Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Save this PDF as:
Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies"

Transcription

1 Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention ultérieure, (, M, µ) désigne un espace mesuré arbitraire. 6.1 Uniforme convexité et régularité de la norme Proposition 6.1. Pour chaque 1 < p <, l espace L p (, µ) est uniformément convexe. La démonstration repose de manière essentielle sur la stricte convexité de la fonction s s p. Plus précisément, nous ferons référence au lemme suivant dont la preuve, un peu fastidieuse mais en rien ingénieuse, est laissée en exercice. Lemme 6.. Pour chaque ε > 0 il existe δ > 0 tel que pour tous s, t dans C vérifiant s 1, t 1 et s t ε, on a s + t p (1 δ) s p + t p. Pour la preuve de la Proposition ci-dessus, il est nécessaire de passer d inégalité ponctuelles comme celles du Lemme 6. a des inégalités intégrales. Démonstration. Soit ε > 0. Il est suffisant de montrer qu il existe δ > 0 tel que pour tous u, v dans L p (, µ) vérifiant u Lp (,µ) 1, v Lp (,µ) 1 et u v L p (,µ) ε, on a u + v 1 δ. L p (,µ) Définissons := x : u(x) v(x) p > εp ( u(x) p + v(x) p ), 60

2 et aussi r(x) := max( u(x), v(x) ). Par définition de, r(x) > 0 pour tout x, et u(x) r(x) v(x) r(x) ε. Il suit du Lemme 6. qu il existe δ > 0 tel que p u(x) + v(x) u(x) p + v(x) p (1 δ) pour tout x. Par ailleurs, pour chaque x \, par convexité de l application s s p, p u(x) + v(x) u(x) p + v(x) p. En intégrant sur et \ respectivement, on obtient u(x) p + v(x) p p dµ u(x) + v(x) dµ u(x) p + v(x) p p dµ u(x) + v(x) dµ u(x) p + v(x) p u(x) p + v(x) p dµ (1 δ) dµ 1 p δ max(up L p (,µ), vp L p (,µ) ). Comme u L p (,µ) 1, v L p (,µ) 1, le terme de gauche dans l inégalité ci-dessus est inférieur à 1 u+v. D autre part, par définition de, Par conséquent, u v p dµ \ 1/p p L p (,µ) ε 1/p u p dµ + v dµ p ε. 1/p \ X\ u v Lp (,µ) u v Lp (,µ) u v Lp (\,µ) ε, et par l inégalité triangulaire on obtient En définitive, et dès lors max(u L p (,µ), v L p (,µ)) ε. 1 u + v u + v Lp (,µ) p L p (,µ) δ ( ε )p 1 δ ( ε )p 1/p 1 δ, en choisissant δ := δ p ( ε )p, et la conclusion suit. 61

3 Proposition 6.3. Pour 1 < p < l espace L p (, µ) est lisse et pour tout u dans L p (, µ) \ 0 et tout v L p (, µ), D p (u)(v) = up 1 p u p uv dµ. Démonstration. Notons que u u Lp (,µ) est la composition de u u p L p (,µ) avec la fonction racine p-ième g : s s 1/p. Il nous suffit donc d établir la dérivabilité en 0 de la fonction ε u + εv p dµ pour tout u in L p (, µ) \ 0 et pour tout v L p (, µ). Notons aussi que pour µ-presque tout x, u(x) + εv(x) p u(x) p lim = p u(x) p u(x)v(x), ε 0 ε et que, par le théorème des accroissements finis, pour tout ε (0, 1) il existe t ε (0, ε) tel que u(x) + εv(x) p u(x) p ε p u(x) + t ε v(x) p 1 v(x) C( v(x) p + u(x) p 1 v(x) ) =: f(x), pour une constante C > 0 qui ne dépend que de p. Par l inégalité de Hölder, f dµ C v p dµ + u p 1 v dµ C v p L p (,µ) + v L p (,µ)u p 1 L p (,µ) <. Il suit alors du Théorème de convergence dominée que u + εv p L lim p (,µ) up L p (,µ) = p u p uv dµ. ε 0 ε Par la règle de dérivation des fonctions composées, on obtient alors D(g p L p)(u).v = Dg(up L p). D p L p)(u).v ce qui termine la démonstration. = g (u p L p) D p L p)(u).v = u 1 p L p (,µ) u p uv dµ, Remarque 6.4. Pour µ = L N, les deux propositions précédentes ne peuvent pas être étendues au cas p = 1 ou, i.e., ni L 1 (, L N ) ni L (, L N ) ne sont uniformément convexe ou lisse. Exercice 6.1. Montrer par quatre contre-exemples bien choisis les affirmations contenues dans la remarque ci-dessus. 6

