Dérivation : cours. Dérivation dans R
|
|
- Alizée Coutu
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I. On dit que f est dérivable en a si l une des propositions suivantes équivalentes est réalisée :. La fonction f(a+) f(a) a une limite finie l en Il eiste un réel l et une fonction ǫ tels que pour tout réel tel que a+ I, f(a+) = f(a)+l+ǫ() avec lim 0 ǫ() = 0 Le nombre l est appelé le nombre dérivé de la fonction f en a; il est noté f (a). Si f est dérivable en tout point de I, on dit que f est dérivable sur I. La fonction qui à tout de I associe le nombre dérivé f () est la fonction dérivée de f. Remarques :. Équivalence des deu propositions : Supposons que la fonction f(a+) f(a) a une limite finie l en 0. On a donc : f(a+) f(a) lim = l 0 Pour 0, on pose ǫ() = f(a+) f(a) l. On a donc lim ǫ() = 0. 0 De plus, ǫ() = f(a+) f(a) l et par conséquent, Réciproquement, si alors pour 0, Or, lim 0 ǫ() = 0, donc f(a+) = f(a)+l+ǫ() f(a+) = f(a)+l+ǫ() avec lim 0 ǫ() = 0 f(a+) f(a) = l+ǫ() f(a+) f(a) lim = l 0 2. Soit C la courbe représentative d une fonction f dérivable en a. f(a) f()=f(+) M A Le nombre : f(a+) f(a) est appelé tau d accroissement (ou accroissement moyen) de la fonction f entre a et a+. Soient A(a;f(a)) et M(a+;f(a+)) deu points de C. La droite (AM) a pour coefficient directeur : f(a+) f(a) a+ a = f(a+) f(a) C Le coefficient directeur de (AM) est donc le tau d accroissementdef entreaeta+.lorsquetendvers0,cecoefficient directeur tend vers le nombre f (a). =a+ a Lorsque tend vers 0, le point M se rapproce du point A. La droite (AM) devient alors tangente à la courbe C au point d abscisse a. Le nombre f (a) est donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a. La première proposition du téorème peut donc s écrire : le tau d accroissement de f en a admet une limite finie en 0.
2 3. f(a+) = f(a)+f (a) +ǫ() avec lim 0 ǫ() = 0 est appelé développement limité à l ordre de la fonction f en a. 4. En posant le cangement de variable = a+, les deu propositions équivalentes s écrivent : 5. Cette dernière égalité peut s écrire f() f(a) lim = l a a f() = f(a)+f (a)( a)+( a)ǫ( a) avec lim a ǫ( a) = 0 f() f(a) = f (a)( a)+( a)ǫ( a) avec lim a ǫ( a) = 0 Avec les notations des pysiciens, à savoir = a et y(a) = f() f(a), cette égalité s écrit : y(a) = f (a) + ǫ( ) Or, lim ǫ( ) = 0. Lorsque devient infinitésimal, on écrit symboliquement cette égalité sous la forme : 0 Cette écriture est appelée notation différentielle. dy = f (a)d ou encore f (a) = df dy (a) = d d (a) 6. Si f représente la loi oraire d un mobile en déplacement,la vitesse moyenne du mobile entre les instants t 0 et t 0 + est : variation de la distance variation du temps = f(t 0 +) f(t 0 ) La vitesse instantannée du mobile est alors obtenue en faisant tendre vers 0. Cette vitesse instantannée est donc : f(t 0 +) f(t 0 ) lim = f (t 0 ) 0 Donc si f est la loi oraire d un mouvement, f (t 0 ) représente la vitesse instantannée à l instant t 0. Savoir-faire : page 03 Eercice : À l aide de la définition, montrer que la fonction racine carrée est dérivable sur ]0;+ [ et que la fonction valeur absolue est dérivable sur R. 2 Tangente. Si la fonction f est dérivable en a, la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a a pour équation : Lorsque f (a) = 0, la tangente est orizontale. y = f (a)( a)+f(a) f() f(a) 2. Si lim = + ou, alors f n est pas dérivable en a, mais la droite d équation = a est tangente a a verticale à la courbe représentative de f au point d abscisse a. f() f(a) 3. Si lim a une limite finie à droite (resp. à gauce), on dit alors que f est dérivable à droite (resp. à gauce). a a On a alors une demi-tangente (comme la fonction valeur absolue qui admet deu demi-tangentes à l origine). 4. La fonction f(a)+f (a) ( a) est une approimation affine de f
