Introduction à l optimisation de forme et application à la mécanique des fluides

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Introduction à l optimisation de forme et application à la mécanique des fluides"

Transcription

1 Laboratoire Jacques-Louis LIONS Introduction à l optimisation de forme et application à la mécanique des fluides Master 2 - Année universitaire Pascal FREY et Yannick PRIVAT Laboratoire Jacques-Louis Lions, UMR 7598 Université Pierre et Marie Curie Paris 6 & CNRS pascal.frey/yannick.privat@upmc.fr

2 ii

3 Préambule L?optimisation de forme est une discipline regroupant un ensemble de techniques et d outils permettant de déterminer la forme optimale, par exemple un ouvert, minimisant ou maximisant une certaine fonctionnelle de coût. Certains problème d optimisation de forme sont connus depuis l antiquité. On peut mentionner par exemple le problème de la reine Didon 1 est un problème d isopérimétrie, autrement dit on recherche la forme de surface minimale pour un volume fixé et sous certaines contraintes géométriques. Un problème d optimisation de forme est défini par trois données : un modèle (typiquement une équation aux dérivées partielles) un critère ou fonctionnelle de coût que l on cherche à minimiser ou maximiser, un ensemble admissible de variables d optimisation qui tient compte d éventuelles contraintes que l on impose aux variables. Pour résumer, un problème d optimisation de forme s écrit inf J() ou sup J(), O ad O ad où J est une fonctionnelle de forme et O ad est l ensemble des formes admissibles. Par exemple, J() peut désigner le périmètre de ou une valeur propre de l opérateur de Laplacien-Dirichlet et l ensemble O ad l ensemble des domaines connexes bornés mesurables de IR d de volume donné. Le plus souvent, les problèmes d optimisation de forme ne possèdent pas de solutions explicites et il paraît illusoire de chercher à les déterminer explicitement. Néanmoins, plusieurs questions et études peuvent être menées et présentent chacune un intérêt intrinsèque évident : Le problème d optimisation de forme possède t-il une solution? Peut-on énoncer des conditions nécessaires d optimalité? Peut-on déduire de ces conditions des propriétés qualitatives de la solution optimale (sous réserve que celle-ci existe)? Par exemple, il peut-être intéressant de connaître la régularité de l ensemble optimal, des propriétés de symétrie, etc. Enfin, comment mettre en œuvre une méthode de discrétisation du problème puis d optimisation afin d obtenir une bonne approximation numérique de la solution? Dans ce cours, nous allons proposer quelques pistes de réponse. En particulier, nous montrerons comment les théories générales de l optimisation de forme s appliquent à des problèmes de mécanique des fluide. 1. Débarquée sur les côtes de l actuelle Tunisie, vers 814 av. J.-C., elle choisit un endroit où fonder une nouvelle capitale pour le peuple phénicien : Carthage. Elle obtient pacifiquement des terres par un accord ingénieux avec le seigneur local : elle obtint une terre pour s établir «autant qu il en pourrait tenir dans la peau d un bœuf». Elle choisit alors pour fonder sa ville une péninsule qui s avançait dans la mer et fait découper une peau de bœuf en lanières extrêmement fines. Mises bout à bout, elles délimitent l emplacement de ce qui deviendra plus tard la grande Carthage iii

4 En effet, de nombreux problèmes d optimisation de forme se posent naturellement dans le contexte de la mécanique des fluides. Typiquement, on peut par exemple recherche la forme d une aile d avion optimisant ses performances, autrement dit maximisant sa portance et minimisant sa traînée. Le cours est organisé de la façon suivante : le chapitre II. est consacré à l introduction de quelques concepts théoriques généraux d optimisation de forme. Dans le chapitre III., nous expliquerons comment les adapter à certains modèles de mécanique des fluides. Enfin, dans le chapitre??, nous évoquerons quelques aspects numériques inhérents à ce type d études. iv

5 Table des matières Préambule iii I. Outils pour l optimisation de forme en mécanique des fluides 1 I.1 Éléments de topologie sur les ensembles I.1.1 Contrainte de type périmètre I.1.2 Convergence des ouverts au sens de Hausdorff I.1.3 Ouverts vérifiant la propriété du cône uniforme I.2 Quelques inégalités fonctionnelles I.2.1 Théorème de Rellich et inégalité de Poincaré I.2.2 Intégration par parties, formule de Green I.2.3 Inégalité de Korn I.3 Existence et unicité des solutions d E.D.P I.3.1 Problèmes elliptiques I.3.2 Équations de la mécanique des fluides II. Existence et caractérisation des formes optimales 33 II.1 Sur l existence de formes optimales II.1.1 Exemple et contre-exemple II.1.2 Problèmes de type isopérimétrique II.1.3 Plan d étude et notion de γ-convergence II.1.4 Existence sous contrainte géométrique II.2 Dérivation de forme et conditions d optimalité II.2.1 Topologie sur les domaines et perturbations de l identité II.2.2 Dérivation de fonctionnelles géométriques II.2.3 Prise en compte de contraintes E.D.P II.2.4 Structure des dérivées de forme et notion d adjoint III. Optimisation de forme en mécanique des fluides 59 III.1 Quelques problèmes III.1.1 Optimisation de l énergie dissipée dans un coude III.1.2 Optimal design d un inhalateur III.1.3 Optimisation de la forme d une aile d avion III.2 Minimisation de l énergie dissipée par un fluide III.2.1 Un résultat d existence III.2.2 Calcul de la dérivée par rapport au domaine III.2.3 Un critère de type moindres carrés III.3 Aspects numériques III.3.1 Utilisation du Lagrangien augmenté en optimisation de forme III.3.2 Mise en œuvre d un algorithme de type gradient v