4 6. Dualité dans les espaces de Lebesgue En combinant les deux résultats de la section précédente avec le théorème de représentation du Chapitre 5 (Théorème 5.15) nous obtenons le : Théorème 6.5. Pour 1 < p <, le dual de l espace L p (, µ) est isométriquement isomorphe à L p (, µ) où p := p/(p 1). Plus précisément, pour chaque f (L p (, µ)), il existe un unique v in L p (, µ) tel que f(u) = uv dµ, pour tout u L p (, µ), et f (L p (,µ)) = v L p (,µ). Démonstration. Par le Théorème 5.15, pour chaque f (L p (, µ)) \ 0, il existe une unique w L p (, µ) tel que w Lp (,µ) = 1 et tel que pour tout u L p (, µ), f(u) = f (Lp (,µ)) D (w)(u), ce qui signifie, au vu de la Proposition 6.3, f(u) = f (Lp (,µ)) w1 p p u w p w dµ = uv dµ, où v := f (L p (,µ)) w1 p p w p w. Comme w L p (, µ) et w L p (,µ) = 1, il suit que v L p (, µ) et que v L p (,µ) = f (L p (,µ)). Il reste à montrer que si v dans L p (, µ) est telle que uv dµ = 0, pour tout u L p (, µ), alors v = 0. Il suffit pour cela de choisir u := v p p 1 v. Nous pouvons dès lors traduire la notion de convergence faible dans le cas des espaces de Lebesgue : en effet, par le théorème qui précède chaque espace L p (, µ) peut être vu comme un espace dual, celui de L p (, µ) (car (p ) = p). Sans ambiguïté, nous écrivons alors : Définition 6.6. (Convergence faible dans L p (, µ)) Soit 1 < p <, on dit qu une suite (u n ) n N L p (, µ) converge faiblement vers u dans L p (, µ) si pour tout v in L p (, µ), u n v dµ uv dµ lorsque n. Comme pour 1 < p <, L p (, µ) est un espace de Banach séparable (voir Chapitre 4), il suit du Théorème 5.10 que toute suite bornée (u n ) n N dans L p (, µ) possède une sous-suite qui converge faiblement. Bien qu il ne soit ni lisse ni uniformément convexe, on peut néanmoins identifier la dual de L 1 (, µ) à L (, µ), au moins si µ est une mesure de Radon sur un ouvert de R N. 63

5 Théorème 6.7. Soit µ une mesure de Radon sur un ouvert de R N. Le dual de L 1 (, µ) est isométriquement isomorphe à L (, µ). Plus précisément, pour tout f (L 1 (, µ)), il existe un unique v L (, µ) tel que f(u) = uv dµ, (6..1) pour tous u L 1 (, µ)), et f (L1 (,µ)) = v L (,µ). Démonstration. Soit f (L 1 (, µ)). Soit φ L (, µ) une fonction strictement positive telle que pour tout compact K de on a inf φ(x) > 0. x K L application f φ : w L (, µ) f(φw) est bien définie puisque f(φw) f (L1 (,µ)) φw L 1 (,µ), f (L 1 (,µ)) φ L (,µ)w L (,µ). Dès lors f φ appartient à (L (, µ)) et par le Théorème 6.5 il existe un unique v φ dans L (, µ) tel que f φ (L (,µ)) = v φ L (,µ), et pour tout w dans L (, µ), f φ (w) = i.e. f(φw) = v φ w dµ, v φ φw dµ. φ On définit alors v := v φ φ. Nous allons montrer que v appartient à L (, µ) et que v L (,µ) f (L1 (,µ)). Supposons par l absurde qu il existe ε > 0 et, mesurable avec µ() > 0 tel que v(x) > f (L 1 (,µ)) + ε, pour tout x. On considère alors la fonction w(x) = 1 (x)signe(v(x)), où signe(u) = 1 si u > 0, signe(u) = 1 si u < 0, et signe(u) = 0 si u = 0. lors v φ f(φw) = φ φw dµ = v φ dµ (f (L 1 (,µ)) + ε) φ dµ, et f(φw) f (L 1 (,µ)) φw L 1 (,µ) = f (L 1 (,µ)) φ dµ, ce qui est une contradiction, puisque φ dµ > 0. Finalement, le fait que (6..1) ait lieu pour tout u L 1 (, µ) suit de la densité des fonctions continues à support compact dans L 1 (, µ). 64

