Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

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1 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k fois. On désigne par E l espace des polynômes à coefficients réels et, pour un entier n, par E n l espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n. E = R[X], E n = R n [X] Soit D l endomorphisme de dérivation de E qui à un polynôme Q associe son polynôme dérivé Q. De même, D n est l endomorphisme de dérivation de E n qui à un polynôme Q de degré inférieur ou égal à n associe son polynôme dérivé Q. L objet du problème est de rechercher les réels λ pour lesquels l endomorphisme λid E +D est égal à un g 2 pour un certain endomorphisme g de E. On se pose la même question pour l endomorphisme λid En + D n. Préliminaires : noyaux itérés Soit V un espace vectoriel réel et f un endomorphisme de V.. Montrer que la suite des noyaux des endomorphismes f k pour k =, 2, est une suite de sous-espaces vectoriels de V emboitée croissante : ker f 0 ker f ker f k ker f k+ 2. Montrer que s il existe un entier p tel que les noyaux des endomorphismes f p et f p+ soient égaux, alors : k p : ker f k = ker f p 3. Montrer que lorsque l espace V est de dimension finie n, la suite des dimensions des noyaux des endomorphismes f k est constante à partir d un rang p inférieur ou égal à la dimension n de l espace. En déduire en particulier ker f n = ker f n+ 4. Soit u un endomorphisme d un espace vectoriel V de dimension finie n pour lequel il existe un entier q supérieur ou égal à tel que u q soit l endomorphisme nul. On dit alors que u est nilpotent. Montrer que u n est l endomorphisme nul. Préliminaires, Première et Deuxième partie de la première épreuve du Concours Commun Mines-Ponts 200 PC. Première partie Le but de cette partie est d établir des propriétés des endomorphismes g recherchés pour un λ réel donné et de donner un exemple.. Une caractérisation des sous-espaces vectoriels stables par g. a. Étant donné un entier naturel n donné, soit p {0,,, n}. Montrer que s il existe un endomorphisme g de l espace vectoriel E n = R n [X] tel que g 2 = λid En + D n alors l endomorphisme g commute avec D n : g D n = D n g Montrer que E p est stable par g. Soit g p la restriction de g à E p. Démontrer la relation : g 2 p = λid Ep + D p b. Montrer que s il existe un endomorphisme g de l espace vectoriel E = R[X] tel que alors l endomorphisme g commute avec D : g D = D g En déduire que, pour tout entier naturel n, E n est stable par g. Soit g n la restriction de g à E n. Démontrer la relation : g 2 n = λid En + D n c. Soit g un endomorphisme de l espace vectoriel E = R[X] tel que i. Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par D et de dimension n +. On note D F l endomorphisme de F qui est la restriction de D à F. Montrer que D F est nilpotent. En déduire que F = E n = R n [X] Déterminer tous les sous-espaces vectoriels G de E (de dimension finie ou non) stables par D. ii. Démontrer que, pour qu un sous-espace vectoriel G de E soit stable par g, il faut et il suffit qu il soit stable par D. Rémy Nicolai Aalglin

2 2. Une application immédiate : le cas λ < 0. a. Sous quelle condition nécessaire sur le réel λ existe-t-il un endomorphisme g de l espace E 0 = R 0 [X] tel que g 2 = λid E0 + D 0 b. Soit λ un réel strictement négatif, déduire des questions précédentes les deux propriétés : Il n existe pas d endomorphisme g de E tel que Il n existe pas d endomorphisme g de E n tel que g 2 = λid En + D n 3. Une représentation matricielle simple de D n. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à et λ un réel. On définit la matrice carrée d ordre n + notée A λ et dont les coefficients sont notés a i,j par les relations suivantes : a i,j = λ si i = j a i,j = si i + = j a i,j = λ sinon C est à dire λ λ... A λ = λ λ a. Soit V un espace vectoriel de dimension finie n + et f un endomorphisme de V tel que f n+ soit l endomorphisme nul sans que f n le soit. Démontrer qu il existe un vecteur y dans V tel que B = (y, f(y), f 2 (y),, f n (y)) soit libre. Quel est la matrice de f dans la base B? b. En déduire qu il existe une base B n de E n = R n [X] pour laquelle la matrice de D n est la matrice A λ. Quelle est la matrice associée à λid En +D n dans cette base B n? 4. Un exemple. Dans cette question, l entier n est égal à 2. a. Montrer que les seuls endomorphismes h de E 2 qui commutent avec D 2 sont les polynômes de degré inférieur ou égal à 2 en D 2 c est à dire les polynômes de la forme h = aid E + bd 2 + cd 2 2 pour a, b, c réels. b. En déduire qu il existe des endomorphismes g de E 2 qui vérifient g 2 = λid E3 + D 2 Déterminer les matrices carrées G d ordre 3 qui vérifient Deuxième partie G 2 = A L objet de cette partie est d étudier le cas où le réel λ est nul. Dans cette partie, l entier n est supérieur ou égal à.. Existence d un endomorphisme g tel que g 2 = D n. a. Montrer que, s il existe un endomorphisme g de E n = R n [X] tel que g 2 = D n, alors l endomorphisme g est nilpotent et le noyau de g 2 a une dimension au mins égale à 2. b. En déduire qu il n existe pas d endomorphisme g de E n = R n [X] tel que g 2 = D n. c. En déduire qu il n existe pas d endomorphisme g de E = R[X] tel que g 2 = D. 2. Existence d un endomorphisme g tel que g k = D n. a. Soit m un entier supérieur ou égal à et k un entier supérieur ou égal à 2. Soit g un endomorphisme de E = R[X] tel que g k = D m Montrer que les deux endomorphismes D et g sont surjectifs. b. Démontrer que les sou-espaces vectoriels ker g q de E sont de dimension finie lorsque 0 q k. 2 Rémy Nicolai Aalglin

