L ALGORITHMIQUE. Algorithme

Save this PDF as:
Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "L ALGORITHMIQUE. Algorithme"

Transcription

1 L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques exemples. J ai regroupé ici ces exemples mais en fait, ce n est pas une leçon. Un algorithme répond toujours au schéma général suivant : Algorithme Les entrées Le traitement Les sorties Nous utiliserons trois types d actions : Les affectations : initialisations des variables du problème, placement dans une variable d un résultat de calcul etc. : Mettre 15 dans la variable X par exemple. Les tests : Ils aurons tous la forme suivante : Si condition C vraie alors faire ACTION 1 sinon faire ACTION. Ils seront utilisés dans le traitement essentiellement. Les itérations ou répétitions : nous les mettrons sous la forme : Tant condition C vraie faire ACTION. Ou Faire ACTION jusqu à ce que C soit réalisée. Ceci permet de faire plusieurs fois la même action. Nous pouvons évidemment imbriqués ces trois actions, c est-à-dire à l intérieur d un «si» mettre une itération que l on appelle aussi «une boucle» ou bien mettre un autre «si» dans un «si» et aussi faire des affectations à tout moment. Un célèbre théorème d informatique dit : «Avec ces trois types d actions, nous pouvons résoudre tous les problèmes scientifiques» Ce théorème n est pas démontré mais il n a jamais jusqu à présent été infirmé par un exemple! Nous allons voir une dizaine d exemples d algorithmes traitables dans diverses leçons : Calculs et fonctions, géométrie, statistiques ou probabilités. Nous utiliserons EXCEL pour montrer comment nous pouvons mettre en œuvre ces algorithmes et donc après avoir regardé les deux ou trois premiers, à titre d exercices, vous devez essayer de trouver vous-même l algorithme répondant au problème posé puis le mettre en œuvre dans Excel. Pour le premier exemple, nous montrerons que l on peut programmer sa machine (Texas ou Casio). Certains de mes élèves s étaient mis à programmer des jeux assez compliqués. Voici les énoncés, puis dans la correction, vous trouverez l algorithme et sa mise en œuvre dans une feuille Excel. Bon courage, vous allez voir, on se prend facilement au jeu!

2 Exercice 1 «A la recherche d un entier inconnu» Dans une variable N, nous entrons un entier compris entre 1 et Tu dois trouver cet entier en proposant des entiers M à l invite : «Entrez un nombre entier» et nous devons répondre : «Tu as choisi trop grand» ou «Tu as choisi trop petit» et indiquer à quel moment tu auras trouvé le nombre mystérieux si cela est le cas. Montrer le programme sous Casio puis sous Texas. Mettre en œuvre l algorithme trouvé dans Excel en fixant par exemple 10 coups. Exercice «Seulement des affectations» (Facile) Ecrire un algorithme permettant de fabriquer la quantité (x + 3). Réaliser dans Excel et tracer la courbe représentant la fonction f(x) = (x + 3). Exercice 3 «Recherche des racines d une fonction donnée». On appelle racine d une fonction f de x toute valeur de la variable x qui annule la fonction f. Autrement dit, x est racine de f si et seulement si f(x) = 0. Soit f la fonction polynôme de degré 3 définie par f(x) = x 3 x + x + 5. Nous voulons chercher si cette fonction f a des racines dans l intervalle [ 5 ; 5]. Ecrire l algorithme qui va chercher les racines avec un pas de calcul de 0,5 et qui indiquera le nombre des racines. Cet algorithme devra afficher une valeur approchée à 0,5 prés par défaut de chaque racine. Réaliser cet algorithme dans Excel. (Montrer aussi le tracé de la courbe) Exercice 4 «Tous les diviseurs d un entier donné». Ecrire l algorithme donnant tous les diviseurs d un entier donné. Réaliser cet algorithme dans Excel (Voir Bonus). Exercice 5 «PGCD et PPCM». Ecrire l algorithme donnant le PGCD de deux entiers a et b (méthode des différences). Cet algorithme devra à la fin donner aussi le PPCM des deux entiers choisis. Réaliser dans Excel avec les entiers 40 et 150. Exercice 6 «Degrés Radians». Ecrire l algorithme qui transforme la mesure en degré d un angle en sa mesure en radian. Puis perfectionner l algorithme trouvé pour obtenir la mesure principale. Réaliser les deux algorithmes dans Excel. Exercice 7 «Partage d un triangle en deux parties de même aire». Soit un triangle (ABC), AC = 6, AB = 4 et mes Travaux préparatoires : Calculer la longueur de la hauteur [BI]. Calculer l aire de (ABC). C ÂB = 60.