6 Exercice 6.. Montrer qu il existe toujours une fonction φ telle que indiquée dans la démonstration précédente. Définition 6.8. (Convergence faible dans L 1 (, µ)) On dit qu une suite (u n ) L 1 (, µ) converge faiblement vers u dans L 1 (, µ) si pour tout v L (, µ), u n v dµ uv dµ lorsque n. Il est important d insister sur le fait que, à la différence de L p (, µ) (pour 1 < p < ), L 1 (, µ) n est pas un dual et en particulier les suites bornées dans L 1 (, µ) ne possèdent pas nécessairement dfe sous-suite faiblement convergentes. En effet, il peut exister des phénomènes de concentration de masse le long de la suite, qui feront survenir, au sens de la convergence des mesures dont nous parlerons ci-dessous, par exemple des masses de Dirac comme points d accumulation. 6.3 Mesures de Radon finies Soit R N un ouvert, on désigne par C 0 (, R) la fermeture de l espace C c (, R) dans BC(, R) pour la norme uniforme. Proposition 6.9. Une fonction f C 0 (, R) si et seulement si pour tout ε > 0, il existe un compact K ε tel que f < ε sur \ K ε. Démonstration. Soit ε > 0 quelconque et soit K un compact tels que f < ε sur \ K. Par le Lemme d Urysohn il existe g C c (, [0, 1]) telle que g = 1 sur K. On pose h = fg, de sorte que h C c (, R) et f h < ε. On déduit que f C 0 (, R). Inversement, soit f C 0 (, R), alors il existe une suite (f n ) C c (, R) telle que f n f uniformément dans. Soit ε > 0 et n ε N tels que f nε f < ε/, on définit ensuite K := {x / f nε ε/}. Par construction K est un sous-ensemble compacte de et pour tout x \ K, f f f nε + f nε < ε. Définition L espace des mesures de Radon finies sur, noté M(), est par définition le dual de l espace C 0 (, R). Notons que l on a déjà introduit la notion de mesure de Radon positive dans le Chapitre 3 sur l intégration. Grâce au Théorème de représentation de Riesz (Théorème 3.36), nous pouvons maintenant faire le lien entre ces deux notions très proches. Théorème Quelle que soit L M() il existe deux mesures de Radon positives λ + et λ sur telles que L(u) = u dλ + u dλ. 65

