De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

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1 Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer à l aide des nombres rationnels. Par exemple : la diagonale d d un carré de côté 1 vérifie, d après le théorème de Pythagore, d 2 = = 2, donc d = 2, mais on verra que 2 / Q. d

2 De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que π / Q.

3 D où la nécessité d introduire de nouveaux nombres (dits irrationnels). La réunion des nombres rationnels et des nombres irrationnels forme le corps R des nombres des réels. Il existe de nombreuses constructions de R (que nous n aborderons pas dans ce cours). Nous nous contenterons d étudier les propriétés essentielles des nombres réels, lesquelles propriétés sont à la base de toute l analyse mathématique.

4 Sommaire 1 Ensembles ordonnés 2 3 Groupes, Sous-groupes 4 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. 5 6

5 Ensembles ordonnés Définition Soit E un ensemble non vide et une relation binaire sur E E. On dit que est une relation d ordre si, et seulement si, : est réflexive : x E,x x. est antisymétrique : x,y E,(x y et y x) (x = y). est transitive : x,y,z E,(x y et y z) (x z). Lorsque x y et x y, on note x < y (ou y > x). Le couple (E, ) est appelé un ensemble ordonné. Deux éléments x et y sont dits comparables si on a soit x y soit y x. (E, ) est dit totalement ordonné si tous les éléments de E sont 2 à 2 comparables. Sinon, on dit que (E, ) est partiellement ordonné.

6 Exemples 1 N muni de l ordre habituel est totalement ordonné. 2 N muni de la relation x y x y (x divise y) est partiellement ordonné. 3 Soit A un ensemble non vide et E = 2 A l ensemble des parties de A. E est partiellement ordonné par la relation d inclusion : X Y X Y.

7 Sommaire 1 Ensembles ordonnés 2 3 Groupes, Sous-groupes 4 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. 5 6

8 Définition Soient (E, ) un ensemble ordonné, A E et x E. On dit que : x majore A (ou encore x est un majorant de A) si pour tout a A, on a : a x. La partie A est dite majorée s elle admet un majorant. x est le plus grand élément (ou encore le maximum) de A si x A et x est un majorant de A : x = maxa ( a A,a x et x A). De manière analogue, on dit que : x minore A (ou encore x est un minorant de A) si pour tout a A, on a : x a. La partie A est dite minorée s elle admet un minorant.

9 x est le plus petit élément (ou encore le minimum) de A si x A et x est un minorant de A : x = mina ( a A,x a et x A). Une partie A E est dite bornée s elle est à la fois majorée et minorée. Si l ensemble des majorants (resp. des minorants) de A admet un plus petit élément M (resp. un plus grand élément m) celui-ci s appelle borne supérieure (resp. borne inférieure) de A. On écrit alors M = supa et m = infa. On a donc : M = supa { a A, a M; x E, x < M a A,x < a M

10 Et de manière analogue : m = infa { a A, m a; x E, m < x a A,m a < x. On dit qu un ensemble ordonné (E, ) possède la propriété de la borne supérieure (resp. de la borne inférieure) si toute partie non vide et majorée (resp. non vide et non minorée) de E possède une borne supérieure (resp. une borne inférieure) Exercice Montrer que si un ensemble totalement ordonné possède la propriété de la borne supérieure, alors il possède aussi la propriété de la borne inférieure, et vice-versa.

11 Remarque Si A admet un plus grand élément, alors celui-ci est unique et A admet une borne supérieure supa = maxa. De même, si A admet un plus petit élément, alors celui-ci est unique et A admet une borne inférieure infa = mina. Mais, il se peut que A admette une borne supérieure (resp. une borne inférieure) sans admettre de maximum (resp. de minimum).

