Eléments de Choix d Utilisation de l Informatique dans l Enseignement des Mathématiques en Classe de Cinquième

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1 GUYOT Stéphanie Professeur stagiaire en mathématiques au collège Lo Trentanel de GIGNAC I.U.F.M. de l académie de Montpellier Site de Montpellier Eléments de Choix d Utilisation de l Informatique dans l Enseignement des Mathématiques en Classe de Cinquième Directeur de mémoire : Madame CARDIN-LEDUC Assesseur : Monsieur LEROUGE Avril

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3 ABSTRACT This memoir aims at showing the utility of a computer and its appropriate programmes in mathematics with a second - year group of pupils of a secondary school as follows : 1) A resuming lesson about the median of a segment 2) Discovery of the circle drawn out of a triangle 3) Approach to an experimental way of calculating the surface of a parallelogram. I. RESUME Ce mémoire a pour but d étudier les apports de l outil informatique en mathématiques en classe de cinquième pour les situations suivantes : 1) Séance de remédiation sur la médiatrice d un segment 2) Découverte du cercle circonscrit à un triangle 3) Initiation à la démarche expérimentale pour établir l aire du parallélogramme. II. MOTS-CLES iinformatique iatelier de Géométrie iworks imédiatrice icercle circonscrit iparallélogramme Avril

4 INTRODUCTION De nos jours, l informatique occupe une place prépondérante dans notre société. Les enfants en sont le reflet : ils sont des utilisateurs privilégiés de l ordinateur. En outre, la majorité des établissements scolaires est aujourd hui équipée de cette récente technologie. Dans le commerce, un grand nombre de logiciels éducatifs sont à notre disposition. Ce nouvel environnement ne peut pas être sans incidence sur notre enseignement traditionnel. Aussi, la question qu il importe de se poser n est pas «Qu allons - nous faire avec ces machines?», mais plutôt «Pourquoi et comment pouvons nous utiliser ce nouvel outil dans notre enseignement?». Dans ma classe de 5 ème, trois situations ont particulièrement retenu mon attention pour tenter d apporter un début de réponse à cette question : - une séance de remédiation sur la notion de médiatrice - la découverte du cercle circonscrit à un triangle - l initiation à la démarche expérimentale pour établir la formule de l aire du parallélogramme. L attrait des élèves pour cet environnement différent est certainement un avantage pour le professeur. Mais cet outil offre d autres possibilités pour l enseignement des mathématiques. Les observations décrites dans ce mémoire proviennent d une classe de 5 ème de 26 élèves. L établissement dans lequel j exerce dispose d une salle d informatique constituée de 14 ordinateurs montés en réseau et connectés, d ici la fin de l année scolaire, à Internet. Une salle de cours dispose également d un ordinateur relié à un grand écran de télévision. J ai choisi de décrire, tout d abord, une intervention informatique lors d une séance de remédiation sur la médiatrice d un segment. Ses propriétés d équidistance apparaissent dès la classe de 6 ème, puis sont reprises l année suivante avant d aborder en parallèle les propriétés de la symétrie axiale et de la symétrie centrale. On peut les énoncer de la façon suivante : - Si M est un point de la médiatrice du segment [AB], alors M est à égale distance de A et de B. Avril

5 - Si M est un point à égale distance des point A et B, alors M est sur la médiatrice du segment [AB]. La médiatrice intervient également lors du chapitre sur le cercle circonscrit à un triangle, deuxième support mathématique pour lequel j ai choisi d intégrer l informatique. Mon dernier choix concerne l initiation à la démarche expérimentale qui utilise la notion de conjecture. Conjecturer un résultat est une étape essentielle dans la résolution de certains problèmes de géométrie. Cette démarche doit être abordée très tôt au collège et occupe une place importante au lycée. Elle sera utilisée lors de la séquence sur l aire du parallélogramme. Cette dernière notion est nouvelle pour les élèves de 5 ème. La formule de l aire est donnée de la manière suivante : Pour calculer l aire d un parallélogramme, on multiplie un côté, appelé base, par la hauteur correspondante. Lors de l apprentissage de cette notion, les difficultés, non rencontrées pour l aire du rectangle, résident dans l intervention de la "hauteur" et dans le choix de la "base". Après avoir exposé les trois situations, présenté les deux logiciels retenus Atelier de Géométrie et Works (tableur) -, à travers la description et l analyse de séances en classe, je ferai un premier bilan de l utilisation de l informatique dans mon enseignement. Avril

6 I. PROBLEMATISATION Dès mon arrivée au collège de Gignac, l équipe pédagogique de mathématiques m a fait part des diverses installations informatiques de l établissement. Cette année toutes les classes de 5 ème bénéficient de cette nouvelle technologie - en particulier ma classe, en demi groupe sous l autorité de ma conseillère pédagogique, Mme Cardin-Leduc. Etonnée par leur vif intérêt pour ce domaine, j ai d abord décidé de chercher l importance de l ordinateur dans la panoplie des outils pédagogiques. Par la suite, j ai essayé de voir pourquoi et comment intégrer l informatique dans l enseignement des mathématiques. Après avoir constaté quelques échecs concernant l acquisition de certaines notions dans un environnement classique, j ai émis des hypothèses sur le bénéfice que ma classe pourrait tirer de l utilisation d un ordinateur. Les trois situations dans lesquelles je ferai intervenir l outil informatique sont : - la remédiation - la découverte d une notion - l initiation à la démarche expérimentale et à la conjecture. 1) D une façon générale, que peut apporter l informatique aux élèves? a) La motivation? Aujourd hui, les enfants "baignent" dans un environnement audiovisuel et sont attirés par l écran. C est pourquoi, ils devraient réussir à aisément s adapter aux contraintes d utilisation d un logiciel et à en maîtriser les quelques techniques de base. Ils pourraient en ressortir valorisés, et certainement plus motivés. Ils parviendraient à plus de confiance en eux: ce serait une façon de les réconcilier avec le travail scolaire. Avril

7 b) Aide à l apprentissage? Les élèves peut-être plus réceptifs en milieu informatique, devraient avoir un comportement différent vis-à-vis du savoir. Les contraintes imposées par la machine sont plus facilement acceptées que celles d un environnement classique. De plus, pour l élève, toute réalisation de la machine est reconnue exacte. On peut alors penser que ce nouveau milieu est un terrain favorable à l apprentissage. c) Un enseignement individualisé? L ordinateur peut être aussi un outil d aide individualisée à la résolution des problèmes mathématiques en particulier. Il permet notamment au professeur, libéré de certaines tâches - comme la gestion du groupe classe -, de se focaliser sur les élèves en grandes difficultés et sur les diverses erreurs rencontrées. De plus, les avoir en demi groupe représente un avantage non négligeable. L élève plus autonome, seul devant son écran, gère son apprentissage, son temps, au travers d un cheminement qui lui est propre. d) L autonomie? Le rapport enseignant / enseigné se trouve complètement modifié dans un environnement informatique : l enseignant n est plus l interlocuteur privilégié de l élève. En partie, ce n est plus le professeur qui "juge" le travail accompli, mais la machine. Il s opère alors un transfert didactique qui permet, peut-être, aux élèves de se sentir plus autonomes que dans un environnement classique. Ce changement brusque de milieu peut néanmoins entraîner des perturbations pour l enseignant. En effet, ce dernier peut éprouver quelques difficultés lors de la reprise en main du groupe classe, si celle-ci est nécessaire. Avril

