Cours d Analyse I et II

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1 ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23

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3 Table des matières Sur les nombres. Les nombres entiers Définitions et notations Démonstration par récurrence Nombres premiers La formule du binôme Les nombres rationnels Les nombres réels Introduction Développement décimal Majorants et bornes supérieures Les nombres complexes Définition et propriétés Représentation dans le plan, module et argument Conjugué complexe Forme trigonométrique Similitude du plan complexe Racines n-ième d un nombre complexe Polynômes et racines Définition et division euclidienne Théorème fondamental de l algèbre Equations du second degré Equations de degré Suites réelles et séries numériques 2 2. Suites réelles Définitions Convergence d une suite Propriétés de convergence des suites Sous-suites et points d accumulation Suites de Cauchy Suites récurrentes Méthodes pour trouver la limite d une suite récurrente Séries Convergence d une série Propriétés des séries Séries à termes positifs Séries alternées Série absolument convergente iii

4 iv TABLE DES MATIÈRES 2.4 Définition du nombre e Un petit résumé de quelques séries Fonctions réelles et continuité Définitions générales Fonctions réelles Quelques fonctions réelles élémentaires Représentation des courbes planes Valeur limite d une fonction à l infini Valeurs limites en un point et continuité Définitions Propriétés des limites Exemples Continuité Exemples Prolongement par continuité Propriétés des fonctions continues Dérivées et applications La dérivée Définitions Exemples Régles de calculs Dérivées des fonctions élémentaires Dérivée de la fonction réciproque Quelques exemples Dérivée des fonctions implicites Représentation paramétrique Théorème de la moyenne Quelques théorèmes La règle de Bernoulli-l Hospital Comparaison des croissances des fonctions (ln x) α, x β et e γx Dérivées d ordres supérieurs Etude de fonction Croissance et extremum Courbure et point d inflexion Développement limité et série de Taylor Définitions Exemples Opérations sur les développements limités Application : calcul de limite Application aux extremums Formule d Euler Résolution numérique d équations : méthode de Newton Calcul intégral L intégrale définie Définition par sommes de Riemann Propriétés de l intégrale définie Théorème fondamental du calcul intégral

5 TABLE DES MATIÈRES v 5.2 Primitives Définition et propriétés Recherche des primitives Intégration des fonctions rationnelles Intégration des fonctions rationnelles de fonctions trigonométriques Quelques autres techniques Intégrales impropres Définitions Critères de convergence Application : calcul d aires Aire entre 2 courbes Domaine fermé Surfaces sectorielles Longueur d arc Calcul des volumes Cas où l aire des sections est connue Corps de révolution Surface de révolution Convergence des séries : critère intégral Equations différentielles ordinaires 3 6. Introduction et définitions Equation différentielle du premier ordre Equation séparable Equation homogène en x et y Equation linéaire Equation du type y = ϕ ( ax+by+c dx+ey+f ) Equation de Bernoulli Equation différentielle du 2ème ordre Equation sans terme y Equation autonome (sans terme x) Equation linéaire Equation de Ricati Equation différentielle d Euler Applications Position d équilibre d un câble Phénomènes oscillatoires Circuit RLC série Calcul différentiel à plusieurs variables L espace R n Structures sur R n Courbes dans R n Définition Dérivabilité Longueur d une courbe Angle entre deux courbes Fonctions réelles à plusieurs variables Graphe Ensembles et courbes de niveau

6 vi TABLE DES MATIÈRES 7.4 Dérivées partielles Gradient Approximation du er ordre and plan tangent Règles de dérivation Dérivée directionnelle Gradient et courbes de niveau Dérivées partielles d ordres supérieurs Etude de fonction Extremum Classification des points stationnaires Théorème des fonctions implicites Exemple Théorème général Application : équation du plan tangent à une surface implicite Extremum sous contraintes : multiplicateur de Lagrange Multiplicateur de Lagrange Contraintes multiples Fonctions de R n dans R m Gradient Application : changement de coordonnées Intégrales multiples 2 8. Intégrales doubles Définition et interprétation géométrique Propriétés de l intégrale double Calcul effectif Applications Intégration sur tout R Changement de variables Application : coordonnées polaires Intégrales triples Définition Calcul effectif Changement de variables Intégrales de surfaces Représentation paramétrique d une surface Calcul de l aire d une surface Cas explicite z = f(x, y) Intégrales dépendant d un paramètre Intégrales curvilignes Intégration d un champ scalaire Intégration d un champ vectoriel

7 Chapitre Sur les nombres. Les nombres entiers.. Définitions et notations On note N = {,, 2, 3,...} l ensemble des entiers naturels ; Z = {..., 3, 2,,,, 2, 3,...} l ensemble des nombres entiers relatifs...2 Démonstration par récurrence On utilise ce type de démonstration lorsque l énoncé à démontrer dépend d un paramètre n N. Soit P (n) un énoncé dépendant de n N et ayant un sens pour tout n n N (souvent n = ou ). La démonstration par récurrence de P (n) comporte 2 étapes, la seconde possédant 2 variantes : ) On montre d abord que le résultat est vrai pour n = n. 2) On démontre ensuite, en admettant que le résultat est vrai pour n n, qu il reste vrai pour n +. On montre donc l implication P (n) = P (n + ) n n Variante 2 ) On admet le résultat pour tout k tel que n k n et on le démontre pour n +. On démontre donc, dans cette variante, l implication [ P (k) k {n, n +,..., n} ] = P (n + ). Exemples.. (a) Montrons que n(n + ) S(n) = n = n. 2 ) L affirmation est vraie pour n = car = ) Supposons la formule vraie pour n et montrons-la pour n +. n(n + ) S(n + ) = n + (n + ) = + n + = 2 = n2 + 3n + 2 (n + )(n + 2) = 2 2 ce qui montre que la formule reste vraie pour n +. n(n + ) + 2(n + ) 2

8 2 CHAPITRE. SUR LES NOMBRES (b) Démontrons la formule suivante : S(n) = n 2 = n(n + )(2n + ). 6 ) La formule est vraie pour n = car = ) On suppose que la formule est vraie pour n. Alors } {{ n } 2 +(n + ) 2 = 6 n(n + )(2n + ) + n2 + 2n + = 6 n(n+)(2n+) = ( n(n + )(2n + ) + 6n 2 + 2n + 6 ) 6 = ( 2n 3 + 9n 2 + 3n + 6 ) = (n + )(n + 2)(2n + 3) 6 6 ce qui démontre la formule pour n Nombres premiers Définition.2. On dit qu un entier n N est premier s il est 2 et qu il n est divisible que par et par lui-même. Exemple.3. 2, 3, 5, 7,,... sont premiers alors que,, 8, 9, 6, 22 ne le sont pas. Théorème.4. Tout nombre naturel n > s écrit de manière unique comme produit de nombres premiers, i.e. n = p e pe 2 2 pe r r où p < p 2 < < p r sont des premiers uniques et les e i sont des entiers également uniquement déterminés par n. De plus, les nombres premiers p, p 2,, p n sont les uniques nombres premiers divisant n. Démonstration : (par récurrence) Ici, le début de la récurrence est n = 2. ) Si n = 2, alors le théorème est vrai car 2 est premier. 2 ) Supposons l énoncé vrai pour tout entier k tel que 2 k n et considérons n +. Si n + est un nombre premier, alors l affirmation est vraie. Sinon, on a n + = md avec < m, d n. Par hypothèse de récurrence, le théorème est vrai pour d et m. Ainsi d = p e pe pe r r m = q c qc qc s s et donc n + = p e pe pe r r q c qc qc s s où les p i et les q j sont des nombres premiers. L unicité de cette décomposition est admise sans preuve ici. Théorème.5 (Euclide). Il existe une infinité de nombres premiers Démonstration : Supposons, par l absurde, qu il existe un nombre fini n de premiers et notons-les p, p 2,...p n. Soit N = p p 2 p n +. Par les théorèmes précédents, il est alors divisible par un nombre premier c est-à-dire qu il existe un p i qui divise N. Mais comme p i divise également le produit p p 2 p n, il doit diviser aussi la différence, c est-à-dire N p p 2 p n = ce qui est absurde. Il existe donc une infinité de nombres premiers.

9 .. LES NOMBRES ENTIERS 3..4 La formule du binôme Définition.6 (Coefficients binomiaux). On pose, pour tout n N et pour tout k n, k N. ( ) n n! n(n )(n 2) (n k + ) = =. k k!(n k)! k(k )(k 2) 2 Remarque.7. Par symétrie de la définition, on a toujours ( ) ( ) n n = k n k Exemple.8. ( ) 4 = 4! 2 2!2! = 6 ( ) 4 = 4! 3 3!! = 4 Propriétés : On a, entre autres, ( ) ( ) n n. = =. n ( ) ( ) n n 2. = = n pour tout n. n ( ) ( ) ( ) n n n = (cf. exercices) k k k ( ) 5 = = Le triangle de Pascal Les formules -3 ci-dessus permettent de construire le triangle de Pascal. Les coefficients binomiaux sont utiles pour calculer (a + b) n : Théorème.9 (Formule du binôme). Soient a, b R et n N. Alors ( ) ( ) ( ) n n n (a + b) n = a n + a n b + a n 2 b ab n + b n 2 n n ( ) n = a n k b k. k En particulier, on a k= (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

10 4 CHAPITRE. SUR LES NOMBRES Démonstration : Par récurrence : ) La formule est clairement vraie pour n = et. 2) Supposons la formule vraie pour n et montrons-la pour n +. n ( ) n (a+b) n+ = (a + b)(a + b) n = (a + b) a n k b k k k= n ( ) n n ( ) n = a a n k b k + b a n k b k k k k= k= n ( ) n n ( ) n = a n k+ b k + a n k b k+ k k k= k= n ( ) n+ n ( ) n = a n k+ b k + a n j+ b j j := k + = k= k ( ) n a n+ + [( ) n + j= ( n j )] a n b + [( ) ( n n + 2 [( ) n + n ( ) ( ) ( ) n + n + n + = a n+ + a n b + a n b (par la propriété 3 ci-dessus) n+ ( ) n + = a n+ k b k. k k=.2 Les nombres rationnels )] a n b ( )] n + ab n + n ( n + n ) ab n + ( ) n b n+ n ( ) n + b n+ n + On définit Q = { m n ; m Z, n Z } avec l équivalence m n = m n mn = m n. C est l ensemble des nombres rationnels. Dans Q, les 4 opérations sont toujours possibles à l exception, bien sûr, de la division par. On dit que Q est un corps. Problème : il existe des longueurs dans le plan ne correspondant à aucun nombre rationnel. En effet considérons la diagonale du carré de côté égal à. Alors par Pythagore, sa longueur c doit satisfaire c 2 = + = 2, donc c = 2. Or Proposition.. Le nombre 2 n est pas rationnel. Démonstration : Supposons, par l absurde, qu il existe p, q Z avec 2 = p et supposons q que la fraction est réduite, c est-à-dire que p et q sont premiers entre eux (pgcd(p,q)=). En élevant au carré, on obtient p 2 q 2 = 2

11 .3. LES NOMBRES RÉELS 5 ce qui donne 2q 2 = p 2. L entier p 2 est donc pair ce qui signifie que p l est aussi. Donc p = 2p et alors on a 2q 2 = p 2 = (2p ) 2 = 4p 2. En divisant par 2, on obtient q 2 = 2p 2 ce qui montre que q est également pair ce qui contredit le fait que la fraction est réduite. Donc 2 Q. De ce fait on introduit.3 Les nombres réels.3. Introduction On note R l ensemble des nombres réels. On peut voir les nombres réels comme toutes les longueurs géométriques obtenues le long d une droite. Représentation : Exemples.. Les nombres 2, non rationnels. 3 2, 4 5, π, π, e, e 2, ln(5) sont tous des nombres réels L ensemble R est un corps, totalement ordonné, archimédien, complet : totalement ordonné : on peut toujours comparer 2 réels r et u ; soit u > r, soit u < r, soit u = r. archimédien : pour tout couple (x, y) de nombres réels, il existe un entier n N tel que nx > y complet : cf. chapitre 2. Notation.2. r ]a; b[ a < r < b r [a; b] a r b r ]a; b] a < r b intervalle ouvert intervalle fermé intervalle semi-ouvert Définition.3. Si r R et r Q, alors r est dit irrationnel. Exemples.4. π (transcendant) 2 (algébrique). Proposition.5. Considérons le nombre N où N N. Alors { N N si N est un carré dans N N Q sinon. La démonstration est une généralisation de celle faite pour démontrer que 2 est irrationnel.

12 6 CHAPITRE. SUR LES NOMBRES.3.2 Développement décimal Théorème.6. Soit r un nombre réel. Alors r est rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique. Démonstration : Montrons d abord que si r est rationnel, alors son développement décimal est périodique. Soit r = m n. On peut supposer m < n. Alors r = m n =, c c 2 c 3 c 4... où les c i sont obtenus par une division euclidienne. Les restes successifs r i sont toujours < n. Après au plus n divisions, on retrouvera donc un reste r j égal à un reste précédent r i et le processus de division devient périodique. Le développement devient donc périodique à partir de la décimale c i. Notons que la longueur de la période est au plus égale à n. Exemple.7. Montrons la réciproque. Soit 2 7 = r = d d 2... d m, e e 2... e r c c 2... c n un nombre réel dont le développement décimal est périodique. On va montrer que r Q. Il est clair que le nombre d d 2... d m, e e 2... e r est rationnel. Il suffit donc de montrer que est rationnel. Posons N = c c 2... c n. Alors s =, c c 2... c n n s = c c 2... c n, c c 2... c n s =, c c 2... c n En soustrayant la seconde ligne à la première, on obtient ( n )s = c c 2... c n = N et donc s = N n. Exemples.8. ) Soit r =, s =, 526, N = 526, n = 3. Alors s = = et r = = ) Soit s =, 3. Alors N = 3, n = 2 et s = 3 2 = 3 99.

13 .3. LES NOMBRES RÉELS Majorants et bornes supérieures Dans cette section, S désignera soit Q soit R et A sera un sous-ensemble non vide de S. Définition.9. A est dit majoré (resp. minoré) dans S s il existe s S tel que a s (resp. a s) pour tout a A. L élément s S est appelé un majorant (resp. un minorant) de A. Le sous-ensemble A est dit borné s il est à la fois majoré et minoré. Remarques : ) L élément s n appartient pas nécessairement à A. 2) Si A possède un majorant, alors il en possède une infinité. En effet, si s est un majorant de A, alors tout t S tel que t s est aussi un majorant. Définition.2 (Borne supérieure ou supremum). Un majorant s de A est appelé la borne supérieure ou supremum de A s il est le plus petit des majorants, c est-à-dire si, pour tout autre majorant s de A, on a s s. On note alors s = sup A. Si A n est pas majoré, on pose sup A = Définition.2 (Borne inférieure ou infimum). Un minorant s de A est appelé la borne inférieure ou infimum de A s il est le plus grand des minorants. On note alors s = inf A. Si A n est pas minoré, on pose inf A =. Remarque : Si le supremum (resp. l infimum) existe, il est unique. Remarque : Si le supremum (resp. l infimum) de A appartient à A, on dit que c est le maximum (resp. le minimum) de A et on le note max A (resp. min A). Exemple.22. soit A =]; ], S = R alors sup A = = max A et inf A = A Propriétés des nombres réels (C) Dans R, tout sous-ensemble (non vide) possède une borne supérieure et une borne inférieure. Remarque : Cette propriété n est pas vraie dans Q : Exemple.23. Considérons le sous-ensemble de Q A = {x Q x 2 < 2} C est un sous-ensemble borné de Q car, par exemple, 3 2 est un majorant de A et 3 2 est un minorant de A. Mais il ne possède ni de borne supérieure ni de borne inférieure dans Q. En revanche, si on considère A comme sous-ensemble de R, alors la propriété (C) ci-dessus assure l existence d une borne supérieure r = sup A et d une borne inférieure s = inf A. On montre alors facilement que r 2 = s 2 = 2 et donc que sup A = 2 et inf A = 2.

14 8 CHAPITRE. SUR LES NOMBRES.4 Les nombres complexes.4. Définition et propriétés Dans R, 4 opérations possibles ; toutes les racines n-ièmes de tous les nombres positifs existent. MAIS dans R. n existe pas dans R. Ou autrement dit, le polynôme X 2 + est irréductible On introduit alors le nombre i défini par i 2 = et l ensemble des nombres complexes est alors C := {a + bi ; a, b R} Exemples i 2 πi 4, 5, π i, 4 3i sont des nombres complexes. Terminologie Soit z = a + bi un nombre complexe. Le nombre réel a est appelé la partie réelle de z et est noté Re(z). Le nombre réel b est la partie imaginaire de z et est noté Im(z). Si b =, z est réel. Si a =, alors z est dit imaginaire (pur) On définit les 4 opérations dans C de la manière suivante : Addition : z = a + bi z 2 = c + di z + z 2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Opposé : Si z = a + bi, alors z = a bi. Exemples.25. ( + i) + (3 4i) = ( + 3) + ( 4)i = 4 3i ( 2 + 3i) + ( i) = ( )i (2 i) ( + 4i) = 2 i 4i = 5i

15 .4. LES NOMBRES COMPLEXES 9 Multiplication : Si z = a + bi et z 2 = c + di alors z z 2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac bd + (ad + bc)i car i 2 =. Inverse : Tout nombre complexe z a un inverse : si z = a + bi alors Vérification : z = a bi a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i z z = (a + bi) a bi (a + bi)(a bi) a 2 = + b2 a 2 + b 2 = a2 abi + abi b 2 i 2 a 2 + b 2 = a2 + b 2 a 2 + b 2 =. Donc, en ajoutant simplement à R le nombre i et tous les nombres de la forme a + bi, on obtient un corps : les 4 opérations sont possibles. ATTENTION : C n est pas ordonné : z < z 2 n a aucun sens!!!!! Propriétés dans C. Commutativité : z + z 2 = z 2 + z z z 2 = z 2 z 2. Associativité : (z + z 2 ) + z 3 = z + (z 2 + z 3 ) z (z 2 z 3 ) = (z z 2 )z 3 3. Distributivité de l addition par rapport à la multiplication : z (z 2 + z 3 ) = z z 2 + z z Représentation dans le plan, module et argument Soit z = a + bi un nombre complexe. On peut lui associer le point P z (a ; b) du plan. Définition.26. Soit z = a + bi.

16 CHAPITRE. SUR LES NOMBRES Le module de z est le nombre réel z = r = a 2 + b 2 (toujours ). L argument de z est le nombre réel arg(z) = θ défini par les deux égalités : cos θ = sin θ = a a 2 + b = a 2 z b a 2 + b = b 2 z ATTENTION : On a tan(θ) = b a mais θ n est pas toujours égal à arctan ( b a Exemples.27. ) z = 2 + 6i P z ( 2, 6) ). 2) z = 6 P ( 6; ) z = ( 2) = 4 arctan(6/ 2) =.249 Mais θ = π = ) z = 3i P (; 3) r = z = 6 arg(z) = π. r = z = 3 arg(z) = π 2.

17 .4. LES NOMBRES COMPLEXES.4.3 Conjugué complexe Si z = a + bi, on définit z = a bi. On a alors zz = (a + bi)(a bi) = a 2 (bi) 2 = a 2 + b 2 = z 2. Quelques propriétés ) zz = z 2 = z = 2) z = z ; z + w = z + w z z 2. 3) z = z ; arg(z) = arg(z). 4) z + z = 2a ; z z = 2bi 5) z 2 = (z) 2 car (a + bi) 2 = a 2 b 2 + 2abi = a 2 b 2 2abi = (a bi) 2 = ( a + bi ) 2. Conséquence : zw = z w En effet, d une part (z + w) 2 = (z + w) 2 = (z + w) 2 = z 2 + 2z w + w 2 et d autre part (z + w) 2 = z 2 + 2zw + w 2 = z 2 + 2zw + w 2. 6) Donc 2z w = 2zw ce qui implique zw = z w. zw = z w Démonstration : Le module d un produit est égal au produit des modules. zw 2 = zw zw = zwzw = zzww = z 2 w 2 = ( z w ) 2 Comme tout est positif, on a encore zw = z w. Corollaire : z = z w = w z z

18 2 CHAPITRE. SUR LES NOMBRES 7) Inégalité du triangle : z + w z + w Démonstration : On a d abord z = a 2 + b 2 a 2 = a a = Re(z). Alors ( ) z + w 2 = (z + w)(z + w) = (z + w)(z + w) = zz + zw + wz + ww = z 2 + zw + wz + w 2 = z 2 + w 2 + 2Re(zw) par (*) z 2 + w zw = z 2 + w z w = ( z + w ) 2. Donc z + w z + w..4.4 Forme trigonométrique Soit z = a + bi et r = z et θ = arg(z). On a a = r cos(θ) et b = r sin(θ). Donc z = a + bi = r cos(θ) + r sin(θ)i = r(cos θ + i sin θ). Le nombre z est entièrement déterminé par son module et son argument. On note alors z = [r; θ] = r(cos θ + i sin θ) C est la forme trigonométrique de z. Exemples.28. ) z = 6 = [6; π] 2) z = 2 + 6i = [ 4;.8925] 3) z = 3i = [3; π/2]. Produit et inverse sous forme trigonométrique Soient z = [r ; θ ] = r (cos θ + i sin θ ) et z 2 = [r 2 ; θ 2 ] = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ). Alors z z 2 = r r 2 (cos θ + i sin θ )(cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r r 2 [(cos θ cos θ 2 sin θ sin θ 2 ) + i(cos θ 2 sin θ + cos θ sin θ 2 )] = r r 2 [cos(θ + θ 2 ) + i sin(θ + θ 2 )].

19 .4. LES NOMBRES COMPLEXES 3 Donc z z 2 = r r 2 = z z 2 et arg(z z 2 ) = θ + θ 2 = arg(z ) + arg(z 2 ) Ainsi l argument d un produit est égal à la somme des arguments. Il s ensuit que arg On en déduit ( ) ( ) ( ) z = arg z z 2 = arg z 2 + arg(z) = arg(z) = arg(z). arg ( z z 2 ) ( ) = arg(z ) + arg = arg(z ) arg(z 2 ) z 2 En résumé. [r ; θ ] [r 2 ; θ 2 ] = [r r 2 ; θ + θ 2 ] 2. [ ] [r ; θ ] [r 2 ; θ 2 ] = r ; θ θ 2 r 2 3. z n = [r; θ] n = [r n ; n θ] Exemple.29. Calculons z = ( + i)9 ( i) 7. On a + i = [ 2; π 4 ] et i = [ 2; π ]. Alors 4 z = [ 2; π/4] 9 [ 2; π/4] = [ 9 2 ; 9π/4] 7 [ 2 7 ; 7π/4] = [6 2; 9π/4] [8 2; 7π/4] = = [2; 4π] = [2; ] = 2. [ 6 ] 2 8 ; 9π/4 ( 7π/4) 2 Applications : Soit z = [; θ] = cos(θ) + i sin(θ). Alors z n = [ n ; nθ] = [; nθ] = cos(nθ) + i sin(nθ). Donc (cos(θ) + i sin(θ)) n = cos(nθ) + i sin(nθ) Formule de Moivre

20 4 CHAPITRE. SUR LES NOMBRES En particulier, si n = 3, on trouve cos(3θ) + i sin(3θ) = (cos θ + i sin θ) 3 = cos 3 θ + 3i cos 2 θ sin θ + 3i 2 cos θ sin 2 θ + i 3 sin 3 θ = cos 3 θ 3 cos θ sin 2 θ + i(3 cos 2 θ sin θ sin 3 θ) On en déduit les formules trigonométriques pour le triple d un angle : Remarque.3. cos(3θ) = cos 3 θ 3 cos θ sin 2 θ sin(3θ) = 3 cos 2 θ sin θ sin 3 θ. z = n a pas de forme trigonométrique car son argument n est pas défini. En revanche =. 2. L argument n est défini qu à un multiple de 2π près. Ainsi [r; θ] = [r; θ + k 2π] k Z. 3. On verra au chapitre 2 que [r ; θ] = re iθ..4.5 Similitude du plan complexe On peut faire correspondre à toute similitude du plan complexe une opération algébrique dans C. ( ) a (I) Translation de vecteur Addition du nombre w = a + bi. b (II) Homothétie de rapport r R Multiplication par w = r. (III) Rotation d angle φ Multiplication par le nombre w = [; φ] = cos φ+i sin φ. En effet, si z = [r ; θ] alors z w = [r ; θ + φ]

21 .4. LES NOMBRES COMPLEXES 5 (IV) Symétrie d axe Ox prise du conjugué : z z. (V) etc Racines n-ième d un nombre complexe Soit z = [r; θ] un nombre complexe (donné sous forme trigo) et n un entier. On cherche tous les nombre complexes w tels que w n = z racines n-ième de z. Les w sont donc les solution (dans C ) de l équation X n z =. Posons w = [s; ϕ] et déterminons s et ϕ. On doit avoir donc Ceci donne le système dont les solutions sont données par [s; ϕ] n = [r; θ] [s n ; nϕ] = [r; θ + k 2π] k Z. { s n = r nϕ = θ + k 2π { s = n r k Z ϕ = θ n + k 2π n k Z Il y a donc exactement n racines n-ième de z distinctes données par [ w k = n θ r; n + k 2π ] n k =,, 2,..., n. En résumé, on a la formule suivante pour tout q Q : [r ; θ] q = [r q ; qθ + kq2π] k Z Exemples.3. ) z = = [; ]. Les racines n-ième de sont [ ] [ n 2π w k = ; + k = ; k 2π ] n n k =,, 2..., n. (On a w = [, ] = )

22 6 CHAPITRE. SUR LES NOMBRES Les w k sont sur les sommets d un n-gone régulier. Les w k sont les racines (les zéros) dans C du polynôme X n. 2) Si n = 3 dans l exemple ) ci-dessus, alors on a w = w = [; 2π 3 ] = (cos 2π 3 + i sin 2π 3 ) = i =: j w 2 = [; 2 2π 3 ] = (cos 4π 3 + i sin 4π 3 ) = i =: j On peut vérifier directement par calcul que j 3 = j 3 =. Ainsi, dans C, le polynôme X 3 se décompose en X 3 = (X )(X 2 + X + ) = (X )(X j)(x j). Cas particulier : racines carrées ( n = 2 ) Le nombre complexe z = [r, θ] a deux racines carrées qui sont données par w = [ r; θ 2 ] w = [ r; θ 2 + π] = w. Dans ce cas précis des racines carrées, on peut également résoudre le problème sans passer par la forme trigonométrique. En effet, si z = a + bi est donné, on cherche w = u + vi tel que w 2 = z, i.e (u + vi) 2 = u 2 v 2 + 2uvi = a + bi ce qui donne le système u 2 v 2 = a 2uv = b u 2 + v 2 = a 2 + b 2 car z = z ( ) Exemples.32. ) Cherchons les 2 racines carrées du nombre z = i. On résoud le système (*) u 2 v 2 = 2uv = u 2 + v 2 = ce qui donne u = ± 2 et donc v = u. Les 2 racines carrées de i sont + i et i ) Trouver les 2 racines carrées de z = 3 4i. On a z = = 5 et arg(z) = Ainsi z = [5;.9273]

23 .5. POLYNÔMES ET RACINES 7 et donc w = [ 5;.9273 ] [ ( = 5 cos.9273 ) ( + i sin.9273 ) ] = 2 i Et alors w = w = 2 + i. Pas de choix canonique. ATTENTION La notation z est à éviter. Exemple : = = ( )( ) = = i i =!!!!!!!!.5 Polynômes et racines.5. Définition et division euclidienne Soit X une indéterminée ou variable. Alors P (X) = a n X n + a n X n + + a X + a avec a n est appelé un polynôme de degré n. On note n = deg(p ). Les nombres a k sont les coefficients du polynôme. Ils peuvent être réels ou complexes. Deux polynômes sont égaux si et seulement s ils sont de même degré et que leurs coefficients sont égaux. On dit qu un nombre (réel ou complexe) z est une racine de P (X) si P (z ) = autrement dit si a n z n + + a z + a =. Division euclidienne Soient P (X) et D(X) deux polynômes. Alors il existe 2 polynômes Q(X) et R(X) avec deg(r) < deg(d) tels que P (X) = D(X)Q(X) + R(X). Le polynôme R(X) est le reste de la division de P (X) par D(X). En particulier si D(X) = X z (degré ) alors P (X) = Q(X)(X z ) + R R R avec P (z ) = R =. En résumé, un polynôme possède z comme racine si et seulement s il est divisible par X z. Corollaire.33. Un polynôme de degré n possède au plus n racines..5.2 Théorème fondamental de l algèbre Le corps C des nombres complexes joue un rôle capital dans l existence des zéros d un polynôme à cause du théorème suivant : Théorème.34 (Théorème fondamental de l algèbre). Tout polynôme P (X) de degré à coefficients dans C a (au moins) une racine dans C. Sans démonstration. En utilisant la division euclidienne, on peut formuler ce théorème ainsi : Tout polynôme à coefficients dans C se factorise en un produit de polynômes de degré.

24 8 CHAPITRE. SUR LES NOMBRES Polynôme à coefficients réels Proposition.35. Soit P (X) = a n X n + + a X + a un polynôme à coefficients réels : a k R. Si z C est un zéro de P (X), alors z l est aussi. Démonstration : On a par hypothèse P (z) =, c est-à-dire a n z n + + a z + a =. En prenant le conjugué des deux côtés de cette égalité, on obtient a n z n + + a z + a =. Mais comme les a k sont réels, on a a k = a k pour tout k et donc a n z n + + a z + a = ce qui montre que P (z) = Corollaire.36. Tout polynôme à coefficients réels se factorise en un produit de polynômes du premier ou du deuxième degré. Démonstration : Soit P (X) un polynôme réel. Par le théorème fondamental de l algèbre, il se factorise dans C en produit de facteurs du premier degré : P (X) = n (X z i ) (n = degré de P ). i= Si z i n est pas réel, alors z i doit aussi apparaître dans cette décomposition par la proposition précédente. En multipliant les 2 termes on obtient le polynôme qui est à coefficients réels. (X z i ) et (X z i ) X 2 (z i + z i )X + z i z i = X 2 2Re(z i )X + z i Equations du second degré Les solutions de l équation ax 2 + bx + c = sont données par la formule : z,2 = b ± b 2 4ac 2a avec a, b, c C..5.4 Equations de degré 3 Soit X 3 + ax 2 + bx + c =. En posant Y = X + a 3, on se ramène à une équation de la forme Y 3 + py + q =. ( q ) 2 ( p ) 3. On pose alors R = + Trois cas peuvent se présenter : 2 3

25 .5. POLYNÔMES ET RACINES 9 R >. Alors on pose v = 3 q 2 + R et w = 3 q 2 R et les 3 solutions sont Y = v + w (réelle) Y 2,3 = v + w 2 ± v w 3 i 2 R =. Alors il y a deux racines réelles dont une est double : (complexes) si R <, on pose S = par la formule : Y = 3 4q et Y 2,3 = 3 q 2 p3 27 q et cos θ =. Les 3 racines réelles sont alors données 2R Y k = 2 3 S cos( θ + k 2π ) k =,, 2. 3 Exemple.37. Considérons l équation X 3 2X X 247 =. En posant Y = X 7, on obtient (Y + 7) 3 2(Y + 7) (Y + 7) 247 = ou encore Y 3 24Y 72 =. Alors p = 24 et q = 72 ce qui donne R = ( 36) 2 + ( 8) 3 = 784 > et R = 28. On a alors v = 4 et w = 2 ce qui donne Y = v + w = 6 et Y 2,3 = 3 ± 3 i. Les solutions sont alors X = Y + 7 = 3 et X 2,3 = Y 2,3 + 7 = 4 ± 3i. Remarque générale Il faut noter que le théorème fondamental de l algèbre ne donne aucune méthode pour calculer les racines d un polynôme quelconque. Galois et Abel ont même démontré qu il n existe aucune formule générale pour un polynôme quelconque de degré 5.

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27 Chapitre 2 Suites réelles et séries numériques 2. Suites réelles 2.. Définitions Définition 2. (Suite). Une suite réelle est une suite a, a 2, a 3, a 4,... de nombres réels, l indice parcourant tous les nombres entiers. Ce n est donc rien d autre qu une fonction a : N R où l on note a n plutôt que a(n). L élément a n est appelé le terme général de la suite qui est défini en fonction de n. La suite, c est-à-dire l ensemble de tous les termes, est notée {a n }. Exemple La formule a n = définit une suite dont les premiers termes sont 9n 2 n 2 a =, a 2 = 2, a 3 = 7 9, a 4 =, a 5 =,... On peut reporter les valeurs a n sur la droite réelle. Les points obtenus sont appelés les points ou les nombres de la suite. Définition Une suite est constante si le terme général ne dépend pas de n. Par exemple la suite définie par a n = 3 est constante. 2. Une suite {a n } est bornée si tous les points de la suite se situe dans un intervalle [ M; M] pour un M R +. Autrement dit si a n M pour tout n N. Exemple : La suite définie par a n = n est bornée car a n. 2

28 22 CHAPITRE 2. SUITES RÉELLES ET SÉRIES NUMÉRIQUES 3. Une suite {a n } est croissante (resp. décroissante) si à partir d un indice n N, on a toujours a n+ a n (resp. a n+ a n ) Exemple : reprenons l exemple ci-dessus Alors a n+ a n = a n = 9n 2 n 2. 9(n + ) 2 9n 2 (n + ) 2 n 2 = 9n3 + 9n 2 2n 2 9n 3 8n 2 9n + 2n 2 + 4n + 2 n 2 (n + ) 2 = 9n2 + 3n + 2 n 2 (n + ) 2 (n 4)(9n + 5) = n 2 (n + ) 2 < pour tout n 5. La suite est donc strictement décroissante. 4. On dira presque tous les points d une suite = tous les points sauf un nombre fini. = tous les points à partir d un certain indice. C est plus fort qu une infinité de points!! Exemples : ) a n = 5 + : presque tous les points sont < 6. n 2) a n = n : alors presque tous les points sont 25. 3) a n = n : on ne peut pas dire presque tous les points sont non entiers car il y a 253 une infinité de n pour lesquels a n N Convergence d une suite Définition 2.4 (Voisinage). Soit ϵ > un nombre réel et a R. Alors l intervalle ]a ϵ; a + ϵ[ est appelé un ϵ-voisinage de a et est noté v ϵ (a). C est donc l ensemble des x R tels que x a < ϵ. Définition 2.5 (suite convergente). On dit qu une suite {a n } converge vers a si tout ϵ-voisinage de a contient presque tous les points de la suite. Autrement dit, si pour tout ϵ >, il existe N = N ϵ dépendant de ϵ, tel que a n a < ϵ n > N ϵ. On note alors lim a n = a. n

29 2.. SUITES RÉELLES 23 Exemples 2.6. ) La suite définie par a n = n converge vers. En effet a n < ϵ n < ϵ n > ϵ. On choisit donc N ϵ = E( ϵ ) et on est assuré que dès que n > N ϵ, alors a n < ϵ. Donc lim n n =. Remarque 2.7. Pour tout nombre réel r, E(r) désigne la partie entière de r, c està-dire le plus grand entier inférieur ou égal à r. Exemple : E(7.432) = 7. 9n 2 2) a n = n 2. Alors lim a n = n Démonstration : Soit ϵ >. Alors 9n 2 9n a n = < n 2 n 2 = 9 n < ϵ dès que n > 9 ϵ. Il suffit donc de prendre 3) Soit a n = q n avec q <. Alors N ϵ = E ( ) 9 +. ϵ lim a n =. n Démonstration : On utilise l inégalité de Bernoulli : ( + x) n + nx n N, x ] ; [. Démonstration de l inégalité de Bernoulli : On procède par récurrence. ) Si n =, on a bien ( + x) = + x =. 2) Supposons que ( + x) n + nx et montrons l inégalité pour n +. ( + x) n+ = ( + x) n ( + x) ( + nx)( + x) = + nx + x + nx 2 }{{} + (n + )x. Revenons à la suite a n = q n : Si q =, on a a n = pour tout n et la suite converge donc vers. Si q, on écrit q = +h avec h >. Alors Donc a n < ϵ dès que nh > ϵ a n = ( + h )n = ( + h) n + nh < nh. ( ) i.e. dès que n > ϵh. On pose donc N ϵ = E. ϵh

30 24 CHAPITRE 2. SUITES RÉELLES ET SÉRIES NUMÉRIQUES 4) Montrons que si la suite {a n } (a n > ) converge vers a, alors { a n } converge vers a. On peut supposer a. On a ( a n a)( a n + a) = a n a ce qui donne a n a = a n a an + a a n a a < ϵ a = ϵ. Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Exemples 2.8. ) a n = cos nπ 2. On a a =, a 2 =, a 3 =, a 4 =, a 5 =, a 6 =, a 7 =,... Il y a une infinité de points en mais aussi en et en. Il n y a donc pas presque tous les points en. 2) Soit a n = ( ) n n n + = n + ( )n n + ( = ( ) n ). n + Si n est pair, on est dans le voisinage de. Sinon, la suite est dans le voisinage de. Pas de limite. Les points et sont des points d accumulation. Définition 2.9 (Points d accumulation). Un point a de la droite réelle est un point d accumulation de la suite {a n } si tout ϵ-voisinage de a contient une infinité de points de la suite. Exemples 2.. Dans l exemple ) ci-dessus, les points, et sont des points d accumulation. Dans l exemple 2) et le sont. ATTENTION : contenir une infinité de points contenir presque tous les points (+ fort) Limite impropre Considérons la suite a n = n2 + n +. Après division euclidienne, on obtient que a n = n + 2 n +. Ainsi les a n deviennent aussi grands que l on veut lorsque n augmente. On dit que a n tend vers l infini.

