Partie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
|
|
- Pierre-Marie Théophile Langevin
- il y a 9 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2
2 I. Généralités
3 I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t) = L [F(p)].
4 I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t) = L [F(p)]. Exemple La fonction p 2 p 3 admet pour original la fonction t t2 U (t).
5 I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t) = L [F(p)]. Exemple La fonction p 2 p 3 admet pour original la fonction t t2 U (t). Remarque On admet que si l original existe alors il est unique.
6 I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t) = L [F(p)]. Exemple La fonction p 2 p 3 admet pour original la fonction t t2 U (t). Remarque On admet que si l original existe alors il est unique. L application L est appelée transformation de Laplace inverse.
7 I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t) = L [F(p)]. Exemple La fonction p 2 p 3 admet pour original la fonction t t2 U (t). Remarque On admet que si l original existe alors il est unique. L application L est appelée transformation de Laplace inverse. On admet que l application L est linéaire, ce qui sera très utile pour la recherche d originaux.
8 II. Recherche d originaux
9 II. Recherche d originaux D une manière générale, la recherche d originaux s apparente à celle de la recherche de primitives, on utilise principalement :
10 II. Recherche d originaux D une manière générale, la recherche d originaux s apparente à celle de la recherche de primitives, on utilise principalement : Le tableau des transformées de Laplace des fonctions usuelles.
11 II. Recherche d originaux D une manière générale, la recherche d originaux s apparente à celle de la recherche de primitives, on utilise principalement : Le tableau des transformées de Laplace des fonctions usuelles. Le théorème du retard.
12 II. Recherche d originaux D une manière générale, la recherche d originaux s apparente à celle de la recherche de primitives, on utilise principalement : Le tableau des transformées de Laplace des fonctions usuelles. Le théorème du retard. L effet de la multiplication par e at.
13 II. Recherche d originaux D une manière générale, la recherche d originaux s apparente à celle de la recherche de primitives, on utilise principalement : Le tableau des transformées de Laplace des fonctions usuelles. Le théorème du retard. L effet de la multiplication par e at. Des décompositions de fractions en éléments simples.
14 II. Recherche d originaux D une manière générale, la recherche d originaux s apparente à celle de la recherche de primitives, on utilise principalement : Le tableau des transformées de Laplace des fonctions usuelles. Le théorème du retard. L effet de la multiplication par e at. Des décompositions de fractions en éléments simples. La mise sous forme canonique de polynômes du second degré.
15 III. Exemples
16 III. Exemples Exemple Calculons l original de F(p) = 3 p 5 2p 2 + p p 2 +4
17 III. Exemples Exemple Calculons l original de F(p) = 3 p 5 2p 2 + p p 2 +4 On reconnait une somme de transformées de Laplace connues.
18 III. Exemples Exemple Calculons l original de F(p) = 3 p 5 2p 2 + p p 2 +4 On reconnait une somme de transformées de Laplace connues. L original de F est la fonction t ( 3+
19 III. Exemples Exemple Calculons l original de F(p) = 3 p 5 2p 2 + p p 2 +4 On reconnait une somme de transformées de Laplace connues. L original de F est la fonction t ( t+
20 III. Exemples Exemple Calculons l original de F(p) = 3 p 5 2p 2 + p p 2 +4 On reconnait une somme de transformées de Laplace connues. L original de F est la fonction t (3+ 52 t+ cos(2t) ) U (t)
21 III. Exemples Exemple Calculons l original de F(p) = 3 p 5 2p 2 + p p 2 +4 On reconnait une somme de transformées de Laplace connues. L original de F est la fonction t (3+ 52 t+ cos(2t) ) U (t)