6 Table of contents A Quelques rappels d optimisation en dimension finie 81 I.1 Résultats d existence et d unicité I.2 Conditions d optimalité I.2.1 Cas sans contrainte I.2.2 Cas avec contraintes B Algorithmes d optimisation sans contrainte en dimension finie 87 II.1 Algorithmes unidimensionnels ou recherche du pas II.1.1 Méthode de la section dorée II.1.2 Méthode d interpolation parabolique II.2 Quelques notions sur les algorithmes II.3 Méthodes de gradient II.3.1 Gradient à pas fixe ou optimal II.3.2 Méthode du gradient conjugué II.4 Les méthodes de Newton et quasi-newton II.4.1 Méthodes de Newton II.4.2 Méthode de quasi-newton de Lenvenberg-Marquardt C Algorithmes d optimisation sous contraintes en dimension finie 99 III.1 Retour sur les conditions d optimalité III.2 Conditions d optimalité nécessaires du second ordre III.3 Les algorithmes III.3.1 Méthode du gradient projeté III.3.2 Méthodes de pénalisation III.3.3 Méthode de dualité : l algorithme d Uzawa Bibliographie 106 vi

7 I. Outils pour l optimisation de forme en mécanique des fluides Ce chapitre a pour but de regrouper diverses notions de topologie sur les ensembles, d inégalités fonctionnelles et d équations aux dérivées partielles nécessaires pour aborder les problèmes d optimisation de forme en mécanique des fluides. I.1 Éléments de topologie sur les ensembles Dans toute cette section, nous ferons l hypothèse qu il existe un grand ouvert borné noté D qui contiendra tous les ensembles et les éléments des suites ( n ) n IN que nous considérerons. Nous verrons que cette hypothèse permet, souvent combinée à d autres hypothèses, d obtenir de bonnes propriétés de compacité. On utilisera la notation A(D) = { D, ouvert}. où D désigne un ouvert de IR d. Dans le contexte de l optimisation de forme, imposer D sur les ouverts considérés est donc une première contrainte géométrique appelée contrainte de boîte, que nous utiliserons pour obtenir des propriétés de compacité des suites minimisantes. Il est en général nécessaire d imposer d autres contraintes géométriques pour obtenir des résultats d existence. Ces questions seront discutées dans le chapitre II.. I.1.1 Contrainte de type périmètre Souvenons-nous du problème isopérimétrique de la reine Didon évoqué dans le préambule. Il illustre la fait que la notion de périmètre joue souvent un rôle important dans les problèmes d optimisation de forme. Par exemple, il n est pas rare que l on prescrive une borne uniforme sur le périmètre des ouverts admissibles considérés. Une difficulté se pose alors : on peut aisément définir le périmètre d un ensemble régulier. Comment le définir lorsqu on ne souhaite pas imposer de régularité artificielle sur les ensembles considérés? De surcroît, dans l étude des problèmes d optimisation de forme, nous serons amenés à considérer des suites d ouverts de périmètre uniformément borné, typiquement des suites minimisantes. Peut-on espérer une propriété de compacité des éléments de cette suite, et en quel sens? Dans cette section, nous allons partiellement répondre à ces questions. 1

8 CHAPITRE I. OUTILS POUR L OPTIMISATION DE FORME EN MÉCANIQUE DES FLUIDES Définition I.1.1. Ouvert lipschitzien, de classe C 1 (i) On dit qu un ouvert de IR d est à bord lipschitzien si, pour tout x 0, il existe un cylindre K = K ] a,a[ dans un repère orthonormé local d origine x 0 = 0, avec K une boule ouverte de IR d 1 de rayon r, et une fonction ϕ : K ] a,a[ lipschitzienne telle que ϕ(0) = 0 tels que K = {(x,y) K y > ϕ(x )} et K = {(x,ϕ(x )) x K }. (ii) On définit un ouvert de classe C 1 en remplaçant le mot "lipschitzien" par C 1 dans la définition précédente. Revenons à la définition généralisée de la notion de périmètre d un ensemble mesurable. La définition qui suit a été introduite par le mathématicien Ennio De Giorgi ( ). Définition I.1.2. Périmètre au sens de De Giorgi Soit, un ensemble mesurable dans IR d. On appelle périmètre de le nombre Per() = sup{ div(ϕ) dx ϕ D(IR d,ir d ), ϕ 1}, où D(IR d,ir d ) désigne l ensemble des fonctions C à support compact de IR d dans IR d. En particulier et comme on peut s y attendre, cette définition coïncide avec la définition usuelle du périmètre pour un ouvert borné de classe C 1. Proposition I.1.3. Soit, un ouvert borné de classe C 1. Alors, Per() = de surface sur. dσ, où dσ désigne l élément Pour démontrer cette proposition, nous aurons besoin du lemme technique suivant. Lemme I.1.4. Extension continue de la normale Soit, un ouvert borné de IR d de classe C 1. On désigne par ν : S d 1 l application définissant pour tout point x la normale unitaire extérieure ν(x) au point x. Alors, il existe une extension continue N de l application ν à tout IR d. Preuve du Lemme I.1.4. Puisque est un ouvert de classe C 1, en utilisant les notations de la définition I.1.2, pour tout x, il existe des cylindres K x, K x et une application lipschitzienne ϕ x tels que = x K x, où dans un repère orthonormé local, K x = {(x,ϕ x (x )), x K x}. Souvenons-nous que est un fermé (il suffit de l écrire IR d \) borné de IR d donc un compact. D après la propriété de Borel-Lebesgue, on peut extraire un sous-recouvrement fini du recouvrement précédent. On se donne donc les p points {x i } 1 i p de définissant ce recouvrement. Il existe alors un système orthonormé 2