31 2.. SUITES RÉELLES 25 Définition 2.. La suite {a n } tend vers l infini si pour tout r R, il existe N r N tel que l on ait a n > r dès que n > N r (presque tous les points de la suite sont à droite de r). On note alors lim n a n =. On a une définition analogue pour la limite vers. Exemple 2.2. a n = ( ) n n. Cette suite ne converge pas, même pas vers l infini Propriétés de convergence des suites (I) Toute suite convergente est bornée. En d autres termes, si {a n } a, alors a n M pour un certain M R. (II) Une suite convergente n a qu un seul point d accumulation. (III) Si {a n } a et {b n } b, alors {αa n + βb n } αa + βb α, β R. (IV) Si {a n } a et {b n } b, alors {a n b n } ab. Autrement dit lim a nb n = lim a n lim b n n n n si ces limites existent. Démonstration : Par (I), il existe M tel que a n < M et b n < M. Soit ϵ >. Posons ϵ = ϵ. Par hypothèse, 2M a n a < ϵ pour n > N (ϵ ) et b n b < ϵ pour n > N 2 (ϵ ). Posons N = max(n ; N 2 ). Alors, pour tout n > N, on a a n b n ab = a n (b n b) + b(a n a) a n (b n b) + b(a n a) M ( b n b + b a n a Mϵ + Mϵ = 2Mϵ = ϵ. Ceci montre que la suite a n b n converge vers ab. Exemple : soit a n = n + n. Alors a n = ( n + n)( n + + n) = n + n n + + n n + + n = = n n + + n n =. n

32 26 CHAPITRE 2. SUITES RÉELLES ET SÉRIES NUMÉRIQUES Donc lim n a n =. Exemple 2 : p N, on a lim n n p =. n En effet, n n p = n n n n n n. } {{ } p fois Donc lim n n n p = ( lim n (V) Si {a n } a et {b n } b avec b n b alors { } an a b. b n n n) p = p =. Exemple : a n = (3n + 2)(n + 3) n 2. Que vaut lim + n + a n? (= n ). On a a n = 3n2 + n + 6 n 2 + n + = n2 (3 + n + 6 ) n 2 n 2 ( + n + ) = 3 + n + 6 n 2 n + n 2 n + 3 = 3. n 2 (VI) Toute suite monotone et bornée est convergente Si elle est croissante, elle converge vers a = sup a n. Si elle est décroissante, elle converge vers a = inf n a n. Démonstration : Faisons la preuve pour {a n } bornée et croissante : {a n } bornée implique a n M. Mais {a n } est croissante. Donc = a = sup a n existe (cf. chapitre ) n N avec a n a pour tout n et il existe n avec a n > a ϵ. = n > n a n a n > a ϵ = a ϵ < a n a < a + ϵ = a n a < ϵ n > n =: N ϵ = lim n a n = a = sup{a n n N }. n (VII) Soit {a n } une suite bornée et {b n } une suite convergeant vers. Alors la suite {a n b n } converge vers. Exemple : a n = n sin n. Alors lim n a n =.

33 2.. SUITES RÉELLES 27 Théorème 2.3 (Théorème des gendarmes pour les suites). Soient {a n }, {u n } et {v n } trois suites satisfaisant les 2 propriétés suivantes : (i) il existe N N avec u n a n v n pour tout n > N ; (ii) lim u n = lim v n = L. n n Alors lim a n = L. n Démonstration : Comme lim u n = L, pour tout ϵ >, il existe N (ϵ) N tel que n ϵ < u n L < ϵ pour tout n > N. De même, il existe N 2 (ϵ) N tel que ϵ < v n L < ϵ pour tout n > N 2. Alors si N(ϵ) = max(n, N, N 2 ), on a pour tout n > N ϵ < u n L a n L v n L < ϵ ce qui donne a n L < ϵ pour tout n > N(ϵ). Exemple 2.4. soit a n = n n. Alors lim n n n =. Démonstration : ( + n ) n + n n = + n n. Donc ( + n ) 2n n ce qui implique, en prenant la racine n-ième : ( + ) 2 n n n Par le théorème des gendarmes, on a lim n n =. n Théorème 2.5 (Critère de d Alembert). Soit {a n } une suite réelle telle que l = lim a n+ n a n existe. Alors. si l <, la suite {a n } converge vers ; 2. si l >, la suite {a n } diverge. Démonstration :. Par hypothèse, à partir d un certain indice N, on a a n+ < ρ <. Donc Par récurrence, ceci implique que a n+ ρ a n a N+n ρ n a N. Comme ρ < la suite ρ n converge vers (exemple ci-dessus). Le théorème des gendarmes implique que lim a N+n = lim a n =. n n a n

34 28 CHAPITRE 2. SUITES RÉELLES ET SÉRIES NUMÉRIQUES Donc lim n a n =. 2. A partir d un certain indice N, on a a n+ ρ a n avec ρ >. Donc on a, par récurrence, a N+n ρ n a N. Ceci montre que a N+n n est pas majorée. La suite { a n } diverge donc et à fortiori la suite {a n } aussi. Exemple 2.6. Considérons la suite a n = n. On a n! a n+ a n = n+ n! (n + )! n = n + qui converge vers lorsque n. Donc l =. Le critère de d Alembert implique que lim n a n = Sous-suites et points d accumulation Définition 2.7 (Sous-suite). Soit {a n } une suite réelle et {n k } k N une suite strictement croissante d entiers. Alors {a nk } est une sous-suite de {a n }. On a alors la reformulation suivante : Un point d accumulation = la limite d une sous-suite convergente Exemple 2.8. Reprenons la suite a n = ( ) n n n +. Déjà vu : 2 points d accumulation qui sont et. Sous-suite d indice pairs : a 2k = ( ) 2k 2k 2k + = 2k 2k + 2k 2k Sous-suite d indice impairs : a 2k = ( ) 2k k = 2k 2k k 2..5 Suites de Cauchy Définition 2.9. Une suite {a n } est une suite de Cauchy si ϵ >, il existe N ϵ N tel que a n a m < ϵ n, m > N ϵ Théorème 2.2. Toute suite convergente est une suite de Cauchy. Sans démonstration. La réciproque est vraie dans R : toute suite de Cauchy est convergente. On dit alors que R est complet.

35 2.2. SUITES RÉCURRENTES 29 C est une propriété fondamentale des nombres réels que ne possède pas Q : on peut trouver une suite {q n } de nombres rationnels qui soit une suite de Cauchy mais qui ne converge pas dans Q (mais bien dans R) (cf. exemple 2.24). 2.2 Suites récurrentes Définition 2.2. Une suite est dite récurrente si a n+ est définie à partir de a n, c est-à-dire si a n+ = g(a n ). Exemple a = 2 et a n+ = a 2 = 4 3 2a n + a n. Alors a 3 = 2 4/3 + 4/3 = 8 7 a 4 = 6 5, etc Méthodes pour trouver la limite d une suite récurrente ère méthode On essaie de se ramener à une suite non-récurrente en exprimant le terme général comme une fonction de n, a n = f(n), et non plus de a n. Exemple : Dans l exemple ci-dessus, on constate que a n = On démontre cette formule par récurrence. ) si n =, on a bien a = 2 = 2 : ok. 2) Supposons la formule vraie pour n. Alors 2n 2 n. a n+ = 2a n = 2 2n + a n + 2n = On peut alors calculer la limite : 2ème méthode lim a n = lim n n 2 n 2 n 2 n+ 2 n + 2 n = 2n+ 2 n+. 2 n 2 n = lim n 2 n =. 2 n On démontre d abord que la suite converge et le cas échéant on passe à la limite dans l équation a n+ = g(a n ) ce qui donne à résoudre l équation a = g(a). Pour démontrer que la suite converge, on peut en général essayer de démontrer que (A) la suite est monotone (B) la suite est bornée

36 3 CHAPITRE 2. SUITES RÉELLES ET SÉRIES NUMÉRIQUES Remarque Toute suite croissante (resp. décroissante) est forcément minorée (resp. majorée). Conclusion : pour montrer qu une suite croissante (resp. décroissante) est convergente, il suffit de montrer qu elle est majorée (resp. minorée). Exemple : Reprenons la suite précédente : a = 2 et a n+ = 2a n +a n. On constate d abord que a n > pour tout n. (A) On montre, par récurrence, que a n > pour tout n. ) C est vrai pour n =. 2) Supposons a n >. On doit montrer que a n+ = 2a n + a n >. Or, puisque + a n >, on a 2a n + a n > 2a n > + a n a n >. Or ceci est vrai par hypothèse de récurrence. Donc a n+ >. (B) Montrons ensuite, par récurrence, que la suite est décroissante, c est-à-dire que a n+ < a n : ) n = : on a bien a 2 < a 2) Soit n. Supposons que a n+ < a n et montrons que a n+2 < a n+. On a a n+2 a n+ = 2a n+ 2a n = 2a n+( + a n ) 2a n ( + a n+ ) + a n+ + a n ( + a n+ )( + a n ) 2(a n+ a n ) = ( + a n+ )( + a n ) <. La suite est donc décroissante. Comme elle est minorée, elle converge donc. a n+ = 2a n + a n limite a = 2a + a a2 + a = 2a a(a ) =. Cette équation a 2 solutions a = et a =. Comme a n > pour tout n, la limite ne peut être que a =. ATTENTION : cette 2ème méthode de calcul fonctionne parce que l on a démontré que la limite existe. Contre-exemple : soit a = 2 et a n+ = a n. On a a =, a 2 = 2, a 3 = 2, a 4 = 2, a 5 = 2,... Cette suite ne converge pas (2 points d accumulations) mais si l on passe à la limite dans la formule de définition, on obtient a n+ = a n limite a = a a2 = a = oua =!!!! Exemple Soit r > un nombre réel strictement positif. Considérons la suite définie par a n+ = ( a n + r ) 2 a n et a R +. Alors lim n a n = r.

37 2.3. SÉRIES 3 Si r et a sont dans Q, on a une suite de nombres rationnels qui converge vers r. Démonstration : On a clairement que a n > pour tout n car a >. De plus. a 2 n+ r car a 2 n+ r = ) (a 2n + r2 + 2r r = ( a n r ) a n a 2 n 2. a n+ a n = 2 (a n + r ) a n = a n 2 ( r a n ) = (r a 2 a n 2a n) pour n 2. n La suite est donc décroissante. Comme a n, elle est aussi bornée. La suite converge donc et on peut passer à la limite dans la définition : a = 2 (a + r a ). Ceci donne 2a 2 = a 2 + r et donc a = r. Application numérique : pour r = 2 et a =, on trouve a 2 = 3 2 a 3 = 7 2 a 4 = a 5 = = (8 décimales correctes) Exemple Soit la suite définie par a n+ = 4 (a n + 4) et a =. Montrons d abord que la suite est bornée et croissante. (A) On a a < 2 et par récurrence a n+ = + a n 4 a n >. Donc la suite est bornée. < + /2 < 2. De plus, on a clairement (B) Montrons, par récurrence, qu elle est croissante : ) on a = a < a 2 = ) supposons a n < a n+. Alors a n+2 a n+ = 4 (a n+ + 4) 4 (a n + 4) = 4 (a n+ a n ) >. La suite est donc croissante et bornée = la limite existe. Notons a cette limite. Alors a = 4 (a + 4) devient 4a = a + 4 donc a = Séries Définition Soit {b n } une suite réelle. On note n b k := b + b b n. k= Si l indice k parcourt tout N (ou N) alors la somme est infinie et on parle de série : b k est le terme général de la série. k= b k

38 32 CHAPITRE 2. SUITES RÉELLES ET SÉRIES NUMÉRIQUES 2.3. Convergence d une série Définition Posons n s n = b k = b + b b n. k= On a s n+ = s n + b n+. La suite {s n } est une suite récurrente, appelée la suite des sommes partielles. On dit que la série b k converge vers s si la suite {s n } converge vers s. On note alors k= k= Sinon on dit que la série diverge. b k = s = lim s n = lim n n n b k. Condition nécessaire de convergence Pour que la série b k converge, il faut que lim b k =. En effet si la suite {s n } converge k vers s, alors On doit donc avoir k= k= s = lim n s n+ = lim n (s n + b n+ ) = s + lim n b n+. lim b n =. n Mais cette condition n est pas suffisante comme le montre l exemple suivant : Exemple 2.28 (Série harmonique). Posons b k =. La série k harmonique. La suite des sommes partielles est k= k est appelée la série On a bien b k s n = n. k. Mais la suite {s n } diverge. Démonstration : ) La suite {s n } est croissante. 2) Considérons les termes s, s 2, s 4, s 8,..., s 2 k. s = s 2 = + 2 s 4 = s 8 = Alors s 4 = s > s =

39 2.3. SÉRIES 33 s 8 = s > s 4 + ( ) > + } {{ } = = 2 De manière générale, on a s 2 k > + k. 2 La suite s 2 k n est pas majorée ce qui implique que lim s n = lim ( + n n n ) =. La série k= k est donc divergente. Exemple 2.29 (La série géométrique). Soit r R. Posons b k = r k et considérons la série Alors r k = + r + r 2 + r r n + (ici, on débute à k = ) k= On sait que s = s = + r s 2 = + r + r 2 s n = + r + r r n s n = rn+ r Quelle est alors la limite? car ( r)( + r + r r n ) = r n+ Si r alors la suite s n diverge car r n+ n +. En revanche, pour r <, on a lim n rn+ = (voir exemple 3 sous 2.6) et donc lim s r n+ n = lim n n r = r. En conclusion, la série géométrique diverge si r r k converge vers si r < k= r Le nombre r est appelé la raison de la série géométrique. Exemple 2.3. La série ( ) k+ = k= diverge (et ne converge donc pas vers ) car la suite des sommes partielles est ; ; ; ; ;...

40 34 CHAPITRE 2. SUITES RÉELLES ET SÉRIES NUMÉRIQUES Propriétés des séries (I) Si b k = s, alors cb k = cs. k= (II) Si s = b k et s = k= k= b k alors k= (linéarité de la convergence.) αb k + βb k = αs + βs k= (III) La propriété de convergence ou de divergence n est pas modifiée si l on ajoute (ou retranche) un nombre fini de termes. Par exemple, la série k= diverge encore (série harmonique). k = Séries à termes positifs Notons u k les séries avec u k k= k. (A) Critères de comparaison Supposons que u n v n pour tout n > N. (a) Si v k converge, alors u k converge également ; ({s n } = suite croissante majorée) ; (b) si k= u k diverge, alors k= k= k= v k diverge aussi. (suite croissante non majorée). Exemple 2.3. La série avec α diverge. kα k= En effet, on a k α = k δ avec δ et donc k α k ce qui implique que k α k. Comme la série k diverge, le critère de comparaison nous permet de conclure à la divergence de la série considérée. (B) Critère de la racine (ou de Cauchy) Si pour tout n N, on a n u n q < (q fixé) alors la série u k converge. Si n u n, la série diverge car u n.

41 2.3. SÉRIES 35 Démonstration : On a n u n q < donc u n q n. Or la série k= converge (série géométrique) puisque q <. Par le critère de comparaison, la série u k converge également. q k (C) Critère du quotient (ou de d Alembert) Si pour tout n N, on a u n+ u n q < (q fixé) alors la série u k converge. Si on a u n+ u n >, alors la série diverge. Démonstration : On a et donc Or la série uk. u n+ u n q et u n u n q u n+ u n q u n q 2 q n u. u q k converge. Par le critère de comparaison, il en est de même de la série k= Corollaire 2.32 (Résumé-corollaire). Soient q := lim n Alors la série k= n u n+ un et q 2 := lim n u k u n converge si q i < diverge si q i > on ne peut rien dire si q i =. Exemples k. 3 k k= On a n u n = n n 2. La série k= a k k! 3 n = 3 n n 3 = <. La série converge. 3 n (a > ) converge. En effet, on a u n+ u n = an+ (n + )! n! a n = a n + < q < si n est assez grand. (On verra plus tard qu elle converge vers e a ).

42 36 CHAPITRE 2. SUITES RÉELLES ET SÉRIES NUMÉRIQUES Exemples 2.34 (Autres exemples). (a) Considérons la série k(k ). Alors on a b k = s n = k=2 k(k ) = k pour tout k 2 et donc k n ( b k = ) ( ) ( n ) = n n. k=2 Alors lim n s n = ce qui démontre que (b) Considérons maintenant la série k= k=2 k(k ) =. k 2. On a k 2 k(k ) pour tout k 2. Le critère de comparaison et l exemple (a) ci-dessus permet de conclure que la série converge. On a de plus k2 k= k= Corollaire La série avec α 2 converge car kα k α (critère de comparai- k2 son). Pour < α 2, la série k 2 = + k= k= k=2 k 2 + k=2 k(k ) = + = 2. converge également. kα Remarque Dans l exemple (b) ci-dessus, les critères de la racine et du quotient ne donnent rien. En effet, on a et q = lim n u n+ q 2 = lim n u n ( ) n 2 n 2 = lim n n = n ( ) n 2 = lim =. n n + De même, pour la série harmonique, k= q = lim n De même pour le critère du quotient :, ces critères ne donnent rien. On a k n n = lim n n n =. u n+ /(n + ) = = n u n /n n + <. ATTENTION : on a u n+ < mais PAS u n+ u n u n harmonique diverge. u n+ q < car q 2 = lim n u n =. Et la série

43 2.3. SÉRIES Séries alternées Soit u n de signe constant. La série ( ) k+ u k = u u 2 + u 3 u est dite série alternée. k= Théorème 2.37 (Critère de Leibniz). Si (i) u n+ < u n et (ii) u n n alors la série alternée converge. De plus elle converge vers S avec S u. Démonstration : On peut supposer tous les u k u k > u k+ et donc u k u k+ >. D où s 2n = u u 2 + u 3 + u 2n u 2n et s 2n+2 = u u 2 + u 3 + u 2n+ u } {{ 2n+2 > s } 2n. > Ainsi la suite {s 2n } est croissante. Par ailleurs, on a positifs. L hypothèse devient alors s 2n = u (u 2 u } {{ } 3 ) (u 2n 2 u 2n ) u } {{ } 2n < u. > > La suite {s 2n } est donc aussi bornée. Elle converge donc. Posons On a alors S = lim n s 2n. s 2n+ = s 2n + u 2n+ n S + = s. La suite {s 2n+ } converge également vers S ce qui montre que {s n } converge vers S. Comme s 2n < u, on a bien S < u. Exemples La série harmonique alternée ( ou série de Leibniz) ( ) k+ k = k= converge. (On verra que c est vers ln 2.) On a et ( ) k+ 2 + k k k= u n = 2 + n n = 2 n + n n u n = 2 n + > 2 n n + + = 2 + n + = u n+. n + n + Les hypothèses (i) et (ii) du théorème sont remplies : la série converge.

44 38 CHAPITRE 2. SUITES RÉELLES ET SÉRIES NUMÉRIQUES n Remarque La condition (ii) u n ne suffit pas. Exemple : la série alternée avec = ( ) k+ u k k= { u k = k si k est impair si k est pair k 2 satisfait bien la condition (ii) (u k ) mais ne converge pas. En effet, soit n pair. Alors s n = n ( ) k+ u k = n 2 k= = ( n ) ( } {{ } n 2 ). } {{ } s + n s n Comme la série k 2 converge, le terme s n est majoré par un nombre M R indépendant de n. Comme la série harmonique diverge, le terme s + n est plus grand que tout r R pour n assez grand. Ainsi, pour tout r R, il existe N r N tel que s + n > r dès que n > N r. Ceci implique que s n = s + n s n > r M. Ainsi la sous-suite s n (n pair) est non majorée et donc non convergente Série absolument convergente Définition 2.4. Soit b k une série σ donnée. Si la série σ := b k converge, on dit que σ est absolument convergente. Théorème 2.4. Si σ converge, alors σ converge également. Conclusion : les critères pour les séries à termes positifs (cf ) sont applicables aux séries absolument convergentes. Exemple : la série k= a k k! est absolument convergente pour tout a R. En effet, on a b n+ b n = a n (critère du quotient) Définition 2.42 (Série semi-convergente). Une série b k convergente mais dont la série bk diverge est appelée semi-convergente. Exemple : La série harmonique alternée convergente puisque la série k= k ( ) k+ est convergente mais pas absolument k k= diverge. Elle est donc semi-convergente.

45 2.3. SÉRIES 39 Théorème ) La somme d une série absolument convergente ne dépend pas de l ordre de ses termes. 2) En revanche, dans le cas d une série semi-convergente, on peut faire converger la somme de la série vers n importe quel nombre réel en regroupant les termes de la série d une façon bien choisie. Sans démonstration. Corollaire Si k a k est absolument convergente alors a l + m l (où les a l et a m forment l ensemble de tous les a k ) sont séparément absolument convergentes. a m Exemple : Calculons s = ( ) k+ k(k + 2) k= (série alternée). Cette série est absolument convergente car u k = k(k + 2) < k 2 et la série converge. k 2 On peut alors séparer les termes d indices pairs et ceux d indices impairs : car s + l = 2 s = k(k + 2) + ( ) k=, impairs k=2, pairs = (2l )(2l + ) 2m(2m + 2) l= m= ( = 2 2l ) 2l + 4 l= m= } {{ } s + l = 2 4 = 4. k(k + 2) m(m + ) } {{ } s m [ ( 3 ) + ( 3 5 ) + + ( 2l ] 2l + ) = 2 ( 2l + ) l 2 s m = m(m + ) = m m + = m + m Exemple La série harmonique alternée est semi-convergente. On ne peut pas changer l ordre des termes sans changer la valeur de la somme (infinie).

46 4 CHAPITRE 2. SUITES RÉELLES ET SÉRIES NUMÉRIQUES ln(2) = = k ( ) k+ k 2 2ln(2) = = = ln(2). On obtient ainsi 2ln(2) = ln(2)!!!!!!!!!! 2.4 Définition du nombre e Soit b = et b k =. (Nous démarrons ici avec k =.) k! Considérons la série k! et notons {e n} la suite des sommes partielles, c est-à-dire k= e n = +! + 2! + 3! + + n!. Nous avons vu dans l exemple 2.33 que cette série est absolument convergente. Sa limite est notée e : e := k! = lim e n = lim ( + + n n 2! + 3! + + n! ). k= Numériquement : e = 2, Théorème Le nombre e est irrationnel. Démonstration : Pour tout n 2, on a Donc e = + + 2! + + (n )! + n! + (n + )! + (n + 2)! +... = + + 2! + + (n )! + ( n! + ) n + + (n + )(n + 2) } {{ } <+ n + n = /n = n n 2 e = + + 2! + + (n )! + n! β n avec < β n < 2. ( ) Supposons maintenant que e soit rationnel c est-à-dire que e = M N. Si l on pose n = N + dans (*), on obtient M N = N! + (N + )! β N+ (N + )!

47 2.4. DÉFINITION DU NOMBRE E 4 M(N + )(N )! = (N + )! + (N + )! + (N + )N(N ) (N + ) + β } {{ } } {{ } N+. } {{ } N N N On aboutit ainsi à une contradiction. Autre définition de e Considérons la suite {e n} définie par Proposition e n = ( + n) n. ( lim n e n = lim + n = e. n n) ATTENTION : une limite de la forme est une forme indéterminée. Elle ne vaut pas mais peut prendre, a priori, toutes les valeurs possibles comme une limite de la forme Démonstration : Par la formule du binôme, on a ( e n = + n) n n ( ) ( ) n k = n k = + n n k n n + n(n ) (n k + ) k! n k k= k=2 n ( = + + k! ) ( 2 ) ( k ) ( ) n n n k=2 } {{ } } {{ } } {{ } n n + + k! = k! = e n k=2 k= On a ainsi montré que e n e n pour tout n. Reprenons le calcul précédent à la ligne (*) : e n = L inégalité de Bernoulli donne + + = e n n = e n n n ( k! ) n } {{ } k n k=2 n k=2 n k=2 n k=2 n 2 j= ( k k! n ( k! (k 2)! ) k j! = e n n e n 2. ( ) 2 n } {{ } k n ( ) k(k ) = + + n k ) n } {{ } k n n k=2 k! } {{ } = e n n n k=2 k(k ) k!

48 42 CHAPITRE 2. SUITES RÉELLES ET SÉRIES NUMÉRIQUES On a donc e n n e n 2 e n e n. Les suites e n et e n n e n 2 convergent toutes les deux vers e. Ainsi, par le théorème des gendarmes, on a aussi lim n e n = e. La convergence de cette suite {e n} est beaucoup plus lente que la précédente. Pour avoir e = , il faut n = 6 dans e n mais n = 489 dans e n. Remarque On peut généraliser cette démonstration pour montrer que ( lim + x ) n x k = n n k! k= pour tout x R. Propriétés. ( lim ) n = e = n n e. Démonstration : On a ( ) n+ ( ) n + n+ ( ) n n+ = = n + n + n + ( ) n + n ( = = + ) n n n [ ( = + ) ] n+ [( = + ) n ( + )] n (e ) = n n n e. 2. Si {a n }, a n > est une suite rationnelle nulle (c est-à-dire qui converge vers ) alors lim ( + a n) an = e. n Démonstration : En posant N = E( a n ), on a N a n < N + et alors ( + N + )N } {{ } (+ N+ )N+ (+ N+ ) < ( + a n) an Si on prend la limite quand N (alors a n ) on a e ( + a n ) an e. < ( + N )N+ } {{ } (+ N )N (+ N ).

49 2.4. DÉFINITION DU NOMBRE E On a C est la définition numérique de e q. lim ( + q n n )n = e q q Q. Démonstration : Si q = c est trivial. Si q > on applique le point 2. avec a n = q n. On a alors ( + q ( n )n = ( + q n )n/q) q n e q. Si q <, l argument est analogue à celui du point. Exemple : Calculons On a lim n ( ) n n. n + ( ) ( ) n n n n n = n + + n e e = e 2. La fonction e x ( Nous avons démontré que lim + q n = e n n) q pour tout q Q. ( Nous avons aussi vu que lim + x ) n x k = pour tout x R. n n k! k= On peut donc étendre la fonction e x à tout R en posant, pour tout x R e x = k= x k ( k! = lim + x n. n n) On peut même étendre cette définition aux nombres complexes en posant e z = k= z k k! pour tout z C. Le module remplace alors la valeur absolue et cette suite est encore absolument convergente pour tout z C.. On peut montrer les résultats suivants : e z+z = e z e z pour tout z, z C e z = e z pour tout z C Donc e z 2 = e z e z = e z e z = e z+ z = e 2Re(z) = e z = e Re(z). En particulier, si z = iα alors e iα = e =. L exponentielle complexe envoie l axe imaginaire sur le cercle trigonométrique. Chapitre 4 = arg(e iα ) = α. On obtient les formules suivantes : e iα = cos α + i sin α = [; α]

50 44 CHAPITRE 2. SUITES RÉELLES ET SÉRIES NUMÉRIQUES et donc le nombre complexe [r; θ] = r (cos θ + i sin θ) s écrit aussi [r; θ] = r (cos θ + i sin θ) = re iθ. C est la notation d Euler. En particulier, en posant θ = π et r = on obtient e iπ = 2.5 Un petit résumé de quelques séries k k= diverge (série harmonique) ( ) k+ k k= est semi-convergente (série harmonique alternée) k α k= { diverge si α converge si α > { = q k q si q < diverge si q k= { = k q k si q < ( q) 2 diverge si q k= série géométrique dérivée de la série géométrique k(k + ) = k= a k k! k= converge absolument a R et k= a k ( k! = ea = lim + a ( ) n n + a n = lim. n n) n n

51 Chapitre 3 Fonctions réelles et continuité 3. Définitions générales Définition 3.. Soient D et T deux ensembles non vides. Une fonction f de D dans T est une correspondance qui associe à tout élément x D un élément y = f(x) T. On la note par f : D T x f(x) L ensemble D est le domaine de définition de f. Il sera souvent noté D f. L élément y = f(x) T est l image de x par f alors que x est une pré-image de y. Si D et T sont des sous-ensembles de R, la fonction f est appelée fonction réelle. L ensemble Im(f) := {y T x D avec y = f(x)} est appelé l image de D par f. On le note aussi f(d). Définition 3.2 (Fonction injective). Une fonction f : D T est dite injective si tout élément de T a au plus une pré-image. Autrement dit, si x x 2 implique f(x ) f(x 2 ) pour tout x, x 2 D. Définition 3.3 (Fonction surjective). Une fonction f : D T est dite surjective si tout élément de T a au moins une pré-image. Autrement dit, si pour tout y T, il existe x D avec y = f(x). Ou encore, si Im(f) = T. Une fonction injective et surjective est dite bijective. Exemples 3.4 (Quelques exemples). () La fonction f : N N définie par f(n) = n 2 est injective mais pas surjective car il n existe aucun n N tel que f(n) = 5. On a alors Im(f) = l ensemble des carrés dans N = {,, 4, 9, 6, }. (2) La fonction f : Z N définie par f(n) = n 2 n est pas injective car f( 6) = f(6) =

52 46 CHAPITRE 3. FONCTIONS RÉELLES ET CONTINUITÉ (3) La fonction f : R + R définie par f(x) = x est une fonction réelle. On a Im(f) = R +. Elle n est donc pas surjective. En revanche, elle est injective car si a b alors a b. Par la suite cette fonction sera simplement notée f(x) = x (sousentendu : D f = R + et T = R). (4) La fonction f : R R définie par f(x) = x est la fonction identité. Elle est bijective. (5) La fonction signe est définie par si x < sign(x) = si x = si x > On a D f = R. Elle n est ni injective ni surjective. (6) La fonction de Heaviside est définie par H(x) = 3.2 Fonctions réelles Dorénavant, toute fonction f(x) sera réelle. { si x > si x. Quelques propriétés particulières Une fonction réelle f : D f R est dite paire si f( x) = f(x) pour tout x D f. impaire si f( x) = f(x) pour tout x D f. périodique de période T si f(x + T ) = f(x) pour tout x D f. bornée si f(x) M pour un certain M R et pour tout x D f. croissante (resp. strictement croissante) si x < y = f(x) f(y) (resp. f(x) < f(y)) décroissante (resp. strictement décroissante) si x < y = f(x) f(y) (resp. f(x) > f(y)) monotone si elle est croissante ou décroissante. Composition Soient f, g deux fonctions réelles telles que Im(f) D g. Alors on peut construire la fonction composée g f définie par (g f)(x) = g(f(x)) pour tout x D f. Exemple : Alors g(x) = x D g = R + f(x) = x 2 Im(f) = R + (g f)(x) = f(x) = x 2 = x.

53 3.3. QUELQUES FONCTIONS RÉELLES ÉLÉMENTAIRES 47 Graphe d une fonction Le graphe d une fonction f(x) est le sous-ensemble du plan R 2 défini par G f = {(x, f(x)) x D f }. Fonction réciproque (ou fonction inverse) Si une fonction f : D T x f(x) est bijective, on peut définir la fonction réciproque f : T D qui associe à tout y T l élément x D tel que f(x) = y. On a alors (f f)(x) = x = (f f )(x) pour tout x où les expressions sont définies. Les graphes de f(x) et f (x) sont toujours symétriques par rapport à la droite y = x. Exemple : si f(x) = x 2 alors la fonction est bijective si l on pose D f = R +. On peut donc trouver f qui n est rien d autre que f (x) = x pour tout x R Quelques fonctions réelles élémentaires (I) Fonctions puissances : f(x) = x q pour q Q. On a D f = R si q N alors que D f = R si q Z. (II) Fonctions polynômiales : n y = f(x) = a k x k a k R, a n. k=

54 48 CHAPITRE 3. FONCTIONS RÉELLES ET CONTINUITÉ D f = R Soit P (x) un polynôme (réel) et x une racine de P (x). Le plus grand entier m tel que (x x ) m divise P (x) est appelé la multiplicité de x par rapport à P. On note alors m = mult P (x ). (III) Fonctions rationnelles y = f(x) = P (x) Q(x) D f = R\{x k Q(x k ) = }. Si Q(x k ) = et mult Q (x k ) > mult P (x k ), alors les droites x = x k sont des asymptotes verticales. (IV) Fonctions irrationnelles : polynômes + racines Exemple : + 3 x f(x) = x 2 + 3x 3. x/2 (V) Fonctions trigonométriques f(x) = sin x impaire, périodique de période T = 2π, bornée cos x paire, périodique de période T = 2π, bornée tan x impaire, périodique de période T = π, non bornée D f = R { π 2 + kπ ; k Z} On a les relations suivantes : cos x = eix + e ix et sin x = eix e ix 2 2i (VI) Fonctions trigonométriques inverses Pour inverser les fonctions trigonométriques, il faut se restreindre à un intervalle sur lequel elles sont monotones. On choisit les intervalles suivants : [ sin x : π 2 ; π ] 2 [ ; ] cos x : ] [ ; π] [ ; ] tan x : π 2 ; π [ 2 R On définit alors arcsin : [ ; ] [ π 2 ; π ] 2 par arcsin(x) = sin (x) arccos : [ ; ] [; π] par arccos(x) = cos (x) arctan : R ] π 2 ; π [ 2 par arctan(x) = tan (x) ATTENTION : on a arcsin(sin x) = x uniquement pour x [ π 2 ; π 2 ]. Et sin(arcsin x) = x x [ ; ].

55 3.3. QUELQUES FONCTIONS RÉELLES ÉLÉMENTAIRES 49 On a arccos(x) + arcsin(x) = π 2 pour tout x [ ; ]. (VII) Fonctions exponentielles Soit a > un nombre réel. On cherche à définir la fonction f(x) = a x. (A) Si x = q = m n Q, on pose f(q) = a q := a m n = n a m. (B) Pour prolonger cette fonction à R, il faut pouvoir définir le terme a r quand r est réel non rationnel. On le fait en prolongeant f(x) par continuité : on sait qu il existe pour tout r R une suite rationnelle {q n } qui converg vers r. On a donc lim q n = r. n On pose alors a r := lim n aqn. Propriétés des fonctions f(x) = a x () f(x) > pour tout x R. C est une fonction strictement positive. (2) f() = et f() = a. (3) f(rx) = a rx = (a x ) r = f(x) r. En particulier, f( x) = f(x). (4) f(x + y) = a x+y = a x a y = f(x) f(y) (5) Si a >, alors f(x) = a x est strictement croissante. Si < a <, alors f(x) = a x est strictement décroissante. Graphes des fonctions exponentielles : Remarque 3.5. Si a = e, on retrouve la fonction e x définie au chapitre 2.

56 5 CHAPITRE 3. FONCTIONS RÉELLES ET CONTINUITÉ (VIII) Fonctions logarithmes La fonction f(x) = a x est strictement monotone (si a ce que l on suppose dès à présent). Elle a donc une fonction inverse et on définit : log a y = f (y) y >. L ensemble de définition de log a est donc D f = R +. On a l équivalence suivante : log a y = x y = a x x R y R + Par définition on a les relations suivantes : a log a y = y y > et log a a x = x x R. Propriétés des fonctions log a x () la fonction log a x n est définie que pour x >. (2) log a = et log a a =. (3) log a x r = r log a x pour tout x > et tout r R. En particulier log a x = log a x. (4) log a (xy) = log a x + log a y pour tout x, y >. (5) Si a >, alors log a x est strictement croissante. Si < a <, alors log a x est strictement décroissante. Graphes des fonctions logarithmes : Définition 3.6 (Logarithme naturel). On pose ln(x) := log e x Changement de bases Si L = log a x alors a L = x et = L = ln(x) ln(a). Ainsi On a a x = ln(x) = ln(a L ) = L ln(a) log a x = ln(x) ln(a). ( e ln a) x = e x ln a = (x ln a) k. k! k=

57 3.3. QUELQUES FONCTIONS RÉELLES ÉLÉMENTAIRES 5 (IX) Fonctions hyperboliques Sinus hyperbolique : sinh(x) = ex e x 2 (fonction impaire) Cosinus hyperbolique : cosh(x) = ex + e x 2 (fonction paire) On a la relation suivante : cosh 2 (x) sinh 2 (x) =. Ces 2 fonctions permettent de paramétriser les hyperboles : x 2 a 2 y2 b 2 = { x = ±a cosh(t) y = b sinh(t) t R Somme : sinh(a + b) = sinh a cosh b + cosh a sinh b cosh(a + b) = cosh a cosh b + sinh a sinh b.

58 52 CHAPITRE 3. FONCTIONS RÉELLES ET CONTINUITÉ (X) Fonctions hyperboliques inverses Pour le sinus hyperbolique, pas de problème, on note arcsinh(x) la fonction inverse. (D = R) Pour le cosinus hyperbolique, on se restreint à l intervalle R + sur lequel la fonction f(x) = cosh(x) est monotone. On note alors arccosh(x) la fonction inverse, définie sur [; [ et dont l image est R +. Calcul explicite Soit y = arcsinh(x). Alors y = arcsinh(x) sinh(y) = x ey e y 2 = x e y e y = 2x. On pose u = e y et après avoir multiplié par u, on obtient u 2 = 2xu u 2 2xu = u = 2x ± 4x = x ± x 2 +. Le signe est impossible car u = e y >. Donc u = x + x 2 + et On a ainsi démontré que y = ln(u) = ln(x + x 2 + ). arcsinh(x) = ln(x + x 2 + ) x R. De même, on peut démontrer que arccosh(x) = ln(x + x 2 ) x.

59 3.4. REPRÉSENTATION DES COURBES PLANES Représentation des courbes planes ) Explicite : y = f(x). Exemple : y = e2x + x 2. 2) Implicite : F (x; y) =. Exemples : ) Cercle de centre C(a; b) et de rayon R : (x a) 2 + (y b) 2 = R ( 2 x ) 2 ( y ) 2 2) Ellipse : + = a b Attention : Courbe fonction. Fonction : à un x D correspond un seul y Courbe : il peut y avoir plusieurs y pour un x donné. 3) Représentation paramétrique : x et y sont donnés en fonction d un paramètre t I R. Exemple : x = y = t + t 3 t2 + t 3 t.

60 54 CHAPITRE 3. FONCTIONS RÉELLES ET CONTINUITÉ 4) Représentation polaire : A un point P (x; y) correspond un couple (ρ ; φ) où ρ est la distance de P à l origine et φ l angle entre Ox et OP. On a les règles de transformations suivantes : { x = ρ cos φ y = ρ sin φ et ρ = x 2 + y 2 cos φ = x ρ = sin φ = y ρ = x x 2 + y y 2 x 2 + y 2 Une courbe peut alors être donnée sous forme polaire, c est-à-dire à l aide d une équation reliant ρ et φ. Exemples : A) Cardioïde : ρ = a( + cos φ) a > φ [ ; 2π]. B) Spirale d Archimède : ρ = aφ (a > ) φ [; [ C) Spirale logarithmique : ρ = e mφ, φ ] ; [. Le point est un point asymptote.