22 Exemple 2 Calculons l original de F(p) = 3 p 3 p p 2 +9
23 Exemple 2 Calculons l original de F(p) = 3 p 3 p p 2 +9 On reconnaît une somme de transformées de Laplace connues.
24 Exemple 2 Calculons l original de F(p) = 3 p 3 p p 2 +9 On reconnaît une somme de transformées de Laplace connues. L original de F est la fonction t ( 3 2 t2 +
25 Exemple 2 Calculons l original de F(p) = 3 p 3 p p 2 +9 On reconnaît une somme de transformées de Laplace connues. L original de F est la fonction t ( 3 2 t t5 +
26 Exemple 2 Calculons l original de F(p) = 3 p 3 p p 2 +9 On reconnaît une somme de transformées de Laplace connues. L original de F est la fonction t ( 3 2 t2 + ) 20 t5 + sin(3t) U (t)
27 Exemple 2 Calculons l original de F(p) = 3 p 3 p p 2 +9 On reconnaît une somme de transformées de Laplace connues. L original de F est la fonction t ( 3 2 t2 + ) 20 t5 + sin(3t) U (t)
28 Exercice Calculer l original de F(p) = p + 2p 2 2(p 2 +2)
29 Exercice Calculer l original de Solution On sait que L [ p F(p) = p + 2p 2 2(p 2 +2) ] =
30 Exercice Calculer l original de Solution On sait que L [ p F(p) = p + 2p 2 2(p 2 +2) ] = U (t)
31 Exercice Calculer l original de Solution On sait que L [ p F(p) = p + 2p 2 2(p 2 +2) ] [ ] = U (t)et L 2p 2 =
32 Exercice Calculer l original de Solution On sait que L [ p F(p) = p + 2p 2 2(p 2 +2) ] [ ] = U (t)et L 2p 2 = tu (t). 2
33 Exercice Calculer l original de Solution On sait que L [ p F(p) = p + 2p 2 2(p 2 +2) Il reste à trouver l original de ] [ ] = U (t)et L 2p 2 = tu (t). 2 2(p 2 +2).
34 Solution (suite) On sait que l original de ω p 2 +ω 2 est
35 Solution (suite) On sait que l original de ω p 2 est sin(ωt)u (t), +ω2
36 Solution (suite) On sait que l original de 2(p 2 +2) ω p 2 est sin(ωt)u (t), or : +ω2 =
37 Solution (suite) On sait que l original de 2(p 2 +2) ω p 2 est sin(ωt)u (t), or : +ω2 = 2 p 2 +2
38 Solution (suite) On sait que l original de 2(p 2 +2) ω p 2 est sin(ωt)u (t), or : +ω2 = 2 p = 2 2 p
39 Solution (suite) On sait que l original de ω p 2 est sin(ωt)u (t), or : +ω2 2(p 2 = +2) 2 p = 2 2 p [ ] Et donc L 2(p 2 = +2)
40 Solution (suite) On sait que l original de ω p 2 est sin(ωt)u (t), or : +ω2 2(p 2 = +2) 2 p = 2 2 p [ ] Et donc L 2(p 2 = +2) 2 2 sin( 2t)U (t).
41 Solution (suite) On sait que l original de ω p 2 est sin(ωt)u (t), or : +ω2 2(p 2 = +2) 2 p = 2 2 p [ ] Et donc L 2(p 2 = +2) 2 2 sin( 2t)U (t). ( Ainsi f(t) = + 2 t ) 2 2 sin( 2t) U (t).
42 Exercice 2 Calculer l original de F(p) = +3e 2p p 2 +2p+2
43 Exercice 2 Calculer l original de F(p) = +3e 2p p 2 +2p+2 Solution On a : F(p) = +3e 2p p 2 +2p+2
44 Exercice 2 Calculer l original de F(p) = +3e 2p p 2 +2p+2 Solution On a : F(p) = +3e 2p p 2 +2p+2 +3e 2p = (p+) 2 +
45 Exercice 2 Calculer l original de F(p) = +3e 2p p 2 +2p+2 Solution On a : F(p) = +3e 2p p 2 +2p+2 +3e 2p = (p+) 2 + = e 2p (p+) (p+) 2 +
46 Exercice 2 Calculer l original de F(p) = +3e 2p p 2 +2p+2 Solution On a : F(p) = +3e 2p p 2 +2p+2 +3e 2p = (p+) 2 + = e 2p (p+) (p+) 2 + = G(p)+3G(p)e 2p
47 Exercice 2 Calculer l original de F(p) = +3e 2p p 2 +2p+2 Solution On a : avec G(p) = F(p) = +3e 2p p 2 +2p+2 +3e 2p = (p+) 2 + = (p+) 2 +. e 2p (p+) (p+) 2 + = G(p)+3G(p)e 2p
48 Solution (suite) On détermine alors l original g de G :
49 Solution (suite) On détermine alors l original g de G : On sait que l original de p 2 + est
50 Solution (suite) On détermine alors l original g de G : On sait que l original de p 2 est sin(t)u (t), et on sait que + le fait de remplacer p par p+ correspond à multiplier l original par e t.