3 Nous voulons partager (ABC) en deux parties en utilisant une perpendiculaire à [AC]. Soit un point J de [AC], nous posons AJ = x. La perpendiculaire à [AC] passant par J coupe selon le cas [AB] en M 1 ou bien [BC] en M. Dans quel intervalle x va-t-il varier? Montrer qu il y a deux cas à envisager pour le calcul des aires et montrer les deux cas de figure. Si 0 x, calculer la longueur JM 1 puis l aire de (AJM 1 ). Si < x 6, calculer, avec le théorème de Thalès, la longueur J M puis l aire de (J M C). Démontrer que la valeur de x cherchée appartient à [ ; 6]. Ecrire alors l algorithme permettant de déterminer à 0,1 prés, la valeur de x qui va permettre en traçant la perpendiculaire à [AC] de partager le triangle en deux parties de même aire. Réaliser cet algorithme dans Excel. Utiliser CABRI GEOMETRE pour illustrer ce problème. Exercice 8 «Un lieu géométrique». Dans un repère orthonormal de (P), nous prenons deux points M et N tels que M se déplace sur l axe des abscisses dans l intervalle [0 ; 6] et N se déplace sur l axe des ordonnées dans l intervalle [0 ; 6] avec x M + y N = 6. Nous posons OM = x, exprimer les coordonnées de M et N en fonction de x. Nous voulons étudier comment se déplace le milieu de [MN] lorsque M et N varie dans les conditions exposées ci-dessus. Ecrire un algorithme donnant les coordonnées de I en fonction de x quand x varie dans l intervalle [0 ; 6]. Réaliser dans Excel en calculant x I et y I et montrer la courbe sur laquelle se déplace I quand x varie entre 0 et 6. Exercice 9 «Vecteurs colinéaires ou pas?». Soit u r (a ; b) et v r (a ; b ) dans un repère orthonormal de (P). Ecrire un algorithme permettant de savoir si u r et v r sont ou ne sont pas colinéaires. Tester cet algorithme dans Excel. Exercice 10 «Une étude statistique». (Nous faisons une enquête dans la classe.) J ai demandé à un échantillon d élèves de la classe (18 sur 35, enquête au 1 sur ) «le nombre de Km pour venir au Lycée en arrondissant au Km le plus proche). Enquête : Ecrire un algorithme permettant de saisir ces données et de calculer la moyenne. Illustrer dans Excel en présentant, un tableau où les données sont classées par ordre croissant puis calculer Mo, Mé et x. Donner ensuite un diagramme à bâtons.

4 Correction Exercice 1 Voici l algorithme Afficher : «Nous cherchons un nombre entier compris entre 1 et 1000» Entrées Mettre dans N, E(1000*alea() +1) (alea() nombre aléatoire dans l intervalle ]0 ;1[) Faire Afficher le message : «Entrez un nombre entier» ; Mettre dans M le nombre choisi par l utilisateur ; Traitement Si M > N alors Afficher : «Tu as choisi trop grand» sinon Si M = N alors afficher : «Tu as gagné!» sinon afficher : «Tu as choisi trop petit» ; Jusqu'à ce que M = N ; Sorties Afficher : «Le nombre mystérieux était», M Nous utilisons la fonction partie entière E pour fabriquer un entier à partir d un nombre aléatoire compris entre 0 et 1. Dans le traitement, nous avons si imbriqués en effet, il y a trois cas possibles M > N ou M = N ou enfin M < N. Dans le traitement, nous avons une boucle en effet, les tests se déroulent tant que le nombre n est pas trouvé. En programmation CASIO cela donne : INT(1000*ran#+1) N (0 < ran# < 1 ; 0 < 1000*ran# +1 < 1001 )( validation) DO (Début de la boucle) Entrez un entier compris entre 1 et 1000 (message affiché)? M (Nous plaçons le nombre tapé dans M) IF M > N (Début du premier test) THEN «Tu as choisi trop grand» ELSE IF M=N (Deuxième test) THEN «Tu as gagné!» ELSE «Tu as choisi trop petit» IF END IF END (Fin des tests) LP WHILE M = N (Fin de la boucle) «FIN» Avec une TEXAS, le programme est sensiblement le même : PROGRAM «NB MYST» : Int(1000*rand+1) N : REPEAT M = N : OUTPUT( Entrez un entier compris entre 1 et 1000 ) PROMPT M : IF M > N : THEN OUTPUT(«Tu as choisi trop grand») : ELSE IF M=N : THEN OUTPUT(«Tu as gagné!»)

5 : ELSE OUTPUT(«Tu as choisi trop petit») : END : END : END : OUTPUT(«FIN») Dans Excel Le nombre Mysterieux Choisi par la machine en A13 puis recopié avec la poignée vers le bas autant de fois que nécessaire Nous entrons des entiers M dans la colonne B et C sert pour les tests (=ent(1000*alea()+1) puis on appuie sur f9 pour que dans la recopie la valeur ne change pas) (Lors du jeu, on pourra obscurcir cette colonne avec la couleur noire) (Le test en contient, si M=N alors nous affichons "Gagné" (sinon nous guidons la recherche en indiquant "Trop haut" ou "Trop bas") (=SI(A15=B15;"Gagné";SI(A15<B15;"Trop haut";"trop bas"))) A B C D E F 1 N M Test Trop bas Trop haut Trop bas etc etc etc etc etc etc etc etc etc etc etc etc 837 etc etc etc etc etc etc etc etc etc etc Gagné (On entre les nombres M en B puis on recopie les tests C vers le bas) Ici, nous avons 15 essais simulés. Exercice Cet algorithme est très simple : Il ne contiendra que des affectations de variables. (x + 3) = 4x + 1x + 9. (Identité remarquable (a + b) ) Il y a deux façons de fabriquer le résultat de cette fonction et voici les deux algorithmes qui en découlent. Algorithme 1. Entrée Mettre un nombre réel dans a ; Mettre 4*a dans b ; Traitement Mettre 1*a dans c ; Mettre 9 dans d ; Sortie Afficher : b + c + d.

