1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
|
|
- Virgile Fleury
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur du petit arc AB est égal au rayon R du cercle. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. B R AB = α R α radians C O R A Page sur 0
2 Correspondance entre mesures en degré et en radian Degré x Radian 0 α Pour convertir les unités de mesure d angle, on utilise la formule 80α = x, soit avec α mesure en radian et x mesure en degré. α = 80 x. Orientations d un cercle Sens direct Sens indirect. Cercle trigonométrique Un cercle trigonométrique est de rayon et est orienté positivement dans le sens direct. + Page sur 0
3 II. Angles orientés. Angle orienté de deux vecteurs unitaires Soient u et v deux vecteurs unitaires. Le couple ( u, v) orienté. On a u = et v = de ces vecteurs définit un angle B v u A u v A ce couple de vecteurs, nous pouvons associer un arc orienté AB.. Angle orienté de deux vecteurs non nuls Soient u et v deux vecteurs non nuls. On note u le vecteur unitaire colinéaire à u et de même sens que u et on note v le vecteur unitaire colinéaire à v et de même sens que v. u, v u, v. L angle ( ) est par définition égal à l angle ( ). Mesure principale en radian d un angle orienté Soient u et v deux vecteurs unitaires. Soient M et P les points du cercle trigonométrique de centre O tels que OM = u et OP = v. On note a la mesure en radian de l angle MOP. La mesure principale de l angle orienté des vecteurs ( u, v) l intervalle ] ; ] est le réel α appartenant à + tel que α = a et dont le signe est défini de la manière suivante : Page sur 0
4 P v α = a u M v u α = a M P v α = u M P Si le sens de M vers P sur le petit arc MP est le sens direct, alors α = a Si le sens de M vers P sur le petit arc MP est le sens indirect, alors α = a Si l angle MOP est plat, alors α = Exemple : ABC est un triangle équilatéral direct A C B ( AB; AC) = ( BA; BC) = ( CA; CB) = Si les vecteurs ne sont pas unitaires : La mesure principale d un angle orienté de deux vecteurs non nuls u et u, v avec u et v qui v est la mesure principale de l angle orienté ( ) sont les vecteurs unitaires colinéaires respectivement à u et v et de même sens que ces vecteurs. u, v = u, v v v ( ) ( ) u u Page sur 0
5 Page 5 sur 0. Mesures principales d angles sur le cercle trigonométrique Remarque importante : Si θ est une mesure (en radians) d un angle de vecteurs ( ), u v, toutes les autres mesures de cet angle sont de la forme : k. θ + avec k Z Parmi toutes ces mesures, une seule appartient à l intervalle ] ] ;, c est la mesure principale En rouge : mesure principale En vert : la plus petite mesure positive
6 Explication : représente une rotation complète sur le cercle, si on rajoute à une mesure d angle, on retrouve donc la même mesure. Exemples : Donner toutes les mesures des angles dont la mesure principale est α, puis donner la plus petite mesure positive : 5 α = 5 Toutes les mesures de cet angle sont la forme : x = + k. avec k Z Si k =, x = + = = Si k =, x = +. = = La plus petite mesure positive de l angle est 7. α = Toutes les mesures de cet angle sont la forme : x = + k. avec k Z Si k =, x = + = = + Si k =, x = +. = = La plus petite mesure positive de l angle est Propriétés des angles orientés Colinéarité et orthogonalité : o Si u et v sont colinéaires et de même sens : u, v = 0 + k. avec k Z ( ) v u o Si u et v sont colinéaires et de sens contraires u, v = + k. avec k Z ( ) v u Page sur 0
7 o Si u et v sont orthogonaux ( u, v) = + k. avec k Z ou ( u, v) = + k. avec k Z v u v u Egalité entre deux angles : Deux angles de vecteurs ( u, v) = θ = θ sont égaux si : θ = θ + k. avec k Z et ( u, v ) Exemple : ( u, v) = 0 =. Ces deux angles sont-ils égaux? et ( u, v ) 0 + = + = Les deux angles sont égaux. Relation de Chasles : La relation de Chasles pour les angles de vecteurs se définit ainsi : ( u, v ) + ( v, w ) = ( u, w ) Exemple : Soient vecteurs u, v et w 7 non nuls et tels que ( u, v) = Démontrer que les vecteurs u et w sont orthogonaux. et ( v, w) = Solution : D après la relation de Chasles, on sait que : ( u, w) = ( u, v) + ( v, w) = + = = =, = + donc u et w sont orthogonaux. Donc ( u, w) ( u w) Page 7 sur 0