51 Solution (suite) On détermine alors l original g de G : On sait que l original de p 2 est sin(t)u (t), et on sait que + le fait de remplacer p par p+ correspond à multiplier l original par e t. On obtient donc g(t) = sin(t)e t U (t).
52 Solution (suite) On détermine alors l original g de G : On sait que l original de p 2 est sin(t)u (t), et on sait que + le fait de remplacer p par p+ correspond à multiplier l original par e t. On obtient donc g(t) = sin(t)e t U (t). Et donc on obtient l original f de F en utilisant la linéarité et le théorème du retard :
53 Solution (suite) On détermine alors l original g de G : On sait que l original de p 2 est sin(t)u (t), et on sait que + le fait de remplacer p par p+ correspond à multiplier l original par e t. On obtient donc g(t) = sin(t)e t U (t). Et donc on obtient l original f de F en utilisant la linéarité et le théorème du retard : f(t) = g(t)+3g(t 2) et donc :
54 Solution (suite) On détermine alors l original g de G : On sait que l original de p 2 est sin(t)u (t), et on sait que + le fait de remplacer p par p+ correspond à multiplier l original par e t. On obtient donc g(t) = sin(t)e t U (t). Et donc on obtient l original f de F en utilisant la linéarité et le théorème du retard : f(t) = g(t)+3g(t 2) et donc : f(t) = sin(t)e t U (t)+3sin(t 2)e (t 2) U (t 2)
55 Solution (suite) On détermine alors l original g de G : On sait que l original de p 2 est sin(t)u (t), et on sait que + le fait de remplacer p par p+ correspond à multiplier l original par e t. On obtient donc g(t) = sin(t)e t U (t). Et donc on obtient l original f de F en utilisant la linéarité et le théorème du retard : f(t) = g(t)+3g(t 2) et donc : f(t) = sin(t)e t U (t)+3sin(t 2)e (t 2) U (t 2)
56 Exercice 3 Calculer l original de F(p) = 2p 2 +p
57 Exercice 3 Calculer l original de F(p) = 2p 2 +p Solution On décompose F en éléments simples et on obtient
58 Exercice 3 Calculer l original de F(p) = 2p 2 +p Solution On décompose F en éléments simples et on obtient F(p) = ( 3 p+ + ) p 2
59 Solution (suite) On sait que L[U (t)](p) =, et que p F(p+a) = L[f(t)e at U (t)](p).
60 Solution (suite) On sait que L[U (t)](p) =, et que p F(p+a) = L[f(t)e at U (t)](p). Ainsi L [ p+ ] = e t U (t) et L [ p 2 ] = e 2 t U (t).
61 Solution (suite) On sait que L[U (t)](p) =, et que p F(p+a) = L[f(t)e at U (t)](p). Ainsi L [ p+ ] = e t U (t) et L [ p 2 Pour conclure on utilise la linéarité : f(t) = 3 ( e t +e 2 t) U (t) ] = e 2 t U (t).
62 Solution (suite) On sait que L[U (t)](p) =, et que p F(p+a) = L[f(t)e at U (t)](p). Ainsi L [ p+ ] = e t U (t) et L [ p 2 Pour conclure on utilise la linéarité : f(t) = 3 ( e t +e 2 t) U (t) ] = e 2 t U (t).