6 Algorithme. Entrée Mettre un nombre réel dans a ; Mettre *a dans b ; Traitement Mettre 3 dans c ; Mettre b + c dans d ; Sortie Afficher d. Il s agit en fait de «deux automates ou machines» réalisant un calcul. Dans Excel : Tracer d'une parabole f(x) = (x + 3)² x x x+3 (x+3)² Si on veut mettre en évidence la symétrie alors, il faut un tableau de valeurs symétrique par rapport à x = -1,5. (par exemple, -11,5;8,5) (Voir les valeurs de f pour - et -1;-3 et 0 etc.) (Faire la même chose avec f(x) = 4x² + 1x + 9, c'est-à-dire l'autre automate de calcul) (On obtient évidemment la même courbe) Exercice 3 f(x) = x 3 x + x + 5. Nous voulons chercher si cette fonction f a des racines dans l intervalle [ 5 ; 5]. Nous cherchons donc x [ 5 ; 5] tels que f(x) = 0.

7 L algorithme est nettement plus difficile. Mettre 5 dans a ; Mettre 5 dans b ; (Nous entrons les bornes de l intervalle d étude) Entrées Mettre 5 dans x ; (x la variable pour le traitement) Mettre 0 dans N (N le nombre des racines) Tant que x b Mettre x^3 x^ + x + 5 dans F. Mettre (x + 0,5)^3 (x + 0,5)^ + (x + 0,5) + 5 dans G. Traitement Si F*G 0 Alors «nous avons trouvé une racine» ; Mettre x dans R[N] ; (R est un tableau contenant) N reçoit N+1 ; (les racine trouvées :) Sinon x reçoit x + 0,5 ; (R[1] première racine) Fin de tant que (R[] la deuxième etc ) Sorties Si N = 0 Alors affichons «Pas de racine dans l intervalle [ 5 ; 5] Sinon de 1 à N, affichons R[N]. Le test est basé sur le fait le calcul de f(x) avant et après une racine va donner deux nombres de signes contraires (F*G 0). Dans Excel Les racines de f(x) = x^3-x^+x+5 dans l'intervalle [- 5;5] x f(x) f(x+0,5) ,88 pas de racine dans [ -5-4,5 ] -4,5-110,88-79 pas de racine dans [ -4,5-4 ] ,65 pas de racine dans [ -4-3,5 ] -3,5-53,65-34 pas de racine dans [ -3,5-3 ] ,375 pas de racine dans [ -3 -,5 ] -,5-19,375-9 pas de racine dans [ -,5 - ] ,15 pas de racine dans [ - -1,5 ] -1,5 -,15 On a une racine dans. [ -1,5-1 ] -1 4,15 pas de racine dans [ -1-0,5 ] -0,5 4,15 5 pas de racine dans [ -0,5 0 ] 0 5 5,375 pas de racine dans [ 0 0,5 ] 0,5 5,375 6 pas de racine dans [ 0,5 1 ] 1 6 7,65 pas de racine dans [ 1 1,5 ] 1,5 7,65 11 pas de racine dans [ 1,5 ] 11 16,875 pas de racine dans [,5 ],5 16,875 6 pas de racine dans [,5 3 ] ,15 pas de racine dans [ 3 3,5 ] 3,5 39,15 57 pas de racine dans [ 3,5 4 ] ,375 pas de racine dans [ 4 4,5 ] 4,5 80, pas de racine dans [ 4,5 5 ] ,63 pas de racine dans On peut ensuite affiner la recherche en changeant l'intervalle d'étude.

8 Ici par exemple, nous prendrions [-1,5:-1] avec comme pas 0,1 Le test : =SI(B5*C5 0;"On a une racine dans ";"pas de racine dans ") Si nous affinons la recherche : f(-1,3) = -0,187 et f(-1,)=0,63 f(-1,8)=-0,015 et f(-1,7)=0,0687 etc. Exercice 4 Dans N, un nombre b est diviseur de a si et seulement si a = bq, q N (q quotient). Remarque : si b n est pas un diviseur de a alors nous avons a = bq + r (égalité caractéristique de la division euclidienne) r est le reste de la division que l on n a pas poussée après la virgule, 0< r b 1. Exemple : 5 divise 30, nous pouvons écrire 30 = 6 x 5. (q = 6) 5 ne divise pas 34, nous écrivons 34 = 6 x (q = 6 et r = 4) Voici l algorithme : Mettre l entier choisi dans a ; Entrées Mettre 1 dans b ; (1 sera le premier diviseur testé) Mettre 0 dans NB ; (NB le nombre de diviseurs de a) Tant que b E(a/) (Nous arrêtons la recherche à) Mettre E(a/b) dans q ; (la moitié de a car tous les diviseurs) Mettre a bq dans r ; (auront été trouvés) Si r = 0 Traitement Alors afficher le diviseur b ; NB devient NB+1 ; (Incrémentation du compteur NB) Sinon ne rien afficher ; b devient b+1 ; (On passe au nombre b suivant) Fin de tant que Afficher le dernier diviseur a ; (a n est pas trouvé si on arrête à E(a/)) Nb devient NB + 1 ; Sorties Afficher le nombre NB de diviseurs. (Les diviseurs ont été affichés au) (cours du traitement)

