Mathématiques I Section Architecture, EPFL

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1 Examen, semestre d hiver Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même avec les feuilles de brouillon supplémentaires, que vous glisserez à la fin de l épreuve entre les pages de ce cahier. Pour chaque question, expliquez clairement votre démarche et mettez le résultat final en évidence. Le raisonnement est au moins aussi important que la solution dans l attribution des points. Simplifiez vos réponses et donnez des valeurs exactes (à l aide de fractions, de racines, et de constantes mathématiques). Les réponses illisibles ne seront pas comptabilisées. Matériel autorisé: Tables Crm (édition du Tricorne) et dictionnaire de langues (version imprimée), sans autres annotations qu un surlignage éventuel. Pas d autres documents, pas de machine à calculer. Pr. 1. Pr. 2. Pr. 3. Pr. 4. Pr. 5. Pr. 6. Pr. 7. Pr. 8. Pr. 9. Total 1 le 26 janvier 2012

2 Problème 1. Démontrer par récurrence que pour tout entier n 1, on a l égalité n (3n + 5) = n (n + 2) (n + 1)(n + 2). 2 le 26 janvier 2012

3 Problème 2. On considère un capital de CHF déposé sur un compte dont l intérêt est de k mensuel (représentant un pourcentage: par exemple k = 0.02 = 2%). (a) Donner la formule qui permet de calculer le montant sur ce compte au bout de 1 mois, 2 mois, n mois, et au bout de N années. (b) Donner la valeur de k pour qu au bout d une année le capital accumulé sur ce compte soit le même que le capital accumulé à un taux annuel de 3%. Problème 3. Un cône droit est fabriqué en découpant un secteur d angle θ [radians] dans un disque, et en recollant les deux demi-rayons ainsi obtenus. Calculer le demi-angle d ouverture α du cône (i.e. l angle entre l axe du cône et une de ses génératrices) comme fonction de θ. Détaillez votre raisonnement. θ r 3 le 26 janvier 2012

4 Problème 4. (a) Donner la valeur y dans y = arccos( 3 2 ). (b) Donner la mesure en radians de l angle α = 165. (c) Calculer cos( π 12 ) avec la formule du demi-angle. (d) Calculer cos( π 12 ) avec la formule de la somme (ou la différence) des angles. 4 le 26 janvier 2012

5 Problème 5. On considère un triangle isocèle ABC avec AB = AC et BC = 1, ainsi qu un point P sur AB avec P B = x et P A = 1 (et 0 < x < AB). A (a) Déterminer la longueur x pour que les triangles ABC et CP B soient des triangles semblables. (b) Trouver la valeur exacte de l angle α = BCP en degrés dans le cas où ABC et CP B sont semblables. Expliquer votre raisonnement. B 1 (c) Trouver la valeur exacte de sin( α 2 ) (utiliser (a) et (b) si nécessaire). P x 1 1+x C 5 le 26 janvier 2012

6 Problème 6. Calculer les dérivées des fonctions suivantes: (a) f(x) = x 1 3x ; (b) g(x) = ln(x + x 2 + 1); (c) h(x) = 1 arctan(x) ; 6 le 26 janvier 2012

7 Problème 7. (a) Trouver x pour lequel la figure grise ci-dessous est d aire maximale, où l arche est une parabole d équation y = 1 x 2 : 1 x 1 1 (b) Donner un argument mathématique justifiant le fait qu il s agit bien d un maximum, et non par exemple d un minimum. 7 le 26 janvier 2012

8 Problème 8. Soit f(x) = x 3+x 2. (a) Donner les deux premières dérivées de f. (b) Donner les zéros de f, f et f. (c) Établir le tableau des variations de f. (d) Donner les abscisses des maxima locaux de f. (e) Donner les abscisses des points d inflexions de f. (f) Esquisser le graphe de f. 8 le 26 janvier 2012

9 Problème 9. (a) Calculer 3 4x 1 x3 dx. (b) Calculer l aire entre la courbe f(x) = 4x x 3, l axe Ox, et les droites verticales x = 1 et x = 3. 9 le 26 janvier 2012

10 10 le 26 janvier 2012

11 11 le 26 janvier 2012

12 12 le 26 janvier 2012

13 Formulaire Le polynôme d interpolation passant par les points (0, y 0 ), (1, y 1 ), (2, y 2 ),..., (n, y n ) est p(x) = y 0 + x 1 y 0 + Les formules de demi-angle sont: x(x 1) 2 y x(x 1)... (x n + 1) n y n sin( x 2 ) = ± 1 cos(x) 2, cos( x 2 ) = ± 1+cos(x) 2. Les formules de transformation de produit de fonctions trigonométriques en somme sont: sin(x) cos(y) = 1 2 (sin(x y) + sin(x + y)), sin(x) sin(y) = 1 2 (cos(x y) cos(x + y)), cos(x) cos(y) = 1 2 (cos(x y) + cos(x + y)). Les formules de transformation de somme de fonctions trigonométriques en produit sont: sin(u) + sin(v) = 2 sin( u+v u v 2 ) cos( cos(u) + cos(v) = 2 cos( u+v u v 2 ) cos( cos(u) cos(v) = 2 sin( u+v 2 Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses sont: arcsin (x) = 1 1 x 2, arccos (x) = La série de Taylor en x 0 d une fonction f est: 2 ) 2 ) ) sin( u v 2 ). 1 1 x 2, arctan (x) = x 2 f(x) = f(x 0 ) + (x x 0) 1! f (x 0 ) + (x x 0) 2 2! f (x 0 ) + (x x 0) 3 3! f (x 0 ) le 26 janvier 2012