63 Exercice 4 Calculer l original de F(p) = 4p 2 +6p+7
64 Exercice 4 Calculer l original de Solution F(p) = 4p 2 +6p+7 Le polynôme 4p 2 +6p+7 n admet pas de racine réelle, on ne peut donc pas le factoriser. On va donc utiliser la forme canonique.
65 Solution (suite) F(p) = 4p 2 +6p+7
66 Solution (suite) F(p) = = 4p 2 +6p+7 4 ( p 2 +4p+ 7 ) 4
67 Solution (suite) F(p) = 4p 2 +6p+7 = 4 ( p 2 +4p+ 7 ) 4 = 4 (p+2)
68 Solution (suite) F(p) = 4p 2 +6p+7 = 4 ( p 2 +4p+ 7 ) 4 = 4 (p+2) = 4 (p+2) 2 + 4
69 Solution (suite) F(p) = 4p 2 +6p+7 = 4 ( p 2 +4p+ 7 ) 4 = 4 (p+2) = 4 (p+2) = 2 2 (p+2) 2 + ( ) 2 2
70 Solution (suite) F(p) = 4p 2 +6p+7 = 4 ( p 2 +4p+ 7 ) 4 = 4 (p+2) = 4 (p+2) = 2 2 (p+2) 2 + ( ) 2 2 L original de F est donc la fonction :
71 Solution (suite) F(p) = 4p 2 +6p+7 = 4 ( p 2 +4p+ 7 ) 4 = 4 (p+2) = 4 (p+2) = 2 2 (p+2) 2 + ( ) 2 2 L original de F est donc la fonction : t 2 sin ( 2 t )e 2t U (t)
72 Solution (suite) F(p) = 4p 2 +6p+7 = 4 ( p 2 +4p+ 7 ) 4 = 4 (p+2) = 4 (p+2) = 2 2 (p+2) 2 + ( ) 2 2 L original de F est donc la fonction : t 2 sin ( 2 t )e 2t U (t)
Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailEquations différentielles linéaires à coefficients constants
Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailAutomatique Linéaire 1 Travaux Dirigés 1A ISMIN
Automatique Linéaire 1 Travaux Dirigés Travaux dirigés, Automatique linéaire 1 J.M. Dutertre 2014 TD 1 Introduction, modélisation, outils. Exercice 1.1 : Calcul de la réponse d un 2 nd ordre à une rampe
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailAutomatique (AU3): Précision. Département GEII, IUT de Brest contact: vincent.choqueuse@univ-brest.fr
Automatique (AU3): Précision des systèmes bouclés Département GEII, IUT de Brest contact: vincent.choqueuse@univ-brest.fr Plan de la présentation Introduction 2 Écart statique Définition Expression Entrée
Plus en détailCalculer avec Sage. Revision : 417 du 1 er juillet 2010
Calculer avec Sage Alexandre Casamayou Guillaume Connan Thierry Dumont Laurent Fousse François Maltey Matthias Meulien Marc Mezzarobba Clément Pernet Nicolas Thiéry Paul Zimmermann Revision : 417 du 1
Plus en détailCours 7 : Utilisation de modules sous python
Cours 7 : Utilisation de modules sous python 2013/2014 Utilisation d un module Importer un module Exemple : le module random Importer un module Exemple : le module random Importer un module Un module est
Plus en détailFactorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode
Factorisation Factoriser en utilisant un facteur commun Fiche méthode Rappel : Distributivité simple Soient les nombres, et. On a : Factoriser, c est transformer une somme ou une différence de termes en
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailLes travaux doivent être remis sous forme papier.
Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24
Plus en détailOnveutetudierl'equationdierentiellesuivante
Quelques resultats sur l'equation des ondes Onveutetudierl'equationdierentiellesuivante (Ondes) @tu xu=f surr Rd: C'est dratique une equation +jj designature(;d).cettenoteestorganiseedela hyperbolique
Plus en détailTaux d évolution moyen.