12 Exemples Soit A = {1 1/n : n N } Q. A est minorée (par 0 A). Donc 0 = mina = infa = 0. D autre part, il est clair que 1 majore A. Soit r Q, r < 1. On a : 1 1 n > r n > 1. Donc, en 1 r prenant n N vérifiant n > 1, on trouverait un élément 1 r a = 1 1/n de A vérifiant r < a. Donc 1 = supa. Comme 1 = supa / A, A n admet pas de plus grand élément. La partie A = { n ( 1)n : n N } de Q est non majorée. De plus, A est minorée (par 0). Soit r Q, r > 0. En prenant un n N tel que n > 1 2 (1 1), on trouverait un élément a = 1/2n + 1 A r vérifiant a < r. Donc infa = 0, et comme 0 / A, A n admet pas de minimum.

13 Théorème Toute partie finie et non vide d un ensemble totalement ordonné admet un plus grand élément et un plus petit élément. Preuve. Soient (E, ) un ensemble totalement ordonné, /0 A E une partie finie non vide de cardinal n 1. On va raisonner par récurrence sur n. si n = 1, c est évident. Supposons que toutes les parties de E de cardinal n 1 admettent un plus grand élément et un plus petit élément. Soit A = {a 1,,a n } une partie de E à n éléments. Posons A = {a 1,,a n 1 } = A\{a n }, s = maxa et m = mina. Si s a n, alors a n = maxa, et si a n < s, alors s = maxa. De même, si m a n, alors m = mina, et si a n < m, alors a n = mina.

14 Corollaire Toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément. En particulier, N possède la propriété de la borne supérieure. Preuve. Car une partie majorée de N est nécessairement finie. Théorème Toute partie non vide de N admet un plus petit élément. Preuve. Supposons, par l absurde, qu il existe une partie /0 A N n admettant pas de minimum. Soit P (n) l assertion suivante : n minore A. On a : P (0) est vraie. Supposons que P (n) soit vraie. Alors n / A (car A n a pas de plus petit élément). Donc, pour tout a A, a > n, et par suite a n + 1 (a et n sont des entiers!). donc n + 1 minore A,

15 ou encore P (n + 1) est vraie. Ainsi P (n) P (n + 1). Par conséquent P (n) est toujours vraie (c-a-d, tous les entiers naturels minorent A). On en déduit que A = /0 : (sinon, il existerait m A, et d après ce qui précéde, m minorerait A et A admettrait m comme plus petit élément). On aboutit à la contradiction A /0 et A = /0. Absurde.

16 Groupes, Sous-groupes Sommaire 1 Ensembles ordonnés 2 3 Groupes, Sous-groupes 4 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. 5 6

17 Groupes Groupes, Sous-groupes Définition Un groupe (G, ) est un ensemble G muni d une loi de composition interne telle que : 1 est associative : a,b,c G,a (b c) = (a b) c. 2 admet un élément neutre e tel que : a G,a e = e a = a. 3 Tout élément a de G admet un symétrique : a G, a G,a a = a a = e. Le groupe est dit abélien (ou commutatif ) si a b = b a, pour tous a,b G. Exemples. (Z, +) est un groupe abélien.

18 Sous-groupes Groupes, Sous-groupes Définition Soit (G, ) un groupe, et soit H une partie de G. On dit que (H, ) (ou tout simplement que H ) est un sous-groupe de (G, ) si et seulement si : H est non vide. (H, ) est un groupe. Exemple. Pour tout n Z, nz = {nm : m Z} est un sous-groupe de (Z,+). A partir de cette définition, il est facile de montrer les deux propositions suivantes :

19 Groupes, Sous-groupes Proposition Soit (G, ) un groupe, et soit H une partie non vide de G. Pour que H soit un sous-groupe de G, il faut et il suffit qu il vérifie les deux conditions suivantes : 1 (x,y) H 2,x y H. 2 x H,x 1 H. Les deux conditions précèdentes peuvent être groupées en une seule condition : Proposition Soit (G, ) un groupe, et soit H une partie non vide de G. Pour que H soit un sous-groupe de G, il faut et il suffit qu il vérifie la condition suivante : (x,y) H 2,x y 1 H.

