Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires?

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1 omment démontrer que deux droites sont perpendiculaires? Utilisons On sait que (hypothèses) or...(propriété, définition) donc...(conclusion) Réciproque de Pythagore,5 1,5 = + Si dans un triangle le carré de la longueur de plus grand côté est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle et l angle droit est l angle opposé au plus grand côté. Le triangle est rectangle en. orthocentre H H est le point d intersection de deux hauteurs du triangle. H est donc l orthocentre Si une droite passe par un sommet du triangle et l orthocentre alors elle est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. les droites (H) et () sont perpendiculaires ercle circonscrit est un point du cercle de diamètre [] Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côtéun diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle et l angle droit est opposé au diamètre du cercle. Le triangle est rectangle en édiane [] est une médiane du triangle Sidansun trianglelamédianeissued unsommetmesurelamoitié du côté opposé Le triangle est rectangle en et = = = lors ce triangle est rectangle. édiatrice = Si un point est équidistant des extrémités d un segment () est la médiatrice de [] = alors il est sur la médiatrice d un segment donc () est perpendiculaire à () 1

2 omment démontrer que deux droites sont perpendiculaires? tangente à un cercle La droite D est tangente au cercle Si une droite est tangente en à un cercle de centre O (D) et () sont perpendiculaires D au point. alors elle est perpendiculaire à la droite (O) Les droites et sont pa- Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendicu- Les droites et sont perpen- // rallèles. laire à l une diculaires. La droite est perpendiculaire à alors elle est perpendiculaire à l autre. bissectrice d un angle est un point sur la bissectrice de Si un point est surla bissectrice d un angle alors il est équidistant OH=OK D K1 l angle des côtés de cet angle (OH) et (H) sont perpendiculaires (OK) et (H) sont perpendiculaires

3 omment démontrer que deux droites sont parallèles? Utilisons On sait que (hypothèses) or...(propriété, définition) donc...(conclusion) parallèle à si deux droites sont parallèles à une même troisième, etsontparallèlesentreelles // // et est parallèle à alors elles sont parallèles perpendiculaire à si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, et sont parallèles et est perpendiculaire à alors elles sont parallèles entre elles réciproque de Thales Si et N sont deux tri- D après la réciproque du théorème de Thales. lors on a ( N)//() 1,5 N 0.8,5 angles avec : est un sommet commun [],N [] = N On peut aussi remplacer la dernière condition par = N

4 1 Le théorème de Pythagore Théorème : Dans un triangle rectangle, le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l angle droit. Si est rectangle en alors = +. est un sommet commun [],N [] lors on a (N)//() = N On peut aussi remplacer la dernière condition par = N La trigonométrie Utilisation : alculer la longueur d un côté connaissant les deux autres. Réciproque : Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle. Si est égal à + alors est rectangle en. Utilisation : Démontrer qu un triangle est rectangle.,5 1,5 Dans un triangle rectangle, on a les relations trigonométriques suivantes : ôté opposé de α sin(α) = Hypothénuse ôté adjacent de α cos(α) = Hypothénuse ôté opposé de α tan(α) = ôté adjacent de α Exemple : sinâ = Exemple : cosâ = Exemple : tanâ = Le théorème de Thalès Théorème : Si deux triangles ont un sommet commun et des côtés appartenant à la même droite ou parallèles, alors les mesures des côtés des deux triangles sont proportionnels. Si et N sont deux triangles avec : est un sommet commun [],N [] lors on a = N = N (N)//() N (N)//() Réciproque : Si deux triangles ont un sommet commun, deux côtés respectivement appartenant à la même droite et de longueur proportionnelles, alors les deux autres côtés sont parallèles. Si et N sont deux triangles avec : 1,5 N 0.8,5

5 Les droites remarquables dans un triangle. Les hauteurs..1 édiatrices La médiatrice d un segment passe par le milieu de ce segment et est perpendiculaire à ce segment. H La hauteur d un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire à son côté opposé. H Les trois médiatrices d un triangle sont concourantes. L intersection des médiatrices est le centre du cercle circonscrit. Les trois hauteurs d un triangle sont concourantes. L intersection des hauteurs est l orthocentre. Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ses trois sommets.. Les bissectrices. Les médianes La médiane d un triangle est une droite qui passe par un sommet du triangle et le milieu de son côté opposé. J K G La bissectrice d un angle est la droite qui coupe l angle en deux angles de même mesure. Ω L // Propriétés dans le triangle : Les trois médianes d un triangle sont concourantes. Les trois bissectrices d un triangle sont concourantes. L intersection des bissectrices est le centre du cercle inscrit. L intersection des médianes est le centre de gravité du triangle. 5

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