61 3.5. VALEUR LIMITE D UNE FONCTION À L INFINI 55 5) On peut combiner 3) et 4) pour avoir { ρ = ρ(t) φ = φ(t). Exemple : 3.5 Valeur limite d une fonction à l infini On cherche à définir lim x f(x). Définition 3.7. On dira que si pour tout ϵ >, il existe M ϵ R tel que lim f(x) = a x f(x) a < ϵ pour tout x > M ϵ. Dès que x est + grand que M ϵ alors f(x) est compris dans une bande de largeur 2ϵ autour de a. Et ceci pour n importe quel ϵ aussi petit soit-il. idem pour la limite en. Définition 3.8 (Limite impropre). On dira que lim f(x) = x (resp. ) si pour tout r R, il existe M r R tel que Exemples 3.9. f(x) > r (resp.f(x) < r) pour tout x > M r ) f(x) = x q, q Q +. Alors lim f(x) = x

62 56 CHAPITRE 3. FONCTIONS RÉELLES ET CONTINUITÉ 2) f(x) = P (x) Q(x) = a mx m + + a x + a b n x n + + b x + b = xm x n a m + a m x +... a x m + a x m b n + a n x +... b x n + b x n. Si x alors a m x, Il reste a x m, etc... P (x) lim x Q(x) = lim x m x x n am. b n Si m = n, alors = am b n = c (asymptote horizontale y = c) P (x) Si m < n alors lim = (asymptote horizontale y = ) x Q(x) sinon on a lim f(x) =. x 3) f(x) = sin x. La limite en x n existe pas. Même impropre. Idem pour cos x. 4) Alors f(x) x. 5) lim x ex = lim x e x = f(x) = x4 + 3x 2 x 6 sin 2 (x). 3.6 Valeurs limites en un point et continuité 3.6. Définitions Limite Définition Soit f(x) une fonction et x un point fixé. On dit que f admet le nombre L pour limite au point x si pour tout ϵ >, il existe δ ϵ > avec On note alors lim x x f(x) = L. f(x) L < ϵ dès que < x x < δ ϵ. Remarque : Dans la définition, il n est pas nécessaire que x D f. En revanche il faut qu il existe δ > avec ]x δ; x + δ[ D f {x }. Définition 2 On dit que lim x x f(x) = L si pour toute suite {ξ n } telle que (i) ξ n x (ii) on a lim ξ n = x, n lim f(ξ n) = L. n

63 3.6. VALEURS LIMITES EN UN POINT ET CONTINUITÉ 57 Proposition 3.. Les 2 définitions ci-dessus sont équivalentes. Notation 3.. Au lieu de lim x x f(x) = L on peut écrire (Ici encore h mais h.) lim f(x + h) = L. h Définition 3.2. Limite à gauche et limite à droite On peut définir aussi la limite à gauche qui est notée lim f(x) et la limite à droite qui est notée lim f(x). x x x x + si x < 2 Exemple 3.3. Considérons la fonction f(x) définie par f(x) = 2 si x = 2 3 si x > 2 Dans cet exemple, on a pas. lim f(x) = et lim x 2 f(x) = 3. Mais la limite lim f(x) n existe x 2 + x 2 Définition 3.4 (Limite impropre). Limite à droite : On dira que si pour tout M >, il existe δ M > tel que lim f(x) = + x x + f(x) > M pour tout x ] x ; x + δ M [ Définition analogue pour et pour la limite à gauche. Exemples 3.5. f(x) =. Alors lim f(x) =. x2 x f(x) = x 2. Alors lim x 2 x 2 f(x) = et lim f(x) = +

64 58 CHAPITRE 3. FONCTIONS RÉELLES ET CONTINUITÉ Propriétés des limites Théorème 3.6 (Théorème des gendarmes). Soient f(x), ϕ(x), ψ(x) des fonctions réelles, x un point fixé et δ >. Si pour tout x D f D ϕ D ψ tel que < x x < δ on a ϕ(x) f(x) ψ(x) et si alors lim ϕ(x) = lim ψ(x) = a x x x x lim f(x) = a. x x La démonstration est similaire à celle faite pour les suites. Proposition 3.7. Supposons f(x) = g(x)h(x). Si (i) h(x) est borné sur un voisinage de x (ii) et si lim x x g(x) = alors lim x x f(x) =. Démonstration : Par hypothèse sur h(x), on a h(x) M dès que x x < δ. Soit ϵ > et soit δ = δ ϵ/m tel que g(x) < ϵ/m dès que x x < δ. Un tel δ existe car g(x) x x. Mais alors ce qui montre que f(x) tend vers. Exemple : f(x) = x f(x) = g(x) h(x) ϵ M M ϵ sin x sin x. Alors lim x x =. Soient f(x) et g(x) 2 fonctions telles que (i) (ii) Alors lim f(x) = a x x lim g(x) = b. x x ) lim x x (αf(x) + βg(x)) = αa + βb 2) lim x x f(x)g(x) = ab 3) f(x) lim x x g(x) = a b (linéarité de la limite) si b. Cas indéterminés : ; ; ; + ( )

65 3.6. VALEURS LIMITES EN UN POINT ET CONTINUITÉ Exemples. Calculons A = lim x ( 3x + 2 = ) x A = lim x 3x + 2 x + 3x x x + 3x x + ) (3x + 4)( = lim x (x )( 3x + + 2) x + ) = lim = 6 3x = 3 2. x 3( 2. A = x + 2 x x? A = (x + 2 x 2 + 4) x x x x = x2 + 4x + 4 (x 2 + 4) x x = x x x + 4 x 2 = 3. Que vaut la limite lim x sin x x x + + 4/x 2 x 4 2 = 2 ( = ). On a Donc ce qui donne et en divisant par sin x on obtient Par le théorème des gendarmes, on a OAM < secteur OAM < OAT. 2 sin x < x 2 2 < tan x 2 sin x < x < tan x < x sin x < tan x sin x = cos x. sin x lim x x =. Plus généralement sin px sin px lim = lim p x x x px = p.

66 6 CHAPITRE 3. FONCTIONS RÉELLES ET CONTINUITÉ 4. Calculons On a ( lim x 3 + ) sin x = ( + ). x sin 2x ( 3 + ) sin x = sin x sin x x sin 2x 3 + x 2 sin x cos x = 3 x 2 sin x x + 2 cos x et la limite vaut alors + 2 = 2. Composition Soient f(x) et g(x) deux fonctions telles que Im(f) D g. Si lim x x f(x) = c et lim u c g(u) = L, alors lim x x g(f(x)) = L. Applications : () Que vaut On a cos x = 2 sin 2 x 2 Donc A = lim x 2( cos x) x 2 et donc ( = )? 2 2 sin 2 x/2 (sin(x/2)) 2 A = lim x x 2 = lim x (x/2) 2 ( ) u=x/2 sin u 2 = lim u u ( ) sin u 2 = lim =. u u 2( cos x) lim x x 2 = On écrit que pour x on a cos x x2 2. Plus généralement on dit que f(x) f(x) g(x) en x si lim x x g(x) =. (2) h(x) = sin( cos x) cos 2 x On pose u = cos x. Et u si x. Donc = sin( cos x) ( cos x)( + cos x). sin u lim h(x) = lim x u u lim x + cos x = 2 = 2.

67 3.7. CONTINUITÉ Continuité Définition Soit f(x) une fonction et x D f. On dit que f est continue au point x si Définition 2 f(x ) = lim x x f(x). Soit f(x) une fonction et x D f. On dit que f est continue au point x si pour toute suite {ξ n } telle que lim n ξ n = x, on a f(x ) = lim n f(ξ n). Une fonction continue commute avec l opérateur limite. Ces 2 définitions sont équivalentes. Définition 3.8. On dit que f(x) est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point x I. On note alors f(x) C (I). Théorème 3.9. Soient f et g deux fonctions continues sur I. Alors () αf + βg est continue sur I pour tout α, β R. (2) fg est continue sur I. (3) f g est continue sur I = I\{x g(x) = }. (4) Si f est continue en x et g continue en f(x ) alors g f est continue en x. Trois types de discontinuité Type I La limite lim x x f(x) existe mais n est pas égale à f(x ). Type II lim f(x) lim f(x). x x + x x

68 62 CHAPITRE 3. FONCTIONS RÉELLES ET CONTINUITÉ Type III une des limites lim f(x) ou lim f(x) (ou les deux) n existe pas. x x + x x Théorème 3.2. Soit f(x) une fonction bijective et continue sur l intervalle I. Alors sa fonction réciproque f (x) est continue sur l intervalle f(i) 3.7. Exemples. La fonction f(x) = x est continue sur R. Corollaire : toute fonction polynômiale et rationnelle est continue sur son domaine de définition. 2. La fonction f(x) = sin x est continue sur R : Démonstration : On a ( ) sin(x + h) sin x = 2x + h 2 sin(h/2) cos 2 h 2 2 h. Donc lim h sin(x + h) = sin x. De même, on montre que cos x et tan x sont continues sur leurs domaines de définition. 3. La fonction f(x) = x est continue sur R +. Soit x >. Alors x x = x x x + x et donc x x x x x ce qui montre que si x x alors x x. La fonction x est également continue à droite en x =. On montre de même que la fonction f(x) = x q est continue sur son domaine de définition pour tout q Q. 4. La fonction e x x k = est continue sur R. k! k= Démonstration : On doit montrer que lim h e x+h = e x c est-à-dire que ( lim e x+h e x) =. h Mais comme e x+h e x = e x e h e x = e x e h il suffit de montrer que lim h e h =, c est-à-dire que e x est continue en x =.

69 3.7. CONTINUITÉ 63 Si h <, on a e h = + h + h2 2 + h et donc 3! e h = h + h 2 ( h ( h = h 2 + h3 3! h 2 + h 2 + h 3 3! 4! + h ( ) h h 2 = 2 h 2 h 2 h. ) +... ( ) ) h En conséquence, si h on a e h ce qui montre que lim h e h =. Corollaire : Les fonctions a x sont continues sur R car a x = e x ln a. Corollaire : Les fonctions log a x sont continues sur R Prolongement par continuité Soit f(x) une fonction et x D f. Supposons que la limite lim x x f(x) = a existe. On peut alors définir une fonction f(x) en posant { f(x) = f(x) si x x f(x ) = a = lim x x f(x). On appelle f le prolongement par continuité de f au point x. On a cette fois x D f. Remarque : En général, la nouvelle fonction sera encore notée f par un abus de notation. Exemples : ) La fonction f(x) = sin x indéfinie en zéro peut être prolongée par continuité en posant x sin x f() = car on vient de voir que lim x x =. 2) Soit f(x) = { x 3 x si x, x c si x = Trouver c pour que f soit continue en.

70 64 CHAPITRE 3. FONCTIONS RÉELLES ET CONTINUITÉ Solution : On a Il faut poser c = 6 et on peut alors écrire (x 3 )( x + ) lim f(x) = lim x x x (x )(x 2 + x + )( x + ) = lim x x = lim(x 2 + x + )( x + ) = 6. x f(x) = (x 2 + x + )( x + ) D f = R +. Théorème 3.2. Toutes les fonctions élémentaires définies au paragraphe 3.3 sont continues sur D f Propriétés des fonctions continues Théorème de Bolzano : Soit f(x) une fonction continue sur l intervalle I = [a; b] avec f(a) < et f(b) >. Alors il existe un x I avec f(x ) =. Corollaire : Si f : [a; b] R continue avec f(a) = c et f(b) = c 2, alors pour tout c compris entre c et c 2, il existe x [a; b] avec f(x ) = c. Théorème Soit f(x) une fonction continue sur l intervalle fermé I = [a; b]. Alors f(x) atteint son maximum et son minimum sur I, c est-à-dire qu il existe x m, x M I avec f(x M ) f(x) x I et f(x m ) f(x) x I. ATTENTION : ce résultat est faux si I est ouvert. Exemple : f(x) = x et I =]; [. Théorème Soit f(x) une fonction continue sur I. Alors f est injective f est strictement monotone. Démonstration : = il est clair que, pour une fonction strictement monotone, x y implique f(x) f(y) = On montre la contraposée : Supposons f non strictement monotone. Alors il existe x < x 2 < x 3 avec f(x ) < f(x 2 ) et f(x 2 ) f(x 3 ) (ou le contraire mais la preuve est la même). Si f(x 2 ) = f(x 3 ) alors f n est pas injective et c est terminé. On peut donc supposer f(x 2 ) > f(x 3 ). Mais alors il existe c avec f(x ) < c < f(x 2 ) et f(x 2 ) > c > f(x 3 ). Par le corollaire précédent, il existe dont ξ [x ; x 2 [ et ξ 2 ]x 2 ; x 3 ] avec f(ξ ) = c et f(ξ 2 ) = c. Donc f n est pas injective. Contre-exemples : l hypothèse de continuité est essentielle :

71 Chapitre 4 Dérivées et applications 4. La dérivée 4.. Définitions Soit y = f(x) une fonction continue, x D f un point fixé et x > l accroissement. Calculons y x = f(x + x) f(x ) = f(x + x) f(x ). (x + x) x x Interprétation géométrique : y = la pente de la droite qui passe par les points x P (x ; f(x )) et Q(x + x ; f(x + x)). Interprétation physique : si x = t est le temps et y = f(t) est la distance parcourue, alors y est la vitesse moyenne durant le temps t. t Que devient y si x? x Géométriquement, on aura la pente de la tangente au graphe de f passant par P (x ; f(x )). Physiquement, on a la vitesse instantanée au temps t = t. On pose alors la définition suivante : Définition 4. (Dérivabilité). On dit que la fonction f(x) est dérivable au point x si la limite f(x + h) f(x ) lim h h existe. Cette limite est appelée la dérivée de f au point x. Elle est notée f (x ). 65

72 66 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET APPLICATIONS Ainsi f f(x + h) f(x ) (x ) = lim. h h Autre notation : f (x ) = df dx (x ) = df dx x=x = dy dx (x ). f (x ) = la pente de la tangente au graphe de f au point (x ; f(x )). Définition 4.2. Soit f(x) une fonction et I D f un intervalle. Si f (x) existe pour tout x I, on dit que f est dérivable sur I. La fonction f (x) est appelée la dérivée de f (sur I). Autre notation : la dérivée de f(x) est aussi notée f (x) = df dx (x) = d f(x) ou encore f dx s il n y a aucune ambiguïté sur la variable. Autre notation : on note dx l accroissement infinitésimal de la variable x dy l accroissement infinitésimal de la variable y. Si y = f(x) alors f (x) = dy et donc dx dy = f (x)dx Exemple 4.3. Ainsi (ax + b) = a. Soit f(x) = ax + b. Alors f (x) = lim h f(x + h) f(x) h a(x + h) + b (ax + b) ah = lim = lim = a x R. h h h h Application : équation de la tangente à un graphe Soit f(x) une fonction continue et P (a ; f(a)) un point du graphe de f. Alors l équation de la tangente au graphe de f passant par P est : y = f (a)(x a) + f(a). Théorème 4.4. Soit f(x) une fonction. Si f(x) est dérivable en x alors elle est continue en ce point. ATTENTION : la réciproque est fausse! Exemple : la fonction f(x) = x est continue mais pas dérivable en. En effet, on a alors que Donc f () = lim h f(h) h f( + h) f() h lim = lim h h h h = lim h h h = f( + h) f() h lim = lim h + h h + h =. n existe pas.

73 4.. LA DÉRIVÉE Exemples. Soit f(x) = x 2. Alors f f(x + h) f(x) (x + h) 2 x 2 (x) = lim = lim h h h h Ainsi f (x) = 2x. 2. Soit f(x) = x. Alors pour x >, on a x + h x f (x) = lim = lim h h h = lim h 2xh + h 2 h x + h x h( x + h + x) = lim h = lim h 2x + h = 2x. = x + h + x 2 x car x est continue. h Si x =, on trouve lim h h = +. La fonction x n est pas dérivable en. La tangente est verticale. 3. Soit f(x) = e x. Alors f (x) = lim h e h+x e x h = lim h e h e x e x h = e x h + h2 2 lim + h3 3! +... = e x lim h h = e x. = lim e x eh h h h2 h2 ( + + h 3! + h3 ) 4! +... } {{ } =R(h) On a bien lim R(h) = car h R(h) = h 2 + h2 3! + h3 4! +... h ( ) h 2 ( ) h ( = h + h ( ) h 2 ( ) ) h Ainsi (e x ) = e x. 4. Soit f(x) = sin x. Alors = h 2 h 2 = h 2 h f sin(x + h) sin x (x) = lim = lim h h h = lim h 2 sin(h/2) h sin(h/2) = lim lim h h/2 = cos(x). cos( 2x + h ) 2 cos( 2x + h h 2 h. h 2 sin(x + h x 2 ) ) cos( x + h + x ) 2

74 68 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET APPLICATIONS Ainsi (sin x) = cos x 4..3 Régles de calculs Soient f, g dérivables sur I. Alors (I) (αf + βg) = αf + βg La dérivée est une opération linéaire. (II) (fg) = f g + fg Dém : Corollaire : (fg) f(x + h)g(x + h) f(x)g(x) (x) = lim h h f(x + h) f(x) = lim g(x + h) + f(x) h h = f (x)g(x) + f(x)g (x) (f 2 ) = f f + ff = 2ff g(x + h) g(x) h (f 3 ) = (f 2 f) = (f 2 ) f + f 2 f = 2ff f + f 2 f = 3f 2 f Par récurrence : (f n ) = nf n f (III) Dém : En dérivant l égalité f f ( ) = f f f 2. à l aide du point (II), on obtient f f + f ( ) = f ce qui donne Corollaire : ( ) = f f f 2. ( ) f = f g fg g g 2. Corollaire 2 : ( f n ) = nf n f

75 4.. LA DÉRIVÉE 69 (IV) Fonction composée : soit ϕ(x) = g(f(x)) = (g f)(x). Alors ϕ (x) = g (f(x)) f (x). Démonstration : (g f) (x ) = lim h g(f(x + h)) g(f(x )) h g(f(x + h)) g(f(x )) = lim f(x + h) f(x ) h f(x + h) f(x ) h On pose u = f(x + h) f(x ) avec u si h. ( g u + f(x ) ) g(f(x )) = lim f (x ) u u = g (f(x )) f (x ) Quelques propriétés qui en découlent. Soit ϕ(x) = g(ax). Alors ϕ (x) = g (ax) (ax) = a g (ax). Corollaire : Si f(x) est paire (resp. impaire) alors f (x) est impaire (resp. paire). En effet, si on dérive l égalité f( x) = f(x), on obtient f ( x) ( ) = f (x) et donc f ( x) = f(x). 2. Soit ϕ(x) = g(x + T ). Alors ϕ (x) = g (x + T ) (x + T ) = g (x + T ). Corollaire : Si f(x) est périodique alors f (x) l est aussi Dérivées des fonctions élémentaires A) Fonctions polynomiales : (II) f(x) = x n f (x) = nx n. n Si f(x) = P (x) = a k x k alors par (I), on a k= f (x) = n ka k x k = na n x n + + 2a 2 x + a. k= B) Fonctions rationnelles et irrationnelles Si f(x) = x n alors par (III) on a f (x) = nx n. Si f(x) = x m/n alors f(x) n = x m n f(x) n f (x) = mx m f (x) = m n = m n d dx x m f(x) n = m x m ( n ) x m/n n x m x m m n = m n xm/n.

76 7 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET APPLICATIONS En conclusion : Et par (IV), on a d dx xq = qx q q Q. d dx (f(x))q = q (f(x)) q f (x) Exemple : f(x) = 3 x 4 + x = (x 4 + x) /3 = ( ) x 4 + x 3 2. Alors f (x) = 3 (x4 + ( ) x) /3 x 4 + x 2 = 3 (x4 + x) 2/3 (4x x /2 ) = 3 4x x (x 4 + x). 2 3 C) Fonctions trigonométriques : On a démontré que (sin x) = cos x. f(x) = cos x = sin( π 2 x). Alors (cos x) = [ ( π ) ] ( π ) sin 2 x = cos 2 x ( ) = sin x. f(x) = tan x = sin x cos x. Alors f = sin cos sin cos cos 2 = cos2 + sin 2 cos 2 = cos 2 = + tan2. Ainsi (tan x) = cos 2 (x) = + tan2 (x) D) Fonction exponentielle : Comme (e x ) = e x et par (IV) on a ( e f(x)) = e f(x) f (x). Maintenant, si f(x) = a x = e x ln a, alors f (x) = e x ln a ln a = a x ln a. Ainsi (a x ) = a x ln a

77 4.. LA DÉRIVÉE 7 E) Fonctions hyperboliques Soit f(x) = cosh x = ex + e x. Alors par (I) et D), on a 2 f (x) = ( e x e x) = sinh x. 2 Soit f(x) = sinh x = 2 (ex e x ) Alors f (x) = ( e x ( )e x) = cosh x Dérivée de la fonction réciproque Soit f(x) une fonction bijective et f (y) sa fonction réciproque. On désire calculer (f ) (y) connaissant f (x). On suppose f (x). Par définition de f, on a (f f )(y) = y et en dérivant par rapport à y et en utilisant (IV), on trouve f (f (y)) (f ) (y) = ce qui donne (f ) (y) = f (f (y)). En notant x = f (y), on obtient ( f ) (y) = f (x). Exemples : () Fonctions logarithmes : Appliquons la formule à f(x) = e x et f (y) = ln y. Comme f (x) = e x, on obtient (ln y) = f (f (y)) = e ln y = y. Corollaire : (ln f(x)) = f (x) f(x). (2) Fonctions trigonométriques inverses : Soit f(x) = sin x et f (y) = arcsin y. Comme f (x) = cos x, on a (arcsin y) = cos(arcsin y) =. y 2 La dernière égalité a été démontrée dans la série 6.

78 72 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET APPLICATIONS Soit f(x) = cos x et f (y) = arccos y. Comme f (x) = sin x, on a (arccos y) = sin(arccos y) = y 2 Comme (tan x) = + tan 2 x, on a (arctan y) = + tan 2 (arctan y) = + y 2 (3) Fonctions hyperboliques inverses : Comme (sinh x) = cosh x, on a (arcsinh y) = cosh(arcsinh y) = y 2 + On a utilisé ici le fait que cosh 2 u sinh 2 u = et donc que cosh u = De même on montre que + sinh 2 u. (arccosh y) = y 2 y > 4..6 Quelques exemples. Quelle est la dérivée de f(x) = x α avec α R. Définition : x α := e α ln x. Cohérent avec la définition précédente si α Q. Alors Ainsi f (x) = (e α ln x ) = e α ln x (α ln x) = e α ln x α x = α xα x = α xα. (x α ) = αx α α R. 2. Comment dériver la fonction f(x) = u(x) v(x)? D abord, comment est définie f(x)? On pose et D f = {x u(x) > }. v(x) ln(u(x)) f(x) := e

79 4.2. DÉRIVÉE DES FONCTIONS IMPLICITES 73 Notons que u(x) v(x) n a de sens que si u(x) >. La dérivée vaut alors ( ) u f = (u v ) = e v ln(u) u v + v ln u ( u = u v ) v u + v ln u. Exemple : Calculons l équation de la tangente au graphe de la fonction f(x) = x sin x au point P (π; ). On a D f = R +. f (x) = x sin x ( sin x x ) + cos x ln x. En P (π; ) on obtient f (π) = ln π. L équation de la tangente est donc y = ln π (x π) + = (ln π) x + + π ln π. 4.2 Dérivée des fonctions implicites Courbe : (γ) : 2x 2 y 3 + ln(xy) = (*) Autour d un point P fixé, cette relation définit une fonction y = y(x) (pas nécessairement analytique) et l équation (*) s écrit 2x 2 y(x) 3 + ln(xy(x)) = 4x 3y(x) 2 y (x) + y(x) + xy (x) xy(x) d dx = Au point P (; ) on obtient 4 3y () + + y () = ce qui donne 2y () = 5 d où y () = 5 2. Ainsi, sans trouver explicitement la fonction y = y(x) on a pu calculer sa dérivée en un point donné. Ce procédé s applique naturellement à toute relation de la forme F (x, y) =. Exemple : Calculons les pentes des tangentes au graphe de l ellipse Γ : x2 a 2 + y2 b 2 =

80 74 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET APPLICATIONS On dérive cette relation par rapport à x pour obtenir ce qui donne 2x a 2 + 2yy b 2 = y = b2 a 2 x = pente de la tangente au point P (x, y) Γ y Angle entre deux courbes Soient Γ et Γ 2 deux courbes s intersectant en un point P. On définit l angle entre 2 courbes au point P comme l angle entre leurs tangentes au point P. On a θ = θ 2 θ. Si y est la pente de la tangente à Γ en P et y 2 la pente de la tangente à Γ 2 en P, alors tan θ = y et tan θ 2 = y 2. On a donc tan θ = tan(θ 2 θ ) = tan θ 2 tan θ + tan θ tan θ 2 = y 2 y + y y. 2 Donc tan θ = y 2 y + y y 2 Exemple : Calculons l angle entre les courbes Γ : y = f(x) = x 2 et Γ 2 : y = g(x) = 3 x au point P (; ). Γ : f (x) = 2x et donc au point P : y = 2 Γ 2 : g (x) = 3 x 2 3 et donc au point P : y 2 =. On obtient 3 ce qui donne θ = π 4. tan θ = =

81 4.2. DÉRIVÉE DES FONCTIONS IMPLICITES Représentation paramétrique Courbe Γ : { x = x(t) y = y(t) On veut trouver la pente de la tangente au graphe en un point donné. On introduit la notation : = d dt Ceci donne dx dy = ẋ(t) et dt dt = ẏ(t). Donc dx = ẋ(t) dt et dy = ẏ(t) dt. Alors y = dy dx = ẏ(t) ẋ(t). Exemple : Et donc Au point P ( ; ) (t = ), on obtient { x = t sin t = ẋ(t) = sin t + t cos t y = t 2 + cos t = ẏ(t) = 2t sin t y = ẏ ẋ = 2t sin t sin t + t cos t. y P = 2t sin t = sin t + t cos t t= = 2 sin t t sin t t + cos t t 2 + = 2 Représentation polaire Si la courbe est donnée sous forme polaire ρ = ρ(φ). Alors y P = ρ(φ) sin φ + ρ(φ) cos φ ρ(φ) cos φ ρ(φ) sin φ P ( ) Exemple : ρ = cos(2φ). On veut trouver la tangente horizontale dans le quadrant I ( φ π/4). On cherche donc le point P tel que y P =. En utilisant (*), on obtient l équation ρ(φ) sin φ + ρ(φ) cos φ =. ( )

82 76 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET APPLICATIONS En dérivant la fonction donnée ρ(φ) = cos(2φ) par rapport à φ, on trouve ρ(φ) = 2 cos(2φ) 2 ( sin(2φ) 2) = sin(2φ) cos(2φ) et donc l équation (**) devient (après simplifications) Donc φ = π 6. sin 2φ sin φ + cos 2φ cos φ = cos(3φ) =. 4.3 Théorème de la moyenne 4.3. Quelques théorèmes Définition 4.5 (Fonction C ). Une fonction f(x) est dite continûment dérivable sur I D f si f (x) existe et est continue sur tout I. On note C (I) l ensemble des fonctions continûment dérivables sur I. En bref : f(x) C (I) f (x) C (I). Théorème 4.6 (Théorème de Rolle). Soit f(x) continue sur [a; b] et dérivable sur ]a; b[ avec f(a) = f(b) = c alors il existe ξ ]a, b[ tel que f (ξ) =. Démonstration : Si f(x) c alors f (x) = et le théorème est trivial. Considérons la fonction g(x) = f(x) c. Alors g(a) = g(b) =. On peut supposer que a et b sont des zéros consécutifs et admettre que g(x) > sur ]a; b[. Soit ξ le point où g(x) atteint son maximum. Pour h >, on a g(ξ + h) < g(ξ) et alors Pour h <, on a et donc (g(ξ + h) g(ξ)) < h ( ) g(ξ + h) < g(ξ) (g(ξ + h) g(ξ)) > h ( )

83 4.3. THÉORÈME DE LA MOYENNE 77 Comme g est dérivable, on a g (ξ) = lim (g(ξ + h) g(ξ)) = lim (g(ξ + h) g(ξ)). h + h h h Cette limite ne peut être que vu (*) et (**). Donc g (ξ) =. Théorème 4.7 (Théorème de la moyenne). Soit f(x) continue sur [a; b] et dérivable sur ]a; b[. Alors il existe un ξ ]a; b[ tel que f (ξ) = f(b) f(a). b a Démonstration : On considère la fonction g(x) = f(x) f(b) f(a) (x a) b a qui satisfait aux hypothèses du théorème de Rolle. Alors il existe ξ ]a; b[ avec g (ξ) =, i.e. f f(b) f(a) (ξ) = b a ce qui donne la conclusion cherchée. Corollaire 4.8. Si f (x) pour tout x I alors f est constante sur I. Démonstration : En effet si ce n était pas le cas, on pourrait trouver ]a; c[ I avec f(a) f(c). Mais alors il existerait ξ ]a; c[ avec ce qui contredit l hypothèse. f (ξ) = f(c) f(a) c a Corollaire 4.9. Si f (x) = g (x) pour tout x I, alors f(x) = g(x) + C pour tout x I. Corollaire 4.. Soit f(x) continue sur I = [a; b] et dérivable en tout point x x. Supposons que lim x x f (x) existe. Alors f est dérivable en x et f (x ) = lim x x f (x) (i.e. f est continue en x ). Autrement dit, les seuls types de discontinuité (cf. 3.7) pour la dérivée d une fonction continue sont les types II et III. Le type I ne peut pas se produire pour f.

84 78 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET APPLICATIONS Démonstration : On a par le théorème de la moyenne appliqué aux points x et x + h : f(x + h) f(x ) h ce qui donne en passant à la limite quand h : = f (ξ) pour un ξ ]x ; x + h[ f (x ) = lim ξ x f (ξ) Théorème 4. (Théorème de Cauchy). Soient f, g deux fonctions dérivables sur [a; b], avec g (x) pour tout x I. Alors il existe ξ I avec Démonstration : On considère la fonction f (ξ) g (ξ) h(x) = f(x) = f(b) f(a) g(b) g(a). f(b) f(a) g(b) g(a) (g(x) g(a)) qui satisfait aux hypothèses du théorème de Rolle (h(a) = h(b) = f(a)). Il existe donc ξ avec h (ξ) =. Mais comme h (x) = f (x) f(b) f(a) g(b) g(a) g (x) on en déduit que f (ξ) g (ξ) = f(b) f(a) g(b) g(a) La règle de Bernoulli-l Hospital Théorème 4.2 (Règle de Bernoulli- l Hospital). Soient f, g deux fonctions dérivables sur I =]a; b[ telles que pour tout x I on ait g(x) et g (x). Supposons que lim f(x) = lim g(x) = α avec α = ou ± ; x a + x a + f (x) lim x a + g = µ avec µ R { ; + }. (x) Alors f(x) lim x a + g(x) = µ. Remarque 4.3. La règle reste valable si l on remplace a + par b, par a ou par ±.

85 4.3. THÉORÈME DE LA MOYENNE 79 Démonstration : (I) α = et µ R. Posons b = a + h. Alors le théorème de Cauchy implique qu il existe ξ = a + θh avec θ et Comme f(a) = g(a) =, on a f (a + θh) g (a + θh) f (a + θh) g (a + θh) = f(a + h) f(a) g(a + h) g(a). = f(a + h) g(a + h). Si b a, alors h, θh et ξ a. On a donc f (a + θh) lim h g (a + θh) = lim f(a + h) h g(a + h) = f (ξ) lim ξ a g (ξ) = lim f(b) b a g(b) = f (x) lim x a g (x) = lim f(x) x a g(x) (II) α = + et µ. On a, par hypothèse, que f, g g(x) Posons L = lim x a + f(x). Alors x a +. g(x) L = lim x a + f(x) = lim /f(x) x a + /g(x) = lim (/f(x)) x a + (/g(x)) = lim g(x) 2 = lim x a + f(x) 2 f (x) g (x) = ( g(x) lim x a + f(x) /f(x) 2 f (x) x a + /g(x) 2 g (x) ) 2 f (x) lim x a + g (x) = L2 µ. En divisant par L 2, on obtient L = µ d où l on en déduit que f(x) lim x a + g(x) = L = µ. Exemples f(x) = sin x x Alors sin x lim x x 2. f(x) = x ln x. Que vaut lim x f(x)? On a B.-H. (sin x) = lim x x ln x lim x ln x = lim x x /x cos x = lim =. x ( = B.-H. /x = lim x /x 2 = lim ( x) =. x )

86 8 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET APPLICATIONS Ainsi lim x ln x = x x 2 Donc lim x e x =. lim x x 2 lim (= ) x e x B.-H. 2x = lim (= ) x e x B.-H. 2 = lim x e x =. ln x ln(x 3 ln x) sinh x cosh x lim = lim =. x x x B.-H. = lim x = lim x = lim x = lim x /x x 3 ln x (x3 x + 3x2 ln x) x 2 ln x x 2 + 3x 2 ln x ln x + 3 ln x / ln x + 3 = 3. Expressions indéterminées de la forme,, Considérons la fonction ϕ(x) = u(x) v(x) et supposons que lim ϕ(x) soit de la forme indéterminée ou ou. On lève l indétermination en procédant comme suit :. On applique le logarithme : 2. L expression ln ϕ(x) = ln [ u(x) v(x)] = v(x) ln[u(x)]. lim ln ϕ(x) = lim v(x) ln[u(x)] est maintenant de la forme (± ) que l on transforme en une expression de la forme. On applique alors la règle de l Hospital pour calculer lim ln ϕ(x) = L. ou 3. On applique l exponentielle : lim ϕ(x) = e L.

87 4.3. THÉORÈME DE LA MOYENNE 8 Exemples : soit ϕ(x) = x x. Calculons lim x x x. On a et la limite vaut ln ϕ(x) = x ln x lim x x ln x = ln x x B.-H. /x = lim x =. Ainsi lim x (ln ϕ(x)) = ce qui donne (en appliquant ex ) lim ϕ(x) = x e =. 2. : soit ϕ(x) = x x 4. Calculons lim x ϕ(x). On a et le passage à la limite donne Finalement on a donc 3. : Calculer la limite On a et ln ϕ(x) = ln x ln x = x4 x 4 ln x B.-H. /x lim [ln ϕ(x)] = lim x x x 4 = lim x 4x 3 = 4. lim ϕ(x) = x e 4 = 4. e lim ( + x x2 ) /x. + } {{ } =ϕ(x) ln ϕ(x) = x ln( + x2 ) = ln( + x2 ) x ( lim ln ϕ(x) = ) B.-H. 2x/( + x 2 ) = lim =. x + x + On en déduit que lim ϕ(x) = e =. 4. : calculons On a ln ϕ(x) = x ln sin x = lim (sin x)x x } {{ } =ϕ(x) ( = ). ln sin x. Par l Hospital, on a /x ln sin x lim ln ϕ(x) = lim x x /x = lim x2 cos x x sin x = lim x En reprenant l exponentielle, on obtient x sin x lim x B.-H. = lim x cos x/ sin x /x 2 x cos x lim (sin x x)x = e =. = =.

88 82 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET APPLICATIONS Comparaison des croissances des fonctions (ln x) α, x β et e γx Théorème 4.6. Pour tout β >, on a ln x lim x x β =. La fonction ln(x) croît moins vite que toute puissance positive de x. Démonstration : ln x lim x x β B.-H. = lim x /x = lim βxβ x βx β =. Corollaire 4.7. α, β >, ln α x lim x x β =. Démonstration : Le théorème précédent implique qu il existe X R avec ln x < x β 2α pour tout x > X. Alors < lnα x x β < x β 2 x β = x. x β 2 Corollaire 4.8. α >, a > x α lim x a x = La fonction a x (a > ) croît plus vite que toute puissance de x. Démonstration : On pose β = ln a > car a > et x = ln t en notant que x t. Alors x α lim x a x = lim (ln t) α t e β ln t (ln t) α = lim t t β = (par le corollaire précédent.) Corollaire 4.9. Pour tout polynôme P (x) et tout p >, on a lim P x (x)e px = Corollaire 4.2. lim x xα (ln x) n =. +

89 4.4. DÉRIVÉES D ORDRES SUPÉRIEURS 83 Démonstration : On pose x = e t. Alors t lorsque x +. Donc lim x xα (ln x) n = lim e tα ( t) n = ( ) n tn =. + t etα 4.4 Dérivées d ordres supérieurs Si f (x) est elle-même dérivable on note et ainsi de suite f (3) (x), f (4) (x),..., f (n) (x). f (x) = (f (x)) L opérateur différentiel se note d2 d au lieu de dx2 dx ( d dx ). Exemple : si f(x) = sin(x) alors f (x) = cos x f (x) = sin x f (3) (x) = cos x f (4) (x) = sin x Définition 4.2. Si f (n) existe et est continue sur I on note f C n (I) et l on dit que f est n-fois continûment dérivable. On définit C (I) = C n (I). n C est l ensemble des fonctions dont toutes les dérivées sont continues. Exemple : e x C (R) Si f C n (I) et g C n (I) alors f + g C n (I) et (f + g) (n) = f (n) + g (n). Formule de Leibniz Si f, g C n (I) alors f g C n (I) et on a (f g) (n) = n k= ( ) n f (n k) g (k) k où f () = f. La démonstration, qui se fait par récurrence, est analogue à celle pour la formule du binôme. En particulier : (fg) = f g + 2f g + fg (fg) (3) = f (3) g + 3f g + 3f g + fg (3)

90 84 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET APPLICATIONS 4.5 Etude de fonction 4.5. Croissance et extremum Dans toute cette section, f(x) désignera une fonction continue sur son ensemble de définition. Théorème Soit f une fonction continue sur I = [a; b] et dérivable sur ]a; b[. Alors f est croissante f sur ]a; b[ De plus, si f >, alors f est strictement croissante. Démonstration : C est une conséquence du théorème de la moyenne. Soient c < d I alors f(d) f(c) d c = f (ξ) avec ξ [c; d]. Donc f (ξ) f(d) f(c). De plus, si f (ξ) > alors f(d) > f(c). Définition x D f est un maximum absolu de f si f(x) f(x ) pour tout x D f. x D f est un maximum relatif (ou local) s il existe un voisinage v ϵ (x ) =]x ϵ ; x + ϵ[ de x tel que f(x) f(x ) pour tout x v ϵ (x ). Définitions analogues pour le minimum. On dira extremum pour maximum ou minimum. ATTENTION : Un extremum absolu n existe pas toujours sur R. Exemple : f(x) = arctan x. Théorème Si x est un extremum de f(x) sur I = [a; b], alors (i) soit x = a ou x = b (ii) ou f (x ) = (iii) ou f (x ) n existe pas. Définition Un point x tel que f (x ) = est appelé un point stationnaire.

91 4.5. ETUDE DE FONCTION 85 Un point stationnaire n est pas nécessairement un extremum. Exemple : f(x) = x 3. Alors f (x) = 3x 2 et donc f () =. Mais x = n est pas un extremum mais un plat. La condition nécessaire et suffisante pour avoir un extremum en x théorème suivant : est donnée par le Théorème Soit f(x) une fonction dérivable dans un voisinage de x nécessairement en x. Alors mais pas x est un extremum f (x) change de signe en x. Plus précisément si (i) f (x) < (respextivement > ) sur ]x δ ; x [ et si (ii) f (x) > (respectivement < ) sur ]x ; x + δ[ alors x est un minimum local (respectivement un maximum local). Démonstration : C est une conséquence du théorème Un cas particulier de ce théorème est le suivant : Proposition Soit f une fonction continue et x un point stationnaire (f (x ) = ). () Si f (x) > dans un voisinage de x, alors x est un minimum local. (2) Si f (x) < dans un voisinage de x alors x est un maximum local. (3) Si f (x) change de signe en x alors x est un plat. Démonstration : (i) Le théorème de la moyenne appliqué à la fonction f (x) et à l intervalle ]x ; x + h[ donne f (x + h) f (x ) = f (ξ) h avec ξ entre x et x + h donc ξ = x + θh où < θ <. Ceci donne f (x + h) = f (x ) } {{ } = + h f (x + θh) = } {{ } > { > si h > < si h <

92 86 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET APPLICATIONS Ainsi f (x) change bien de signe en x et x est un minimum local. (ii) idem Exemple f(x) = 2x 2 + f (x) = 4x f (x) = 4 = f () = f () = 4 >. Le point x = est donc un minimum. ATTENTION : f (x ) = x est un extremum x est un extremum f (x ) = Exemple f(x) = x 3 (x 3 ) 2 3. Tableau de signe : f (x) = 3x 2 (x 3 ) x3 (x 3 ) 3 3x 2 = x 2 (5x 3 3). (x 3 ) 3 En x = : f (x) n existe pas mais f change de signe extremum. En x = : f () = mais f ne change pas de signe pas d extremum mais un plat. En x = 3 3 5, on a f = et change de signe. extremum Courbure et point d inflexion Définition 4.3. Soit f C 2 (I). f est dite convexe sur I si f (x) pour tout x I, c est-à-dire si f (x) est croissante sur I. f est dite concave sur I si f (x) pour tout x I, c est-à-dire si f (x) est décroissante sur I.