20 Sous-groupes de (Z, +) Groupes, Sous-groupes Théorème Les sous-groupes de Z sont les ensembles de la forme nz = {nm : m Z}, où n N. Preuve. On sait que les nz sont des sous-groupes de Z. Inversement, soit H un sous-groupe de Z. Si H = {0}, alors H = 0.Z. Si H {0}, on pose H+ = {p H, : p > 0} = H N. H+ est une partie non vide de N (pourquoi?). Donc H+ admet un plus petit élément n. Puisque n H, et que H est un sous-groupe de (Z,+), on aura nz H (Justifier). Inversement, soit p H et soit p = qn + r la division euclidienne de p par n (q Z, r N,r < n).

21 Groupes, Sous-groupes Si r > 0, on aurait r = p qn H (différence de deux éléments de H), r H+ et r < n = minh +. Contradiction. Donc r = 0, p = qn nz. Donc H nz et H = nz.

22 Anneaux Groupes, Sous-groupes Définition Un anneau A est un ensemble muni de deux lois de composition internes + et telles que (A, +) est un groupe commutatif et que est associative et distributive par rapport à +, c-a-d : x,y,z A, x (y + z) = (x y) + (x z) A est dit commutatif si la loi est commutative, unitaire si la loi admet un élément neutre. Exemple. (Z, +, ) est un anneau commuttif unitaire, 1 étant lélément neutre de.

23 Corps Groupes, Sous-groupes Définition Un corps est un anneau unitaire de cardinal 2, tel que tout élément non nul (i.e. distinct de l élément neutre de +) admet un inverse pour la loi. Il revient au même de dire que (K,+, ) est un corps si, et seulement si, (K,+, ) est un anneau unitaire tel que (K, ) est un groupe, où K : = K\{0}. Exemple. (Q, +, ) est un corps. Définition Soient (K 1,+,.) et (K 2,+,.) deux corps et f : K 1 K 2. On dit que f est un isomorphisme de corps si f est bijective, f(1 K1 ) = 1 K2, et pour tout (x,y) K 2 1, on a : f(x + y) = f(x) + f(y) f(x.y) = f(x).f(y).

24 Groupes, Sous-groupes Corps commutatif totalement ordonné. Définition Un corps commutatif totalement ordonné est la donnée d un corps commutatif (K, +, ) muni d une relation d ordre totale compatible avec l addition + et avec la multiplication par les éléments positifs : x,y K,(x y) ( z K,x + z y + z). x,y K,(x y) ( z K +,x z y z), où K + : = {z K : 0 z}. Exemple. Q muni de ses lois et de son ordre habituels est un corps commutatif totalement ordonné.

25 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. Sommaire 1 Ensembles ordonnés 2 3 Groupes, Sous-groupes 4 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. 5 6

26 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. En effet, il existe des polynômes à cœfficients rationnels n admettant pas de racines rationnelles. Pour le voir, démontrons d abord le théorème suivant : Théorème Soient n N et a 0,a 1,,a n Z tels que a 0 a n 0. Si l équation : a 0 + a 1 x + + a n x n = 0 (1) admet une racine rationnelle r écrite sous forme irréductible r = p q, (p,q) Z Z, p q = 1, alors p divise a 0 et q divise a n. Preuve. En remplaçant r par p q q n, on obtiendrait : dans l équation 1 et en multipliant par

27 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. Donc, a 0 q n + a 1 pq n a n 1 p n 1 q + a n p n = 0; a n p n = q [ a 0 q n 1 + a 1 pq n a n 1 p n 1]. Donc q divise a n p n, et comme p et q sont sans diviseur commun, q divise a n (théorème de Gauss). De même, on a : a 0 q n = p [ a 1 q n a n p n 1]. Donc, p divise a 0 q n, et comme p q = 1, p divise a 0. Comme conséquence de ce théorème, on peut dire que l équation x 2 2 = 0 n a pas de racines rationnelles (autrement dit 2 / Q). Sinon, soit r une telle racine, r = p la forme irréductible de r. D après q le théorème précédent, p divise 2 (donc p {±1,±2}) et q divise 1 (et q = ±1). Donc r serait l un des quatre nombres 2, 2, 1 ou 1.

