Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

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1 Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n = 1/n s approchent de zéro. Nous allons maintenant formaliser cette idée et introduire les notions extrêmement importantes de convergence et de limite d une suite numérique. Définition 1. On dit qu une suite converge (ou tend) vers une limite l si tous les termes de la suite deviennent aussi proches que l on veut de l à partir d un certain rang. En termes mathématiques, la suite (u n ) converge vers l si, pour tout réel ε > 0, il existe un entier N tel que, pour tout n N, on a u n l < ε : Dans ce cas, on écrit : ε > 0, N N : n N, u n l < ε. (1) lim u n = l ou u n l. n n Exemple 2. Démontrons en utilisant cette définition que la suite u n = 1/n converge vers zéro. Soit ε > 0 un nombre quelconque. On peut toujours trouver un entier N tel que N > 1/ε. Alors, pour tout n N, nous avons Cela finit la démonstration. u n 0 = 1 n 1 N < ε. Exemple 3. Soit q < 1. Montrons que lim n qn = 0. Soit ε > 0 un nombre quelconque. Si ε 1, alors pour tout n N, q n = q n < 1 ε par hypothèse. Supposons maintenant que ε (0, 1). Soit N un nombre entier tel que N > log(ε) log( q ). 1

2 Notons que log(ε) et log( q ) sont négatifs puisque ε et q sont inférieurs à 1. Alors, pour tout n N, nous avons q n = q n = e n log( q ) e N log( q ) < e log(ε) log( q ) log( q ) = e log(ε) = ε, ce qu il fallait démontrer. Remarque 4. Dans cette démonstration, nous avons considéré deux cas : ε 1 et ε < 1. En fait, il suffit de montrer que la condition (1) est satisfaite pour tout ε suffisamment petit. Plus précisément, s il existe α > 0 tel que ε (0, α), N N : n N, u n l < ε, (2) alors (1) est également vérifié, et donc la suite converge vers l. En effet, supposons que (2) est vrai. Prenons maintenant ε α arbitraire. Selon (2), il existe N(α/2) tel que pour tout n > N(α/2), u n l < α/2. Donc, a fortiori, pour tout n > N(α/2), u n l < α ε, ce qui prouve (1). Par conséquent, dans l exemple ci-dessus, on aurait pu considérer uniquement le cas ε < 1. Exemple 5. Si q = 1, alors lim n q n = 1. Cela paraît évident puisque tous les termes de la suite sont égaux à 1. Montrons-le tout de même de façon rigoureuse. Soit ε > 0. Prenons N entier quelconque. Alors, pour tout n > N, nous avons q n 1 = 1 n 1 = 0 < ε. De manière générale, si une suite est constante à partir d un certain rang, alors elle converge vers cette constante. Par exemple, la suite 1, 4, 2, 0, 5, 5, 5, 5, 5,... converge vers 5. Il suffit de prendre N assez grand dans la définition (1). 1.1 Suites extraites Une suite extraite (ou une sous-suite) d une suite donnée est une suite obtenue en sélectionnant, dans l ordre, un sous-ensemble infini de termes. On peut également dire qu on obtient une sous-suite en omettant une partie des termes de la suites principale. Par exemple, si (u n ) est une suite de terme général u n = ( 1) n : 1, 1, 1, 1, 1,..., 2

3 alors la suite 1, 1, 1, 1, 1,... est une sous-suite de (u n ). On a extrait tous les termes avec les indices paires (ou, de façon équivalente, on a omis les termes aux indices impaires) : u 0, u 1, u 2, u 3, u 4, u On utilise la notation u nk, k = 0, 1, 2,..., pour désigner les termes d une sous-suite extraite de (u n ). Dans l exemple ci-dessus, nous avons n 0 = 0, n 1 = 2, n 3 = 4,.... Les nombres n 0, n 1, n 2, n 3,... sont les indices des termes de la suite initiale que nous avons retenus pour construire la sous-suite. Proposition 6. Toute sous-suite d une suite convergente converge vers la même limite. Démonstration. Soit l la limite de la suite convergente (u n ). Soit (u nk ) une suite extraite de (u n ). Nous voulons montrer qu elle converge vers la même limite : lim k u nk = l. Pour cela, il faut monter que ε > 0, K N : k K, u nk l < ε. Soit ε > 0. Prenons N donné par la définition de convergence (1). Puisque la sous-suite (u nk ) est infinie, il existe un indice K tel que n K > N, et donc ceci est vrai pour tous les indices qui suivent : Par construction de N, nous avons k > K, n k > N. k > K, u nk l < ε, ce qui signifie que u nk converge vers l. Corollaire 7. Si des suites extraites d une suite donnée convergent vers des limites différentes, alors cette suite diverge. Par exemple, la suite u n = ( 1) n diverge parce qu on peut en extraire deux sous-suites 1, 1, 1, 1,... et 1, 1, 1, 1,... qui convergent vers les limites 1 et 1 respectivement. 3

