Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Save this PDF as:
Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015"

Transcription

1 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k fois. On désigne par E l espace des polynômes à coefficients réels et, pour un entier n, par E n l espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n. E = R[X], E n = R n [X] Soit D l endomorphisme de dérivation de E qui à un polynôme Q associe son polynôme dérivé Q. De même, D n est l endomorphisme de dérivation de E n qui à un polynôme Q de degré inférieur ou égal à n associe son polynôme dérivé Q. L objet du problème est de rechercher les réels λ pour lesquels l endomorphisme λid E +D est égal à un g 2 pour un certain endomorphisme g de E. On se pose la même question pour l endomorphisme λid En + D n. Préliminaires : noyaux itérés Soit V un espace vectoriel réel et f un endomorphisme de V.. Montrer que la suite des noyaux des endomorphismes f k pour k =, 2, est une suite de sous-espaces vectoriels de V emboitée croissante : ker f 0 ker f ker f k ker f k+ 2. Montrer que s il existe un entier p tel que les noyaux des endomorphismes f p et f p+ soient égaux, alors : k p : ker f k = ker f p 3. Montrer que lorsque l espace V est de dimension finie n, la suite des dimensions des noyaux des endomorphismes f k est constante à partir d un rang p inférieur ou égal à la dimension n de l espace. En déduire en particulier ker f n = ker f n+ 4. Soit u un endomorphisme d un espace vectoriel V de dimension finie n pour lequel il existe un entier q supérieur ou égal à tel que u q soit l endomorphisme nul. On dit alors que u est nilpotent. Montrer que u n est l endomorphisme nul. Préliminaires, Première et Deuxième partie de la première épreuve du Concours Commun Mines-Ponts 200 PC. Première partie Le but de cette partie est d établir des propriétés des endomorphismes g recherchés pour un λ réel donné et de donner un exemple.. Une caractérisation des sous-espaces vectoriels stables par g. a. Étant donné un entier naturel n donné, soit p {0,,, n}. Montrer que s il existe un endomorphisme g de l espace vectoriel E n = R n [X] tel que g 2 = λid En + D n alors l endomorphisme g commute avec D n : g D n = D n g Montrer que E p est stable par g. Soit g p la restriction de g à E p. Démontrer la relation : g 2 p = λid Ep + D p b. Montrer que s il existe un endomorphisme g de l espace vectoriel E = R[X] tel que alors l endomorphisme g commute avec D : g D = D g En déduire que, pour tout entier naturel n, E n est stable par g. Soit g n la restriction de g à E n. Démontrer la relation : g 2 n = λid En + D n c. Soit g un endomorphisme de l espace vectoriel E = R[X] tel que i. Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par D et de dimension n +. On note D F l endomorphisme de F qui est la restriction de D à F. Montrer que D F est nilpotent. En déduire que F = E n = R n [X] Déterminer tous les sous-espaces vectoriels G de E (de dimension finie ou non) stables par D. ii. Démontrer que, pour qu un sous-espace vectoriel G de E soit stable par g, il faut et il suffit qu il soit stable par D. Rémy Nicolai Aalglin