Chapitre 1 Indice Taux d'évolution moyen Terminale STMG Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Indice simple en base 100. Passer de l indice au taux d évolution, et réciproquement.
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailNOTICE DOUBLE DIPLÔME
NOTICE DOUBLE DIPLÔME MINES ParisTech / HEC MINES ParisTech/ AgroParisTech Diplômes obtenus : Diplôme d ingénieur de l Ecole des Mines de Paris Diplôme de HEC Paris Ou Diplôme d ingénieur de l Ecole des
Plus en détailÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.
L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailPar combien de zéros se termine N!?
La recherche à l'école page 79 Par combien de zéros se termine N!? par d es co llèg es An dré Do ucet de Nanterre et Victor Hugo de Noisy le Grand en seignants : Danielle Buteau, Martine Brunstein, Marie-Christine
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailTable des matières. I Mise à niveau 11. Préface
Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailSites web éducatifs et ressources en mathématiques
Sites web éducatifs et ressources en mathématiques Exercices en ligne pour le primaire Calcul mental élémentaire : http://www.csaffluents.qc.ca/wlamen/tables-sous.html Problèmes de soustraction/addition
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailAnalyse des Systèmes Asservis
Analyse des Systèmes Asservis Après quelques rappels, nous verrons comment évaluer deux des caractéristiques principales d'un système asservi : Stabilité et Précision. Si ces caractéristiques ne sont pas
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailTD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires
TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailMATHÉMATIQUES EN PREMIER CYCLE PRÉSENTATION DU PROGRAMME
Notre cadre de réflexion MATHÉMATIQUES EN PREMIER CYCLE PRÉSENTATION DU PROGRAMME La proposition de programme qui suit est bien sûr issue d une demande du Premier Cycle : demande de rénovation des contenus
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailIntroduction. Mathématiques Quantiques Discrètes
Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.
Plus en détailProgramme de la classe de première année MPSI
Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détail5.2 Théorème/Transformée de Fourier a) Théorème
. Théorème de Fourier et Transformée de Fourier Fourier, Joseph (788). Théorème/Transformée de Fourier a) Théorème Théorème «de Fourier»: N importe quelle courbe peut être décomposée en une superposition
Plus en détailDéveloppements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailCompter à Babylone. L écriture des nombres
Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailSystème binaire. Algèbre booléenne
Algèbre booléenne Système binaire Système digital qui emploie des signaux à deux valeurs uniques En général, les digits employés sont 0 et 1, qu'on appelle bits (binary digits) Avantages: on peut utiliser
Plus en détailMaple: premiers calculs et premières applications
TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent
Plus en détailREMARQUES SUR LE PETIT FRAGMENT DE TABLETTE CHYPRO MINOENNE TROUVÉ A ENKOMI EN 1952. par EMILIA MAS SON
REMARQUES SUR LE PETIT FRAGMENT DE TABLETTE CHYPRO MINOENNE TROUVÉ A ENKOMI EN 952 par EMILIA MAS SON. C'est pendant sa campagne de 952 à Enkomi que M. Porphyrios Dikaios a trouvé un petit fragment de
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détail1 Définition de la non stationnarité
Chapitre 2: La non stationnarité -Testsdedétection Quelques notes de cours (non exhaustives) 1 Définition de la non stationnarité La plupart des séries économiques sont non stationnaires, c est-à-direqueleprocessusquiles
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détail- Automatique - Modélisation par fonction de transfert et Analyse des systèmes linéaires continus invariants
- Automatique - Modélisation par fonction de transfert et Analyse des systèmes linéaires continus invariants M1/UE CSy - module P2 (1ère partie) 214-215 2 Avant-propos 3 Avant-propos Le cours d automatique
Plus en détailTravaux pratiques. Compression en codage de Huffman. 1.3. Organisation d un projet de programmation
Université de Savoie Module ETRS711 Travaux pratiques Compression en codage de Huffman 1. Organisation du projet 1.1. Objectifs Le but de ce projet est d'écrire un programme permettant de compresser des
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détail