93 4.6. DÉVELOPPEMENT LIMITÉ ET SÉRIE DE TAYLOR 87 Autre caractérisation ) Le graphe d une fonction convexe (resp. concave) est toujours situé au dessous (resp. au-dessus) de la corde P Q où P et Q sont deux points du graphe. 2) Le graphe d une fonction convexe (resp. concave) est toujours situé au dessus (resp. au-dessous) de ses tangentes. Graphes : Définition 4.3 (Point d inflexion). Soit f une fonction. Alors x D f est un point d inflexion de f si f (x) change de signe en x. ATTENTION : Comme pour les extremums, il ne suffit pas que f (x ) =. Propriété géométrique : en un point d inflexion, le graphe passe de l autre côté de la tangente en ce point. 3 x 5. Exemple : f(x) = 3 x. f (x) = 3 x 2 3 f (x) = 2 9 f change de signe en x = bien que f () n existe pas en ce point (la tangente est verticale). On a donc un point d inflexion. Exemple 2 : f(x) = x 4 x. f (x) = 4x 3 f (x) = 2x 2. On a f () = mais f ne change pas de signe. Pas de point d inflexion en. 4.6 Développement limité et série de Taylor 4.6. Définitions Lemme 4.32 (Approximation linéaire). Pour a D f fixé, on a f(a + h) = f(a) + f (a) h + r(h) ( )

94 88 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET APPLICATIONS où r(h) est une fonction satisfaisant r(h) lim h h =. Démonstration : Posons r(h) = f(a + h) f(a) hf (a). Alors r(h) h et on a bien lim h r(h) h = f (a) f (a) =. En posant x = a + h, l équation (*) devient avec lim x a R (x) x a =. f(a + h) f(a) = f (a) h f(x) = f(a) + f (a) (x a) + R (x) On va généraliser ce résultat en approximant une fonction par un polynôme de degré n : Théorème 4.33 (Approximation d ordre n). Soit f(x) C n (I) et a I un point intérieur de I. Alors f(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) f (n) (a) (x a) n } 2 {{ n! } = Tn f (x) R n (x) avec lim x a (x a) n =. De plus, si f C n+ (I), alors Démonstration : + R n (x) R n (x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x a)n+ avec ξ entre a et x. R n (x) = f(x) f(a) f (a)(x a) f (n) (a) (x a) n et donc n! R n(x) = f (x) f (a) f (a)(x a) f (n) (a) (x a)n (n )! R n(x) = f (x) f (a) f (3) (a)(x a) f (n) (a) (x a)n 2 (n 2)!. R n (n) (x) = f (n) (x) f (n) (a) R n (n+) (x) = f (n+) (x)

95 4.6. DÉVELOPPEMENT LIMITÉ ET SÉRIE DE TAYLOR 89 ce qui donne Pour calculer lim x a lim x a R n (x) (x a) n B.-H. = lim x a R n(a) = R n(a) = = R (n) n (a) =. R n (x), on applique n fois la règle de Bernoulli-L Hospital : (x a) n R n(x) n (x a) n Ceci démontre la première partie du théorème. B.-H. =... B.-H. = lim R n (n) x a (x) n! f (n) (x) f (n) (a) = lim =. x a n! Si f C n+ (I), on pose h(x) = (x a) n+ et on applique le théorème de Cauchy n + fois. Ceci donne (en remarquant que h(a) = h (a) = h (a) = h (n) (a) = ) R n (x) h(x) = R n(x) R n (a) Cauchy = R n(ξ ) h(x) h(a) h (ξ ) = R n(x) R n(a) Cauchy h (x) h = R n(ξ 2 ) (a) h (ξ 2 ) Ceci donne finalement = = R(n+) n (ξ) h (n+) (ξ) = f (n+) (ξ) (n + )! R n (x) = h(x) f (n+) (ξ) (n + )! ξ ]a; x[ = f (n+) (ξ) (n + )! (x a)n+. Définition Le polynôme Tn f (x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) f (n) (a) (x a) n 2 n! est appelé le développement limité d ordre n de f(x) au point a ou aussi le polynôme de Taylor de degré n. La fonction R n (x) est le reste d ordre n. Si a = on obtient le développement autour du point : f(x) = f() + f () x + f () 2 avec R n (x) = f (n+) (θx) (n + )! Exemple f(x) = cos x, a =, n = 3 : x n+ et < θ <. f(x) = f() + f ()x + f () 2 x f (n) () n! x 2 + f (3) () x 3 + R 3 (x) 6 x n + R n (x) = + x 2 x2 + x 3 + R 3 (x) = 2 x2 +R 3 (x) } {{ } =T 3 (x)

96 9 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET APPLICATIONS Série de Taylor Si f C (I) et si R n (x) n pour tout x I, on obtient la série de Taylor en a qui converge vers f(x) : f(x) = k= f (k) (a) (x a) k k! Notation de Landau Soit f(x) et g(x) deux fonctions s annulant en a. On dit que Exemples : 52x 3 = o(x 2 52x 3 ) (en a = ) car lim x x 2 f = o(g) en x = a si lim x a f(x) g(x) =. = lim x 52x =. cos x cos x = o(x) car lim = (cf. formulaire et tables) x x Avec cette notation, on a R n (x) = o(x n ) pour le développement limité autour de a =. Propriétés : A) Si f = o(g) et g = o(h) alors f = o(h). B) Si f = o(g ) et f 2 = o(g 2 ) alors f f 2 = o(g g 2 ). C) Si f = o(g) et h = o(g) alors f ± h = o(g). ATTENTION : o(g) o(g). Exemple : 4x 3 = o(x 2 ) et x 3 = o(x 2 ) mais 4x 3 x 3 = 3x 3 = o(x 2 ) Exemples. Soit f(x) = e x et a =. Comme f (x) = e x = f (k) (x) pour tout k, le développement limité d ordre n est donné par e x = f() + f ()x + f () 2 avec R n (x) = f (n+) (θx) x n+ = (n + )! = + x + 2 x2 + + n! xn + R n (x) xn+ (n + )! eθx. x f (n) () x n + R n (x) n!

97 4.6. DÉVELOPPEMENT LIMITÉ ET SÉRIE DE TAYLOR 9 R n (x) converge vers pour tout x lorsque n (cf. chapitre 2). Donc la série de Taylor converge vers f et on a e x = k= k! xk x R Développement limité d ordre : on a e x = + x + o(x). Ceci donne e x = x + o(x) et donc e x lim = lim + o(x) x x x x = par définition de o(x). Ainsi autour de x =, on a e x x. 2. Soit f(x) = et a =. + x On a f() = et f (x) = ( + x) 2 = f () = f 2 (x) = ( + x) 3 = f () = 2 f (n) (x) = ( ) n n! ( + x) n = f (n) () = ( ) n n! Le développement limité d ordre n autour de a = est alors avec ce qui donne la série de Taylor + x = x + x2 x 3 + x 4 + ( ) n x n + R n (x) R n (x) = f (n+) (ξ) (n + )! ξn+ = ( ) n+ ξ n+ ( + ξ) n+. + x = ( x) k x ] ; [ k= C est une série géométrique (de raison x ) qui converge si et seulement si x <. Pour ces valeurs de x, on peut montrer que R n (x) n et donc la série de Taylor converge vers f. 3. f(x) = sin x et a =. On obtient le développement limité suivant : sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + o(x7 ).

98 92 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET APPLICATIONS avec R n (x) = f (n+) (θx) x n+ qui converge vers lorsque n et ceci pour tout x R (n + )! car f (n+) (θx). On obtient donc la série de Taylor du sinus : 4. On montre de même que sin x = ( ) k x 2k+ (2k + )! k= x R cos x = x2 2 + x4 4! x6 6! + o(x6 ) = ( ) k x2k x R (2k)! k= 5. Soit f(x) = ln( + x) et a =. Alors f (x) = + x = f () = f (x) = ( + x) 2 = f () = f (3) 2 (x) = ( + x) 3 = f (3) () = 2. f (n) (x) = ( )n+ (n )! ( + x) n = f (n) () = ( ) n+ (n )! On obtient la série de Taylor : f( + x) = f() + f () x + f () x f (n) () x n n! = x x2 2 + x3 3 x k+ xk = ( ) k k= qui converge pour < x. Si x =, on obtient ln 2 = C est la série harmonique alternée. Dérivée d une série de Taylor Si f(x) = a k x k alors k= f (x) = On peut dériver termes à termes. k a k x k. k=

99 4.6. DÉVELOPPEMENT LIMITÉ ET SÉRIE DE TAYLOR 93 Exemple Considérons la série On a alors f (x) = x 2 + x 4 x 6 + x 8... f(x) = x x3 3 + x5 5 x série géom. = + x 2 x ] ; [ Mais est la dérivée de arctan x donc f(x) = arctan x + C. Comme f() = = + x2 arctan(), la constante C vaut. On a ainsi trouvé la série de Taylor de arctan x : Si l on pose x =, on a arctan x = x x3 3 + x5 5 x x ] ; ] 7 π 4 = Opérations sur les développements limités Soient f et g deux fonctions admettant T f n (x) et T g n(x) comme développements limités d ordre n autour de a =. Alors Tn f+g (x) = Tn f (x) + Tn(x) g T fg n (x) = T f n (x) T g n(x) (en ne gardant que les termes de degré n) Si f() =, alors Tn g f (x) = Tn(T g n f (x)). Le développement limité de f g s obtient en faisant la division du polynôme T f n (x) par le polynôme T g n(x) en commençant par les termes de degrés les plus bas. Exemples Développement limité d ordre 3 de sin(e x ) en a = : sin x = x x3 3! + o(x3 ) e x = + x + x2 2 + x3 3! + o(x3 ) = e x = x + x2 2 + x3 3! + o(x3 ) sin(e x ) = [e x ] (ex ) 3 + o(x 3 ) = [x + x2 2 + x3 3! 3! ] 6 = x + x2 2 + x3 3! 6 = x + x2 2 + o(x3 ). ) 3 (x + x o(x 3 ) ) (x x4 2 + o(x3 ) + o(x 3 )

100 94 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET APPLICATIONS 2. Développement d ordre 3 de ln( + arctan x) en a = : arctan x = x x3 3 + o(x4 ) ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 4 + o(x4 ) Donc ln( + arctan x) = arctan x arctan2 x + arctan3 x = x x3 3 ) 2 (x x3 + ) 3 (x x3 + o(x 3 ) = x x3 3 2 x2 + 3 x3 + o(x 3 ) = x 2 x2 + o(x 3 ) 3. Développement limité d ordre 3 de f(x) = cos x + x2 sin x en a = : cos x + x 2 = x2 2 + o(x3 ) + x 2 = + x2 2 + o(x3 ) Division euclidienne : sin x = x + x3 3! + o(x3 ) Donc f(x) = + x x x3 + o(x 3 ) Application : calcul de limite Le développement limité permet de calculer des limites indéterminées. Exemples : ) Le développement limité d ordre 3 du sinus est sin x = x x3 3! + o(x3 ). Alors sin x lim x x = lim x x3 3! + o(x3 ) = lim x2 x x x 3! + o(x3 ) =. x 2) De même on a cos x = x2 2 + o(x2 ) = cos x = 2 x2 + o(x 2 ) et donc cos x lim x x 2 = lim x 2 + o(x2 ) x 2 = 2.

101 4.6. DÉVELOPPEMENT LIMITÉ ET SÉRIE DE TAYLOR 95 3) sin(3x) 3 sin x 3x (3x)3 3! 3(x x3 3! lim = lim ) + o(x3 ) x x( cos x) x x[ ( x2 2 + o(x3 ))] Application aux extremums 4x 3 + o(x 3 ) = lim x x o(x4 ) 4 + o(x 3 )/x 3 = lim x 2 + o(x4 )/x = 8. 3 Soit f(x) une fonction et a un point stationnaire. On peut utiliser le développement limité de f(x) autour de a pour déterminer la nature de a et obtenir le résultat suivant : Théorème Soit f(x) C n (I) avec n 2 telle que f (a) = f (k) (a) = pour k < n et f (n) (a) = C. Alors si n est pair et C >, a est un minimum (local) ; 2 si n est pair et C <, a est un maximum (local) ; 3 si n est impair, a est un point d inflexion et donc un plat. Exemples : A) Soit f(x) = x sin x. Alors le développement limité autour de x = est f(x) = x sin x = x (x x3 3! + o(x3 )) = x3 3! + o(x3 ) On a donc f() = f () = f () = et f (3) () =. La première dérivée non nulle est la 3ème. On a donc un plat en x = par le point 3 du théorème. B) Soit f(x) = cos(x 2 ) = x4 2 + x8 4! Alors f () = f () = f (3) () = et f (4) () = 2 4! = 2. On a donc n = 4 et C = 2 < ce qui montre que x = est un maximum par le point 2 du théorème. Remarque Le développement limité de f(x) d ordre n permet de retrouver f (k) (a) pour tout k n Formule d Euler On a e x x k = k! = + x + x2 2 + x3 3! + x4 4! +... k= Si l on pose x = iα on obtient e iα = + iα + (iα)2 2 + (iα)3 3! + (iα)4 4! = α2 2 + α4 4!... ) + i (α α3 3! + α5 5!... = cos α + i sin α. +...

102 96 CHAPITRE 4. DÉRIVÉES ET APPLICATIONS On a ainsi démontré la formule d Euler : e iα = cos α + i sin α. On en déduit les 2 formules : cos α = eiα + e iα 2 sin α = eiα e iα 2i 4.7 Résolution numérique d équations : méthode de Newton On cherche à résoudre l équation f(x) = sur l intervalle I, en supposant que f C 2 (I) et f (x) pour tout x I. Soit x la solution (que l on cherche). On choisit x proche de x et on approxime la fonction f par sa tangente : Equation de la tangente : y = f (x )(x x ) + f(x ). Intersection avec l axe Ox : = f (x )(x 2 x ) + f(x ) ce qui donne x 2 = x f(x ) f (x ). En répétant la construction, on trouve la relation récurrente : x n+ = x n f(x n) f (x n ) ( ) On peut démontrer, que si x est choisi proche de x alors la suite des x n converge vers x.

103 4.7. RÉSOLUTION NUMÉRIQUE D ÉQUATIONS : MÉTHODE DE NEWTON 97 Exemples 4.4. () On cherche à résoudre l équation x = cos x. On prend f(x) = x cos x. Alors f (x) = + sin x et Si l on part avec x = 2 alors on obtient x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x n+ = x n x n cos x n + sin x n. (2) Cherchons à calculer p c, c R +, p N. On prend f(x) = x p c = f (x) = px p et l équation (*) devient x n+ = x n xp n c px p n = ( p )x n + c p x p n. Si c Q + et x est choisi dans Q +, alors les x n forment une suite rationnelle qui converge vers p c. Exemple : p = 3, c = 2. On veut approcher 3 2. L algorithme devient x n+ = 2 3 x n + 2 3x 2. n x = x 2 = 4 3 x 3 = 9 72 x 4 = x 5 = Pour x 5, l erreur est de. Problème possible : Exemple : En partant de x = , on trouve x = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = f(x) = x 3 + 2x 2 5x 6.

104

105 Chapitre 5 Calcul intégral 5. L intégrale définie 5.. Définition par sommes de Riemann Soit f C [a; b] positive. On cherche à calculer l aire S du domaine limité par le graphe de f, l axe Ox ainsi que les droites x = a et x = b. On partage l intervalle [a; b] en n intervalles I, I,...I n de façon arbitraire I k = [x k ; x k ] avec x = a et x n = b. On choisit ensuite un ξ k I k de façon toujours arbitraire. Notons x k = x k x k la largeur de l intervalle I k et soit S n = n f(ξ k ) x k k= la somme des surfaces rectangulaires déterminées par I k et f(ξ k ). C est une approximation de l aire cherchée et cette approximation est d autant meilleure que les x k sont petits et donc que le nombre d intervalles n est grand. A la limite (si elle existe), on obtiendra l aire cherchée S. On pose alors la définition suivante : Définition 5. (Fonction intégrable). La fonction f(x) est dite intégrable sur [a; b] si la limite S = lim n sup k x k S n existe et ceci indépendamment du choix des x k et des ξ k. On note cette limite b a f(x) dx. 99

106 CHAPITRE 5. CALCUL INTÉGRAL Remarque 5.2. On peut montrer, que pour qu une fonction f(x) soit intégrable, il suffit de montrer la convergence des suites S n pour deux choix particuliers des ξ n. En effet, posons M k = sup x I k f(x) m k = inf x I k f(x) Alors m k f(ξ k ) M k pour tout choix de ξ k I k et donc n m k x k k= n f(ξ k ) x k k= } {{ } =S n n M k x k. Si les termes de gauche et de droite converge vers la même limite S lorsque n et x k, alors par le théorème des gendarmes, la somme S n converge également vers S (pour tout choix des ξ k ) et f est ainsi intégrable. Remarque 5.3. Si f(x) pour tout x [a; b] et f est intégrable, alors on a Ainsi b a b a f(x) dx. f(x) dx est une aire algébrique affectée d un signe. Les domaines au-dessous de l axe Ox sont comptés négativement Propriétés de l intégrale définie () (2) a a f(x) dx = (3) Linéarité de l intégrale : b a b a f(x) dx + = c b a (αf(x) + βg(x)) dx = α (4) Si a b et f(x) g(x) x [a; b], alors b a b f(x) dx = k= c f(x) dx = b a f(x) dx a b f(x) dx a f(x) dx f(x) dx + β b a g(x) dx b a g(x) dx (5) b a b f(x) dx f(x) dx Démonstration : Ceci découle du point (4) et de l inégalité a f(x) f(x) f(x) pour tout x [a; b].

107 5.. L INTÉGRALE DÉFINIE (6) Inégalité de Schwarz : ( b 2 f(x)g(x) dx) a b a f 2 (x) dx b a g 2 (x) dx. Démonstration : Pour tout t R on a et par (3) b a b a b a (f(x) tg(x)) 2 dx ce qui donne (f 2 (x) 2tf(x)g(x) + t 2 g 2 (x)) dx f 2 (x) dx 2t b a b f(x)g(x) dx + t 2 g 2 (x) dx et ceci pour tout t. Le discriminant de cette équation du 2ème degré en t doit donc être négatif ou nul. Ainsi ( b 2 = B 2 4AC = 4 f(x)g(x) dx) 4 a b a a f 2 (x) dx b a g 2 (x) dx. Remarque 5.4. La variable d intégration est une variable muette. Son changement n affecte en rien la valeur de l intégrale : b a f(x) dx = b a f(u) du. Définition 5.5. f est continue par morceaux sur I = [a; b] s il existe I k = [x k ; x k ] k =, 2,..., n avec x = a et x n = b de telle sorte que f(x) soit continue sur chaque intervalle ouvert ]x k ; x k [, continue à gauche en x, x 2,..., x n et continue à droite en chaque x, x,..., x n. Théorème 5.6. Toute fonction continue par morceaux est intégrable. Sans démonstration Théorème fondamental du calcul intégral Dans cette section, nous allons montrer le lien entre l intégrale définie et la dérivée. Lemme 5.7 (Théorème de la moyenne du calcul intégral). Soit I = [a; b], f C (I). Alors il existe ξ I tel que b a f(x) dx = f(ξ) (b a).

108 2 CHAPITRE 5. CALCUL INTÉGRAL Démonstration : Soit m = inf f(x) et M = sup f(x). Alors x I x I et donc m (b a) b a f(x) dx M (b a). b f(x m ) = m f(x) dx M = f(x M ). b a a } {{ } =c Comme f est continue, il existe un ξ I avec f(ξ) = c par le corollaire du théorème de Bolzano (chapitre 3). Appliqué à l intervalle [x; x + h] ce lemme assure l existence d un ξ = x + θh ( θ ) avec x+h x f(t) dt = h f(x + θh). Théorème 5.8 (Théorème fondamental du calcul intégral). Soit I = [a; b] et f C (I). Posons Alors F (x) = f(x) pour tout x I. Démonstration : Reprenons la définition de la dérivée : F (x) = x a f(t) dt. F F (x + h) F (x) (x) = lim h h ( x+h = lim h h f(t) dt = lim h h h a x+h x f(t) dt x a ( ) ) f(t) dt = lim h f(x + θh) θ par (*) h = lim f(x + θh) h = f(x) car f est continue. En d autres termes, on a [ d x ] f(t) dt = f(x) dx a

109 5.2. PRIMITIVES 3 Explication intuitive : df (x) = F (x + h) F (x) = dx f(x) = df (x) dx = f(x). Théorème 5.9. Soit f(x) intégrable sur I = [a; b] et F (x) telle que F (x) = f(x). Alors b a f(x) dx = F (b) F (a) = F (x) b a Démonstration : Posons Φ(x) = x a f(t) dt. Alors par le théorème précédent, on a Φ (x) = f(x) = F (x). Ainsi Φ(x) = F (x) + c (cf. chapitre 4). Or Φ(a) = = F (a) + c = = c = F (a). Donc Φ(x) = F (x) F (a). On en déduit que Φ(b) = b a f(t) dt = F (b) F (a). Corollaire 5.. Soit f(x) une fonction continue et ϕ(x) une fonction dérivable. Alors (a) (b) 5.2 Primitives 5.2. Définition et propriétés [ d a ] f(t) dt = f(x) dx x [ ] d ψ(x) f(t) dt = f(ψ(x)) ψ (x) f(ϕ(x)) ϕ (x) dx ϕ(x) Définition 5.. Soit f(x) une fonction. Une primitive de f(x) est une fonction F (x) telle que F (x) = f(x). Remarque 5.2. Si F (x) est une primitive de f(x), alors G(x) = F (x) + c en aussi une primitive de f(x). Réciproquement, deux primitives d une même fonction ne diffèrent que d une constante (cf. chapitre 4 : f (x) = f(x) c).

110 4 CHAPITRE 5. CALCUL INTÉGRAL La section qui précède a montré que le calcul d une intégrale définie se ramène au calcul d une primitive. De ce fait, on note f(x) dx l ensemble de toutes les primitives de f(x), que l on appelle aussi intégrale indéfinie. Déterminer les primitives d une fonction est un problème difficile. Le théorème du calcul intégral montre que toute fonction continue possède une primitive. Mais il existe des fonctions analytiques continues qui n ont pas de primitives analytiques comme par exemple f(x) = e x2. Linéarité de la primitive : la linéarité de la dérivée implique celle de la primitive : αf(x) + βg(x) dx = α f(x) dx + β g(x) dx Recherche des primitives Primitives de quelques fonctions élémentaires (I) Fonctions puissances Pour q, on a x q dx = q + xq+ + C et dx = ln x + C. x (II) Fonction exponentielle : e ax dx = a eax + C. (III) Fonctions trigonométriques : sin(ax) dx = a cos(ax) + C cos(ax) dx = a sin(ax) + C (IV) etc... Recherche par calcul direct On obtient certaines primitives en transformant la fonction à intégrer de telle sorte à faire apparaître une forme connue de dérivée : Exemples 5.3. () px + q dx =?. On sait que ( px + q) = 2 dx = px + q p p 2 px + q dx = 2 p p 2. On a donc px+q p 2 px + q dx = 2 px + q + C. p

111 5.2. PRIMITIVES 5 (2) (3) cos 2 (px) dx = 2 ( + cos(2px)) dx = 2 x + sin(2px) + C. 4p x 2 + x + x 3 + x dx = x x x(x 2 + ) dx = x + x 2 dx = ln x + arctan(x) + C. + Plus généralement, comme (F (g(x))) = F (g(x)) g (x), on a la formule f(g(x)) g (x) dx = F (g(x)) + C (5.) où F (u) est une primitive de f(u). Une méthode pour intégrer est donc de mettre l intégrant sous la forme f(g(x)) g (x) en sachant trouver une primitive de f. Il est donc important lors du calcul d une intégrale de repérer les dérivées internes (= g (x)). Exemples 5.4. () x x 2 + dx = 2 2x x 2 + dx = 2 2x(x 2 + ) 2 dx = 2 (x2 + ) /2 2 + C = x C. On a utilisé le principe précédent avec f(u) = u et g(x) = x 2 + = g (x) = 2x. (2) On veut calculer cos x sin 3 x dx. On voit que cos x est la dérivée de sin x. On pose donc g(x) = sin x et f(u) = u 3 dont on connaît une primitive : F (u) = 4 u4. Alors cos } {{ x} sin } {{ 3 x} dx = F (g(x)) + C = 4 sin4 x + C. g (x) f(g(x)) En appliquant la formule 5. à des fonctions f particulières, on obtient les formules suivantes : (I) g (x)e g(x) dx = e g(x) + C. (II) (III) (IV) g (x) g(x) dx = ln g(x) + C. g (x)[g(x)] α dx = α + [g(x)]α+ + C α. g (x) + g 2 dx = arctan[g(x)] + C. (x)

112 6 CHAPITRE 5. CALCUL INTÉGRAL (V) g (x) cos(g(x)) dx = sin[g(x)] + C. (VI) etc... Intégration par parties On sait que (fg) = f g + fg ce qui donne f g = (fg) fg. En intégrant des deux côtés on obtient la règle d intégration par parties : f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx. (I.P.P.) Exemples 5.5. () xe x dx I.P.P. = xe x e x dx = xe x e x + C = e x (x ) + C. (2) avec f = e x et g = x. ln x dx = x(ln x ) + C (cf. exercices) (3) sin(x)e x dx I.P.P. = sin(x)e x cos(x)e x dx [ ] I.P.P. = sin(x)e x cos(x)e x sin(x)e x dx = (sin x cos x)e x sin(x)e x dx On obtient (en passant le terme sin(x)e x dx de l autre côté) 2 sin(x)e x dx = (sin x cos x)e x et donc sin(x)e x dx = 2 (sin x cos x)ex + C. (4) arctan x dx = arctan x dx I.P.P. = x arctan x x + x 2 dx = x arctan x 2 ln( + x2 ) + C en posant f = et g = arctan x.

113 5.2. PRIMITIVES 7 Intégration par changement de variable Théorème 5.6. Soit f(x) une fonction continue sur un intervalle I et φ : [α; β] I une fonction de classe C avec a = φ(α) et b = φ(β). Alors b a f(x) dx = β α f(φ(t)) φ (t) dt La transformation x = φ(t) s appelle un changement de variable. On effectue donc les trois substitutions suivantes : (i) x = φ(t) (ii) dx = φ (t) dt Démonstration : Soit G(x) = corollaire 5., on a (iii) ET on change les bornes d intégration. φ(x) a f(t) dt et g(x) = f(φ(x)) φ (x). Alors par le G (x) = f(φ(x)) φ (x) = g(x). La fonction G(x) est donc une primitive de g(x). Il s ensuit que β g(t) dt = G(t) = G(β) G(α) ce qui donne β α α f(φ(t)) φ (t) dt = φ(β) a β α f(x) dx φ(α) a f(x) dx = φ(β) φ(α) f(x) dx. Remarque 5.7. Ce changement de variable est également valable pour calculer une primitive de f(x) à condition de pouvoir inverser la fonction φ(t) c est-à-dire de pouvoir écrire t = φ (x). Exemples Calculons J = On pose avec π 2 < t < π 2. ( + x 2 ) + x 2 dx. Et comme tan() = et tan ( ) π 4 =, on a J = = π 4 π 4 x = tan t = dx = ( + tan 2 t) dt ( + tan 2 t) + tan 2 t ( + tan2 t) dt = cos t π 4 dt = cos t dt = sin t π/4 = 2 2. π 4 cos 2 t dt

114 8 CHAPITRE 5. CALCUL INTÉGRAL Comme φ est inversible sur l intervalle considéré, cet exemple permet de trouver une primitive de f(x) = ( + x 2 ) + x. 2 En effet, on a t = arctan x, ce qui donne 2. x 3 ( x 2 ) 5/2 dx =? F (x) = sin t = sin(arctan x) + C. On a x [ ; ]. On pose x = sin t avec π 2 t π 2. On obtient x 3 ( x 2 ) 5/2 dx = = x = sin t = dx = cos t dt t = arcsin x = cos t = cos(arcsin x) = x 2. sin 3 t ( sin 2 t) 5/2 cos t dt = sin 3 t cos 5 t cos t dt sin t ( cos 2 t) cos 6 t dt = (sin t cos 6 t sin t cos 8 t) dt = 7 cos7 t + 9 cos9 t + C = 9 ( x2 ) 9/2 7 ( x2 ) 7/2 + C Intégration des fonctions rationnelles Soit f(x) = P (x) une fonction rationnelle à intégrer. Q(x) On effectue les étapes suivantes : ère étape : si deg(p ) deg(q), on effectue la division eulidienne de P (x) par Q(x) : ce qui donne P (x) R(x) = D(x) + Q(x) Q(x) P (x) = Q(x)D(x) + R(x) avec cette fois-ci deg(r) < deg(q) et D(x) intégrable. Dans la suite, on ne considére donc que les fonctions rationnelles P (x) Q(x) avec deg(p ) < deg(q) et Q(x) = x n + + a x + a normalisé. 2ème étape : On sait que Q(x) se factorise dans R en un produit de polynômes du premier degré et/ou du deuxième degré sans racines réelles : Q(x) = (x α ) m (x α p ) m p (x 2 + 2A x + B ) l (x 2 + 2A s x + B s ) l s (5.2) On décompose alors la fraction rationnelle P (x) en une somme de fractions simples, chaque Q(x) terme dans (5.2) contribuant de la manière suivante : (x α) m C x α + C 2 (x α) C m (x α) m fractions simples de ère espèce (x 2 + 2Ax + B) l D x + E x 2 + 2Ax + B + D 2 x + E 2 (x 2 + 2Ax + B) D l x + D l (x 2 + 2Ax + B) l fractions simples de 2ème espèce

115 5.2. PRIMITIVES 9 3ème étape : On intègre chaque fraction simple (cf. plus bas). Exemples pour la 2ème étape : ) x 2 + x + 4 x 4 x 3 + 2x 2 2x = x 2 + x + 4 x(x )(x 2 + 2) = C x + C 2 x + Dx + E x En multipliant (*) par x et en posant x =, on obtient x 2 + x + 4 [ (x )(x 2 = C + C 2x (Dx + E)x + + 2) x= x x = C donc C = 2. ] x= ( ) En multipliant (*) par x et en posant x =, on obtient x 2 + x + 4 [ C (x ) (Dx + E)(x ) x(x 2 = + C ) x= x x = C 2 donc C 2 = 2. En multipliant (*) par x et en faisant x, on obtient donc D =. = C + C 2 + D ] x= 2) On choisit une valeur particulière pour déterminer E. Par exemple, en posant x =, on a 4 6 = C C E ce qui donne E =. En conclusion 3 x 2 + x + 4 x(x )(x 2 + 2) = 2 x + 2 x x x 3 + 5x + 2 (x 2 ) 2 = x3 + 5x + 2 (x ) 2 (x + ) 2 = C x + C 2 (x ) 2 + C 3 x + + C 4 (x + ) 2. Multiplication par (x ) 2 et x := : 8 4 = C 2 Multiplication par (x + ) 2 et x := : 4 4 = C 4 = Multiplication par x et x : = C + C 3 On pose x = : 2 = C + C 2 + C 3 + C 4 donc = C 3 C Les 2 dernières équations donne : C 3 = et C =. Finalement x 3 + 5x + 2 (x 2 ) 2 = 2 (x ) 2 + x + (x + ) 2.

116 CHAPITRE 5. CALCUL INTÉGRAL 3ème étape : intégration des fractions simples Les fractions simples ont toutes des primitives élémentaires : Fractions simples de ère espèce : si m alors sinon (x α) m dx = (m ) (x α) m + C dx = ln x α + C x α Fractions simples de 2ème espèce : Dx + E x 2 + 2Ax + B dx = = D 2 D 2 (2x + 2A) + E DA x 2 dx + 2Ax + B 2x + 2A x 2 + (E DA) + 2Ax + B = D 2 ln(x2 + 2Ax + B) + E DA B A 2 (x + A) 2 + B A 2 dx / B A 2 ( ) 2 dx + x+a B A 2 = D 2 ln(x2 + 2Ax + B) + E DA ( x + A arctan B A 2 B A 2 Dx + E D (x 2 + 2Ax + B) 2 dx = 2 (2x + 2A) + E DA (x 2 + 2Ax + B) 2 dx = D 2x + 2A 2 (x 2 + 2Ax + B) 2 + (E DA) = D 2 x 2 + (E DA) I + 2Ax + B Il reste à calculer I = (x 2 + 2Ax + B) 2 dx. On pose u = x + A et on applique la formule suivante : (u 2 + β) 2 du = u 2β(u 2 + β) + 2β β arctan ( u β ) + C. ) + C (5.3) (x 2 + 2Ax + B) 2 dx La formule précédente peut être vérifiée directement ou s obtient par parties. Plus généralement on a la formule récurrente : (u 2 + β) n+ du = u 2nβ(u 2 + β) n + 2n 2nβ (u 2 + β) n du. Exemple complet : Calculons P (x) Q(x) dx = 7 2x 3 x 3 + x 2 2 dx.

117 5.2. PRIMITIVES ère étape : division euclidienne : 7 2x 3 = ( 2)(x 3 + x 2 2) + (2x 2 + 3) et donc 7 2x 3 x 3 + x 2 2 = 2 + 2x2 + 3 x 3 + x ème étape : On factorise Q(x) : Q(x) = x 3 + x 2 2 = (x )(x 2 + 2x + 2) Décomposition en fractions simples : 2x (x )(x 2 + 2x + 2) = C x + Dx + E x 2 + 2x + 2. Multiplication par x et x = : 5 5 = C donc C =. Multiplication par x et x : 2 = C + D donc D =. x = : 3 2 = C + E 2 donne E =. Finalement 3ème étape : Intégration 2x (x )(x 2 + 2x + 2) = x + x x 2 + 2x + 2 dx = ln x + C x x x 2 + 2x + 2 dx = 2 ln(x2 + 2x + 2) 2 arctan(x + ) + C en appliquant la formule (5.3) avec A =, B = 2, D = et E =. En mettant ces termes ensembles, on obtient P (x) Q(x) dx = 2 + 2x2 + 3 x 3 + x 2 2 dx = 2x + x dx + x x 2 + 2x + 2 dx = 2x + ln x + 2 ln(x2 + 2x + 2) 2 arctan(x + ) + C Intégration des fonctions rationnelles de fonctions trigonométriques Pour intégrer une fonction de la forme variables suivants : (a) t = sin x ou t = cos x (b) t = tan x ce qui donne sin x = P (sin x; cos x), on effectue un des changements de Q(sin x; cos x) t, cos x = + t 2 + t 2 et dx = + t 2 dt (c) t = tan x = sin x = 2t t2, cos x = 2 + t2 + t 2 et dx = 2 + t 2 dt. Le dernier changement (c) fonctionne toujours mais peut être plus compliqué que les changements (a) et (b).

118 2 CHAPITRE 5. CALCUL INTÉGRAL Exemple 5.9. tan x 2 sin 2 x dx = sin x cos x( + cos 2 x) dx = t( + t 2 ) dt = changement (a) : t = cos x et dt = sin x dx ( t t t 2 + )dt = 2 ln( + t2 ) ln t + C = 2 ln( + cos2 x) ln cos x + C Quelques autres techniques (A) a 2 b 2 x 2 Pour intégrer une fonction comportant des termes de la forme a 2 b 2 x 2 on peut parfois effectuer le changement de variable x = a b sin t = dx = a cos t dt b ce qui donne a 2 b 2 x 2 = a sin 2 t = a cos t. Exemple : x 2 dx = sin 2 t cos t dt cos = 2 t cos t dt = cos 2 t dt = 2 ( + cos(2t)) dt = 2 t + 4 sin(2t) + C 2 arcsin x + sin(2 arcsin x) + C 4 (B) a 2 + b 2 x 2 Pour des fonctions comportant un terme de la forme a 2 + b 2 x 2, on effectue le changement x = a b sinh(t) ce qui donne dx = a cosh(t) dt et b Exemple : a 2 + b 2 x 2 = a cosh 2 t = a cosh t. + x 2 dx = + sinh 2 t cosh t dt = cosh 2 t dt = = 2 t + 4 sinh t + C (t + cosh(2t)) dt 2 = 2 arcsinh x + sinh(2arcsinh x) + C 4

119 5.3. INTÉGRALES IMPROPRES 3 (C) Fonctions irrationnelles x + Exemple : x 4 3 dx =? x On pose t = 6 x = x = t 6 = dx = 6t 5 dt. Ceci donne x = t 3 et 3 x = t 2. L intégrale se transforme en une intégrale rationnelle : 5.3 Intégrales impropres 5.3. Définitions On désire calculer des termes de la forme x + x 4 3 x dx = t 3 + t 6 4t 2 6t5 dt t 6 + t 3 = 6 t 4 4 dt =... a f(x) dx. Quel sens donner à la borne? Définition 5.2. Soit f(x) une fonction bornée et continue. On appelle intégrale impropre de ère espèce une intégrale de f(x) où l une des bornes tend vers l infini. On pose Φ(ξ) = ξ a f(x) dx et l on calcule lim ξ Φ(ξ). Si cette limite existe, on définit On note parfois a a f(x) dx = F (x) a f(x) dx = lim ξ Φ(ξ). où F (x) est une primitive de f(x). Exemples 5.2. () (2) Que vaut e x dx = lim ξ ξ cos x dx? On a [ e x dx = lim e x] ξ [ = lim e ξ] =. ξ ξ ξ et la limite lim ξ sin ξ n existe pas. Donc cos x dx = sin x ξ = sin ξ cos x dx n existe pas. Définition Soit f(x) une fonction continue sur ]a; b] avec intégrale impropre de 2ème espèce l intégrale b a f(x) dx. lim = ±. On appelle x a +

120 4 CHAPITRE 5. CALCUL INTÉGRAL Si la limite existe, on pose b a b f(x) dx := lim f(x) dx. ϵ + a+ϵ On note parfois Ici F (a + ) signifie lim x a + F (x). b a f(x) dx = F (x) b a + Exemples (a) (b) L intégrale x dx = lim ϵ + n existe pas car ϵ x dx = lim ϵ + [ 2 x ] ϵ = lim ϵ +(2 2 ϵ) = 2. ϵ x dx dx = ln() ln(ϵ) = ln(ϵ) x et la limite quand ϵ + n existe pas (elle vaut + ). Définitions : Si une intégrale impropre existe, on dit qu elle converge ; sinon, elle diverge. Une intégrale impropre f(x) dx est absolument convergente si f(x) dx converge. I Ici, et dans la suite, on peut avoir I = [a; [ ou I =] ; b]. I Théorème Soit f(x) C (I). Si Démonstration : Ceci découle de l inégalité I f(x) dx converge, alors b a f(x) dx b a I f(x) dx converge. f(x) dx. Techniques d intégration Les intégrations par parties et par changement de variables s appliquent aussi aux intégrales impropres : Exemple xe x dx I.P.P. = xe x e x dx = [e x] =

121 5.3. INTÉGRALES IMPROPRES 5 Quelques remarques importantes () Pour calculer l intégrale et NON PAS + Exemple : L intégrale n existent pas. + f(x) dx = lim ξ Il est FAUX de penser que (2) Pour calculer 3 f(x) dx, il faut calculer lim ξ a ξ ξ lim f(x) dx. ξ ξ ξ f(x) dx + lim f(x) dx ξ a sin x dx n existe pas car les limites ξ ξ sin x dx et lim sin x dx ξ sin x dx = parce que sin x est impaire. dx, il faut calculer (x 2) 2 2 car la fonction a un pôle en x = 2. Or ne converge pas. Donc l intégrale 3 (x 2) 2 dx + 2 (x 2) 2 dx 2 3 x 2 (x 2) 2 dx = dx ne converge pas. (x 2) 2 Le calcul 3 (x 2) 2 dx = 3 x 2 = 2 = 3 2 est FAUX Critères de convergence Comme pour les séries, on a un critère de comparaison : Théorème Soient f(x) et g(x) deux fonctions telles que f(x) g(x) sur I. ) Si l intégrale g(x) dx converge, alors l intégrale f(x) dx converge. I I 2) Si l intégrale f(x) dx diverge alors l intégrale g(x) dx diverge. I I Ce théorème est très utile avec les résultats suivants :

122 6 CHAPITRE 5. CALCUL INTÉGRAL Théorème Donc l intégrale b b { x r dx = r b r si r < + si r. dx converge si et seulement si r <. xr Démonstration : Pour r, on a b x r dx = r x r Si r =, on a b x dx = ln x b = +. b = { r b r si r < + si r >. Exemple : le critère de comparaison permet d affirmer que l intégrale converge car x(x 2 + ) = x x 2 pour x ]; 2]. 2 x(x 2 + ) dx Théorème Soient a > et r >. Alors { + si r a x r dx = r a r si r >. Ainsi a dx converge si et seulement si r >. xr Démonstration : Pour r, on a x r dx = r x r Pour r =, on a a a [ x dx = ln x Application : soit f(x) = P (x) x a. Alors a et diverge sinon. Q(x) ] a a = +. f(x) dx converge lorsque { + si r < = r a r si r >. une fonction rationnelle. Supposons que Q(x) pour deg(q) deg(p ) 2 Exemple : et x x( + cos 2 x) x + x 2 dx > + x 2 dx + x 2 dx diverge car deg( + x 2 ) deg(x) = 2.

