108y= 1 où x et y sont des entiers

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1 Polynésie Juin 202 Série S Exercice Partie A On considère l équation ( ) relatifs E :x y= où x et y sont des entiers Vérifier que le couple ( ;3 ) est solution de cette équation 2 Déterminer l ensemble des couples d entiers relatifs solutions de l équation ( E ) Partie B Dans cette partie, a désine un entier naturel et les nombres c et sont des entiers naturels vérifiant la relation c= On rappelle le petit théorème de Fermat : Si p est un nombre premier et a un entier naturel non divisible par p, p alors a p est conru à modulo p que l on note a p Soit x un entier naturel Démontrer que si x a 7 et x a 9 alors x a 3 2 (a) On suppose que a n est pas un multiple de 7 6 Démontrer que a 7 puis que a 7 En déduire que ( ) 7 a a (b) On suppose que a est un multiple de 7 a a 7 Démontrer que ( ) (c) On admet que pour tout entier naturel a, ( ) Démontrer que ( a ) a 3 9 a a PanaMaths [ - 6 ] Juin 202

2 Partie C On note A l ensemble des entiers naturels a tels que : a 26 Un messae, constitué d entiers appartenant à A, est codé puis décodé La phase de codae consiste à associer, à chaque entier a de A, l entier r tel que a r 3 avec 0 r < 3 La phase de décodae consiste à associer à r, l entier r tel que r r 3 avec 0 r < 3 Justifier que r a 3 2 Un messae codé conduit à la suite de deux entiers suivants : Décoder ce messae PanaMaths [ 2-6 ] Juin 202

3 Analyse Théorème de Gauss, petit théorème de Fermat, propriétés de la relation de conruence sont «au proramme» de cet exercice d arithmétique qui propose, classiquement désormais, comme application des résultats intermédiaires un travail de décodae où la calculatrice peut être assez utile Résolution Partie A Question On a immédiatement : 3 = = Le couple ( ) ; 3 est solution de l équation x y = Question 2 En utilisant le résultat de la question précédente, l équation se récrit classiquement : Soit : ( x ) ( y 3) = divise donc le produit ( y 3) x y = 3 2 Les entiers = 5 et étant premiers entre eux (5 ne divise pas ), on en déduit que divise y 3 (théorème de Gauss), soit : y 3= k où k est un entier relatif Il vient alors : ( x ) = k, soit : x = k x ; y = + k; 3+ k où k est un entier relatif En définitive : ( ) ( ) L ensemble des couples d entiers relatifs solutions de l équation ( E ) est l ensemble : {( + k; 3+ k) / k } PanaMaths [ 3-6 ] Juin 202

4 Partie B Question, il existe un entier k tel que : x = a+ 7k Comme x a [ 7 ] De même, comme x a [ 9 ], il existe un entier k ' tel que : x = a+ 9 k' On a donc : x = a+ 7k = a+ 9 k', soit : 7k = 9 k' Les entiers 7 et 9 étant premiers entre eux, On en déduit (théorème de Gauss) que 7 divise k ', soit k' = 7 k'', où k '' est un entier On a alors : x = a+ 9 k' = a+ 9 7 k'' = a+ 3 k'' L entier x est bien conru à a modulo 3 Si x a [ 7 ] et x a [ 9 ] alors x a [ 3 ] Question 2a Ici, a n est pas un multiple de 7 qui est premier Le petit théorème de Fermat nous permet 7 6 alors d affirmer que a 7 Remarquons que l on a : = 6 8 a est conru à modulo p, soit [ ] D après le résultat précédent, il vient alors : ( 6 8 ) 8 [ 7] On a : c =, soit : = c + Il vient alors : ( ) c+ a = a = a a, soit : [ 7] c c Comme a [ 7], on a : ( a ) [ 7], soit : c [ 7] c c D où : a a a [ 7], soit : a a [ 7 ] a a +, c'est-à-dire : ( ) a a [ 7 ] Si a n est pas un multiple de 7, on a : 6 a [ 7], [ 7] a et ( a ) a [ 7 ] Question 2b Puisque a est un multiple de 7, il en va de même pour toute puissance de a d exposant entier naturel non nul Ainsi, ( a ) est un multiple de 7 La différence ( a ) a est elle-même un multiple de 7, soit : ( a ) a 0 [ 7] D où : ( a ) a [ 7 ] Si a est un multiple de 7 alors ( a ) a [ 7 ] PanaMaths [ 4-6 ] Juin 202

5 Question 2c D après les deux questions précédentes, on a, pour tout entier a : ( a ) a [ 7 ] On admet, par ailleurs, que l on a : ( a ) a [ 9 ] D après la question de cette partie (on prend x ( a ) ( a ) a [ 3 ] = ), on en déduit immédiatement : Pour tout entier naturel a, on a : ( a ) a [ 3 ] Partie C Question On a a r [ 3 ] Donc : ( ) a r [ 3 ] Soit : a r [ 3 ] Mais d après la question 2c de la partie B, comme le couple ( ; c ) = ( ;3) est solution de l équation ( E ), on a : a a [ 3 ] De a r [ 3 ] et a a [ 3 ], on tire immédiatement r a [ ] [ ] r a 3 3 Remarque : l entier r vérifie 0 r < 3 et l entier a vérifie a 26 La relation [ ] r a 3 nous permet alors de conclure a = r Question 2 er cas : r = 28 On s intéresse ici 28 dont on cherche le reste dans la division euclidienne par 3 28 étant proche de 3, on a intérêt à partir de 28 5 [ 3 ] Il vient alors : 28 ( 5) [ 3 ] 5 [ 3 ] On a : 5 8 [ 3 ] = Comme 3 3 = 399, on a facilement : 4096 = = = = D où : 5 ( 5 ) ( 8) [ 3 ] 4096 [ 3 ] D où : [ ] Alors : ( ) [ ] [ ] [ ] Pour r = 28 on obtient donc r = a = 2 PanaMaths [ 5-6 ] Juin 202

6 2 ème cas : r = 59 On s intéresse ici 59 dont on cherche le reste dans la division euclidienne par 3 59 étant «éloiné» de 3, on ne peut, à priori, reproduire la démarche précédente On a facilement : [ ], [ ] et [ ] [ ] Nous exploitons ce dernier résultat : 59 ( 59 ) ( 3) [ 3 ] 27 [ 3 ] = 2 D où : 59 = [ 3 ] 593 [ 3 ] Comme =, on a finalement : [ ] Le messae décodé est donc : 2 3 PanaMaths [ 6-6 ] Juin 202