2 2. Une application immédiate : le cas λ < 0. a. Sous quelle condition nécessaire sur le réel λ existe-t-il un endomorphisme g de l espace E 0 = R 0 [X] tel que g 2 = λid E0 + D 0 b. Soit λ un réel strictement négatif, déduire des questions précédentes les deux propriétés : Il n existe pas d endomorphisme g de E tel que Il n existe pas d endomorphisme g de E n tel que g 2 = λid En + D n 3. Une représentation matricielle simple de D n. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à et λ un réel. On définit la matrice carrée d ordre n + notée A λ et dont les coefficients sont notés a i,j par les relations suivantes : a i,j = λ si i = j a i,j = si i + = j a i,j = λ sinon C est à dire λ λ... A λ = λ λ a. Soit V un espace vectoriel de dimension finie n + et f un endomorphisme de V tel que f n+ soit l endomorphisme nul sans que f n le soit. Démontrer qu il existe un vecteur y dans V tel que B = (y, f(y), f 2 (y),, f n (y)) soit libre. Quel est la matrice de f dans la base B? b. En déduire qu il existe une base B n de E n = R n [X] pour laquelle la matrice de D n est la matrice A λ. Quelle est la matrice associée à λid En +D n dans cette base B n? 4. Un exemple. Dans cette question, l entier n est égal à 2. a. Montrer que les seuls endomorphismes h de E 2 qui commutent avec D 2 sont les polynômes de degré inférieur ou égal à 2 en D 2 c est à dire les polynômes de la forme h = aid E + bd 2 + cd 2 2 pour a, b, c réels. b. En déduire qu il existe des endomorphismes g de E 2 qui vérifient g 2 = λid E3 + D 2 Déterminer les matrices carrées G d ordre 3 qui vérifient Deuxième partie G 2 = A L objet de cette partie est d étudier le cas où le réel λ est nul. Dans cette partie, l entier n est supérieur ou égal à.. Existence d un endomorphisme g tel que g 2 = D n. a. Montrer que, s il existe un endomorphisme g de E n = R n [X] tel que g 2 = D n, alors l endomorphisme g est nilpotent et le noyau de g 2 a une dimension au mins égale à 2. b. En déduire qu il n existe pas d endomorphisme g de E n = R n [X] tel que g 2 = D n. c. En déduire qu il n existe pas d endomorphisme g de E = R[X] tel que g 2 = D. 2. Existence d un endomorphisme g tel que g k = D n. a. Soit m un entier supérieur ou égal à et k un entier supérieur ou égal à 2. Soit g un endomorphisme de E = R[X] tel que g k = D m Montrer que les deux endomorphismes D et g sont surjectifs. b. Démontrer que les sou-espaces vectoriels ker g q de E sont de dimension finie lorsque 0 q k. 2 Rémy Nicolai Aalglin

3 c. Soit p un entier tel que 2 p k. Soit Φ l application définie dans ker g p par : P ker g p : Φ(P ) = g(p ) Montrer que cette application est linéaire de ker g p et à valeurs dans ker g p. Préciser son noyau et son image. En déduire une relation entre les dimensions des sous-espaces ker g p et ker g p. Quelle est la dimension de ker g p en fonction de ker g? d. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les entiers m et k pour qu il existe un endomorphisme g de E tel que g k = D m. Retrouver le résultat de la question II..c. Corrigé Préliminaires. Comme f 0 est l identité, son noyau {O V } est inclus dans ker f. Pour k entier non nul, x ker f k : x ker f k f k (x) = 0 V f ( f k (x) ) = f(0 V ) x ker f k+ Ce qui montre la chaîne d inclusions demandée. 2. Soit p un entier tel que Nous allons montrer que Cela entrainera l égalité ker f p = ker f p+ ker f p+2 ker f p+ ker f p = ker f p+2 puis, en recommençant avec p +, cela entrainera l égalité de tous les noyaux suivants. Il s agit donc de montrer ker f p+2 ker f p+ Cela résulte de x ker f p+2 : f p+ (f(x)) = 0 V f(x) ker f p+ = ker f p f p+ (x) = f p (f(x)) = 0 V x ker f p+ 3. On suppose que V est de dimension finie. Les dimensions des noyaux forment une suite croissantes d entiers tous inférieurs ou égaux à dim V. Une telle suite ne peut être strictement croissante. Il existe donc un entier p tel que : 0 = dim(ker f 0 ) < dim(ker f ) < < dim(ker f p ) = dim(ker f p+ ) dim V = n Comme les premières inégalités sont strictes, on obtient p dim(ker f p ) n Comme on est en dimension finie : } dim(ker f p ) = dim(ker f p+ ) ker f p = ker f p+ ker f p ker f p+ L égalité se propage alors (d après 2.) à tous les k p parmi lesquels figure n. 3 Rémy Nicolai Aalglin