9 I.1. ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE SUR LES ENSEMBLES local de coordonnées x = (x,x d ) IR d 1 IR autour de x i = (0,0) et une application de classe C 1, ϕ i : B(0,r i ) IR d 1 ] a i,a i [ tels que = p Γ i avec Γ i = {(x,ϕ i (x )), x B(0,r i )}. i=1 On note O i = B(0,r i ) ] a i,a i [. Introduisons les fonction ψ i définies en coordonnées locales par x = (x,x d ) O i, ψ i (x) = ψ i (x,x d ) = (x,ϕ i (x ) x d ). Notons que ψ i ainsi défini est un C 1 -difféomorphisme de O i dans l ouvert ψ i (O i ) (en vertu du théorème de l application ouverte), dont l application réciproque ψi 1 est définie par ψi 1 (y) = ψi 1 (y,y d ) = (y,ψ i (y ) y d ). Au recouvrement ouvert de par les ψ i (O i ) on associe une partition de l unité 1 {ξ i } 1 i p avec ξ i C0 (ψ i(o i )), ξ i 0 pour tout i I et p i=1 ξ i = 1 dans un voisinage de. On peut alors étendre la définition de ν à IR d tout entier à l aide de la formule N (x) = p i=1 ξ i (x)ν(ψ i π i ψi 1 (x)), où l on désigne par π i la projection orthogonale définie par π i (x,x d ) = (x,0). Ceci conclut la preuve. On notera en particulier que l on dispose de l expression simple de ν sur chacun des arcs Γ i : x Γ i, ν(x) = x ϕ i (x ) ( x ϕ i (x ) ). 1 Preuve de la Proposition I.1.3. Soit ϕ D(IR d,ir d ) telle que ϕ 1. D après la formule de Green, on a div(ϕ) dx = d i=1 ϕ i dx = ϕ i n i dσ = ϕ ν dσ, x i où ν désigne le vecteur unitaire normal sortant en tout point du bord. On en déduit par inégalité de la moyenne que pour une telle fonction ϕ, on a div(ϕ) dx ϕ ν dσ ϕ dσ dσ, et il s ensuit que Per() dσ par passage au supremum. 1. On utilise le résultat suivant : Soit X un espace topologique métrisable. Pour tout recouvrement ouvert localement fini (U i) i I de X, il existe une partition continue de l unité subordonnée au recouvrement (U i) i I, autrement dit une famille (φ i) i I de fonctions continues, définies sur X et à valeur dans l intervalle [0, 1], telles que le support de φ i soit inclus dans U i pour tout i I et pour tout point x X, les deux conditions suivantes soient satisfaites : (i) il existe un voisinage de x tel que toutes les fonctions φ i soient nulles sur ce voisinage à l exception d un nombre fini d entre elles ; (ii) la somme de toutes les valeurs prises par les fonctions φ i en x soit égale à 1, c est-à-dire φi(x) = 1 pour tout x X. i I 3

10 CHAPITRE I. OUTILS POUR L OPTIMISATION DE FORME EN MÉCANIQUE DES FLUIDES Pour prouver l inégalité inverse, d après la formule précédente, on aimerait pouvoir choisir ϕ = ν sur. En réalité, on choisit plutôt d approcher ν par une suite de fonctions (ϕ n ) n IN D(IR d,ir d ) IN. Soit N, l extension continue de la normale ν définie dans le lemma I.1.4. On régularise N en définissant ϕ n = N ρ n, où (ρ n ) n IN est une suite régularisante. On construit ainsi une suite de fonctions de D(IR d,ir d ) qui converge uniformément vers N et telle que div ϕ n dx = ϕ n ν dσ ν ν dσ = dσ. n + Donnons à présent une autre caractérisation du périmètre d un ensemble, à l aide de la notion de variation totale d une fonction. Elle repose sur la remarque suivante : si f L 1 (IR d,ir d ), alors par dualité f L 1 = f(x) dx = sup{ IR d f(x) ϕ(x) dx, ϕ D(IR d,ir d ) et ϕ 1}. IR d Plus généralement, cette formule fait sens pour toute mesure de Radon µ de masse finie 2, autrement dit toute forme linéaire continue sur l espace C 0 0 (IRd ) des fonctions continues à support compact dans IR d. Plus précisément, on peut montrer qu une mesure de Radon µ est de masse finie sur IR d si, et seulement si la quantité µ 1 = sup{ µ,ϕ D,D, ϕ D(IR d,ir d ) et ϕ 1} est finie (voir par exemple [Sch66]). Enfin, notons que pour une fonction ϕ D(IR d,ir d ), on a div(ϕ) dx = div(ϕ)χ (x) dx = χ,ϕ D,D, IR d où χ désigne la fonction caractéristique de, autrement dit la fonction définie par χ (x) = { 1 si x 0 sinon. On a alors la caractérisation suivante du périmètre à l aide de la variation totale de la fonction caractéristique χ. Proposition I.1.5. Soit, un ensemble mesurable de IR d. Alors la quantité Per() est finie si, et seulement si χ est une mesure de Radon de masse finie et dans ce cas, Per() = χ 1. Les ensembles ayant un périmètre borné héritent de bonnes propriétés de compacité. 2. On rappelle qu une mesure de Radon µ est dite bornée ou de masse finie sur IR d s il existe C > 0 telle que ϕ C0(IR 0 d ), µ,ϕ C ϕ 4