3 C. f(a+) f (a)+f(a) f(a) A (T) Quand on se place au voisinage du point A d abscisse a (proce du point A), la courbe représentative C de f et la tangente (T) semblent proces. La tangente est la représentation grapique de la fonction f(a)+f (a) ( a). La fonction f(a) + f (a) ( a) est donc une approimation affine de f. Lorsque est proce de a, c est la meilleure approimation affine de f. On dit que la tangente est la meilleure approimation affine de f au voisinage de a. a a+ Savoir-faire : 2 page 03. Eemple : Etude de la fonction f : (+) 3 au voisinage de 0 Pour tout réel, f(0+) f(0) = (+) 3 = = 3+(3+ 2 ) = 3+ǫ() avec ǫ() = 3+ 2 et lim 0 ǫ() = 0. f est donc dérivable en 0 et f (0) = 3. Le développement limité à l ordre de f en 0 est alors : +3+ǫ(). La meilleure approimation affine de f en 0 est donc : f(0)+f (0) = +3. L équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse a est alors : y = +3.,248 3 = (+0,248) ,248, Quelques compléments de formules Téorème : Soient u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. Alors la fonction f = u est dérivable sur I et f = u 2 u. Eemple : Soit f la fonction définie par f() = 2 +. La fonction u : 2 + est dérivable et strictement positive sur R. Par conséquent, la fonction f est dérivable sur R. Pour tout réel, on a : f () = u () 2 u() = = 2 + Démonstration (ROC) : Soit I et soit un réel non nul tel que + I. Le tau d accroissement de f entre et + est : τ() = f(+) f() () u(+) u() () τ() = L idée est de faire apparaître le tau d accroissement de u entre et +, c est-à-dire u(+) u(). On veut donc se débarasser des( racines. L idée, fort classique, est d utiliser la quantité conjuguée : u(+) ) ( u(+)+ ) u() u() () τ() = ( u(+)+ ) u()
4 u(+) u() () τ() = ( u(+)+ ) u() () τ() = u(+) u() ( u(+)+ u() ) Or, la fonction u est dérivable sur I, donc lim 0 u(+) u() = u (). De plus, lim u(+) = (car la fonction 0 2 u(). racine carrée est continue sur [0 ; + [), donc par somme et quotient, lim = 0 u(+)+ u() Par conséquent, lim 0 τ() = u () 2 u(). Téorème : Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et soit n un entier naturel non nul. Alors la fonction f = u n est dérivable sur I et f = nu u n. Eemple : Soit f la fonction définie par f() = ( ) 7. La fonction u : est dérivable sur R. Par conséquent, la fonction f est dérivable sur R. Pour tout réel, on a : f () = 7 u () u 7 () = 7 ( ) ( ) 6 Démonstration (ROC) : Montrons ce rśultat par récurrence. Soit P la propriété : la fonction f = u n est dérivable sur I et f = nu u n, n N. Initialisation : n =. Alors f = u. La fonction u étant dérivable sur I, f l est aussi. De plus, nu u n = u. La propriété est donc vraie au rang n =. Hérédité : Supposons que la propriété P soit vraie pour un entier naturel n. Montrons alors qu elle est vraie au rang (n+), c est-à-dire que ( u n+) = (n+) u u n. On a : u n+ = u u n. Or, les fonctions u et u n sont dérivables sur I donc par produit, la fonction u n+ l est aussi. De plus, pour tout réel de l intervalle I, on a : ( u n+ ) = (u u n ) (2) (2) ( u n+) = u u n +u nu u n (d après la formule de dérivation d un produit et d après l ypotèse de récurrence). (2) ( u