Théorie de la Mesure et Intégration
|
|
- Sylvaine Lheureux
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY
2 2
3 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble Définitions Tribu engendrée, tribu image réciproque Exemples Produit d espaces mesurables La tribu borélienne Compléments : π-système, λ-système, classe monotone Mesure, espace mesuré Définitions Propriétés élémentaires, caractérisation d une mesure finie Prolongement d une mesure et applications Théorème de prolongement (Carathéodory) Mesure extérieure Application : la mesure de Borel Ensembles négligeables, tribu et mesure complétée Produit fini d une famille d espaces mesurés Applications mesurables Définition d une application mesurable Propriétés générales Propriétés des fonctions mesurables réelles Fonction à valeur dans R = [, + ] Transport d une mesure, mesure image Approximation d une fonction mesurable réelle
4 5 Théorie de la mesure et probabilités Introduction Exemples élémentaires Ensemble fini : Ω = {ω 1,...ω n } Cas d un ensemble infini dénombrable Ω = {ω i, i N} Probabilités conditionnelles, événements indépendants Variables aléatoires Variables aléatoires réelles Variables aléatoires, vecteurs aléatoires, indépendance 42 II Intégration 45 6 Intégration des fonctions mesurables positives Intégrale (supérieure) des fonctions étagées Intégrale d une fonction mesurable positive Propriété vraie presque partout Propriétés générales Théorème de transfert (changement de variable) Mesures définies par des densités Mesures absolument continues, étrangères Absolue continuité et densité Théorème de changement de variable, λ mesure de Lebesgue Caractérisation de la mesure produit, théorème de Fubini- Tonelli Intégration des fonctions mesurables quelconques Intégrale d une fonction mesurable Définitions L ensemble L Propriétés générales Premières propriétés, lemme de Fatou Théorème de la convergence dominée et applications Exemples Théorème de Fubini pour les fonctions mesurables quelconques Le théorème de Fubini Exemples La convolution Convolution de deux mesures
5 7.4.2 Convolution d une fonction et d une mesure, de deux fonctions Exemples Théorie de l intégration et probabilités Espérance et moments Espérance Moments Covariance et corrélation Propriétés des moments Inégalités Variable aléatoire réelle (vecteur aléatoire) et densité Retour sur l indépendance III Compléments 77 9 Les espaces L p et L p, p N +{ } Définitions des espaces L p Les espaces L p, p N Les espaces L, L Propriétés des espaces L p, 1 p p est une norme Complétude des espaces L p Autres propriétés Dual des espaces L p Quelques résultats d analyse fonctionnelle dans L 1 (R, B R, λ) La transformée de Fourier Définitions Propriétés générales Exemples Propriétés générales X = R d : théorèmes d injectivité et d inversion Théorème d injectivité Théorème d inversion Propriétés analytiques (sur R) Transformée de Fourier dans L 1 : propriétés analytiques Transformée de Fourier dans L
6 Index 93 6
7 Introduction H. Lebesgue est généralement considéré comme le père de la théorie moderne de l intégration. Sa définition de fonction intégrable reste la plus satisfaisante à ce jour. On doit cependant également citer trois mathématiciens qui ont aidé Lebesgue à formuler son intégrale. Les deux premiers sont G. Peano et C. Jordan : G. Peano a défini le premier les notions de mesure intérieure et extérieure, tandis que C. Jordan est le premier à intégrer sur des ensembles distincts d intervalles, appelés ensembles Jordan-mesurables. Le troisième est le mathématicien E. Borel, qui définit les notions de tribus (boréliennes) et de mesures de Borel. C est la première apparition de mesures σ-finie sur un espace mesurable (et non une algèbre). Pourquoi H. Lebesgue a-t-il eu besoin de toutes ces notions? D ou viennent les notions de tribus, de mesure extérieure? Une réponse est la résolution du problème de Lebesgue, que nous aborderons rapidement. Nous discuterons ensuite brièvement des différences fondamentales entre intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue, avant d aborder le domaine des probabilités. Le cours sera ensuite divisé en 2 grandes parties : la théorie de la mesure, théorie abstraite qui sera ensuite appliquée à une nouvelle théorie de l intégration : l intégrale de Lebesgue. 7
