CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

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1 CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires suivants dans K n (K=R ou C): y 1 = a 11 y 1 + a 12 y a 1n y n y 2 = a 21 y 1 + a 22 y a 2n y n (S 1 ) Y (t) = AY(t), t R, = y n = a n1 y 1 + a n2 y a nn y n où: (S 2 ) y 1 = a 11 y 1 + a 12 y a 1n y n + b 1 (t) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y a 2n y n + b 2 (t) y n = a n1 y 1 + a n2 y a nn y n + b n (t) Y (t) = AY(t)+B(t), t I, les inconnues sont y 1,y 2,,y n, fonctions de la variable réelle t, à valeurs dans K, dérivables par rapport à la variable réelle t sur R ou I, intervalle de R, y 1 (t) y 2 (t) Y : t I Y(t) = Kn est une fonction dérivable sur R ou un intervalle ouvert I de R, y n (t) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = M nn(k), a n1 a n2 a nn b 1 (t) b 2 (t) B : t I B(t) = Kn est une fonction continue sur un intervalle ouvert I de R b n (t) Remarque: Si dans (S 2 ), on fait B(t) = et I = R, on obtient alors (S 1 ) I Définitions Théorème de Cauchy Propriétés générales 1 Définitions: Le système (S 1 ) est appelé système différentiel linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants dans K, d inconnues y 1,y 2,,y n On appelle solution de (S 1 ) toute fonction Y définie dérivable sur R à valeurs dans K n vérifiant (S 1 ) Le système (S 2 ) est appelé système différentiel linéaire du premier ordre avec second membre (ou inhomogène) à coefficients constants dans K defini sur I, d inconnues y 1,y 2,,y n On appelle solution de (S 2 ) toute fonction Y définie dérivable sur l intervalle I à valeurs dans K n vérifiant (S 2 ) 2 Problème de Cauchy Théorème de Cauchy Résoudre un problème de Cauchy est la recherche de solution(s) d un système différentiel de type (S 1 ) ou (S 2 ) vérifiant une condition initiale donnée Y K n en un temps donné ( I) Autrement dit, on cherche à résoudre : { Y (t) = AY(t)+B(t) Y( ) = Y où B(t) est éventuellement nul et I, (ou R), Y K n 1

2 Théorème de Cauchy (admis): Pour tout R et Y K n, il existe une unique solution du système (S 1 ) vérifiant Y( ) = Y Pour tout I et Y K n, il existe une unique solution du système (S 2 ) vérifiant Y( ) = Y 3 Propriétés de l ensemble des solutions de (S 1 ) ou (S 2 ): L ensemble des solutions de (S 1 ) est un espace vectoriel sur K Soit U(t) une solution particulière de (S 2 ) Alors toute solution de (S 2 ) s écrit : Y(t) = U(t)+Z(t) où Z(t) est la solution générale du système linéaire différentiel (S 1 ) associé ( c est-à-dire sans second membre) II Méthodes de résolution explicite des systèmes différentiels linéaires à coefficients constants (S 1 ) ou (S 2 ) 1 Exemples: (a) Cas n=1: Alors les systèmes (S 1 ) et (S 2 ) se réduisent aux deux équations différentielle suivantes: La solution générale de la première (E 1 ) est : (E 1 ) y = ay ; (E 2 ) y = ay+b(t) y(t) = λ e at Si on impose la condition initiale y() = y, on obtient λ = y Quant à la seconde (E 2 ), d après les propriétés 3 du paragraphe I, la solution générale s écrit: y(t) = u(t)+λ e at où u(t) est une solution particulière de (E 2 )Comment trouver une solution particulière de (E 2 )? On utilisera la méthode, dite, de la variation de la constante que l on verra plus tard, de façon générale, mais qui est la suivante: On cherche u(t) sous la forme u(t) = µ(t)e at En injectant dans l équation,on obtient: soit: µ (t)e at = b(t) µ(t) = e as b(s)ds d où u(t) = ( e as b(s)ds)e at Il suffit de prendre une solution particulière (d où l abscence de constante: ici on a u( ) = ) La solution générale de (E 2 ) s écrit: y(t) = ( e as b(s)ds)e at + λ e at Si on impose la condition initiale y( ) = y on obtient λ = y Remarque: On peut généraliser l équation E 2 en ne supposant plus le coefficient a constant mais en le prenant comme une fonction de t On obtient une équation différentielle linéaire, avec second membre, en dimension 1, qui n est plus à coefficient constant, de la forme: (E 2 bis) y = a(t)y+b(t) Les propriétés 3 du paragraphe I restent vraies et la méthode de résolution donnée ci-dessus aussi, soit la solution s écrit: y(t) = y (t)+u(t) avec : 2