8 Egalités remarquables : o Angles égaux : ( u, v) = ( u, v) u v v u o Angles opposés : ( u, v) = ( v, u) v u u v = u v + o Angles supplémentaires : (, ) (, ) u v ( u, v ) u u v = u v + v et (, ) (, ) v u III. Cosinus et sinus d un angle orienté. Définition important, c est-à- Remarque préliminaire : Nous travaillerons dans une base orthonormée directe ( i, j) dire que ( i, j) = (dans une base indirecte, on a ( i, j) = ) Soit un angle de vecteurs et M le point du cercle trigonométrique tel que ( OA; OM ) Par définition, on a : cosθ = abscisse de M sinθ = ordonnée de M = θ Page 8 sur 0
9 j M sin θ O θ c o s θ i A Remarquons également queom = i cosθ + j sinθ Remarquons qu on retrouve les définitions du sinus et du cosinus dans le triangle rectangle : côté adjacent cosθ = = côté adjacent car OM =. hypothénuse côté opposé sinθ = = côté opposé car OM =. hypothénuse Remarque : Si θ est une mesure (en radians) d un angle de vecteurs ( u, v) Donc : cos x = cos( x + k. ) avec k Z sin x = sin( x + k. ) avec k Z, on a : θ = θ + k. avec k Z. Formules essentielles important cos x + sin x = cos x sin x Page 9 sur 0
10 . Signes et valeurs particulières de cos x et sin x 5 0 En rouge : valeurs de x x 0 cos x sin x Tableau de signe : x - 0 cos x sin x sin x - cos x Page 0 sur 0
11 IV. Calculs trigonométriques. Angles associés cos( x) = cos x cos( x) = cos x cos( + x) = cos x cos x = sin x sin( x) = sin x sin( x) = sin x sin( + x) = sin x sin x = cos x Exemples d utilisation : Calculons des valeurs particulières de cos x et sin x à partir de valeurs connues (cf. III..) : cos = cos = cos = 5 sin = sin = sin = 7 cos = cos + = cos = 7 cos = cos = cos = cos =. Formules d addition cos( a + b) = cos a.cos b sin a.sin b cos( a b) = cos a.cosb + sin a.sin b sin( a + b) = sin a.cosb + cos a.sin b sin( a b) = sin a.cos b cos a.sin b Page sur 0
12 Remarque : on peut retrouver toutes les formules à partir de la ème formule (la plus simple) : cos( a b) = cos a.cosb + sin a.sin b Retrouvons cos( a + b) : cos( a + b) = cos( a ( b)) = cos a.cos( b) + sin a.sin( b) cos( a + b) = cos a.cosb + sin a.( sin b) cos( a + b) = cos a.cos b sin a.sin b Retrouvons sin( a + b) : sin( a + b) = cos ( a + b) = cos a b sin( a + b) = cos a cos b sin a sin b sin( a + b) = sin a.cosb cos a.sin b Retrouvons sin( a b) : sin( a b) = sin( a + ( b)) = sin a.cos( b) + sin( b).cos a sin( a b) = sin a.cos b sin b.cos a Exemples d utilisation : Trouver les valeurs exactes de cos et sin. Solution : Essayons de décomposer cos et sin en valeurs que nous connaissons : On sait que = Donc cos = cos = cos.cos + sin.sin +. cos =. +. = + cos = Page sur 0
13 sin = sin = sin.cos cos.sin sin =.. =. Formules de duplication Pour retrouver la formule : sin a = sin( a + a) = sin a.cos a + cos a.sin a sin a =.sin a.cos a cos a = cos ² a sin ² a Pour retrouver la formule : cos a = cos( a + a) = cos a.cos a sin a.sin a = cos ² a sin ² a cos a = sin ² a cos a = cos ² a car sin ² a + cos ² a =. Formules de linéarisation cos a sin ² a = + cos a cos ² a = Pour retrouver les formules : cos a cos a = sin ² a donc sin ² a = cos a donc sin ² a = cos a + cos a = cos ² a donc cos ² a = cos a + donc cos ² a = Page sur 0
14 Utilisation de ces formules : Calculer la valeur exacte de cos et sin en utilisant les formules de linéarisation. Solution : D après les formules de linéarisation, on sait que : + cos + + cos + cos = donc cos + = = = = De plus, on sait que 0 < < donc cos > 0. On peut «passer sous la racine» l égalité précédente : + cos = donc + cos = Calculons maintenant sin : D après les formules de linéarisation, on sait que : cos cos sin = = = = = De même, on sait que 0 < < donc sin > 0. On peut «passer sous la racine» l égalité précédente : sin = Autre exemple d utilisation des formules de linéarisation : Factoriser les expressions suivantes : A( x) = + cos x + cos x B( x) = cos x + sin x x C( x) = + cos x + cos D( x) = + cos x + sin x Page sur 0