28 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. Or aucun de ces nombres n est solution de x 2 2 = 0. De même, le nombre r = ( /3 ) 1/2 / Q. En effet, on a r 2 = /3 et (r 2 2) 3 5 = r 6 6r r 2 13 = 0. Si r Q et r = p (la forme irréductible de r), alors p diviserait 13 et q diviserait q 1. Donc r {±13,±1}. Or, aucun de ces nombres ne vérifie l équation x 6 6x x 2 13 = 0.

29 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. Proposition Q ne possède pas la propriété de la borne supérieure. Preuve. Soit A = { r Q : r 2 < 2 }. A est non vide ( 1 A), et majoré (par 2), mais A n admet pas borne supérieure : sinon, il existerait M Q tel que M = supa. On a M 1 et M 2 2. Deux cas sont possibles : premier cas : M 2 < 2. Alors, on a : ( n N, M + 1 ) 2 = M M n n + 1 n 2 M2 + 2M + 1. n Donc, en choisissant n > 2M M 2, on aurait (M + 1 n )2 < 2 et M + 1 n A. D où la contradiction A M + 1 n > M = supa.

30 Q est insuffisant en tant que corps Q est insuffisant qu ensemble ordonné. deuxieme cas : M 2 > 2. En choisissant n > 2M M 2, on aurait 2 ( M 1 ) 2 = M 2 2 M n n + 1 n 2 M2 2 M n > 2. Or M 1 < M = supa, donc il existe r A tel que n 0 < M 1 ( n < r M, et par suite, M n) 1 2 < r 2 < 2. Contradiction. En conclusion A est une partie majorée et non vide de Q qui n admet pas de borne supérieure (dans Q). Donc Q ne possède pas la propriété de la borne supérieure.

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32 Théorème et définition (admis). Il existe un corps commutatif totalement ordonné possèdant la propriété de la borne supérieure. De plus, si deux corps commutatifs totalement ordonnés, R 1 et R 2, possèdent la propriété de la borne supérieure, alors il existe un isomorphisme de corps f : R 1 R 2, tel que : f est strictement croissante : x < y f(x) < f(y). si A est une partie non vide et majorée de R 1, alors f(a) est une partie non vide et majorée de R 2 et f(supa) = supf(a). Donc, à un isomorphisme près, il existe un seul corps commutatif totalement ordonné possèdant la propriété de la borne supérieure. Ce corps s appelle le corps des nombres réels, et on le note R. Un tel corps contient Q, et les éléments de Q sont appelés nombres rationnels et ceux de R\Q sont appelés nombres irrationnels.

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34 R possède des propriétés communes à tous les les corps commutatifs totalement ordonnés et des propriétés qui découlent de la propriété de la borne supérieure.

35 Théorème Dans R, les propriétés suivantes sont vérifiées : (x 0,y 0) xy 0 ; x R,x 2 0. x y x y 0 y x 0 ( y) ( x). (x y,z 0) yz xz ; x < y x y < 0 y x > 0 ( y) < ( x). x < y z R, x + z < y + z z R,x + z < y + z. 0 < x < y 0 < y 1 < x 1. Si x i y i, i = 1,...,n, alors n i=1 x i n i=1 y i, avec égalité si et seulement si x i = y i,i = 1,...,n. Preuve. Laissée en exercice.

36 Caractérisation de la borne supérieure Théorème Soit A une partie non vide et majorée de R et soit s R. Alors { a A, a s s = supa ε R +, a A, s ε < a s Preuve. La 1 ère condition exprime le fait que s est un majorant de A. La 2 eme condition veut dire que tout réel strictement plus petit que s n est pas un majorant de A. Donc s est le plus petit majorant de A, ou encore s = supa.