3 c. Soit p un entier tel que 2 p k. Soit Φ l application définie dans ker g p par : P ker g p : Φ(P ) = g(p ) Montrer que cette application est linéaire de ker g p et à valeurs dans ker g p. Préciser son noyau et son image. En déduire une relation entre les dimensions des sous-espaces ker g p et ker g p. Quelle est la dimension de ker g p en fonction de ker g? d. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les entiers m et k pour qu il existe un endomorphisme g de E tel que g k = D m. Retrouver le résultat de la question II..c. Corrigé Préliminaires. Comme f 0 est l identité, son noyau {O V } est inclus dans ker f. Pour k entier non nul, x ker f k : x ker f k f k (x) = 0 V f ( f k (x) ) = f(0 V ) x ker f k+ Ce qui montre la chaîne d inclusions demandée. 2. Soit p un entier tel que Nous allons montrer que Cela entrainera l égalité ker f p = ker f p+ ker f p+2 ker f p+ ker f p = ker f p+2 puis, en recommençant avec p +, cela entrainera l égalité de tous les noyaux suivants. Il s agit donc de montrer ker f p+2 ker f p+ Cela résulte de x ker f p+2 : f p+ (f(x)) = 0 V f(x) ker f p+ = ker f p f p+ (x) = f p (f(x)) = 0 V x ker f p+ 3. On suppose que V est de dimension finie. Les dimensions des noyaux forment une suite croissantes d entiers tous inférieurs ou égaux à dim V. Une telle suite ne peut être strictement croissante. Il existe donc un entier p tel que : 0 = dim(ker f 0 ) < dim(ker f ) < < dim(ker f p ) = dim(ker f p+ ) dim V = n Comme les premières inégalités sont strictes, on obtient p dim(ker f p ) n Comme on est en dimension finie : } dim(ker f p ) = dim(ker f p+ ) ker f p = ker f p+ ker f p ker f p+ L égalité se propage alors (d après 2.) à tous les k p parmi lesquels figure n. 3 Rémy Nicolai Aalglin

4 4. On applique le résultat de la question précédente. Dans le cas d un endomorphisme u nilpotent, la suite croissante des noyaux itérés se stabilise (avant n) à sa valeur finale qui est V tout entier. On en déduit qu il existe un p n tel que V = ker u p. Cela signifie Première Partie u p = 0 L(V ) u n = 0 L(V ). a. Dans E n, si n alors D n s exprime en fonction de g : D n = λid E + g 2 Sous cette forme, il est évident que D n commute avec g. On en déduit que g commute avec les puissance de D n. En particulier car D p+ x ker Dn p+ g(x) ker Dn p+ n (g(x)) = g(dn p+ (x)) = g(0 E ) = 0 E Une fois prouvée la stabilité de E p par g, on peut considérer la restriction g p de g à E p. Elle vérifie évidemment la même relation que g. b. Le raisonnement est le même que pour la question précédente. Le fait que E ne soit pas de dimension finie ne change rien. Si g vérifie la relation, il commute donc avec l opérateur de dérivation. Comme plus haut, E n est stable par g car c est un noyau d une puissance de D n et la restriction g n de g vérifie la même relation avec la restriction D n de D. c. i. L opérateur D F est la restriction à F de l opérateur de dérivation. Comme F est de dimension finie, il existe un entier k qui est le degré maximal d un polynôme quelconque de F. Alors D k+ F est nul. D après la partie préliminaire, comme D F est nilpotent dans un espace de dimension n +, l endomorphisme DF n est nul. Ceci montre que F R n[x]. Comme les deux espaces sont de même dimension, ils sont égaux. On peut en conclure que les seuls sous-espaces de dimension finie stables par D sont les R n [X]. Un seul sous-espace de dimension infinie est stable par D, il s agit de R[X] lui même. En effet, un tel espace doit contenir des polynômes de degré arbitraire et tous leurs polynômes dérivés. 2. Cas λ < 0 ii. Comme g commute avec D, un sous-espace est stable par g si et seulement si il est stable par D. a. Dans E 0 = R qui est un espace de dimension, les seules applications linéaires sont les multiplications par un scalaire. En particulier g est la multiplication par µ et D 0 est l application nulle donc Ce qui entraîne λ 0 µ 2 = λ b. D après., lorsqu il existe un g (dans E ou dans E n ), le sous-espace E 0 est stable par D et g donc λ 0. Ainsi, lorsque λ < 0, il n existe pas d application g vérifiant la condition étudiée (ni dans E, ni dans un E n ). 3. a. Soit f linéaire de V dans V telle que f n+ soit nulle mais pas f n. Il existe alors un y V tel que f n (y) 0 Montrons que B = (y, f(y),, f n (y)) est libre. Si (λ 0, λ, λ n ) sont des réels tels que λ 0 y + λ f(y) + + λ n f n (y) = 0 en composant par f n, on obtient λ 0 f n (y) = 0 avec f n (y) 0 d où λ 0 = 0 et ainsi de suite. En composant successivement par f n, f n 2, on obtient la nullité de tous les coefficients. La famille est donc libre. Cette famille est une base car elle contient autant de vecteurs que la dimension de l espace. La matrice de f dans cette base est A 0. b. L existence d une base B n dans laquelle la matrice de D n est A 0 résulte de la question précédente. On pouvait aussi choisir une famille constituée de polynômes de la forme k! Xk La matrice associée à λid En + D n dans cette base est A λ 4. Ici n = 2 a. Il est bien évident que les h de la forme aid E + bd 2 + cd Rémy Nicolai Aalglin