8 e) La rigueur? Du fait de leur attirance pour cet outil, les enfants sont plus enclins à accepter la rigueur imposée par l ordinateur que celle imposée par un professeur. Celle de la machine leur apparaît moins "arbitraire" que celle de l enseignant. En conséquence, ils ont tendance à s appliquer davantage aux diverses tâches qui leur sont confiées, même si ces dernières demandent beaucoup plus d attention. f) Un premier problème soulevé par l introduction de ce nouvel outil se pose : On peut prévoir quelques freins à cet apprentissage. Par exemple, le professeur est très vite confronté au problème matériel de l ordinateur : même si les médias inondent les esprits avec des promotions sur ces machines, cela ne signifie pas pour autant que chaque famille en possède un. Aussi, l enseignant doit faire face à une hétérogénéité des connaissances de base chez les élèves. Si bien que le premier travail de celui-ci est de donner les mêmes chances à chaque enfant de la classe en révisant les principes élémentaires de l utilisation de l outil informatique. L initiation aux logiciels peut être rapide pour certains et peut en bloquer d autres. Ces derniers risquent de s éloigner du savoir mathématique visé, pour se consacrer à la manipulation du nouvel outil. Le changement peut alors être un élément perturbateur. Le message d erreur qui apparaît lors de chaque mauvaise manipulation enseigne à certains la rigueur et freine les élèves les moins actifs. Malgré ce frein, j ai persisté dans l idée d introduire l ordinateur dans mon enseignement. En effet, le niveau de ma classe est très hétérogène, avec en particulier huit élèves en grandes difficultés dont la moyenne en mathématiques n a pas dépassé 5/20 l année dernière en 6 ème. Pour eux, tout particulièrement, j espère que l informatique sera un véritable vecteur de motivation dans l apprentissage des mathématiques. D une façon générale, le professeur doit adapter son enseignement dans ce milieu particulier où les rapports élève / éducateur se trouvent complètement modifiés. Après avoir présenté les trois situations dans lesquelles je souhaite Avril

9 utiliser l informatique, je parlerai des deux logiciels qui seront employés cette année: "Atelier de géométrie" et "Works" (tableur). 2) Trois problèmes initiaux : J ai choisi d introduire l ordinateur dans trois types différents d activité : - lors d une séance de remédiation sur la médiatrice - lors de la découverte du cercle circonscrit à un triangle - pour conjecturer la formule de l aire du parallélogramme. a) Un constat d échec en environnement papier / crayon : la médiatrice d un segment En début d année, le premier chapitre de géométrie abordé avec ma classe de 5 ème, a été la symétrie centrale. A cette occasion, je me suis aperçu qu il était nécessaire de revoir la symétrie axiale, et donc la notion de médiatrice vue en 6 ème. J ai donc distribué une feuille polycopiée reprenant la définition et les propriétés d équidistance de la médiatrice d un segment. Ensuite j ai donné à faire plusieurs constructions sur le sujet - constructions à l aide du compas ou de l équerre - et nous avons vérifié les propriétés sur le papier. Cependant, les résultats d une interrogation écrite, dans laquelle il était demandé de citer la définition et les propriétés de la médiatrice, ont été alarmants : 3 élèves sur 24, seulement, ont donné la définition exacte et aucun n a su retrouver les propriétés. Au départ, j ai supposé qu ils n avaient pas appris leur leçon et qu ils se heurtaient à un problème de formulation pour décrire cet objet que la moitié est capable de tracer. Lors de la correction de ce contrôle nous avons travaillé à partir d un exemple d utilisation des propriétés ci-dessous : i (d) est la médiatrice du segment [AB]. O est un point de (d). Quelle est la nature du triangle ABO, et pourquoi? i Pourquoi le centre d un cercle est-il sur la médiatrice de toutes ses cordes? Après plusieurs explications, je me suis rendu compte qu ils rencontraient encore beaucoup de difficultés face à cette notion. Avril

10 Il m a alors semblé qu utiliser les séances d informatique qui leur sont offertes, pourrait être une solution de remédiation à ce problème. L objectif est de leur faire redécouvrir cette notion dans un environnement différent : l exactitude et la rapidité des tracés sont plus importantes que dans l univers papier / crayon. Certains logiciels peuvent avoir l avantage de mesurer la longueur des segments et de déplacer les objets géométriques. Ainsi, l ordinateur, outil favorisant un enseignement individualisé, est idéal lors d une séance de remédiation. b) La découverte d une notion : le cercle circonscrit à un triangle Lors du chapitre sur les symétries centrale et axiale, j ai rencontré quelques difficultés quant à la propriété de la conservation des milieux par ces transformations. De nombreux élèves se sont tout d abord heurtés à la construction des symétriques des segments. Par la suite, il fallait constater la conservation les milieux. Malheureusement, l imprécision des tracés n a pas permis d observer correctement cette propriété. De plus, l observation de quelques dessins, souvent incorrects, ne m a pas semblé satisfaisante. La propriété étudiée n est pas vraiment ressortie lors de cette séance. Dès le chapitre de géométrie suivant, sur les triangles, je me suis demandé quel dispositif employer pour améliorer la découverte d une notion, en particulier pour aborder le cercle circonscrit à un triangle. Après cette première expérience sur la remédiation en informatique, une seconde séance en relation avec le nouveau chapitre se met en place. Il faut dans un premier temps faire constater aux élèves que dans tout triangle, les trois médiatrices sont concourantes, ce qui permet, ensuite, de définir le point qui est le centre du cercle passant par les trois sommets du triangle. L objectif de ces deux séances est de mettre en évidence des propriétés géométriques avec la possibilité, pour les élèves, d observer rapidement, à l aide d un logiciel, un grand nombre de dessins. Avril

11 c) Initiation à la démarche scientifique : l aire du parallélogramme Mon troisième objectif est " d initier " les élèves, à la démarche expérimentale ou scientifique, à partir d un problème de mathématiques. Cette démarche s inscrit selon plusieurs étapes : - les observations - la conjecture - la mise en place un dispositif permettant de vérifier la conjecture - la réalisation d une synthèse. L informatique peut être utilisée pour ce type d activité. Cette démarche soulève un premier problème majeur : "la partie démonstration" est occultée. Les élèves risquent de penser que quelques observations suffisent à généraliser une propriété. Cependant, cette méthode est couramment employée en classe de 5 ème, où il est parfois difficile de faire des démonstrations. Les élèves ont l habitude de ce type de procédure. En effet, faire un dessin pour résoudre un problème de géométrie, s inscrit dans ce cadre, mais de manière statique. Les observations ne sont pas nombreuses, sauf si on prend en compte toutes celles apportées par l ensemble des élèves. L ordinateur a l avantage de faciliter la gestion des données, plus rapidement obtenues que dans un environnement classique. Je choisis alors d illustrer cette démarche lors de la séquence sur l aire du parallélogramme. Dans cet exercice, il s agit de faire deviner aux élèves la formule qui calcule l aire de ce quadrilatère. Pour cela, un grand nombre de mesures et de calculs sont nécessaires. L ordinateur semble alors être un outil performant pour ce type de réalisations. Cette séance peut être suivie d une autre qui visera à prouver le résultat en classe plénière. 3) Approche du problème à travers quelques logiciels. a) Plusieurs types de logiciels : On peut distinguer plusieurs types de logiciels. Quelques exemples : Avril

12 - Des logiciels ludiques Certains logiciels, comme ADI, sont des banques d exercices, regroupés par niveaux et par thèmes. L élève gagne des points à chaque fois qu il donne une bonne réponse. S il a suffisamment de points, alors il a droit à un jeu. Le logiciel lui permet aussi de revenir sur les exercices où il a commis des erreurs. ADI peut ainsi être utilisé pour la remédiation ou pour familiariser les élèves à une notion. Cependant, c est un logiciel fermé - le professeur, contrairement à ses habitudes, ne peut pas construire lui-même les exercices - avec lequel ils peuvent travailler en totale autonomie. C est pourquoi je n ai pas retenu ce type de logiciel. - Des logiciels de calcul formel On peut citer l exemple de Maple. C est un logiciel de calcul scientifique qui fait du calcul formel. Il n est pas vraiment adapté à la classe de 5 ème parce que les élèves sont en phase d apprentissage des notions de base. - Des logiciels de traitement de texte Word en est un exemple. Il permet essentiellement de mettre en forme des documents écrits. On peut s en servir en classe pour familiariser les élèves avec l ordinateur. Cependant, il ne semble pas intéressant pour les trois problèmes posés. Je ne l ai donc pas retenu. - Des logiciels de programmation Ils sont difficilement utilisables en classe de 5 ème. - Des tableurs On peut citer l exemple d Excel. Il permet, entre autres, de décharger l utilisateur des calculs lourds ou répétitifs. C est un gestionnaire de données. - Des logiciels intégrés Works est un logiciel intégré. Il regroupe plusieurs modules : tableur, traitement de texte, base de données (création de carnets d adresses, Avril