123 5.4. APPLICATION : CALCUL D AIRES 7 Fonctions exponentielles Pour q > et a R on a a e qx dx = q e qx = q e aq Corollaire Pour tout p, q > et tout a R, l intégrale Démonstration : En effet, on a x p e q/2x ce qui implique, qu il existe N N tel que a x x p < e q/2x x N. a x p e qx dx converge. Donc x p e qx < e q/2x. Le critère de comparaison implique la convergence de l intégrale considérée. 5.4 Application : calcul d aires 5.4. Aire entre 2 courbes Nous avons vu que l aire du domaine limité par Ox et y = f(x) entre a et x est donné par A(x) = x a f(t) dt = A (x) = f(x) da dx = f(x) da = f(x)dx = ydx. ( ) da est l élément différentiel d aire et on a A = da. Si f(x) g(x) sur le domaine considéré, alors l aire du domaine limité par y = f(x) et y = g(x) entre a et b est donné par b a [ f(x) g(x) ] dx. ATTENTION : si le graphe de f coupe celui de g, il faut faire attention au signe. Dans certains cas, il est plus simple d intégrer en fonction de la variable y, les bords du domaine étant alors des fonctions de y. On a la formule symétrique : da = x(y) dy.

124 8 CHAPITRE 5. CALCUL INTÉGRAL Exemple : calculons l aire du domaine compris entre la droite x + y = et la parabole y 2 = 2y x. On calcule d abord les points d intersection : O(; ) et I( 3; 3). On exprime les bords comme des fonctions de la variable y : droite : x = y = g (y) parabole : x = 2y y 2 = g 2 (y). Alors da = [g 2 (y) g (y)] = [ (2y y 2 ) ( y) ] dy = ( 3y y 2) dy et l aire est donc A = da = y=3 y= 3y y 2 dy = [ 3 2 y2 ] 3 3 y3 = 9 2. Représentation paramétrique Supposons qu une courbe soit donnée sous forme paramétrique : { x = x(t) y = y(t) Alors ẋ(t) = dx dt = dx = ẋ(t) dt. La formule (*) devient da = y dx = y(t)ẋ(t) dt et l aire entre t = t P et t = t Q vaut alors A = tq t P y(t)ẋ(t) dt. Exemple : la cycloïde La trajectoire d un point d un cercle roulant sur une droite est donnée par la cycloïde : { x(t) = R(t sin t) Calculons l aire d un arc de cycloïde. y(t) = R( cos t)

125 5.4. APPLICATION : CALCUL D AIRES 9 On a ẋ(t) = R( cos t). Alors Rappel : A = et donc par symétrie 2π y(t)ẋ(t) dt = 2π R( cos t)r( cos t) dt 2π = R 2 ( 2 cos t + cos 2 t ) dt = R 2 (2π + π) = 3πR 2 2π 2π cos 2 t + sin 2 t dt = cos 2 t dt = π. 2π dt = 2π Domaine fermé Soit D un domaine fermé dont la frontière est définie par { x = x(t) y = y(t) pour t [t ; t 2 ]. On a t < t D < t G < t 2. A D = = = xd x G tg t D t2 t xd y + dx yẋ ẋy dt t2 t G x G y dx = yẋ td t td t G yẋ ( t2 td ) y(t)ẋ(t) dt y(t)ẋ(t) dt + y(t)ẋ(t) dt t G t En intégrant selon y, c est-à-dire en prenant da = xdy, on obtient A D = t2 t xẏ dt.

126 2 CHAPITRE 5. CALCUL INTÉGRAL En additionnant les 2 formules et en divisant par 2, on obtient A = 2 (xẏ ẋy) dt. = intégrale curviligne = t2 t... dt où [t ; t 2 ] parcourt le bord de D dans le sens trigo une et une seule fois. Exemple : Aire de la boucle de la courbe Γ : y 3 xy 2 + x 4 = Paramétrisation : si l on pose y = tx, on obtient t 3 x 3 t 2 x 3 + x 4 x 3 [ (t 3 t 2 ) + x ] = et donc { x = t 2 t 3 = ce qui donne y = t 3 t 4 t = (; ) t = (; ) Et pour < t <, on a x > et y >. Donc si t parcourt l intervalle [; ], on parcourt le bord de D une et une seule fois. Alors A = 2 = 2 (xẏ ẋy) dt = 2 t 4 ( t) 2 dt = = 2. (t 2 t 3 )(3t 2 4t 3 ) (2t 3t 2 )(t 3 t 4 ) dt Surfaces sectorielles Domaines limités par un arc P Q et par les segments OP et OQ. Alors A = 2 tq t P (xẏ ẋy) dt

127 5.4. APPLICATION : CALCUL D AIRES 2 Démonstration : Paramétrisation de OP : { x = t (pente = m) = y = mt Idem pour QO : xẏ ẋy =. { ẋ = ẏ = m = xẏ ẋy = mt mt = Donc (xẏ ẋy) dt = = + OP P Q QO Q P + = Q P xẏ ẋy. Exemple : secteur d une ellipse d équation : { x = a cos t y = b sin t Alors A = 2 tq t P (a cos t b cos t + a sin t b sin t) dt = 2 ab (t Q t P ). Si t = et t = 2π, on obtient l aire de l ellipse : A ellipse = πab. Coordonnées polaires Si l arc P Q est donnée en coordonnées polaires ρ = ρ(φ), alors x = ρ cos φ et y = ρ sin φ donne ẋ = ρ cos φ ρ sin φ et ẏ = ρ sin φ + ρ cos φ. L aire est égale alors à A = 2 = 2 = 2 = 2 Q P φq φ P φq φ P φq φ P (xẏ ẋy) dφ ρ cos φ ( ρ sin φ + ρ cos φ) ρ sin φ ( ρ cos φ ρ sin φ) dφ ρ 2 (cos 2 φ + sin 2 φ) dφ ρ 2 (φ) dφ.

128 22 CHAPITRE 5. CALCUL INTÉGRAL Explication intuitive : L aire du triangle infinitésimal est égale à da = 2 base hauteur 2 ds ρ = 2 ρ dφ ρ = 2 ρ2 dφ. Exemple : Aire du domaine hachuré de la spirale hyperbolique : ρ = a φ. ( A = π a 2 ) ( 3π 2 π/4 φ 2 dφ a 2 9π/4 φ 2 dφ = a2 2 φ π π/ ) = 3 9π a Longueur d arc Soit Γ : y = f(x) une courbe avec f dérivable. On note s la longueur d arc de Γ entre le point P et le point Q. On approxime l arc P Q par une suite de cordes P k P k+. Longueur de la corde P k P k+ : P k P k+ = l k = Si l on divise l arc en n cordes alors on a s n = n l k = k= x 2 k + y2 k n n ( ) 2 x 2k + y2k = yk + x k ( ) x k k= k=

129 5.4. APPLICATION : CALCUL D AIRES 23 Lorsque n et x k, y k alors y k x k dy dx = y et la série (*) a comme limite s = xq x P + y (x) 2 dx = xq x P + f (x) 2 dx De s(x) = x a + f (x) 2 dx on en déduit s (x) = ds dx = + f (x) 2 et donc ds = s (x) dx = dx 2 + dy 2 ( ) ds = élément différentiel de longueur d arc. Si la courbe est sous forme paramétrique : Γ : { x = x(t) y = y(t) = { dx = ẋ(t) dt dy = ẏ(t) dt la formule (**) devient ds = ẋ(t) 2 + ẏ(t) 2 dt et ainsi s = tq t P ẋ(t) 2 + ẏ(t) 2 dt Exemple 5.3. Longueur d une ellipse : avec < a < b. Γ : x2 a 2 + y2 b 2 = Paramétrisation : Alors la longueur vaut : { x = a cos t y = b sin t. = { ẋ = a sin t ẏ = b cos t L = = b 2π 2π 2π a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t dt = b k 2 sin 2 t dt (a ) 2 sin 2 t + cos 2 t dt où k 2 = ( a b ) 2. Cette intégrale n est pas élémentaire : on ne peut la calculer qu avec des méthodes numériques. b

130 24 CHAPITRE 5. CALCUL INTÉGRAL Longueur en coordonnées polaires Soit Γ : ρ = ρ(φ) donnée en coordonnées polaires. Alors les équations x = ρ cos φ et y = ρ sin φ donnent, comme précédemment, ẋ = ρ cos φ ρ sin φ et ẏ = ρ sin φ + ρ cos φ. L élément différentiel de longueur vaut alors ds = ẋ 2 + ẏ 2 dφ = = ρ 2 (φ) + ρ 2 (φ) dφ et la longueur entre les points P et Q vaut s = φq φ P ρ 2 (φ) + ρ 2 (φ) dφ. Exemple : Longueur de la cardioïde : ρ = a( + cos φ) avec a >. φ=2π π L = a 2 ( + cos φ) 2 + a 2 sin 2 φ dφ = 2a cos φ φ= } {{ } =4 cos 2 φ 2 π = 2a 2 cos φ π 2 dφ = 4a cos φ 2 dφ = 8a sin φ π = 8a. 2 dφ 5.5 Calcul des volumes 5.5. Cas où l aire des sections est connue On suppose que l aire A de la section de ce corps par chaque plan horizontaux est connue ; elle est alors fonction de z : A = A(z). Le volume du domaine du corps limité par 2 plans très proches z = z k et z = z k + z k est approximativement égale au volume du cylindre de base A(z k ) et de hauteur z k. Ainsi V k = A(z k ) z k

131 5.5. CALCUL DES VOLUMES 25 En partageant ainsi la hauteur du corps en n intervalles, on obtient : n V n = A(z k ) z k. k= C est une somme de Riemann et l on peut faire tendre n vers l infini. Si la limite existe, on obtient zmax V = lim V n = A(z) dz. n z min Exemples 5.3. () Volume d un cône de base quelconque B et de hauteur h. Comme B et B(z) sont homothétiques, on a pour tout z [; h] : B(z) ( z ) 2 B = = B(z) = B h h 2 z2. Donc h h B V = B(z) dz = h 2 z2 dz = B h 2 h 3 z3 = 3 B h. (2) Volume de l ellipsoïde : x2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 =. Dans chaque plan, z = z, la section est une ellipse d équation : = x 2 a 2 + y2 x 2 (aδ ) 2 + b 2 = z2 c 2 = δ2 y2 (bδ ) 2 = L aire de chaque ellipse vaut ( ) A = π(aδ )(bδ ) = πabδ 2 = πab z2 c 2 ) = A(z) = πab ( z2. c 2

132 26 CHAPITRE 5. CALCUL INTÉGRAL On obtient pour le volume : c ) V = πab ( z2 dz = 2πab c c 2 c ) ( z2 dz = 2πab Si a = b = c = R, l ellipsoïde est une sphère de volume V = 4 3 πr3. c 2 ) (z z2 c 3c 2 = 4 3 πabc Corps de révolution Considérons une courbe Γ : y = f(x) On peut générer un volume en faisant tourner le domaine D autour de l axe Ox : alors et donc le domaine D autour de l axe Oy : dv = πy 2 dx x2 V = π f 2 (x) dx. x dv = πx 2 dy ce qui donne ou également car dy = f (x) dx. V = π y2 y [g(y)] 2 dy x2 V = π x 2 f (x)dx x } {{ } =dy Si le domaine est limité par deux courbes f et g (voir dessin), alors V = π f 2 (x) g 2 (x) dx.

133 5.5. CALCUL DES VOLUMES 27 Exemple y = f(x) = 2x 3 entre O(; ) et P (; 2). Rotation autour de l axe Ox du domaine D : V = π 4x 6 dx = 4 7 π. ( y ) /3 Rotations autour de l axe Oy du domaine D : x = f (y) = g(y) = et h(y) =. 2 Alors y=2 2 ( ( y 2/3 V = π h(y) 2 g(y) 2 dy = π dy = π y y= 2) 2 2/3 3 ) 2 5 y5/3 = π(2 6 5 ) = 4π 5. Courbes paramétriques { x = x(t) Γ : y = y(t) dv = πy 2 (t)ẋ(t) dt (rotation autour de l axe Ox) dv = πx 2 (t)ẏ(t) dt (rotation autour de l axe Oy) Si pour t [t ; t 2 ], le domaine limité par Γ est fermé et entièrement situé d un côté de l axe, alors le volume du corps de révolution est V = π Exemple : Volume du tore : t2 t y 2 (t)ẋ(t) dt. { x = R + r cos t y = r sin t Alors (axe de rotation = axe Oy) 2π V = π x 2 ẏ dt = π (R + r cos t) 2 r cos t dt = πr = πr( + 2Rr π + ) = 2π 2 Rr 2. t [; 2π] 2π (R 2 cos t + 2Rr cos 2 t + r 2 cos 3 t) dt

134 28 CHAPITRE 5. CALCUL INTÉGRAL 5.6 Surface de révolution Rotation autour de l axe Ox On considère à nouveau une courbe Γ : y = f(x) que l on fait tourner autour de l axe Ox. On engendre ainsi une surface de révolution dont on veut déterminer l aire. Pour ce faire, on divise Γ en n cordes P k P k. Chaque segment P k P k engendre, en tournant, une surface qui est égale à s k = 2π f(x k) + f(x k ) l k 2 ( ) 2 yk où l k est la longueur de la corde P k P k. Or, on a montré que l k = + x k. x k Donc n n S n = s k = 2π f(x ( ) k ) + f(x k ) 2 yk + x k. 2 x k k= k= En faisant tendre n vers l infini, on obtient, si la limite existe xq S = 2π f(x) + f (x) 2 dx. x P L élément différentiel de surface est ds = 2πy ds = 2πy dx 2 + dy 2 = 2πf(x) + f (x) 2 dx où ds = élément différentiel de longueur = dx 2 + dy 2 dx. Rotation autour de l axe Oy Par analogie, la rotation autour de l axe Oy donnera la surface S = 2π xq x P x + f (x) 2 dx. Ici, on a ds = 2πx ds

135 5.7. CONVERGENCE DES SÉRIES : CRITÈRE INTÉGRAL 29 Exemples ) Miroir parabolique : soit y = x 2 un arc de parabole avec x. La rotation autour de Oy donne un miroir parabolique. Sa surface vaut S = 2π 2) Surface d une sphère. On a Γ : x + 4x 2 dx = π ( + 4x2 ) 3/2 { x = R cos φ y = R sin φ φ [; π 2 ]. = π 6 (5 5 ). S = 2 = 4π ds = 2 2π π/2 π/2 R cos φ R dφ = 4πR 2. x ẋ(φ) 2 + ẏ(φ) 2 dφ 5.7 Convergence des séries : critère intégral Considérons la série à termes positifs u n. n= Posons f(n) = u n et prolongeons la fonction discrète f(n) aux valeurs réelles x >. La condition nécessaire de convergence de la série est que u n ce qui implique que f(x).

136 3 CHAPITRE 5. CALCUL INTÉGRAL Om impose de plus que f(x) soit décroissante. Alors la somme partielle s n = u + u u n est la somme des aires des rectangles de base et de hauteur f(n). Comme f(x) décroît, on a et donc De même, s n > 2 u n > f(x) dx + + n+ n n+ n u n+ = f(n + ) < f(x) dx f(x) dx = n+ n n+ f(x) dx d où 2 n+ s n+ < u = u + n Si l on fait tendre n vers l infini, on obtient le critère suivant : si I = si I = f(x) dx diverge, alors s n > n+ f(x) dx. f(x) dx. f(x) dx : la série diverge f(x) dx converge, alors lim n s n+ = s < u + I : la série converge Applications Les séries (r > ) converge si r > et diverge sinon. nr Exemples : ) Que peut-on dire de k ln k? k=2 Posons f(x) = x ln x. On a bien f(x) décroissante car f = (ln x + ) < si x 2. (x ln x) 2 [ ] f(x) dx = x ln x dx = ln ln x = On en déduit que la série diverge. 2 2) Prenons k(ln k) 2. k=2 Alors f(x) = est décroissante et x(ln x) 2 2 f(x) dx = On en déduit que la série converge. 2 x (ln x) 2 dx = (ln x) = 2 ln 2 lim ξ ln ξ = ln 2.

137 Chapitre 6 Equations différentielles ordinaires 6. Introduction et définitions Cherchons toutes les fonctions y = f(x) satisfaisant l équation fonctionnelle f (x) + f(x) = ( ) En essayant, on trouve que f(x) = e x satisfait l équation ( ). Y a-t-il d autres solutions? Par linéarité, f(x) = Ce x est aussi une solution pour tout C R. On verra plus tard que toute solution de ( ) est de la forme Ce x. L équation ( ) est une équation différentielle du er ordre = équation reliant une fonction inconnue f(x) et sa dérivée f (x). Définition 6.. Plus généralement, une équation différentielle d ordre n est une équation Φ(x, y, y,..., y (n) ) = faisant intervenir une variable x, une fonction inconnue y = y(x) et ses dérivées y (x), y (x),...y (n) (x) jusqu à l ordre n. Exemples Circuit électrique RLC série : Notons q(t) la charge sur la capacité. Alors le courant est la dérivée de la charge : I(t) = q(t). résistance R : U R = RI(t) = R q(t) 3

138 32 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES inductance L : U L = L di(t) = L q(t) dt capacité C : q = CU C U = U(t) : tension de la source. Alors on doit avoir U R + U C + U L = U(t) ce qui donne C est une équation différentielle d ordre 2. R q(t) + q(t) + L q(t) = U(t). C 2. En mécanique newtonnienne on a l équation F = ma. Soit t le temps, y(t) la position, ẏ(t) la vitesse et ÿ(t) l accélération. Si on suppose que la force dépend du temps, de la position et de la vitesse F = F (t, y, ẏ), on doit résoudre l équation différentielle du 2ème ordre : mÿ = F (t, y, ẏ) Remarque 6.3 (Conditions initiales). Pour résoudre une équation différentielle, on fait une intégration : la solution générale contient donc une (ou plusieurs) constante(s) C, C 2,...C n. Souvent, à l équation différentielle Φ(x, y, y,..., y (n) ) = s ajoute une condition initiale y(x ) = y, y (x ) = v,..., y (n ) (x ) = b. Cette condition initiale impose la valeur des constantes C i : on parle de solution particulière. 6.2 Equation différentielle du premier ordre Forme générale : Φ(x, y, y ) =. Sous des hypothèses très larges, on peut écrire C est la forme normale. y = ϕ(x, y) 6.2. Equation séparable Si y = ϕ(x, y) = f(x)g(y) on dit que l équation différentielle est séparable. On a alors g(y) y = f(x) = = g(y) dy = g(y) f(x) dx Le problème se ramène à 2 intégrations. dy dx = f(x) = dy = f(x) dx g(y)

139 6.2. EQUATION DIFFÉRENTIELLE DU PREMIER ORDRE 33 Exemples xy 2y = = y = 2y x = x 2y = dy dx = 2 x y = y dy = 2 x dx = y dy = 2 x dx = ln y = 2 ln x + c = y = x2 e c = y = C x 2 C R (solution générale) Si de plus on veut y() = 2, alors y(x) = 2x y = ( + 2x) + y 2 = dy dx = ( + 2x) + y 2 = = arcsinh (y) = x + x 2 + C = y(x) = sinh(x + x 2 + C) solution générale Si l on veut par exemple y() = alors y(x) = sinh(x + x 2 ). Equation autonome dy = + y 2 ( + 2x) dx Un cas particulier d équation séparable est celui des équations dites autonomes : y = g(y). L équation est indépendante de x. On a alors Après intégration on obtient dy dx = g(y) = dy = dx. g(y) g(y) dy = x + C ( ) Exemple : résoudre y = y 2 + y. Alors dy y 2 +y = dx. Or y 2 + y dy = y y + dy = ln y ln + y = ln y y + L équation ( ) devient ln y = x + c ce qui donne y+ y y + = ±ec e x = Ce x C R Cette équation implicite se résoud pour donner y(x) = C e x = C e x C

140 34 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES Equation homogène en x et y Définition 6.5. On dit que ϕ(x, y) est homogène de degré en x et y si ϕ(tx, ty) = ϕ(x, y) pour tout t R. Exemples ϕ(x, y) = x3 + xy 2 y 3 + x 2 y est homogène de degré ( degré 3 degré 3 ) car ϕ(tx, ty) = t3 x 3 + txt 2 y 2 t 3 y 3 + t 2 x 2 ty = x3 + xy 2 y 3 + x 2 y = ϕ(x, y). 2. ϕ(x, y) = xy n est pas homogène de degré car ϕ(tx, ty) = t 2 xy ϕ(x, y) 3. ϕ(x, y) = x + y xy n est pas homogène car ϕ(2x, 2y) = 2x + 2y 4xy = x + y 2 xy ϕ(x, y). Résolution : On effectue le changement de fonction y(x) = u(x) x = y = xu + u et ceci nous ramène à une équation séparable en x et u(x). Exemple : y = xy x 2 homogène de degré. + y2 En posant y = ux et donc y = u x + u, on obtient u x + u = x 2 u x 2 + u 2 x 2 = u + u 2 = u = [ x = + u2 u 3 du = dx = x = ln u = ln x + c. 2u2 Comme u = y, on trouve x ] u + u 2 u + u2 u 3 du = = du x dx dx = [ x u3 + u 2 ] x 2 2y 2 = ln x + ln y/x + c = ln y + c = /2y 2 ex2 = y }{{} e c. =C On obtient finalement Cy = e x2 /2y 2 C est une forme implicite impossible à résoudre sous la forme y = f(x).

141 6.2. EQUATION DIFFÉRENTIELLE DU PREMIER ORDRE Equation linéaire Une équation différentielle du premier ordre linéaire est (sous forme normale) : y + a(x)y = b(x) ATTENTION : elle est linéaire en y et y ; pas en x. Le terme b(x) est appelé le second membre. Si b(x) =, l équation est dite homogène. Sinon elle est inhomogène ou avec second membre. Exemples 6.7. y + cos x x y = 2x2 est linéaire inhomogène avec a(x) = cos x x y y + xy = 2x n est pas linéaire e x y + 4x 3 y = est linéaire homogène : y + 4x3 }{{} e x y = =a(x) et b(x) = 2x 2 Pour résoudre une équation linéaire, on procède en 2 étapes : (I) d abord on résoud l équation homogène (en posant b(x) = ) ; (II) puis on résoud l équation avec second membre. (I) Equation homogène Soit y (x) + a(x)y =. = = dy dx = a(x)y = dy = a(x)dx y dy = ln y = a(x) dx = A(x) + c y où A(x) est une primitive de a(x). Ceci donne finalement Solution générale de l équation homogène : y h (x) = C e A(x) C R On note w(x) = e A(x). Exemple 6.8. y + x 2 y =. On a a(x) = x 2 = A(x) = x 3 /3 ce qui donne y = Ce x3 /3

142 36 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES (II) Equation inhomogène (avec second membre) Théorème 6.9 (Théorème ). La solution générale de l équation inhomogène y + a(x)y = b(x) s écrit comme la somme de la solution générale de l équation homogène et d une solution particulière de la solution inhomogène. Dém : Soit w(x) une solution de l équation homogène et y P (x) une solution particulière de la solution inhomogène. Alors [w(x) + y P (x)] + a(x) [w(x) + y P (x)] = w (x) + a(x)w(x) + y P (x) + a(x)y } {{ } P (x) = b(x) } {{ } = =b(x) ce qui montre que w(x) + y P (x) est une solution de l équation inhomogène. Réciproquement, soit z (x) et z 2 (x) deux solutions de l équation inhomogène. Alors [z (x) z 2 (x)] + a(x) [z (x) z 2 (x)] = z (x) + a(x)z (x) [z 2(x) + a(x)z 2 (x)] = b(x) b(x) = ce qui montre que w(x) = z (x) z 2 (x) est solution de l équation homogène et donc que z (x) = w(x) + z 2 (x). Résolution de l équation avec second membre : Il reste à trouver une solution particulière de l équation y + a(x)y = b(x). Pour cela on utilise la A : Méthode des essais On essaie une solution de la forme y P (x) = K f (x) + K 2 f 2 (x) + + K n f n (x) où les f i sont choisies relativement à la forme du second membre b(x). Exemples 6... y + y = e x + sin x () On essaie y P (x) = K e x + K 2 sin x + K 3 cos x que l on introduit dans (). On obtient K e x + K 2 cos x K 3 sin x + K e x + K 2 sin x + K 3 cos x = e x + sin x ce qui donne K = 2 et le système { dont la solution est K 2 = 2 et K 3 = 2. Une solution particulière est donc K 2 + K 3 = K 2 K 3 = y P (x) = 2 (ex + sin x cos x).

143 6.2. EQUATION DIFFÉRENTIELLE DU PREMIER ORDRE y + 2y = 2e 2x (2) On essaie y P (x) = Ke 2x. Introduit dans (2), ceci donne qui est impossible. Le choix est mauvais. 2Ke 2x + 2Ke 2x = 2e 2x 3. 2xy + y = x 2 x. On essaie y P (x) = K x 2 + K 2 x. Ceci donne 2x (2K x + K 2 ) + K x 2 + K 2 x = x 2 x et donc 5K = et 3K 2 =. Une solution particulière est donc y P (x) = 5 x2 3 x. Si la méthode des essais ne marche pas, on applique la méthode générale : B : Méthode de la variation des constantes On cherche une solution particulière en posant y P (x) = c(x)w(x) où w(x) = e A(x) est la solution de l équation homogène et c(x) une fonction à trouver. En introduisant y P et y P dans l équation y (x) + a(x)y(x) = b(x) on obtient c (x)w(x) + c(x)w (x) + a(x)c(x)w(x) = b(x) ce qui devient, en utilisant le fait que w (x) + a(x)w(x) =, c (x)w(x) = b(x) Finalement c (x) = b(x) w(x) ce qui montre que c(x) est une primitive de b(x)e A(x). En résumé, une solution particulière de l équation y + a(x)y = b(x) est donnée par y P (x) = c(x)e A(x) avec c(x) = b(x) w(x) dx = b(x)e A(x) dx.

144 38 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES Exemples 6... Résoudre l équation a(x) = y + x x } + {{ x 2 y = } ( + x 2 ) 2. } {{ } =a(x) =b(x) x + x 2 = A(x) = 2 ln( + x2 ). (I) Equation homogène : w(x) = e A(x) = e 2 ln(+x2) = La solution générale de l équation homogène est donc y h (x) = Cw(x) = C + x 2. + x 2. (II) Equation avec second membre : b(x) c(x) = w(x) dx = x + x ( + x 2 ) 2 2 dx = x ( + x 2 ) 3/2 dx = + x 2 et alors une solution particulière de l équation inhomogène est donnée par La solution générale est alors 2. Résoudre y P (x) = c(x)w(x) = = + x 2 + x 2 + x 2. y(x) = Cw(x) + y P (x) = C + x 2 + x 2 C R. y + y = e } x + {{ sin x }. =b(x) (I) Equation homogène : y + y = = w(x) = e x (II) Equation inhomogène : b(x) c(x) = w(x) dx = e x (e x + sin x) dx = 2 e2x + 2 ex (sin x cos x) et donc y P (x) = w(x)c(x) = 2 ex + (sin x cos x) 2 Finalement, la solution générale est y(x) = Cw(x) + y P (x) = Ce x + 2 ex + (sin x cos x) Résoudre Forme normale : xy 2y = x 2 x. y 2 x y = x

145 6.2. EQUATION DIFFÉRENTIELLE DU PREMIER ORDRE 39 avec a(x) = 2 x et b(x) = x. (I) Equation homogène : y 2 x y =. A(x) = a(x) dx = 2 ln x = w(x) = e A(x) = e 2 ln x = x 2 et la solution générale de l équation homogène est y h (x) = Cw(x) = Cx 2. (II) Solution particulière de l équation inhomogène : b(x) c(x) = w(x) dx = (x ) dx = x2 x x 2 dx = ln x + x Une solution particulière est donc La solution générale est alors y P (x) = w(x)c(x) = x 2 (ln x + x ) = x + x2 ln x. y(x) = y h (x) + y P (x) = Cx 2 + x + x 2 ln x C R ( Equation du type y = ϕ ax+by+c dx+ey+f On se ramène à une équation homogène de degré en posant { x = ξ + α nouvelle variable y = u + β nouvelle fonction = y = u { aα + bβ + c = où α et β satisfont le système : dα + eβ + f = ) Exemple 6.2. = y = 2x + y +. 4x + y { 2α + β + = = α = 4α + β = 2, β = 2 On pose donc { x = ξ + 2 y = u 2 L équation devient (avec y = u ) u = 2ξ + u = ψ(ξ, u) 4ξ + u ( ) C est une équation homogène de degré car ψ(tξ, tu) = ψ(ξ, u). Résolution de ( ) : on pose u = ξv = u = v + ξv. On obtient C est une équation séparable. v + ξv = 2ξ + ξv 4ξ + ξv = 2 + v 4 + v

146 4 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES Equation de Bernoulli On divise l équation par y n pour obtenir y = f(x)y + g(x)y n n y y n = f(x) y y n + g(x) On pose u(x) = y n = y n. Alors u = ( n) y n y = ( n) y y n. L équation devient n u = f(x)u + g(x) qui est une équation différentielle linéaire (en u(x)). 6.3 Equation différentielle du 2ème ordre Forme générale : Φ(x, y, y, y ) = Forme normale : y = ϕ(x, y, y ) 6.3. Equation sans terme y Si l équation ne contient pas de y y = ϕ(x, y ), on pose u = y ce qui donne u = ϕ(x, u). C est une équation du premier ordre en u(x). Ayant trouvé u(x) on intègre pour obtenir y(x) Equation autonome (sans terme x) Si l équation ne contient pas de x : ce qui donne y = ϕ(y, y ), on pose z(y) = y y = d dx y = d dx z(y) = d dy z(y) dy dx = dz dy z = z(y)z (y).

147 6.3. EQUATION DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE 4 ATTENTION : ici z (y) signifie dz dy et pas dz dx Il suffit alors de résoudre l équation du er ordre en y : z(y) z (y) = ϕ(y, z(y)). Puis, quand z(y) est trouvé, on résoud encore l équation différentielle dy dx = z(y). Exemple : résoudre Il n y a pas de x. On pose y = z(y) = y = z z yy = y 2 + y y 2. = y z z = z 2 + zy 2 = z (y) y z(y) = y En divisant par z, il ne faut pas oublier la solution z =, i.e. y = donc y = K. C est une équation du premier ordre linéaire inhomogène, avec a(y) = et b(y) = y. y On en déduit A(y) = ln y et w(y) = e A(y) = y. La solution générale est, après calculs, z(y) = Cy + y 2. On revient à x : = z = dy = Cy + y2 dx dy Cy + y 2 = dx = C ( y ) dy = dx. C + y Intégration : = C ln y = x + K = C + y y y + C = ecx+ck = De Cx Ceci donne y = D(y + C)e Cx et finalement y(x) = CDeCx De Cx = CD e Cx D D, C R. Il faut rajouter à cette solution générale la solution y = K trouvée plus haut Equation linéaire Forme générale : A (x)y + A 2 (x)y + A 3 (x)y = B(x) Forme normale : Comme pour le er ordre, y + p(x)y + q(x)y = b(x) solution générale de l équation inhomogène = solution générale de l équation homogène + une solution particulière de l équation inhomogène. (cf. Théorème )

148 42 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES (I) Equation homogène On considère l équation y + p(x)y + q(x)y = (6.) Définition 6.3. Deux fonctions y, y 2 : I R dont dites linéairement indépendantes si [αy (x) + βy 2 (x) = x I] = α = β =. Théorème 6.4. L équation (6.) possède deux solutions linéairement indépendantes y (x), y 2 (x) et toute solution y(x) de (6.) est de la forme avec C, C 2 R y(x) = C y (x) + C 2 y 2 (x) Il n y a pas de méthode générale pour résoudre (6.). Cependant, si on a trouvé une solution y (x), on peut chercher la seconde en posant y 2 = uy où u satisfait une équation différentielle du er ordre. Exemple 6.5. x 2 x + 2 y xy + y =. On remarque que y (x) = x est une solution. Posons y 2 = ux. Alors y 2 = u x + u et y 2 = u x + 2u. Dans l équation, ceci donne = x 2 x + 2 (u x + 2u ) x(u x + u) + ux = = x 3 x3 = x + 2 u x + 2 u = = u u = = v = e x = u = e x x 3 x + 2 u + ( 2x2 x + 2 x2 )u = v=u = v v = et donc y 2 = ux = xe x. La solution générale est donc, par le théorème 6.4, y(x) = C x + C 2 xe x. Un cas particulier est résoluble complètement : ce sont les

149 6.3. EQUATION DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE 43 Equations à coefficients constants Forme normale : y + py + qy = p, q R ( ) On cherche une solution de la forme y(x) = e λx. En remplaçant dans l équation, on trouve ce qui donne λ 2 + pλ + q =. Le polynôme λ 2 e λx + pλe λx + qe λx = P (λ) = λ 2 + pλ + q est appelé le polynôme caractéristique de l équation ( ). er cas : P (λ) a deux racines réelles distinctes λ et λ 2. Alors est la solution générale. y(x) = C e λ x + C 2 e λ 2x 2ème cas : P (λ) a une racine réelle double λ = λ = λ 2. Alors y (x) = e λx est une solution et en posant y 2 = uy on obtient y 2 (x) = xe λx. La solution générale est alors y(x) = C e λx + C 2 xe λx. 3ème cas : P (λ) a deux racines complexes conjuguées Alors λ = µ + ω i et λ 2 = µ ω i. e (µ±ω i)x = e µx e ±ω ix = e µx [ cos(ω x) ± i sin(ω x) ]. On en tire 2 solutions réelles linéairement indépendantes : y(x) = e µx [C cos(ω x) + C 2 sin(ω x) ] est la solution générale. ω = pulsation propre de l équation (du système). Si µ <, c est le facteur d amortissement. (II) Equations linéaires inhomogènes On sait, par le théorème 6.4, que la solution générale y(x) de l équation est de la forme y + p(x)y + q(x) = b(x) (6.2) y(x) = C y (x) + C 2 y 2 (x) + y P (x) où C y (x) + C 2 y 2 (x) est la solution générale de l équation homogène et y P (x) une solution particulière de l équation (6.2). Il reste à trouver une solution particulière à l équation (6.2).

150 44 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES A : Méthode des essais On essaie une fonction de la forme y P (x) = k α k f k (x) où les f k sont judicieusement choisies. Exemple : y + y = x 2 + sin x 2. Pour x 2 on pose : f (x) = α x 2 + α 2 x + α 3 ce qui donne 2α + (α x 2 + α 2 x + α 3 ) = x 2 = α = α 2 = α 3 = 2 = f (x) = x 2 2 Pour sin x 2, on essaie f 2(x) = α sin x 2 ce qui donne α 4 sin x 2 + α sin x 2 = sin x 2 = f 2 (x) = 4 3 sin x 2. Une solution particulière est donc y P (x) = x sin x 2 B : Méthode de Lagrange (ou variation des constantes) Soit w(x) = C y (x) + C 2 y 2 (x) la solution générale de l équation homogène où y et y 2 sont linéairement indépendantes. On cherche une solution de la forme y P (x) = φ (x)y (x) + φ 2 (x)y 2 (x) où φ (x) et φ 2 (x) sont des fonctions à déterminer. On impose en plus y φ + y 2 φ 2 = ce qui donne et (I) y P = φ y + φ 2 y 2 + φ y + φ } {{ 2y } 2 = φ y + φ 2 y 2 = y P = φ y + φ 2y 2 + φ y + φ 2 y 2 En substituant y P, y P et y P dans l équation (6.2), on obtient φ y + φ 2y 2 + φ y + φ 2 y 2 + p (φ y + φ 2 y 2) + q (φ y + φ 2 y 2 ) = b(x) φ y + φ 2y 2 [y + φ + py ] [y + qy + φ2 2 + py 2 ] + qy 2 = b(x) ( )

151 6.3. EQUATION DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE 45 Or { y + py + qy = y 2 + py 2 + qy 2 = car y et y 2 sont des solutions de l équation homogène. Donc ( ) devient φ y + φ 2y 2 = b(x) (II) Il faut donc résoudre le système linéaire (I) + (II) : { y φ + y 2φ 2 = y φ + y 2 φ 2 = b(x) qui s écrit matriciellement ( ) ( y y 2 φ y y 2 φ 2 } {{ } =M ) = ( b(x) ) Le déterminant W = det(m) s appelle le wronskien de y et y 2. Il est non nul car y et y 2 sont linéairement indépendantes. Alors ( φ φ 2 ) ( = M b(x) ) = W ( y 2 y 2 y y ) ( b(x) ) ( b(x)y2 ) = W b(x)y En intégrant ensuite φ et φ 2, on obtient φ et φ 2. Exemples y + y = sin x. On a b(x) = sin x (I) Equation homogène (à coefficients constants) : y + y = = y (x) = sin x et y 2 (x) = cos x. (II) Equation inhomogène : ( y y M = 2 y y 2 ) ( sin x cos x = cos x sin x ) et donc W = det(m) =. Alors ( ) φ = ( by2 W by φ 2 ) ( by2 = by ) = ( sin x cos x sin 2 (x) ) Intégration : = φ (x) = 2 sin2 x et φ 2 (x) = 2 x + 4 sin(2x).

