315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux

Transcription

1 Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité que cette boule soit noire. (0,5 point) 2. Calculer la probabilité que cette boule soit noire ou jaune. (1 point) 3. On ajoute des boules bleues dans le sac : le sac contient donc 10 boules rouges, 6 boules noires, 4 boules jaunes et des boules bleues. On tire une boule au hasard. Sachant que la probabilité de tirer une boule bleue est de, calculer le nombre de boules bleues. (1,5 points) Soit x le nombre de boules bleues ajoutées dans l urne. Le nombre total de boules est maintenant On a ajouté 5 boules bleues, il y a 25 boules en tout. Exercice 2 : (4 points) 1. Les nombres 315 et 495 sont-ils premiers entre eux? Justifier la réponse. (0,5 point) 315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux 2. Calculer le PGCD de 315 et 495 par la méthode de votre choix (Ecrire le détail). (1,5 points) 3. La largueur d'un terrain rectangulaire est de 315 m et sa longueur est de 495 m. On souhaite entourer ce terrain d'arbustes régulièrement espacés de telle manière qu'il y ait un arbuste planté à chaque sommet du rectangle. Calculer le nombre d'arbustes nécessaires pour entourer ce terrain sachant que la distance entre deux arbres consécutifs est un nombre entier de mètres compris entre 10 et 30 mètres. (2 points) La distance recherchée doit être un diviseur commun de 315 et 495. (pas forcément le plus grand!) 315 et 495 ont 6 diviseurs communs : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ;15 ; 45. Le seul qui est compris entre 10 et 30 est arbres consécutifs sont donc espacés de 15m. Le périmètre du terrain est 1620m. Il faut donc 1620 :15 = 108 arbres.

2 Exercice 3 : (3 points) Voyage à Paris... Voici un récapitulatif des tarifs des "taxis parisiens" : Tarifs des taxis parisiens depuis le 01 février 2011 (Pour 1 à 3 passagers) Prix en euro Horaires d'application des tarifs à Paris (Intramuros, périphérique inclus) Prise en charge... 2,30 Du lundi au samedi Tarif A De 10h à 17h Tarif B De 17h à 10h Tarif kilométrique A... Tarif kilométrique B... Tarif kilométrique C... 0,92 (par km) 1,17 (par km) 1,42 (par km) Dimanche Tarif C De 0h à 7h Tarif B De 7h à 24h Supplément pour le transport d'une 4 ème personne. Supplément à partir du 2 ème... bagage, colis, objet encombrant. 3,00 1,00 (par bagage supplémentaire) Jours fériés (hors dimanches Source : Tarif B De 0h à 24h 1. Alice a réalisé un trajet en taxi de 7,5 km, le lundi 23 mai, en début d'après-midi. Elle avait deux valises. Expliquer pourquoi elle a payé 10,20. (1 point) Alice paye 10,20 répartis comme suit : La prise en charge : 2,30 Le trajet en tarif A : 0,92 7,5 = 6,90 Le supplément du 2 ème bagage : 1 2. Baptiste a pris un taxi le mardi 24 mai avec 1 valise, pour un trajet de 12,5 km, entre 16h30 et 17h30. Il a payé 14,8. Soit x le nombre de kilomètres parcourus avec le tarif A et y le nombre de kilomètres parcourus avec le tarif B. Justifier que. (0,5 point) Baptiste paye 14,80 répartis comme suit : La prise en charge : 2,30 Le trajet de x km en tarif A (avant 17h) : Le trajet de y km en tarif B (après 17h) : 3. Déterminer les nombres de kilomètres parcourus avec le tarif A et avec le tarif B. (1,5 points) Baptiste parcourt au total. Les 2 inconnues x et y vérifient donc le système : qui devient En soustrayant membres à membres : donc km en tarif A. Et y=12,5-8,5=4km en tarif B. Exercice 4 : (3 points) 1. On place sur une droite graduée, les points A, B et C d'abscisses respectives : ; et. Montrer que les points A, B et C sont régulièrement espacés (Détailler les étapes de la réponse). (1,5 points) D abord on simplifie! Oui, les points sont régulièrement espacés de 2. DUR est un triangle rectangle en U. Les longueurs sont en centimètres. Montrer que (Détailler toutes les étapes de calcul!!!). (1,5 point)

3 Exercice 5 : (8 points) Voyage à Paris (Suite!!) Baptiste visite le quartier des Invalides à Paris : Plan du Quartier des Invalides : Représentation schématique du quartier : Croix du Dôme (Point S) Baptiste a mesuré approximativement les distances suivantes : AD = 300 m ; DB = 240 m ; DE = 64 m ; DF = 80 m ; CH = 320 m ; BC = 260 m et AB = 180 m. 1. Montrer que l'avenue de Trouville et le Boulevard de la Tour de Maubourg forment un angle droit. (1,5 points) D une part AD² = D autre part AB²+BD² = On constate que AD²=AB²+BD, d après la réciproque du théorème de Pythagore, ABD est rectangle en B 2. Prouver que les droites (EF) et (AC) sont parallèles. (2 points) D après la réciproque du théorème de Thales (EF) et (AC) sont parallèles 3. Calculer la distance entre les points E et F. (1,5 points) D après le théorème de Thales : 4. Baptiste fait le tour de l'hotel des Invalides : il part à 10h55 heures du point H, il suit le Boulevard des Invalides jusqu'au point C, tourne à droite puis marche sur l'avenue de Tourville. Au point B, il tourne encore à droite, suit le Boulevard de la tour Maubourg et s'arrête au point D à 11h05. La vitesse moyenne d un marcheur se situe entre 5 km/h et 6 km/h. Comment peut-on qualifier l allure de Baptiste? (1,5 points) Baptiste a parcouru une distance d = HC+CB+BD = 820m en un temps t = 11h05 10h55 = 10min En 1h (6 10min), il aurait parcouru 6 820m = 4920m. Sa vitesse est donc de 4,92 km/h