13 de listes). En mathématiques, on utilise plutôt le tableur. - Des logiciels de géométrie dynamique Certains logiciels, comme Atelier de géométrie ou Cabri géomètre permettent, notamment, de construire rapidement un grand nombre de figures géométriques, que l élève peut faire évoluer. Ce sont deux logiciels ouverts, qui peuvent être utilisés à tous les niveaux. Parmi tous ces types de logiciels, ceux qui s adaptent au niveau de la classe de 5 ème et qui correspondent aux expérimentations que je veux faire, sont les quatre derniers. Le collège possède uniquement Atelier de géométrie et Works. J ai donc travaillé avec ces deux derniers. Quelles sont les principales fonctions de ces deux logiciels? b) Atelier de géométrie Le dessin est souvent considéré comme un élément de "second ordre" par les mathématiciens, malgré son omniprésence en géométrie. Il n a, en effet, aucune place dans une démonstration. C est cette position qui est le plus souvent adoptée par les enseignants. Cependant, les différentes formes de représentation visuelles d un concept sont fondamentales, et le dessin est l outil naturel qui favorise l envie de chercher. i) Descriptif Atelier de géométrie est un logiciel qui permet de réaliser des constructions géométriques planes, à partir d objets de base. Il contient deux types de primitives : - les primitives de dessin pur, comme les points, les droites et les cercles. - les primitives géométriques : elles permettent de construire des objets qui dépendent, par des relations géométriques, d autres objets. On peut ainsi tracer une perpendiculaire ou une parallèle à une droite donnée, ou bien encore la bissectrice d un angle. Avril

14 Il ressemble à Cabri-Géomètre. Tout comme ce dernier, il permet de déplacer les objets de base en conservant les propriétés décrites dans la construction de la figure. On peut alors observer "toutes" les possibilités pour un même ensemble de propriétés. Ce thème sera abordé ultérieurement dans la partie dynamique du logiciel. Quels sont les principaux avantages d Atelier de Géométrie qui peuvent être utilisés en classe de 5 ème? «il est simple d utilisation : par exemple, des messages d aide apparaissent pour chaque type de tracé. «on peut construire les images de figures par des transformations élémentaires du plan (symétries axiale et centrale). «on peut construire directement le milieu ou la médiatrice d un segment en désignant ce dernier avec la souris : aide non négligeable pour nos élèves particulièrement maladroits dans un environnement papier / crayon. Ils s en serviront pour découvrir le cercle circonscrit à un triangle. «il contient également des outils numériques, permettant la mesure des segments et des angles ainsi que le calcul de l aire des quadrilatères. Ces mesures et ces calculs s actualisent lorsque les objets sont déplacés. C est un outil très puissant - très utile pour revoir les propriétés d équidistance de la médiatrice. Par rapport à un travail effectué dans un environnement classique, il constitue aussi un avantage pour établir la formule de l aire du parallélogramme. En effet, lors d un problème ouvert, la donnée de l aire de ce quadrilatère par le logiciel devrait sans doute être mieux perçue par les élèves. L ordinateur est un instrument de mesure, tout comme l ampèremètre en sciences physiques, qui permet de conjecturer. Néanmoins, contrairement à Cabri-Géomètre, l enseignant n a pas la possibilité de supprimer certains icônes, perdant ainsi le contrôle de la situation didactique qu il désire mettre en œuvre. C est un inconvénient pour la séance de remédiation sur la médiatrice. Certains élèves seront tentés d utiliser directement l outil "construction de médiatrice". Il faut alors mettre en place un dispositif Avril

15 particulier afin de retravailler sur la définition de cet objet. On peut prévoir le même type de problème lors du tracé de figures usuelles comme les triangles et les quadrilatères particuliers. Les icônes permettant de construire ces objets doivent être utilisés avec beaucoup de précautions, notamment parce que certains points crées ne peuvent pas être déplacés. On ne peut pas non plus ajouter des outils, possibilité offerte par Cabri- Géomètre grâce à la création de macro-constructions. Il faut préciser, enfin, qu Atelier de géométrie n offre pas la possibilité de faire des reports de longueurs. Malgré cela, il n existe aucune comparaison entre la précision du tracé avec le logiciel et celle faite par les élèves avec leurs instruments de géométrie, ou celle faite sur le tableau par le professeur. La précision, la rapidité du tracé informatique ne peuvent que faciliter et encourager l esprit de recherche. Pour bénéficier de "bons dessins", l enseignant n a pas d autre recours que de les préparer. Dans ce cas, Atelier de Géométrie offre un avantage supplémentaire : la figure réalisée peut être modifiée de façon dynamique, tout en gardant ses propriétés. ii) La dynamique du logiciel Le déplacement d objets est un des outils fondamentaux du logiciel. Aujourd hui, on différencie la géométrie classique de la géométrie assistée par ordinateur, communément appelée : "géométrie dynamique". Pourtant, l idée de démontrer à l aide du mouvement n est pas nouvelle : déjà au XVII e siècle, on découvre les propriétés de certaines figures en "tirant" sur des points et des droites. Citons une partie de la préface d un ouvrage de géométrie d Emile Borel (1905), reprise dans [B2] : «La géométrie est l étude du groupe des mouvements. Substituer de plus en plus l étude dynamique des phénomènes à leur étude statique, est d ailleurs une tendance essentielle de l esprit moderne ; c est l idée d évolution qui domine davantage la pensée contemporaine» C est ce point de vue que les concepteurs de logiciel de géométrie dynamique ont certainement essayé d adopter. Atelier de Géométrie permet la déformation Avril

16 immédiate et visuelle : l utilisateur a la possibilité de déplacer les éléments de base d une figure. En classe de 5 ème, ceci devrait permettre : - de faire apparaître les propriétés communes que peut posséder un ensemble de figures comme : les médiatrices d un triangle sont concourantes. - de visualiser un grand nombre de dessins très utile pour les trois situations. Ceci est particulièrement appréciable pour la découverte du cercle circonscrit à un triangle : les élèves peuvent observer un grand nombre de triangles rapidement. iii) Un nouveau contrat didactique Cette possibilité de déplacer les objets permet d établir un nouveau contrat didactique avec les élèves qui doit être expliqué lors des séances de familiarisation avec le logiciel : la procédure de construction de l objet est correcte si elle reste correcte par déplacement. Dans un environnement informatique, l élève est alors obligé de fournir implicitement une procédure pour le tracé d un dessin, ce qui est difficile d imposer dans un environnement papier / crayon dans une classe de 5 ème. Je reviendrai sur ce point lorsque sera abordé le changement de statut de la figure. Les primitives géométriques s actualisent lorsque les objets initiaux dont elles dépendent sont déplacés. Ainsi, les médiatrices d un triangle se déplacent en même temps que le triangle. Les élèves devraient alors plus facilement admettre qu elles sont concourantes dans tous les triangles. De même, la hauteur relative à un côté d un parallélogramme et sa mesure, s actualisent lorsqu on déplace un des sommets de ce dernier, ce qui permet de prendre un nombre conséquent de mesures. En revanche, la trace laissée sur l écran par les primitives de dessin pur, reste identique lorsqu on déplace un autre objet de base. Ceci permet à l enseignant de montrer aux élèves que certaines constructions faites "à vue d œil" sont souvent fausses. Avril