8 Le problème de Lebesgue L objectif de Lebesgue est le suivant : tenter de généraliser la notion de longueur (aire, volume,...) à une famille de parties plus grandes que les intervalles (pavés). Plus précisément, il cherche une fonction vérifiant les 3 propriétés suivantes : invariance par translation σ-additivité λ( i I normalisation A i ) = i I λ : P(R n ) [0, + ] v R n, λ(a + v ) = λ(a) λ(a i ), I dénombrable, A i disjoints λ([0, 1] n ) = (Vitali) : le problème de Lebesgue n a pas de solution : il faut affaiblir les hypothèses. Deux solutions sont apportées. Elles conduisent à deux notions différentes de mesure : on demande seulement la σ-sous-additivité λ( i I A i ) i I λ(a i ), I dénombrable Une solution unique appelée mesure extérieure. On travaille sur un sous-ensemble B de P(R n ) : Une solution unique sur la tribu des boréliens appelée mesure de Borel ou mesure de Lebesgue (cette dernière étant en fait la mesure sur la tribu complétée). Intégrale de Riemann, intégrale de Lebesgue Concernant l intégration, l idée de Lebesgue est la suivante : plutôt que de définir les fonctions horizontalement par f(t), il définit les fonctions verticalement par f 1 (x). L intégrale est alors une somme sur les valeurs et non sur le support. 8
9 f(i) Riemann discret i [1,n] contre x.card(f 1 (x)) Lebesgue discret x R Les principales différences entre les deux intégrales sont alors les suivantes : Riemann mesure des intervalles A A Lebesgue mesure des boréliens B B A 1 A fonctions en escalier B 1 B fonctions étagées limite uniforme limite simple dominée fonctions réglées ( 0) fonctions mesurables ( 0) Mesures et probabilités La théorie des probabilités est une branche des mathématiques qui permet de modéliser les phénomènes aléatoires. Celle-ci repose sur une formalisation développée par le mathématicien russe Kolmogorov dans les années Son axiomatique repose sur les notions de tribu et de mesure développées par Borel dans les années La théorie de l intégrale de Lebesgue développée à la même époque a permis d asseoir en toute généralité la notion de moment d une variable aléatoire. Nous aborderons les relations entre la théorie de la mesure et de l intégration et la théorie des probabilités à la fin de chaque chapitre de ce cours. 9
10 10
11 Première partie Théorie de la mesure 11
12
13 Chapitre 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble Dans toute la suite, X sera un ensemble quelconque non vide. On note alors P(X) l ensemble des parties de l ensemble X. 1.1 Définitions Définition (algèbre de Boole, ou de parties de X) A P(X) est une algèbre (de Boole) si pour tout A, B A : 1. {, X} A 2. A c = X\A A 3. A B A 4. A B A C est une semi-algèbre (notée S) si les conditions 1) et 3) sont vérifiées et que le complémentaire d un élément de S est réunion finie d éléments de S. On remarquera que certaines de ces conditions sont redondantes. Ainsi, par passage au complémentaire, si A contient l ensemble vide elle contient X et réciproquement. De même, 2) et 3) implique 4) et 2) et 4) implique 3). Remarque L algèbre A engendrée par une semi-algèbre est constituée des réunions finies de parties de S. Définition (σ-algèbre ou tribu) A P(X) est une tribu (sur X) si c est une algèbre stable par réunion dénombrable croissante. 13
14 Remarque Une tribu est alors stable par réunion dénombrable et intersection dénombrable. Définition (Espace mesurable) Un ensemble X muni d une tribu A P(X) est appelé espace mesurable et noté (X, A). 1.2 Tribu engendrée, tribu image réciproque Proposition ) Toute intersection quelconque de tribus est une tribu. 2) Une réunion finie de tribus n est pas forcément une tribu. Preuve - 1) Soit (A i ) i I une famille de tribus. Montrons que i I A i est une tribu : (1) : i I, X A i, donc X i I A i (2) : soit A i I A i.alors i I, A A i donc i I, A c A i, et finalement A c i I A i. (3) : soit (A n ) n N une famille d éléments de i I A i. Alors n N, i I, A n A i, soit i I, A n A i et A n A i. n N n N i I 2) Soit X = {a, b, c}. Alors A a = {φ, {a}, {b, c}, X} et A b = {φ, {b}, {a, c}, X} sont des tribus. Mais A a A b = {φ, {a}, {b, c}, {b}, {a, c}} n est pas une tribu, car {a, b} = {a} {b} / A a A b. On en déduit la proposition suivante qui définit la notion de tribu engendrée : Proposition (tribu engendrée) Soit M P(X). L intersection de toutes les tribus contenant M est une tribu appelée tribu engendrée par M et notée σ(m). C est la plus petite tribu contenant M. Cette proposition tient lieu de définition. Il est également possible de transporter une tribu par image réciproque d une fonction quelconque. Cette propriété vient de la compatibilité entre les opérations ensemblistes et la fonction d ensemble image réciproque : 14
