Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,
|
|
- Marie-Dominique Falardeau
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Non-linéarité
2 Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,
3 Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,
4 Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions affines. Donc de non-linéarité élevée
5 Définition Définition 1 On appelle non-linéarité d une fonction booléenne f à m variables et on le note nl(f ) la distance qui la sépare de l ensemble des fonctions affines à m variables: où d est la distance de Hamming. nl(f ) = min h affine d(f,h) Proposition 1 Soit f une fonction booléenne à m variables. Sa non-linéarité est égale à nl(f ) = m 1 1 sup v V m ( 1) x V m = m 1 1 sup v V m χ f (v) (f (x)+v x)
6 On veut montrer min h affine d(f,h) = m 1 1 sup v V m χ f (v) Preuve. La distance de f à une fonction affine h est égale à d(f,h) = d(f + h,0) = wt(f + h) si h(u) = u v + ɛ. = m 1 1 χ f +h(0) = m 1 1 ( 1) u = m 1 1 ( 1) u = m 1 ( 1) ɛ1 ( 1) u (f +h)(u) (f (u)+v u+ɛ) (f (u)+v u)
7 On a nl(f ) = m 1 1 sup v V m χ f (v) Proposition On a nl(f ) m 1 1 m/ Démonstration D après l égalité de Parseval ( χ f (u)) = m u F m la moyenne des ( χ f (u)) est de m. Le maximum des χ f (v) dépasse leur moyenne. Donc Et donc sup χ f (v) m/. v V m nl(f ) m 1 1 m/
8 Importance de la non-linéarité dans un contexte cryptographique Nous dirons qu il y a une corrélation entre une fonction booléenne f et une fonction linéaire l si d(f,l) est différente de m 1. N importe quelle fonction booléenne a une corrélation avec les fonctions linéaires car on vient de montrer que: Mais cette corrélation devrait être petite. maxd(f,l) m 1 m/ 1 L existence d approximations affines des fonctions booléennes impliquées dans un cryptosystème permettent dans divers situations (chiffrement par bloc, par flot) d établir des attaques sur ce système.
9 Système de chiffrement par blocs Nous avons vu qu une attaque possible sur un tel système est la cryptanalyse linéaire. La résistance face à cette attaque est d autant meilleure que la fonction booléenne vectorielle S : F m Fm Λ S = max α max β 0 possède un Λ S petit, où { # X F m α X + β S(X ) = 0 } m 1 ceci signifie que si S s écrit (S 1,...,S n ), où les S i sont des fonctions booléennes F m F, alors S présente la meilleure résistance à la cryptanalyse linéaire si et seulement si pour toutes les combinaisons linéaires f des fonctions S i, la fonction f (X ) est éloignée de la fonction affine α X i.e. si et seulement si toutes les fonctions f présentent la meilleure non-linéarité possible.
10 Système de chiffrement à flot Plaçons-nous maintenant dans le contexte d un système de chiffrement à flot. L importance du fait qu une fonction de combinaison utilisée dans un tel système soit hautement non linéaire est primordiale. Théorème 1 Soit f une fonction booléenne à m variables, utilisée pour combiner m registres à décalage à rétroaction linéaire. Supposons que f est résiliente d ordre t. Alors la fonction booléenne g dépendant de t + 1 variables qui se rapproche le plus de f est une fonction affine de la forme ɛ + i T où ɛ est un élément de F et où T désigne l ensemble des indices des variables dont dépend g, autrement dit les numéros des registres attaqués. x i La fonction g maximise Pr [f (X 1,..., X m ) = g (X i1,..., X it+1 )] où T = {i 1,...,i t+1 }
11 Preuve : Soit g une fonction booléenne dépendant de t + 1 variables x i, i T. La démonstration du théorème nécessite le résultat suivant : Lemme 1 Soient f une fonction booléenne à m variables, T un sous-ensemble de {1,...,m} de taille k, et y F k. Notons p(y,t ) la probabilité conditionnelle Pr [f (X ) = 1 i T, X i = y i ] Une fonction booléenne g est la plus proche de f, parmi toutes les fonctions dépendant des variables y i, i T, si et seulement si on a pour tout y F k : g (y) = 1 si p(y,t ) > 1 g (y) = 0 si p(y,t ) < 1 Si p(y,t ) = 1, alors on peut choisir indifféremment g (y) = 0 ou 1.