7 Démonstration. On prétend que pour L M(), il existe des formes linéaires positives L + et L sur C 0 (, R) telles que L(u) = L + (u) L (u) pour tout u C 0 (, R). Une fois cette affirmation démontrée, la conclusion suivra alors immédiatement du Théorème de représentation de Riesz (Théorème 3.36). On définit le cône C + := {u C 0 (, R) : u 0}, et pour u C +, L + (u) := sup{l(v) : v C +, v u}. Etape 1 : L + est positive et finie sur C +. Soit u C +. Comme 0 C +, L + (u) 0. Soit ensuite v C + tel que 0 v u. Par continuité de L, L(v) Lv Lu, et en prenant le sup par rapport à v on obtient 0 L + (u) Lu <. Etape : L + est additive sur C +. Soient u 1 et u C + et v C + tel que 0 v u 1 + u. On décompose v en v = min(u 1, v) + max(v u 1, 0), où min(u 1, v) u 1 et max(v u 1, 0) u. Comme min(u 1, v) et max(v u 1, 0) C +, on a L(v) = L(min(u 1, v)) + L(max(v u 1, 0)) L + (u 1 ) + L + (u ), et en prenant le sup sur tous les v on obtient L + (u 1 + u ) L + (u 1 ) + L + (u ). Pour démontrer l inégalité inverse, soit ε > 0. Par définition de L +, il existe v 1 et v C + tels que 0 v i u i et L + (u i ) L(v i ) + ε pour i = 1,. Comme 0 v 1 + v u 1 + u, il suit que L + (u 1 + u ) L(v 1 + v ) = L(v 1 ) + L(v ) L + (u 1 ) + L + (u ) ε, et il suffit alors de faire tendre ε 0. Etape 3 : Définition et additivité de L + sur C 0 (, R). Soit u C 0 (, R). On décompose u comme la différence de ses parties positive et négative u = u + u avec u ± C +. On définit L + (u) := L + (u + ) L + (u ). Si u et v C 0 (, R), alors (u+v) + (u+v) = u + u +v + v de sorte que (u+v) + +u +v = (u + v) + u + + v +. Par additivité de L + sur C +, L + ((u + v) + ) + L + (u ) + L + (v ) = L + ((u + v) ) + L + (u + ) + L + (v + ), and en échangeant ensuite l ordre des termes on obtient L + (u + v) = L + (u) + L + (v). Etape 4 : L + est continue sur C 0 (, R). Soit u C 0 (, R). Comme L + est positive, on a L + ( u ± u) 0, et par additivité de L +, L + ( u ) ±L + (u), i.e., L + (u) L + ( u ). Soit donc u 1 et u C 0 (, R), par les étapes 3 et 1, L + (u 1 ) L + (u ) = L + (u 1 u ) L + ( u 1 u ) Lu 1 u. Etape 5 : L + est une forme linéaire sur C 0 (, R). L additivité de L + montre que pour tout n N, L + (nu) = nl + (u). Comme ( u) ± = u, on obtient L + ( u) = L + (u) et l identité précédente s étend ensuite à n importe quel n Z. Si maintenant r = p/q Q avec p, q Z et q = 0, alors L + (qru) = 66

8 ql + (ru) = L + (pu) = pl + (u), et donc L + (ru) = rl + (u). La continuité de L + et la densité de Q dans R implique finalement que L + (αu) = αl + (u) pour tout α R. Etape 6 : L est une forme linéaire positive sur C 0 (, R). On définit L := L + L. lors L est clairement une forme linéaire. De plus, comme par définition de L +, L + (u) L(u) pour tout u C +, on conclut que L est positive. Remarque 6.1. Il est d usage d utiliser la notation L(u) = u dλ, où λ désigne la mesure signée λ := λ + λ. Définition (Convergence faible dans M()) On dit qu une suite (λ n ) n N M() de mesures de Radon finies sur converge faiblement vers λ in M() si pour tout v in C 0 (, R), v dλ n v dλ lorsque n. La convergence faible des mesures de Radon finies est donc un cas particulier de convergence faible dans un dual telle que nous l avons définie au Chapitre 5 (avec la remarque que celle-ci est parfois appelée la convergence *-faible). Exercice 6.3. u Chapitre, nous avons démontré que l espace BC(K, R) est séparable quel que soit le compact K R N. En déduire que C c (, R) est séparable. le u vu de l exercice précédent, et du Théorème 5.10, on déduit immédiatement Théorème De toute suite bornée de mesures de Radon finies on peut extraire une sous-suite qui converge au sens faible des mesures. Si µ est une mesure de Radon positive, on observe que l espace L 1 (, µ) peut être injecté de manière canonique dans M() via l application où u L 1 (, µ) T u M(), T u : v C 0 (, R) uv dµ. En conséquence, si (u n ) n N est une suite bornée dans L 1 (, µ), alors on peut extraire une sous-suite qui converge au sens faible des mesures de M() vers une mesure de Radon finie, i.e., il existe (u nk ) k N et λ M() telles que pour tout v C 0 (, R), u nk v dµ v dλ. 67