3 i y (t) solution générale de y = a(t)y soit y (t) = λ e t a(s)ds = λ g(t) ii u(t) est obtenue par la variation de la constante comme précédemment ce qui donne, avec les mêmes notations: µ (t)g(t) = b(t) b(s) t µ(t) = g(s) ds d où u(t) = ( b(s) g(s) ds)g(t) (b) Cas n=2: ( a1 i A = a 2 ) Alors les systèmes (S 1 ) ou (S 2 ) se ramènent respectivement à deux équations de type(e 1 ) ou (E 2 ) que l on sait résoudre Exemple: Soit à résoudre le système (S 1 ) suivant: { x (t) = 2x(t) y (t) = 3y(t) ( x ) (t) y = (t) 2 = 3 x(t) y(t) Alors on a deux équations de type (E 1 )que l on résoud séparément La solution est donnée par: ( x(t) x e Y(t) = = 2t ) y(t) y e 3t x où la colonne Y = correspond à la valeur initiale pour t = y a11 a ii A = 12 Considérons seulement le système (S a 1 ) Alors (S 1 ) est équivalent à: 22 { x (t) = a 11 x(t)+a 12 y(t) y (t) = a 22 y(t) La deuxième équation est de type (E 1 ) que l on sait résoudre On reporte sa solution générale dans la premiére équation du système qui devient alors du type (E 2 ) où la fonction inconnue est x(t) On sait résoudre mias dans ce cas le paragraphe suivant va nous fournir une méthode plus rapide iii Le cas A général sera vu plus tard, pour n importe quelle dimension d espace 2 Résolution explicite du système (S 1 ): Théorème: (a) L unique solution Y(t) du système (S 1 ) dans K, de condition initiale Y() = Y s écrit: Y(t) = R A (t)y où R A (t) est une matrice carrée de M n (K), indépendante de la condition initiale R A (t) s appelle la matrice résolvante de (S 1 ) et est unique (b) R A (t) est donnée en fonction de A et t comme suit: a 11 e a 11t a 22 i Si A =, alors R e a 22t A(t) = a nn e a nnt a a 12 a 1n a a 2n ii Si A = =ai n + N avec N triangulaire supérieure stricte donc N n =, alors : a R A (t) = e at (I n + tn t2 N (n 1)! tn 1 N n 1 ) 3

4 T 1 T 2 iii Si A =, où T i(i = 1p) est une matrice d ordre n i de la forme donnée dans ii), soit T p T i = λ I ni + N i avec N i triangulaire supérieure stricte, et n 1 + n 2 ++n p = n alors: R T1 (t) R T2 (t) R A (t) = R Tp (t) où R Ti (t)est donnée par ii) iv Si A est quelconque dansm n (K), A est nécessairement trigonalisable dansm n (C) donc il existe une matrice complexe de changement de bases P telle que P 1 AP = A est de la forme précédente (donnée dans iii) Alors R A (t) = PR A (t)p 1 De plus si A est réelle, R A (t) est aussi réelle (c) Dans tous les cas R A (t) vérifie les propriétés suivantes: i R A () = I, ii d dt (R A(t)) = AR A (t) = R A (t)a, iii R A (t + s) = R A (t)r A (s), iv R A (t) est inversible et (R A (t)) 1 = R A ( t) Preuve: (voir cours) Pour chaque cas de A donné dans (b), on vérifie succesivement à la main que Y(t) = R A (t)y pour les différents R A (t) proposés dans (b) est solution de (S 1 ) et vérifie la condition initialele Théorème de Cauchy permet de déduire que c est la solution unique Elle se présente donc bien sous la forme énoncée dans (a) L unicité de R A (t) résulte du même théorème de Cauchy Exemple: Prenons pour A la matrice suivante: A = soit le système: 1 Y (t) = Y(t), 1 où Y(t) = x(t) y(t) z(t) On relève du cas ( b) iii du théorème ci-dessus Alors on a T 1 = 2 et T 2 = avec N2 2 = ( e Alors R T1 = e 2t et R T2 = e t t te (I 2 + tn 2 ) = t ) e t d où: On peut facilement déduire la proposition suivante: 1 1 = 1 R A (t) = e2 e t te t et Y(t) = e2 e t te t Y() e t e t = I 2 + N 2 Proposition: L ensemble S des solutions de (S 1 ) est un espace vectoriel de dimension n sur K et de base (E 1,E 2,,E n ) où E i (t) = R A (t)e i, i = 1,2,,n et (e 1,e 2,e n ) est la base canonique de K n Les solutions (E 1,E 2,,E n ) sont appelées solutions fondamentales 3 Résolution explicite du système (S 2 ): Théorème: L unique solution de (S 2 ) définie sur l intervalle I contenan avec condition initiale Y() = Y est donnée par: Y(t) = Z(t)+U(t) 4