15 1. f 1 (A c ) = f 1 (A) c 2. f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) 3. f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) De telles relations sont bien évidemment fausses concernant l image directe. Théorème (tribu image réciproque) Soit Y un ensemble, (X, A) un espace mesurable et f : Y X une application. Alors 1. f 1 (A) = {f 1 (A), A A} est une tribu sur Y appelée tribu image réciproque par f (ou tribu engendrée par f) 2. (lemme de transport) M P(X), f 1 (σ(m)) = σ(f 1 (M)). Ce théorème tient lieu de définition. Preuve - 1) Montrons que B = f 1 (A) est une tribu. i- f 1 (X) = Y B. ii- A, B A, f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) donc B est stable par intersection fini. iii- A A, f 1 (A c ) = ( f 1 (A) ) c donc B est stable par passage au complémentaire. iv- f 1 ( n N A n ) = n N f 1 (A n ) donc B est stable par union dénombrable. Finalement, B = f 1 (A) est une tribu. 2) Soit M P(X). Nous allons montrer les deux inclusions : f 1 (σ(m)) est une tribu (cf point 1)) qui contient f 1 (M) donc σ(f 1 (M) f 1 (σ(m)). Posons R = {A σ(m), f 1 (A) σ(f 1 (M))}. Il est facile de voir que R est une tribu et que R contient M. On en déduit que σ(m) R ce qui implique f 1 (σ(m) σ(f 1 (M)). Finalement (σ(f 1 (M)) f 1 (σ(m)) σ(f 1 (M) et on a l égalité recherchée. 1.3 Exemples 1. L ensemble des pavés (produits d intervalles (a 1, b 1 ),..., (a p, b p )) de R p est une semi-algèbre. 15
16 2. σ( ) = {, X} est une algèbre appelée algèbre triviale (ou grossière : c est la plus petite des tribus sur X). 3. P(X) appelée tribu discrète (c est la plus grosse des tribus). 4. {A P(X), A ou A c fini} est une algèbre mais pas une tribu. 5. Soit X = {a, b, c} un ensemble formé de trois points distincts. Alors la classe de parties de X définie par τ a = {φ, {a}, {b, c}, X} est une tribu. 6. σ( ouverts de R n ) = B tribu des boréliens. Remarque (importante) Une erreur fréquente est de croire que si A A et que B A, alors B A. C est faux comme le prouve l exemple de la tribu τ a où {b, c} τ a mais {b} / τ a, même si {b} {b, c}. 1.4 Produit d espaces mesurables Définition (produit de deux espaces mesurables) Soient (X i, A i ), i = 1, 2 deux espaces mesurables : on appelle tribu produit sur X 1 X 2 la tribu A 1 A 2 engendrée par les parties {A 1 A 2, A i A i, i = 1, 2}. L espace mesurable (X 1 X 2, A 1 A 2 ) est appelé espace mesurable produit. Définition (produit d une famille d espaces mesurables) Soient (X i, A i ), i I une famille d espaces mesurables : on appelle tribu produit sur Π X i la tribu A i engendrée par les parties i I i I { Π A i, A i A i i I et A i = X i sauf pour un nombre fini }. i I L espace mesurable ( Π X i, A i ) est appelé espace mesurable produit. i I i I 1.5 La tribu borélienne Définition (tribu borélienne) Soit X un espace topologique. La tribu engendrée par les ouverts de X s appelle la tribu borélienne. Proposition Sur X = R p la tribu borélienne est engendrée par : les ouverts les fermés les pavés 16