37 Caractérisation de la borne inférieure De manière analogue, on a : Théorème Soient A une partie non vide et minorée de R et m R. Alors { a A, m a m = infa ε R +, a A, m a < m + ε Preuve. La 1 ère condition exprime le fait que m est un minorant de A. La 2 eme condition veut dire que tout réel strictement plus grand que m n est pas un minorant de A. Donc m est le plus grand minorant de A, ou encore m = infa.

38 Exercice Soit /0 A R et soit A = { x : x A}. Montrer que si A est minorée alors A est majorée et infa = sup( A). Déduire le théorème 6.3 du théorème 6.2. Théorème et définition (Valeur absolue d un nombre réel) Soit x R. La valeur absolue de x est le nombre x = max(x, x) ; La valeur absolue vérifie les propriétés suivantes : x = x 0. x = 0 x = 0. x y = x y. x a a x a. x y x ± y x + y.

39 On définit la distance de deux réels x et y par d(x,y) = x y. d est donc une application définie sur R 2 à valeurs positives et elle vérifie les propriétés suivantes : (D1) d(x,y) = 0 x = y ; (D2) d(x,y) = d(y,x) ; (Symétrie) (D3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (Inégalité triangulaire) Plus généralement, on appelle distance sur un ensemble quelconque E, toute application d : E 2 R + qui vérifie les propriétés (D1), (D2) et (D3). Le couple (E, d) est alors appelé espace métrique. Exercice Montrer que l application d : R 2 R + définie par d(x,y) = inf(1, x y ) est une distance sur R.

40 Théorème (Propriété d Archimède) Pour tout x R +, et pour tout y R, il existe n N tel que y < nx. Preuve. Soit A = {nx/n N} ; A est une partie non vide de R. Si A est majorée par y, il existerait s R tel que s = supa. Comme (s x) < s, on pourrait trouver n N, tel que (s x) < nx s ; D où s < (n + 1)x A, ce qui est absurde. Théorème (Partie entière d un nombre réel) Pour tous x R et ε R +, il existe un et un seul entier n Z, tel que nε x < (n + 1)ε. L entier n qui correspond à ε = 1, s appelle la partie entière de x, notée E(x), ou encore [x]. le nombre x E(x) s appelle la partie fractionnaire de x.

41 Preuve. Si m et n sont deux entiers relatifs tels que : nε x < (n + 1)ε et mε x < (m + 1)ε, On aurait nε < (m + 1)ε, donc n < (m + 1) et n m. De la même manière, on obtiendrait m n, donc m = n. D où l unicité de n. Pour montrer l existence de n, commençons par le cas x > 0. Soit A = {m N/x < mε} ; A est une partie non vide de N (par la propriété d Archimède) ; Soit p le plus petit élément de A. On a p 1 et (p 1) / A, donc nε x < (n + 1)ε, où n = (p 1). Si x < 0, d après ce qui précède, il existe m N, tel que mε x < (m + 1)ε. Il suffit de poser alors n = (m + 1) si x mε, et n = m, si x = mε. En fin, pour x = 0, on a 0.ε x = 0 < (0 + 1).ε, donc l entier n = 0 répond à la question.

42 Il existe neuf types d intervalles sur R : les intervalles bornés (d extrémités a et b, où < a b < + ) : [a,b] = {x R : a x b} (intervalle fermé borné) ; ]a,b[ = {x R : a x < b} (intervalle ouvert ) ; ]a,b] = {x R : a < x b} (intervalle semi-ouvert ou semi-fermé [a,b[ = {x R : a x < b} (intervalle semi-ouvert (ou semi-fermé Les intervalles ]a,a[ = [a,a[=]a,a] = /0 et [a,a] = {a} sont dits triviaux. On convient que l ensemble vide est considèré comme un intervalle ouvert borné. les intervalles non bornés (dont une extrémité est a R) : [a,+ [ = {x R : a x} ; ],a] = {x R : x a} ; ],a[ = {x R : x < a} ; ]a,+ [ = {x R : a < x} ; ], + [ = R.

