient à D ; si B appartient à D ; si C appartient à D Pour chacun des points qui n appartient pas à D, déterminer une équation de la droite passant par ce point et parallèle à D Exercice 10 Dans un repère (O, I, J) du plan, on considère les droites D 1, D et D 3 dont les équations respectives sont : y = 04, x ; y = 0, x + 5et y = 01, x + 8 Faire une figure représentant ces droites Déterminer les coordonnées du point d intersection de D 1 et D Déterminer les coordonnées du point d intersection de D et D 3 Exercice 11 Une entreprise propose à ses employés de rembourser en partie leurs frais de déplacement Elle dispose de trois modalités possibles de remboursement, et choisit celle qui lui revient le moins cher Première modalité : remboursement de 0,4 par km parcouru Deuxième modalité : remboursement d un forfait de 5 plus 0, par km parcouru Troisième modalité : remboursement d un forfait de 8 plus 0,1 par km parcouru Pour chacune des trois modalités, exprimer le montant du remboursement en euros (on le notera y) y en fonction du kilométrage parcouru (on le notera x) x De quelle nature sont ces fonctions? Dans un repère (O, I, J) du plan, représenter les trois fonctions obtenues Que remarque-t-on en rapport avec l exercice précédent? Déterminer pour quel kilométrage les deux premières modalités donnent le même montant de remboursement Même question pour les deux dernières modalités Sur votre graphique, indiquer quelle «courbe de remboursement» doit suivre l entreprise pour choisir à chaque fois la modalité la moins chère Séquence MA0 39

39 Exercice 1 Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, C, D, E, F, G, H, K et L, dont les coordonnées sont : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A 1; 1,B ; 8,C 131, 7; 31, 019,D 137; 38, 8,E 3, 3; 3, 09,F 6; 9, 5, ( ) ( ) ( ) L ( 1; 4, 5) G 4, ; 4, 44,H, 8; 5, 15,K 13, 5; 1,et Déterminer les équations des droites (AB), (CD), (EF), (GH) et (KL) Déterminer lesquelles sont parallèles Exercice 13 Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B, et C, dont les coordonnées sont : A ; 1, B 4;, et C 1; 4 Faire une figure représentant ces points ( ) ( ) ( ) Déterminer les équations des médianes du triangle ABC Déterminer les coordonnées du centre de gravité de ce triangle (point d intersection des médianes du triangle) Exercice 14 Résoudre les systèmes d équations suivants : x + y = 5 3x + y = 7 17x + 30y = 13 10y + 5x = 7 6x 3y = 15 7y + 4= 14x Exercice 15 Résoudre les systèmes d équations suivants : 3 5x 3y = 3 5y 5 3x = 5 4 x + 5 y + 1 = 7 x + 4 y + 6 7x + 7y 9= 10x + 6y 4 x + 1y = 9 1 7y = x Exercice 16 Un groupe de 65 personnes, adultes et enfants, est allé au théâtre Le tarif adulte est de 13, le tarif enfant de 6 Le groupe a payé 803 Combien y avait-il d enfants dans le groupe? D adultes? Exercice 17 Deux robinets dont les débits sont constants, remplissent une cuve de 440 litres, le premier ouvert pendant deux heures, le second pendant cinq heures Si le premier avait été ouvert pendant cinq heures, et le second pendant deux heures, on n aurait eu que 365 litres Déterminer les débits horaires de chacun des deux robinets 40 Séquence MA0

40 4 Synthèse de la séquence 1 Milieu d un segment Propriété ( ) ( ) dans Si l on connaît les coordonnées de deux points du plan, A xa ; ya etb xb; yb, un repère quelconque (O, I, J), les coordonnées du milieu du segment [AB] sont égales à : xa + x y B A + yb xmilieu = et : ymilieu = Distance entre deux points Propriété ( ) ( ) dans un Si l on connaît les coordonnées de deux points du plan, A xa ; ya etb xb; yb, repère orthonormé (O, I, J), la distance AB est égale à : AB = ( xa xb) + ( ya yb) 3 Équations de droites Propriété Toute droite, non parallèle à l axe des ordonnées, a une équation de la forme y = ax + b Toute droite, parallèle à l axe des ordonnées, a une équation de la forme x = c où c est une constante Définition Si une droite a pour équation y = ax + b dans un repère du plan : b est l ordonnée du point de la droite qui a comme abscisse 0 On l appelle l ordonnée à l origine de la droite a indique la «pente» de la droite On l appelle le coefficient directeur de la droite Séquence MA0 41