17 la démonstration de cette proposition est laissée en exercice. On peut notamment se servir des résultats qui suivent. Les questions de dénombrabilité interviennent naturellement dans la théorie des espaces mesurables boréliens, comme le montrent les propositions suivantes : Proposition Soit X un espace topologique et (X n ) une famille dénombrable de boréliens de réunion X. Alors A B(X) n, A X n B(X n ) Preuve - L implication est directe car l ensemble A = {A P(X), A X n B(X n )} est une tribu contenant les ouverts de X donc la tribu engendrée par les ouverts i.e. la tribu borélienne. Pour la réciproque, notons B n = {A X n, A B(X)}. C est une tribu sur X n contenant les ouverts de X n (intersection d ouverts de X avec X n par définition), donc B(X n ) B n. Soit A A. Alors A X n B n B(X) et comme A = n N A X n, A est borélien comme union dénombrable de boréliens. Remarque Cette caractérisation des boréliens est très importante puisqu elle permet d étendre des résultats vrais sur les (X n, B(X n )) a l espace mesurable (X, B(X)) tout entier. Le cas X = [0, + [, X n = [n, n + 1[ est un exemple important. Dans le cas d espaces topolgiques à base dénombrable d ouverts (i.e. tels qu il existe une famille dénombrable d ouverts engendrant tous les ouverts de X), on peut caractériser les boréliens uniquement à partir de cette base : Lemme Si X admet une base dénombrable d ouverts, sa tribu borélienne est engendrée par cette base. Preuve - Soit A la tribu engendrée par cette base. Elle contient alors les réunions dénombrables des ouverts de la base et donc par définition, tous les ouverts. Finalement, elle contient la tribu borélienne. Réciproquement, la tribu borélienne contient la base d ouverts donc A, et les deux tribus coïncident. 17
18 Remarque Si O 1 et O 2 sont deux bases dénombrables d ouverts de X 1 et X 2, alors O 1 O 2 est une base dénombrable d ouverts de X 1 X 2 Théorème Soient X i, i = 1, 2 deux espaces topologiques à base dénombrable d ouverts. Alors la tribu produit des tribus boréliennes B 1 B 2 est la tribu borélienne de X 1 X 2 muni de la topologie produit. Preuve - Soient τ 1 et τ 2 les topologies (ou ouverts) de X 1 et X 2. Posons A 1 = {A P(X 1 ), A τ 2 B(X 1 X 2 )}. C est une tribu contenant τ 1 donc B(X 1 ) τ 2 B(X 1 X 2 )}. Posons alors A 2 = {A P(X 2 ), B(X 1 ) A B(X 1 X 2 )}. C est une tribu contenant τ 2 (d après le résultat précédent) donc B(X 1 ) B(X 2 ) B(X 1 X 2 )} puis par passage a la tribu engendrée, B(X 1 ) B(X 2 ) B(X 1 X 2 )}. - Montrons maintenant l inclusion inverse : Si O 1 et O 2 sont deux bases dénombrables d ouverts de X 1 et X 2, alors O 1 O 2 est une base dénombrable d ouverts de X 1 X 2 et σ(o 1 O 2 ) σ(o 1 ) σ(o 2 ). Finalement on conclut grâce au lemme précédent. On a prouvé au passage que la tribu produit est toujours (même sans l hypothèse de dénombrabilité) incluse dans la tribu borélienne de X 1 X Compléments : π-système, λ-système, classe monotone Il est souvent intéressant de travailler sur des familles plus simples que des tribus, et les notions suivantes seront donc utiles dans la suite : Définition (π-système) Un π-système est une famille de parties de X stable par intersection finie et contenant X. Exemple π = {], x], x R} est un pi-système très utile (cf. fonctions de répartitions). Définition (λ-système) Un λ-système est une famille de parties de X stable par différence et limite croissante( (réunion dénombrable croissante). Définition (classe monotone) Une classe monotone est une famille de parties de X stable par union (resp. intersection) dénombrable croissante (resp. décroissante). 18
19 Proposition π-système et λ-système tribu. 2. algèbre et classe monotone tribu. 3. (lemme de Dynkin, ou théorème λπ) Tout λ-système contenant un π-système contient la tribu engendrée par ce dernier. 4. (théorème de la classe monotone) Toute classe monotone contenant une algèbre contient la tribu engendrée par cette dernière. Preuve - La démonstration des deux premières équivalences est laissée en exercice. [lemme de Dynkin] - Soit λ(π) le λ-système engendré par π (c est l intersection de tous les λ-systèmes contenant π). Alors λ(π) σ(π) car une tribu est un λ-système. Montrons que λ(π) est une tribu, i.e. est stable par intersection fini (d après 1)). On définit l ensemble A 1 = {A λ(π), A B λ(π) B π}. C est un λ-système contenant π donc λ(π) A 1. Soit maintenant A 2 = {A λ(π), A B λ(π) B λ(π)}. C est un λ-système contenant π d après le résultat précédent donc λ(π) A 2. Finalement λ(π) = σ(π). [théorème de la classe monotone] - Soit M(A) la classe monotone engendrée par A (c est l intersection de toutes les classes monotones contenant A). Alors M(A) σ(a) car une tribu est une classe monotone. Montrons que M(A) est une tribu, i.e. est une algèbre (d après 2)). On définit l ensemble A = {A M(A), A c M(A)}. C est une classe monotone contenant A donc M(A) A et M(A) est stable par passage au complémentaire. Soit A 1 = {A M(A), A B M(A) B A}. C est une classe monotone contenant A donc M(A) A 1. Soit A 2 = {A M(A), A B M(A) B M(A)}. C est une classe monotone contenant A d après le résultat précédent donc M(A) A 2 et M(A) est stable par union finie. Finalement M(A) = σ(a). 19