9 Dans Excel : Chercher les diviseurs d'un entier donné Exemple a = 4 A B C D 5 a b E(a/b) test Dans la cellule B6 : Dans B7 :=B6+1 puis recopie vers le bas Dans C6 : =ENT(A6/B6) puis recopie vers le bas Dans D6, le test : =SI(A6-(B6*C6)=0;B6;"") puis recopie vers le bas Nous ajoutons 4 qui ne peut pas être trouvé Dans D0 : =D17-D6+1- NB.VIDE(D6:D17) (Comptabilisation des diviseurs) et 4 8 diviseurs Nous savons décomposer un entier en facteur premier. Par exemple 4 = (^3) (3). Il existe un théorème disant : si la décomposition est de la forme n = (a α ) (b β ) alors, le nombre des diviseurs est donné par NB = (α +1)(β + 1) (Théorème démontré en TS) en l'occurrence ici : NB = (4)() = 8 diviseurs. L'algorithme ci contre ne donne pas 4 l'entier lui même car nous le stoppons à la moitié de 4 pour gagner du temps. Au fait, il y a un autre théorème (de TS) donnant la liste des diviseurs : Si n = (a α ) (b β ) alors la liste des diviseurs de n est donnée par : (1 + a 1 + a a α )(1 + b 1 + b b β ) = Dans notre exemple ceci donne : ( )(1 + 3) = ( )(1 + 3) = Nous avons bien les 8 diviseurs écrits dans le désordre.

10 Exercice 5 Nous devons écrire un algorithme donnant le PGCD de deux entiers par la méthode des différences. Mettre le premier entier dans a ; Les Entées Mettre le deuxième entier dans b ; Mettre a dans A ; (Nous conservons les valeurs initiales) Mettre b dans B ; (de a et b) Tant que a b Si a > b Alors mettre a b dans a Le Traitement Sinon mettre b a dans b ; Fin de tant que (Une boucle et un test) Les Sorties Afficher : «Le PGCD des deux entiers est», a. Afficher : «Le PPCM des deux entiers est», (A*B)/a. (Il y a un théorème disant : a N et b N ; (a)(b) = PGCD(a ;b) * PPCM(a ;b)) PGCD de deux nombres (méthode des différences) Exemple : PGCD(40;150) a b Nous entrons les deux nombres entiers a et b en dessous de chaque nombre, nous effectuons un test : en dessous de 40 :=SI(A5>B5;A5-B5;A5) en dessous de 150 :=SI(A5>B5;B5;B5-A5) (40 en A5 et 150 en B5) Nous recopions vers le bas tant que les deux colonnes n'affichent pas le même nombre. Le PGCD(40;150) est : 30 PPCM (40 ;150) = 100 ( =(A5*B5)/A9) A vous de retrouver ces résultats en utilisant les décompositions en facteurs premiers. Exercice 6 π x Nous savons que 180 vaut π radians donc x degrés vaudra :. 180 π 60 π Par exemple 60 vaut = radians soit environ 1,047 radians D abord, nous allons donner l automate de calcul qui transforme les degrés en radians, il est très simple puis nous écrirons un autre algorithme donnant la mesure principale de l angle. Définition : on appelle mesure principale d un angle, la mesure α P comprise entre π et π. Donc : Un angle a une infinité de mesure α K, α k = α P + kπ α P ] π ; π] (k Z, le nombre de tours dans un sens ou dans l autre sur le cercle trigonométrique)

11 Exemple : 6 π (30 ) est une mesure principale. Les autres mesures sont données par : π α k = + kπ, 6 k Z si k = 0 on trouve α P = 6 π π 13 π si k = 1 on trouve α 1 = + π = 6 6 (30 ) (390 ) π 11π si k = 1 on trouve α 1 = π = ( 330 ) 6 6 π 5 π si k = on trouve α = + 4π = 6 6 (750 ) etc. Premier algorithme (Il n y a que des affectations). Entrée Mettre dans α la mesure de l angle en degrés Traitement Mettre dans α R, (π*α)/180 Sortie Afficher : L angle en radians vaut, α R. Avec Excel Transformer des degrés en radians (=(A6*PI())/180) α en α en rd puis recopie vers le bas ,1745 tableau valable pour 0 0, α , ,6981 (On donne avec 4 décimales) 50 0, , , , , , , , , , , , , ,1416

12 Pour le ième algorithme, plus difficile car il faut se ramener dans l intervalle ] 180 ; 180] avant de faire la conversion. Entrées Mettre la mesure en degrés dans α ; Mettre α dans a ; Si a 180 Alors Tant que a 180 Mettre dans a, a ; Fin de Tant que Traitement Sinon Si a > 180 Alors Tant que a > 180 Mettre dans a, a 360 ; Fin de Tant que ; Mettre a dans α P ; (mesure principale en degrés) Mettre (α P * π)/180 dans α Pr ; (mesure principale en radians) Sortie Afficher «α degré représente comme mesure principale en radians»,α Pr. Dans Excel Afficher la mesure principale d'un angle α donné α αp en α en radians Test :=SI(A4<=-180;A4+360;SI(A4>180;A4-360;A4)) ,8068 En A5 :=B4. La recopie assure le tant que , ,536 La mesure principale en radians ,536 se trouve dans ] -3,1416 3,1416 ] ,3963 (Remarque : Pour Pi, on tape =Pi()) , ,795 Exercice 7 Il y a un travail préparatoire à effectuer avant d écrire l algorithme. Voici les deux cas de figure : x