n+) = u u n +nu u n + (2) ( u n+) = u u n +nu u n (2) ( u n+) = (n+)u u n + (2) ( u n+) = (n+)u u n La propriété P est donc vrie au rang (n+). Conclusion : La propriété P est vraie au rang n = et est éréditaire. Donc, d après l aiome de la récurrence, elle est vraie sur N. Par conséquent, pour tout entier naturel n non nul, la fonction f est dérivable et f = nu u n. Conséquence : Soient u une fonction dérivable et ne s annulant pas sur un intervalle I et soit n un entier naturel non nul. Alors la fonction f = u n est dérivable sur I et f = nu u n+. Eemple : Soit f la fonction définie par f() = (cos 3 ()+2) 5. La fonction cos() est dérivable sur R. Donc la fonction u : cos 3 () + 2 est dérivable et ne s annule pas sur R (pour tout réel, cos() ). Par conséquent, la fonction f est dérivable sur R. Pour tout réel, on a : f () = 5 3( sin())cos2 () (cos 3 ()+2) 5+ = 5sin()cos2 () (cos 3 ()+2) 6 Démonstration (ROC) : D après le téorème précédent, la fonction u n est dérivable sur I. De plus, par ypotèse, elle ne s annule pas sur I, donc la fonction est dérivable sur I (inverse d une fonction dérivable ne s annulant pas sur un un intervalle) et on a : pour tout I : ( ) u n = (un ) (u n ) 2 = nu u n u 2n = nu nu = u2n (n ) u n+
5 Remarque : Sous les ypotèses du téorème, on peut donc dire que, pour tout entier relatif n non nul, la fonction u n est dérivable sur I et que (u n ) = nu u n. La formule est la même que n soit positif ou négatif. Téorème : Soient f une fonction dérivable sur R et soient a et b deu réels. Alors la fonction g : f(a+b) est dérivable sur R et pour tout réel, g () = af (a+b). Eemple : Soit g la fonction définie par g() = sin(3 ). La fonction sin est dérivable sur R. Par conséquent, la fonction g est dérivable sur R. Pour tout réel, on a : g () = 3cos(3 ) Démonstration (ROC) : Deu cas peuvent se présenter : a = 0 et a 0. Si a = 0 : alors, pour tout réel, g() = g(b). g est donc une fonction constante. Elle est dérivble sur R et sa dérivée est nulle. On a donc bien : g () = af (a+b) = 0. Si a 0 : Soit un réel et soit un réel non nul. Le tau d accroissement de g entre et + est : τ() = g(+) g() (3) (3) τ() = f(a(+)+b) f(a+b) (3) τ() = f(a+b+a) f(a+b) Posons alors X = a+b et H = a. Donc = H a. (3) τ() = /disf Ha (3) τ() = a H Or, la fonction f est dérivable sur R, donc lim = f (X). H 0 H = lim = f (X) = f (a+b). On peut donc écrire : H 0 H De plus, lim H = 0 donc lim 0 0 H lim τ() = 0 af (a+b). La fonction g est donc dérivable en et donc sur R et pour tout réel, g () = af (a+b). Savoir-faire : 3 et 4 page Généralisation : la composée de fonctions Eemples : Voir TP. Définition : Soit u une fonction définie sur un intervalle I. Soit v une fonction définie au-moins sur l intervalle u(i). Alors la fonction I R v(u()) est appelée la composée de v et u et notée v u (lire v rond u). ( ) Eemple : Soit f la fonction définie par f() = cos. La fonction u : est définie sur R. La fonction v : cos() est définie( sur) R. Donc la fonction f = v u : cos est définie sur R. Téorème : Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable au-moins sur u(i). Alors la fonction f = v u est dérivable sur I et f = u (v u). En notation différentielle, on a : df d = dv du dud. Eemple : Soit f la fonction définie sur R par f() = sin( 2 ). Alors f = v u avec u() = 2 et v() = sin(). u et v sont définies et dérivables sur R. Donc f est dérivable sur R. De plus, u () = 2 et v () = cos(). Donc f () = 2 cos( 2 ) pour tout réel.