9 Il est important de noter que cette notion de convergence faible est différente de, et plus faible que, celle introduite à la Définition 6.8. Le résultat suivant, que l on mentionne sans démonstration, fournit une caractérisation complète des suites dans L 1 (, µ) qui convergent faiblement au sens de la Définition 6.8. Théorème 6.15 (Dunford-Pettis). Soit un ouvert de R N et µ une mesure de Radon positive et finie sur. Soit (u n ) n N une suite bornée dans L 1 (, µ). (i) Si u n u faiblement dans L 1 (, µ) pour un certain u L 1 (, µ), alors (u n ) n N est nécessairement équi-intégrable. (ii) Si (u n ) n N est équi-intégrable, alors il existe une sous-suite (u nk ) k N et u L 1 (, µ) telles que u nk u faiblement dans L 1 (, µ) lorsque k +. La notion d équi-intégrabilité (Définition 3.31) implique qu il n y ai pas de concentration de masse L 1 sur des ensembles de mesure arbitrairement petite. Si µ() = + (ce qui est exclu dans l énoncé ci-dessus par l hypothèse que µ est finie), il faudrait en plus s assurer que la masse L 1 de (u n ) n N ne s échappe pas à l infini. En plus de (i), il faudrait ainsi supposer que pour tout ε > 0 il existe un compact K ε tel que sup n N \K ε u n dµ < ε. 68

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

BJ - RELATIONS BINAIRES

BJ - RELATIONS BINAIRES BJ - RELATIONS BINAIRES Définitions Soit A et B deux ensembles non vides, et G une partie de A B. On dit qu un élément x de A est relié à un élément y de B par une relation binaire de graphe G, si le couple

Plus en détail

Calculs préliminaires.

Calculs préliminaires. MINES-PONTS 005. Filière MP. MATHÉMATIQES 1. Corrigé de JL. Lamard jean-louis.lamard@prepas.org) Calculs préliminaires. Notons que si f H alors f)e / est bien intégrable sur R car continue positive et

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure.

Construction de la mesure de Lebesgue. 1 Mesure positive engendrée par une mesure extérieure. Université d Artois Faculté des Sciences Jean Perrin Analyse Fonctionnelle (Licence 3 Mathématiques-Informatique Daniel Li Construction de la mesure de Lebesgue 28 janvier 2008 Dans ce chapitre, nous allons

Plus en détail

Notes de cours. Cours introductif sur la théorie des domaines. Modèles des langages de programmation Master Parisien de Recherche en Informatique

Notes de cours. Cours introductif sur la théorie des domaines. Modèles des langages de programmation Master Parisien de Recherche en Informatique Notes de cours Cours introductif sur la théorie des domaines Paul-André Melliès Modèles des langages de programmation Master Parisien de Recherche en Informatique 1 Ensembles ordonnés Definition 1.1 (ensemble

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques Cours de terminale S Suites numériques V. B. et S. B. Lycée des EK 13 septembre 2014 Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

TD7. ENS Cachan M1 Hadamard 2015-2016. Exercice 1 Sous-espaces fermés de C ([0,1]) formé de fonctions régulières.

TD7. ENS Cachan M1 Hadamard 2015-2016. Exercice 1 Sous-espaces fermés de C ([0,1]) formé de fonctions régulières. Analyse fonctionnelle A. Leclaire ENS Cachan M Hadamard 25-26 TD7 Exercice Sous-espaces fermés de C ([,] formé de fonctions régulières. Soit F un sous-espace vectoriel fermé de C ([,] muni de la convergence

Plus en détail

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0

IV. Espaces L p. + tx 1. (1 t)x 0 cours 13, le lundi 7 mars 2011 IV. spaces L p IV.1. Convexité Quand deux points x 0, x 1 R sont donnés, on peut parcourir le segment [x 0, x 1 ] qui les joint en posant pour tout t [0, 1] x t = (1 t)x

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Suites : Calcul et comportement asymptotique.