4 1.2 Convergence vers l infini On dit qu une suite (u n ) converge vers l infini, si pour tout nombre M R fixé à l avance, on peut trouver un indice N tel que tous les termes de la suite à partir de u N sont supérieurs à M. En utilisant les quantificateurs, on peut l écrire sous forme suivante. Définition 8. Une suite (u n ) converge vers l infini si M > 0, N R : n > N, u n > M. On écrit lim n u n = ou u n n. Si tous les termes d une suite à partir d un certain rang deviennent inférieurs à tout nombre fixé à l avance, on dit que la suite converge vers moins l infini : lim n u n =. La définition avec les quantificateurs s écrit de la même manière en remplaçant u n > M par u n < M : M > 0, N R : n > N, u n < M. Dans le cas de convergence vers l infini, on dit parfois plus l infini (et on écrit + ) pour distinguer du cas de moins l infini. Notons que si u n. n +, alors ( u n ) n L exemple le plus simple d une suite qui converge vers l infini est u n = n. En voici quelques autres. u n = n α, α > 0. En effet, soit M > 0. Il existe un entier N tel que N > M 1/α. Puisque la fonction f(x) = x α est croissante pour tout α > 0, nous avons, pour tout n > N, n α > N α > (M 1/α ) α = M, ce qu il fallait démontrer. u n = log(n), n 1. u n = q n, q > 1. Pour finir l analyse de convergence de la suite u n = q n pour différentes valeurs de q, il nous reste à considérer le cas q < 1. Cette suite diverge puisque l on peut en extraire deux sous-suites : u 0, u 2, u 4,... et u 1, u 3, u 5,... qui convergent vers + et respectivement. 1.3 Encadrement et opérations algébriques sur les suites Dans cette section, nous allons établir quelques propriétés des limites des suites dans le but de ne plus manipuler la définition pour démontrer la convergence. 4

5 Théorème 9. Soient (u n ) et (v n ) des suites convergentes. 1. Pour tout réel a, la suite (au n ) converge et 2. La suite (u n + v n ) converge et lim (au n) = a lim u n. n n lim (u n + v n ) = lim u n + lim v n. n n n Corollaire 10. La somme d une suite convergente et une suite divergente diverge. Démonstration. En effet, supposons que (u n ) converge, (v n ) diverge et que leur somme (w n ) = (u n + v n ) converge. D après le théorème, la suite ( u n ) converge et sa somme avec (w n ) converge aussi. Or, ( u n + w n ) = (v n ) : contradiction avec la divergence de (v n ). Remarque 11. On ne peut rien dire a priori sur la somme des suites divergentes : elle peut être convergente comme divergente. Voici deux exemples qui illustrent cette remarque : 1. Les suites u n = ( 1) n et v n = ( 1) n divergent et leur somme u n +v n = 2( 1) n diverge aussi. 2. Les suites u n = ( 1) n et v n = ( 1) n divergent mais leur somme u n + v n = 0 converge. Proposition 12. Soient (u n ) et (v n ) des suites convergentes vérifiant u n v n pour tout n assez grand. Alors lim u n lim v n. Remarque 13. Les inégalités u n < v n pour tout n n impliquent pas lim(u n ) < lim(v n ) mais seulement lim(u n ) lim(v n )! Par exemple, si u n = 0 et v n = 1/n, alors u n < v n pour tout n mais lim u n = lim v n = 0. La propriété suivante est parfois appelée le théorème des gendarmes. Théorème 14. Supposons données des suites (u n ), (u n) et (u n) telles que u n u n u n pour tout n suffisamment grand. Si (u n ) et (u n) convergent vers la même limite l, alors la suite (u n) converge aussi vers l. 5

6 Exemple 15. La suite u n = 1 n α, avec α > 0, converge vers zéro. En effet, 0 < 1 n α 1 n, et les suites encadrantes convergent vers zéro. Quand l dans le théorème des gendarmes est infini, on obtient les cas particuliers suivants : Propriété Si u n v n pour tout n suffisamment grand et u n +, alors v n Si u n v n pour tout n suffisamment grand et v n, alors u n. Voici une autre propriété utile dont on se servira par la suite. Proposition 17. Si lim u n > 0, alors u n > 0 pour n suffisamment grand. Si lim u n < 0, alors u n < 0 pour n suffisamment grand. Remarque 18. Si la limite de (u n ) est égale à zéro, alors on ne peut rien conclure sur le signe des u n. Par exemple, les suites u n = 1/n, v n = 1/n et w n = ( 1) n /n convergent toutes vers zéro mais les termes de u n sont positifs, les termes de v n sont négatifs et les termes de w n changent de signe. La proposition 17 nous permet de diviser par u n à partir d un certain rang si la limite de u n est différente de zéro. On utilise cette propriété dans le théorème suivant. Théorème 19. Supposons que (u n ) et (v n ) convergent vers des limites finies. 1. La suite (u n v n ) converge et lim(u n v n ) = lim u n lim v n. 2. Si la limite de (u n ) est non nulle, la suite (1/u n ) est définie pour n assez grand et lim(1/u n ) = 1/ lim u n. 3. Si la limite de (v n ) est non nulle, la suite (u n /v n ) est définie pour n assez grand et lim(u n /v n ) = lim u n / lim v n. 6

7 1.4 Cas de limites infinies Toutes les propriétés de la section précédente ne se généralisent pas au cas de limites infinies. Par exemple, si u n + et v n, alors on ne peut rien dire sur lim(u n + v n ) et lim(u n /v n ). Le tableau suivant récapitule les propriétés des opérations sur les suites dont les limites sont infinies. lim u n lim v n lim(u n + v n ) lim(u n v n ) lim(u n /v n ) l > l > 0 l > l > 0 0 Les cas avec l < 0 peuvent être ramenés aux cas déjà cités dans le tableau. 7