17 Comme illustration, je reprends un exemple traité dans [A2] : la construction du symétrique d un point P par rapport à une droite d. Le professeur peut montrer rapidement à un élève qui a placé au hasard le point P (figure a), que sa construction n est pas correcte, en déplaçant la droite d (figure b). En effet, le point P ne suivant pas le mouvement, n est plus de façon évidente pour l élève le symétrique du point P. Figure a Figure b Ce principe permet également de vérifier rapidement que la médiatrice d un segment est correctement construite sans avoir assisté au tracé. Ceci est difficilement réalisable dans l environnement papier / crayon. L informatique peut modifier la conception de la figure géométrique acquise par les élèves dans un environnement classique. iv) Modification du statut de la figure Force est de constater que l enseignement de la géométrie passe par la distinction entre figure et dessin. Les élèves ont une conception du dessin, différente de celle des mathématiciens, dans l environnement papier / crayon : ils confondent souvent la figure, objet théorique, avec sa représentation matérielle sur du papier, le dessin. Le problème vient en partie du fait qu ils prennent en considération des aspects non essentiels d un dessin tel que : la position de celuici par rapport aux bords de la feuille. Lorsque le professeur confie une construction à ses élèves, il s attend à ce que celle-ci soit effectuée, non pas en Avril

18 positionnant uniquement des instruments sur du papier - règle, compas, équerre, -, mais selon un procédé qui respecte les propriétés géométriques de la figure. Il est donc difficile, pour les élèves, de voir la place que peut occuper le dessin en géométrie. Atelier de géométrie peut constituer une aide pour les élèves à résoudre cette problématique. Il oblige les élèves à décomposer et à analyser une construction en termes d objets géométriques : on ne pose plus l équerre sur la feuille, mais on trace une perpendiculaire. Ce logiciel impose, pour tracer un objet, de bien désigner tous les autres objets dont il dépend. Ainsi, pour construire la perpendiculaire à une droite passant par un point donné, il est nécessaire de bien l indiquer à l ordinateur. Dans le cas contraire, l élève s aperçoit qu il ne peut pas faire de dessin, ou alors qu il existe une infinité de constructions possibles. Si on considère le nouveau contrat didactique établi précédemment, la création sur l écran d un dessin doit alors passer par la description de la figure. Comme l objectif est d obtenir un dessin qui doit être conservé après déplacement des objets de base, les élèves sont contraints d établir un plan de construction qui tient compte des propriétés géométriques de la figure. Par exemple, le tracé de la médiatrice d un segment doit se faire après avoir analysé chaque mot de la définition. On peut supposer que la construction de cet objet sur l écran demandera un effort particulier aux élèves pour qui le tracé sur le papier est devenu un automatisme : "on mesure avec la règle le milieu du segment, puis on pose l équerre", alors que sur l écran "on construit le milieu du segment, puis on trace la perpendiculaire au segment passant par ce milieu" - ces deux objets doivent être obligatoirement désignés. Ce travail ne peut être que bénéfique pour comprendre mieux cette notion. En outre, le logiciel offre un grand choix d icônes, représentants des objets de base. Cela oblige les élèves à bien différencier les objets géométriques tels que les demi-droites, les segments et les droites. Cette différenciation s accentue lorsque l élève découvre que, dans cet environnement informatique, les implicites ne sont pas les mêmes que sur une Avril

19 feuille. Par exemple, l existence d un segment n implique pas celle de la droite qui le supporte. Le logiciel trace "d un bloc" les éléments de base, alors que le crayon donne un rôle plus important au point. Mais il apporte, grâce à cette différence, une autre vision tout aussi intéressante. L existence d un point sur un objet ou à l intersection de deux objets n est plus systématique sur l ordinateur. Si l élève veut le créer, il doit désigner ces objets. Pour le cercle circonscrit, sur Cabri-Géomètre, l utilisateur doit penser à créer le point d intersection des médiatrices alors que celles-ci sont tracées, sinon l ordinateur ne perçoit pas le point. Atelier de Géométrie le crée automatiquement. Cependant, pour tracer le cercle, l élève doit attendre que deux des médiatrices changent de couleur pour indiquer le centre du cercle. Par conséquent, l existence d un objet mathématique, tel que l intersection de plusieurs figures, ne va pas de soi pour la machine. v) Aide à la formulation Le logiciel devrait contribuer à donner un statut différent au dessin, parce qu il impose aux élèves de communiquer à l ordinateur une procédure de construction qui tient compte des lois géométriques. Grâce à cette nécessité, il devrait également les aider dans la formulation en géométrie, dans un environnement classique. J espère, après avoir travaillé avec le logiciel, que, lors du récit d une construction géométrique, les élèves utiliseront de préférence des expressions du type "j ai tracé la parallèle à telle droite passant par ce point" plutôt que "j ai mis l équerre ici ". Je souhaite, en particulier, qu il les aide à formuler correctement la définition de la médiatrice d un segment. En conclusion, Atelier de géométrie apparaît comme un outil précieux dans l enseignement de la géométrie. Cependant, en complément à cette formation informatique, apprendre à utiliser un tableur me semble essentiel. Le tableur utilisé au collège est celui intégré dans Works. Avril

20 c) Works (tableur) i) Descriptif rapide Les principales fonctions du logiciel Works, utilisables en classe de 5 ème peuvent se résumer à : - la création de tableaux - la réalisation de calculs à partir des données des tableaux - la réalisation de graphiques - la visualisation simultanée de l évolution d un tableau et d un graphique associé. ii) Apports du logiciel - Works aide les élèves à gérer, plus rapidement que dans un environnement classique, des données d un problème. Il permet de bien les familiariser avec la notion de tableau. - Il offre la possibilité de créer tous les types de graphiques rencontrés en classe de 5ème. Ces derniers sont construits rapidement, ce qui permet aux élèves de se consacrer à leur analyse et à leur interprétation. - En prenant en charge les calculs, domaine dans lequel les élèves sont assez maladroits, le logiciel leur permet d avoir plus de temps pour réfléchir à la résolution d un problème en envisageant plusieurs solutions. Ainsi, selon [A1] : il permet «de traiter, d analyser et de représenter très rapidement un grand nombre de données numériques». Les élèves fournissent dès lors un travail de qualité dans le domaine de la gestion de données ; ce qui est difficilement réalisable dans un environnement classique. Les documents ainsi créés sont certainement plus nombreux et plus facilement exploitables par le groupe classe. Fournir ce type de travail ne peut que motiver les élèves connaissant des difficultés, et ainsi les intéresser à un domaine particulier des mathématiques. Avril

21 d) Pourquoi allier ces deux logiciels? Afin de faire découvrir à la classe la formule qui calcule l aire du parallélogramme, le dispositif suivant est mis en place : prendre les mesures des côtés, des angles et de l aire de quelques parallélogrammes fournies par un logiciel de géométrie, et utiliser l ordinateur pour tester les différents calculs souhaités par les élèves. Cabri-géomètre offre la possibilité de visionner simultanément sur l écran, une figure géométrique et plusieurs calculs qui utilisent les données de cette figure. Ces calculs ont l avantage de s actualiser lorsqu un des éléments de base est déplacé. Ceci permet de vérifier rapidement la véracité d une formule. Atelier de Géométrie possède également un outil calculatrice. En revanche, les calculs ne s actualisent pas, lorsque la figure est modifiée. C est pourquoi, il semble intéressant de travailler en parallèle avec le tableur de Works. Les élèves peuvent ainsi saisir dans un tableau plusieurs mesures relevées dans le logiciel de géométrie et les formules qu ils désirent tester. Avril