5 où Z(t) = R A (t)y est l unique solution du système (S 1 ) associé (sans second membre) avec condition initiale Z() = Y (déterminée par le théorème du paragraphe 2) et U(t) une solution particulière de (S 2 ),obtenue par la méthode de la variation de la constante soit: Alors la solution Y(t) est donnée par: U(t) = R A (t u)b(u)du Y(t) = R A (t)y + R A (t u)b(u)du Preuve: Elle consiste à vérifier directement, en utilisant les propriétés de R A (t), que U(t) est solution de (S 2 ) 4 Conclusion Pour résoudre le système (S 2 ) avec condition initiale Y() = Y, on procède comme suit: (a) On résout le système associé (S 1 ) de la façon suivante : i On diagonalise si possible la matrice A dans C, sinon on trigonalise dans C Par changement de bases, de matrice P, si on pose Z(t) = P 1 Z(t), A = P 1 AP, on se ramène donc au cas (b)i, (b)ii ou (b)iii du paragraphe 2 On résout le système (Z(t) ) = A Z(t) avec la condition initiale Z() = P 1 Y soit Z(t) = R A (t)p 1 Y ii La solution est donnée par Z(t) = PZ(t) = PR A (t)p 1 Y = R A (t)y On a donc R A (t) = PR A (t)p 1 (b) On calcule la solution particulière U(t) de (S 2 ) donnée dans le paragraphe 3 précédent (c) La solution cherchée est Y(t) = Z(t)+U(t) III Application: Résolution des équations différentielles linéaires à une inconnue, à coefficients constants, de tout ordre Ce sont des équations de l un ou l autre des deux types suivants: où: (E 1 ) y (n) + a n 1 y (n 1) ++a 1 y + a y = (E 2 ) y (n) + a n 1 y (n 1) ++a 1 y + a y = b(t) a o,a 1,,a n 1 sont des éléments de K y est une fonction de la variable réelle t R dans le cas (E 1 ), ou t I dans le cas (E 2 ), ( I intervalle ouvert de R), à valeurs dans K et de plus dérivable jusqu à l ordre n b est une fonction continue sur I à valeurs dans K 1 Propriétés générales: A toute fonction y dérivable jusqu à l ordre n sur R ou I, on associe la colonne y(t) y (t) Y(t) = Kn y n 1 (t) A la fonction b continue sur I, on associe la colonne Soit dans M n (K): B(t) = b(t) Kn 1 1 A = 1 a a 1 a 2 a n 1 5

6 Alors: y est solution de (E 1 ) Y (t) = AY(t), y est solution de (E 2 ) Y (t) = AY(t)+B(t) De cette propriété et des résultats sur les systèmes différentiels linéaires, nous allons déduire les deux théorèmes suivants 2 Théorème de Cauchy pour (E 1 ): (a) L équation (E 1 ) admet une solution unique vérifiant les conditions initiales suivantes: y() = c 1, y () = c 2,,y (n 1) () = c n (b) L ensemble des solutions de (E 1 ) est un espace vectoriel de dimension n sur K Pour résoudre (E 1 ), il suffit de trouver n solutions indépendantes 3 Théorème pour (E 2 ): Toute solution y de (E 2 ) est de la forme: y = z+u où z est la solution générale de (E 1 ) associée à (E 2 ) (sans second membre), fournie précédemment et u est une solution particulière de (E 2 ) 4 Exemples de résolution explicite dans le cas n = 2: On ne fera que le cas n = 2 L équation (E 1 ) s écrit alors: ay + by + cy = où y est la solution définie sur R L espace des solutions est de dimension 2 Il suffit de chercher une base On cherche s il existe des solutions de la forme y(t) = e λt Une telle solution existe si et seulement si: aλ 2 + bλ + c = (EC) Cette équation s appelle l équation caractéristique de (E 1 ) (a) b 2 4ac : (EC) a deux solutionsλ 1,λ 2 d où deux solutions de (E 1 ): y 1 (t) = e λ 1t, y 2 (t) = e λ 2t, qui sont libres et constituent une base de l espace des solutions de (E 1 ) Remarque: Supposons a, b, c réels i Si b 2 4ac > alors y 1 et y 2 sont réelles donc constituent une base de l espace des solutions réelles de (E 1 ) ii Si b 2 4ac< alors y 1 et y 2 sont deux solutions complexes conjuguées car λ 2 = λ 1 Alors y 1+y 2 2 = e αt cosβt et y 1 y 2 2i = e αt sinβt (avec λ 1 = α + iβ ) sont deux solutions réelles indépendantes donc une base de l espace des solutions réelles de (E 1 ) (b) b 2 4ac = : (EC) a une solution λ = b 2a Alors y 1 tel que y 1 (t) = e λ t est solution mais il manque un élément dans la base Dans ce cas un calcul montre que y 2 tel que y 2 (t) = te λ t est solution L espace des solutions de (E 1 ) a pour base y 1,y 2 La recherche d une solution particulière dans le cas d une équation (E 2 ) avec second membre sera vue en Td sur des exemples 6