43 Caractérisation des intervalles Proposition Soit I R. I est un intervalle si et seulement si x,y I,(x y [x,y] I) ( ) Preuve. La condition est manifestement nécessaire. Inversement si ( ) est satisfaite, alors en utilisant la définition des bornes supérieure et inférieure, on peut écrire si I /0 : ]infi,supi[ I [infi,supi] R Donc I est un intervalle. Si I = /0, alors on peut considèrer I comme un intervalle ouvert : I = ]0,0[.

44 Définition On dit qu une partie A de R est dense dans R si entre deux réels distincts, il existe au moins un élément de A : Théorème (Densité de Q dans R) x,y R,x < y, a A,x < a < y. Entre deux réels distincts, il existe au moins un rationnel (ou encore, Q est dense dans R). Preuve. Soient x et y deux réels tels que x < y. Par la propriété d Archimède, on dispose d un entier naturel n, tel que 1 < n(y x). Soient m = E(nx) et r = (m + 1)/n ; On a alors : m nx < m + 1, donc m n x < m+1 x + 1 < x + y x = y. Donc le rationnel r est n n compris entre x et y.

45 Théorème (Densité de R\Q dans R) Entre deux réels distincts, il y a au moins un nombre irrationnel (ou encore, R\Q est dense dans R). Preuve. Soient x,y R,x < y. Par la densité de Q dans R, il existe r 1,r 2 Q tels que x < r 1 < r 2 < y. On en déduit, puisque 1 < 2 < 2, que : ρ { }} { x < r 1 = (r 2 r 1 ) + (2r 1 r 2 ) < (r 2 r 1 ) 2 + 2r 1 r 2 < 2(r 2 r 1 ) + 2r 1 r 2 = r 2 < y On a ρ / Q (sinon ρ 2r 1 + r 2 = 2 Q ). Donc il y a au moins un r 2 r 1 irrationnel entre x et y.

46 Exercice Montrer qu entre deux réels distincts, il y a une infinité de rationnels et une infinité d irrationnels. Théorème (Sous-groupes de (R, +)) Soit H un sous-groupe de (R,+). Alors H est soit dense dans R, soit il est discret (i.e. H est de la forme H = az où a R + ). Preuve. Si H = {0}, alors H = 0 Z est discret. Supposons donc que H n est pas réduit à {0} et posons H+ = H R +. On a alors H + minoré par 0 et H+ /0 (Justifier!). Soit a = infh+. Deux cas sont possibles : 1 ier cas : a > 0. Montrons que dans ce cas, H = az. Et pour commencer, montrons d abord que a H.

47 puisque a = infh+ < 2a, on peut trouver y H+ tel que a y < 2a. Si a < y, il existerait z H+ tel que a < z < y < 2a. On aurait alors H { }} { 0 < y z < a. D où la contradiction. Donc y = a H et a Z H. Inversement, soit x H et soit m = E(x/a). Comme 0 x ma < a = infh+, on en déduit que x = ma a Z. Donc H a Z et H = a Z. 2 eme cas : a = 0. On va montrer que dans ce cas, H est dense dans R. Soient x,y deux réels tels que x < y. On a 0 = infh+ < y x, donc il existe z H tel que 0 < z < y x. Posons m = E(x/z). On a alors : { }} { 0 < (m + 1)z x z < y x x < (m + 1)z < y ]x,y[ H /0 Donc H est dense dans R. H

48 Existence de radicaux arithmétiques Théorème Pour tout x R +, et pour tout m N, il existe un et un seul y R +, 1 tel que y m = x. y s appelle la racine m e de x, notée m x ou x m. Preuve. Si y1 m = y 2 m, y i > 0, i = 1,2, alors 0 = (y 1 y 2 )(y m y m 1 2 ). Donc y 1 = y 2. D où l unicité. Pour établir l existence, on considère A = {a R + /a m x}. On a : A /0 (car 0 A), et A est majorée. En effet, soit n un entier tel que x < n (propriété d Archimède) ; on a alors pour tout a A : a m x < n n m. Donc a n et A est majoré par n. Soit y = supa.