22 II. DANS MA CLASSE Je vais maintenant exposer les trois types d expérimentation effectués dans ma classe. Je décrirai plus particulièrement la séquence qui porte sur l aire du parallélogramme. 1) Séance sur la médiatrice a) Dispositif Durant le premier semestre, la classe - séparée en demi groupe constitué de 13 élèves - a eu une séance d informatique tous les quinze jours, en supplément des quatre heures hebdomadaires de mathématiques. Les trois premières ont été consacrées à la familiarisation avec le logiciel Atelier de Géométrie - cf. annexe 2. Chaque élève a disposé d un ordinateur. La salle possède une imprimante partagée en réseau. Pour cette séance sur la médiatrice, chaque élève a eu une fiche relatant les différentes étapes à suivre. Ils ont travaillé en autonomie, avec pour seule aide leur cahier de cours de mathématiques. Avec ma conseillère pédagogique, nous avons circulé dans les rangs afin de régler les problèmes liés à l informatique. Ce dispositif semble le plus indiqué pour une séance de remédiation. b) Description de la fiche élève La fiche utilisée se trouve en annexe 3. C est un problème fermé. Les traces écrites sur la fiche permettent au professeur de vérifier que les différentes tâches ont été correctement exécutées. L objectif est de faire redécouvrir la médiatrice aux élèves. ile premier exercice est un travail sur la définition de la médiatrice d un segment. Son tracé sur l écran demande un effort particulier visant à décomposer chaque terme de la définition. Les élèves qui ont l habitude de positionner au hasard la droite se trouvent bloqués par la question 4 qui est présente pour rappeler le nouveau contrat didactique. Enfin, la question 3 est Avril

23 un travail sur le codage d une figure qui peut être une autre façon de mémoriser la construction de la médiatrice. iles deux exercices suivants ont pour objectif de retrouver séparément les propriétés d équidistance de la médiatrice. La dynamique du logiciel permet un grand nombre d observations. Donner de "grandes" mesures pour les segments permet à l enseignant de visualiser le maximum de constructions. il exercice 4 est une application. Il tend également à différencier la propriété directe de sa réciproque dans la continuité du travail précédent. c) Quelques résultats Quelques fiches d élèves sont en annexe 3. En ce qui concerne le premier exercice, 20 élèves sur 26 ont tracé la médiatrice assez rapidement. Parmi eux, 4 ont utilisé des cercles. Quant aux autres ils ont repris la définition. Les 6 élèves restant ont utilisé la quasi totalité de la séance pour essayer de construire la médiatrice. Excepté un élève, ils ont réussi, avec un peu d aide, à faire correctement l exercice 1. C est la sixième question des exercices 2 et 3 qui a posé le plus de problèmes aux élèves. Seulement 10 élèves ont trouvé les bonnes réponses 15 ont correctement traité l exercice2. Les autres ont soit énoncé les deux propriétés simultanément, soit évoqué la symétrie axiale. La moitié des élèves a fait une construction juste pour l exercice 4. Seulement 3 ont donné une justification orale exacte. d) Une première analyse des résultats Les élèves ayant réussi tous les exercices sont en partie ceux qui réussissent d habitude en classe. Cependant, la plupart des élèves incapables de tracer la médiatrice d un segment sur une feuille, ont réussi à le faire sur l écran en prenant le temps nécessaire. L attrait de l ordinateur et la motivation en sont les premières causes. La disparition des instruments de géométrie, difficiles à manipuler, est une autre raison à cela. Les 5 élèves qui ont passé l heure sur l exercice 1 ont été bloqués Avril

24 par des problèmes d utilisation du logiciel et de manipulation de l ordinateur qu ils côtoient uniquement au collège deux heures par mois. Pour eux, des séances supplémentaires de familiarisation avec cet outil sont nécessaires. Pour les autres, il suffit de faire quelques rappels. Pour la plupart, l utilisation de l ordinateur est un jeu. La majorité des élèves a d abord tracé approximativement la médiatrice. Après s être aperçu de l erreur avec la question 2 ou 4, ils sont revenus à la définition. Cet effort fourni, tous sauf ceux qui ont utilisé des cercles pour la constructionont été capables de formuler la définition de la médiatrice en classe. Les constructions n ont pas posé de problèmes à ceux qui ont abordé les exercices suivants. La dynamique du logiciel a fait gagné beaucoup de temps. Les résultats obtenus ne sont pas comparables à ceux obtenus en classe plénière. C est en partie la raison du taux de réussite encourageant au deuxième problème. Les observations rapides et nombreuses ont permis de " légitimer " ces propriétés qui leur paraissent abstraites. Les élèves qui ont réussi l exercice 2 et qui n ont pas su faire le suivant, se sont heurtés essentiellement à la formulation de l énoncé. A la question "comment s appelle cette droite? " ils ont répondu en donnant un nom à la droite. La question n était pas assez précise. Sans y avoir répondu, on ne pouvait pas traiter la fin de cet exercice. En outre, pour la majorité des élèves les deux propriétés ne sont pas différentes. Ceci explique certaines réponses à la question 6 du deuxième exercice : la phrase citée est un amalgame des deux propriétés. La notion de réciproque est encore difficile pour une classe de 5 ème. On peut cependant remarquer que 10 élèves ont bien progressé dans ce domaine. Il reste encore le problème du langage. Bien qu ils donnent l impression d avoir compris, ils ne savent pas expliquer ce qu ils découvrent sur l écran. Enfin, en ce qui concerne l exercice 4, la plupart des élèves se sont doutés qu il fallait utiliser la médiatrice parce qu ils y avaient travaillé auparavant. En outre, certains ont utilisé l icône " triangle isocèle ". Avril

25 La difficulté de l exercice, le manque de temps et la barrière du langage sont les principales causes du manque de réussite. La deuxième expérimentation porte sur la découverte du cercle circonscrit à un triangle. 2) Séance sur la découverte du cercle circonscrit à un triangle a) Dispositif Après la séance de remédiation sur la médiatrice d un segment, nous avons découvert le cercle circonscrit à un triangle. Pour chaque élève, il s est donc écoulé deux semaines entre ces deux travaux. Le dispositif a été le même. L heure de cours en classe plénière qui a suivi s est déroulée dans une salle disposant d une grande télévision et d un ordinateur. Cette séance consistait à corriger la fiche d informatique et à noter au fur et à mesure sur le cahier de synthèses les observations de l écran. J ai été la seule à manipuler l ordinateur. Les élèves ont essayé de formuler les propriétés. Lors de la première séance, placer les élèves seuls devant leur écran avait pour objectif de les faire travailler sur la formulation et de faire découvrir cette nouvelle notion par eux-mêmes. L informatique est un outil privilégié pour ce type de travail. Dans un environnement papier / crayon, la manipulation des instruments de géométrie pour les constructions envisagées est un frein et les productions satisfaisantes sont peu nombreuses. b) Description de la fiche élève La fiche des élèves cf. annexe 3 - est un problème fermé. Elle est très détaillée afin de n oublier aucune étape. La découverte du cercle circonscrit est délicate, d où mon choix de guider pas à pas les élèves. La feuille comporte trois exercices. Le premier a pour objectifs d observer que les trois médiatrices d un triangle sont concourantes et de construire par conséquent le cercle circonscrit. Malgré la séance d informatique précédente, j ai choisi de ne pas leur demander de Avril