152 46 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES Une solution particulière est donc y P (x) = y φ + y 2 φ 2 = sin x 2 sin2 x + cos x ( 2 x + 4 sin(2x)) = = 2 x cos x La solution générale de l équation y + y = sin x est alors y(x) = C y + C 2 y 2 + y P = C sin x + C 2 cos x 2 x cos x. 2. Résoudre xy (2x + )y + (x + )y = 2xe x Forme normale : y 2x + y + x + x x y = 2ex = b(x) = 2e x (I) Equation homogène : en essayant on trouve y (x) = e x. On pose alors y 2 = uy = ue x. Ceci donne y 2 = u e x + ue x et y 2 = u e x + 2u e x + ue x. Introduits dans l équation à résoudre, on obtient { y = e Donc x y 2 = x 2 e x xe x (u + 2u + u) (2x + )e x (u + u) + (x + )ue x = = u x u = = u = x 2 = y 2 (x) = x 2 e x. (II) Solution particulière de l équation inhomogène : ( ) ( y y M = 2 e x x y y 2 = 2 e x e x e x (x 2 + 2x) ) et donc W = det(m) = e 2x (x 2 + 2x x 2 ) = 2xe 2x. Alors ( ) φ φ = ( ) by2 2 2xe 2x = ( 2e x x 2 e x by 2xe 2x 2e x e x ( ) x = x ) ce qui donne, après intégration : φ = x2 2 et φ 2 = ln x. Une solution particulière est donc y P (x) = φ y + φ 2 y 2 = 2 x2 e x + ln x x 2 e x } {{ } = 2 y 2 La solution générale de l équation étudiée est alors y(x) = C y + C y 2 + y P = C e x + C 2 x 2 e x + x 2 ln x e x C, C 2 R

153 6.3. EQUATION DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE Equation de Ricati y = g(x)y 2 + f(x)y + h(x) C est une équation du er ordre (non linéaire). Après un changement de variable judicieux, on se ramène à une équation linéaire homogène du 2ème ordre. On pose y = g(x) u. On obtient u y = g (x) g 2 (x) u u g(x) ( u u u 2 ) u 2 L équation devient alors g (x) g 2 (x) u u ( u g(x) u u 2 ) u 2 = g(x) u 2 u 2 f(x) u g(x) u + h(x) ( g u ) (x) g(x) + f(x) u + g(x)h(x) u = g(x) u C est une équation linéaire homogène du 2ème ordre Equation différentielle d Euler x 2 y + αxy + βy = équation diff. linéaire homogène du 2ème ordre On essaie une solution de la forme y = x r (pour x > ). Dans l équation, ceci donne : x 2 r(r )x r 2 + αx rx r + βx r =. On obtient alors r(r )x r + αrx r + βx r = ou encore r 2 + (α )r + β =. 3 cas possibles : er cas : Deux solutions réelles distinctes r et r 2. Alors les 2 solutions linéairement indépendantes sont y = x r y 2 = x r 2 2ème cas : Une solution réelle double r = r = r 2. Alors les 2 solutions linéairement indépendantes sont y = x r y 2 = x r ln x 3ème cas : Deux solutions complexes conjuguées : r = a + bi et r 2 = a bi.

154 48 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES Alors x a±bi = x a x ±bi = x a e ±bi ln x = x a (cos(b ln x) ± i sin(b ln x)). On en tire 2 solutions réelles linéairement indépendantes : y = x a sin(b ln x) y 2 = x a cos(b ln x) Exemple x 2 y + xy + y = (α = = β) = r 2 + = = r = ±i = y (x) = sin(ln x) et y 2 = cos(ln x) = y(x) = C sin ln x + C 2 cos ln x C, C 2 R. 2. x 2 y 2xy + 2y = (α = 2, β = 2) = r 2 3r + 2 = = r =, r 2 = 2 = y (x) = x y 2 (x) = x 2 = y(x) = C x + C 2 x 2 C, C 2 R. 6.4 Applications 6.4. Position d équilibre d un câble Câble fixé en ses extrémités et soumis à son propre poids. Forces agissant sur le bout MP : tension T en M et T en P. Poids : G = µ g s où µ = µ = masse spécifique du câble, g = constante universelle de gravitation et s = longueur de l arc P M. Equilibre des forces : ) composante verticale : T sin α = µgs 2) composante horizontale : T cos α = T. On en tire tan α = µgs. T Donc y = dy dx = tan α = µg T }{{} =K s = K x + y (x) 2 dx.

155 6.4. APPLICATIONS 49 On doit résoudre l équation y = K x + y 2 dx ( ) avec les conditions initiales : { y () = y() = h = OM En dérivant ( ), on trouve y = K + y 2 u=y = u = K + u 2 = du + u 2 = Kdx = arcsinh u = Kx + C = u = sinh(kx + C) = y = y = sinh(kx) car y () =. D où finalement y = K cosh(kx) + D. En utilisant la condition initiale y() = h, on obtient y(x) = K cosh(kx) + h K Phénomènes oscillatoires Forces en présence : Force du ressort proportionnelle à l élongation : F = Ky(t) Force de frottement proportionnelle à la vitesse : F 2 = αy (t). Force extérieure : F 3 = ˆF (t). Equation de Newton : F + F 2 + F 3 = ma. Ceci donne my = Ky αy + ˆF (t) = y + ay + ky = F (t) ( ) avec k = K m >, a = α m > et F (t) = ˆF (t) m.

156 5 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES Equation homogène (=sans force extérieure) y + ay + ky = : Equation de second ordre linéaire à termes constants : Polynôme caractéristique : P (λ) = λ 2 + aλ + k = er cas : = a 2 4k > = deux solutions réelles négatives : Alors λ,2 = a ± a 2 4k 2 Pas d oscillation, amortissement exponentiel. < y h (t) = C e λ t + C 2 e λ 2t 2ème cas : = a 2 4k = = une solution réelle double négative : λ = λ = λ 2 = a 2 Alors y h (t) = (C + C 2 t) e a 2 t Pas d oscillation, amortissement critique. 3ème cas : = a 2 4k < = deux solutions complexes conjuguées : 4k a 2 avec ω = 2 = pulsation propre Facteur d amortissement = a 2 = α 2m. λ,2 = a 2 ± ω i

157 6.4. APPLICATIONS 5 Alors Oscillations et amortissement exponentiel. y h (t) = [C cos(ω t) + C 2 sin(ω t)] e a 2 t Cas particulier : si a = (pas de frottements) alors y h (t) = C cos(ω t) + C 2 sin(ω t) Oscillations sans amortissement de pulsation propre ω = 4k 2 = k = K m Equation inhomogène : solution particulière Il reste à chercher une solution particulière à l équation ( ) y + ay + ky = F (t). On le fera uniquement dans le 3ème cas (oscillations) : Méthode de Lagrange : On cherche une solution particulière de la forme y P (t) = e a 2 t [φ (t) cos(ω t) + φ 2 (t) sin(ω t)]. ( ) On obtient M = e a 2 t cos(ω t) sin(ω t) et le wronskien est alors ω sin(ω t) ω cos(ω t) W = det(m) = e at ω. Ceci donne ( φ (t) ) φ 2 (t) = ( ) ( b(t)y2 = ω e at F (t) sin(ω t)e a 2 t W b(t)y F (t) cos(ω t)e a 2 t = ( ) e a 2 t sin(ω t) F (t) ω cos(ω t) d où l on tire ) y P (t) = e a 2 t [cos(ω t)φ (t) + sin(ω t)φ 2 (t)] = e a 2 t cos(ω t) = e a 2 t ω = e a 2 t ω t t ω t F (x)e a 2 x sin(ω x) dx + e a 2 t sin(ω t) ω t F (x)e a 2 x[ sin(ω t) cos(ω x) cos(ω t) sin(ω x) ] dx F (x)e a 2 x sin [ ω (t x) ] dx ( ) F (x)e a 2 x cos(ω x) dx

158 52 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES En général, ( ) est très difficile à calculer. Oscillations forcées : On fait agir une force périodique sur la masse m : F (t) = A sin(ωt + θ) Alors ( ) reste compliquée à intégrer. On cherche une solution particulière directement pour l équation différentielle en essayant une fonction de la forme : ce qui donne, après calculs : y P (t) = y + ay + ky = A sin(ωt + θ) y P (t) = D cos(ωt + θ) + D 2 sin(ωt + θ) A (k Ω 2 ) 2 + a 2 Ω sin(ωt + θ + β) avec β = arctan Ωa 2 k Ω 2 Dans ce cas particulier (3ème cas), la solution générale est donc [ ] y(t) = y P (t) + C } {{ } cos ω t + C 2 sin ω t e a 2 t } {{ } oscillations non amorties, oscillations avec amortissement, régime stationnaire régime transitoire Si a (peu de frottement), alors l amplitude des oscillation de y P (t) devient grande lorsque Ω 2 k. A la limite, on a le phénomène de Résonance Lorsque a = (pas de frottements), on obtient la solution générale y(t) = A k Ω 2 sin(ωt + θ) + C cos( k t) + C 2 sin( k t) Si Ω = ω = k, la solution n a pas de sens. Il faut reprendre l équation différentielle qui devient y + ky = A sin( [ k t + θ) = A cos θ sin( k t) + sin θ cos( ] k t) [ On essaie la solution particulière y P (t) = t D cos( k t + θ) + D 2 sin( ] k t + θ) Calculs = y P (t) = A 2 k t cos( k t + θ). Les amplitudes augmentent jusqu à la rupture du matériau.

159 6.4. APPLICATIONS Circuit RLC série Reprenons l équation différentielle d un circuit RLC : L q(t) + R q(t) + q(t) = U(t). C C : capacité du condensateur L : inductance R : résistance Forme normale : q(t) + R L q(t) + U(t) q(t) = LC L ( ) On va résoudre le problème avec U(t) = U pour t (on applique une tension constante à partir du temps t = ). On impose de plus les conditions initiales suivantes : q() = (le condensateur est déchargé lors de l enclenchement) et q() = (le courant est nul au temps t = ). (II) Solution particulière de l équation avec second membre Comme U(t) = U = cste, on vérifie que est une solution particulière de ( ). (I) Equation homogène : q P (t) = CU q(t) + R L q(t) + LC q(t) = C est la même équation que celle pour le ressort avec des constantes R L et 3 cas sont donc les mêmes : LC positives. Les Polynôme caractéristique : d où = R2 L 2 4 LC = R2 C 4L L 2 C. λ 2 + R L λ + LC = er cas : Si R 2 C > 4L alors > et il y a deux solutions réelles négatives λ et λ 2. Donc q h (t) = K e λ t + K 2 e λ 2t

160 54 CHAPITRE 6. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES La solution générale est alors q(t) = q h (t) + q P (t) = K e λ t + K 2 e λ 2t + CU Les conditions initiales q() = et q() = donne le système { K + K 2 + CU = λ K + λ 2 K 2 = qui se résoud en La solution est alors et q(t) = CU ( K = CU λ 2 λ λ 2 K 2 = CU λ λ λ 2. λ2 e λt λ ) e λ2t + λ λ 2 λ λ 2 i(t) = q(t) = CU λ λ 2 λ λ 2 ( e λ t e λ 2t ) 3ème cas : Si R 2 L < 4L, il y a deux racines complexes conjuguées : λ,2 = a ± ω i avec a = R 2L et ω = 4L R 2 2 C L 2 C. Alors q h (t) = e at[ K cos(ω t) + K 2 sin(ω t) ] et la solution générale est q(t) = q h (t) + q P (t) = e at[ K cos(ω t) + K 2 sin(ω t) ] + CU q() = = K = CU q() = = ω K 2 ak = d où K 2 = CU a. Donc ω ( ) a q(t) = CU [ e at sin(ω t) + cos(ω t) ω ] + et ( ) a i(t) = q(t) = CU e at 2 + ω sin(ω t) ω

161 6.4. APPLICATIONS 55 Cas particulier : Si a = (pas de résistance), alors q(t) = CU [ cos(ω t) ] i(t) = CU ω sin(ω t) Remarque. En supposant R 2 C négligeable par rapport à 4L, on a ω = 2 4L R 2 C L 2 C LC et la fréquence d oscillation est alors f = ω 2π = 2π LC Application numérique : Pour avoir une fréquence d oscillations de khz, on peut choisir C = nf et L = 2.553mH. Pour avoir R 2 4L C << 4L il faut alors R << C donc R << 32ω. Remarque : dans une fonction sin(ωt) = sin(2πft), ω est la pulsation et f la fréquence avec la relation ω = 2πf.

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163 Chapitre 7 Calcul différentiel à plusieurs variables 7. L espace R n 7.. Structures sur R n L ensemble R n est l ensemble des n-uplets (x, x 2,..., x n ) où x i R. On notera x est un point de R n. x = (x, x 2,..., x n ). Le point x = (x, x 2,..., x n ) sera aussi considéré comme un vecteur-colonne Les x i sont les composantes de x. x = x x 2. x n Notation : Dans R 2 on notera (x, y) plutôt que (x, x 2 ) Dans R 3 on notera (x, y, z) au lieu de (x, x 2, x 3 ). L espace R n a les propriétés suivantes : L espace R n est muni d une addition : (x, x 2,..., x n ) + (y, y 2,..., y n ) = (x + y, x 2 + y 2,..., x n + y n ) et d une multiplication par un scalaire : λ (x,..., x n ) = (λx,..., λx n ). Ces 2 opérations font de R n un espace vectoriel. L élément neutre pour l addition est l origine : O(,,..., ). 57

164 58 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES L espace R n est muni d un produit scalaire : <, > : R n R n R défini par n < x, y > = x i y i = x T y = ( ) x x n i= L espace R n est muni d une norme : : R n R définie par x = n x 2 i = < x, x >. i= Il est muni d une métrique (ou distance) : qui satisfait les propriétés suivantes : (i) d(x, y) (ii) d(x, y) = x = y (iii) d(x, y) = d(y, x) (iv) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) pour tout x, y, z R n. Les vecteurs e = d : R n R n R définie par d(x, y) = x y = n (x i y i ) 2. (symétrie) i= (inégalité du triangle), e 2 = forment une base orthonormale de R n..,..., e n =. Remarque 7.. Si n =, on a x = x et d(x, y) = x y pour tout x, y R. Dans ce chapitre, on va considérer les fonctions f : D R m avec D R n. A un point x D on associe donc un vecteur f(x) R m. Exemples f : R 2 R : f(x, y) = x 2 + sin y 2. f : R R 3 : f(t) = t cos t t sin t 3. f : R 3 R 3 : f(x, y, z) = x + yz x 2 + y 2 + e z sin(yz) y. y n

165 7.2. COURBES DANS R N Courbes dans R n 7.2. Définition Définition : Une courbe (dans R n ) est une fonction continue γ : I R n où I est un intervalle de R. On associe donc pour chaque t I un vecteur x (t) x 2 (t) γ(t) =. x n (t) où les x i : I R sont des fonctions réelles. Proposition 7.3. γ est continue si et seulement si les x i sont continues pour tout i. Remarques : C est une courbe paramétrisée. La variable t s appelle le paramètre de γ. Si l on peut écrire x n = f(x, x 2,..., x n ) pour tous les points de γ, alors γ est le graphe d une fonction à n variables. Exemple : γ(t) = ( t e t ) = ( x(t) y(t) Alors y = e x. Si l on peut écrire F (x, x 2,..., x n ) = en éliminant le paramètre t, on a obtenu l équation cartésienne implicite de γ. (ce n est pas toujours possible). On perd cependant la notion du temps. Exemple : ( ) R cos t γ(t) = R sin t Alors x 2 + y 2 = R Dérivabilité Définition 7.4 (Vecteur tangent). Si les fonctions x i (t) sont dérivables pour tout i, on définit le vecteur tangent par x (t) ẋ 2 (t) γ(t) =. ẋ n (t) où x i (t) = dx i dt (t). On note parfois v(t) = γ(t). ).

166 6 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES Interprétation physique : si t représente le temps et γ(t) la position d un mobile, alors γ(t) est le vecteur-vitesse. Sa norme γ(t) = x 2 (t) + + ẋ 2 n(t) est la vitesse du mobile. En dérivant encore γ(t), on obtient le vecteur d accélération ẍ (t) ẍ 2 (t) γ(t) =. x n (t) Quelques exemples ) Mouvement rectiligne uniforme (MRU). Soit a, v R n deux vecteurs fixés. Alors la courbe γ(t) = a + v t ( ) est une droite passant par le point a et de vecteur directeur v. Vecteur tangent (vitesse) : γ(t) = v est constante. Si n = 2, équation cartésienne : v 2 x v y = v 2 a v a 2 avec v = ( v Si n = 3, l élimination de t donne 2 équations cartésiennes, chacune étant l équation d un plan et l intersection des 2 plans donne la droite. 2) Mouvement circulaire uniforme (MCU) : soit ( ) x(t) γ(t) = = y(t) ( R cos t R sin t Equation cartésienne ( : x 2 + ) y 2 = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 t = R 2. R sin t Vitesse : γ(t) = et donc R cos t γ(t) = R 2 sin 2 t + R 2 cos 2 t = R. La vitesse est constante. Accélération : γ(t) = ( R cos t R sin t ) v 2 ). ) = γ(t). L accélération est dirigée vers le centre.

167 7.2. COURBES DANS R N 6 3) Hélice : soit γ(t) = R cos t R sin t ct avec R, c >. C est la superposition d un mouvement circulaire uniforme (MCU) dans le plan Oxy et d un mouvement rectiligne uniforme (MRU) le long de l axe Oz. 4) Chute libre : γ(t) = x + v t y + v 2 t z + v 3 t 2 gt2 γ(t) = v v 2 v 3 gt γ(t) = g Changement de paramétrisation Soit I = [a, b] et γ : I R n une courbe. Soit J = [c, d] et φ : J I s t une fonction continue bijective telle que φ(c) = a et φ(d) = b. Alors la courbe γ φ : J R n s γ (φ(s)) est la même courbe que γ mais avec une paramétrisation différente. La fonction t = φ(s) est le changement de paramétrisation. Interprétation physique : si t est le temps, le changement de paramétrisation revient à parcourir la courbe γ avec une autre vitesse. Plus précisement d ds γ(φ(s)) = d ds x (φ(s)). x n (φ(s)) = x (φ(s)) φ (s). ẋ n (φ(s)) φ (s) = γ(φ(s)) φ (s). Exemple : Reprenons la courbe γ(t) = ( R cos t R sin t ) t 2π

168 62 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES Si l on pose t = s 2 = φ(s), la courbe devient ( ) R cos s 2 γ(s) = γ φ(s) = R sin s 2 Alors ṽ(s) = d ds γ(s) = ( 2sR sin s 2 2sR cos s 2 v(s) = ṽ(s) = La vitesse n est plus constante Longueur d une courbe ) et donc s 2π 4s 2 R 2 sin 2 s 2 + 4s 2 R 2 cos 2 s 2 = 2sR Soit P γ(t) et Q γ(t + t) deux points de la courbe proches l un de l autre (avec t > ). On a u = x (t + t) x (t) P Q = γ(t + t) γ(t) =. x n (t + t) x n (t) Alors la longueur de la corde P Q est égale à L = u = [x (t + t) x (t)] [x n (t + t) x n (t)] 2 [x ] (t + t) x (t) 2 [ ] xn (t + t) x n (t) 2 = + + t t t t ẋ (t) ẋ n (t) 2 dt = γ(t) dt. La longueur de la courbe entre t = a et t = b vaut donc L = b a γ(t) dt Théorème 7.5. La longueur d une courbe est indépendante de la paramétrisation Dém : On a t = φ(s) avec φ(c) = a et φ(d) = b. On doit montrer que b a γ(t) dt = d c d ds [γ φ(s)] ds.

169 7.3. FONCTIONS RÉELLES À PLUSIEURS VARIABLES 63 On suppose que c < d ce qui implique, comme φ est une bijection, que φ (s) > pour tout s J. Alors d c d d ds [γ φ(s)] ds = γ ( φ(s) ) φ (s) ds = = = c d c d c d c γ(φ(s)) φ (s) ds γ(φ(s)) φ (s) ds ẋ (φ(s)) 2 + ẋ 2 (φ(s)) ẋ n (φ(s)) 2 φ (s) ds on pose t = φ(s) et donc dt = φ (s)ds = = φ(d) φ(c) b a ẋ (t) 2 + ẋ 2 (t) ẋ n (t) 2 dt γ(t) dt = L Angle entre deux courbes Soient γ et γ 2 deux courbes et P = γ (t ) = γ 2 (t 2 ) un point d intersection. Alors l angle entre γ et γ 2 au point P est donnée par la formule cos θ = γ (t ), γ 2 (t 2 ) γ (t ) γ 2 (t 2 ) 7.3 Fonctions réelles à plusieurs variables Une fonction réelle de n variables réelles est une application f : D R avec D R n. On associe ainsi à tout point x = (x,..., x n ) D, un nombre réel f(x) R. Exemple : f : R 3 R définie par f(x, y, z) = x 2 + 2y 2 z.

170 64 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES 7.3. Graphe Si n = 2, on peut définir et dessiner le graphe G f d une fonction f(x, y). C est le sousensemble de R 3 G f = {(x, y, z) z = f(x, y)}. Remarque : le graphe d une fonction à 2 variables est de dimension 3. De ce fait, si n 3, le graphe d une fonction f : R n R peut toujours être défini mais il est de dimension n + et ne peut donc pas être représenté ni même imaginé Ensembles et courbes de niveau Soit f : D R n R une fonction et c un nombre réel. Alors l ensemble est appelé ensemble de niveau c de f. N f (c) = {x R n f(x) = c} Dans le cas d une fonction à 2 variables, N f (c) est appelé une courbe de niveau. Interprétation : si f(x, y) est l altitude du point (x, y) sur une carte, une courbe de niveau N f (c) représente l ensemble des points qui ont une altitude donnée c. Si n = 3, on parle de surface de niveau. Exemples Soit f(x, x 2, x 2, x 4 ) = x 2 + x2 2 + x2 3 + x2 4 Alors pour c >, l ensemble de niveau N(c) = { (x, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 2 + x x x 2 4 = c } = { x R 4 x = c } est une (hyper)-sphère de rayon c. 2. Graphe et courbes de niveau de la fonction z = f(x, y) = xy. Courbes de niveau c : f(x, y) = c xy = c y = c x Les courbes ne niveau c sont des hyperboles. La courbe de niveau est donnée par xy = x = ou y =. Donc N f () = axe Ox axe Oy Le graphe de f(x, y) est un hyperboloïde.

171 7.4. DÉRIVÉES PARTIELLES Graphe et courbes de niveau de z = f(x, y) = x 2 + 4y 2. Courbes de niveau : N f (c) = {(x, y) x 2 + 4y 2 = c}. Si c <, l ensemble N f (c) est vide. Si c =, la courbe de niveau est un point : (, ) Si c > alors N f (c) est une ellipse d équation standard ( ) x 2 ( ) 2y 2 + = c c Le graphe z = f(x, y) = x 2 + 4y 2 est un paraboloïde. 4. Graphe et courbes de niveau de f(x, y) = x + 2y + 6. Le graphe z = f(x, y) = x+2y+6 est un plan dont l équation normale est x+2y z+6 =. Son vecteur normal est donc n = 2. Les courbes de niveau c sont ( d ) équation x + 2y + 6 = c. Ce sont des droites parallèles 2 de vecteur directeur v c =. 5. Soit f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. Alors, pour c >, l ensemble de niveau est la surface d équation x 2 + y 2 + z 2 = c. C est une sphère de rayon c. Si c =, l ensemble de niveau N f () est un point : (, ). Si c <, N f (c) est vide. 6. Les surfaces de niveau de la fonction f(x, y, z) = x 3y + 4z sont des plans parallèles d équation x 3y + 4z = c. Leur vecteur normal est 7.4 Dérivées partielles Dans ce paragraphe D désigne un ouvert de R n. Soit f : D R une fonction à n variables et a = (a, a 2,..., a n ) D un point fixé. Considérons la fonction g i (ξ) = f(a,..., a i, ξ, a i+,..., a n ). 3 4.

172 66 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES C est une fonction à une variable. La dérivée de g est appelée la dérivée partielle de f par rapport à la variable x i. f x i (a) := dg i dξ (a i) = lim h g i (a i + h) g i (a i ) h f(a,..., a i, a i + h, a i+,..., a n ) f(a,..., a i, a i, a i+,..., a n ) = lim h h f(a + he i ) f(a) = lim. h h On a les notations équivalentes : f (a) = D i f(a) = f xi (a) = f x i x i Une fonction f : D R est dite partiellement différentiable sur D si les dérivées partielles f xi (x) existent pour tout x D et pour tout i =, 2,..., n. Ceci définit alors une fonction f xi : D R pour tout i. Calcul effectif : la dérivée partielle par rapport à x i se calcule donc en dérivant par rapport à x i en considérant les autres variables comme des constantes. Exemples Soit f(x, x 2, x 3, x 4 ) = 2x x x sin x 4 + e x2 2. Alors Soit x=a f x = 2x sin x 4 f x2 = 4x x 2 + 2x 2 e x2 2 f x3 = f x4 = x cos x 4 f(x, y) f x f y xy 2 y 2 2xy sin(x + 2y) cos(x + 2y) 2 cos(x + 2y) e y x y e y x 2 x x e y x x 2y 2yx 2y 2 ln x x 2y f(x, y) = { xy x 2 +y 2 si (x, y) en (, ) Nous avons déjà vu que f n est pas continue en (, ) Mais f(h, ) f(, ) f x (, ) = lim = lim h h h h = et f(, h) f(, ) f y (, ) = lim = lim h h h h =. Ainsi la fonction f(x, y) est dérivable en (, ) bien qu elle ne soit pas continue. Donc en dimension n 2, dérivable continue

173 7.4. DÉRIVÉES PARTIELLES 67 Remarquons cependant que f x (x, y) = y(x2 + y 2 ) (xy)(2x) (x 2 + y 2 ) 4 = y3 x 2 y (x 2 + y 2 ) 2 pour tout (x, y) (, ) Sur la droite x = (y ) on a donc et sur la droite y = (x ), on a f x (, y) = y3 y 4 = y y + f x (x, ) = x La fonction f x (x, y) n est donc pas continue en (, ). On peut montrer que si les f xi (x) sont continues en a pour tout i, alors f(x) est continue en a Gradient Soit D R n et f : D R une fonction partiellement différentiable et a un point de D. Le vecteur-ligne ( fx (a) f x2 (a)... f xn (a) ) est appelé le gradient de f en a. Il est noté f(a). Le gradient définit donc une fonction f : D R n x f(x) Le gradient en a est parfois aussi noté gradf(a). Exemples si f(x, y) = x 2 + 2y 2 alors f(x, y) = ( 2x 4y ) 2. f(x, y, z) = x 2 y + 3xyz + sin(xy) alors f(x, y, z) = ( 2xy + 3yz + y cos(xy) x 2 + 3xz + x cos(xy) 3xy ) Approximation du er ordre and plan tangent Définition 7.9 (Fonction de classe C ). Une fonction f : D R définie sur un ouvert D R n est dite continûment différentiable si toutes ses dérivées partielles existent et sont continues sur D. On dit dans ce cas que f est de classe C et on note f C (D, R).

174 68 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES Théorème 7. (Théorème d approximation du premier ordre). Soit D un ouvert de R n et f C (D, R). Alors pour tout point a D, il existe une fonction réelle R définie sur un voisinage V de a telle que f(x) = f(a) + f(a) (x a) } {{ } = f(a), x a + R (x) x V avec lim x a R (x) x a =. La fonction R est appelée le reste d ordre. C est un o( x a ). Ici, x et a sont vus comme des vecteurs-colonne x = x. x n, a = a. a n Remarque : en posant u = x a R n, la formule précédente s écrit alors f(a + u) = f(a) + f(a) u + r(u) r(u) avec lim =. Autrement dit avec r(u) = o( u ). u u Remarque 2 : Si n =, on retrouve l approximation de Taylor du premier ordre autour de a = x : f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) + R(x) avec R(x) = o(x x ) et l équation y = f(x ) + f (x )(x x ) est celle de la tangente au graphe de f en x. Si n = 2, on trouve, autour du point a = (x, y ) : L équation f(x, y) = f(x, y ) + ( f x (x, y ) f y (x, y ) ) ( x x y y f(x, y ) + f x (x, y ) (x x ) + f y (x, y ) (y y ). ) + R(x, y) z = f(x, y ) + f x (x, y ) (x x ) + f y (x, y ) (y y ) est l équation du plan tangent au graphe de f au point (x, y ). Exemple : soit f(x, y) = 2 + x 2 y y 3. Alors f = ( 2xy x 2 3y 2 ).

175 7.4. DÉRIVÉES PARTIELLES 69 Soit a = (x, y ) = (, 2). Ceci donne f(, 2) = 4 et f(a) = ( 4 ) Approximation du er ordre autour de a : ( ) x x f(x, y) = f(x, y ) + f(x, y ) + R(x) y y 4 + ( 4 ) ( ) x y 2 = 4 + 4(x ) (y 2). L équation z = 4 + 4(x ) (y 2) est l équation du plan tangent au graphe de f passant par P (, 2, 4). De manière générale, l équation du plan tangent au graphe de f(x, y) au point (x, y ) est ( ) x x z = f(x, y )+ f(x, y ) = f(x y y, y )+f x (x, y ) (x x )+f y (x, y ) (y y ). On peut réécrire l équation comme suit : f x (x, y ) x + f y (x, y ) y z + d = ce qui montre que le vecteur normal au plan tangent est n = f x (x, y ) f y (x, y ) On peut généraliser ce résultat à n variables. L équation de l hyperplan tangent au graphe de f(x, x 2,..., x n ) au point a = (a, a 2,..., a n ) est alors donnée par où x = x. x n. x n+ = f(a,..., a n ) + f(a) (x a) Règles de dérivation Addition : soit f, g C (D, R). Alors (f + g) = f + g. Produit : soient f, g C (D, R) avec D R n. On peut considérer la fonction fg définie par (fg)(x) = f(x)g(x). Alors En abrégé : (fg)(a) = (f)(a) g(a) + f(a) g(a). (fg) = f g + g f.

176 7 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES Composition : soit I R et γ : I R n x (t) x 2 (t) t. x n (t) une courbe (différentiable) dans R n. Soit D R n et f : D R une fonction à n variables. Si l on suppose que Im(γ) D, on peut définir la fonction composée Φ(t) = f(γ(t)) = f(x (t), x 2 (t),..., x n (t)) qui est une fonction à une variable. Que vaut alors d dt Φ(t)? Réponse : d f Φ(t) = (x (t),..., x n (t)) dx dt x dt + f (x (t),..., x n (t)) dx 2 x 2 dt f (x (t),..., x n (t)) dx n x n dt n = f xi (γ(t)) ẋ i (t) i= = f(γ(t)) γ(t) = f(γ(t)), γ(t). Ainsi d (f γ) (t) = f (γ(t)) γ(t) (7.) dt Exemple (vérification) : f(x, y) = x 2 + y 2 et γ(t) = ( x(t) y(t) ) = ( cos t sin t ). Alors et donc Φ (t) =. Avec la formule : Ceci donne Φ(t) = (f γ) (t) = f(cos t, sin t) = cos 2 t + sin 2 t = { fx = 2x f y = 2y { ẋ(t) = sin t ẏ(t) = cos t f = (2x 2y) = (2 cos t 2 sin t) et γ(t) = ( sin t cos t ) Alors Φ (t) = f γ(t) = 2 cos t sin t + 2 sin t cos t =.

177 7.4. DÉRIVÉES PARTIELLES 7 Démonstration de (7.) : Sans perte de généralité, on démontre la formule en t =. Posons a = γ() R n. Par l approximation du er ordre autour de a, on a R(x) avec lim x a x a =. Ceci donne, en notant x = γ(h) R n : Φ(h) Φ() h f(x) = f(a) + f(a), x a + R(x) = f( γ(h) ) f ( γ() ) = h f(a), x a = + R(x) h h = f(a), h γ(h) γ() h f(x) f(a) h + R(x) x a f(a), γ() + γ() = f(a), γ() x a h } {{ } = γ(h) γ() h ce qui montre que Φ () = f(a), γ() Dérivée directionnelle Définition 7.. Soit f C (D, R) avec D un ouvert de R n, a un point de D et v R n un vecteur non nul. La quantité D v f(a) = lim t f(a + tv) f(a) t s appelle la dérivée directionnelle de f en a le long de v. Théorème 7.2. On a D v f(a) = f(a) v = f(a), v. Démonstration : Approximation du er ordre : et donc f(a + tv) = f(a) + f(a) (tv) + R(a + tv) f(a + tv) f(a) D v f(a) = lim t t f(a) (tv) + R(a + tv) = lim t t f(a) (tv) R(a + tv) = lim + lim t t t t = lim f(a) v + t = f(a) v.

178 72 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES Remarque : si v = e i alors. D ei f(a) = f(a) e i = ( f x (a) f x2 (a)... f xn (a) ) = f xi (a).. Remarque 2 : si v est de norme alors où α est l angle entre v et f(a). D v f(a) = f(a), v = f(a) cos(α) Ainsi D v f(a) est maximal cos α = α = v et f(a) sont de même sens et de même direction. En conclusion, le gradient donne la direction dans laquelle la dérivée de f est la plus grande. De plus Résumé : la pente de f dans cette direction vaut f(a). D v f(a) = f(a), v = dérivée directionnelle de f le long de v pente de f dans la direction v = D vf(a) v = f(a), v v

179 7.4. DÉRIVÉES PARTIELLES Gradient et courbes de niveau Reprenons la règle de composition. Si f : D R est une fonction à n variables et γ(t) une courbe dans D, alors d dt f(γ(t)) = f(γ(t)) γ(t) = D γf(γ(t)) ( ) On peut donc interpréter la dérivée d f(γ(t)) comme la pente de la fonction f en suivant dt la courbe γ(t). Exemple : Soit f(x, y) = x 2 + y 2. Alors Si l on suit la courbe γ(t) = ( t cos t t sin t f = ( 2x 2y ). ) alors γ(t) = ( cos t t sin t sin t + t cos t d dt f(γ(t)) = D γf(γ(t)) = f(γ(t)), γ(t) ( ) cos t t sin t = (2t cos t 2t sin t) sin t + t cos t ) et = 2t cos 2 t 2t 2 cos t sin t + 2t sin 2 t + 2t 2 sin t cos t = 2t Courbes de niveau Si γ(t) est une courbe contenue dans l ensemble de niveau N f (c) alors f(γ(t)) = c par définition de N f (c) et on doit avoir Ceci donne par ( ) ci-dessus : Le gradient est donc orthogonal à γ(t). d f(γ(t)) =. dt f(γ(t)), γ(t) =. Comme ceci est vrai pour toute courbe γ(t) contenue dans N f (c), on en déduit que En particulier, le gradient est toujours orthogonal aux ensembles de niveau. le gradient d une fonction à 2 variables est toujours orthogonal aux courbes de niveau.

180 74 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES Exemple : f(x, y) = x 2 + 2y 2. Alors f = (2x Les courbes de niveau c 2 sont d équation 4y). x 2 + 2y 2 = c 2. Ce sont donc des ellipses de centre (, ) et de demi-axe c et c 2. On vérifie que le vecteur f = (2x 4y) est bien perpendiculaire aux ellipses ci-dessus. Illustration : le point P (, 2) est sur l ellipse (γ) : x 2 + 2y 2 = 9. En dérivant, on obtient 2x + 4y y = ce qui donne y = x. Au point P (, 2), on a donc 2y y P =. Un vecteur tangent est donc 4 v = ( 4 Le gradient de f en P vaut ( 2 8 ). Il est bien perpendiculaire au vecteur v. ) Dérivées partielles d ordres supérieurs Soit f(x) = f(x, x 2,..., x n ) une fonction à n variables définie sur un ouvert D R n. On définit les dérivées d ordre 2 comme suit Définition 7.3. Si i = j, on note 2 f x 2 i au lieu de f xi x j = 2 f x i x i. 2 f x j x j = f x i x j Exemple : Alors Ceci donne f(x, y) = x 2 y + ye x. f x = 2xy + ye x et f y = x 2 + e x. f xx = x (2xy + yex ) = 2y + ye x f yy = y (x2 + e x ) = f xy = x (x2 + e x ) = 2x + e x f yx = y (2xy + yex ) = 2x + e x.

181 7.4. DÉRIVÉES PARTIELLES 75 On constate dans cet exemple que f xy = f yx. ATTENTION : en général, f xi x j f xj x i. Mais on a le théorème suivant : Théorème 7.4. Si f xi x j et f xj x i sont continues dans un voisinage du point a, alors f xi x j (a) = f xj x i (a). Démonstration : La démonstration est faite dans le cas n = 2. Soit f(x, y) et a = (x, y ). Soient h, k > tels que le rectangle {(x, y) x h < x < x + h, y k < y < y + k} D. Définissons les fonctions g (x) = f(x, y + k) f(x, y ) et g 2 (y) = f(x + h, y) f(x, y) Alors g (x) = f x (x, y + k) f x (x, y ) et g 2(y) = f y (x + h, y) f y (x, y). Posons encore F (h, k) = f(x + h, y + k) f(x + h, y ) f(x, y + k) + f(x, y ). Alors F (h, k) = g (x + h) g (x ) (7.2) et F (h, k) = g 2 (y + k) g 2 (y ). (7.3) Le théorème de la moyenne appliqué à (7.2) puis à f x donne F (h, k) = g (x + h) g (x ) = g (x + θ h) h θ ]; [ = [f x (x + θ h, y + k) f x (x + θ h, y )] h = f yx (x + θ h, y + θ 2 k) k h θ 2 ]; [. Ce même théorème de la moyenne appliqué à (7.3) et f y donne F (h, k) = g 2 (y + k) g 2 (y ) = g 2(y + θ 3 k) k θ 3 ]; [ = [f y (x + h, y + θ 3 k) f y (x, y + θ 3 k)] k = f xy (x + θ 4 h, y + θ 3 k) k h θ 4 ]; [. Donc f xy (x + θ 4 h, y + θ 3 k) kh = f yx (x + θ h, y + θ 2 k) kh.