11 I.1. ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE SUR LES ENSEMBLES Théorème I.1.6. Compacité des ensembles à périmètre borné Soit ( n ) n IN, une suite d ensembles mesurables de IR d. On suppose qu il existe C > 0 telle que n IN, n + Per( n ) C. Alors, il existe un ensemble mesurable de IR d et une suite extraite ( nk ) k IN tels que χ nk χ dans L 1 loc (IRd ) et χ nk,ϕ χ,ϕ, ϕ C 0 0(IR d ). De plus, si tous les ensembles de la suite ( n ) n IN sont contenus dans un ouvert D de mesure finie, alors, la convergence de la suite (χ nk ) k IN a lieu dans L 1 (D). On notera que la convergence des gradients des fonctions caractéristiques n est autre que la convergence faible- dans l ensemble des mesures de Radon bornées. La preuve de ce théorème repose sur la compacité de l injection de BV (IR d ) dans L 1 loc (IRd ). Afin d éviter un surplus de technicité, nous l omettons. Avant de revenir à l étude de l existence de solution pour des problèmes de type "isopérimétriques", mentionnons que la propriété de convergence établie dans le théorème I.1.6 est très utilisée en optimisation de forme. C est l objet de la définition qui suit. Définition I.1.7. Convergence au sens des fonctions caractéristiques Soit ( n ) n IN et désignant respectivement une suite d ensembles mesurables et un ensemble mesurable de IR d. On sit que la suite ( n ) n IN converge au sens des fonctions caractéristiques si χ n χ dans L 1 loc (IRd ). Cette définition appelle quelques remarques. Remarque I.1.8 Notons que si ( n ) n IN converge au sens des fonctions caractéristiques vers, la convergence de (χ n ) n IN vers χ a en réalité lieu dans L p loc (IRd ) pour tout p [1, + [ puis les fonctions caractéristiques prennent les valeurs 0 ou 1 presque partout. La convergence de ( n ) n IN vers au sens des fonctions caractéristiques n est en général pas aisée à obtenir. Le théorème I.1.6 prouve qu on peut l obtenir en considérant une suite d ensembles dont le périmètre est uniformément borné. Soit ( n ) n IN et désignant respectivement une suite d ensembles mesurables et un ensemble mesurable de IR d. En toute généralité, on peut énoncer un résultat de compacité plus faible que celui du théorème I.1.6. En effet, les éléments de la suite (χ n ) n IN appartiennent à L (IR d ; {0,1}). Rappelons que L (IR d ; {0,1}) est le dual topologique de l espace L 1 (IR d ; {0,1}). Par conséquent, d après le théorème de Banach-Alaoglu- Bourbaki 3 appliqué à E = L 1 (IR d ) et E = L (IR d ), on peut extraire de (χ n ) n IN une sous-suite (χ nk ) k IN qui converge faiblement- vers une fonction a L (IR d,[0,1]). Le fait que a( ) 0 et a( ) 1 presque partout dans IR d s obtient en utilisant le fait 3. Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki : soit E, un espace de Banach et E, son dual topologique muni de la norme duale f E = sup x E f,x E,E. L ensemble B E = {f E f E 1} est x E 1 compact pour la topologie faible- σ(e,e). 5

12 CHAPITRE I. OUTILS POUR L OPTIMISATION DE FORME EN MÉCANIQUE DES FLUIDES que la positivité est conservée à la limite pour la topologie faible-. Cependant, il est a priori faux de prétendre que a L (IR d,{0,1}). Pour s en convaincre, il suffit de considérer la suite (ω n ) n IN des sous-ensembles de (0,π) définie par n ( kπ ω n = n + 1 π 4n, kπ n π ), 4n k=1 pour tout n IN. On montre aisément que pour tout n IN, ω n = π 2, et que la suite de fonctions (χ ωn ) n IN converge faiblement- vers la fonction constante a( ) = 1 2 dans L (0,π). De façon intuitive, la suite (χ ωn ) n IN tend à s équirépartir dans (0,π). I.1.2 Convergence des ouverts au sens de Hausdorff Dans ce qui suit, si x IR d et E est un sous-ensemble fermé, on notera d E (x) la distance de x à E, soit d E (x) = dist(x,e) := inf{ x y, y E}. Définition I.1.9. Métrique de Hausdorff (i) Distance de Hausdorff entre deux fermés. Soient A et B, deux ensembles fermés de IR d. La distance de Hausdorff entre A et B est définie par d H (A,B) = max{sup x A d B (x), sup d A (x)}. x B (ii) Convergence des ouverts au sens de Hausdorff. Si A et B sont deux éléments de A(D), on définit la distance de Hausdorff du complémentaire de A et B par d H c(a,b) = d H (D\A,D\B). En conséquence, on dira qu une suite d ouverts ( n ) n IN de A(D) converge vers au sens de Hausdorff si d H c( n,) 0 quand n +. La suite de cette section est consacrée à l énoncé de bonnes propriétés topologiques de l ensemble A(D) muni de la métrique d H c. Tout repose sur le fait que pour tous (A,B) A(D) 2, d H (A,B) = d A d B C 0 (D) := sup d A (x) d B (x). x D Preuve : on a d A d B C0 (D) = d A d B C0 (D) max{ d A d B C0 (A), d A d B C0 (B)} d H (A,B). Montrons l inégalité réciproque. Soit x B et y A. Par compacité, il existe x B B tel que d B (x) = x x B. D où d A (x) d B (x) y x x x B y x B d A (x B ) sup d A (x). x B En intervertissant les rôles joués par A et B, et en choisissant le maximum des majorants, on en déduit l inégalité souhaitée. 6

13 I.1. ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE SUR LES ENSEMBLES La figure ci-dessous illustre la définition de la distance de Hausdorff entre deux compacts. Figure I.1 : Distance de Hausdorff de deux compacts X et Y Énonçons à présent quelques propriétés topologiques relatives à la convergence au sens de Hausdorff. Proposition I compacité et s.c.i. pour la topologie H c (i) L ensemble A(D) muni de la métrique d H c est compact. (ii) Soit ( n ) n IN, une suite d éléments de A(D) convergeant au sens de Hausdorff vers. Pour tout sous-ensemble compact K, il existe un entier N(K) IN tel que K n pour tout n N(K). (iii) La mesure de Lebesgue est semi-continue inférieurement pour la topologie associée à d H c. (iv) Le nombre de composantes connexes du complémentaire d un ensemble ouvert est semi-continue inférieurement pour la topologie associée à d H c. Pour démontrer cette proposition, nous utiliserons le résultat suivant. Proposition I (i) Soient A et B inclus dans D. On a d A = d B si, et seulement si A = B. (ii) On introduit l espace des fonctions "distance" des sous-ensembles de D C d (D) = {d, avec et D} avec d : x d(x,). Alors, C d (D) est un sous-ensemble compact de C 0 (D). Remarque I.1.12 On peut se restreindre à des classes d ouverts. En effet, {d c, D et } = {d c, ouvert inclus dans D}. 7