13 π Calculons BI hauteur du triangle (ABC) : sin = 3 3 = BI AB donc BI = 4 3, BI = 3. AC BI 6 3 Calculons l aire de (ABC) : Aire(ABC) = = = 6 3. x va varier dans l intervalle [0 ;6] en effet J se trouve sur [AC]. Les figures ci-dessus nous montrent bien deux cas pour le calcul des aires : Soit J [AI] ou bien J [IC] et nous l avons appelé J dans ce cas là. π AI 1 Calculons AI dans le triangle ABI : cos = = donc AI = AB soit AI = 4, AI =. 3 AB Les deux cas à envisager sont donc : 1) x [0 ;] ou bien ) x ] ;6]. Etude du premier cas : x [0 ;] π Calculons M 1 J : tan = 3 M1J 3 = AJ et donc M 1 J = x 3. AJ JM Calculons l aire de (AJM 1 ) : Aire(AJM 1 ) = 1 (x)(x 3) x 3 = =. Etude du deuxième cas : x [ ;6]. Pour le deuxième cas, cherchons la longueur J M Dans le triangle (CBI), [J M ] est parallèle à [BI], appliquons le théorème de Thalès : CJ JM 6 x J M = 3(6 x) = et donc 4J M = 3(6 x) donc J M =. CI BI 4 3 J M J C L aire de (J M C) sera : Aire(J M C) = 3(6 x)(6 x) 3(6 x) = =. 4 4 Démontrons que, pour réaliser le partage demandé en deux aires égales, x doit être dans x 3 x 3 l intervalle ] ;6]. En effet, si x [0 ;], alors Aire(AJM 1 ) =. La fonction f, est x 3 une fonction croissante sur [0 ; ] (Si x augmente, augmente). Or pour x =, cette aire 4 3 vaut = 3 inférieur à la moitié de l aire de (ABC) qui vaut 3 3. Le partage demandé sera réalisé dans le deuxième cas quand x [ ;6]. L algorithme qui trouve une valeur approchée de x sera : Mettre 6 3 dans Aire(ABC) ; Mettre dans x ; Les Entrées Traitement 3(6 x) Mettre dans J M ; Mettre 0,5(J M )(6-x) dans Aire(J M C) ; Mettre faux dans trouvé (TROUVE est un booléen) Tant que non trouvé (qui vaut vrai ou faux) Si Aire(J M C) 3 3 < 0 Alors «Nous avons trouvé une valeur approchée de x cherché» Mettre x dans x C ; Mettre trouvé à vrai Sinon x devient x + 0,1 ; Fin de tant que ;

14 Sorties Afficher «La valeur approchée de x qui réalise le partage de (ABC) en deux parties ayant ma même aire est», x C. Dans Excel Un triangle partagé en deux parties de même aire. Soit un triangle ABC avec AB = 4; AC = 6 et l'angle A de 60 Nous voulons partager ce triangle en deux en traçant une perpendiculaire ( ) à [AC] Soit J le pied de cette perpendiculaire, J est sur le segment [AC]. Nous posons AJ = x. ({M} = ( ) [AB] et I le pied de la hauteur partant de B) MJ la longueur de la perpendiculaire entre les côtés AC et AB quand x> AC =6 AB = 4 BI = 3 Aire(ABC) = 10, x AJ ou JC A(G) A(D) test ,39305 Dans A1, 0. 0,1 0,1 0, , Dans A13, =A1+0,1 0, 0, 0, , puis copie vers le bas 0,3 0,3 0, , ,4 0,4 0, ,53741 Dans B1,=SI(A1<=;A1;6-A1) 0,5 0,5 0, , (AJ ou CJ) 0,6 0,6 0, , ,7 0,7 0,4435 9, Dans C1, 0,8 0,8 0,5546 9, =SI(A1<=;0,5*A1*A1*(3)^0,5 0,9 0,9 0, , ;$H$9-0,5*B1*B1*3^0,5) 1 1 0, ,56794 (Calcul aire gauche A(G)) 1,1 1,1 1, , , 1, 1,4708 9,14583 Dans D1, 1,3 1,3 1, ,98719 =SI(A1<=;$H$9-0,5*A1*A1*3^0,5 1,4 1,4 1, , ;0,5*(6-A1)^*3^0,5) 1,5 1,5 1, , (Calcul aire droite A(D)) 1,6 1,6,1703 8, ,7 1,7,5081 7, Dans la colonne E TEST 1,8 1,8,8059 7, =SI(C1-D1>0;"oui";"") 1,9 1,9 3,1635 7, On arrête la recopie lorsque le premier"oui" 3,4641 6,9803 apparaît.,1 3,9 3, ,58613, 3,8 4,1396 6,57034 puis recopie vers le bas,3 3,7 4, ,979439,4 3,6 4, , ,5 3,5 5,0879 5, Valeur approchée réalisant le partage demandé,6 3,4 5, , oui x,60,7 3,3 5,6768 4, ,8 3, 5,9585 4, ,9 3,1 6,3105 4, , , etc Nous pouvons terminer en cherchant la valeur exacte de x.

15 Nous devons résoudre l équation suivante : Cherchons x [ ;6] tel que : Aire(J M C) = 1 Aire(ABC) soit 3(6 x) = 3 3 (6 x) = 1 et donc 6 x = 1 ou 6 x = 1 4 x = 6 1 = 6 3,536 ou x = = [ ;6]. Illustration dans Cabri géomètre Exercice 8 «Un lieu géométrique». Avant de donner l algorithme, démontrons que I se déplace sur un segment de droite. Nous avons M(x ; 0) et N(0 ; 6 x) car nous devons avoir x M + y N = 6. x [0 ;6]. Calculons les coordonnées du milieu du segment [MN] x I = x M + x N = x ; y I = ym + y N = 6 x x [0 ;6]. x y I = 3 = 3 x I la relation qui relie x I à y I est de la forme y = ax + b. x [0 ;6] et y = 3 x ; il s agit bien d un segment de droite. I appartient donc à un segment. Réciproquement, tous les points du segment trouvé conviennent en effet, nous avons raisonné par équivalence. Voyons l algorithme : Les Entrées Mettre 0 dans x M ; Mettre 6 x M dans y M ; Tant que x M 6 Mettre dans x I, x M / ; Mettre dans y I, (6 x M )/ ;

16 Le Traitement Afficher les coordonnées de I, x I et y I ; Entrer dans un traceur de courbe, les deux coordonnées ; x M devient x M + 0, ; (Si on prend un pas de 0,) Fin de tant que ; La Sortie Joindre les points obtenus dans le traceur de courbe. Dans Excel Etude du milieu d'un segment MN sachant que xm+ym=constante xm ym xn yn xi yi , 0 0 5,8 0,1,9 0, ,6 0,,8 0, ,4 0,3,7 0, , 0,4, ,5,5 1, 0 0 4,8 0,6,4 1, ,6 0,7,3 1, ,4 0,8, 1, , 0,9, , 0 0 3,8 1,1 1,9, ,6 1, 1,8, ,4 1,3 1,7, , 1,4 1, ,5 1,5 3, 0 0,8 1,6 1,4 3,4 0 0,6 1,7 1,3 3,6 0 0,4 1,8 1, 3,8 0 0, 1,9 1, , 0 0 1,8,1 0,9 4, ,6, 0,8 4, ,4,3 0,7 4, ,,4 0, ,5 0,5 5, 0 0 0,8,6 0,4 5, ,6,7 0,3 5, ,4,8 0, 5, ,,9 0, Pour xm, initialisation à 0 puis incrementation de 0, jusqu'à 6. Pour yn, initialisation à 6 puis =6-A6 Pour ym et xn, 0 partout. Pour xi : =(A5+C5)/ Pour yi : =(B5+D5)/ y N N 4 I 3 1 N 3 I 1 I 3 M 1 M I 4 M 3 M x -1 Nous reconnaissons y = 3 - x Nous sélectionnons la colonne xi puis CTRL la colonne yi, appel de l'assistant graphique (Nuage de points)

17 Exercice 9 Deux vecteurs non nuls u r (a ; b) et v r (a ; b ) sont colinéaires si et seulement si : ab a b = 0. (Ils ont alors la même direction) Algorithme Mettre x u dans a ; Les Entrées Mettre y u dans b ; Mettre x v dans a ; Mettre y v dans b ; Si (a=0 et b= 0) Alors Afficher «u r et v r ne sont pas colinéaires» Sinon Si (a = 0 et b = 0) Alors Afficher «u r et v r ne sont pas colinéaires» Le Traitement Sinon Si ab a b = 0 Alors Afficher «u r et v r sont colinéaires» Sinon Afficher «u r et v r ne sont pas colinéaires» Les Sorties Elles ont été faites dans le traitement. Dans Excel, voyons quelques cas : Vecteurs colinéaires dans le plan (P) a b a' b' test non oui oui non oui Si l un des vecteurs est nul Alors, ils ne sont pas colinéaires. test de colinéarité : "=SI(ET(A5=0;B5=0);"non";SI(ET(C5=0;D5=0);"non";SI(A5*D5-B5*C5=0;"oui";"non")))". puis recopie vers le bas pour tester les données. le test est un peu compliqué car il y a des cas particuliers, nous avons 3 si imbriqués. Exercice 10 Le nombre de Km pour venir au Lycée en arrondissant au Km le plus proche). Enquête : N = 18 (Effectif total) Dans les entrées, nous aurons «un tant que» pour introduire les 18 valeurs de la variable.

18 Nous allons utiliser un tableau x de valeurs : x[1] pour 0 ; x[] pour 0 ; x[3] pour etc L algorithme est : Mettre 1 dans N ; Tant que N 18 Les Entrées Mettre une valeur de l enquête dans x[n] ; N reçoit N+1 ; Fin de Tant que ; Mettre 0 dans S ; Mettre 1 dans N ; Tant que N 18 Le Traitement Mettre dans S la valeur S + x[n] ; N reçoit N + 1 ; Fin de Tant que ; Sortie La moyenne de cette série sera, S/18. Dans Excel Traitements statistiques La série : xi ni % Mo= 0 km (=MODE(A:I3)) % 1 4 % Moy= 1,6 km (=MOYENNE(A:I3) 3 17% 4 1 6% Mé = 1 km (=MEDIANE(A:I3)) 6 1 6% 8 1 6% % =SOMME(B4:B9) Calculs% : =B6/$B$10 le $ permet de fixer 18 avant la recopie

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Leçon N 4 : Statistiques à deux variables

Leçon N 4 : Statistiques à deux variables Leçon N 4 : Statistiques à deux variables En premier lieu, il te faut relire les cours de première sur les statistiques à une variable, il y a tout un langage à se remémorer : étude d un échantillon d

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010

Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Université de Provence Introduction à l Informatique Licence Sciences et Technologies Examen janvier 2010 Année 2009-10 Aucun document n est autorisé Les exercices peuvent être traités dans le désordre.

Plus en détail

Activités numériques [13 Points]

Activités numériques [13 Points] N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point

Durée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point 03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de

Plus en détail

Complément d information concernant la fiche de concordance

Complément d information concernant la fiche de concordance Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction.