182 76 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES Comme f xy et f yx sont continues, en passant à la limite h, k, on obtient f xy (x, y ) = f yx (x, y ). Définition 7.5. On dit que f(x, x 2,..., x n ) est de classe C 2 sur D R n si toutes ces dérivées d ordre 2 sont continues en tout point de D. On note alors f C 2 (D, R) On généralise sans peine les définitions précédentes pour définir les dérivées partielles d ordre k 2. Exemple : si f(x, y) est une fonction à 2 variables, il y a, à priori, 8 dérivées partielles d ordre 3 qui sont f xxx f yxx f xyx f yyx f xxy f yxy f xyy f yyy Mais si ces 8 dérivées partielles sont continues, alors f yxx = f xyx = f xxy et f yyx = f xyy = f yxy Définition 7.6 (Fonction de classe C k ). On dit qu une fonction f(x) est de classe C k sur D R n si toutes ses dérivées partielles d ordre k (existent et) sont continues. On note alors f C k (D, R) Théorème 7.7. Si f C k (D, R), alors ses dérivées partielles d ordre k ne dépendent pas de l ordre de dérivation mais uniquement du nombre de fois qu une variable intervient. Définition 7.8 (Matrice hessienne). Soit f(x) une fonction à n variables dont les dérivées partielles du 2ème ordre existent. La matrice H f (x) = ( f xi x j (x) ) ij = 2 f (x) x 2 2 f x 2 x (x). 2 f x n x (x) s appelle la matrice hessienne de f au point x. 2 f x x 2 (x)... 2 f x f x n x 2 (x)... 2 f x x n (x) 2 f x 2 n (x) (x)... 2 f x 2 x n (x)..... Remarque : Si f C 2 (D, R) alors la matrice H f est symétrique : H T f = H f.

183 7.4. DÉRIVÉES PARTIELLES 77 Exemple : si n = 2 et f = f(x, y) alors ( fxx f H f = xy f yx f yy ). Exemple : soit f(x, y) = 2x 2 y + xe y +. Alors et donc f xx = 4y f xy = 4x + e y = f yx f yy = xe y ( H f (x, y) = 4y 4x + e y 4x + e y ) xe y qui est symétrique. Au point (2, ), par exemple, on a H f (2, ) = ( ). Théorème 7.9 (Approximation de Taylor d ordre 2). Soit D R n et f C 2 (D, R). Soit a = (a,..., a n ) D. Alors f(x) = f(a) + f(a) (x a) + 2 (x a)t H f (a) (x a) + R 2 (x) x D R 2 (x) avec lim x a x a 2 =. La fonction R 2 est le reste d ordre 2. C est un o ( x a 2). Cas particulier : Si f = f(x, y) et a = (x, y ), la formule devient f(x, y) = f(x, y ) + ( f x (x, y ) f y (x, y ) ) ( ) x x y y + ( ) ( f x x y y xx (x, y ) f xy (x, y ) 2 f yx (x, y ) f yy (x, y ) ) ( x x y y ) + R 2 (x, y) = f( x, y ) + f x (x, y ) (x x ) + f y (x, y ) (y y ) + 2 [ f xx (x, y ) (x x ) 2 + 2f xy (x, y ) (x x ) (y y ) + f yy (x, y ) (y y ) 2] + R 2 (x, y). Si a = O(, ) (approximation à l origine), ceci devient : f(x, y) = f(o) + f x (O) x + f(o) y + 2 f xx(o) x 2 + f xy (O) xy + 2 f yy(o) y 2 + o( (x, y) 2 ) Exemple 7.2. Reprenons l exemple précédent : f(x, y) = 2x 2 y +xe y + autour du point P (3, ). On a déjà calculer que ( H f (x, y) = 4y 4x + e y 4x + e y ) xe y

184 78 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES et donc H f (3, ) = ( De plus f(x, y) = (4xy + e y 2x 2 + xe y ) ce qui donne f(3, ) = ( 2). On obtient donc ( ) x 3 f(x, y) f(3, ) + ( 2) + ( ) ( ) 3 x 3 y 2 (x 3 y) 3 3 y = 3 + (x 3) + 2y + 2 [26(x 3)y + 3y2 ] = + x 8y + 3xy y2 ) 7.5 Etude de fonction 7.5. Extremum Définition 7.2. Soit a R n et r >. La boule B(a, r) est le sous-ensemble des points de R n qui sont à une distance strictement inférieure à r du point a : B(a, r) = {x R n x a < r} Définition Un sous-ensemble D R n est dit borné s il existe une boule B(a, r) telle que D B(a, r). Un sous-ensemble D fermé et borné est dit compact. Définition Soit f C (D, R).. Un point a D est un maximum (resp. minimum) absolu si f(x) f(a) (resp. f(x) f(a)) pour tout x D. 2. On dit que f(x) admet un maximum local en a D s il existe une boule B(a, r) telle que f(x) f(a) pour tout x B(a, r). Ce maximum est strict si l inégalité est stricte. 3. f admet un minimum local en a D s il existe une boule B(a, r) telle que f(x) f(a) pour tout x B(a, r). De même ce minimum est strict si l inégalité est stricte. 4. On appelle extremum (local ou absolu) un point qui est un minimum ou un maximum (local ou absolu). Théorème 7.24 (Condition nécessaire). Soit D un ouvert et f : D R une fonction continue. Si a D est un extremum local et si f est dérivable en a, alors f(a) = = ( ) autrement dit f x i (a) = i =,..., n. Démonstration : La preuve est identique à celle faite en dimension. Supposons que a soit un maximum. Alors { f si h > (a) = lim x i h h (f(a + he i) f(a)) } {{ } si h < Donc f x i (a) =.

185 7.5. ETUDE DE FONCTION 79 Définition 7.25 (Point stationnaire). Un point a D tel que f(a) = est appelé un point stationnaire Pour les extremums absolus sur un fermé D, il faut tenir compte des frontières. Plus précisément : Théorème Soit D un sous-ensemble compact de R n. Alors toute fonction continue f : D R atteint son maximum et son minimum sur D ; c est-à-dire qu il existe x M D et x m D avec f(x) f(x M ) et f(x) f(x m ) x D. De plus si a D est un extremum absolu, alors ) soit a est un point stationnaire (i.e. f(a) = ) ; 2) soit f(a) n existe pas ; 3) soit a appartient à la frontière de D : a D ; Démonstration : C est un corollaire du théorème précédent. Contre-exemples : f(x, y) = x 2 + y 2 sur D = R2 {(, )} n atteint pas son maximum car D n est pas fermé. f(x, y) = x 2 + y 2 sur D = R 2 n atteint pas son maximum car D n est pas borné. Application : Pour trouver les extremums de f sur D, il faut donc, en plus des points stationnaires, restreindre la fonction f à la frontière de D et calculer les extremums de la fonction ainsi obtenue. Exemple Cherchons le minimum et le maximum de f(x, y) = 3xy x 3 y sur le domaine D limité par les droites x = 2, y = 2 et y = 2x + 2. (I) f x = 3y 3x 2 f y = 3x 3y 2. Les points stationnaires sont les solutions du système { 3y 3x 2 = 3x 3y 2 = qui sont S (, ) et S 2 (, ). Seul S 2 est dans D.

186 8 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES (II) Bords de D : Droite x = 2 : Alors h(y) = f(2, y) = 6y 8 y et donc h (y) = 6 3y 2. Les zéros de h (y) sont en y = ± 2. Ceci donne 2 points supplémentaires : P (2, 2) et P 2 (2, 2). Droite y = 2 : Alors g(x) = f(x, 2) = 6x 8 x qui donne g (x) = 6 3x 2 dont les zéros sont en x = ± 2. Ceci donne un autre point dans D : P 3 ( 2, 2) Droite y = 2x + 2. La fonction f restreinte à cette droite donne u(x) = f(x, 2x + 2) = 3x( 2x + 2) x 3 ( 2x + 2) = = 7x 3 3x 2 + 3x + 2 ce qui donne u (x) = 2x 2 6x + 3 dont les zéros sont x,2 = 3 ± 27 2 = x = x 2 =.646. Ceci donne un autre point dans D : P 4 (.646,.77). (III) Il faut encore calculer la fonction f dans les coins de D à savoir aux points Q (2, 2), Q 2 (, 2) et Q 3 (2, 2). On obtient donc 8 points sur lesquels il faut étudier la fonction f : S 2 : f(, ) = 3 P 2 : f(2, 2) =.65 P : f(2, 2) =.343 P 3 : f( 2, 2) =.343 P 4 : f(.646,.77) = Q : f(2, 2) = 2 Q 2 : f(, 2) = 6 Q 3 : f(2, 2) = 6. Le maximum est donc en (, ) et le minimum en (2, 2) Classification des points stationnaires On a vu que si a D est un extremum local, que D est ouvert et que f est de classe C alors f(a) =. Mais la réciproque n est pas vraie. On peut avoir f(a) = et que a soit un point selle. Exemple f(x, y) = xy + 4. Alors { fx = y f y = x et donc f x (, ) = = f y (, ). Mais le point (, ) n est pas un extremum local. En effet, sur la droite y = x, on a f(x, y) = f(x, x) = x = f(, ). Restreinte à cette droite, la fonction f a donc un minimum local en (, ).

187 7.5. ETUDE DE FONCTION 8 Mais sur la droite y = x, on a f(x, y) = f(x, x) = x Restreinte à cette droite, la fonction f a donc un maximum local en (, ). Le point (, ) est un point selle. Définition 7.29 (Point selle). Soit D un ouvert de R n, f C (D, R) et a D un point stationnaire (i.e. f(a) = ). On dit que a est un point selle de f s il existe deux vecteurs u, v R n tels que la fonction t f(a + tu) admette un maximum local strict en t = et la fonction t f(a + tv) admette un minimum local strict en t =. Rappel : soit f(x) C 2 (I, R) une fonction à variable et a un point stationnaire (i.e. f (a) = ). Alors si f (a) >, le point a est un minimum strict ; si f (a) <, le point a est un maximum strict ; si f (a) = on ne peut rien dire, il faut regarder f (3) (a) puis f (4) (a) etc... Nous allons établir un résultat analogue pour les fonctions à n variables faisant intervenir la matrice hessienne H f (a). Matrices et formes quadratiques Soit A = (a ij ) M n (R) une matrice carrée d ordre n symétrique (a ij = a ji ). L application q A : R n R définie par q A (x) = x T Ax = ( x ) x n a a n..... a n a nn x. x n = n a ij x i x j i,j= est appelée la forme quadratique associée à A. Exemples 7.3. ) La matrice A = ( ) définit la forme quadratique q(x, y) = ( x y ) ( ) ( x y ) = x 2 + 2xy + 2yx + 7y 2 = x 2 + 4xy + 7y 2.

188 82 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES 2) La matrice définit la forme quadratique A = q(x, y, z) = 2x 2 + 2xy 3xz + 2yx 4y 2 3zx + z 2 = 2x 2 + 4xy 6xz 4y 2 + z 2. 3) La matrice identité I n définit la forme quadratique q(x) = x T x = x 2 = x 2 + x x 2 n. 4) La matrice diagonale D = λ λ λ n définit la forme quadratique q(x, x 2,..., x n ) = λ x 2 + λ 2 x λ n x 2 n En particulier q(e i ) = q(,,,,,, ) = λ i. Application : A = ( 2 donc q(, ) = et q(, ) = 2 < ) donne la forme quadratique q(x, y) = x 2 2y 2 Propriétés : pour toute forme quadratique q(x) et tout λ R, on a q(λx) = λ 2 q(x) (d où le nom de quadratique). Définition 7.3. Une forme quadratique q est dite () définie positive si q(x) > pour tout x R n non nul ; (2) définie négative si q(x) < pour tout x R n non nul ; (3) indéfinie s il existe x, y R n avec q(x) < et q(y) >. Une matrice symétrique A est dite définie positive (définie négative, etc.. ) si la forme quadratique associée q A est définie positive (définie négative, etc...)

189 7.5. ETUDE DE FONCTION 83 Liens avec les valeurs propres Comme A est symétrique, elle est diagonalisable : A = P DP λ λ 2 avec D = λ n Les λ i sont les valeurs propres de A. De plus, P est une matrice orthogonale : P = P T. Proposition Soit A, P et D comme ci-dessus. Alors A est définie positive (resp. définie négative, indéfinie) si et seulement si D est définie positive (resp. définie négative, indéfinie). En d autres termes, la diagonalisation ne change pas la signature de la matrice. Démonstration : Comme P est inversible (bijective), à tout x R n, on peut associer un et un seul y R n en posant Alors Ainsi y = P x = P T x x = P y. q A (x) = x T Ax = x T P DP x = x T P Dy = (P T x) T Dy = y T Dy = q D (y) q A (x) > x R n q A (y) > y R n. Ceci montre que q A est définie positive si et seulement si q D l est. La démonstration est la même dans le cas d une matrice définie négative ou indéfinie. Remarque L exemple 4) ci-dessous montre de plus qu une matrice diagonale D est définie positive si et seulement si λ i > pour tout i =, 2,..., n. De même D est définie négative si et seulement si λ i < pour tout i. Et finalement D est indéfinie si et seulement s il existe un λ i < et un λ j > (car alors q(e i ) = λ i < et q(e j ) = λ j > ). Cette remarque et la proposition précédente implique le résultat suivant : Théorème Une matrice A symétrique est () définie positive si et seulement si toutes ses valeurs propres sont > (2) définie négative si et seulement si toutes ses valeurs propres sont < (3) indéfinie si et seulement s il existe λ i < et λ j >. Exemple : soit Alors A = ( ) λ λ 2 = det(a) = 7 4 = 3 > λ + λ 2 = Tr(A) = 8 >. Donc les 2 valeurs propres sont positives et la matrice A est définie positive. Plus généralement,

190 84 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES Théorème Soit A M 2 (R) une matrice 2 2 symétrique. () Si det(a) > et Tr(A) > alors λ > et λ 2 > et la matrice A est définie positive ; (2) si det(a) > et Tr(A) < alors λ < et λ 2 < et la matrice A est définie négative ; (3) si det(a) < alors λ < et λ 2 > et la matrice A est indéfinie. Application aux extremum Soit f(x) une fonctions à n variables et a un point stationnaire (i.e. f(a) = ). Alors l approximation de Taylor d ordre 2 autour de a devient : f(a + u) = f(a) + f(a) u + 2 ut H f (a) u + r 2 (u) f(a) + 2 ut H f (a) u Ainsi proche de a, la fonction f se comporte comme f(a + u) f(a) + 2 q(u) où q(u) est la forme quadratique associée à H f (a) : q(u) = u T H f (a) u. Ainsi, si q(u) est définie positive, alors q(u) > pour tout u et donc f(a + u) = f(a) + q(u) > f(a). 2 Le point a est alors un minimum local strict. Si q(u) est définie négative, alors q(u) < pour tout u et donc f(a + u) = f(a) + q(u) < f(a). 2 Le point a est alors un maximum local strict. Si q(u) est indéfinie, alors il existe u avec q(tu ) = t 2 q(u ) > et il existe u 2 avec q(tu 2 ) = t 2 q(u 2 ) <. Ceci implique que f(a + tu ) = f(a) + q(tu ) > f(a) pour tout t et f(a + tu 2 ) = f(a) + q(tu 2 ) < f(a) pour tout t ce qui montre que a est un point selle. En résumé, Théorème 7.36 (Classification des points stationnaires). Soit a un point stationnaire d une fonction f C 2 (D, R) et H f (a) la matrice hessienne de f en a.. Si H f (a) est définie positive, alors a est un minimum strict ; 2. si H f (a) est définie négative, alors a est un maximum strict ; 3. si H f (a) est indéfinie, alors a est un point selle. Dans les autres cas, on ne peut rien dire. Dans le cas d une fonction f(x, y) à 2 variables, ce résultat devient

191 7.5. ETUDE DE FONCTION 85 Théorème Soit a un point stationnaire d une fonction f(x, y) de classe C 2 et H f (a) sa matrice hessienne (matrice 2 2).. Si det(h f (a)) > et Tr(H f (a)) >, alors a est un minimum strict ; 2. si det(h f (a)) > et Tr(H f (a)) <, alors a est un maximum strict ; 3. si det(h f (a)) <, alors a est un point selle. Si det(h f (a)) =, on ne peut rien dire. Exemples Reprenons l exemple vu précédemment : f(x, y) = xy + 4 et P (, ). On a vu { { ( fx = y fxx = = f = yy = H f y = x f xy = = f f = yx ) = H f (, ) et donc deth f (, ) = <. Le point (, ) est un point selle. Conforme à ce que l on avait déjà trouvé. 2. f(x, y) = x 3 + 3xy 2 5x 2y + 3. Alors { fx = 3x 2 + 3y 2 5 f y = 6xy 2 Les points stationnaires sont les solutions du système { 3x 2 + 3y 2 5 = 6xy 2 = { x 2 + y 2 = 5 x = 2 y { 4 y 2 + y 2 = 5 x = 2 y { y 4 5y = x = 2 y ce qui donne y 2 = 4 ou y 2 =. Les points stationnaires sont donc P (, 2) P 2 (, 2) P 3 (2, ) P 4 ( 2, ) Calculons maintenant H f : f xx = 6x f xy = 6y = f yx f yy = 6x ( 6x 6y = H f (x, y) = 6y 6x ) Point P : H f (, 2) = ( ) = det(h f ) = < = P est un point selle. Point P 2 : ( 6 2 H f (, 2) = 2 6 ) = det(h f ) = < = P 2 est un point selle. Point P 3 : ( ) 2 6 H f (2, ) = 6 2 = det(h f ) = > et Tr(H f ) = 24 >

192 86 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES = P 3 est un minimum local. Point P 4 : ( ) 2 6 H f ( 2, ) = 6 2 = det(h f ) = > et Tr(H f ) = 24 < = P 4 est un maximum local. 3. Soit f(x, y, z) = 2 x2 y 3 2 x2 + xyz xz + 2x y y z2 (i) Vérifier que le point P (,, ) est un point stationnaire. (ii) Etudier sa nature. (i) f x = xy 3x + yz z + 2 = f x (,, ) = f y = 2 x2 + xz 2y = f y (,, ) = f z = xy x 2z = f z (,, ) =. On a bien f(,, ) =. (ii) f xx = y 3 f yy = 2 f zz = 2 f xy = x + z f xz = y f yz = x La matrice hessienne de f au point P (,, ) vaut alors H f (,, ) = y 3 x + z y x + z 2 x y x 2 P = (,, ) =: A Il faut calculer les valeur propres de A : det(λi 3 A) = λ + 2 λ + 2 λ + 2 = (λ + 2) 3 (λ + 2) (λ + 2) = λ 3 + 6λ 2 + λ + 4 = λ = 2 est une solution et par factorisation, on obtient (Sarus) λ 3 + 6λ 2 + λ + 4 = (λ + 2)(λ 2 + 4λ + 2) = = λ 2,3 = 2 ± 2. Les 3 valeurs propres étant <, le point P (,, ) est un maximum local.

193 7.6. THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES Théorème des fonctions implicites 7.6. Exemple Soit F (x, y) une fonction à 2 variables. Considérons la courbe de niveau γ = N F () = {(x, y) F (x, y) = }. ) On peut essayer de résoudre l équation F (x, y) = en fonction de y pour établir y = f(x). Si on peut le faire, alors la courbe γ est le graphe de la fonction y = f(x) et on a F (x, f(x)) =. En dérivant cette dernière égalité par rapport à x, on trouve F x (x, f(x)) + F y (x, f(x)) f (x) = ce qui donne f (x) = F x(x, f(x)) F y (x, f(x)). Exemple : soit Alors F (x, y) = x 2 + e y + 2x =. y = f(x) = ln( x 2 2x) pour x ] 2; [. Calcul direct : y = f (x) = 2x 2 x 2 2x. Calcul implicite : F x = 2x + 2 et F y = e y. Alors f (x) = F x F y = 2x + 2 e y = 2x + 2 x 2 2x. 2) Dans le cas général, il n est pas possible de calculer y = f(x). Mais, si l on suppose que localement - sur un ouvert contenant P (x, y ) - il existe y = y(x) alors on a vu au chapitre 4 qu on peut dériver la relation F (x, y) = par rapport à x (dérivée droite) pour trouver y P. Ceci donne F x (x, y ) + F y (x, y ) y (x, y ) = = y P = F x(x, y ) F y (x, y ) La formule est la même que précédemment. Exemple : soit F (x, y) = x 2 + y 2 25 = le cercle de centre (, ) et de rayon 5. Alors { Fx = 2x F y = 2y On obtient ainsi y P = 2x 2y = x y pour P (x, y )

194 88 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES Sans calculer explicitement y = y(x) on peut donc trouver la dérivée y (x ) en tout point (x, y ). L équation de la tangente à γ au point P (x, y ) est alors y = y P (x x ) + y = F x P F P (x x ) + y y ce qui donne Equation de la tangente en P : F x P (x x ) + F y P (y y ) = Exemple précédent : la tangente au cercle x 2 + y 2 25 = au point P (3, 4) est F x (3, 4) (x 3) + F y (3, 4) (y 4) = ce qui donne 6 (x 3) + 8 (y 4) = Théorème général Soit F (x,..., x n ) = une équation à n variables. Les résultats précédents se généralisent de la façon suivante. Premièrement, le théorème suivant affirme que, localement, et sous certaines hypothèses, il est possible de résoudre l équation en fonction d une variable, par exemple x n = f(x,..., x n ). Secondement, il affirme que les dérivées partielles de f(x,..., x n ) se calculent à partir des dérivées partielles F xi comme précédemment. Théorème 7.39 (Théorème des fonctions implicites). Soit D R n un ouvert, F : D R une fonction de classe C et a = (a,..., a n ) D un point satisfaisant F (a) =. On suppose que F xn (a). Posons â = (a,..., a n ) R n. Alors il existe un ouvert U R n contenant â et une fonction à n variables f : U R satisfaisant :. le graphe de f est contenu dans D : (x,..., x n, f(x,..., x n )) D pour tout (x,..., x n ) U. 2. f(a,..., a n ) = a n 3. F (x,..., x n, f(x,..., x n )) = pour tout (x,..., x n ) U 4. la fonction f est de classe C et f xi = F x i F xn i {,..., n }

195 7.6. THÉORÈME DES FONCTIONS IMPLICITES 89 Remarque 7.4. La condition F xn (a) est essentielle. Cependant si F xn (a) = mais que F xk (a) pour un certain k n, alors le résultat est vrai pour x k c est-à-dire qu il existe une fonction f avec On explicite x k au lieu de x n. x k = f(x,..., x k, x k+,... x n ) En revanche, si F xi (a) = pour tout i =,..., n (le point a est un point stationnaire), le théorème n est plus vrai et il est impossible d expliciter une variable x i en fonction des autres Application : équation du plan tangent à une surface implicite Considérons la surface Γ définie par l équation F (x, y, z) = et un point P (x, y, z ) Γ, i.e. F (x, y, z ) =. Supposons de plus que F z P. Alors, par le théorème des fonctions implicites, il existe une fonction z = f(x, y) décrivant la surface Γ au voisinage de P. En particulier f(x, y ) = z. L approximation du er ordre de cette fonction f donne l équation du plan tangent : ( ) x x z = f(x, y ) + f(x, y ) = f(p ) + f y y x (P ) (x x ) + f y (P ) (y y ) Or le théorème des fonctions implicites donne f x et f y : f x (P ) = F x(p ) F z (P ) et f y (P ) = F y(p ) F z (P ) L équation du plan tangent devient : qui s écrit encore z = f(p ) F x(p ) F z (P ) (x x ) F y(p ) F z (P ) (y y ) F x (P ) (x x ) + F y (P ) (y y ) + F z (P ) (z z ) =. Ceci montre que le vecteur normal au plan tangent et donc à la surface Γ est ( ) n = F x (P ) F y (P ) F z (P ) = F (P ) Le gradient F est donc bien orthogonal à la surface de niveau N F () = Γ. De manière générale si une hyper-surface Γ est donnée par l équation F (x,..., x n ) =

196 9 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES alors l équation de l hyper-plan tangent à Γ passant par a = (a,..., a n ) Γ est F x (a) (x a ) + F x2 (a) (x 2 a 2 ) + + F xn (a) (x n a n ) = qui s écrit aussi F (a) x a. x n a n = Exemples Considérons l ellipsoïde Alors Γ : F (x, y, z) = 3x 2 + 6y 2 + z 2 36 =. F x = 6x F y = 2y F z = 2z et l équation du plan tangent au point P (, 2, 3) Γ est F x (, 2, 3) (x ) + F y (, 2, 3) (y 2) + F z (, 2, 3) (z 3) = 6(x ) + 24(y 2) + 6(z 3) = 6x + 24y + 6z = Considérons la surface (Γ) : xyz = et le point P (2,, 3) Γ. Alors, en notant F (x, y, z) = xyz, on a 6 F x = yz F y = xz F z = xy = F x (P ) = 2 F y (P ) = 6 F z (P ) = 3 L équation du plan tangent à Γ par P est alors ( (x 2) + 6 y ) + (z 3) = Extremum sous contraintes : multiplicateur de Lagrange 7.7. Multiplicateur de Lagrange On désire trouver le maximum (ou minimum) d une fonction f(x,..., x n ) sur un domaine D avec la contrainte g(x,..., x n ) =. On suppose que g(x) sur D. ère méthode : si l on peut expliciter alors x n = g(x,..., x n ), f(x, x 2,..., x n ) = f(x, x 2,..., x n, g(x,..., x n )) = Φ(x,..., x n )

197 7.7. EXTREMUM SOUS CONTRAINTES : MULTIPLICATEUR DE LAGRANGE 9 et on cherche les extremums de Φ. 2ème méthode : si l on peut trouver une paramétrisation de la courbe g(x,..., x n ) = de la forme x = x (t) (γ) :. x n = x n (t) alors f(x,..., x n ) = f(x (t),..., x n (t)) = Φ(t) et on cherche les extremums de Φ. 3ème méthode : si aucune des 2 méthodes ne marche, on utilise un multiplicateur de Lagrange. Cette méthode consiste à résoudre le système d équations en x D : { f(x) + λ g(x) = g(x) = C est un système à n + inconnues x, x 2,..., x n, λ et à n + équations. Cette méthode est basée sur le théorème suivant : Théorème Soit D R n un ouvert et f, g C (D, R) et M = {x D g(x) = }. Soit a = (a,..., a n ) M un extremum local de la fonction f M. On suppose de plus que g(a). Alors il existe un λ R tel que f(a) + λ g(a) =. Autrement dit, f(a) et g(a) sont colinéaires. λ est appelé un multiplicateur de Lagrange. Démonstration : On peut supposer g (a). Alors par le théorème des fonctions implicites, il existe une fonction Φ(x,..., x n ) dans un voisinage U = B(ã, r) de x n ã = (a,..., a n ) telle que { Φ(a,, a n ) = a n g(x,..., x n, Φ(x,..., x n )) = x U avec Posons alors g Φ x (ã) = i (a) x g i x n (a) pour tout i =,..., n F (x,..., x n ) = f(x,..., x n, Φ(x,..., x n )). Alors, par hypothèse, la fonction F (qui est f M ) admet un extremum en ã. On a donc F (ã) = ce qui donne, avec la règle de composition : = F (ã) = f (a) + f (a) Φ (ã) x i x i x n x ( i = f x i (a) + f = f x i (a) + (a) x n ( f x n (a) g x n (a) ) g x i (a) g x n (a) ) g x i (a) pour tout i =,..., n

198 92 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES f x En posant λ = n (a), on obtient g x n (a) = f x i (a) + λ g x i (a) pour tout i =,..., n, n et donc f(a) + λ g(a) =. ATTENTION : f(a) + λg(a) = est une condition nécessaire mais pas suffisante. Il faut donc vérifier que la solution cherchée est bien un extremum. Exemples ) Trouver le maximum et le minimum de la fonction f(x, y) = x 2 + 4y 2 x + 2y sur le bord de l ellipse x 2 + 4y 2 =. Solution : la condition est g(x, y) = x 2 + 4y 2 =. Alors f = et le système à résoudre est alors ou ( 2x 8y + 2 ) T g = 2x + λ2x = 8y λ8y = x 2 + 4y 2 = ( 2x 8y 2(λ + )x = (I) 4( + λ)y = (II) x 2 + 4y 2 = En élevant au carré et en additionant les équations (I) et (II), on trouve ce qui donne On trouve alors 2 points : { 4(λ + ) 2 (x 2 + 4y 2 ) = 2 x 2 + 4y 2 = 4(λ + ) 2 = 2 = λ + = ± /2 = λ = ± P (, 2 2 ) et Q(, 2 2 Un calcul montre que P est le minimum et Q le maximum. ) T 2 2 ). 2. 2) Construire une boite de forme parallélépipèdique sans couvercle, de volume donné V de telle sorte que la surface du fond et des parois soit minimale.

199 7.7. EXTREMUM SOUS CONTRAINTES : MULTIPLICATEUR DE LAGRANGE 93 La fonction à minimiser est et la contrainte est A = f(x, y, z) = xy + 2xz + 2yz g(x, y, z) = xyz V =. Le système à résoudre f(x, y, z) + λ g(x, y, z) = devient y + 2z + λyz = (I) x + 2z + λxz = (II) 2x + 2y + λxy = (III) xyz = V (IV ) (I) x (II) y donne 2xz 2yz = et donc x = y. Le système (partiel) devient : x + 2z + λxz = (II) 4 + λx = (III) x 2 z = V (IV ) (II) (III) z donne x 2z = donc x = 2z. Finalement (IV ) devient 4z 3 = V ce qui donne z = 3 V 4 x = y = 2z = 3 2V Contraintes multiples Pour trouver les extremums d une fonction f(x) avec m contraintes g (x) = g 2 (x) = on résoud le système f(x) +. g m (x) = m λ j g j (x) = j= g (x) =. g m (x) = C est un système à n + m inconnues : x, x 2,..., x n, λ,..., λ m et n + m équations. Exemple : trouvons le maximum de la fonction f(x, y, z) = x + y + z avec les contraintes { g (x, y, z) = x 2 + y 2 2 = g 2 (x, y, z) = x + z Géométriquement g (x, y, z) = est l équation d un cylindre vertical et g 2 (x, y, z) = celle d un plan. Leur intersection est une ellipse Γ. On cherche donc le maximum de f sur l ellipse

200 94 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES Γ. Comme f(x, y, z) = ( ) g (x, y, z) = (2x 2y ) g 2 (x, y, z) = ( ), il faut résoudre le système + λ 2x + λ 2 = (I) + λ 2y = (II) + λ 2 = (III) x 2 + y 2 = 2 (IV ) x + z = (V ) On voit que λ 2 = par (III) et donc x = ce qui donne y = ± 2 et z =. On obtient 2 points P (, 2, ) et Q(, 2, ). Comme f(p ) = + 2 et f(q) = 2, on en déduit que P est le maximum cherché. 7.8 Fonctions de R n dans R m 7.8. Gradient Dans cette section, nous allons étudier les fonctions f : D R n R m En physique, ces fonctions sont appelées champs vectoriels. A tout point x = (x,..., x n ) D, on associe un vecteur f(x,..., x n ) = f (x,..., x n ) f 2 (x,..., x n ). f m (x,..., x n ) La fonction f k : D R est la i-ème composante de f. L image d un point x sera vue comme un vecteur-colonne. Définition-Proposition Soit D un ouvert de R n et f : D R m une fonction. La fonction f est continue (resp. dérivable, resp. de classe C ) si toutes ses composantes f k : D R sont continues (resp. dérivables, resp. de classe C ).

201 7.8. FONCTIONS DE R N DANS R M 95 Exemples Si n =, on retrouve les courbes déjà étudiées γ : I R m. 2. Si m =, on retrouve les fonctions réelles à plusieurs variables f : D R. 3. La fonction f : R 2 R 2 définie par f(x, y) = est continue et de classe C sur tout R Soit f : R 2 R la fonction définie par ( x 2 + 2y 2x + sin y ) f(x, y) = x 2 + 5xy 4x. Alors le gradient de f définit un champ vectoriel f : R 2 R 2 ( 2x + 5y 4 (x, y) 5x ) Définition Soit D R n un ouvert, f : D R m une fonction dérivable et x D. La matrice m n f (x) f 2 (x) f(x) =. f m (x) = ( ) fi (x) x j i m j n est appelée le gradient de f en x ou également la matrice jacobienne de f. Remarques :. si f : D R (m = ), la matrice est un vecteur-ligne et on retrouve le gradient définit dans la section Dans le cas d une courbe γ : I R m x (t) x 2 (t) t. x m (t) on a alors n = et le gradient de γ est un vecteur-colonne qui n est rien d autre que le vecteur tangent : γ(t) = γ(t).

202 96 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES Exemples Considérons la fonction de R 3 dans R 2 : ( x f(x, y, z) = 2 y + 2yz + sin x xyz + 2x ) Le gradient de f en (x, y, z) est une matrice 2 3 : ( 2xy + cos x x f(x, y, z) = 2 + 2z 2y yz + 2 xz xy 2. Le gardient de la fonction identité Id R n : R n R n est la matrice identité I n. ). Règle de composition Soit D R n, U R m deux ouverts, f : D R m et g : U R l deux fonctions de classe C. Supposons que f(d) U. Alors la fonction composée g f : D R l est de classe C et son gradient est donné par (g f)(a) } {{ } l n Cette formule s écrit aussi Remarques = g(f(a)) } {{ } l m f(a) } {{ } m n (g f) = [ g f] f. pour tout a D.. Si m = n = l = on retrouve la règle (g f) (x) = g (f(x)) f (x) 2. Si n = (f est une courbe) et l = (g est une fonction réelle), on retrouve la règle déjà vue (g f) (t) = g(f(t)) f(t) }{{} = f(t). 3. Dans le cas l =, on peut réécrire la règle précédente comme suit : soit g(x,..., x m ) une fonction de R m dans R. Posons x = f (u,..., u n ) x 2 = f 2 (u,..., u n ). x m = f m (u,..., u n ) Si l on note x = f(u), alors la formule précédente s écrit ( ) D u (g f) D u2 (g f) D un (g f) = (D x g D x2 g D xm g) D u f D u2 f D un f D u f 2 D u2 f 2 D un f D u f m D u2 f m D un f m

203 7.8. FONCTIONS DE R N DANS R M 97 ce qui donne pour tout i =, 2,..., n : g f (u) = g (x) x (u) + g (x) x 2 (u) + + g (x) x m (u) u i x u i x 2 u i x m u i m g = (f(u)) x k (u) x k u i Notation physique k= Si on notera, par abus : et L = L(x, y, z) et x = x(u, t) y = y(u, t) z = z(u, t) L u = L u = L x x u + L y y u + L z z u L t = L x x t + L y y t + L z z t Fonction inverse et gradient Soit h : R n R n une fonction bijective et h : R n R n sa fonction réciproque. On suppose que h et h sont dérivables. Alors, comme h h = id R n, la règle de composition donne ou encore h(h (y)) h (y) = I n h (y) = [ h(h (y)) ] Le gradient de h est l inverse du gradient de h. Exemple : soit h : R 2 R 2 définie par h(ρ, φ) = ( ρ cos φ ρ sin φ C est la transformation entre coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires. Alors en se restreignant à un ouvert D avec ρ > (par exemple φ ], π/2[), la fonction h est bijective. Son inverse est donné par On a et h (x, y) = y ρ ( ρ φ y φ ) ) ( ) x = 2 + y 2 arctan ( y ) x ( ) ( ) xρ x h = φ cos φ ρ sin φ = sin φ ρ cos φ ( h ρx ρ = y φ x φ y ) = ( x x 2 +y 2 y x 2 +y 2 y x 2 +y 2 x x 2 +y 2 )

204 98 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES Si on écrit h en fonction de ρ et φ, on obtient h = ( x ρ y ρ 2 y ρ x ρ 2 ) = ( cos φ sin φ sin φ ρ cos φ ρ ) et on vérifie que c est bien la matrice inverse de h Application : changement de coordonnées Coordonnées polaires Soient { x = x(ρ, φ) = ρ cos φ y = y(ρ, φ) = ρ sin φ Considérons la fonction h : R 2 R 2 définie par h(ρ, φ) = (x(ρ, φ), y(ρ, φ)). La fonction h décrit le changement entre coordonnées polaires et coordonnées cartésiennes. Son gradient est ( ) ( ) xρ x h = φ cos φ ρ sin φ = sin φ ρ cos φ Soit f(x, y) une fonction réelle à 2 variables. Posons f(ρ, φ) = f(h(ρ, φ)) = f(x(ρ, φ), y(ρ, φ)). y ρ y φ C est la fonction f exprimée en coordonnées polaires. Parfois, par abus de langage, on identifie f et f. On définit également f x (ρ, φ) = f x (x(ρ, φ), y(ρ, φ)) C est la dérivée partielle de f selon x mais exprimée en coordonnées polaires. De même, on pose f y = f y h ce qui se résume par x,y f = ( fx fy ) = f h. (c est le gradient de f selon x et y mais exprimé en fonction de ρ et φ). On notera ρ,φ f au lieu de f pour plus de clarté. Avec ces notations la règle de composition devient f = [ f h] h = x,y f h ρ,φ f = x,y f h qui donne ( f ρ fφ ) = ( f x ( ) cos φ ρ sin φ fy ) sin φ ρ cos φ } {{ } = h

205 7.8. FONCTIONS DE R N DANS R M 99 La matrice h est inversible si ρ, car det( h) = ρ. En multipliant à droite par h, on obtient ( f x fy ) = ( f ρ fφ ) ( ) ρ cos φ ρ sin φ ρ sin φ cos φ ( = cos(φ) f ρ f ρ sin(φ) f φ sin(φ) f ρ + ρ cos(φ) f ) φ ce qui donne f x = cos φ f ρ ρ sin φ f φ f y = sin φ f ρ + ρ cos φ f φ (7.4) Ces 2 formules permettent donc de calculer les dérivées partielles selon x et y d une fonction donnée en coordonnées polaires. Exemple Considérons la fonction f(ρ, φ) = 2ρ 2 en coordonnées polaires. Calculons le gradient de f selon x, y. On a f ρ = 4ρ et f φ = ce qui donne, en appliquant la formule (7.4) f x = f x = cos φ f ρ ρ sin φ f φ = cos φ 4ρ = 4ρ cos φ f y = f y = sin φ f ρ + ρ cos φ f φ = sin φ 4ρ Le gradient est donc 4ρ (cos φ sin φ). Vérification par calcul direct : f(x, y) = 2ρ 2 = 2(x 2 + y 2 ). Alors f x = 4x = 4ρ cos φ et f y = 4y = 4ρ sin φ. Coordonnées cylindriques Considérons le changement de coordonnées x = ρ cos φ y = ρ sin φ z = z Ceci définit une fonction h : R 3 R 3 en posant h(ρ, φ, z) = (x, y, z). Sa matrice jacobienne est x ρ x φ x z cos φ ρ sin φ h = y ρ y φ y z = sin φ ρ cos φ. z ρ z φ z z On a det( h) = ρ. Ainsi si ρ la matrice h est inversible : h = ρ cos φ ρ sin φ sin φ cos φ. ρ ρ

206 2 CHAPITRE 7. CALCUL DIFFÉRENTIEL À PLUSIEURS VARIABLES Soit f(x, y, z) une fonction à 3 variables et f(ρ, φ, z) la fonction correspondante en coordonnées cylindriques. En posant comme précédemment x,y,z f = f h et en notant ρ,φ,z f au lieu de f, on obtient f = [ f h] h = x,y,z f h. ou encore x,y,z f = ρ,φ,z f h ce qui donne f x = f ρ cos φ f φ ρ f y = f ρ sin φ + f φ ρ f z = f z sin φ cos φ Coordonnées sphériques Considérons le changement de coordonnées : x = r cos φ sin θ y = r sin φ sin θ z = r cos θ r >, φ 2π Ceci définit une fonction h : R 3 R 3 en posant h(r, φ, θ) = (x, y, z). Sa matrice jacobienne est x r x φ x θ cos φ sin θ r sin φ sin θ r cos φ cos θ h = y r y φ y θ = sin φ sin θ r cos φ sin θ r sin φ cos θ. z r z φ z θ cos θ r sin θ On a det( h) = r 2 sin θ. Ainsi si r et θ ±π, la matrice h est inversible : h = et on calcule, comme ci-dessus r 2 sin θ r cos φ r sin φ sin φ cos φ r x,y,z f = r,φ,θ f h.