14 CHAPITRE I. OUTILS POUR L OPTIMISATION DE FORME EN MÉCANIQUE DES FLUIDES Pour s en convaincre, considérons D tel que. Alors, on peut associer à l ouvert O = cc. En effet, O c = c donc d O c = d c = d c d après la proposition I Par conséquent, le caractère fermé de l ensemble A(D) énoncé dans la proposition I.1.10 est à interpréter au sens suivant : si ( n ) n IN est une suite de A(D) qui converge vers au sens de Hausdorff, alors les limites de la suite ( n ) n IN forment une classe d équivalence et il existe un représentant A(D) tel que ( n ) n IN converge vers. Exemple I.1.13 (i) On considère un ouvert D et (x n ) n IN, une suite de points dense dans D. Posons n = D\{x k } 1 k n. Alors ( n ) n IN converge au sens de Hausdorff vers l ensemble vide. (ii) n =]0,1[\{ 1 n } n IN converge au sens de Hausdorff vers ]0,1[. (iii) Un intervalle ouvert de IR qui converge au sens de Hausdorff ne peut converger que vers un intervalle ouvert (exercice). Remarque I.1.14 Optimalité des assertions de la proposition I.1.10 Revenons sur (ii). On pourrait légitimement se poser la question suivante : si ( n ) n IN, une suite d éléments de A(D) convergeant au sens de Hausdorff vers et si K est un compact tel que K c, existe t-il un entier N(K) tel que K n c pour n N(K)? La réponse est non, comme l indique le contre-exemple suivant : D =]0,3[ 2, est le disque unité de IR 2 et n désigne l ouvert défini en coordonnées polaires par n = {(r,θ) IR + [0,2π[ r cos(nθ)}. On montre alors aisément (exercice) que ( n ) n IN converge au sens de Hausdorff vers mais que la propriété ci-dessus n est pas satisfaite. Dans le vocabulaire de l optimisation de forme, on dit qu une suite ( n ) n IN vérifiant l assertion (ii) et l assertion ci-dessus converge au sens des compacts. Pour plus de détails sur cette notion, nous renvoyons par exemple à [HP05, Section 2.2.4]. Revenons sur (iii). La convergence de Hausdorff ne préserve pas le volume. C est par exemple ce qu indique l item (i) de l exemple I Preuve de la proposition I (i) Cette propriété résulte du fait que d A (x) = 0 x A. Nous allons montrer plus précisément que A B est équivalent à d A d B. En effet, si A B et x IR d, alors d B (x) = d B (x) = inf y x inf y x = d A (x) = d A (x). y B y A Réciproquement, si d A d B, soit x A. Alors, d A (x) = d A (x) = 0 et par conséquent d B (x) = d B (x) = 0, donc x B. 8

15 I.1. ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE SUR LES ENSEMBLES (ii) Montrons d abord que C d (D) est un fermé de C 0 (D). On considère une suite ( n ) n IN de sous-ensembles non vides de D tels que d n converge vers un élément f de C 0 (D). On va montrer qu il existe non vide inclus dans D tel que f = d. Posons = {x D f(x) = 0}. Montrons de prime abord que. Soit x D et n N. Par compacité de n, il existe y n n tel que d n (x) = y n x et par conséquent, lim n + y n x = f(x). On en déduit que (y n ) n IN est bornée dans D et converge donc, à sous-suite près, vers un certain y D, tel que y x = f(x). En particulier, la construction précédente montre que f(y) lim n + y n y = 0 donc f(y) = 0. En d autres termes, on a montré :. Le raisonnement précédent prouve en particulier que pour tout x D, il existe y tel que f(x) = y x inf z x = d (x). z Montrons l inégalité réciproque. Pour tout n IN, et tous (x,y) D 2, d n (x) = inf z n z x inf z n z y + y x = d n (y) + y x. On en déduit, en échangeant les rôles de x et y que d n (x) d n (y) x y. Par convergence uniforme de d n, il vient (x,y) D 2, f(x) f(y) x y. Choisissons à présent y. On a f(y) = 0 et par conséquent, f(x) x y. Puisque y est arbitraire dans, il vient f(x) d (x), d où la conclusion. Á ce stade, on a prouvé que C d (D) est un sous-ensemble fermé de C 0 (D) qui est donc, à ce titre, complet. Notons que pour tout x D, d (x) sup (x,y) D 2 y x < +. De plus, le raisonnement précédent montre que (x,y) D 2, d (x) d (y) x y. D après le théorème d Ascoli-Arzelà 4, la famille C d (D) est équicontinue et fermée pour la topologie de la convergence uniforme, donc compacte. Nous sommes maintenant en mesure de démontrer la proposition I Preuve de la proposition I (i) Considérons une suite ( n ) n IN d éléments de A(D). Alors (d c n ) n IN est une suite d éléments de C d (D). Par compacité (Proposition I.1.11), il existe A avec d A C d (D) tel que (d c n ) n IN converge à une sous-suite près vers la fonction d A = d A = d c, où l on a posé c = A. On a donc montré que ( n ) n IN converge, à sous-suite près vers A(D). 4. Théorème d Ascoli-Arzelà : soient K un espace compact et (E, d) un espace métrique. L espace C 0 (K, E) des fonctions continues de K dans E, muni de la distance uniforme, est un espace métrique. Une partie A de C 0 (K, E) est relativement compacte si et seulement si les deux conditions suivantes sont respectées : - A est équicontinue, i.e pour tout élément x de K, on a ε > 0, V voisinage de x f A, y V, d(f(x),f(y)) < ε - pour tout élément x de K, l ensemble A(x) = {f(x) f A} est relativement compact. L ensemble des fonctions r-lipschitziennes avec r > 0 est un exemple d ensemble équicontinu. 9