15 Solutions : D après les formules de linéarisation : Donc A( x) = cos x( cos x + ) D après les formules de linéarisation : Donc B( x) = sin x( sin x + ) ( ) = cos + cos A x x x ( ) = sin + sin B x x x x x x C( x) = + cos x + cos = cos + cos car x x C( x) = cos + cos + cos x cos ² x = donc x + cos x cos ² = x D( x) = + cos x + sin x = cos + sin x x x x Or sin x = sin =.sin.cos x x x x x x Donc D( x) = cos +.sin.cos = cos cos + sin V. Equations trigonométriques. Equation du type cos A(x) = cos B(x) Théorème cos A( x) = cos B( x) signifie que B( x) = A( x) + k ou B( x) = A( x) + k avec k Z j a + k cos( a + k ) = cos( a + k ) 0 a -a i a + k Page 5 sur 0
16 Exemples d utilisation du théorème Résoudre dans ] ; ] () cos x = 0 () cos x = () cos x = () cosx = les équations suivantes : Solutions : () cos x = 0 Cette équation équivaut à cos x = cos. Donc la solution est x = + k ou x = + k avec k Z. Si on prend k = 0 pour se placer dans ] ; ], on obtient x = ou Donc S = ; x = () cos x = Cette équation équivaut à cos x = cos. Donc la solution est x = + k ou x = + k avec k Z. Si on prend k = 0 pour se placer dans ] ; ], on obtient x = ou Donc S = ; x = () cos x = Cette équation équivaut à cos x = cos 0. Donc la solution est x = k avec k Z. Donc x = k Pour k = 0, on a x = 0 et pour k =, on a x = S = 0; Donc { } Page sur 0
17 () cosx = Cette équation équivaut à cosx = cos0. Donc la solution est x = k avec k Z. k Soit x = Pour k =, on a x =. Pour k = 0, on a x = 0. Pour k =, on a x =. Donc S = ;0;. Equation du type sin A(x) = sin B(x) Théorème sin A( x) = sin B( x) signifie que B( x) = A( x) + k ou B( x) = A( x) + k avec k Z a + k j a a + k 0 a i Exemples d utilisation du théorème Résoudre dans ] ; ] () sin x = 0 () sin x = () sin x = les équations suivantes : Page 7 sur 0
18 Solutions : () sin x = 0 équivaut à sin x = sin 0 Donc, d après le théorème précédent, x = 0 + k ou x = 0 + k On obtient x = k ou x = + k = (k + ) Si k = 0, on a x = 0 ou x = Si k =, on a x = ou x = Si k =, on a x = ou x = 5 La solution de l équation est donc x = k, et dans ] ; ] on a S = { 0; } () sin x = équivaut à sin x = sin On obtient x = + k ou x = + k = + k Donc x = + k Dans ] ; ] on a S = ; () sin x = équivaut à sin x = sin 5 On obtient x = + k ou x = + k = + k 5 Soit x = + k ou x = + k x = ou x = x = ou x = x = ou x = ; on a S = ; ; ; ; ; Si k = 0, on a Si k =, on a Si k =, on a Dans ] ] Page 8 sur 0
19 VI. Variations et représentations graphiques des fonctions sinus et cosinus. Fonction sinus On pose f ( x) = sin x L ensemble de définition de f est D f =R Propriétés particulières de la fonction : On sait que sin( x) = sin x donc f ( x) = f ( x) La fonction sinus est impaire, sa courbe est donc symétrique par rapport à l origine. On sait également que sin( x) = sin( x + ) La fonction sinus est périodique, de période. Il est donc suffisant d étudier la fonction sur [ 0; ] pour avoir toute la courbe. Il faudra ensuite effectuer une symétrie par rapport à l origine et des translations de vecteurs ki. Dérivée de la fonction : Si f ( x) = sin x, alors f ( x) = cos x Tableau de variation : x 0 f ( x) = cos x f ( x) = sin x 0 0 période = Représentation graphique de la fonction f ( x) = sin x Page 9 sur 0
20 . Fonction cosinus On pose f ( x) = cos x L ensemble de définition de f est D f =R Propriétés particulières de la fonction : On sait que cos( x) = cos x donc f ( x) = f ( x) La fonction cosinus est paire, sa courbe est donc symétrique par rapport à l axe des ordonnées. On sait également que cos( x) = cos( x + ) La fonction cosinus est périodique, de période. Il est donc suffisant d étudier la fonction sur [ 0; ] pour avoir toute la courbe. Il faudra ensuite effectuer une symétrie par rapport à l axe des ordonnées et des translations de vecteurs k i. Dérivée de la fonction : Si f ( x) = cos x, alors f ( x) = sin x Tableau de variation : x 0 f ( x) = sin x - f ( x) = cos x 0 - période = Représentation graphique de la fonction f ( x) = cos x Page 0 sur 0
Angles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailSi deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Plus en détailBaccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailNombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation
1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailMais comment on fait pour...
Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailSéquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire
Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis
Plus en détailCOMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?
Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailChapitre 2 : Vecteurs
1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous
Plus en détailDéveloppements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailDeux disques dans un carré
Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailActivités numériques [13 Points]
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Plus en détailSTATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
Plus en détailL ALGORITHMIQUE. Algorithme
L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailCours de Mécanique du point matériel
Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels
Plus en détailVecteurs. I Translation. 1. Définition :
Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détail4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE
4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Introduction. 1. 1 Justication historique. La résolution de l'équation du degré (par la méthode de Cardan) amena les mathématiciens italiens du seizième 3ème siècle
Plus en détailI. RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF : La racine carrée d un nombre positif a est le nombre positif noté a dont le carré est a.
OURS 3 EME RINES RREES PGE 1/1 ONTENUS OMPETENES EXIGILES OMMENTIRES alculs élémentaires sur les radicaux Racine carrée d un nombre positif Savoir que si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif
Plus en détailChafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1
Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes
Plus en détailEquations cartésiennes d une droite
Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la
Plus en détailLa géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailLes Angles. I) Angles complémentaires, angles supplémentaires. 1) Angles complémentaires. 2 Angles supplémentaires. a) Définition.
Les Angles I) Angles complémentaires, angles supplémentaires 1) Angles complémentaires Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90 41 et 49 41 49 90 donc Les angles
Plus en détailChapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide
Chapitre 2 : Caractéristiques du mouvement d un solide I Rappels : Référentiel : Le mouvement d un corps est décris par rapport à un corps de référence et dépend du choix de ce corps. Ce corps de référence
Plus en détailMichel Henry Nicolas Delorme
Michel Henry Nicolas Delorme Mécanique du point Cours + Exos Michel Henry Maître de conférences à l IUFM des Pays de Loire (Le Mans) Agrégé de physique Nicolas Delorme Maître de conférences à l université
Plus en détailCercle trigonométrique et mesures d angles
Cercle trigonométrique et mesures d angles I) Le cercle trigonométrique Définition : Le cercle trigonométrique de centre O est un cercle qui a pour rayon 1 et qui est muni d un sens direct : le sens inverse
Plus en détail5 ème Chapitre 4 Triangles
5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du
Plus en détailMathématiques et petites voitures
Mathématiques et petites voitures Thomas Lefebvre 10 avril 2015 Résumé Ce document présente diérentes applications des mathématiques dans le domaine du slot-racing. Table des matières 1 Périmètre et circuit
Plus en détailSéquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire
Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailDu Premier au Second Degré
Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailC est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle. Le module du vecteur position OM est constant et il est égal au
1 2 C est un mouvement plan dont la trajectoire est un cercle ou une portion de cercle. Le module du vecteur position est constant et il est égal au rayon du cercle. = 3 A- ouvement circulaire non uniforme
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailCorrection : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailComment démontrer que deux droites sont perpendiculaires?
omment démontrer que deux droites sont perpendiculaires? Utilisons On sait que (hypothèses) or...(propriété, définition) donc...(conclusion) Réciproque de Pythagore,5 1,5 = + Si dans un triangle le carré
Plus en détailRepérage d un point - Vitesse et
PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailNotion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine.
TABLE DES MATIÈRES 1 Notion de fonction. Résolution graphique. Fonction affine. Paul Milan LMA Seconde le 12 décembre 2011 Table des matières 1 Fonction numérique 2 1.1 Introduction.................................
Plus en détailProposition de programmes de calculs en mise en train
Proposition de programmes de calculs en mise en train Programme 1 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve.
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailNathalie Barbary SANSTABOO. Excel 2010. expert. Fonctions, simulations, Groupe Eyrolles, 2011, ISBN : 978-2-212-12761-4
Nathalie Barbary Nathalie Barbary SANSTABOO Excel 2010 Fonctions, simulations, bases bases de de données expert Groupe Eyrolles, 2011, ISBN : 978-2-212-12761-4 Du côté des mathématiciens 14 Il n est pas
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailCOURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailParis et New-York sont-ils les sommets d'un carré?
page 95 Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré? par othi Mok (3 ), Michel Vongsavanh (3 ), Eric hin (3 ), iek-hor Lim ( ), Eric kbaraly ( ), élèves et anciens élèves du ollège Victor Hugo (2
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailCONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détailOLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES
OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES ACADÉMIE DE RENNES SESSION 2006 CLASSE DE PREMIERE DURÉE : 4 heures Ce sujet s adresse à tous les élèves de première quelle que soit leur série. Il comporte cinq
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailCORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»
Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.
Plus en détail