4 5. On peut considérer que la croix (point S) qui surplombe le dôme des invalides est située à égale distance des points B, C et D. Construire le point S sur le schéma en justifiant la position par une phrase. (1,5 points) S est le centre du cercle circonscrit au triangle BCD. Comme BCD est rectangle en B alors S est au milieu de l hypoténuse [CD]. Exercice 6 : (5 points) En Travaux Pratiques de Chimie, les élèves utilisent des récipients, appelés «erlenmeyers», comme celui schématisé cidessous à droite : Photo d'un «erlenmeyer» : Représentation schématique : Le récipient est rempli d'eau jusqu'au niveau maximum indiqué sur le schéma par la flèche. On note C 1 le grand cône de sommet S et de base le disque de centre O et de rayon OB. On note C 2 le petit cône de sommet S et de base le disque de centre O' et de rayon O'B'. On done SO = 12 cm et OB = 4 cm. 1. Calculer la valeur exacte du volume du cône C 1. (1 point) 2. Le cône C 2 est une réduction du cône C 1. On donne O'B' = 1 cm. a) Quel est le coefficient de cette réduction? (0,5 point) b) Prouver que la valeur exacte du volume du cône C 2 est égale à cm 3. (1 point) Les volumes sont multipliés par donc 3. a) Déduire des questions précédentes que la valeur exacte du volume d'eau est de (en cm 3 ). (0,5 point) Volume d eau = b) Ce volume est-il supérieur à 0,2 L? Justifier la réponse. (1 point) Non, ce volume est inférieur à 0,2L car 0,2L = 0,2 dm 3 = 200cm 3 et cm 3 4. Le volume total de cet "erlenmeyer" est de (en cm 3 ). Quel pourcentage le volume d'eau (calculé précédemment) représente-t-il par rapport au volume total du récipient? (1 point) Le volume d eau représente environ 95% du volume total de l erlenmeyer

5 Partie III Problème 12 points Félix et Gustave ont chacun une calculatrice. Ils affichent le même nombre sur la calculatrice. Ils réalisent chacun un programme de calcul différent. Programme de Félix Afficher le nombre Ajouter 2 Multiplier le résultat obtenu par lui-même. Programme de Gustave Afficher le nombre Multiplier par 1,5 Ajouter 10 au résultat obtenu. Félix et Gustave souhaitent déterminer tous les nombres initiaux (nombres affichés au départ) pour obtenir le même résultat avec les deux programmes. Voici deux méthodes pour répondre à ce problème. 1 ère Partie : Méthode Algébrique (6 points) 1. a) Avec le programme de Gustave, quel résultat obtient-on si le nombre initial est 5? (0,5 point) nombre initial : 3,2 on multiplie par 1,5 : 4,8 on ajoute 10 : 14,8 Gustave obtient 14,8. b) Vérifier que le résultat obtenu avec le programme de Félix est 49, si le nombre initial est 5. (0,5 point) nombre initial : 5 on ajoute 2 : 7 on multiplie par lui-même : 49 Félix obtient bien On appelle x le nombre initial, écrire une formule (en fonction de x) permettant de calculer le résultat pour chaque programme de calcul. (1 point) programme de Félix nombre initial : x on ajoute 2 : x+2 on multiplie par lui-même : (x+2)² programme de Gustave nombre initial : x on multiplie par 1,5 : 1,5x on ajoute 10 : 1,5x a) Montrer que l'équation : peut s'écrire aussi : (1 point) b) Développer l'expression. (1 point) c) Résoudre l'équation :. (1 point) Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul. Soit Soit. d) Déduire des questions précédentes, les nombres x pour lesquels le programme de calcul de Félix donne le même résultat que le programme de Gustave. (1 point)

6 Pour (question 3c) Oui, mais (question 3b), donc Oui mais équivaut à (question 3a) C'est-à-dire que Pour, les programmes de Gustave et Félix donnent le même résultat. Vérification : Le programme de Gustave donne Le programme de Félix donne Si x=-4 Si x=1,5 2 ème Partie : Méthode graphique : (6 points) On considère la fonction f définie par et la fonction g définie par 1. Compléter les phrases suivantes et justifier. a) L'image de 5 par la fonction f est 9 (0,5 point) b) g = 0 (1 point) 2. a) Pour représenter graphiquement la fonction f, on utilise un tableur : (copie d écran cicontre). Indiquer (sur votre copie) la formule à taper dans la cellule B2 pour calculer f(x) pour une valeur de x donnée (Cellule A2). (1 point) b) La fonction f est représentée sur le graphique ci-dessous). Par lecture graphique, indiquer : L'image de 0 par la fonction f. Si x=0, y=4 donc f(1) = 9 Le ou les antécédents de 4 par la fonction f. Si y=1, alors x=--3 ou x=-1 3. Indiquer la nature de la fonction g. Que saiton de sa représentation graphique? Sur le graphique précédent, construire la représentation graphique de la fonction g. (Expliquer la construction). (1,5 points) g est une fonction affine donc sa représentation graphique est une droite. Pour la tracer on fait un tableau de valeurs (3 points suffisent) x y=f(x) Indiquer les abscisses des points d'intersection des deux représentations ci-dessus. Que représentent ces abscisses par rapport au problème posé? (0,5 point) Il y a 2 points d intersection : A(-4 ;4) et B(1,5 ;12,25). Les abscisses sont x=-4 et x=1,5. Ce sont les nombres pour lesquels les 2 programmes de calculs donnent le même résultat. (Si x=-4, les 2 programmes donnent 4) si x=1,5, les 2 programmes donnent 12,25.