20 20
21 Chapitre 2 Mesure, espace mesuré 2.1 Définitions Contrairement a l intuition (et au vocabulaire), la définition d une mesure est au départ relative à un espace X muni d une algèbre A et non à un espace mesurable. Cependant, et ce sera l objet du prochain chapitre, il sera toujours possible d étendre univoquement une mesure (σ-finie) à la σ-algèbre engendrée par A, et donc de parler de mesure sur un espace mesurable. Définition (Mesure sur une algèbre, espace mesuré) On appelle mesure sur l algèbre A toute fonction µ : A R + = [0, + ] non constante avec + et σ-additive : pour toute famille dénombrable A n d éléments de A deux à deux disjoints telle que n A n A, µ( n A n ) = n µ(a n ) L espace (X, A, µ) est appelé espace mesuré. Remarque Un espace mesuré n est donc pas pour l instant obligatoirement mesurable. Nous verrons cependant qu il pourra toujours être considéré comme tel grâce au théorème de prolongement. Définition La mesure est finie (ou bornée) si µ(x) < Elle est σ-finie si X est réunion dénombrable d ensembles de mesure finie. On appelle mesure de probabilité (ou simplement probabilité) toute mesure vérifiant µ(x) = 1. 21
22 Il est toujours possible de construire une mesure (sur une algèbre) à partir d une fonction d ensemble σ-additive sur une semi-algèbre : Lemme Soit S une semi-algèbre et µ : S [0, + ] une fonction σ- additive. Alors µ se prolonge de manière unique en une mesure sur l algèbre engendrée par S. Preuve - Par additivité, le seul prolongement possible est n µ( A i ) = i=1 n µ(a i ) i=1 On vérifie aisément que c est bien une mesure sur l algèbre engendrée par S (composée des réunions finies d éléments de S). 2.2 Propriétés élémentaires, caractérisation d une mesure finie Toute mesure µ vérifie les propriétés suivantes : Proposition µ( ) = (σ-sous-additivité) µ( n N A n ) n N µ(a n ). 3. (monotonie) Si A B, A, B A alors µ(a) µ(b). 4. (continuité) Si A n A A, µ(a n ) µ(a). Remarque Nous verrons que cette dernière propriété caractérise les mesures. Preuve - 1. Une mesure n est pas constante égale à + donc il existe A, µ(a) < +. De µ(a) = µ(a ) = µ(a) + µ( ) on déduit µ( ) = On écrit : + n=1 A n = + n=1 ( A n \ n 1 k=1 A k ) 22
23 avec la convention : 0 A k = φ. Alors : k=1 ( + ) µ A n = n=1 + n=1 µ ( A n \ n 1 k=1 A k ) + n=1 µ (A n ). 3. De B = A B\A, on déduit : µ(b) = µ(a) + µ(b\a) µ(a). 4. On construit la suite (B n ) n 1 selon : Alors pour tout n 1, et donc B 1 = A 1 B n = A n \A n 1 pour n 2 + n=1 A n = A n = n k=1 B k + B k Comme les B n sont deux à deux disjoints par construction, on a : ( + ) ( + ) + µ A n = µ B k = µ(b k ) n=1 = lim k=1 n n k=1 Théorème Une fonction k=1 k=1 µ(b k ) = lim n µ µ : A R + = [0, + ] ( n k=1 B k ) = lim n µ (A n) non égale à + et additive est une mesure si et seulement si elle vérifie la propriété de continuité croissante : A n A A µ(a n ) µ(a) Preuve - Nous avons déjà vu que toute mesure vérifie cette propriété. La n réciproque est évidente car si B n est une suite d ensemble disjoints, B i B n et la continuité croissante entraîne la σ-additivité. n N Il existe de plus une caractérisation très utile des mesures finies : 23 i=1
24 Théorème Soit µ : A [0, + ] telle que : 1. (finitude) µ(x) < (additivité) A, B A, A B =, µ(a B) = µ(a) + µ(b). 3. (Condition de Carathéodory) A n µ(a n ) 0. Alors µ est une mesure (finie par hypothèse) et réciproquement, toute mesure finie vérifie ces trois propriétés. Preuve - Pour la première partie du théorème, il nous faut montrer la σ- additivité de µ. Soit B i une famille dénombrable d ensembles de A deux à deux disjoints telle que B = + n B i A. Posons A n = B i = B\ B i. La suite A n i N décroît vers 0 donc µ(b\ i=1 par hypothèse (3). Mais d après (2) i=1 i=n+1 n B i ) 0 n + n n n µ(b) = µ([b\ B i ] [ B i ]) = µ(b\ B i ) + i=1 i=1 et la condition de carathéodory implique la σ-additivité µ(b) = + i=1 µ(b i ) i=1 n µ(b i ) Réciproquement, soit µ une mesure finie et A n. La continuité croissante implique µ(x\a n ) µ(x). Mais i=1 µ(x) = µ([x\a n ] [A n ]) = µ(x\a n ) + µ(a n ) et comme toutes les quantités sont finies, on a µ(a n ) = µ(x) µ(x\a n ) 0. 24