6 Démonstration : Cette démonstration n est pas au programme et ne pourra être comprise dans sa totalité qu après le cours sur les limites. Soit 0 I. Supposons que pour proce de 0 et tel que I, u() u( 0 ). Le tau d accroissement de v u en 0 est alors : v u() v u( 0 ) = v(u()) v(u( 0)) u() u( 0) 0 u() u( 0 ) 0 u étant continue sur I (car dérivable sur I), lim 0 u() = u( 0 ). v étant dérivable au-moins sur u(i), lim y y 0 v(y) v(y 0 ) y y 0 v(u()) v(u( 0 )) téorème de composition des limites, lim = v (u( 0 )). 0 u() u( 0 ) u étant dérivable sur I, lim 0 u() u( 0 ) 0 = u ( 0 ). = v (y 0 ). De plus u() et u( 0 ) sont dans u(i), donc, d après le v(u()) v(u( 0 )) Donc, lim u() u( 0) = v (u( 0 )) u ( 0 ). La fonction v u est donc dérivable en 0 et 0 u() u( 0 ) 0 (v u) ( 0 ) = u ( 0 ) v u( 0 ). Supposons que u est constante dans un voisinage de 0, c est-à-dire que pour proce de 0, u() = u( 0 ). Alors; le tau d accroissement de v u en 0 est : v u() v u( 0) = 0. Donc v u est dérivable en 0 et (v u) ( 0 ) = 0. De plus, 0 puisque u est constante au voisinage de 0, u ( 0 ) = 0, donc u ( 0 ) v u( 0 ) = 0 = (v u) ( 0 ). On a donc montré que pour tout point 0 de I, la fonction v u est dérivable en 0. Donc, v u est dérivable sur I et (v u) = u (v u). 5 Primitive Définition Une primitive d une fonction f définie sur un intervalle I de R est une fonction F dérivable sur I telle que F = f. Eemples :. Soit F() = 2. Alors F est dérivable sur R et pour tout réel, F () = 2. F est donc une primitive de la fonction f définie sur R par f() = Soit G() = Alors G est dérivable sur R et pour tout réel, G () = 2. G est donc une primitive de la fonction f définie sur R par f() = 2. Quelques propriétés sur les primitives. Si une fonction f admet une primitive F sur un intervalle I alors elle en admet une infinité et les primitives de f sont les fonctions G = F +k, où k est une constante réelle. 2. Soit f une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I et soit k un réel. Alors la fonction kf admet une primitive ur I et une primitive de la fonction kf sur I est la fonction kf. 3. Soient f et g deu fonctions admettant cacune une primitive sur un intervalle I (F et G). Alors la fonction f +g admet une primitive sur I et une primitive de la fonction f +g sur I est la fonction F +G. 4. Soit f une fonction admettant des primitives sur I. Soit 0 un réel de I et soit y 0 un réel quelconque. Alors, il eiste une unique primitive F de f sur I vérifiant F( 0 ) = y Une condition suffisante pour que f admette une primitive sur I est que f soit dérivable sur I (en fait, continue sur I suffit). Démonstration :. La fonction F étant dérivable sur I, G l est aussi. De plus, G = F = f. Donc G est une primitive de f sur I. Soit G une primitive de f sur I. Alors la fonction G F est dérivable sur I comme somme de fonctions dérivables sur I et (G F) = 0. Donc G F est constante sur I, donc G F = k, avec k réel. 2. Soit G = kf. F est dérivable sur I donc G l est aussi et G = kf = kf. Donc G est une primitive de kf sur I. 3. À faire. 4. Soit G une primitive de f sur I. Alors toutes les primitives de f sur I sont de la forme : F = G+k, avec k réel. On veut que F( 0 ) = y 0, soit G( 0 )+k = y 0, soit k = y 0 G( 0 ). La fonction F : G() +y 0 +G( 0 ) répond donc bien à la question. De plus, si une autre fonction H répond aussi à la question, alors F H =constante. Or, (F H)( 0 ) = 0. Donc F = H. 5. Démonstration faite plus tard dans le cours sur l intégration.
7 Eemples :. Déterminer une primitive F de f : cos() sur R, vérifiant F( π 2 ) = 0. Toute primitive de f sur R est de la forme F : sin()+k, avec k réel. La condition F( π 2 ) = 0 fournit alors k =. Par suite, F() = sin(). 2. Soit g la fonction définie sur R par g() = g est dérivable sur R donc g admet des primitives sur R. Ces primitives sont de la forme : G() = k (k R) 3. Soit f la fonction définie sur ]0;+ [ par f() = 2 3. f est dérivable sur ]0;+ [ donc elle admet des primitives sur ]0;+ [. On a : f() = 2 3. Donc les primitives de f sur ]0;+ [ sont de la forme : F() = k = +k (k R) 2 4. Soit la fonction définie sur R par () = (3 ) 6. est dérivable sur R donc admet des primitives sur R. On a () = 3 3(3 )6 = 3 u ()u 6 () avec u() = 3. Donc ses primitives sont de la forme : 5. Soit k la fonction définie sur R par k() = H() = 3 7 u7 = 2 (3 )7 (k R) 2. k est dérivable sur R donc k admet des primitives sur R. 2 + On a k = u = u u 2 avec u() = 2 +. Donc ses primitives sont de la forme : u K() = = 2 u+c = c (c R) +u On obtient le tableau des primitives en lisant le tableau des dérivées à l envers. Voir ci-après Savoir-faire : 2 page 207; 3 page 209.
8 f est une fonction définie sur un intervalle I; F est une primitive de f sur I. f() F() I k réel k+c R 2 2 +C R r (r ) R si r N r+ r+ +C ] ;0[ ou ]0;+ [ sir r Z ]0;+ [ si r R\Z 2 (cas r = 2) +C ] ;0[ ou ]0;+ [ (cas r = 2 ) 2 +C ]0;+ [ ln +C ] ;0[ ou ]0;+ [ e e +C R sin cos+c R cos sin R +tan 2 = cos 2 tan+c ] π 2 +kπ; π 2 +kπ[, k Z
9 u et v sont des fonctions dérivables sur un intervalle I. Fonction f Primitive F Commentaires au (a réel) au u +v u+v u u r (r ) u r+ r+ sur tout intervalle I où u 0 et où u > 0 pour r / Z u u (cas r = 2 ) 2 u sur tout intervalle I où u > 0 u (cas r = 2) u2 u sur tout intervalle I où u 0 u u ln u lnu si u > 0 sur I ln( u) si u < 0 sur I u e u e u u(a+b) (a 0) a U(a+b) U primitive de u sur I
Continuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailNombre dérivé et tangente
Nombre dérivé et tangente I) Interprétation graphique 1) Taux de variation d une fonction en un point. Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant le nombre réel a, soit (C) sa courbe représentative
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailDérivation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES
Capitre 4 Dérivation Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Dérivation Nombre dérivé d une fonction en un point. Tangente à la courbe représentative d une fonction dérivable
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailDérivation : Résumé de cours et méthodes
Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailChapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques
Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailFONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.
FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailEquations cartésiennes d une droite
Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailLE PROCESSUS ( la machine) la fonction f. ( On lit : «fonction f qui à x associe f (x)» )
SYNTHESE ( THEME ) FONCTIONS () : NOTIONS de FONCTIONS FONCTION LINEAIRE () : REPRESENTATIONS GRAPHIQUES * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Plus en détailFiche PanaMaths Calculs avec les fonctions sous Xcas
Fiche PanaMaths Calculs avec les fonctions sous Xcas Cette fiche destinée aux élèves des classes de Terminale requiert un premier niveau de connaissance du logiciel Xcas. Définition d une fonction Fonctions
Plus en détailLicence Sciences et Technologies Examen janvier 2010
Université de Provence Introduction à l Informatique Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Année 2009-10 Aucun document n est autorisé Les exercices peuvent être traités dans le désordre.
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailSINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases
SINE QUA NON Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases Sine qua non est un logiciel «traceur de courbes planes» mais il possède aussi bien d autres fonctionnalités que nous verrons tout
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailMais comment on fait pour...
Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailM2 IAD UE MODE Notes de cours (3)
M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailRappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
Plus en détailPrécision d un résultat et calculs d incertitudes
Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................
Plus en détailRepérage d un point - Vitesse et
PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailSeconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.
Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détail