Seconde Généralités sur les fonctions Exercices. Notion de fonction. Seconde Généralités sur les fonctions Exercices Notion de fonction. Exercice. Une fonction définie par une formule. On considère la fonction f définie sur R par = x + x. a) Calculer les images de, 0 et

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG

EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG Exploitations pédagogiques du tableur en STG Académie de Créteil 2006 1 EXPLOITATIONS PEDAGOGIQUES DU TABLEUR EN STG Commission inter-irem lycées techniques contact : dutarte@club-internet.fr La maquette

Plus en détail

Découverte du tableur CellSheet

Découverte du tableur CellSheet Découverte du tableur CellSheet l application pour TI-83 Plus et TI-84 Plus. Réalisé par Guy Juge Professeur de mathématiques et formateur IUFM de l académie de Caen Pour l équipe des formateurs T 3 Teachers

Plus en détail

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.

PROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond. PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de

Plus en détail

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire

Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image

Plus en détail

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %

Exprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 % 23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b

a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007

Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007 Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

Corrigé des TD 1 à 5

Corrigé des TD 1 à 5 Corrigé des TD 1 à 5 1 Premier Contact 1.1 Somme des n premiers entiers 1 (* Somme des n premiers entiers *) 2 program somme_entiers; n, i, somme: integer; 8 (* saisie du nombre n *) write( Saisissez un

Plus en détail

Mathématiques I Section Architecture, EPFL

Mathématiques I Section Architecture, EPFL Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles)

1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles) 1/4 Objectif de ce cours /4 Objectifs de ce cours Introduction au langage C - Cours Girardot/Roelens Septembre 013 Du problème au programme I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d

Plus en détail

Les suites numériques

Les suites numériques Chapitre 3 Term. STMG Les suites numériques Ce que dit le programme : Suites arithmétiques et géométriques CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Suites arithmétiques et géométriques Expression du terme

Plus en détail

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une

C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe

Plus en détail

Deux disques dans un carré

Deux disques dans un carré Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................

Plus en détail

TRIGONOMETRIE Algorithme : mesure principale

TRIGONOMETRIE Algorithme : mesure principale TRIGONOMETRIE Algorithme : mesure principale Déterminer la mesure principale d un angle orienté de mesure! 115" Problèmatique : Appelons θ la mesure principale, θ et! 115" sont deux mesures du même angle,

Plus en détail

= constante et cette constante est a.

= constante et cette constante est a. Le problème Lorsqu on sait que f(x 1 ) = y 1 et que f(x 2 ) = y 2, comment trouver l expression de f(x 1 )? On sait qu une fonction affine a une expression de la forme f(x) = ax + b, le problème est donc

Plus en détail

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007

Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses. Guillaume Martinez 17 décembre 2007 Vision industrielle et télédétection - Détection d ellipses Guillaume Martinez 17 décembre 2007 1 Table des matières 1 Le projet 3 1.1 Objectif................................ 3 1.2 Les choix techniques.........................

Plus en détail

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin

Plus en détail

Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite.

Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Introduction : Avant de commencer, il est nécessaire de prendre connaissance des trois types de

Plus en détail

Equations cartésiennes d une droite

Equations cartésiennes d une droite Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la

Plus en détail

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.

Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Etude de fonctions: procédure et exemple

Etude de fonctions: procédure et exemple Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

Auto-Entreprise : Activités : Eric SOTY - Siret n 47868353500023. Formation Bureautique, continue d'adultes. Tél : 0953020032 - Fax : 0958020032

Auto-Entreprise : Activités : Eric SOTY - Siret n 47868353500023. Formation Bureautique, continue d'adultes. Tél : 0953020032 - Fax : 0958020032 Auto-Entreprise : Activités : Eric SOTY - Siret n 47868353500023 Formation Bureautique, APE : 8559A formation continue d'adultes. identité visuelle, charte T.V.A. non applicable, article 293 B du CGI.

Plus en détail

Feuille TD n 1 Exercices d algorithmique éléments de correction

Feuille TD n 1 Exercices d algorithmique éléments de correction Master Sciences, Technologies, Santé Mention Mathématiques, spécialité Enseignement des mathématiques Algorithmique et graphes, thèmes du second degré Feuille TD n 1 Exercices d algorithmique éléments

Plus en détail

5 ème Chapitre 4 Triangles

5 ème Chapitre 4 Triangles 5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du

Plus en détail

Proposition de programmes de calculs en mise en train

Proposition de programmes de calculs en mise en train Proposition de programmes de calculs en mise en train Programme 1 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve.

Plus en détail

Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007

Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 Petit lexique de calcul à l usage des élèves de sixième et de cinquième par M. PARCABE, professeur au collège Alain FOURNIER de BORDEAUX, mars 2007 page 1 / 10 abscisse addition additionner ajouter appliquer

Plus en détail

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux

315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité

Plus en détail

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =

AC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x = LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste

Plus en détail

Chapitre 14. La diagonale du carré

Chapitre 14. La diagonale du carré Chapitre 4 La diagonale du carré Préambule Examinons un puzzle tout simple : on se donne deux carrés de même aire et on demande, au moyen de quelques découpages, de construire un nouveau carré qui aurait

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

1 I ) Une première approche de l algorithme en seconde, saison 2010 _ 2011. Antoine ROMBALDI

1 I ) Une première approche de l algorithme en seconde, saison 2010 _ 2011. Antoine ROMBALDI 1 I ) Une première approche de l algorithme en seconde, saison 2010 _ 2011. Antoine ROMBALDI L objectif est de rendre les élèves capables : De décrire certains algorithmes en langage naturel. D en réaliser

Plus en détail

COURS ALGORITHMIE. Mathématiques. Le monde merveilleux des algorithmes!! Croyez-moi, vous allez les adorer. Julien Bordas T.S 3