25 Chapitre 3 Prolongement d une mesure et applications 3.1 Théorème de prolongement (Carathéodory) Théorème (de prolongement (admis)) Toute mesure σ-finie sur une algèbre A se prolonge de manière unique en une mesure (σ-finie) sur σ(a). La démonstration de ce théorème est hors programme. Cependant la notion de mesure extérieure est intéressante et est donc donnée ici. Le lemme d égalité des mesures est quant à lui fondamental. 3.2 Mesure extérieure Afin de prouver le théorème, on définit la mesure extérieure d une mesure µ : Définition (mesure extérieure de µ) Soit µ une mesure sur une algèbre A X. Alors µ : P(X) [0, + ] A µ (A) = inf µ(a n ) {A A n n, A n A} est appelée mesure extérieure de µ sur X. Une partie A X sera dite µ -mesurable si E P(X), µ (E) = µ (E A) + µ (E A c ) n 25
26 Remarquons que µ prolonge µ sur A : Lemme A A, µ (A) = µ(a) Preuve - Soit A n un recouvrement quelconque de A (A n A n, A n A). Alors µ(a) = µ( (A A n ) µ(a A n ) µ(a n ) par σ-additivité n N n N n N et monotonie. donc µ(a) µ (A). De plus, la famille A 1 = A, A 2 = A 3 =... = est un recouvrement de A donc µ (A) µ(a n ) = µ(a) et l égalité est prouvée. n N Proposition µ est monotone et σ-sous-additive. Preuve - monotonie Soit A B. Alors tout recouvrement de B recouvre A et µ (A) µ (B) croissance Soit {A n, n N} une famille dénombrable et soit ɛ > 0 fixé. Alors Comme A n N, (B n k ) A, (k,n) N 2 B n k on a µ(bk n ) µ (A n ) + ɛ2 n k N µ (A) µ(bk n ) µ (A n ) + ɛ (k,n) N 2 n N et ɛ étant arbitraire, on obtient la σ-sous-additivité. Cette propriété des mesures extérieures associées aux mesures classiques peut d ailleurs servir de définition : Définition (mesure extérieure) Une application Φ : P(X) [0, + ] est appelée mesure extérieure si : 1. Φ ( ) = (σ-sous-additivité) Φ ( A n ) Φ (A n ). n N n N 3. (monotonie) A, B A, A B Φ (A) Φ (B). 26
27 Le théorème de prolongement est alors une conséquence directe des lemmes suivants : Lemme (lemme d égalité des mesures) Deux mesures sur (X, A) espace mesurable égales sur un π-système π A et σ-finies sur π sont égales sur σ(π). Preuve - Soit R = {A A, µ 1 (A) = µ 2 (A)}. Alors R contient π par hypothèse. Il suffit alors de montrer que R est un λ-système pour prouver le lemme en vertu du lemme de Dynkin. - Si µ 1 est finie alors µ 2 est finie car X π et l égalité µ(a\b) = µ(a) µ(b) vraie pour les mesures finies prouve que R est stable par différence. Si A n est une suite croissante d éléments de R de limite A, µ 1 (A) = lim µ 1 (A n ) = lim µ 2 (A n ) = µ 2 (A) - On suppose maintenant que µ 1 est σ-finie sur π, i.e. {π n }, µ 1 (π n ) < + n et (π n ) = X. n N Alors on peut appliquer le résultat precedent (lemme d égalité des mesures finies) aux espaces mesurables (π n, A π n ) ce qui prouve que les mesures µ 1 et µ 2 sont égales sur σ πn (π π n ). On montre (exercice) l égalité suivante : σ πn (π π n ) = σ X (π) π n Posons ( ) n 1 n N, Π n = π n ( π i ) c i=1 Alors Π n σ X (π) π n = σ πn (π π n ) et Π n = X, la somme étant n N disjointe. Finalement, ( ) A σ(π), µ 1 (A) = µ 1 Π n ) = n N(A µ 1 (A Π n ) n N = ( ) µ 2 (A Π n ) = µ 2 Π n ) n N n N(A = µ(a) 27
28 Le lemme d égalité des mesures est intéressant en lui même puisqu il permet de caractériser les mesures σ-finies uniquement par leur donnée sur un π- système. Dans le cas du π-système π = {], x], x R}, le théorème assure que deux mesures ayant la même fonction de répartition (F (x) = µ(], x])) sont égales. Lemme L ensemble M des parties µ -mesurables est une tribu et µ est σ-additive (et donc une mesure) sur M. Preuve - Montrons tout d abord que M est une algèbre et que µ est finiment additive sur M. La stabilité par passage au complémentaire est évidente. Soient A, B M. Alors pour tout E P(X) : µ (E) = µ (E A) + µ (E A c ) = µ (E A B) + µ (E A c B) + µ (E A B c ) + µ (E A c B c ) µ (E A B) + µ (E (A B) c ) par sous-additivité de µ. Mais cette même sous-additivité donne µ (E) = µ (E (A B) E (A B) c ) µ (E A B) + µ (E (A B) c et finalement on a l égalité. Pour l additivité finie on prouve pour A et B disjoints l égalité renforcée : µ (E (A B)) = µ (E (A B) A) + µ (E (A B) A c ) = µ (E A) + µ (E B) Soit maintenant une suite de parties disjointes {A n, n N}. Alors on a n n µ (E) = µ (E ( A i )) + µ (E ( A i ) c ) = i=1 i=1 n n µ (E A i ) + µ (E ( A i ) c ) i=1 n i=1 i=1 µ (E A i ) + µ (E ( i N 28 A i ) c )