4 4. On applique le résultat de la question précédente. Dans le cas d un endomorphisme u nilpotent, la suite croissante des noyaux itérés se stabilise (avant n) à sa valeur finale qui est V tout entier. On en déduit qu il existe un p n tel que V = ker u p. Cela signifie Première Partie u p = 0 L(V ) u n = 0 L(V ). a. Dans E n, si n alors D n s exprime en fonction de g : D n = λid E + g 2 Sous cette forme, il est évident que D n commute avec g. On en déduit que g commute avec les puissance de D n. En particulier car D p+ x ker Dn p+ g(x) ker Dn p+ n (g(x)) = g(dn p+ (x)) = g(0 E ) = 0 E Une fois prouvée la stabilité de E p par g, on peut considérer la restriction g p de g à E p. Elle vérifie évidemment la même relation que g. b. Le raisonnement est le même que pour la question précédente. Le fait que E ne soit pas de dimension finie ne change rien. Si g vérifie la relation, il commute donc avec l opérateur de dérivation. Comme plus haut, E n est stable par g car c est un noyau d une puissance de D n et la restriction g n de g vérifie la même relation avec la restriction D n de D. c. i. L opérateur D F est la restriction à F de l opérateur de dérivation. Comme F est de dimension finie, il existe un entier k qui est le degré maximal d un polynôme quelconque de F. Alors D k+ F est nul. D après la partie préliminaire, comme D F est nilpotent dans un espace de dimension n +, l endomorphisme DF n est nul. Ceci montre que F R n[x]. Comme les deux espaces sont de même dimension, ils sont égaux. On peut en conclure que les seuls sous-espaces de dimension finie stables par D sont les R n [X]. Un seul sous-espace de dimension infinie est stable par D, il s agit de R[X] lui même. En effet, un tel espace doit contenir des polynômes de degré arbitraire et tous leurs polynômes dérivés. 2. Cas λ < 0 ii. Comme g commute avec D, un sous-espace est stable par g si et seulement si il est stable par D. a. Dans E 0 = R qui est un espace de dimension, les seules applications linéaires sont les multiplications par un scalaire. En particulier g est la multiplication par µ et D 0 est l application nulle donc Ce qui entraîne λ 0 µ 2 = λ b. D après., lorsqu il existe un g (dans E ou dans E n ), le sous-espace E 0 est stable par D et g donc λ 0. Ainsi, lorsque λ < 0, il n existe pas d application g vérifiant la condition étudiée (ni dans E, ni dans un E n ). 3. a. Soit f linéaire de V dans V telle que f n+ soit nulle mais pas f n. Il existe alors un y V tel que f n (y) 0 Montrons que B = (y, f(y),, f n (y)) est libre. Si (λ 0, λ, λ n ) sont des réels tels que λ 0 y + λ f(y) + + λ n f n (y) = 0 en composant par f n, on obtient λ 0 f n (y) = 0 avec f n (y) 0 d où λ 0 = 0 et ainsi de suite. En composant successivement par f n, f n 2, on obtient la nullité de tous les coefficients. La famille est donc libre. Cette famille est une base car elle contient autant de vecteurs que la dimension de l espace. La matrice de f dans cette base est A 0. b. L existence d une base B n dans laquelle la matrice de D n est A 0 résulte de la question précédente. On pouvait aussi choisir une famille constituée de polynômes de la forme k! Xk La matrice associée à λid En + D n dans cette base est A λ 4. Ici n = 2 a. Il est bien évident que les h de la forme aid E + bd 2 + cd Rémy Nicolai Aalglin