12 Démonstration du lemme : pour tout vecteur x de F m, on note x = (y, z), où y est le vecteur de Fk formé par les composantes x i, i T. Considérons une fonction g quelconque, qui dépend des k variables x i, i T. On a k Pr [f (Y, Z ) = g (Y )] = Pr [f (Y, Z ) = 1 Y = y] = d(f, g ) = m m k Ainsi, on a y g 1 ({1}) + y g 1 ({0}) p(y,t ) + Pr [f (Y, Z ) = 0 Y = y] y g 1 ({1}) y g 1 ({0}) y g 1 ({1}) y g 1 ({0}) (1 p(y,t )) p(y,t ) + (1 p(y,t ))
13 Ainsi, on a d(f, g ) = m m k p(y,t ) + (1 p(y,t )) y g 1 ({1}) y g 1 ({0}) et par conséquent cette distance est minimale si et seulement si pour p(y,t ) > 1 p(y,t ), on a y g 1 ({1}) pour p(y,t ) < 1 p(y,t ), on a y g 1 ({0}). c est-à-dire si pour p(y,t ) > 1, on a y g 1 ({1}), c est-à-dire g(y)=1 pour p(y,t ) < 1, on a y g 1 ({0}), c est-à-dire g(y)=0. ce qui clôt la démonstration du lemme.
14 Revenons au théorème : soit g une fonction à t +1 variables, si g est la fonction la plus proche de f, elle vérifie (par le lemme) g (x) = 1 si p(x,t ) > 1/ g (x) = 0 si p(x,t ) < 1/ Lorsque p(x,t ) = 1, on choisira de prendre g (x) = wt(x) (mod. ). Soit T un sous-ensemble de T de taille t. On note j l unique élément de T T. Comme f est résiliente d ordre t, on a pour tout x F t : 1 = Pr [f (X ) = 1 i T, X i = x i ] = Pr [f (X ) = 1 i T, X i = x i et X j = 0] pr [X j = 0] +Pr [f (X ) = 1 i T, X i = x i et X j = 1] pr [X j = 1] = 1 [p((x,0),t ) + p((x,1),t )]
15 Ainsi, pour tout u, v F t+1 et par le lemme précédent on a tels que d(u, v) = 1, on a p(u,t ) + p(v,t ) = 1 dans le cas où p(u,t ) 1 : g (u) + g (v) = 1, dans le cas où p(u,t ) = 1, on a p(v,t ) = 1 et donc, comme d(u, v) = 1: g (u) + g (v) wt(u) + wt(v) 1 (mod. ). Comme pour tous les u, v F t+1 on en déduit tels que d(u, v) = 1 on a g (u) + g (v) = 1, g (x) = g (0) + x i, i T
16 Ainsi, puisque la meilleure approximation de f par une fonction dépendant de t +1 variables est affine, l attaque par corrélation sur t +1 registres sera d autant moins efficace que la fonction f sera loin des fonctions affines, i.e. que la fonction f aura une grande non-linéarité. Les fonctions hautement non linéaires sont donc primordiales à la fois dans les systèmes de chiffrement itératifs par blocs, mais aussi dans les systèmes de chiffrement à flot.
17 Non-linéarité asymptotique On peut montrer que la plupart des fonctions booléennes ont une non-linéarité voisine de m 1 m/ 1 m log. Plus précisément Proposition 3 Si f est une fonctions booléenne, alors, presque sûrement lim m m 1 nl(f ) m/ 1 m log = 1
18 Non-linéarité asymptotique On peut montrer que la plupart des fonctions booléennes ont une non-linéarité voisine de m 1 m/ 1 m log. Plus précisément Proposition 3 Si f est une fonctions booléenne, alors, presque sûrement lim m m 1 nl(f ) m/ 1 m log = 1 La plupart des f 0 m 1 m 1 m log m 1 m 1
19 Caractérisations des fonctions hautement non linéaires Rappelons que nl(f ) = m 1 1 sup v V m χ f (v) m 1 1 m/ Les fonctions qui ont la plus haute non-linéarité vérifient χ f (u) = m/. Définition Les fonctions booléennes f à m variables vérifiant χ f (u) = m/ pour tout u F m sont appelées fonctions courbes.
20 Proposition 4 Soit f une fonction booléenne courbe à m variables. existe une fonction booléenne f : F m F telle que pour tout u F m Alors il on ait χ f (u) = m/ χ f (u) La fonction f est appelée la duale de f, et est également courbe. On a et χ f (u) = ±1 χ f = m/ χ f (u) = m/ χ f (u)
21 Degré Proposition 5 Les fonctions booléennes courbes n existent que dans le cas où le nombre de variables m est pair. De plus, si f est une telle fonction, on a si m 4, alors deg(f ) m/; si m =, alors deg(f ) = 1. Cela dépend d un lemme déjà vu: Lemme Si E est un sous-espace de F m f (v) = E f (u) E E, et f un fonction sur E, on a
22 Soit x u 1 Alors 1... xu m m un monôme à coefficient non nul de f et u = (u 1,...,u m ). 1 = f o (u) = f (v) = f (v) v u v E u où E u est un espace vectoriel de dimension wt(u). On a 1 = f (v) wt(u) m f (w) v E u w E u wt(u) 1 wt(u) m 1 w E u χ f (w) (mod. ) Puisque la fonction est courbe, soit f sa duale. Cela donne 1 wt(u) 1 wt(u) m 1 χ f (w) (mod. ) D où, en exprimant en fonction de f : 1 wt(u) 1 m 1 + wt(u) m w E u w E u f (w) (mod. ) Donc wt(u) m pour que cela soit vrai.