16 CHAPITRE I. OUTILS POUR L OPTIMISATION DE FORME EN MÉCANIQUE DES FLUIDES (ii) Puisque K D, il existe x K et ỹ tels que δ := inf d c(x) = inf x K inf x K y c x y = x ỹ > 0. En effet, K est fermé et est ouvert... Par convergence de ( n ) n IN vers, il existe N(K) IN tel que Par conséquent, pour tout x K, on a n N(K), d c n d c C 0 (K) < δ 2. d c n (x) d c(x) d c n (x) d c(x) m m 2 > 0. Cela signifie que x / c n autrement dit x c nc = n et donc K n. (iii) On va démontrer plus précisément que si ( n ) n IN converge vers au sens de Hausdorff, alors χ lim inf n + χ n presque partout dans D. En vertu du lemme de Fatou 5, on en déduira le résultat escompté, à savoir lim inf n + n. On a χ \( n) = χ ( n) c \ c. Posons ε n = d H c( n,). Notons que χ ( n) c \ c χ Rn avec R n = {x D d(x,) ]0,ε n [}, et que la suite (R n ) n IN est décroissante pour l inclusion et tend vers. D après le théorème de convergence monotone de Beppo-Levi 6, on en déduit que \( n ) = χ \( n)(x) dx 0. n + D Finalement, puisque χ = χ n + χ \( n), on obtient l inégalité souhaité en faisant tendre n vers +. (iv) Soit ( n ) n IN, une suite de A(D) qui converge au sens de Hausdorff vers A(D). On désigne par #( c n), le nombre de composantes connexes 7 de c n. Supposons que #( c ) est fini, égal à k. Il existe donc une famille d ouverts disjoints (G i ) 1 i k tels que k c = c G = G i et i {1,,k}, c G i. i=1 Considérons le voisinage ouvert de c défini pour ε > 0 par V ε ( c ) = {O ouvert tel que d c d O c C 0 (D) < ε}. 5. Lemme de Fatou : soit, un ouvert de IR d et (f n) n IN, une suite de fonctions de L 1 () telle que pour tout n IN, f n(x) 0 p.p. sur et sup n IN fn(x) dx < +. Alors, la fonction x lim infn + fn(x) est intégrable sur et lim inf fn(x) dx lim inf f n + n + n(x) dx. 6. Théorème de convergence monotone de Beppo-Levi : soit, un ouvert borné et (f n) n IN, une suite croissante de fonctions de L 1 () telle que sup n IN fn(x) dx < +. Alors, fn(x) converge pour presque tout x vers une limite finie f(x), f L 1 () et f n f L 1 () 0 quand n Composante connexe : étant donné un point x d un espace topologique E, la réunion de toutes les parties connexes contenant x est connexe. C est la plus grande (au sens de la relation d inclusion) de toutes les parties connexes contenant x. On la note C x et on l appelle composante connexe de x dans E. Les composantes connexes des points de E sont donc les parties connexes maximales pour l inclusion (il n y en a qu une si l espace est connexe). 10

17 I.1. ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE SUR LES ENSEMBLES On a c V ε ( c ) et puisque (d c n ) n IN converge vers d c, il existe N IN tel que c n V ε ( c ) G, pourvu que ε soit choisi suffisamment petit. Alors, nécessairement, pour tout n N, c n G et c n G i. On en déduit que #( c n) #( c ). Avant de terminer cette section, énumérons quelques résultats fort utiles sur la convergence au sens de Hausdorff dont la démonstration est laissée en exercice au lecteur. Proposition I Propriétés de la convergence au sens de Hausdorff des ouverts ([HP05, Section 2.2.3]) (i) Une suite croissante d ouverts inclus dans D converge au sens de Hausdorff vers sa réunion. (ii) Une suite décroissante d ouverts converge vers l intérieur de l intersection de tous les ouverts. (iii) Si ( 1 n) n IN et ( 2 n) n IN sont des suites de A(D) qui convergent respectivement au sens de Hausdorff vers 1 et 2, et si n 1 n 2 pour tout n IN, alors 1 2. (iv) Si ( 1 n) n IN et ( 2 n) n IN sont des suites de A(D) qui convergent respectivement au sens de Hausdorff vers 1 et 2, alors n 1 n 2 converge au sens de Hausdorff vers 1 2. (v) Si ( 1 n) n IN et ( 2 n) n IN sont des suites de A(D) qui convergent respectivement au sens de Hausdorff vers 1 et 2, et si n 1 n 2 converge au sens de Hausdorff vers, alors 1 2. (vi) La convexité est préservée par la convergence de Hausdorff, mais pas l envoppe convexe. Notons que par passage au complémentaire, on en déduit aisément des propriétés similaires pour la convergence de Hausdorff au sens des compacts (remplacer par exemple "croissant" par "décroissant", "réunion" par "intersection", etc.) Remarque I.1.16 Ce que ne garantit pas la convergence de Hausdorff La connexité n est pas préservée par la convergence au sens de Hausdorff. Penser par exemple à n = B(0,2)\{e i kπ n,0 k n 1}. Alors, clairement, n est connexe par arcs pour tout n IN, et la suite ( n ) n IN converge au sens de Hausdorff vers = B(0,2)\C(0,1) qui n est pas connexe par arcs. Le périmètre défini au sens de de Giorgi (voir Définition I.1.2) n est ni semi-continu supérieurement, ni semi-continu inférieurement pour la convergence au sens de Hausdorff. Noter que la remarque remarque I.1.14 prouve en particulier que le périmètre n est pas semi-continu supérieurement. 11