41 À savoir Si une droite passe par les points A et B dont les coordonnées sont A( xa; ya) et B( xb; yb), alors le coefficient directeur de la droite est égal y y à : a = B A xb xa 4 Applications géométriques Propriété Deux droites, non parallèles à l axe des ordonnées, sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux 5 Systèmes d équations linéaires À savoir Résoudre un système d équations linéaires par la méthode de substitution Résoudre un système d équations linéaires par la méthode de combinaison Interpréter graphiquement un système d équations linéaires 4 Séquence MA0

42 5 Exercices d approfondissement Exercice I C Le quadrilatère ABCD a été construit dans un repère orthonormé (O, I, J) qui a disparu Le retrouver à l aide de la donnée des coordonnées, dans ce repère, des points A, B, C et D : A( 4 ; ) B( ; 6) C(3 ; 6) D(1 ; ) B D A Exercice II La droite d a été tracée dans un repère orthonormé (O, I, J) qui a disparu Le retrouver à l aide de la donnée d une équation de cette droite dans ce repère : 4x + 3y 3= 0 d Séquence MA0 43

43 Exercice III On considère le quadrilatère ABCD dont les coordonnées des sommets dans un repère (O, I, J) sont : A( ; 4) B(5,5 ; 4) C(1 ; 5) D( 3,5 ;,5) On appelle R, S, T et U les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA] Montrer que RSTU est un parallélogramme Cette propriété dépend-elle du repère choisi? Des coordonnées des points A, B, C et D? Démontrez qu il en est toujours ainsi Exercice IV On considère le quadrilatère ABCD dont les coordonnées des sommets A, B et C dans un repère (O, I, J) sont : A( 5 ; 1) B( 1; 1) C(5 ; 3) On appelle R, S, T et U les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA] Peut-on placer T sur l axe des ordonnées, de telle façon que le quadrilatère RSTU soit un rectangle? Si oui, donner les coordonnées du point D RSTU est-il un carré? Exercice V Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A, B et C dont les coordonnées sont : ( ) ( ) ( ) A ; 1,B 4; etc 1; 4 Faire une figure représentant ces points et construire la hauteur du triangle issue de C Montrer que le point H de coordonnées H 0, 8; 0, 4 hauteur issue de C En déduire l aire du triangle ABC ( ) est le pied de cette Exercice VI Une unité étant fixée, on considère un carré ABCD de côté 4 unités E est le point du segment [AB] tel que AE = 5, et F est le point du segment [BC] tel que CF = 15, En choisissant un repère orthonormé, déterminer une équation de chacune des droites (CE) et (DF) Déterminer les coordonnées du point d intersection de ces deux droites ; on le notera K Montrer que les segments [CE] et [DF] sont perpendiculaires et de même longueur 44 Séquence MA0

44 Exercice VII Une unité étant fixée, on considère un carré ABCD de côté unités ABE est un triangle équilatéral situé à l intérieur du carré BCF est un triangle équilatéral situé à l extérieur du carré En choisissant un repère orthonormé, déterminer les coordonnées des points A, B, C, D, E et F Déterminer une équation de la droite (DE) Montrer que les points D, E et F sont alignés Exercice VIII Dans un repère orthonormé (O, I, J) du plan, on considère les points A et B dont les coordonnées sont : ( ) ( ) A 7; 0 etb 3; 4 Déterminer les coordonnées des points E, F et G tels que E est le milieu de [OF], F est le milieu de [AG], et G le milieu de [BE] Exercice IX On considère trois cercles de centres respectifs A, B et C, tangents extérieurement deux à deux (voir dessin ci-dessous) C A B Déterminer le rayon de chacun de ces cercles, sachant que : AB = 4, AC = 15 et BC = 19 Exercice X Une fonction du second degré f est définie par : f( x)= ax + bx + c Déterminer les coefficients a, b et c sachant que l on a : f( 0) = 1, f( 0, 5) = 1et f( ) = 1 Séquence MA0 45

45 Exercice XI x + y = 5 Résoudre le système d équations : 3x + y = = 5 x y On veut résoudre le système d équations : 3 + = 7 x y 1 1 En posant X = et Y = déterminer X et Y, Y puis en déduire la solution du x y système initial En appliquant la même méthode, résoudre le système d équations : x + y = 5 3x + y = 7 46 Séquence MA0