26 démonstration. C est une démarche encore nouvelle en 5 ème, difficile à introduire avec cette leçon. Le deuxième exercice fait observer que les médiatrices de tout triangle inscrit dans un cercle ont pour point de concours le centre de ce dernier. Les deux énoncés sont complémentaires. Ils permettent de bien relier les notions de cercle circonscrit et de médiatrice. Le dernier exercice est une application. L intérêt de la traiter à l aide de l ordinateur est que ce dernier permet d effacer le centre d un cercle enregistré préalablement dans un fichier. c) Quelques résultats Parmi les 25 élèves présents, 18 ont correctement traité les trois exercices sur l ordinateur. C est la formulation des remarques qui a posé le plus de problèmes, notamment celle pour la question 4 du deuxième exercice. Les 7 élèves restant ont eu un problème de temps lié au manque de maîtrise du logiciel. Les séances d informatique sont trop espacées. Ils ont cependant traité le premier exercice. La plupart d entre eux n ont pas attendu que le point A pour la question 3 change de couleur pour tracer le cercle. Par conséquent, le cercle construit n a pas bougé lors du déplacement des trois points. Malgré le problème de formulation assez fréquent, certains ont déjà fait quelques progrès. Ils ont mieux répondu aux questions du type "Que remarquestu?". d) Déroulement de la séance suivante Nous avons débuté la séance de cours par écrire la définition du cercle circonscrit à un triangle. Deux élèves ont immédiatement proposé une construction de ce nouvel objet mathématique en se référant à la séance d informatique. Pour l un d entre eux, élève d un niveau moyen, elle remontait à quinze jours. Ensuite, les élèves ont tracé sur leur cahier les trois médiatrices d un triangle. Je me suis alors rendu compte que certains avaient encore beaucoup de difficultés Avril

27 à faire ce travail, en particulier lorsque les segments ne sont pas en position horizontale par rapport à la feuille. Pourtant, ils énoncent correctement la définition de la médiatrice. Il ne faut donc pas négliger les constructions sur feuille. L observation de la propriété a pris du temps. La vérification sur l ordinateur de la salle s est en revanche bien passée ce sont les élèves qui ont proposé la démarche à suivre. Le reste de la séance s est déroulé de la même manière. Les élèves ont été très attentifs. e) Résultats d un devoir maison Suite à ces deux séances d informatique, j ai donné un devoir maison portant sur ces notions cf. annexe 4. Les exercices sur la propriété d équidistance de la médiatrice d un segment ont été traités correctement par deux élèves. En revanche, la plupart ont réussi à construire les cercles circonscrits. Les résultats d un devoir surveillé ont été similaires. Néanmoins, trois élèves ont encore des difficultés à construire la médiatrice d un segment. Le transfert des connaissances d un environnement à un autre ne s est donc pas fait. C est un point qu il faut travailler. Il est difficile de voir l impact de l informatique sur ces résultats. Cependant, j ai pu remarquer que la séance de mise en mots sur le cercle circonscrit s est bien passée. Les élèves ont construit la leçon eux-mêmes. Enfin, lors du chapitre sur le parallélogramme, après avoir parlé du centre de symétrie de ce quadrilatère, quelques uns ont soulevé le problème suivant : «Peut-on construire, pour un parallélogramme, un cercle circonscrit?». Je vais à présent exposer la dernière expérimentation : initiation à la démarche expérimentale à l aide de l informatique. Avril

28 3) Travail sur l aire du parallélogramme Après avoir décrit la séquence portant sur l aire du parallélogramme, j expliciterai quelques résultats. a) Déroulement de la séquence i) Un premier travail utilisant conjointement Atelier de Géométrie et Works La séance sur le cercle circonscrit terminée, les élèves se sont familiarisés pendant une heure avec le tableur de Works. Ils ont crée des tableaux et rentré quelques formules. Par la suite, afin de voir comment allier ce logiciel avec Atelier de Géométrie, ils ont travaillé sur un exercice de proportionnalité cf. annexe 5. Il s agit d un problème fermé parce que c est un entraînement à la manipulation délicate et simultanée des deux logiciels. C est également une façon de leur montrer un procédé de vérification d une conjecture. L objectif était d étudier si l aire et le périmètre d un carré sont proportionnels à la mesure de son côté. Pour cela, les élèves ont relevé plusieurs mesures dans le logiciel de géométrie et les ont saisies dans le tableur. Différentes formules ont été testées et des graphiques crées. Le plus dur pour les élèves, a été d apprendre à "jongler" avec les deux logiciels. En outre, l activité faisait intervenir deux notions mathématiques difficiles : la proportionnalité et l aire. C est pourquoi seulement quatre l ont traitée entièrement. ii) Première séance sur l aire du parallélogramme L objectif de la première séance était d établir une façon de calculer l aire du parallélogramme quadrilatère étudié auparavant en classe. Le dispositif était le même que pour les séances d informatique précédentes. Les élèves disposaient du dessin suivant dans Atelier de Géométrie : Avril

29 L aire est placée au centre du parallélogramme. Les mesures affichées sont arrondies au dixième près. La séance était construite sur un problème ouvert. J ai donné quelques instructions orales au début de l heure. A partir des données de l écran, les élèves devaient conjecturer la formule de l aire du parallélogramme. Par la suite, il fallait s inspirer du travail fait sur la proportionnalité pour vérifier les hypothèses émises. Les enfants devaient, dans Works, créer eux-mêmes leurs tableaux comportant les différentes formules testées et toutes les mesures relevées en particulier l aire du parallélogramme. L avantage de travailler dans un environnement informatique, par rapport à un environnement classique, pour cette activité est que c est l ordinateur qui calcule l aire sans faire apparaître de formule. Cette mesure parait moins artificielle pour les élèves lorsqu elle est donnée par la machine que par l enseignant. En outre, les observations sont plus nombreuses, grâce à la dynamique du logiciel de géométrie. Le choix du dispositif un élève par ordinateur, plutôt qu une seule machine pour la classe - ainsi que le choix du type de situation les élèves ne sont plus guidés par une fiche d instructions détaillées ont été optés afin d optimiser l esprit de recherche. L objectif était, en partie, d initier la classe à la démarche expérimentale. C est une situation délicate et nouvelle pour la classe qui nécessite un travail en demi - groupe. L enseignant peut ainsi faire face à l hétérogénéité des connaissances. Je voulais que ce soit un travail personnel. Le dispositif favorise le raisonnement par tâtons. Il permet donc de réguler par avance certaines erreurs du type : «L aire d un parallélogramme est le produit des mesures de deux côtés consécutifs, comme pour le rectangle». Enfin, le tableur a un rôle important dans cette activité. On a déjà vu qu il permet de palier au fait que les calculs ne s actualisent pas lorsque la figure est modifiée. Avril

30 En outre, il offre la possibilité aux élèves de tester plusieurs formules avec une seule série de mesures ; ceci représente un gain de temps non négligeable. Il permet également de garder une trace écrite des tableaux complets et clairs de toutes les formules testées. Ces documents peuvent, par la suite, être imprimés et commentés en classe plénière. iii) Retour en classe La première partie de la séance suivante avait pour objectif de relier l aire du parallélogramme à celle du rectangle dans un environnement classique. Elle s est déroulée dans la salle où se trouve un ordinateur. Dans un premier temps, nous avons commenté les différents résultats obtenus lors de la séance d informatique. J ai fait une synthèse des quelques tableaux imprimés par les élèves. Ils ont ensuite collé sur leur cahier la feuille polycopiée suivante : Aire du parallélogramme CD BH AIRE CD X BH ,2 1,5 8 7,8 5,3 2, ,19 6,4 2,3 14,6 14,72 7,2 1,7 12,4 12,24 7,4 1,3 9,3 9,62 3,8 2,6 9,7 9,88 7,1 1,6 11,6 11,36 2,2 1,4 3,1 3,08 7,2 3,2 22,6 23,04 7,2 7 50,3 50,4 Avril