5 commutent avec D 2. On va montrer que ce sont les seuls. Soit P un polynôme de degré 2. Alors (P, D(P ), D 2 (P )) est une base de E 2. Comme f(p ) E 2, il existe des réels a, b, c tels que f(p ) = ap + bd(p ) + cd 2 (P ) Comparons f et F = aid E + bd + cd 2. Pour cela, il suffit de les comparer sur les vecteurs d une base. Par définition : f(p ) =F (P ) f(d(p )) =D(f(P )) = ad(p ) + bd 2 (P ) = F (D(P )) car D 3 (P ) = 0 f(d 2 (P )) =D 2 (f(p )) = ad 2 (P ) = F (D 2 (P )) Les deux fonctions coïncident sur une base, elles sont donc égales. b. On doit chercher les g telles que g 2 = λid + D parmi les applications qui commutent avec D. Cherchons donc des conditions sur a, b, c assurant que vérifie g 2 = λid + D. Calculons g 2 : g = aid E + bd 2 + cd 2 2 g 2 = a 2 Id + 2abD 2 + (b 2 + 2ac)D 2 = λid + D Comme les application linéaires (Id, D, D 2 ) forment une famille libre, on peut identifier les coefficients. On trouve donc deux matrices une définie par a = λ b = 2 λ L autre étant son opposée. Dans le cas où λ =, on trouve la matrice c = 8λ λ Deuxième Partie. a. Comme D n est nilpotent, il est évident que g l est aussi lorsque g 2 = D n. Par conséquent g 2 ne peut pas être injectif. Mais pourquoi ker g 2 est-il de dimension au moins 2? Comme g est nilpotente elle n est pas injective. Donc si la dimension de ker g 2 n est pas au moins 2 alors ker g et kerg 2 seront de dimension et égaux. D après la partie préliminaire, la suite des noyaux de g est constante dès le premier rang. Autrement dit g est nulle ce qui est absurde. b. Il n existe pas de g tel que g 2 = D n car le noyau de D n est de dimension alors que celui de g devrait être de dimension 2. c. idem 2. a. Tout polynôme admet plusieurs polynômes primitifs (c est à dire dont le polynôme dérivé est égal au polynôme donné) qui diffèrent d une constante. L application D est donc surjective. Il en est de même de D m = g k. La surjectivité de g k entraîne celle de g. b. Pour q k, ker g q ker g k = ker D m = E m qui est de dimension finie m. c. L application Φ est clairement linéaire. Elle prend ses valeurs dans ker g q car si x ker g k alors g q (x) = g q (g(x)) donc g(x) ker g q. Montrons la surjectivité de Φ. Soit x ker g q alors comme g est surjective, il existe un y tel que x = g(y) et 0 = g p (x) = g p (y) donc y ker g p et y est un antécédent par Φ de x. Ainsi Φ est surjective de ker g p vers ker g p de noyau ker g. Le théorème du rang donne alors dim(ker g p ) = dim(ker g p ) + dim(ker g) La suite des dimensions est arithmétique d où dim(ker g p ) = p dim(ker g) d. Si g k = D m, comme dim(ker D m ) = m, on doit avoir dim(ker g k ) = m c est à dire k dim(ker g) = m. Il est donc nécessaire que k divise m. et son opposée. 5 Rémy Nicolai Aalglin

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels.

Exo7. Sujets de l année 2008-2009. 1 Partiel. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay Exo7 Sujets de l année 28-29 1 Partiel Exercice 1 Soit A une matrice 2 2 à coefficients réels. On suppose a + c = b + d = 1 et a b 1. ( ) a b c d 1. Soient (x 1,x

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Chapitre IV Applications linéaires Révisions Définition. Soient E, deux espaces vectoriels sur le même corps commutatif est dite linéaire si quels que soient x, y E et λ,. Une application f : E f x y f

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncé. Réduction pratique de matrices

Exercices - Réduction des endomorphismes : énoncé. Réduction pratique de matrices Réduction pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Spé - Diagonaliser les matrices suivantes : 0 2 1 A = 3 2 0 B = 2 2 1 0 3 2 2 5 2 2 3 0 On donnera aussi la matrice de passage

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images.

Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. Fiche Méthode 11 : Noyaux et images. On se place dans un espace vectoriel E de dimension finie n, muni d une base B = ( e 1,..., e n ). f désignera un endomorphisme de E 1 et A la matrice de f dans la

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité?

Examen - septembre 2012. Question de cours Enoncer et démontrer l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace euclidien. Quel est le cas d égalité? Université Paris Dauphine DEMIE e année Algèbre linéaire 3 Examen - septembre 01 Le sujet comporte pages. L épreuve dure heures. Les documents, calculatrices et téléphones portables sont interdits. Question

Plus en détail

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1.

Indication Prendre une combinaison linéaire nulle et l évaluer par ϕ n 1. 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R 2 (2x + y, x y) R 2, f 2 : (x, y, z) R 3 (xy, x, y) R 3 f 3 : (x, y, z) R 3 (2x +

Plus en détail

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques

Espaces vectoriels. Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires. 2MA01-Licence de Mathématiques Université d Orléans Année 2009-2010 Espaces vectoriels et applications linéaires 2MA01-Licence de Mathématiques Espaces vectoriels Exercice 1 Soit E un espace vectoriel. Pour x, y E et λ, µ K, montrer

Plus en détail

Espaces vectoriels de dimension finie

Espaces vectoriels de dimension finie Chapitre 14 Espaces vectoriels de dimension finie Dans tout le chapitre K désigne R ou C. 14.1 Espaces vectoriels de dimension finie 14.1.1 Bases et dimension Ò Ø ÓÒ ½ º½ Espace vectoriel de dimension

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications linéaires

Espaces vectoriels et applications linéaires Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1 On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par,,, 1) Montrer que est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d un espace vectoriel général. Dans ce chapitre désigne

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires :

Exo7. Applications linéaires. 1 Définition. 2 Image et noyau. Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : Exo7 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R R f 1 x,y = x + y,x y f : R R f x,y,z = xy,x,y f : R R f x,y,z = x + y + z,y z,x

Plus en détail

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez Espaces vectoriels par Pierre Veuillez 1 Objectifs : Disposer d un lieu où les opérations + et se comportent bien. Déterminer des bases (utilisation de la dimension) Représenter les vecteurs grace à leurs

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

TD 5- Applications linéaires

TD 5- Applications linéaires TD 5- Applications linéaires Exercice 1. Soit f l'application dénie sur R 2 par f(x, y) = (2x y, 3x + y). 1. Montrer que f est un endomorphisme de R 2. 2. Montrer que f est injective. 3. Montrer que f

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-201 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Polynômes 1 Fonctions polynômes & polynômes Définition 1. Soit

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE POITIERS

UNIVERSITÉ DE POITIERS UNIVERSITÉ DE POITIERS Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées Mathématiques PREMIÈRE ANNEE DE LA LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES UE L «algèbre linéaire» Plan du cours Exercices Enoncés des

Plus en détail

BJ - RELATIONS BINAIRES

BJ - RELATIONS BINAIRES BJ - RELATIONS BINAIRES Définitions Soit A et B deux ensembles non vides, et G une partie de A B. On dit qu un élément x de A est relié à un élément y de B par une relation binaire de graphe G, si le couple

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot ESPACES VECTORIELS 1 Définition et exemples fondamentaux 1.1 Définition Définition 1.1 Espace vectoriel Soient K un corps et E un ensemble muni d une loi interne + et d une loi externe. i.e. d une application

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

Base : une axiomatique

Base : une axiomatique Autour des groupes de réflexions Master 2 Mathématiques fondamentales Cours : Michel Broué Université Paris VII Denis Diderot TD : Vincent Beck Année 2005 2006 Base : une axiomatique a) D après (i), on

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F.

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle 2006-2007 Espaces vectoriels Convention 1. Dans toute la suite, k désignera un corps quelconque. Définition 2.

Plus en détail

Cours Diagonalisation

Cours Diagonalisation Cours Diagonalisation par Pierre Veuillez 1 Objectif Pour une matrice A donnée, déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle que A = P D P 1. Interprètation : Quelle relation reconnaît-on?

Plus en détail

APPLICATIONS LINÉAIRES

APPLICATIONS LINÉAIRES 21-10- 2007 J.F.C. A.L. p. 1 APPLICATIONS LINÉAIRES I GÉNÉRALITÉS 1. Définition et vocabulaire 2. Conséquences de la définition 3. Caractérisation II OPÉRATIONS SUR LES APPLICATION LINÉAIRES 1. Somme,

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application

Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application Il s agit donc de montrer une propriété commençant par un symbole. La démonstration débute donc par : Soit (x 1, x 2 ) E 2. La propriété

Plus en détail

Les espaces vectoriels

Les espaces vectoriels Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES 1. Généralités Les espaces vectoriels Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif. 1.1. Notion d espace vectoriel On considère un ensemble E sur lequel

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Analyse des données et algèbre linéaire

Analyse des données et algèbre linéaire Analyse des données et algèbre linéaire Fondamentaux pour le Big Data c Télécom ParisTech 1/15 Machine-Learning : Une donnée x i = un ensemble de features (caractères) d un individu i x i = (x i,1,...,

Plus en détail

1 Programme de Colles : Espaces vectoriels.

1 Programme de Colles : Espaces vectoriels. Lycée Louis le grand Année scolaire 2007/2008 Mathématiques Supérieure MPSI Semaine 12 11 mai 2009 1 Programme de Colles : Espaces vectoriels. On note K le corps R ou C. 1.1 Axiomes d espace vectoriel.