23 Proposition 6 Soit f une fonction booléenne à m variables. Alors f est courbe si et seulement si la fonction D a F m F x f (x + a) + f (x) est équilibrée pour tout vecteur non nul a de F m
24 Démonstration x ( 1) D a(f )(x) = x = x ( 1) f (x) ( 1) f (x+a) χ f (x)χ f (x + a) = (χ f χ f )(a) D autre part χ f χ f = ( χ f ). La fonction f est courbe si et seulement si ( χ f ) est la fonction constante égale à m. C est la transformée de Fourier de la fonction caractéristique de 0, à une constante près. Donc f est courbe si et seulement si x( 1) D a(f )(x) est nulle pour a 0, c est-à-dire si D a (f ) est équilibrée.
25 Classes de fonctions courbes. Si f est une fonction courbe à m variables, que φ est une permutation affine sur F m, et que h est une fonction booléenne affine sur Fm, alors la fonction f φ+h est courbe. On définit ainsi une notion de complétude pour les classes de fonctions courbes. Définition 3 Une classe C de fonctions courbes est dite complète si elle est stable par les transformations de la forme où φ est une permutation affine sur F m f f φ + h, et h une fonction booléenne affine sur F m. Si la classe C n est pas complète, on appelle complétée de C la classe obtenue en complétant C par l ensemble des fonctions obtenues à partir des fonctions de C a l aide de ce type de transformation.
26 Proposition 7 Soit f une fonction booléenne quadratique à m variables. Si f est courbe, alors elle est de la forme (ou peut être amenée par une des transformations exposées dans la définition précédente à une fonction de la forme): x 1 x m/+1 + x x m/+ + + x m/ x m Mais si on connaît bien les fonctions courbes quadratiques, on ne sait pas grand chose sur la caractérisation des fonctions courbes cubiques. Et de maniére générale, on ne connaît pas le nombre total de fonctions courbes.
27 Fonction courbes à 8 variables Un message du 31 décembre 007 de Philippe Langevin et de Gregor Leander: we finished the computation of the number of bent functions in 8 variables. We found bent functions that is approximatively Ceci est à comparer au nombre total de fonctions booléennes de degré au plus 4, en 8 variables: 1+ ( 8 1 ) +( 8 ) +( 8 3 ) +( 8 4 ) = 163
28 Dans la suite, f désignera toujours une fonction booléenne courbe à m variables. Considérons l espace vectoriel F m comme le produit direct F m/ F m/ s écrira donc comme un couple (u, v), avec u et v des élé- Un vecteur de F m ments de F m/.
29 Classe de Maiorana-MacFarland, Cette classe de fonctions booléennes courbes a été tout d abord étudiée par J.F. Dillon dans sa thèse. Définition 4 La classe M est l ensemble des fonctions booléennes courbes f qui s écrivent f (u, v) = u π(v) + h(v) où π est une permutation de F m/, u π(v) désigne le produit scalaire standard de u et de π(v), et h est une fonction booléenne à m/ variables.
30 On a χ f (a,b) = = = = (u,v) F m/ v F m/ v F m/ π(v)=a ( 1) a u ( 1) b v χ f (u, v) F m/ ( 1) b v ( 1) a u ( 1) (u π(v)+h(v)) u F m/ ( 1) b v ( 1) h(v) u F m/ ( 1) b v ( 1) h(v) m/ = ( 1) b π 1 (a)+h(π 1 (a)) m/ ( 1) u (a+π(v))
31 Classe D: cette classe a également été introduite par C. Carlet. Définition 5 La classe D est constituée des fonctions f de la forme f (u, v) = u π(v) + 1 E1 (u)1 E (v) où E 1 et E sont des sous-espaces vectoriels de F m/ F m/ tels que π(e ) = E 1., π une permutation de
32 Compromis Les critères cryptographiques sont incompatibles: Non linéarité maximale: χ f (u) = m/ Equilibre: χ f (0) = 0 Résilience d ordre t: χ f (u) = 0 pour wt(u) t De même pour le degré Degré maximal: m Degré d une fonction de non linéarité maximale: m/ Degré d une fonction résiliente d ordre t: m t 1 On essaye d obtenir des compromis.