29 par monotonie. Le résultat étant vrai pour tout n, il vient µ (E) i N µ (E A i ) + µ (E ( A i ) c ) et par sous σ-additivité, µ (E) µ (E ( A i )) + i N i N µ (E ( A i ) c ). De nouveau la même sous σ-additivité donne également i N l inégalité inverse, et donc l égalité. Finalement, i N A i est µ -mesurable. La σ-additivité est alors une conséquence directe de l additivité finie et de la sous σ-additivité. Lemme A M. La démonstration de ce lemme est laissée en exercice. 3.3 Application : la mesure de Borel Avant de construire la mesure de Borel, nous rappelons qu une fonction d ensemble additive µ 0 définie sur une semi-algèbre S admet un unique prolongement en une fonction additive µ sur l algèbre engendrée par S. Elle est définie par : n n µ( S i ) = µ 0 (S i ) i=1 pour toute famille finie disjointe. Corollaire Par le théorème précédent, la mesure de Borel est l unique prolongement à la tribu des boréliens de la fonction longueur sur les intervalles de R (resp. à la fonction volume sur les pavés de R p ) étendue à l algèbre engendrée par les intervalles (resp. à l algèbre engendrée par les pavés). Théorème (admis) Toute mesure borélienne invariante par translation est proportionnelle à la mesure de Borel. i=1 3.4 Ensembles négligeables, tribu et mesure complétée Définition (ensemble négligeable, tribu complète) Soit (X, A, µ) un espace mesuré. On appelle ensemble négligeable (ou de mesure nulle) toute partie B P(X) telle qu il existe A A, B A et µ(a) = 29
30 0. On dit que la tribu A est complète (pour la mesure µ) si les ensembles négligeables sont mesurables. Remarquons qu en général l adjonction des ensembles négligeables élargit la tribu. Théorème Il existe un unique prolongement de µ σ-finie à la tribu complétée A engendrée par A et l ensemble des ensembles négligeables tel que (A, µ) soit complet. (X, A, µ) est appelé espace complété. C est une conséquence directe du théorème de prolongement. Exemple La mesure (resp. tribu) complétée de la mesure de Borel (resp. tribu borélienne) s appelle mesure (resp. tribu) de Lebesgue. 3.5 Produit fini d une famille d espaces mesurés Une autre application du théorème de prolongement est l existence et l unicité de la mesure produit sur le produit (fini) d espaces mesurés : Définition (produit fini d une famille d espaces mesurés) Soient (X i, A i, µ i ), i I une famille finie d espaces mesurés σ-finis : on appelle mesure produit sur ( Π X i, A i ) l unique mesure µ i vérifiant i I i I i I µ i ( Π A i ) = Π µ i (A i ), i I i I i I A i A i i I L espace mesuré ( Π X i, i I i I A i, µ i ) est appelé espace mesuré produit. i I Remarque Il existe une caractérisation différente de la mesure produit fondée sur les marginales qui sera donnée en abordant le théorème de Fubini. 30
Intégrale de Lebesgue
Intégrale de Lebesgue L3 Mathématiques Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2014 version du 2/12/14 Table des matières 1 Tribus (σ-algèbres) et mesures 1 1.1 Rappels ensemblistes..............................
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT
Plus en détailLa mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Plus en détailThéorie de la mesure. S. Nicolay
Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................
Plus en détailMesures et Intégration
Mesures et Intégration Marc Troyanov - EPFL - Octobre 2005 30 avril 2008 Ce document contient les notes du cours de Mesure et Intégration enseigné à l EPFL par Marc Troyanov, version 2005-2006. Table des
Plus en détailIntégration sur des espaces produits
Chapitre 5 Intégration sur des espaces produits 5.1 Produit de deux mesures Étant donnés deux espaces mesurés (Ω 1, F 1, µ 1 ) et (Ω 2, F 1, µ 2 ), le but de cette section est de construire une mesure
Plus en détailTHÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION.
THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION. THIERRY GALLAY Transcrit par Tancrède LEPOINT 29 UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER, GRENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire...........................................
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailMesure et Intégration (Notes de cours de L3)
Mesure et Intégration (Notes de cours de L3) Ahmed Zeriahi Version préliminaire-octobre 2011 Avertissement : Ceci est une version préliminaire des notes du cours que l auteur a dispensé en troisème année
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détail4. Martingales à temps discret
Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailMA6.06 : Mesure et Probabilités
Année universitaire 2002-2003 UNIVERSITÉ D ORLÉANS Olivier GARET MA6.06 : Mesure et Probabilités 2 Table des matières Table des matières i 1 Un peu de théorie de la mesure 1 1.1 Tribus...............................
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailMESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours
MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailMesures gaussiennes et espaces de Fock
Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première
Plus en détailConstruction de l'intégrale de Lebesgue
Université d'artois Faculté des ciences Jean Perrin Mesure et Intégration (Licence 3 Mathématiques-Informatique) Daniel Li Construction de l'intégrale de Lebesgue 10 février 2011 La construction de l'intégrale
Plus en détailCalculs de probabilités
Calculs de probabilités Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 13 mars 2008 1. Définitions et notations 1 L origine des probabilités est l analyse de jeux de hasard, tels que pile
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailProduits d espaces mesurés
Chapitre 7 Produits d espaces mesurés 7.1 Motivation Au chapitre 2, on a introduit la mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens de R (notée B(R)), ce qui nous a permis d exprimer la notion de longueur
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailLe théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche
Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines
Plus en détailPROBABILITÉS: COURS DE LICENCE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES LM 390
PROBABILITÉS: COURS DE LICENCE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES LM 390 Université PARIS 6 2008/2009 Jean BERTOIN 1 Table des Matières ( ) ces parties peuvent ^etre omises en première lecture, et ne feront pas
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailProbabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2
Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailLe modèle de Black et Scholes
Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détailI. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.
I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailQu est-ce qu une probabilité?
Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailTravaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailIntroduction au Calcul des Probabilités
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Bât. M2, F-59655 Villeneuve d Ascq Cedex Introduction au Calcul des Probabilités Probabilités à Bac+2 et plus
Plus en détail4 Distributions particulières de probabilités
4 Distributions particulières de probabilités 4.1 Distributions discrètes usuelles Les variables aléatoires discrètes sont réparties en catégories selon le type de leur loi. 4.1.1 Variable de Bernoulli
Plus en détailM2 IAD UE MODE Notes de cours (3)
M2 IAD UE MODE Notes de cours (3) Jean-Yves Jaffray Patrice Perny 16 mars 2006 ATTITUDE PAR RAPPORT AU RISQUE 1 Attitude par rapport au risque Nousn avons pas encore fait d hypothèse sur la structure de
Plus en détailSéminaire TEST. 1 Présentation du sujet. October 18th, 2013
Séminaire ES Andrés SÁNCHEZ PÉREZ October 8th, 03 Présentation du sujet Le problème de régression non-paramétrique se pose de la façon suivante : Supposons que l on dispose de n couples indépendantes de
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailFiltrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales
Filtrage stochastique non linéaire par la théorie de représentation des martingales Adriana Climescu-Haulica Laboratoire de Modélisation et Calcul Institut d Informatique et Mathématiques Appliquées de
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailEconomie de l incertain et de l information Partie 1 : Décision en incertain probabilisé Chapitre 1 : Introduction à l incertitude et théorie de
Economie de l incertain et de l information Partie 1 : Décision en incertain probabilisé Chapitre 1 : Introduction à l incertitude et théorie de l espérance d utilité Olivier Bos olivier.bos@u-paris2.fr
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailProbabilités. C. Charignon. I Cours 3
Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailProbabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...
1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailCorrection du baccalauréat ES/L Métropole 20 juin 2014
Correction du baccalauréat ES/L Métropole 0 juin 014 Exercice 1 1. c.. c. 3. c. 4. d. 5. a. P A (B)=1 P A (B)=1 0,3=0,7 D après la formule des probabilités totales : P(B)=P(A B)+P(A B)=0,6 0,3+(1 0,6)
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailCHAPITRE 5. Stratégies Mixtes
CHAPITRE 5 Stratégies Mixtes Un des problèmes inhérents au concept d équilibre de Nash en stratégies pures est que pour certains jeux, de tels équilibres n existent pas. P.ex.le jeu de Pierre, Papier,
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détailCHAPITRE IV. L axiome du choix
CHAPITRE IV L axiome du choix Résumé. L axiome du choix AC affirme qu il est légitime de construire des objets mathématiques en répétant un nombre infini de fois l opération de choisir un élément dans
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détail