49 Supposons par l absurde que x < y m. Soit n N tel que ny > 1. On a : (y 1 n )m = y m m y m 1 m(m 1) y m ( 1)m n 2 n 2 n m = y m 1 n [my m 1 m(m 1) y m ] 2 n y m 1 n [my m 1 m(m 1) + y m ] 2 = y m 1 n [(y + 1)m y m ] ( 1 Donc si n > max y, (y + ) 1)m y m y m, on aurait x < (y 1 x n )m. Or il existe a A tel que 0 < y 1/n < a y (car y = supaety 1/n < y). On en déduit que (y 1/n) m a m < x. D où la contradiction.

50 Supposons maintenant que y m < x. En raisonnant comme précèdemment, on peut montrer que : (y + 1 n )m y m + 1 n [(y + 1)m y m ]. Donc en choisissant n > (y + 1)m y m x y m, on aurait (y + 1/n) m x, donc y + 1/n A, ce qui est absurde puisque y + 1/n > y = supa. En conclusion y m = x, ce qui termine la démonstration du théorème. A partir de l unicité de la racine m ième, on peut démontrer les formules suivantes (x > o,y > 0,m,p N ) : m xy = m x m y m x = mp x p mp x = m p x

51 FIGURE : La moyenne géométrique de 2 Le réels corps des positifs nombresest réelsplus petite que leur Proposition Pour tous réels x et y, on a : xy x 2 + y 2. (2) 2 Preuve. En effet, on a : x 2 + y 2 2 xy = ( x y ) 2 0. D où l inégalité cherchée. En voici une démonstration géométrique : a+b 2 ab a b

52 Proposition (Inégalité de Bernouilli) Soit h un réel > 1 et n N. Alors, on a : (1 + h) n 1 + nh. Preuve. Par récurrence (laissée en exercice). Proposition (Inégalié de Cauchy-Schwarz) Soient a i,b i, i = 1,,n, des nombres réels. Alors, on a : n i=1 a i b i ( n a 2 i i=1 ) 1/2 ( n ) 1/2 b 2 i. (3) i=1

53 Preuve. Le trinôme du second degré n i=1 n i=1 n T (x) = (a i + xb i ) 2 = a 2 i + 2x donc son discriminant (réduit) = négatif. D où l inégalité 3. Exercice i=1 a i b i + n i=1 n b 2 i i=1 a i b i 2 est toujours positif, )( n ) b 2 i est i=1 ( n a 2 i i=1 Montrer que s il y a égalité dans l inégalité de Cauchy-Schwarz, alors soit tous les b i sont nuls, soit il existe x R tel que pour tout i {1,...,n},a i = xb i.

54 Définition R est l ensemble obtenu par adjonction à R de deux éléments, notés + et, muni de la relation d ordre total obtenue en prolongeant l ordre de R par les conditions x R, < x < + Par définition, + (resp. ) est le plus grand (resp. le plus petit) élément de R. Si A est une partie de R, alors on écrit : supa = + si A est non vide et majoré. infa = si A est non vide et minoré. sup /0 = et inf /0 = +.

55 On peut prolonger partiellement à R la structure algèbrique de R en posant : v + - y R ?? x R - x + y + +?? y R 0 y R ?? - - x R + xy 0 xy - 0?? 0 0 0?? x R + - xy 0 xy ?? + + Il n est pas possible de définir + + ( ) et 0 (± ) de manière que R devienne un anneau ordonné.