33 Proposition 8 (Dobbertin) Soit f une fonction courbe normale sur F m/ c est-à-dire qui satisfasse l égalité f (x,0) = 0 pour tout x F m/ fonction équilibrée sur F m/. Alors la fonction est équilibrée et on a g (x, y) = { f (x, y) si y 0 h(x) sinon nl(g ) = m 1 m/ + nl(h) F m/,. Soit h une Démonstration On a χ g (a,b) = { χ f (a,b) + χ h (a) si a 0 0 sinon
3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D
ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D TITRE : Les Fonctions de Hachage Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant le jury :.10 minutes Entretien avec le jury :..10 minutes GUIDE
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailLA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE
LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailTests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles
Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailQuantification Scalaire et Prédictive
Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailThéorie et codage de l information
Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailNotes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailFiltrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de
Plus en détailExercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailEquations cartésiennes d une droite
Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailLe théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche
Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailChapitre 3. Les distributions à deux variables
Chapitre 3. Les distributions à deux variables Jean-François Coeurjolly http://www-ljk.imag.fr/membres/jean-francois.coeurjolly/ Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University 1 Distributions conditionnelles
Plus en détailProgrammation Linéaire - Cours 1
Programmation Linéaire - Cours 1 P. Pesneau pierre.pesneau@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 - Bur 265 Ouvrages de référence V. Chvátal - Linear Programming, W.H.Freeman, New York, 1983.
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailPROBABILITES ET STATISTIQUE I&II
PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits
Plus en détailProposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.
DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et
Plus en détailSujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.
Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailChapitre 5 : Flot maximal dans un graphe
Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailCAPTEURS - CHAINES DE MESURES
CAPTEURS - CHAINES DE MESURES Pierre BONNET Pierre Bonnet Master GSI - Capteurs Chaînes de Mesures 1 Plan du Cours Propriétés générales des capteurs Notion de mesure Notion de capteur: principes, classes,
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailThéorèmes de Point Fixe et Applications 1
Théorèmes de Point Fixe et Applications 1 Victor Ginsburgh Université Libre de Bruxelles et CORE, Louvain-la-Neuve Janvier 1999 Published in C. Jessua, C. Labrousse et D. Vitry, eds., Dictionnaire des
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailProbabilités III Introduction à l évaluation d options
Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un
Plus en détailExercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?
Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version
Plus en détailExercices Alternatifs. Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme?
Exercices Alternatifs Quelqu un aurait-il vu passer un polynôme? c 2004 Frédéric Le Roux, François Béguin (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: polynome-lagrange/. Version
Plus en détailLES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1
Chapitre XIII LES MÉTHODES DE POINT INTÉRIEUR 1 XIII.1 Introduction Nous débutons par un rappel de la formulation standard d un problème d optimisation 2 linéaire et donnons un bref aperçu des différences
Plus en détailOptimisation Discrète
Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et
Plus en détailIFT3245. Simulation et modèles
IFT 3245 Simulation et modèles DIRO Université de Montréal Automne 2012 Tests statistiques L étude des propriétés théoriques d un générateur ne suffit; il estindispensable de recourir à des tests statistiques
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailI Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11. 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique... 13 1.2 Le plan... 18 1.3 Problème...
TABLE DES MATIÈRES 5 Table des matières I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique................... 13 1.2 Le plan...................................
Plus en détailFIMA, 7 juillet 2005
F. Corset 1 S. 2 1 LabSAD Université Pierre Mendes France 2 Département de Mathématiques Université de Franche-Comté FIMA, 7 juillet 2005 Plan de l exposé plus court chemin Origine du problème Modélisation
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détailM2 IAD UE MODE Notes de cours (3)
M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailCarl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939)
Par Boris Gourévitch "L'univers de Pi" http://go.to/pi314 sai1042@ensai.fr Alors ça, c'est fort... Tranches de vie Autour de Carl-Louis-Ferdinand von Lindemann (1852-1939) est transcendant!!! Carl Louis
Plus en détailCHAPITRE 5. Stratégies Mixtes
CHAPITRE 5 Stratégies Mixtes Un des problèmes inhérents au concept d équilibre de Nash en stratégies pures est que pour certains jeux, de tels équilibres n existent pas. P.ex.le jeu de Pierre, Papier,
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailMesures gaussiennes et espaces de Fock
Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première
Plus en détailPrincipe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif
Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailINF6304 Interfaces Intelligentes
INF6304 Interfaces Intelligentes filtres collaboratifs 1/42 INF6304 Interfaces Intelligentes Systèmes de recommandations, Approches filtres collaboratifs Michel C. Desmarais Génie informatique et génie
Plus en détailLicence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7
Feuilles de 1 à 7 Ces feuilles avec 25 exercices et quelques rappels historiques furent distribuées à des étudiants de troisième année, dans le cadre d un cours intensif sur deux semaines, en début d année,
Plus en détail