Suites : Calcul et comportement asymptotique. 4 Chapitre 3 Suites : Calcul et comportement asymptotique. 3. Méthodes de définition. Comment définir une suite (u n ) n N de réels? Par l expression de son terme général, Par une formule de récurrence

Plus en détail

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle

Chapitre 01 : Intégrales généralisées. Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle Chapitre 01 : Intégrales généralisées Objectifs : En première année, on a étudié l intégrale d une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné de Dans ce chapitre, on va étudier le cas d

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-201 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Polynômes 1 Fonctions polynômes & polynômes Définition 1. Soit

Plus en détail

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013

Séminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013 Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels. Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

Primitives Cours maths Terminale S

Primitives Cours maths Terminale S Primitives Cours maths Terminale S Dans ce module est introduite la notion de primitive d une fonction sur un intervalle. On définit cette notion puis on montre qu une fonction admet une infinité de primitives

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Le théorème du point xe. Applications

Le théorème du point xe. Applications 49 Le théorème du point xe. Applications 1 Comme dans le titre de cette leçon, le mot théorème est au singulier, on va s'occuper du théorème du point xe de Picard qui a de nombreuses applications. Le cas

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application

Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application Il s agit donc de montrer une propriété commençant par un symbole. La démonstration débute donc par : Soit (x 1, x 2 ) E 2. La propriété

Plus en détail

Partiel - 12 mars 2014

Partiel - 12 mars 2014 Licence STS, semestre 4 013 14 Mathématiques pour l Informatique (Info 9) 1 mars 014 http://www.lri.fr/~paulin/mathinfo Partiel - 1 mars 014 L examen dure heures. L énoncé est composé de 5 pages. Toutes

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1. b) Soit (u n ) n N une suite d éléments de [0 ; 1]. Montrer [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 9 décembre 05 Enoncés Familles sommables Ensemble dénombrable a) Calculer n+ Exercice [ 03897 ] [Correction] Soit f : R R croissante. Montrer que l ensemble des

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01

+ 1. Qu est ce que cela donne pour notre calcul de 1,01? On pose x = 1,01 donc f (x) 1 + 1 0,01 Eo7 Dérivée d une fonction Vidéo partie. Définition Vidéo partie. Calculs Vidéo partie 3. Etremum local, théorème de Rolle Vidéo partie 4. Théorème des accroissements finis Eercices Fonctions dérivables

Plus en détail

Topologie des espaces vectoriels normés

Topologie des espaces vectoriels normés Topologie des espaces vectoriels normés Cédric Milliet Version préliminaire Cours de troisième année de licence Université Galatasaray Année 2011-2012 2 Chapitre 1 R-Espaces vectoriels normés 1.1 Vocabulaire

Plus en détail

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi

Cours d analyse 1ère année. Rhodes Rémi Cours d analyse 1ère année Rhodes Rémi 10 décembre 2008 2 Table des matières 1 Propriétés des nombres réels 5 1.1 Sous-ensembles remarquables de R........................ 5 1.2 Relations d ordre..................................

Plus en détail

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln

Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Définition d une suite récurrente à l aide de la fonction ln Thèmes. fonction ln, théorème des valeurs intermédiares, suite définie par récurrence : majoration, minoration, monotonie, convergence, eistence.

Plus en détail

Formules d inclusion-exclusion

Formules d inclusion-exclusion Université de Rouen L1 M.I.EEA 2011 2012 Mathématiques discrètes Formules d inclusion-exclusion Je présente ici une correction détaillée de l Exercice 5 de la Feuille d exercices 1, en reprenant le problème

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez Espaces vectoriels par Pierre Veuillez 1 Objectifs : Disposer d un lieu où les opérations + et se comportent bien. Déterminer des bases (utilisation de la dimension) Représenter les vecteurs grace à leurs

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données

Plus en détail

Logique informatique 2013-2014. Examen

Logique informatique 2013-2014. Examen Logique informatique 2013-2014. Examen 30 mai 2013. Durée 3h. Tous les documents sont autorisés. Seuls les résultats du cours peuvent être utilisés sans démonstration. Le barême et la longueur des solutions

Plus en détail

Terminale S Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS.