18 CHAPITRE I. OUTILS POUR L OPTIMISATION DE FORME EN MÉCANIQUE DES FLUIDES I.1.3 Ouverts vérifiant la propriété du cône uniforme Cette section est consacrée à l introduction d une famille d ouverts satisfaisant certaines propriétés géométriques qui garantissent de la compacité en un sens à préciser. Dans l étude des problèmes d optimisation de forme, on s attend souvent à ce que la solution soit régulière. Pour cette raison, on peut choisir de ne s intéresser qu à des domaines réguliers. Cependant, on comprend aisément qu une suite de domaines réguliers peut converger vers un domaine très irrégulier. Pour éviter ce type de phénomène, on va introduire des ouverts dont la frontière est "uniformément lipschitzienne. On dit qu ils vérifient la propriété du cône uniforme. Le point de vue qui suit et ses conséquences en optimisation de forme sont dus à Denise Chenais (voir [Che75] et [DZ11]). Définition I Propriété de ε-cône Soit y, un point de IR d, ξ, un vecteur unitaire et ε, un réel strictement positif donné. (i) On appelle cône épointé de sommet y, de direction ξ et de dimension ε, le cône noté C(y,ξ, ε) privé de son sommet, défini par : C(y,ξ, ε) = {z IR d z y,ξ IR d cos ε z y IR d et 0 < z y IR d < ε}, où, IR d désigne le produit scalaire euclidien de IR d et IR d, la norme euclidienne associée. (ii) On dit qu un ouvert vérifie la propriété du ε-cône si pour tout élément x, il existe ξ x, un vecteur unitaire tel que : y B(x,ε), C(y,ξ, ε), où B(x,ε) désigne la boule ouverte de centre x et de rayon ε. 12

19 I.1. ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE SUR LES ENSEMBLES y x ε C(y, ξ x, ε) ξ x Figure I.2 : Illustration de la propriété de ε-cône Notons que l on a la caractérisation suivante des ouverts satisfaisant la propriété du cône uniforme. Théorème I Caractérisation de la propriété de ε-cône Un ouvert de frontière bornée a la propriété du ε-cône si, et seulement si il est à bord lipschitzien. Pour la définition d un ouvert à bord lipschitzien, on se réfèrera à la définition I.1.1. Ce résultat d énoncé simple est en revanche un peu technique à démontrer. Le preuve figure dans [Che77] et dans [HP05, Section 2.4]. Figure I.3 : À gauche, un ouvert vérifiant la propriété du cône uniforme et à droite, un ouvert ne la vérifiant pas (présence d un point de rebroussement) La propriété qui suit prouve, comme on pouvait s y attendre, que les ouverts satisfaisant la propriété du ε-cône possèdent de bonnes propriétés de compacité. 13

20 CHAPITRE I. OUTILS POUR L OPTIMISATION DE FORME EN MÉCANIQUE DES FLUIDES Proposition I Compacité des ouverts uniformément réguliers Soit ε > 0 et ( n ) n IN, une suite d ouverts tous inclus dans une boule D et ayant la propriété du ε-cône. Alors, il existe un ouvert, et une suite extraite ( nk ) k IN qui converge vers au sens de Hausdorff. De plus, a la propriété de ε-cône, nk et nk convergent au sens de Hausdorff respectivement vers et. Preuve. D après la proposition I.1.10, il existe une suite extraite ( nk ) k IN et un ouvert tels que ( nk ) k IN converge vers au sens de Hausdorff. Considérons x. Pour ne pas alourdir la rédaction, et quitte à réindexer, on note ( n ) n IN la suite ( nk ) k IN. Montrons de prime abord qu il existe une suite de points (x n ) n IN telle que x n n pour tout n IN, qui converge vers x. Il suffit de montrer que la distance de x à n tend vers 0 quand n +. Raisonnons par l absurde en supposant le contraire. Alors, il existe une sous-suite ( nk ) k IN et une boule fermée B(x,η) avec η > 0 tels que B(x,η) nk =. En conséquence, B(x,η) est inclus dans nk ou dans son complémentaire pour tout k IN. D après la propriété I.1.15 (stabilité de l inclusion) il vient que B(x,η) ou B(x,η) c, ce qui contredit que x. Considérons à présent pour chaque n, la direction de cône ξ n associée à x n. Par compacité de la sphère unité de IR d, on peut supposer que (ξ n ) n IN converge vers ξ S d 1, quitte à considérer une sous-suite. Donnons-nous y B(x,ε) c. Par définition de la convergence de Hausdorff, il existe une suite (y n ) n IN c n convergeant vers y. Alors, on montre aisément que y n x n converge vers y x, on a y n x n < ε à partir d un certain rang. Cela permet d appliquer la propriété de ε-cône à y n et on en déduit que C(y n,ξ n,ε) c n à partir d un certain rang. Par stabilité de l inclusion et puisque C(y n,ξ n,ε) converge au sens de Hausdorff vers C(y,ξ,ε), il vient On en déduit le résultat escompté. C(y,ξ,ε) C(y,ξ,ε) c. On peut établir le même type de résultat pour la convergence au sens des fonctions caractéristiques. (voir définition I.1.7) La preuve est laissée en exercice au lecteur. Proposition I Compacité des ouverts uniformément réguliers (suite) Soit ε > 0 et ( n ) n IN, une suite d ouverts tous inclus dans une boule D et ayant la propriété du ε-cône. Alors, il existe un ouvert, et une suite extraite ( nk ) k IN qui converge vers au sens des fonctions caractéristiques. De plus, a la propriété de ε-cône, nk et nk convergent au sens des fonctions caractéristiques respectivement vers et. Les deux propositions précédentes fournissent en général une grande aide pour établir des résultats d existence dans des classes de domaines vérifiant la propriété de ε-cône. I.2 Quelques inégalités fonctionnelles 14