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

Primitives Cours maths Terminale S

Primitives Cours maths Terminale S Primitives Cours maths Terminale S Dans ce module est introduite la notion de primitive d une fonction sur un intervalle. On définit cette notion puis on montre qu une fonction admet une infinité de primitives

Plus en détail

Sujets HEC B/L 2013-36-

Sujets HEC B/L 2013-36- -36- -37- Sujet HEC 2012 B/L Exercice principal B/L1 1. Question de cours : Définition et propriétés de la fonction de répartition d une variable aléatoire à densité. Soit f la fonction définie par : f(x)

Plus en détail

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y )

COR TD 2. Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : x + x, y + y ) COR TD 2 Année 21 Exercice 1. Déterminer si les applications f i suivantes sont linéaires : f 1 : R 2 R 2 f 1 x, y = 2x + y, x y f 2 : R R f 2 x, y, z = xy, x, y f : R R f x, y, z = 2x + y + z, y z, x

Plus en détail

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé

Examen de l UE LM125 Janvier 2007 Corrigé Université Pierre et Marie Curie Licence Sciences et Technologies MIME L énoncé est repris sur fond mauve. En prune : des commentaires. Examen de l UE LM15 Janvier 007 Corrigé Commentaires généraux barème

Plus en détail

L usage de la calculatrice n est pas autorisé.

L usage de la calculatrice n est pas autorisé. e3a Concours ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMÈDE Épreuve de Mathématiques A durée 4 heures MP L usage de la calculatrice n est pas autorisé. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées 48 Chapitre 4 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées La motivation de ce chapitre est la suivante. Étant donné un endomorphisme f d un espace E de dimension finie, déterminé par sa matrice

Plus en détail

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.

Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon Oral HEC 2007 Question de cours : Dé nition d un estimateur ; dé nitions du biais et du risque quadratique d un estimateur. On considère n (n > 2) variables aléatoires réelles indépendantes X 1,..., X

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3

1.1 Définitions... 2 1.2 Opérations élémentaires... 2 1.3 Systèmes échelonnés et triangulaires... 3 Chapitre 5 Systèmes linéaires 1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 11 Définitions 2 12 Opérations élémentaires 2 13 Systèmes échelonnés et triangulaires 3 2 Résolution des systèmes linéaires 3 21

Plus en détail

Première partie. Deuxième partie

Première partie. Deuxième partie PC 96-97 correction épreuve X97 Première partie. f étant convexe sur l intervalle [t, t 2 ], sa courbe représentative est en dessous la corde joignant les points (t, f(t )) et (t 2, f(t 2 )). Comme f(t

Plus en détail

1. Montrer que B est une base de. 2. Donner la dimension de f ( 3 ), puis la dimension de Ker f, qu en conclure?

1. Montrer que B est une base de. 2. Donner la dimension de f ( 3 ), puis la dimension de Ker f, qu en conclure? Chapitre Applications linéaires Testez vos connaissances Pourquoi s intéresse-t-on au applications linéaires en économie? Qu est-ce qu un noyau, un rang et une image d une application linéaire? Donner

Plus en détail

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007

ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 2007 ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE Session 27 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS DU CONTRÔLE DE LA NAVIGATION AÉRIENNE Épreuve commune obligatoire de MATHÉMATIQUES Durée : 4 Heures Coefficient

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 11 décembre 005 1 Calcul matriciel Une matrice n m est un tableau de nombres à n lignes( et m colonnes. 1 0 Par exemple, avec n = et m =, on peut considérer

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Intégration de polynômes Points de Gauss

Intégration de polynômes Points de Gauss Intégration de polynômes Points de Gauss Commençons par un exercice classique de premier cycle. Problème 1 Trouver trois réels α, β et γ tels que, pour tout polynôme P de degré au plus 2, on ait : ( )

Plus en détail

FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L1

FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L1 FICHE MÉTHODE POUR L ALGÈBRE LINÉAIRE EN L TABLE DES MATIÈRES. Déterminer si un ensemble est un sous espace vectoriel sur R ou non.. Une vérification essentielle.2. La stabilité par combinaisons linéaires

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

1. a) question de cours b) P(f) est un polynôme de l endomorphisme f donc commute avec f.

1. a) question de cours b) P(f) est un polynôme de l endomorphisme f donc commute avec f. escp-eap 2(Ecole de commerce) OPTION SCIENTIFIQUEMATHEMATIQUES I adapté en retirant certaines question qui sont du cours de PC et en ajoutant le dernier exemple.. a) question de cours b) P(f) est un polynôme

Plus en détail

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures Chapitre 2 Anneaux, algèbres 2.1 Structures Un anneau est un ensemble A muni de deux opérations internes + et et d éléments 0 A et 1 A qui vérifient : associativité de l addition : commutativité de l addition