Terminale S Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS. A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : connaître différents procédés pour établir une divisibilité : utilisation de la définition, utilisation d identités remarquables, disjonction des cas,

Plus en détail

Vidéo partie 1. Logique Vidéo partie 2. Raisonnements Exercices Logique, ensembles, raisonnements

Vidéo partie 1. Logique Vidéo partie 2. Raisonnements Exercices Logique, ensembles, raisonnements Exo7 Logique et raisonnements Vidéo partie 1. Logique Vidéo partie 2. Raisonnements Exercices Logique, ensembles, raisonnements Quelques motivations Il est important d avoir un langage rigoureux. La langue

Plus en détail

Suites et Convergence

Suites et Convergence Suites et Convergence Une suite c est se donner une valeur (sans ambigüité) pour chaque N sauf peutêtre les premiers n. Donc une suite est une fonction : I R où I = N: = N. Notation : On note ( ) I R pour

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Les espaces L p. Chapitre 6. 6.1 Définitions et premières propriétés. 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < +

Les espaces L p. Chapitre 6. 6.1 Définitions et premières propriétés. 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < + Chapitre 6 Les espaces L p 6.1 Définitions et premières propriétés 6.1.1 Les espaces L p, avec 1 p < + Soient (E, T,m) un espace mesuré, 1 p < + et f M = M(E, T) (c est-à-dire f : E R, mesurable). On remarque

Plus en détail

CHAPITRE 5. Stratégies Mixtes

CHAPITRE 5. Stratégies Mixtes CHAPITRE 5 Stratégies Mixtes Un des problèmes inhérents au concept d équilibre de Nash en stratégies pures est que pour certains jeux, de tels équilibres n existent pas. P.ex.le jeu de Pierre, Papier,

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

3 Equations de Laplace et de Poisson

3 Equations de Laplace et de Poisson 3 Equations de Laplace et de Poisson 3. Formule d intégration par parties Soit un domaine borné à bord régulier de classe C. On note ν = ν(x) le vecteur normal extérieur au point x. Pour toutes fonctions

Plus en détail

Suites numériques. Sommaire :

Suites numériques. Sommaire : Suites numériques I Activité n o 2 page 295 Sommaire : II Généralités sur les suites numériques III Variations et bornes IV Suites arithmétiques V Suites géométriques VI Suites convergentes VII Représentation

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d un espace vectoriel général. Dans ce chapitre désigne

Plus en détail

Le raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence Le raisonnement par récurrence Nous notons N l ensemble des entiers naturels : N = {0,,, } Nous dirons naturel au lieu de entier naturel Le principe du raisonnement par récurrence Soit A une partie de

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue Intégrale de Lebesgue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 1 / 50 1. Motivations et points de vue ÉCOLE POLYTECHNIQUE Cours 4 : intégrale de Lebesgue Bertrand Rémy 2 / 50 Deux

Plus en détail

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie

Plus en détail

MULTIPLICATION RAPIDE : KARATSUBA ET FFT

MULTIPLICATION RAPIDE : KARATSUBA ET FFT MULTIPLICATION RAPIDE : KARATSUBA ET FFT 1. Introduction La multiplication est une opération élémentaire qu on utilise évidemment très souvent, et la rapidité des nombreux algorithmes qui l utilisent dépend

Plus en détail

Optimisation Discrète

Optimisation Discrète Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et

Plus en détail

Les Conditions aux limites

Les Conditions aux limites Chapitre 5 Les Conditions aux limites Lorsque nous désirons appliquer les équations de base de l EM à des problèmes d exploration géophysique, il est essentiel, pour pouvoir résoudre les équations différentielles,