207 Chapitre 8 Intégrales multiples 8. Intégrales doubles 8.. Définition et interprétation géométrique Soit D un domaine fermé de R 2 et f(x, y) une fonction continue sur D. On a envie de définir l intégrale double f(x, y) dxdy D de telle manière qu elle soit égale au volume compris entre la base D et la surface S = {(x, y, f(x, y) (x, y) D}. Défintion analytique On décompose D de façon quelconque en sous-domaines disjoints D, D 2,..., D n. Soit A i l aire de chaque D i. On choisit arbitrairement un point (ξ i, η i ) D i et on calcule V i = f(ξ i, η i ) A i = volume du prisme de base D i et de hauteur z i = f(ξ i, η i ) volume limité par D i et la surface S i 2

208 22 CHAPITRE 8. INTÉGRALES MULTIPLES On pose alors V n = n V i = i= n f(ξ i, η i ) A i i= Posons δ = max d i avec d i = diamètre du plus petit cercle contenant D i. Alors, on définit i D f da = lim n δ V n = lim n δ n f(ξ i, η i ) A i i= et ceci indépendamment du choix des D i, des ξ i et des η i. On note aussi f(x, y) dxdy au lieu de f da. D L élément da = dxdy est l élément différentiel de surface. D 8..2 Propriétés de l intégrale double En utilisant les propriétés des limites, on démontre que :. (f + g) da = f da + g da 2. D D D α f da = α D f da 3. Si D = D D et D D = alors f da = D f da + D f da D 4. si f g sur D alors 5. si f(x, y) = alors D D f da D da = Aire(D) D g da Calcul effectif Sur un rectangle Supposons que D soit un rectangle : D = {(x, y) a x b, c y d}. Soit A(x) est l aire de la section P P Q Q avec x fixé [a; b].

209 8.. INTÉGRALES DOUBLES 23 Alors I = Or pour x = x fixé, on a A(x ) = I = D d f(x, y) dxdy = c b a b a A(x) dx f(x, y) dy. Donc finalement ( d c ) f(x, y) dy On intègre donc d abord selon y en considérant x comme un paramètre et ensuite selon x. Mais on peut faire l inverse. On obtient donc aussi Cas particulier : si alors et alors I = b a A(x) = ( p(x) I = d c d c d c b dx. f(x, y) dx a dy. } {{ } =B(y) f(x, y) = p(x)q(y) p(x)q(y) dy = p(x) ) q(y) dy dx = b a d c p(x) dx q(y) dy L intégrale double, est dans ce cas le produit de 2 intégrales simples. Cas général d c q(y) dy. Supposons que l on peut trouver deux fonctions φ(x) et ψ(x) définie entre x et x 2 telles que D = {(x, y) R 2 x [x ; x 2 ] φ(x) y ψ(x)}. L aire de la section située dans le plan vertical x = x est alors égale à A(x ) = ψ(x ) φ(x ) f(x, y) dy et alors D f(x, y) dxdy = x2 x ( ) ψ(x) f(x, y) dy dx. φ(x)

210 24 CHAPITRE 8. INTÉGRALES MULTIPLES De façon analogue, on peut d abord intégrer selon la variable x qui varie entre θ(y) et σ(y) et ensuite selon y. On obtient D f(x, y) dxdy = y2 y ( ) σ(y) f(x, y) dx dy. θ(y) Remarque : En général, il faut décomposer D en plusieurs sous-domaines pour trouver ϕ(x) et ψ(x). Remarque : Le choix de l ordre d intégration ne change rien en théorie mais, en pratique, il est important. Un bon choix peut conduire à un petit nombre d intégrales alors qu un mauvais choix peut même amener à une intégrale impossible à calculer. Exemples 8.. () Considérons la fonction f(x, y) = x + y sur le domaine D ci-contre Prenons y = y fixé on intègre d abord selon x. Alors A(y ) = ( ) x 2 (x + y ) dx = x=y 2 + xy x=4 2y = = 8 4y 3 x=y 2 y2. x=4 2y Donc D f(x, y) da = y= y= ( 8 4y 3 2 y2) dy = (8y 2y 2 2 y3) = 2. Si on intègre d abord selon y et ensuite selon x, il faut calculer 3 intégrales : x= x=... da + x=2 x=... da + x=4 x=2... da. (2) soit f(x, y) = y x 2 sin2 x sur le domaine D = triangle de sommets O(, ), A(π, ) et B(π, π).

211 8.. INTÉGRALES DOUBLES 25 Domaine D : Intégration d abord selon y : D f(x, y) dxdy = = 2 x=π ( y=x x= π Intégration d abord selon y : I = π y= ( x=π x=y y sin2 x x 2 Impossible d intégrer sin2 x x 2. y= sin 2 x dx = π 4. ) dx ) y x 2 sin2 x dy dy = π y= dx = π x 2 sin2 x y2 2 ( x=π sin 2 ) x y x=y x 2 dx y=x dx y= dy =... (3) f(x, y) = 2xy sur le domaine D = quart de cercle de rayon et de centre O(, ). D 2xy da = 8..4 Applications Centre de masse (A) Corps ponctuels y= x 2 y= [ x 2 = 2 x4 4 ] = 4. 2xy dy dx = x [y 2] x 2 dx = x( x 2 ) dx avec M = n m i = masse totale. i= OG = M n i= m i OP i Le point G ne dépend pas de l origine O choisie. En effet si on prend O, on obtient O G = M n i= = O O + OG. m i O P i = M n i= m i ( O O + OP i ) = M n i= m i O O + M n i= m i OP i

212 26 CHAPITRE 8. INTÉGRALES MULTIPLES (B) Cas général : soit D un domaine fini de masse spécifique µ(x, y). Alors la masse m i d un très petit sous-domaine D i est environ égale à avec A i = Aire(D i ). Masse totale : m i = µ(x, y) A i M n = n m i = i= n µ(ξ i, η i ) A i i= n M = µ(x, y) da. D Pour le centre de masse, chaque D i donne une contribution de En passant à la limite, on obtient m i OP i = µ(p i ) A i OP i. OG = µ(x, y) OP dxdy M D avec OP = ( x y ) En choisissant un système d axes, et en notant (x G, y G ) les coordonnées de G, on obtient x G = M D x µ(x, y) dxdy et y G = M D y µ(x, y) dxdy. (8.) Exemples Centre de masse d un demi disque homogène (µ ) de rayon R. Masse totale : M = D dxdy = A = πr2 2. Centre de masse : par symétrie, on a x G =.

213 8.. INTÉGRALES DOUBLES 27 Pour y G la formule 8. donne y G = M = 2 πr 2 y dxdy = 2 πr 2 [ y 2 D R x= R R 2 ] R 2 x 2 R x= R dx = 2 πr 2 x= R 2 (R2 x 2 ) dx = [R πr 2 2 x x3 ] R 3 R = (2R πr ) R3 = 4 3π R. R 2 x 2 y= y dydx 2. Centre de masse d un triangle homogène (µ ). A l aide d une translation et d une rotation, on peut toujours se ramener au cas suivant : A(, ), B(x B, y B ) et C(x B, y C ). Equation de la droite AB : y = mx + h = y B x B x Droite AC : y = mx + h = y C x B x Masse du triangle = aire du triangle = A = 2 x B (y C y B ) Alors x dxdy = = xb x= xb x= ( y C xb x y B x B x x dy ) dx = y C y B x B x 2 dx = 3 = 3 x2 B(y C y B ) xb x= y C y B x B x ( y C x B x y B x B x) dx x 3 B et donc x G = M x dxdy = 2 x B (y C y B ) 3 x2 B(y C y B ) = 2 3 x B = 3 (x A + x B + x C ). De même y dxdy = = 6 xb x= ( y 2 C ( y C x 2 B xb x y B x B x y2 B x 2 B y dy ) dx = xb x= 2 ( y 2 C x 2 B ) x 3 B = 6 x B(y 2 C y 2 B). ) y2 B x 2 x 2 dx B

214 28 CHAPITRE 8. INTÉGRALES MULTIPLES et donc y G = A y dxdy = On a donc montré que dans un triangle ABC : 2 x B (y C y B ) 6 x B(yC 2 yb) 2 = 3 (y B + y C ) = 3 (y A + y B + y C ). OG = 3 ( ) OA + OB + OC. Propriété du centre de masse : Soit D = D D 2 D n et G i le centre de masse de D i et m i la masse de D i. Alors G = barycentre des points G i affectés des masses m i : OG = M (m OG + m 2 OG m n OG n ) Exemple : Centre de gravité du domaine D : Rectangle : m = 2bc et x G = y G = c 2 Rectangle 2 : m 2 = 2ac et x G2 = y G2 = c 2 Alors x G = et y G = M (m y G + m 2 y G2 ) = 2bc + 2ac (ac2 bc 2 ) = c 2 b a a + b. Théorème 8.3 (Théorème de Guldin). Soit D un domaine homogène du plan dont l aire vaut A. Soit G(x G, y G ) le centre de gravité de D. Soit V le volume du corps de révolution engendré par rotation de D autour de l axe Ox. Alors V = 2πy G A V = (circonférence du cercle décrit par G) (aire de D) Démonstration : On a vu au chapitre 5 que V = π y G = A = 2A b D ydxdy = A a b a b ( ) g(x) y dy dx = A f(x) [ g 2 (x) f 2 (x) ] dx = 2A V π. a [ g 2 (x) f 2 (x) ] dx. Donc b a [ 2 y2] g(x) f(x) dx

215 8.. INTÉGRALES DOUBLES 29 Moment d inertie Corps ponctuel de masse m tournant à une distance r autour d un axe. Alors J = mr 2. Corps étendu D de masse spécifique µ(x, y) (= masse par unité de surface). Tournant autour de l axe Ox : J x = y 2 µ(x, y) dxdy. Tournant autour de l axe Oy : J y = D D x 2 µ(x, y) dxdy. Théorème 8.4 (Théorème de Steiner). Notons Jy G le moment d inertie par rapport à un axe parallèle à Oy et passant par le centre de gravité G(x G, y G ). Alors où M = D J y = J G y µ(x, y) dxdy est la masse totale + Mx 2 G Démonstration : On a Jy G = (x x G ) 2 [ µ(x, y) dxdy = x 2 2xx G + x 2 ] G µ(x, y) dxdy D D = x 2 µ(x, y) dxdy 2x G xµ(x, y) dxdy + x 2 G µ(x, y) dxdy D = J y 2x G Mx G + Mx 2 G = J y Mx 2 G D D 8..5 Intégration sur tout R 2 Soit f(x, y) une fonction continue sur R 2. Comment définir f(x, y) dxdy? R 2 (A) Cas d une fonction positive : soit f(x, y) pour tout x, y R. Soit {D n } une suite de sous-ensembles bornés de R 2 satisfaisant les 2 propriétés suivantes :

216 2 CHAPITRE 8. INTÉGRALES MULTIPLES () D n D n+ pour tout n N. (2) Pour toute boule ouverte B r = B(O, r), il existe un n r N avec B r D nr. (Ceci implique que n N D n = R 2.) Posons alors I n = f(x, y) dxdy. D n Si la limite lim n I n = I existe, on définit f(x, y) dxdy = lim R 2 n f(x, y) dxdy. D n On peut montrer que cette définition est bonne dans le sens qu elle ne dépend pas du choix des D n. Si lim R 2 f(x, y) dxdy diverge. n D n f(x, y) dxdy = +, on dit que l intégrale Critère de comparaison : soient f(x, y) g(x, y). (i) Si R 2 g da converge alors R 2 f da converge aussi ; (ii) Si R 2 f da diverge alors R 2 g da diverge aussi. (B) Cas d une fonction quelconque : si f(x, y) est quelconque, on considère d abord l intégrale R 2 f(x, y) dxdy. () Si cette intégrale converge on dit que R 2 f(x, y) dxdy est absolument convergente. Dans ce cas, on peut montrer que la limite lim f(x, y) dxdy n D n existe et est indépendante du choix des D n. (2) Dans le cas où f(x, y) dxdy n est pas convergente, on ne peut pas définir R 2 f(x, y) dxdy comme précédemment car cette limite dépend du choix des D n. R 2

217 8.. INTÉGRALES DOUBLES 2 Exemple : f(x, y) = x 2 y 2. Soit D n le carré de centre (, ) et de côté 2n. Alors n n ( f(x, y) dxdy = x 2 y 2) n dx dy = ( 2 D n n n n 3 n3 2y 2 n) dy = 4 3 n4 4 3 n4 = et donc lim f(x, y) da =. n D n Soit D n = {(x, y) 2n < x < 2n, n < y < n} le rectangle de centre (, ) et de côtés 2n et n. Alors 2n n ( f(x, y) dxdy = x 2 y 2) 2n dydx = [x 2 y y3 ] y=n D n 2n n 2n 3 dx y= n 2n = (2x 2 n 2 [ 2 3 n3 ) dx = 3 nx3 2 2n x] 3 n3 2n = 32 3 n4 8 3 n4 = 8n 4. On a alors lim f(x, y) da = +. n D n 8..6 Changement de variables Soit D un domaine défini dans le plan Oxy. Considérons un changement de variables h : R 2 R 2 défini par ( ) ( ) x x(u, v) h(u, v) = = y y(u, v) Alors h(u, v) = ( xu (u, v) x v (u, v) y u (u, v) y v (u, v) Le domaine D se transforme en un domaine D dans le plan Ouv. ). 2n Considérons un petit rectangle situé dans D et limité par les points P (u, v), Q(u + u, v), R(u + u, v + v) et S(u, v + v).

218 22 CHAPITRE 8. INTÉGRALES MULTIPLES Son aire est égale à u v. Calculons la surface A correspondante dans D. Approximation du er ordre autour du point P (u, v) ( u h(u + u, v) = h(u, v) + h(u, v) ( xu (u, v) u h(u, v) + y u (u, v) u ) + o( u) ). De même Alors et ( h(u, v + v) = h(u, v) + h(u, v) v ( xv (u, v) v h(u, v) + y v (u, v) v ) + o( v) ). a = h(u + u, v) h(u, v) ( xu u y u u b = h(u, v + v) h(u, v) ( xv v y v v ). ). L aire du parallélogramme construit sur a et b vaut a b. Si u, v alors dxdy = da = x u du y u du x v dv y v dv = x u y v y u x v dudv = x u y v x v y u dudv = ( xu x det v y u y v ) dudv = det h dudv. ( ) xu x Notation : le terme det h = v (x, y) det est aussi noté. C est la valeur y u y v (u, v) absolue du jacobien de h. On a ainsi démontré l égalité (x, y) dxdy = dudv. (u, v) Lors d un changement de variables donné par h(u, v) = (x, y), il faut donc remplacer (x, y) dxdy par dudv (u, v) D par D f(x, y) par f(u, v) = f ( x(u, v), y(u, v) ). Ainsi f(x, y) dxdy = D D (x, y) f(u, v) dudv. (u, v)

219 8.. INTÉGRALES DOUBLES 23 Exemple 8.5. Soit D = Calculons { } (x, y) x >, y >, xy 4, x 2 y 2 3. J = D (x 2 + y 2 ) dxdy. { u = x On pose 2 y 2 v = 2xy. D devient D = { u 3, 2 v 8 } = [; 3] [2; 8] (c est un rectangle). (u, v) ( ) ( ) ux u = y 2x 2y = = 4(x 2 + y 2 ). Donc (x, y) 2y 2x L intégrale devient J = D v x v y (x 2 + y 2 )dxdy = dudv = 4(x 2 + y 2 )dxdy. D 4 dudv = 4 3 du 8 2 dv = = Application : coordonnées polaires { x = ρ cos φ si alors y = ρ sin φ ( ) ( xρ x h = φ cos φ ρ sin φ = sin φ ρ cos φ y ρ y φ ) et det( h) = ρ. On a donc dx dy = ρ dρ dφ Exemple : Soit D le demi-disque supérieur de centre (, ) et de rayon et f(x, y) = y. On veut calculer I = f(x, y) dxdy. Coordonnées polaires : le domaine D devient ρ 2 cos φ ; la fonction f devient f(ρ, φ) = ρ sin φ. L intégrale devient donc I = = D π/2 φ= f(x, y) dxdy = π/2 2 cos φ φ= sin(φ) ρ=2 cos φ 3 ρ3 ρ= ρ= dφ = D ρ sin φ ρ dρdφ = π/2 φ= π/2 2 cos φ φ= ρ= ρ 2 sin φ dρdφ 8 3 sin(φ) cos3 (φ) dφ = 2 3 cos4 φ π/2 = 2 3.

220 24 CHAPITRE 8. INTÉGRALES MULTIPLES Intégration sur R 2 En coordonnées polaires, l intégrale sur tout R 2 devient R 2 f(x, y) dxdy = lim R R ρ= 2π φ= f(ρ, φ) ρ dφdρ = 2π f(ρ, φ) ρ dφdρ Application : calcul de l intégrale d erreur On veut calculer I = Problème : e x2 Solution : on calcule I 2!!! I I = = = e x2 dx. ne possède pas de primitive analytique. e x2 dx e y2 dy = x2 y2 e R 2 R 2 e ρ2 dxdy ρ dρdφ = 2π e x2 e y2 dxdy coordonnées polaires [ ρe ρ2 dρ dφ = 2π e ρ2 2 ] = 2π 2 = π. Donc I = e x2 dx = π. Conséquence : soit p > et q R. Alors e px2 +qx dx = e ( px q 2 p )2 + q2 4p dx = e q2 4p e π t2 dt = p p e q 2 4p. En particulier, si p = π et q = on trouve une intégrale valant. f(x) = e πx2 est donc une densité de probabilité (appelée gaussienne). 8.2 Intégrales triples 8.2. Définition La définition et les propriétés de l intégrale triple sont analogues à celles de l intégrale double. On note f(x, y, z) dv = f(x, y, z) dxdydz D l intégrale de f sur le domaine D R 3 borné. Si f(x, y, z), on a en particulier dxdydz = V ol(d). D D

221 8.2. INTÉGRALES TRIPLES Calcul effectif Soit D la projection orthogonale de D sur le plan Oxy. Alors ( ) σ + (x,y) f(x, y, z)dv = f(x, y, z)dz dxdy D D z=σ (x,y) = b x=a ψ(x) y=ϕ(x) σ + (x,y) z=σ (x,y) f(x, y, z)dz dy dx. Exemple 8.6. D = tétraèdre de sommets A(; ; ), B(; 2; ), C(; ; 4) et O(; ; ). f(x, y, z) = x. D = triangle ABO Equation de la droite AB : y = 2x + 2 Equation du plan ABC : z = 4x 2y + 4. Alors D x dv = = = ( z= 4x 2y+4 D z= 2x+2 ) x dz dxdy = [ ] z= 4x 2y+4 xz [( 4x 2 + 4x)y xy 2] 2x+2 = [x x3 + 2x 2] y= = y= Changement de variables 2x+2 4x 2y+4 dy dx = dx dx = = Soit h : R 3 R 3 un changement de variables donné par x = x(u, v, w) y = y(u, v, w) z = z(u, v, w) 2x+2 x dz dy dx ( 4x 2 2xy + 4x ) dy ( 4x 3 8x 2 + 4x ) dx

222 26 CHAPITRE 8. (x, y, z) On note := (u, v, w) x u x v x w y u y v y w z u z v z w. Alors on a l égalité INTÉGRALES MULTIPLES (x, y, z) dxdydz = dudvdw (u, v, w) Coordonnées cylindriques Si h(ρ, φ, z) = (x, y, z) est définie par alors x = ρ cos φ y = ρ sin φ ρ >, φ [; 2π], z R z = z h = x ρ x φ x z y ρ y φ y z z ρ z φ z z = et det h = ρ. Ceci donne la transformation cos φ ρ sin φ sin φ ρ cos φ dxdydz = ρ dρ dφ dz Coordonnées sphériques Si h(r, φ, θ) = (x, y, z) est définie par x = r cos φ sin θ y = r sin φ sin θ r >, θ [; π], φ [; 2π] z = r cos θ alors h est donné au paragraphe 7.5 et l on a trouvé Noter que r 2 sin θ > pour r et θ ]; θ[. Ceci donne la transformation det h = r 2 sin θ. dxdydz = r 2 sin(θ) dr dφ dθ Exemple : soit D la sphère de centre O et de rayon R. Alors V ol(d) = = D 2π dφ } {{ } =2π dxdydz = π sin(θ) dθ } {{ } =2 D R r 2 sin(θ) drdφdθ = r 2 dr = 4 3 πr3. } {{ } = 3 R3 R r= 2π φ= π θ= r 2 sin(θ)dθ dφ dr

223 8.2. INTÉGRALES TRIPLES 27 Application : calcul de masse Soit D un corps dont la masse volumique est µ(x, y, z). La masse d un petit parallélépipède rectangle est m k µ(x k, y k, z k ) x k y k z k. En intégrant, on trouve la masse totale du corps M = D µ(x, y, z) dxdydz. Application : calcul du centre de gravité Comme pour la dimension 2, le centre de gravité est donné par la formule : OG = µ(x, y, z) OP dxdydz M D ( ) où µ(x, y, z) est la masse volumique et M la masse totale du corps. En composantes, l équation ( ) s écrit x G y G z G = M D µ(x, y, z) x y z dxdydz Exemple { 8.7. Centre de gravité de l hémisphère } nord homogène (µ ). D = (x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 R 2, z Par symétrie, x G = y G =. De plus M = πr3 = 2 3 πr3. z G = z dxdydz M D 3 = 2 πr 3 r cos(θ) r 2 sin(θ) drdφdθ = 3 2πR 3 = 3 R 8. R D r 3 dr π 2 2π sin(θ) cos(θ) dθ dφ = 3 2πR 3 πr4 4

224 28 CHAPITRE 8. INTÉGRALES MULTIPLES Application : moment (polaire) d inertie Rappel : J = mr 2 où m est la masse et r la distance entre le corps et l axe de rotation : Corps de domaine D et de masse volumique µ(x, y, z). Axe vertical passant par l origine. Alors J z = (x 2 + y 2 )µ(x, y, z) dxdydz coordonnées cylindriques D = ρ 2 µ(ρ, φ, z) ρ dρdφdz = ρ 3 µ(ρ, φ, z) dρdφdz D Exemple : cylindre homogène de base un cercle de centre (, ) de rayon et de hauteur : D φ π Equations en coordonnées cylindriques : ρ 2 sin φ z h J z = = h = 4h D π π ρ 3 dρdφdz = [ ] 2 sin φ 4 ρ4 dφ sin 4 φ dφ = 3 2 πh. } {{ } = = 3π 8 h π 2 sin φ ρ 3 dρdφdz

225 8.3. INTÉGRALES DE SURFACES Intégrales de surfaces 8.3. Représentation paramétrique d une surface Nous traiterons ici uniquement le cas des surfaces dans R 3. Définition 8.8. Une surface est l image d un domaine D R 2 par une application continue Γ : D R 3 : x = x(u, v) y = y(u, v) z = z(u, v) (u, v) D sont les paramètres. Remarque 8.9. Si l on peut trouver une fonction f(x, y) telle que z = f(x, y), alors la surface est le graphe de f. Si l on peut éliminer les paramètres u et v on obtient l équation cartésienne de la surface Γ : F (x, y, z) =. Exemples 8... L équation x 2 + y 2 = 4 est l équation cartésienne d un cylindre de révolution vertical d axe Oz et de rayon 2. Une paramétrisation est x = 2 cos u y = 2 sin u u 2π, v R z = v ATTENTION : équation dans R 3 donne toujours une surface même si une variable n apparaît pas. 2. Surface hélicoïdale H : x = u cos v y = u sin v z = c v u, v R Si l on fixe un paramètre u = R on obtient la courbe γ située sur H x = R cos v y = R sin v z = c v qui ne dépend plus que d un paramètre v. C est une hélice.

226 22 CHAPITRE 8. INTÉGRALES MULTIPLES Plus généralement, si l on fixe un des 2 paramètres d une surface, on obtient une courbe situé sur la surface. 3. Sphère de centre O et de rayon R : x = R cos φ sin θ y = R sin φ sin θ φ [, 2π], θ [, π] z = R cos θ En fixant θ = θ, on a z = z = R cos θ = cste et on obtient un cercle dans le plan horizontal z = z : c est un parallèle. Si θ = π 2, c est l équateur. Si l on fixe φ = φ, on obtient un cercle dans le plan vertical d équation sin(φ ) x cos(φ ) y = : c est un méridien Calcul de l aire d une surface Soit D R 2 et Γ : D R 3 une surface définie par x(u, v) Γ(u, v) = y(u, v) z(u, v) En reprenant le calcul effectué pour le changement de variables (cf. 8..6), on obtient a Γ u du et b Γ v dv avec Alors Γ u = x u y u z u et Γ v = ds = Γ u Γ v dudv x v y v z v. et l aire de la surface vaut A S = (u,v) D Γ u Γ v dudv

227 8.3. INTÉGRALES DE SURFACES 22 Relation importante : Γ u Γ v 2 = Γ u 2 Γ v 2 sin 2 α = Γ u 2 Γ v 2 ( cos 2 α) = Γ u 2 Γ v 2 (Γ u Γ v ) 2 Exemple 8.. Aire d une zone sphérique : Γ : x = R cos φ sin θ y = R sin φ sin θ φ [, 2π], θ [θ, θ 2 ] z = R cos θ On a Γ φ = x φ y φ z φ = R sin φ sin θ R cos φ sin θ et Γ θ = x θ y θ z θ = R cos φ cos θ R sin φ cos θ R sin θ ce qui donne Γ φ Γ θ = R 2 cos φ sin 2 θ R 2 sin φ sin 2 θ R 2 sin θ cos θ et donc Γ φ Γ θ = R 2 sin θ. Alors ds = R 2 sin θ dφ dθ L aire d une bande sphérique comprise entre θ et θ 2 est donc S = 2π θ2 θ R 2 sin(θ) dθ dφ = 2π R 2 θ2 où h = R cos θ R cos θ 2 = hauteur de la bande. On retrouve : aire de la sphère = 4πR 2. θ sin θ dθ = 2πR 2 (cos θ cos θ 2 ) = 2πR h Cas explicite z = f(x, y) Si la surface est le graphe d une fonction z = f(x, y) alors une paramétrisation évidente est x = u y = v z = f(u, v)

228 222 CHAPITRE 8. INTÉGRALES MULTIPLES Donc Γ u = f u et Γ v = L aire de la surface vaut donc A S = f v Γ u Γ v = (x,y) D ce qui donne f u f v = f 2 u + f 2 v + + fx 2 + fy 2 dxdy = + ( f) 2 dxdy (x,y) D où ( f) 2 = f f = f T f. Rappel : longueur d une courbe. L = x I + f (x) 2 dx Exemple 8.2. Calculer l aire de la surface z = f(x, y) = xy située à l intérieur du cylindre (Γ) : x 2 +y 2 =. Donc { fx = y f y = x S = = x 2 +y 2 2π dφ = ds = + x 2 + y 2 dxdy = + f 2 x + f 2 y dxdy = + y 2 + x 2 dxdy (ρ, φ) ρ ρ( + ρ 2 ) 2 dρ = 2π 3 ( + ρ2 ) 3/2 + ρ 2 ρ dρ dφ = 2π 3 (2 2 ). Application Surface Γ(u, v), (u, v) D de masse surfacique µ(x, y, z). Alors sa masse est M = 8.4 Intégrales dépendant d un paramètre D µ ds. Considérons une fonction f(x, t) à 2 variables. Supposons que f(x, t) et f t (x, t) = f t (x, t) sont continues sur un rectangle D = {(x, t) x x x 2, t t t 2 }. Posons F (t) = Alors x2 x f(x, t) dx.

229 8.4. INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 223 Théorème 8.3 (Théorème ). F (t) est dérivable (même de classe C ) et F (t) = x2 x f t (x, t) dt. On peut passer la dérivée à l intérieur de l intégrale. On généralise ce résultat au cas où les bornes dépendent de t. Théorème 8.4 (Théorème 2). Soit F (t) = x2 (t) x (t) f(x, t) dx. Supposons que f(x, t) et f t (x, t) sont continues en x et t et que x (t) et x 2 (t) sont dérivables. Alors F (t) = f ( (x 2 (t), t ) x 2 (t) f ( (x (t), t ) x (t) + x2 (t) x (t) f t (x, t) dx Les théorèmes et 2 se généralisent pour les fonctions à plus de 2 variables et pour les intégrales doubles ou triples. Ces 2 théorèmes restent valables pour les intégrales impropres f(x, t) dx ( avec I = ] a; + [ ) et/ou lim f(x, t) = ± x a + si l on rajoute ces 2 hypothèses : I (I) il existe une fonction g(x) définie sur I avec f(x, t) g(x) pour tout t [t ; t 2 ] et g(x) dx < + ; I (II) il existe une fonction ψ(x) définie sur I avec f t (x, t) ψ(x) pour tout t [t ; t 2 ] et ψ(x) dx < +. I Applications. Calcul de I α (t) = e αx sin(tx) x } {{ } =f(x,t) Remarquons d abord que I α () =. dx (α > ). sin(tx) Intégrale impropre en + mais pas en x = car lim f(x, t) = lim x x x On a f t (x, t) = e αx x cos(tx) x = e αx cos(tx). Vérifions les hypothèses (I) et (II) : (I) f(x, t) e αx x (II) f t (x, t) e αx et dont l intégrale sur [; + [ converge ; e αx dx converge. = t.

230 224 CHAPITRE 8. INTÉGRALES MULTIPLES Le théorème donne alors I α(t) = = f t (x, t) dx e αx cos(tx) dx En intégrant, on obtient I α (t) = I.P.P = α 2 + t 2 (t sin tx α cos tx) e αx = α α 2 + t 2. ( ) α t α 2 dt + C = arctan + C. + t2 α Comme I α () = on en déduit que C = et donc finalement que 2. Calcul de On pose e αx sin(tx) x J = I(t) = ( ) t dx = I α (t) = arctan α e x x sin x dx. sin(x) e tx dx pour t ϵ >. Alors le théorème (les hypothèses (I) et (II) sont remplies) donne I (t) = f t (x, t) dx = sin(x) e tx ( x) dx = J = I (). Mais une intégration par parties donne [ I(t) = sin(x) e tx dx = + t 2 (t sin x + cos x)e tx] = + t 2. Donc I (t) = 2t ( + t 2 ) 2. On en conclut que J = I () = 2. Intégrale d Euler Par définition on pose Γ(x) = t x e t dt Ici, x est le paramètre et t la variable d intégration. Pour tout x >, l intégrale converge. Propriétés : Γ() = e t dt = e t =. Γ(x + ) = }{{} t x e t I.P.P. }{{} dt = t x e t + f g } {{ } = En particulier, si x = n N, alors x t x e t dt = xγ(x) Γ(n + ) = n Γ(n) = n(n ) Γ(n ) = = n! Γ() = n! On peut donc dire que la fonction Γ(x) étend la factorielle à tout R. Γ( 2 ) = t 2 e t dt }{{} = u e u2 2udu = 2 e u2 du = e u2 du = π. t=u 2 u=

231 8.5. INTÉGRALES CURVILIGNES Intégrales curvilignes On ne traitera ici que le cas de courbes dans R 3 mais les cas n = 2 ou n > 3 se déduisent aisément. On considère une courbe (dérivable) γ : γ(t) = x(t) y(t) z(t) 8.5. Intégration d un champ scalaire a t b Soit f(x, y, z) une fonction réelle définie sur R 3. On a envie de définir Rappel : On pose alors γ γ f ds. ds = ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) + ż 2 (t) dt = élément différentiel de longueur = γ(t) dt f ds := b a f(γ(t)) γ(t) dt = b a f ( x(t), y(t), z(t) ) ẋ 2 (t) + ẏ 2 (t) + ż 2 (t) dt Interprétation physique : si f(x, y, z) est la masse par unité de longueur de la courbe γ, alors f ds est la masse totale de la courbe. γ Intégration d un champ vectoriel x(t) Soit γ(t) = y(t) une courbe et F (x, y, z) F (x, y, z) = F 2 (x, y, z) un champ vectoriel. Nous z(t) F 3 (x, y, z) définissons b F ds = F (γ(t)) γ(t) dt où désigne le produit scalaire. γ a Interprétation physique : si F est un champ de force et γ la trajectoire d un mobile, alors F ds est le travail de F le long de γ. ( x Exemple : Soit le champ de force F (x, y) = 2 ) y y 2. + x Calculer le travail de F entre les points P (, ) et Q(, 2) (a) le long de la droite d passant par P et Q ; (b) le long de la parabole Γ d équation y = x 2 +. γ

232 226 CHAPITRE 8. INTÉGRALES MULTIPLES Solution : (a) Paramétrisation de d : γ(t) = ( t t + ) avec t. Alors et le champ de force sur γ vaut et l intégrale devient d F ( γ(t) ) = F ( t, t + ) = F ds = = γ(t) = F ( γ(t) ) γ(t) dt = ( ) ( t 2 (t + ) (t + ) 2 + t ( (b) Paramétrisation de la parabole Γ : γ(t) = Alors et et l intégrale devient Γ F ( γ(t) ) = F ( t, t 2 + ) = F ds = = ) = ( t 2 t t 2 + 3t + ( t 2 t t 2 + 3t + ) ( ( t 2 t + t 2 + 3t + ) dt = [ 2 3 t3 + t 2] = 5 3. γ(t) = ( 2t t t 2 + ) ( t 2 (t 2 + ) (t 2 + ) 2 + t) ) ) ( = ) ) avec t. t 4 + 2t 2 + t + ( ) ( ) F (γ(t)) γ(t) dt = t 4 + 2t 2 dt + t + 2t [ t 2t 5 + 4t 3 + 2t t dt = 3 + t4 + 2 ] 3 t3 + t 2 t = 2. On constate que le travail de F dépend du chemin parcouru. Ceci est vrai en général. Mais si F est le gradient d une fonction, alors le travail est indépendant du chemin parcouru. Théorème 8.5. Soit V : R 3 R un champ scalaire de classe C 2 et F = V = V x V y V z dt )

233 8.5. INTÉGRALES CURVILIGNES 227 le gradient de V. Soit γ : I = [a, b] R 3 une courbe avec γ(a) = P (point de départ) et γ(b) = Q (point d arrivée). Alors ( ) ( ) F ds = V γ(b) V γ(a) = V Q V P. γ Le travail de F ne dépend pas du chemin parcouru mais uniquement du point de départ et du point d arrivée. En particulier, sur une courbe fermée (P=Q), on a V ds =. Démonstration : b F ds = F (γ(t)) γ(t) dt = γ a = V (γ(b)) V (γ(a)). b a γ V (γ(t)) γ(t) dt = car la règle de composition donne d V (γ(t)) = V (γ(t)) γ(t). dt [ ] b V (γ(t)) a Définition 8.6. Le champ scalaire V est appelé potentiel et on dit que F est un champ conservatif lorsqu il existe V avec F = V (et V de classe C 2 ). Comment savoir si un champ vectoriel donné est conservatif ou non? Supposons que F = V avec V de classe C 2. Alors F V x F 2 = V y F 3 V z Comme V est de classe C 2, on doit avoir V yx = V xy, V zy = V yz et V zx = V xz ce qui donne F y = F 2 x, F 2 z = F 3 y et F z = F 3 x (CI) C est une condition nécessaire. Si F ne satisfait pas (CI), il ne peut pas être conservatif. Le théorème suivant affirme, que sur certains domaines D, (CI) est aussi une condition suffisante : D abord une définition : Définition 8.7 (Simplement connexe). Un domaine D R 3 ( R 2 ) est dit simplement connexe () si pour tout couple de points P, Q D il existe une courbe (continue) contenue dans D et reliant P et Q. ; (2) et si toute courbe fermée contenue dans D peut se contracter en un seul point sans sortir de D (il n y a pas de trous dans D).

234 228 CHAPITRE 8. INTÉGRALES MULTIPLES Théorème 8.8. Soit D R 3 un ouvert simplement connexe et F : D R 3 un champ vectoriel tel que la condition (CI) soit satisfaite. Alors il existe un potentiel V : D R telle que V = F. Remarque : le théorème est aussi vrai dans le plan : il suffit de remplacer la condition (CI) par F y = F 2 x. Démonstration : On utilise les résultats sur les intégrales avec paramètres. (i) On suppose d abord que D est un parallélépipède rectangle (ou un rectangle si on est dans R 2 ). Choisissons un point (x, y, z ) D et pour tout (x, y, z) D, posons V (x, y, z) = x x F (ξ, y, z ) dξ + y y F 2 (x, η, z ) dη + z z F 3 (x, y, ζ) dζ Alors V x (x, y, z) = V x (x, y, z) = F (x, y, z ) + = F (x, y, z ) + y y y F η (x, η, z ) dη + F z 2 y x (x, η, z F 3 ) dη + (x, y, ζ) dζ z x z F z ζ (x, y, ζ) dζ = F (x, y, z ) + [ F (x, η, z ) ] y y + [ F (x, y, ζ) ] z z = F (x, y, z ) + F (x, y, z ) F (x, y, z ) + F (x, y, z) F (x, y, z ) = F (x, y, z) De même on calcule que V y (x, y, z) = F 2 (x, y, z) et V z (x, y, z) = F 3 (x, y, z) ce qui montre que V = F. (ii) Si D n est pas un parallélépipède rectangle, on intègre de proche en proche.

235 8.5. INTÉGRALES CURVILIGNES 229 Contre-exemple : l hypothèse D simplement connexe est essentielle. Considérons le champ vectoriel ( ) y F = x 2 + y 2. x On a F y = y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2 et F 2 x = y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2 = F y. Mais F n est pas continu en (, ). Et donc le domaine D n est pas simplement connexe. Intégrons ce champ vectoriel le long d un cercle centré à l origine et de rayon : ( ) cos t γ(t) = t 2π sin t et γ F (γ(t)) ds = 2π ds = γ(t) dt = ( sin t cos t ( sin t sin 2 + cos 2 t cos t ) dt ) ( sin t cos t ) dt = 2π dt = 2π. Si le théorème s appliquait, on devrait trouver. En revanche, si on prend une courbe fermée γ ne contenant pas le point (, ) alors on aura bien F ds =. γ

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