31 Il a été précisé que cette activité ne constituait en aucun cas une démonstration de la formule et que c est simplement un premier travail de recherche. Ensuite, la classe a travaillé sur l exercice suivant, en s inspirant de ce qui avait été fait en informatique : «A l aide de découpages, retrouver la formule de l aire du parallélogramme.». L objectif n était pas de démontrer le résultat, mais juste le prouver. Le problème ouvert incite les élèves à chercher. C est une tâche difficile pour eux. Cependant, le travail sur l ordinateur leur a déjà permis d établir la formule et de visualiser un grand nombre de parallélogrammes. Plusieurs cas peuvent être observés notamment le cas où la hauteur [BH] est à l extérieur du parallélogramme ABCD et le cas où ce dernier est un rectangle. iv) Une deuxième intervention informatique Nous avons utilisé l ordinateur de la salle lors de la deuxième partie de la séance. C était un dispositif identique à celui adopté pour le cercle circonscrit. L objectif était de travailler sur la "symétrisation" de la formule : l aire du parallélogramme peut se calculer en considérant n importe lequel des côtés qui le composent et la hauteur correspondante. C est un travail similaire à celui fait lors de la première séance. Il pouvait donc être fait sur un seul ordinateur par toute la classe. Une figure identique à celle de la première séance était sur l écran de la télévision. La question posée était la suivante : «Peut-on utiliser les autres côtés du parallélogramme pour calculer son aire? Si oui, comment?». La mise en mots de tout ce qui a été vu s est terminée au début de la séance suivante. Le reste de la séquence a été consacré à la résolution d exercices portant sur ce thème. La dernière demi-heure a consisté à évaluer les connaissances des élèves. v) Contrôle des connaissances Suite à ces trois séances, la classe a eu une interrogation portant essentiellement sur l aire du parallélogramme cf. annexe 5. Avril

32 Le premier exercice tend à évaluer le nombre d élèves qui confondent l aire du parallélogramme avec celle du rectangle. Le deuxième énoncé demande de faire le cheminement contraire au précédent. Il faut construire un parallélogramme d aire donnée. Il a notamment pour objectif de déterminer si la notion de hauteur a été assimilée. L exercice suivant est encore un calcul d aire avec, cette fois-ci, une hauteur qui ne passe pas par un des sommets du parallélogramme. Enfin, le dernier problème est aussi un calcul d aire qui s appuie sur la lecture d un quadrillage. Il tend à montrer l importance du choix de la base. b) Quelques résultats Je vais maintenant présenter quelques résultats des séances précédentes. i) Résultats de la première séance d informatique Plusieurs explications orales ont été nécessaires avant que les élèves aient réussi à travailler en autonomie. Sur 21 présents, 10 ont à nouveau éprouvé quelques difficultés concernant la manipulation simultanée des deux logiciels. En outre, la moitié de la classe n a pas compris immédiatement l utilité de prendre plusieurs mesures. Le fait que la séance sur la proportionnalité remontait à un mois, a certainement joué un rôle important sur ces incidents. Enfin, la plupart des élèves ne savaient plus comment entrer une formule dans un tableau. En revanche, après quelques rappels, la classe est bien rentrée dans le problème. Certains y ont vu un jeu et ont bien adhéré à la démarche expérimentale. Le principal problème survenu par la suite, a été le grand nombre de conjectures différentes. Les élèves n ont pas pris la peine d étudier toutes les mesures affichées sur l écran. Ils ont préféré d abord tester "leurs" formules. Ces dernières n étant pas valables, cela les a déroutés et découragés. Seulement 2 élèves ont trouvé rapidement la formule et 4 n ont rien essayé. Avril

33 Chacun avait l obligation d inscrire distinctement, en utilisant les lettres de la figure, les mesures et les formules envisagées, en haut de chaque colonne du tableau. Ce dispositif m a permis de noter leurs essais. Parmi les tableaux relevés, les plus fréquemment observés sont réunis en annexe 6. Ils ont généralement essayé les formules qu ils connaissent déjà sur l aire et le périmètre du rectangle. Le calcul «CD+AB» est du au fait que le dessin est un cas particulier. En effet la hauteur considérée a pour mesure 2. Alors que certains ont arrêté dès la première mesure saisie, d autres en ont rentrées jusqu à 5, estimant qu une seule observation était insuffisante. Je suis alors intervenue pour toute la classe, afin d expliquer qu il était essentiel de bien observer le dessin et toutes les données. Il y a eu un second élan de motivation lorsque j ai précisé que les différentes mesures déjà saisies pouvaient être réutilisées pour tester d autres formules dans le même tableau. Par la suite, l exercice a été résolu par la majorité des élèves. Tous les résultats n ont pas pu être imprimés il y en a un en annexe 6. Le problème du cas particulier cité plus haut ne s est plus posé puisque, entre temps, le dessin avait été modifié. La difficulté majeure a été de valider la formule malgré les valeurs arrondies par le logiciel. C est en définitive le manque de maîtrise de l outil informatique et la nouveauté de la démarche qui ont posé le plus de problèmes. J ai utilisé mon temps à résoudre les diverses difficultés liées à cet environnement particulier de quelques élèves. Néanmoins, les différentes étapes de la démarche expérimentale sont bien apparues. Le nombre d élèves ayant trouvé et testé la formule est encourageant. Cette séance a été une base intéressante de travail pour les heures suivantes. ii) Retour en classe entière Après avoir récapitulé les résultats de la séance précédente pour les élèves qui avaient été absents, nous avons travaillé à l aide de découpages. Grâce au travail déjà fourni, la hauteur est rapidement apparue sur la majorité des dessins. Aussi, la preuve de la formule a été trouvée. Avril

34 Lors de la deuxième partie de la séance, un élève a résolu le problème de "symétrisation" de la formule. Nous avons vérifié sa solution à partir du dessin suivant sur l écran de la télévision : Chaque élève a utilisé cette fois-ci sa calculatrice pour effectuer les différentes vérifications à faire suite aux déplacements des points A et D. Le tableur n était pas essentiel pour ce dispositif. Nous avons pu alors commencer à noter la leçon sur le cahier de synthèses. Cependant, à la fin de l heure, un élève a posé la question suivante : «Si on "redresse" le parallélogramme, alors on obtient un rectangle. Leurs côtés ont la même mesure et leurs aires sont identiques. Alors, pourquoi n utilise-t-on pas la même formule : "côté fois côté"?». J ai répondu à cette question lors de la séance suivante, en utilisant encore l ordinateur. J ai tracé avec Atelier de Géométrie un cercle de centre A et placé un point D sur ce cercle. Puis j ai construit un parallélogramme ABCD. En déplaçant le point D, lié au cercle, on observe plusieurs parallélogrammes dont les côtés ont même mesure en particulier le rectangle correspondant. L aire, s actualisant à chaque déplacement, diffère : Avril

35 Par la suite, une série d exercices a été faite. La séquence s est achevée par l interrogation écrite. iii) Résultats de l interrogation 19 élèves étaient présents lors de cette interrogation. L erreur la plus fréquente a été rencontrée aux exercices 1 et 3. 5 élèves ont appliqué la formule "base fois hauteur" en utilisant le côté qui n était pas relatif à la hauteur considérée cf. copie de Romain en annexe 6. Ils ont souvent pris la mesure du côté horizontal. La séance sur la "symétrisation" de la formule ne leur a pas été bénéfique. Il serait peut-être intéressant à l avenir, lors de cette activité, de leur faire calculer le produit de la hauteur par la base correspondante et ensuite par la mesure de l autre côté. Cependant, les autres copies sont à l image de celle de Simon cf. annexe 6. La moyenne des notes concernant les exercices de calcul d aire est très élevée. Certains élèves ont considérablement progressé. Il est bien sûr difficile de déterminer l impact de l informatique sur ces résultats. Il serait intéressant, l année prochaine, de construire cette leçon sans utiliser cet outil et de comparer les résultats obtenus. L'ordinateur offre, néanmoins, la possibilité de faire des activités qui sont difficiles à faire dans un environnement classique. Les élèves ont semblé intéressés par ces séances. Je terminerai en parlant de la copie de Fabien cf. annexe 6. Pour l exercice 2, il a construit un parallélogramme d aire 12 cm 2. Tout comme Atelier de Géométrie, il a placé cette dernière donnée au centre de son quadrilatère. Il me semble, donc, que l introduction de l informatique a été bénéfique pour cette leçon. Avril