5 commutent avec D 2. On va montrer que ce sont les seuls. Soit P un polynôme de degré 2. Alors (P, D(P ), D 2 (P )) est une base de E 2. Comme f(p ) E 2, il existe des réels a, b, c tels que f(p ) = ap + bd(p ) + cd 2 (P ) Comparons f et F = aid E + bd + cd 2. Pour cela, il suffit de les comparer sur les vecteurs d une base. Par définition : f(p ) =F (P ) f(d(p )) =D(f(P )) = ad(p ) + bd 2 (P ) = F (D(P )) car D 3 (P ) = 0 f(d 2 (P )) =D 2 (f(p )) = ad 2 (P ) = F (D 2 (P )) Les deux fonctions coïncident sur une base, elles sont donc égales. b. On doit chercher les g telles que g 2 = λid + D parmi les applications qui commutent avec D. Cherchons donc des conditions sur a, b, c assurant que vérifie g 2 = λid + D. Calculons g 2 : g = aid E + bd 2 + cd 2 2 g 2 = a 2 Id + 2abD 2 + (b 2 + 2ac)D 2 = λid + D Comme les application linéaires (Id, D, D 2 ) forment une famille libre, on peut identifier les coefficients. On trouve donc deux matrices une définie par a = λ b = 2 λ L autre étant son opposée. Dans le cas où λ =, on trouve la matrice c = 8λ λ Deuxième Partie. a. Comme D n est nilpotent, il est évident que g l est aussi lorsque g 2 = D n. Par conséquent g 2 ne peut pas être injectif. Mais pourquoi ker g 2 est-il de dimension au moins 2? Comme g est nilpotente elle n est pas injective. Donc si la dimension de ker g 2 n est pas au moins 2 alors ker g et kerg 2 seront de dimension et égaux. D après la partie préliminaire, la suite des noyaux de g est constante dès le premier rang. Autrement dit g est nulle ce qui est absurde. b. Il n existe pas de g tel que g 2 = D n car le noyau de D n est de dimension alors que celui de g devrait être de dimension 2. c. idem 2. a. Tout polynôme admet plusieurs polynômes primitifs (c est à dire dont le polynôme dérivé est égal au polynôme donné) qui diffèrent d une constante. L application D est donc surjective. Il en est de même de D m = g k. La surjectivité de g k entraîne celle de g. b. Pour q k, ker g q ker g k = ker D m = E m qui est de dimension finie m. c. L application Φ est clairement linéaire. Elle prend ses valeurs dans ker g q car si x ker g k alors g q (x) = g q (g(x)) donc g(x) ker g q. Montrons la surjectivité de Φ. Soit x ker g q alors comme g est surjective, il existe un y tel que x = g(y) et 0 = g p (x) = g p (y) donc y ker g p et y est un antécédent par Φ de x. Ainsi Φ est surjective de ker g p vers ker g p de noyau ker g. Le théorème du rang donne alors dim(ker g p ) = dim(ker g p ) + dim(ker g) La suite des dimensions est arithmétique d où dim(ker g p ) = p dim(ker g) d. Si g k = D m, comme dim(ker D m ) = m, on doit avoir dim(ker g k ) = m c est à dire k dim(ker g) = m. Il est donc nécessaire que k divise m. et son opposée. 5 Rémy Nicolai Aalglin