Développements limités usuels en 0

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1 Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n + )! + O ( x n+3) = x! + x4 xn + + ( )n 4! (n)! + O ( x n+) ( + x) α = + αx + x α(α )! x + + = + x + x + x x n + O ( x n+) α(α ) (α n + ) n! ln( x) = x x x3 3 x4 4 xn n + O ( x n+) + x ln( + x) = + x = x + x x ( ) n x n + O ( x n+) x x + x3 3 x4 xn + + ( )n 4 n + O ( x n+) x = + x 8 x n + O ( x n+) 3 (n 3) + + ( )n x n + O ( x n+) 4 n = x + x x + ( ) n 3 (n ) x n + O ( x n+) 4 n Arctan x = x x ( )n xn+ n + + O ( x n+3) Argth x = x + x xn+ n + + O ( x n+3) Arcsin x = x + x 3 3 Argsh x = x x 3 3 th x (n ) 4 n x n+ + + ( )n 3 (n ) 4 n = x x x x7 + O ( x 9) tan x = x + 3 x3 + 5 x x7 + O ( x 9) n + + O ( x n+3) x n+ n + + O ( x n+3)

2 Développements en série entière usuels e ax = a n n! xn a C, x sh x = (n + )! xn+ x ch x = (n)! xn x sin x = ( ) n (n + )! xn+ x cos x = ( ) n (n)! ( + x) α = + a x n= x n α(α ) (α n + ) n! x x n (α ) x ] ; [ = a n+ xn (a C ) x ] a ; a [ = (a x) = (a x) k ln( x) = ln( + x) = n + a n+ xn (a C ) x ] a ; a [ C k n+k a n+k x n (a C ) x ] a ; a [ n xn x [ ; [ n= n= ( ) n n x n x ] ; ] x + x = + + n 3 (n 3) ( ) x n x ] ; [ n= 4 (n) = + ( ) n 3 (n ) x n x ] ; [ + x 4 (n) n= Arctan x = ( ) n n + xn+ x [ ; ] Argth x = n + xn+ x ] ; [ Arcsin x = x + n= 3 (n ) 4 (n) x n+ n + Argsh x = x + ( ) n 3 (n ) 4 (n) n= x n+ n + x ] ; [ x ] ; [

3 3 Dérivées usuelles Fonction Dérivée Dérivabilité x n n Z nx n x α α αx α + e αx α C αe αx a x a + a x lna ln x log a x a + {} x xlna cosx sinx sin x cosx tan x + tan x = cos x cotan x cotan x = sin x { π } + kπ k Z πz ch x sh x sh x ch x th x th x = ch x coth x coth x = Arcsin x x sh x ] ; [ Arccos x x ] ; [ Arctan x Argsh x + x x + Argch x x ] ; + [ Argth x x ] ; [

4 4 Primitives usuelles I Polynômes et fractions simples Fonction Primitive Intervalles (x x 0 ) n x 0 n Z { } (x x 0 ) α x 0 α C { } (x z 0 ) n z 0 C n Z { } x a x (a + ib) (x x 0 ) n+ n + (x x 0 ) α+ α + (x z 0 ) n+ n + n N : x n Z (N { }) : x ] ; x 0 [, ] x 0 ; + [ ] x 0 ; + [ a ln x a ] ; a [, ] a ; + [ a, b ln[ (x a) + b ] + i Arctan x a b II Fonctions usuelles Fonction Primitive Intervalles lnx x(ln x ) ]0 ; + [ e αx α C α eαx sin x cosx cosx sin x tan x ln cosx ] π + kπ ; π [ + kπ cotan x ln sinx ] kπ ; (k + )π [ sh x ch x ch x sh x th x ln(ch x) coth x ln sh x ] ; 0 [, ] 0 ; + [

5 Primitives usuelles 5 III Puissances et inverses de fonctions usuelles Fonction Primitive Intervalles sin x cos x tan x x sin x 4 x sin x + 4 tan x x ] π + kπ ; π + kπ [ cotan x cotan x x ] kπ ; (k + )π [ sh x ch x sh x 4 sh x 4 x + x th x x th x coth x x coth x ] ; 0 [, ] 0 ; + [ sin x cosx sh x ch x ln tan x ] kπ ; (k + )π [ ( x ln tan + π ) ] π 4 + kπ ; π [ + kπ ln th x ] ; 0 [, ] 0 ; + [ Arctan e x sin x = + cotan x cotan x ] kπ ; (k + )π [ cos x = + tan x tanx ] π + kπ ; π + kπ [ sh x = coth x coth x ] ; 0 [, ] 0 ; + [ ch x = th x th x sin 4 x cos 4 x cotan x cotan 3 x 3 tanx + tan3 x 3 ] kπ ; (k + )π [ ] π + kπ ; π + kπ [

6 6 Primitives usuelles IV Fonctions dérivées de fonctions réciproques Fonction Primitive Intervalles + x Arctan x a + x a a Arctan x a x a x a Argth x ln + x x a Argth x a a ln a + x a x ] ; [ ] ; [, ] ; [, ] ; + [ ] a ; a [ ] ; a [, ] a ; a [, ] a ; + [ x Arcsin x ] ; [ a x a Arcsin x a ] a ; a [ x + Argsh x = ln ( x + x + ) x x + a a Argch x Argch( x) ln x + x ln x + x + a ] ; + [ ] ; [ ] ; [ ou ] ; + [ a > 0 : a < ] 0 : ; a [ ou ] a;+ [ (x + ) Arctan x + x (x + ) x (x + ) Arctan x x (x + )