36 III. UN PREMIER BILAN Au cours des diverses séances informatiques qui viennent d être présentées, j ai constaté que les élèves étaient dans l ensemble plus motivés. Dès lors, une meilleure ambiance de travail s est installée dans la classe. Ils ont été aussi actifs que dans un environnement classique. En revanche, les enfants n ont pas été aussi autonomes que je m y attendais. Les séances de familiarisation avec l outil informatique sont essentielles. Il faudrait veiller à ce qu elles ne soient pas trop espacées et surtout assez nombreuses. La tâche de l enseignant n a pas été plus facile que dans une situation classique ; elle a été différente. D autres problèmes liés au milieu sont apparus. L hétérogénéité des connaissances dans ce domaine est très importante. Même si au cours des séances d initiation aux logiciels l écart entre les niveaux des élèves s est réduit, la classe a fonctionné à deux vitesses. Ainsi pour les élèves assez faibles en mathématiques, travailler avec un ordinateur s est révélé être une difficulté supplémentaire. Pour d autres, au contraire, le professeur n est plus l interlocuteur privilégié. Les problèmes posés sont en partie traités avec la machine. L enseignant n est appelé que s il y a blocage et s il faut valider ou invalider une production. L aspect dynamique d Atelier de Géométrie s est révélé être un atout précieux pour introduire l outil informatique dans mon enseignement. En outre, la convivialité du logiciel a permis aux élèves de s investir davantage dans le travail qui leur est demandé. Les constructions géométriques sont plus faciles à réaliser et sont de meilleure qualité que dans un environnement papier / crayon. C est, pour la classe, un travail gratifiant. Cependant, même s il offre une approche expérimentale de la géométrie et favorise l esprit de recherche, Atelier de géométrie ne peut pas se substituer à la règle et au compas. La manipulation des instruments géométriques est difficile pour les élèves. Les constructions sont une partie importante du programme de mathématiques au collège. Elles doivent être maîtrisées. Ainsi, comme le souligne [B2] : «l écran de l ordinateur ne remplace pas la feuille, le crayon et la main qui dessine. Il apporte une aide complémentaire L implication Avril

37 physique de l élève par la main autant que par les yeux, participe de sa compréhension de la figure.» En ce qui concerne les hypothèses faites sur le changement de statut de la figure, il est difficile d évaluer les progrès faits par les élèves. L outil informatique a été introduit cette année pour la classe. Son utilisation doit se poursuivre. La distinction entre les divers objets mathématiques n est pas encore nette. La différence entre figure et dessin ne semble pas encore claire. Le changement de statut de la figure est un objectif à long terme. Il doit se faire progressivement dans les deux environnements qui sont complémentaires. Suite à la séance sur la médiatrice d un segment, il semblerait qu Atelier de Géométrie ne soit pas suffisant pour un travail de remédiation. L utilisation de logiciels comme ADI est certainement plus appropriée. Le travail effectué sur cette notion peut néanmoins être retenu pour une autre situation : la découverte des propriétés. Il doit être ensuite réinvesti en environnement papier / crayon. En revanche, il semble que l intervention de l informatique dans les séquences portant sur la découverte du cercle circonscrit à un triangle et sur la conjecture de la formule de l aire du parallélogramme a été concluante. Cependant, l introduction de la démarche expérimentale ne se fait pas sans risque. Les élèves ne voient pas la nécessité d une démonstration après une validation empirique. C est d autant plus délicat qu il est possible d initier la classe de 5 ème à faire quelques raisonnements déductifs. En outre, comme le souligne un article de F. Bellemain cité dans [A 4], le professeur «doit institutionnaliser les nouvelles acquisitions, car le transfert dans un autre environnement n est pas automatique». Les élèves ont des difficultés à dissocier les connaissances assimilées du milieu où elles ont été introduites. Il y a un problème de décontextualisation des connaissances. Le logiciel Espace, par exemple, me permettra par la suite de continuer à utiliser l outil informatique dans mon enseignement. Il est idéal pour présenter les solides qui sont au programme de 5 ème. Il offre notamment la possibilité de Avril

38 visualiser un objet en trois dimensions et un patron qui s actualise lorsque ce dernier est modifié. Enfin, entraîner très tôt les élèves de 5 ème à travailler avec l outil informatique en mathématiques - plus particulièrement les familiariser avec la démarche expérimentale permet de réinvestir avantageusement les connaissances acquises dans les années futures. La classe de 4 ème, notamment, peut utiliser l ordinateur pour introduire par exemple le théorème de Pythagore et le cosinus. Avril

39 CONCLUSION Même si tous les objectifs n ont pas été atteints lors des trois expérimentations, les répercutions dues à l utilisation de l informatique dans mon enseignement ont été importantes pour les élèves. Lors de ces séances, j ai constaté une plus grande motivation, une assiduité accrue. Mais, c était, pour la classe, la première approche des mathématiques dans cet environnement. Aussi, l apprentissage de la syntaxe liée au nouveau dispositif a été une plus grande source de problèmes que l enseignement "informatique" des mathématiques. Pour les élèves peu accoutumés à ce milieu, le manque de pratique s est révélé être un frein à l acquisition des connaissances. Le rôle de l enseignant n est pas facilité dans cet environnement. Cependant, quelque soit le dispositif choisi utilisation individuelle ou collective de l ordinateur les élèves ont montré un réel enthousiasme. Il me semble important qu ils continuent à utiliser, tout au long de leur scolarité, cette méthode d enseignement. Concernant les outils informatique choisis, il apparaît qu un logiciel de géométrie dynamique offre une vision expérimentale des mathématiques, difficilement obtenue dans un environnement papier / crayon. Les constructions sont plus précises et plus rapides. C est une nouvelle conception de l enseignement des mathématiques. Aussi, un des préalables à l utilisation de cet outil par les élèves est l explication de cette spécificité afin de ne pas les désorienter. C est, sans doute, en prenant en compte les difficultés, mais aussi les avantages engendrés par l introduction de l informatique dans l enseignement, que l on trouve peut-être la place de l ordinateur dans la panoplie des outils pédagogiques. Dans les années futures, l informatique sera présente dans mon enseignement. Avril

40 Sommaire INTRODUCTION... 1 I. PROBLÉMATISATION...6 1) D une façon générale, que peut apporter l informatique aux élèves?...6 2) Trois problèmes initiaux :...9 3) Approche du problème à travers quelques logiciels...11 II. DANS MA CLASSE ) Séance sur la médiatrice ) Séance sur la découverte du cercle circonscrit à un triangle ) Travail sur l aire du parallélogramme...28 III. UN PREMIER BILAN...36 CONCLUSION... 39

41 BIBLIOGRAPHIE DIMATHEME 5 e, Didier (1997) [A1] Mathématiques et informatique collège -, Collection Idées & Outils, CRDP de la Région Centre [A2] DidaTech, Laboratoire de Structures Discrètes et de Didactique, (1994) : Cabri-classe, Apprendre la géométrie avec un logiciel (collège), Editions Archimède [A3] DRIOU M., JAMBERT G., PECH G., TOST F. : L ordinateur : un outil pour les mathématiques au collège, CRDP de Montpellier [A4] ALBERT A., CHAMPENOIS M., GUIN D., JANVIER M., MIGNON M., SALA M. (1992) : Enseigner la géométrie plane en intégrant l outil informatique (niveau collège), I.R.E.M. de Montpellier [A5] MARTIN Y. : Expérimenter en mathématiques avec Cabri-Géomètre (utilisation en lycée - Complément pour le professeur), Editions Archimède [B1] BRUNET R., NAUDEILLO J. (1996): De la figure à la représentation graphique avec Cabri-Géomètre, I.R.E.M. de Montpellier [B2] DANIEL J.C. (1995) : Géométrie en mouvement, I.R.E.M. de Reims