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre

5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre 5. Options américaines Une option américaine peut être exercée à n importe quelle instant compris entre 0 et l échéance N. Définition 5.1. Une option américaine est définie par une suite (h n ) n=0..n,

Plus en détail

Les espaces vectoriels

Les espaces vectoriels Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES 1. Généralités Les espaces vectoriels Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif. 1.1. Notion d espace vectoriel On considère un ensemble E sur lequel

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Cours de mathématiques : Equation du second degré

Cours de mathématiques : Equation du second degré Cours de mathématiques : Equation du second degré I ) Formes de l'équation du second degré. L'équation du deuxiéme degré à une inconnue est celle où l'inconnue est élévé à la puissance de 2, sans y etre

Plus en détail

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à

Plus en détail

Espaces vectoriels de dimension finie

Espaces vectoriels de dimension finie Chapitre 14 Espaces vectoriels de dimension finie Dans tout le chapitre K désigne R ou C. 14.1 Espaces vectoriels de dimension finie 14.1.1 Bases et dimension Ò Ø ÓÒ ½ º½ Espace vectoriel de dimension

Plus en détail

Les mots de Sturm. Fathi BEN ARIBI 20 décembre 2008

Les mots de Sturm. Fathi BEN ARIBI 20 décembre 2008 Les mots de Sturm Fathi BEN ARIBI 20 décembre 2008 1 Objectifs Dans cette présentation, nous donnerons quelques résultats de combinatoire des mots. Avant tout, il est nécessaire d introduire quelques notations

Plus en détail

MATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES

MATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES MATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES B. MARCHADIER Dépendance et indépendance de deux aléas numériques images Mathématiques et sciences humaines, tome 25 (1969), p. 2534.

Plus en détail

Les graphes planaires

Les graphes planaires Les graphes planaires Complément au chapitre 2 «Les villas du Bellevue» Dans le chapitre «Les villas du Bellevue», Manori donne la définition suivante à Sébastien. Définition Un graphe est «planaire» si

Plus en détail

Leçon 1: les entiers

Leçon 1: les entiers Leçon 1: les entiers L ensemble N des entiers naturels Compter, dresser des listes, classer et comparer des objets interviennent dans de multiples activités humaines. Les nombres entiers naturels sont

Plus en détail

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR MAM 3, Polytech Lyon Ionel Sorin CIUPERCA Le cours s adresse en principal à des élèves des écoles d ingénieurs, filière modélisation mathématique. Une partie

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Chapitre IV Applications linéaires Révisions Définition. Soient E, deux espaces vectoriels sur le même corps commutatif est dite linéaire si quels que soient x, y E et λ,. Une application f : E f x y f

Plus en détail

Extrema locaux (ou relatifs)

Extrema locaux (ou relatifs) Chapitre 3 Extrema locaux (ou relatifs) 3.0.77 DÉFINITION Soit f : U! R une fonction, U ouvert d un espace vectoriel normé E et a 2 U. On dit que f présente un minimum local (respectivement un maximum

Plus en détail

Chapitre III : lentilles minces

Chapitre III : lentilles minces Chapitre III : lentilles minces Les lentilles minces sont les systèmes optiques les plus utilisés, du fait de leur utilité pour la confection d instruments d optique tels que microscopes, télescopes ou

Plus en détail

SOMMES ET PRODUITS. 1 Techniques de calcul. 1.1 Le symbole. 1.2 Règles de calcul. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

SOMMES ET PRODUITS. 1 Techniques de calcul. 1.1 Le symbole. 1.2 Règles de calcul. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot SOMMES ET PRODUITS 1 Techniques de calcul 1.1 Le symbole Notation 1.1 Soient m et n deux entiers naturels. Alors { a m + a m+1 + + a + a n si m n, a = 0 sinon. On peut aussi noter m n =m a ou encore m,n

Plus en détail

Suites numériques 2. n=0

Suites numériques 2. n=0 Suites numériques 1 Somme des termes d une suite Dans les applications, il est souvent nécessaire de calculer la somme de quelques premiers termes d une suite (ou même de tous les termes, mais on étudiera

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail