C algèbre d un certain groupe de Lie nilpotent.

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1 Université Paul Verlaine - METZ LMAM 6 décembre 2011

2 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion.

3 G un groupe de Lie, Ĝ l ensemble des classes d équivalence de représentations unitaires irréductibles. (π, H π ) une représentation unitaire irréductible de G sur l espace de Hilbert H π. Soit F L 1 (G), on lui associe sa transformée de Fourier en π définie par l opérateur π(f ) := F (g)π(g)dg, G cette représentation de L 1 (G), appelée représentation intégrée est définie sur H π. Elle vérifie : π(f ) op := sup π(f )ξ Hπ F 1, ξ Hπ 1

4 et π(f ) = π(f ) où F (x) = G (x 1 )F (x 1 ) pour tout x G, avec G la fonction module de G qui est définie par la relation F (gx 1 )dg = G (x) F (g)dg, pour tout x G. G G On réalise sur L 1 (G) la norme. C Définition définie par F C := sup π(f ) op. π G b La C algèbre de G notée C (G) est définie comme le complété de L 1 (G) pour la norme. C. Le dual unitaire de C (G) est en bijection avec Ĝ. C algèbre d un certain groupe de Lie nilpotent.

5 Nous notons par l (Ĉ (G)) = l (Ĝ) l algèbre de tous les champs d opérateurs bornés définie par : l (Ĝ) := {A = (A(π) B(H π)) π G b, A := sup A(π) op < }. π La transformée de Fourier F est définie par F(a) := â := (π(a)) π b G pour a C (G). Le problème maintenant est de reconnaître l algèbre F(C (G)) comme une sous-algèbre de l (Ĝ). Soit (π k ) k Ĝ une suite proprement convergente, alors lim k π k (a) op = sup σ(a) op σ L(π k ) pour a C (G).

6 Par suite pour tout champ d opérateur A F(C (G)) on a lim k A(π k ) op = sup A(σ) op. σ L(π k ) On cherche un espace D (G) consistant de tous champs d opérateurs dans l (Ĝ) qui satisfont certains conditions tel que D (G) C (G), alors le seul représentation irréductible de D (G) doit être de la forme δ π (A) = A(π) pour A D (G), (π Ĝ).

7 On considère maintenant l algèbre de Lie g = vect{a, B, H, U, V, Z} munie de crochets de Lie [A, B] = H, [A, H] = U, [A, V ] = Z, [B, H] = V, [B, U] = Z, (1) Notons par G = exp(g) son groupe de Lie muni de la loi de groupe suivante : (a, X ) (a, X ) = (a + a, b + b, h + h a b, u + u a h + a 2 b 2, v + v + bh 2 b h 2 + a b b 2, z + z a v + bu 2 b u 2 + a b h a 2 b b ), 2 4 avec (a, X ), (a, X ) G. (2)

8 L action adjoint de G Ad(exp(a, X ) 1 )(a, X ) := log(exp(a, X ) 1 exp(a, X ) exp(a, X )) = (a, b, h ab + a b, u ah + a h aa b 2 + a2 b 2, v bh +b h a b ab b 2, z av + a v bu + b u + abh ab h 2 a bh 2 + aa b 2 3 a2 bb ). (3) 3

9 Alors pour l = (α, β, ρ, µ, γ, λ) g l orbite co-adjointe est O l = {(α + bρ + hµ µ ab 2 γ b2 2 + λv λbh 2 + λab2 3, β ρa + γh γ ab 2 + µa2 2 + λu λah 2 + b λa2, ρ µa γb 3 + λab, µ λb, γ λa, λ), (a, b, h, u, v, z) R 6 }. (4)

10 1 er Cas générique : si λ 0, d après (4) on a α = β = µ = γ = 0, soit l ρ,λ = (0, 0, ρ, 0, 0, λ) alors nous obtenons, O lρ,λ = {(a, b, ρλ + uv, u, v, λ), (a, b, u, v) R 4 }. (5) λ 2 eme Cas : si λ = 0, µ 0 ou γ 0 soit l α,µ,γ = (α, 0, 0, µ, γ, 0), alors d après (4) nous obtenons, O lα,µ,γ = {( ou bien O lα,µ,γ = {(a, 2αγ + 2µb h2, b, h, µ, γ, 0), b, h R }, (6) 2γ 2γa 2αγ + h2 2µ, h, µ, γ, 0) a, h R}. (7)

11 3 eme Cas : si λ = 0, γ = 0, µ = 0 et ρ 0, soit l ρ = (0, 0, ρ, 0, 0, 0), alors O lρ = {(a, b, ρ, 0, 0, 0) a, b R}, 4 eme Cas caractère si λ = γ = µ = ρ = 0, soit l α,β = (α, β, 0, 0, 0, 0) alors, O lα,β = {l α,β }.

12 Le description de la C algèbre de G dépend beaucoup de la détermination de l ensemble de limite des suites dans les espaces des orbites co-adjointes. Nous notons par L(O k ) l ensemble de tout point limite de O k dans g /G. Théorème Soit (O k ) k N une suite d éléments dans (g /G) gen tel que lim k λ k = λ R, alors O k proprement convergente et l ensemble de limite L(O k ) = {O lρ,λ }.

13 Théorème Soit O k (g /G) gen tel que lim λ k = 0, alors O k est une suite k proprement convergente si et seulement si pour chaque k N il exist un élément l k = (α k, β k, ρ kλ k +u k v k λ k, u k, v k, λ k ) O k on a u k et v k convergent dans R et lim u kv k = lim ρ kλ k = c R. Ses k k ensembles de limites sont : L(O k ) = (g /G) char (g /G) 3 si c = 0. L c (O k ) = {O lb,c (g /G) 4,5 où l b,c = (α, 0, 0, b, c b, 0) b R, α R} si c 0.

14 Théorème Soit O lk une suite des orbites dans (g /G) 4,5 où l k = (α k, 0, 0, µ k, γ k, 0). 1. Si lim µ k = µ 0 et lim γ k = γ 0, alors O lk proprement k k convergente dans (g /G) 4,5 ; aussi ses ensembles des limites sont L(O lk ) = {O lµ,γ } où l µ,γ = (α, 0, 0, µ, γ, 0). 2. Si lim µ k = 0 et lim γ k = 0 avec γ k k k µ k 0 pour k suffisamment grand et α k γ k 0 pour tout k N, alors O lk proprement convergente si et seulement si pour tout k N il exist un élément l k = ( 2α kγ k +2µ k b k hk 2 2γ k, b k, h k, µ k, γ k, 0) O lk on a (h k ) k convergent dans R et lim (2α kγ k hk 2 ) = 0, ses ensembles k des limites sont :

15 L(O lk ) = (g /G) char, si lim α kγ k = 0 et k L(O lk ) = {O lh, O l h }, si lim α kγ k = h2 k 2, où l h = (0, 0, h, 0, 0, 0). Théorème Soit O k = {(a, b, ρ k, 0, 0, 0) a, b R} une suite des orbites dans (g /G) 3. Alors (O k ) k N proprement convergente dans (g /G) 3 et les ensembles de limites L(O k ) = {O ρ } si lim k ρ k = ρ R et L(O k ) = (g /G) char si lim k ρ k = 0.

16 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. Théorème Sur les sous-ensembles (g /G) gen et (g /G) 4,5 l application ϕ : l π l (F ) est continue en norme d operateur pour tout F L 1 c. Théorème Soit O ρk,λ k une suite de (g /G) gen avec lim λ k = + ou k λ k C > 0 k N et lim ρ k = 0, alors k lim π l k (F ) op = 0 F L 1 (G). k

17 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. Définition 1.) Pour un élément F L 1 c(g), s S = exp(ra)exp(rb) R 2 et ξ L 2 (R 2 ) soit π lk (F )ξ(s) = F P (st 1, t.p k )ξ(t)dt. R 2 2.) Pour tout j I k, F L 1 c(g), ξ L 2 (R 2 ) et s R 2, soit ν j,k (F )ξ(s) := F P (st 1, t.p b k )ξ(t)e i (t g k j ).p k,b,ζj k(s,t) dt, R 2 j où ζ k j est une application de R 4 R 6.

18 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. Proposition Soit F C (G) et j I k tel que lim k bk j = b. Alors on a, U((gj k ) 1 ) π lk (F ) U(gj k ) M R ε k ν j,k (F ) M R ε k op 0, (8) k uniformement en j.

19 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. Définition La transformée de Fourier ˆς = F(ς) d un élément ς C (G) est défini comme le champ d opérateurs linéaires bornés définis sur l ensemble (g /G) par A(l) = ˆς(l) = F(ς)(l) := π l (ς) K pour l (g /G) gen A(0) = ˆς(0) = F(ς)(0) := ζ 0 (ς) C (R 2 ). (g /G) 4,5 ; où ζ 0 = indp G 1 la représentation régulière à gauche de G sur l espace de Hilbert L 2 (G/P).

20 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. Définition (1) Soit F (G) l espace de champs d opérateurs uniformément bornés A définis sur l ensemble (g /G) vérifiant : (1) A(l) K pour l (g /G) gen (g /G) 4,5 (2) A(0) C (R 2 ), et (3) A satisfait les conditions générique, infini et de continuité. On définit le norme. sur F (G) par : A := sup A(l) op. l Ω Proposition L espace vectoriel F (G) est une C algèbre qui contient l algèbre F(C (G)).

21 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. Définition (2) On note par D (G 5 ) l espace de tous les champs d opérateurs A définis sur O b O b, b R qui satisfont les conditions suivantes : (1) A(l) B(L 2 (R)) for l O b O b. (2) L application l A(l) est continu en norme sur (g /G) 4,5. (3) A et A satisfont la condition générique et lim k U( tk b ) A(l k) U(t k b ) M S R k A(l b ) M S R k op = 0 lim k U( tk b ) A(l k) U(t k b ) M S R k A(l b ) M S R k op = 0,

22 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. Définition Nous définissons la transformée de Fourier F : C (G 5 ) D (G 5 ) par, π l (ς) K, si l (g /G) 4,5 F(ς)(l) := ς(l) := π l (ς) B(L 2 (R)) si l O b O b ζ 0 (ς) C (R 2 ). Proposition L espace D (G 5 ) est une C algèbre contenant F(C (G 5 )) comme une sous C algèbre.

23 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. Soit H 1 = G 5 / vect{u,v } le groupe de Heisenberg de dimension 3. Il a été étudié dans [Lud-Tur]. Définition (3) Soit F 1 la famille composée de tous les champs d opérateurs (A = A(ρ)) ρ R qui satisfont les conditions suivantes : 1. A(ρ) est un opérateur compact sur L 2 (R) pour tout ρ R, 2. A(0) C (R 2 ), 3. L application R B(L 2 (R)) : ρ A(ρ) est continue en norme d opérateur, 4. lim ρ A(ρ) op = 0. Théorème (Lud-Tur) Le C algèbre de Heisenberg C (H 1 ) est isomorphe à D ν (H 1 ).

24 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. Définition Soit D (G) le sous-espace de F (G) composé de tous les champs d opérateurs A définis sur l ensemble g /G tel que A(l) K pour l (g /G) gen (g /G) 4,5, A(l) B(L 2 (R)) pour l (g /G) 3 et A(0) C (R 2 ) tel que : A vérifie les conditions des définitions (1),(2) et (3) Théorème L espace vectoriel D (G) est une C -algèbre, qui est isomorphe avec C (G).