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique

Fonction polynôme du second degré : Forme canonique Fonction polynôme du second degré : Forme canonique I) Introduction. Soit g(x) = a(x - s)²+h. Toute fonction polynôme du second degré peut s écrire sous cette forme. Le passage de la forme développée à

Plus en détail

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire

UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 2013 2014 MATHS/STATS. Solution des exercices d algèbre linéaire UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire 3 4 Master d économie Cours de M. Desgraupes MATHS/STATS Document : Solution des exercices d algèbre linéaire Table des matières

Plus en détail

MATHÉMATIQUES I. lorsqu elle est périodique à partir d un certain rang, c est-à-dire s il existe

MATHÉMATIQUES I. lorsqu elle est périodique à partir d un certain rang, c est-à-dire s il existe MATHÉMATIQUES I On dit qu une suite réelle a = ( a n ) n IN est ultimement périodique lorsqu elle est périodique à partir d un certain rang, c est-à-dire s il existe n 0 IN et p IN tels que : ( R) n IN,

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie

Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M. Topologie Université de Cergy-Pontoise 2008-2009 Calcul Diff S6 M Topologie 1 Espaces métriques 1.1 Distance Dans toute cette partie E représente un ensemble qui n est pas forcément un espace vectoriel. Définition

Plus en détail

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE

CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉCOLE NATIONALE DE L AVIATION CIVILE ANNÉE 2006 CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES PILOTE DE LIGNE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Durée : 2 Heures Coefficient : 1 Ce sujet comporte (dans l énoncé d origine, pas

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Équations du troisième degré

Équations du troisième degré par Z, auctore L objet de cet article est d exposer deux méthodes pour trouver des solutions à une équation du troisième degré : la recherche de racines évidentes d une part, et la formule de Cardan d

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Les codes de Hamming et les codes cycliques - Chapitre 6 (suite et fin)- Les codes de Hamming Principe La distance minimale d un code linéaire L est le plus petit nombre

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume.

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume. Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Logique informatique 2013-2014. Examen

Logique informatique 2013-2014. Examen Logique informatique 2013-2014. Examen 30 mai 2013. Durée 3h. Tous les documents sont autorisés. Seuls les résultats du cours peuvent être utilisés sans démonstration. Le barême et la longueur des solutions

Plus en détail

MULTIPLICATION RAPIDE : KARATSUBA ET FFT

MULTIPLICATION RAPIDE : KARATSUBA ET FFT MULTIPLICATION RAPIDE : KARATSUBA ET FFT 1. Introduction La multiplication est une opération élémentaire qu on utilise évidemment très souvent, et la rapidité des nombreux algorithmes qui l utilisent dépend

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

Points fixes de fonctions à domaine fini

Points fixes de fonctions à domaine fini ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE CACHAN ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D ADMISSION 2013 FILIÈRE MP HORS SPÉCIALITÉ INFO FILIÈRE PC COMPOSITION D INFORMATIQUE

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q

Plus en détail

en dimension finie Table des matières

en dimension finie Table des matières Maths PCSI Cours Algèbre linéaire en dimension finie Table des matières 1 Rappels d algèbre linéaire 2 1.1 Applications linéaires......................................... 2 1.2 Familles libres, génératrices

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Extrema locaux (ou relatifs)

Extrema locaux (ou relatifs) Chapitre 3 Extrema locaux (ou relatifs) 3.0.77 DÉFINITION Soit f : U! R une fonction, U ouvert d un espace vectoriel normé E et a 2 U. On dit que f présente un minimum local (respectivement un maximum

Plus en détail

Généralités sur les graphes

Généralités sur les graphes Généralités sur les graphes Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Notion de graphe 3 1.1 Un peu de vocabulaire.......................................... 3 1.2 Ordre d un graphe,

Plus en détail

Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Optimisation des fonctions de plusieurs variables Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables

Plus en détail

PC* Devoir 6: Corrigé 2011 2012. Partie I : Généralités

PC* Devoir 6: Corrigé 2011 2012. Partie I : Généralités PC* Devoir 6: Corrigé 20 202 Partie I : Généralités I.A - Questions préliminaires a b c I.A.) M S M = b l m avec (a, b, c, l, m, t) R 6. c m t Les éléments de S sont les matrices de la forme : M = ae +

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux Exercice 2 : parallélogramme

Plus en détail

III- Raisonnement par récurrence

III- Raisonnement par récurrence III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,

Plus en détail