Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

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1 Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette une et une seule image dans R Définition. Une fonction réelle d une variable réelle est une application d une partie de R dans R. f est définie en 0 R si f fait correspondre à 0 une et une seule valeur f( 0 ) réelle. On note D f l ensemble de définition de f et le graphe de f est l ensemble f = {( f()) D f }. On note : f : D f R R f() Eemple. D f = R pour f : R R définie par l équation f() = /. 6.. Parité et périodicité f est paire si D f f() = f( ) ; alors le graphe de f est smétrique par rapport à O. f impaire si D f f() = f( ) ; alors le graphe de f est smétrique par rapport à O. f est de période T si T est le plus petit réel strictement positif tel que f( + T ) = f() D f. CONCLUSION : Suivant les parité et périodicité éventuelles de f, on l étudiera sur E f D f. 45

2 6..2 Opérations sur les fonctions Sur l ensemble des fonctions de D R à valeurs dans R, on définit la somme, le produit, le quotient et la composée : (f + g)() = f() + g() (fg)() = f()g() () = si f() = 0 f f() et si f(d) D R avec g application de D dans R : (g f)() = g f(). Par eemple, si f() = 2 + et g() =, alors (g f)() = 2 + sur R et (f g)() = + sur R Fonction continue V est un voisinage de 0 si V contient un intervalle ouvert contenant 0. Si V on dit que est voisin de 0. est la ite de f en 0, si f() est aussi voisin que l on veut de dès que est suffisamment voisin de 0, mais distinct de 0. On note f() =. Définition. On dit que f, définie sur un voisinage de 0, est continue en 0 si f() = f( 0 ), ce qui revient à permuter les smboles et f. On admettra les deu résultats suivants : Si f et g sont continues en 0, il en est de même λ R pour λf, f + g, fg et f/g si g( 0 ) = 0. Si f est continue en 0 et si g est continue en f( 0 ), alors g f est continue en 0. Si f est continue D, on dit que f est continue sur D. Eemple. Les fonctions élémentaires n, sin, cos et e sont continues sur R et ln sur R Dérivée en 0 d une fonction f définie sur un voisinage de 0 Définition. On dit que f est dérivable en 0 si l epression f() f( 0) admet 0 une ite lorsque tend vers 0 ; on pose alors f ( 0 ) = f() f( 0 ) 0. Si f est dérivable ]a b[, on définit la fonction dérivée f : f () de ]a b[ dans R. On définit aussi la différentielle df( 0 ) de f en 0 par df( 0 ) = f ( 0 ) d d où la notation f = df d. 46

3 6..5 Calcul des dérivées Soient u, v et f telle que f () = 0 trois fonctions dérivables : = u v uv u (u + v) = u + v (uv) = u v + uv v v 2 (u v) () = u v() v () f () = f (f ()) Eemples. o sin(4 2 ) = 8 cos(4 2 ) 2 o = Application géométrique de la valeur de la dérivée Si la fonction f est dérivable en 0, le nombre f ( 0 ) représente la pente de la tangente au graphe de f en 0, tangente dont l équation peut s écrire = f ( 0 )( 0 ) + f( 0 ) puisque la pente ou coefficient de variation d une droite est constant. Eemple. Soit f() = Alors, au point ( 3) on a f () = et l équation de la tangente en au graphe f de f est = + 2. Remarquons qu en développant f suivant les puissances de on obtient le DL2 v() de f : f() = 3 + ( ) + 3( ) 2 + o(( ) 2 ). = = + 2 O Les premiers termes linéaires 3+( ) donnent l équation de la tangente = +2 et le suivant 3( ) 2 étant positif, la courbe est au dessus de la tangente. Plus généralement : Soit k 0 l ordre du premier coefficient non nul dans le DLk v( 0 ) de f() f( 0 ) + f ( 0 )( 0 ) = a k k + o( k ). 47

4 Si k est pair, la courbe reste d un même côté de sa tangente au voisinage de. On a un point ordinaire. Si k est impair, la courbe traverse sa tangente en. On a un point d infleion. Si f n est pas dérivable en 0, on peut rencontrer : un point anguleu : la courbe a en deu demi-tangentes. un point d infleion à tangente parallèle à O. un point de rebroussement de ère espèce à tangente parallèle à O Application de la dérivée au sens de variation de f Soit f une fonction réelle dérivable sur l intervalle ouvert I de R. Alors f est croissante sur I resp. décroissante) si et seulement si f () 0 resp. f () 0) pour tout I. Cette propriété, qui résulte du théorème des accroisssements finis, permet de construire le tableau de variations de f Etude des branches infinies La courbe f d équation = f() présente une branche infinie si ou si f() quand 0 Si f() =, alors la courbe f présente une asmptote d équation = 0. Si f() = 0, alors la courbe f présente une asmptote d équation = 0. Si f() =, on eamine s il eiste une fonction élémentaire g telle que (f() g()) = 0. On dit que le graphe de g est courbe asmptote à f. Eemple. Si f() = 2 +, alors, le graphe de g définie par g() = 2 est courbe asmptote. Le graphe de f présente une branche parabolique dans la direction de O O 0 0 O = = 2 0 2

5 Cas particulier : Un développement asmptotique de f de la forme f() = a+b+ a k k +o(/k ) permet de déterminer la droite asmptote d équation = a + b au graphe de f, le terme a k donnant la position de k f par rapport à l asmptote. O a k > 0 k:impair f() En l absence de développement asmptotique, on calcule si elle eiste, puis si cette ite a est finie (f() a) ; dans le cas où cette dernière b eiste aussi, l epression (f() a b) donne la position du graphe par rapport à l asmptote d équation = a + b. On a donc à calculer au moins trois ites Plan d étude d une fonction f() Pour étudier une fonction et tracer son graphe f, on procède de la façon suivante : o On détermine l ensemble de définition et de continuité D f de f, puis on met en évidence la parité, l imparité et la périodicité éventuelles de f ; on en déduit l intervalle d étude E f. 2 o On étudie f au bornes de E f et on détermine les branches infinies et asmptotes éventuelles. 3 o On calcule la dérivée de f et l on étudie son signe. 4 o On établit le tableau de variations de f que l on complète en indiquant les valeurs particulières prises par f et les tangentes au points particuliers. 5 o On trace enfin le graphe correspondant à E f que l on complète éventuellement par les smétries ou les translations déterminées au o. 6.2 Fonctions logarithmes et eponentielles On appelle fonction logarithme népérien John Napier ) la fonction définie sur R + par l intégrale de et nulle pour = : Propriétés du logarithme. ln : ln = dt t de R + sur R ln est continue et indéfiniment dérivable sur R +. Pour tous R + et r Q on a : ln() = ln + ln ; ln( ) = ln ln ; ln(r ) = r ln 49

6 DÉVELOPPEMENT LIMITÉ du logarithme. On obtient le DLn v(0) par intégration du DL(n ) v(0) de ( + ) : ln( + ) = ( )n n n + o(n ) Dérivons le logarithme : (ln ) = qui est positif donc ln est strictement croissant ; comme c est une fonction continue, c est une bijection de R + sur R. D où la Définition. On appelle eponentielle et on note ep() ou e sa fonction réciproque de R dans R + et l on a : e ln = > 0 et ln(e ) = R Propriétés de l eponentielle : Pour tous R e + = e e ; (e ) = e e ; e = e La fonction e est continue et dérivable indéfiniment sur R puisque réciproque d une fonction continue et indéfiniment dérivable. En particulier : si l on pose = e alors (e ) = = = e (ln ) DÉVELOPPEMENT LIMITÉ de l eponentielle. Compte tenu de (e ) (n) = e et de la formule de Maclaurin on obtient le DLn v(0) : e = En particulier pour = : n n + o(n ) e = n + o(n ) e vérifie la relation ln e = ln e =. On l appelle base du logarithme népérien et la fonction e s appelle l eponentielle de base e. Changement de base Soit a > 0 On appelle logarithme de base a la fonction notée log a définie sur R + par log a() = ln ln a Propriétés. Elles se déduisent de celles du logarithme népérien : log a est définie et continue, indéfiniment dérivable et pour tous a b > 0 a b = > 0 : 3 = = 2 3 = e = ln = log

7 log a () = 0 ; log b = log b a log a ; log a () = log a + log a en particulier : log a ( ) = log a Eponentielle de base a. On appelle eponentielle de base a la fonction notée a réciproque de la fonction logarithme de base a. Propriétés. Elles se déduisent de celles du logarithme de base a par application des résultats sur les fonctions réciproques : Les graphes sont smétriques de ceu des log a par rapport à la première bissectrice. Pour tout a > 0 on a : log a (a ) = R et a log a () = R + En particulier : a = e ln a a > 0 Plus généralement : u() v() = e v() ln(u()) pour u() > 0 a < O a > a = 6.2. Compléments sur la croissance comparée de n et de ln ou e Pour lever des formes indéterminées ou 0 on pourra utiliser les résultats suivants : Pour tout entier n : + n e = 0 +0 n ln = 0 e + + = + n ln = 0 (n > 0) n On mémorise ces résultats en disant que la fonction eponentielle croît plus vite que la fonction puissance et que la fonction puissance croît plus vite que la fonction logarithme qu il soit népérien ou décimal. 6.0 Testons nos connaissances : Eercices. Si pour D f f () = 0, le graphe de f admet un etremum. Vrai-Fau) 2. En un minimum, la dérivée est nulle. Vrai-Fau) 3. Toute fonction eponentielle est croissante. Vrai-Fau) 4. Si D f f () 0 alors f est décroissante. Vrai-Fau) 5. a b R e a+b = e a + e b Vrai-Fau) 6. ln(a 2 ) = 2lna a R Vrai-Fau) 5

8 7. (log 0 ) = R + Vrai-Fau) 8. ln(e ) = R Vrai-Fau) ln = 0 Vrai-Fau) (2 ) = 2 Vrai-Fau) 0. Puisque ( + ) = alors ( + ) / = Vrai-Fau) 0 0. Si f est paire, le graphe de f est smétrique / o Vrai-Fau) 6. Calculer les dérivées des fonctions suivantes : a) cos( 3 ) b)( 2 + ) 0 c) sin d)(cos ) (2000) e) e e f) sin( ) g) ( cos 3 ) 3 h) ( + )3 ( 3 ) /3 ( 2 ) 2 utiliser (ln u() ) = u u 6.2 Etudier les fonctions suivantes : f () = 4 Serpentine de Newton.) 2 + Calculer les équations des tangentes en = 0 et = au graphe de f. f 2 () = f 3 () = ln + tan tan f 4 () = 3 3 seulement au voisinage de Etudier et tracer le graphe de la fonction : f() = 2 Arc tan 6.4 Etudier les fonctions de Gauss : a) f() = 2 e 2 b ) f() = ( 7) 2 2π 3 2π e Etudier et tracer le graphe de la fonction logistique simplifiée : f() = + e Montrer que le point M 0, ) est centre de smétrie et point d infleion Simplifier les epressions : a) log 25 5 b)log 0 (0.) c) log 0 (00/67) d)log e) a log a (ln a) (a > 0) 52

9 6.7 Résoudre dans R les équations : a) ln + ln(2 ) ln(4 2 ) = 0 b) e 2 + 2e 3 = 0 c) = ( ) 6.8 Calculer les ites suivantes : a) + e ln d) + e b) + e e) + ln c) + e 2 f) e a) Calculer +. + b) Etudier la fonction et tracer son graphe. 6.0 Etrait SVL. Soit la fonction de la variable réelle f : f() = +. cos Effectuer le développement ité à l ordre deu au voisinage de zéro de la fonction puis celui de f. cos En déduire l équation de la tangente au graphe f de f en = 0, ainsi que la position du graphe par rapport à cette tangente. Illustrer par un dessin eplicatif. 6. Etrait SVL. Calculer le D.L. à l ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction : X sin X X cos X. Déterminer une équation de l asmptote à la courbe représentative de la fonction réelle de la variable réelle f() = sin cos. 53