COURS ALGORITHMIE. Mathématiques. Le monde merveilleux des algorithmes!! Croyez-moi, vous allez les adorer. Julien Bordas T.S 3 Mathématiques COURS ALGORITHMIE Le monde merveilleux des algorithmes!! Croyez-moi, vous allez les adorer Julien Bordas T.S 3 La Nativité Mathématiques A qui s adresse ce cours? COURS ALGORITHMIE Ce cours

Plus en détail

V- Manipulations de nombres en binaire

V- Manipulations de nombres en binaire 1 V- Manipulations de nombres en binaire L ordinateur est constitué de milliards de transistors qui travaillent comme des interrupteurs électriques, soit ouverts soit fermés. Soit la ligne est activée,

Plus en détail

Cours d algorithmique pour la classe de 2nde

Cours d algorithmique pour la classe de 2nde Cours d algorithmique pour la classe de 2nde F.Gaudon 10 août 2009 Table des matières 1 Avant la programmation 2 1.1 Qu est ce qu un algorithme?................................. 2 1.2 Qu est ce qu un langage

Plus en détail

Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014

Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 Correction du baccalauréat STMG Polynésie 17 juin 2014 EXERCICE 1 Cet exercice est un Q.C.M. 4 points 1. La valeur d une action cotée en Bourse a baissé de 37,5 %. Le coefficient multiplicateur associé

Plus en détail

Définition : On obtient les nombres entiers en ajoutant ou retranchant des unités à zéro.

Définition : On obtient les nombres entiers en ajoutant ou retranchant des unités à zéro. Chapitre : Les nombres rationnels Programme officiel BO du 8/08/08 Connaissances : Diviseurs communs à deux entiers, PGCD. Fractions irréductibles. Opérations sur les nombres relatifs en écriture fractionnaire.

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

SINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases

SINE QUA NON. Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases SINE QUA NON Découverte et Prise en main du logiciel Utilisation de bases Sine qua non est un logiciel «traceur de courbes planes» mais il possède aussi bien d autres fonctionnalités que nous verrons tout

Plus en détail

Le seul ami de Batman

Le seul ami de Batman Le seul ami de Batman Avant de devenir un héros de cinéma en 1989, Batman est depuis plus de 50 ans un fameux personnage de bandes dessinées aux États-Unis. Il fut créé en mai 1939 dans les pages de Détective

Plus en détail

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire

Séquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000

Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000 Diviser un nombre décimal par 10 ; 100 ; 1 000. 23 1 et 2 Pauline collectionne les cartes «Tokéron» depuis plusieurs mois. Elle en possède 364 et veut les

Plus en détail

Microsoft Excel. Tableur

Microsoft Excel. Tableur Microsoft Excel Tableur 1 Introduction à la notion du tableur Un tableur est un logiciel permettant de manipuler des données numériques et d'effectuer automatiquement des calculs sur des nombres stockés

Plus en détail

1 Recherche en table par balayage

1 Recherche en table par balayage 1 Recherche en table par balayage 1.1 Problème de la recherche en table Une table désigne une liste ou un tableau d éléments. Le problème de la recherche en table est celui de la recherche d un élément

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Séquence 3. Expressions algébriques Équations et inéquations. Sommaire

Séquence 3. Expressions algébriques Équations et inéquations. Sommaire Séquence 3 Expressions algébriques Équations et inéquations Sommaire 1. Prérequis. Expressions algébriques 3. Équations : résolution graphique et algébrique 4. Inéquations : résolution graphique et algébrique

Plus en détail

Le contexte. Le questionnement du P.E.R. :

Le contexte. Le questionnement du P.E.R. : Le contexte Ce travail a débuté en janvier. Le P.E.R. engagé depuis fin septembre a permis de faire émerger ou de réactiver : Des raisons d être de la géométrie : Calculer des grandeurs inaccessibles et

Plus en détail

Statistiques Descriptives à une dimension

Statistiques Descriptives à une dimension I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des

Plus en détail

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11

Correction : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11 Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

STAGE IREM 0- Premiers pas en Python

STAGE IREM 0- Premiers pas en Python Université de Bordeaux 16-18 Février 2014/2015 STAGE IREM 0- Premiers pas en Python IREM de Bordeaux Affectation et expressions Le langage python permet tout d abord de faire des calculs. On peut évaluer

Plus en détail

EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2

EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 EXERCICES DE REVISIONS MATHEMATIQUES CM2 NOMBRES ET CALCUL Exercices FRACTIONS Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : 3 R1 demi, tiers, quart, dixième, centième. Utiliser

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12

Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12 Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont

Plus en détail

Exercice numéro 1 - L'escalier

Exercice numéro 1 - L'escalier Exercice numéro 1 - L'escalier On peut monter un escalier une ou deux marches à la fois. La figure de droite montre un exemple. 1. De combien de façons différentes peut-on monter un escalier de une marche?

Plus en détail

Chapitre 2 : Vecteurs

Chapitre 2 : Vecteurs 1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous

Plus en détail

Cours 7 : Utilisation de modules sous python

Cours 7 : Utilisation de modules sous python Cours 7 : Utilisation de modules sous python 2013/2014 Utilisation d un module Importer un module Exemple : le module random Importer un module Exemple : le module random Importer un module Un module est

Plus en détail

Fonction inverse Fonctions homographiques

Fonction inverse Fonctions homographiques Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................

Plus en détail

MATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */.

MATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Page 1 de 9 MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Aide help, help nom_de_commande Fenêtre de travail (Command Window) Ligne

Plus en détail