7 7 Trigonométrie I Fonctions circulaires Premières propriétés Ensemble de définition sin x cos x tan x cotan x { π } + kπ k Z πz Période π π π π Parité impaire paire impaire impaire f(π x) sin x cosx tanx cotan x f(π + x) sinx cosx tan x cotan x ( π ) f x cos x sin x cotan x tan x ( π ) f + x cosx sinx cotan x tanx Ensemble de dérivabilité { π } + kπ k Z Dérivée cosx sinx + tan x = cos x πz cotan x = sin x Valeurs remarquables π π π 3 π 4 π 6 sin x cotan x tan x 3 0 cosx 0

8 8 Trigonométrie 0 π/6 π/4 π/3 π/ sinx 0 / / 3/ cosx 3/ / / 0 tanx 0 / 3 3 indéfini cotan x indéfini 3 / 3 0 II Fonctions réciproques des fonctions circulaires Définition Les périodicités et les symétries des fonctions trigonométriques introduisent une difficulté pour résoudre les équations du type sin x = λ. Par exemple, π/6, 5π/6 et π/6 + 4π ont tous la même image par la fonction sinus. Les «fonctions circulaires réciproques» Arcsin, Arccos, Arctan et Arccot ne sont pas de vraies réciproques, puisque les fonctions de départ ne sont pas des bijections ; ajoutons qu elles ne sont pas périodiques. Il faut les combiner avec la périodicité et, pour sinus et cosinus, avec les symétries par rapport à l axe des ordonnées et l axe des abscisses respectivement. Si sin x = λ [ ; ], alors x = Arcsin λ mod π ou x = π Arcsin λ mod π Si cosx = λ [ ; ], alors x = Arccos λ mod π ou x = Arcsin λ mod π Si tan x = λ, alors x = Arctan λ mod π Si cotan x = λ, alors x = Arccot λ mod π Le problème réciproque est, lui, sans difficulté : si x = Arcsin λ, alors sin x = λ. Propriétés Ensemble de définition Ensemble image Arcsin x Arccos x Arctan x Arccot x [ ; ] [ ; ] [ π/ ; π/ ] [ 0 ; π ] ] π/ ; π/ [ ] 0 ; π [ Période aucune aucune aucune aucune Parité impaire aucune impaire aucune Ensemble de dérivabilité ] ; [ ] ; [ Dérivée x x + x + x

9 Trigonométrie 9 3 elations Arccos x + Arcsin x = π/ Arctan x + Arctan y = Arctan x + y 0 si xy < + επ où ε = si xy > et x, y 0 xy si xy > et x, y 0 Arctan x + Arccot x = π/ { Arctan /x si x > 0 Arccot x = π + Arctan /x si x < 0 Arctan x + Arctan /x = sign(x) π/ III Formules Corollaires du théorème de Pythagore cos x + sin x = cos x = sin x = + tan x + cot x = tan x + tan x Addition des arcs cos(a + b) = cosacosb sin a sin b sin(a + b) = sinacosb + sin b cosa tan(a + b)= tan a + tanb tan a tan b cos(a b) = cosacosb + sin a sin b sin(a b) = sinacosb sin b cosa tan(a b)= tan a tan b + tanatan b 3 Arc double, arc moitié cosx = cos x sin x = cos x = sin x sin x = sinxcosx tan x = tanx tan x cosp + cosq = cos p + q sinp + sinq = sin p + q tanp + tanq = sin(p + q) cospcosq sinp sinq = sin p q cosp cosq = sin p + q tanp tanq = cos x = + cosx sin x = cosx tan x = sin(p q) cospcosq cos p q cos p q cos p + q sin p q sin x + cosx = cosx sin x

10 0 Trigonométrie En notant t = tan x comme dans les règles de Bioche, on a : sinx = t + t cosx = t + t 4 Formule de Moivre (cosa + i sina) n = cosna + i sinna d où cos3a = cos 3 a 3 cosa sin a = 4 cos 3 a 3 cosa sin 3a = 3 cos a sin a sin 3 a = 3 sin a 4 sin 3 a tan 3a = 3 tan a tan3 a 3 tan a 5 Arcs en progression arithmétique n sin kx = k=0 sin nx sin (n + )x sin x n coskx = k=0 cos nx (n + )x sin sin x IV Trigonométrie hyperbolique ch x sh x = ch (a + b)= ch a ch b + sh a sh b sh (a + b)= sh a ch b + sh b ch a th (a + b)= th a + th b + th a th b ch (a b)= ch a ch b sh a sh b sh (a b)= sh a ch b sh b ch a th (a b)= th a th b th a th b ch p + ch q = ch p + q sh p + sh q = sh p + q th p + th q = sh (p + q) ch p ch q ch p ch q = sh p + q sh p sh q = sh p q th p th q = sh (p q) ch p ch q ch p q ch p q sh p q ch p + q ch x= ch x + sh x ch x= = ch x = + sh x sh x= sh xch x sh x= th x= th x + th x th x= ch x + ch x sh x ch x = ch x + sh x

11 Trigonométrie En notant t = th x, on a : sh x = t t ch x = + t t (ch a + sh a) n = ch na + sh na d où ch 3a = ch 3 a + 3 ch a sh a = 4 ch 3 a 3 ch a sh 3a = 3 ch a sh a + sh 3 a = 4 sh 3 a + 3 sh a th 3a = 3 th a + th 3 a + 3 th a