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité

Calcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008) Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Introduction à la méthode des éléments finis

Introduction à la méthode des éléments finis ÉCOLE NATIONALE SUPERIEURE DES MINES DE PARIS Introduction à la méthode des éléments finis Michel KERN 1 2004 2005 S3733 / S3735 1 Inria, Rocquencourt, BP 105, 78153 Le Chesnay, Michel.Kern@inria.fr 2

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

Notes de cours M2 Équations aux dérivées partielles elliptiques. Hervé Le Dret

Notes de cours M2 Équations aux dérivées partielles elliptiques. Hervé Le Dret Notes de cours M2 Équations aux dérivées partielles elliptiques Hervé Le Dret 4 mars 2010 2 Table des matières 1 Rappels en tous genres 7 1.1 Les théorèmes de convergence de Lebesgue............ 7 1.2

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation

www.h-k.fr/publications/objectif-agregation «Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Texte Agrégation limitée par diffusion interne

Texte Agrégation limitée par diffusion interne Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Cours Fonctions de deux variables

Cours Fonctions de deux variables Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Le produit semi-direct

Le produit semi-direct Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

Equations aux Dérivées Partielles

Equations aux Dérivées Partielles Equations aux Dérivées Partielles Tony Lelièvre 29-2 Après avoir considéré dans le capitre précédent des équations d évolution pour des fonctions ne dépendant que du paramètre temps, nous nous intéressons

Plus en détail

Les indices à surplus constant

Les indices à surplus constant Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Théorie de la mesure. S. Nicolay

Théorie de la mesure. S. Nicolay Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques

Cours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

Espérance conditionnelle

Espérance conditionnelle Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire

Plus en détail

Introduction à la. Points Critiques. Otared Kavian. et Applications aux Problèmes Elliptiques. Springer-Verlag

Introduction à la. Points Critiques. Otared Kavian. et Applications aux Problèmes Elliptiques. Springer-Verlag Otared Kavian Introduction à la Théorie des Points Critiques et Applications aux Problèmes Elliptiques Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Budapest Avant propos

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche

Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Le théorème de Perron-Frobenius, les chaines de Markov et un célèbre moteur de recherche Bachir Bekka Février 2007 Le théorème de Perron-Frobenius a d importantes applications en probabilités (chaines

Plus en détail

1 Définition et premières propriétés des congruences

1 Définition et premières propriétés des congruences Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon

Plus en détail

RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire

RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire RO04/TI07 - Optimisation non-linéaire Stéphane Mottelet Université de Technologie de Compiègne Printemps 2003 I Motivations et notions fondamentales 4 I1 Motivations 5 I2 Formes quadratiques 13 I3 Rappels

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions.

Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions. Problèmes mathématiques de la mécanique/mathematical problems in Mechanics Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions. Cristinel Mardare Laboratoire

Plus en détail

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables

Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

On ne peut pas entendre la forme d un tambour

On ne peut pas entendre la forme d un tambour On ne peut pas entendre la forme d un tambour Pierre Bérard Institut Fourier Laboratoire de Mathématiques Unité Mixte de Recherche 5582 CNRS UJF Université Joseph Fourier, Grenoble 1 Introduction 1.1 Position

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½

Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½ Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½ Patrick Ciarlet et Vivette Girault ciarlet@ensta.fr & girault@ann.jussieu.fr ENSTA & Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris 6 Condition

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Équations non linéaires

Équations non linéaires Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et

Plus en détail

Mesures gaussiennes et espaces de Fock

Mesures gaussiennes et espaces de Fock Mesures gaussiennes et espaces de Fock Thierry Lévy Peyresq - Juin 2003 Introduction Les mesures gaussiennes et les espaces de Fock sont deux objets qui apparaissent naturellement et peut-être, à première

Plus en détail

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation

Plus en détail

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007 Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses Guillaume Martinez 17 décembre 2007 1 Table des matières 1 Le projet 3 1.1 Objectif................................ 3 1.2 Les choix techniques.........................

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues

Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

Formation à la C F D Computational Fluid Dynamics. Formation à la CFD, Ph Parnaudeau

Formation à la C F D Computational Fluid Dynamics. Formation à la CFD, Ph Parnaudeau Formation à la C F D Computational Fluid Dynamics Formation à la CFD, Ph Parnaudeau 1 Qu est-ce que la CFD? La simulation numérique d un écoulement fluide Considérer à présent comme une alternative «raisonnable»

Plus en détail

Cours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse 3 Fonctions de plusieurs variables Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet pujo@math.univ-lyon1.fr

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Espaces de Sobolev et introduction aux équations aux dérivées partielles

Espaces de Sobolev et introduction aux équations aux dérivées partielles Espaces de Sobolev et introduction aux équations aux dérivées partielles A. Munnier 1 Institut Élie Cartan 27-28 1 Maître de conférences, Institut Élie Cartan, Université Henri Poincaré, Nancy 1, B.P.

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif

Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique

ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION. Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique 1 ANALYSE NUMERIQUE ET OPTIMISATION Une introduction à la modélisation mathématique et à la simulation numérique G. ALLAIRE 28 Janvier 2014 CHAPITRE I Analyse numérique: amphis 1 à 12. Optimisation: amphis

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Deux disques dans un carré

Deux disques dans un carré Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................

Plus en détail

PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE

PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE Université Paris VII - Agrégation de Mathématiques François Delarue) PRIME D UNE OPTION D ACHAT OU DE VENTE Ce texte vise à modéliser de façon simple l évolution d un actif financier à risque, et à introduire,

Plus en détail