Mesure d angles et trigonométrie

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1 Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi 360 points régulièrement espacés. On définit le degré comme étant l angle entre deux demidroites passant par le centre du cercle et deux points successifs de division. Le degré joue donc un rôle d étalon de mesure. La mesure d un angle en degrés exprimera une proportion par rapport à cet angle élémentaire. Le degré est utile pour un usage pratique de relevé et de report de mesure d angles, cependant il revêt un caractère arbitraire (dépendant du nombre de divisions) qui est gênant pour usage mathématique. - Mesures en radians : La définition du radian permet de s affranchir de l arbitraire du nombre de divisions en se ramenant à une construction géométrique. Construisons un cercle de rayon R centré sur l origine des demi-droites. Notons L la longueur de l arc délimité par les deux demi-droites. L angle α exprimé en radian est égal à L/R. α = L/R rad Pour un angle donné, le rapport est constant, ce qui signifie bien que sa valeur le caractérise. Si R=1, alors α=l (ainsi dans un cercle trigonométrique, la valeur de l angle en radian correspond à la longueur de l arc). Une conséquence directe est que 360 correspond à un tour complet donc à une circonférence de πr et ainsi à un angle de π rad. Mesure d angles et trigonométrie 1

2 Remarque : l angle défini par un rapport de longueur a une mesure positive. On ne donne une valeur algébrique à un angle que si l on définit un sens positif et un axe de référence. - Relations entre degrés et radians : 360 = π rad. - Mesure algébrique d un angle : Un sens conventionnel permet de donner un signe (positif ou négatif ) à un angle en fonction de l axe de référence. Ainsi l angle (Ox, OX) se mesure positivement si l on parcourt l arc dans le sens positif pour aller de Ox à OX, et négativement dans le sens contraire. Le sens trigonométrique est positif dans le sens inverse des aiguilles d une montre. - Propriété importante : La position relative des axes est inchangée si on ajoute une nombre entier de tours donc si on ajoute à une mesure d angle, avec k entier relatif (c est-à-dire positif ou négatif) : k.360 degrés ou k.π radians. Trigonométrie - Définition des sinus, cosinus et tangente et cotangente dans le triangle rectangle. Dans un triangle rectangle soit α un angle autre que l angle droit. On appelle hypoténuse le côté ne supportant pas l angle droit, le côté opposé, le côté opposé à l angle α, le côté adjacent le côté formant l angle α avec l hypoténuse. sin α = côté opposé / hypoténuse cos α = côté adjacent / hypoténuse tan α.= côté opposé / côté adjacent cotan α.= côté adjacent / côté opposé Ces définitions dans le triangle concernent des angles positif compris entre 0 et π/. Mesure d angles et trigonométrie

3 On étend cette définition à toutes valeurs de α réel en introduisant le cercle trigonométrique. Propriétés immédiates : tan α = sin α/ cosα, cotan α = 1/ tan α Le cercle trigonométrique : Cercle orienté de rayon 1. Sens trigonométrique : inverse de celui des aiguilles d'un montre. Soit M un point sur le cercle trigonométrique. On définit α = (Ox, OM). Soit Mx la projection orthogonale de M sur Ox, My la projection orthogonale de M sur Oy. Soit Oy l axe parallèle à Oy passant par le point (1,0). Mt est le point d intersection de OM et Oy. M1 est le point (1,0). Cercle trigonométrique cos α = OMx sin α = OMy tan α = M1 Mt Dans le cas de la figure ci-après, quels sont les signes de sin α, cosα et tan α? Mesure d angles et trigonométrie 3

4 - Valeurs particulières : utilisation du théorème de Pythagore et du cercle trigonométrique α 0 π/6 π/4 π/3 π/ sin α 0 1/ / 3 / 1 cosα 1 3/ / 1/ 0 tan α 1 3 /3 1 3 non défini Tableau de valeurs (exactes) particulières - Relations fondamentales en trigonométrie (elles se déduisent facilement de l observation du cercle trigonométrique) cos α + sin α = 1 (elle se démontre en utilisant le théorème de Pythagore) - Période : On a l égalité : cos(α + π) = cosα. La période de la fonction cosinus est de π. On a plus généralement cos(α + kπ) = cosα pour tout k appartenant à Z. La fonction sinus a la même période (π). On en déduit que la fonction tangente est telle que tan(α + π) = tan α. Mesure d angles et trigonométrie 4

5 - α π - α π/ - α α + π/ α + π sin sin α sin α cosα cosα sin α cos cosα cosα sin α sin α cos α tan tan α tan α cotan α cotan α tan α Sinus, cosinus et tangentes de -α, π - α, π/ - α et α + π/ en fonction de sin α, cosα, et tan α. Remarque : tan(α + π) = tan α. On en déduit que la période de la fonction tangente est π. - Formules d'addition Soit a et b deux angles quelconques. On a les relations suivantes : sin (a+b) = sin a cosb + sin b cos a cos (a+b) = cos a cos b - sin a sin b tan a + tan b tan (a + b) = 1 tan a tan b sin (a-b) = sin a cosb - sin b cos a cos (a-b) = cos a cos b + sin a sin b tan a tan b tan (a b) = 1 + tan a tan b - Relations avec l'arc double sin α = sin α cosα cos α = cos α - sin α = cos α - 1 = 1 - sin α sin α = 1 ( 1 - cos α ) cos α = 1 ( 1 + cos α) En posant t = tan ( α ) on a les relations suivantes : t sin α =, cos α = 1 t t, tan α = 1+ t 1 + t 1 t - Relations entre sommes et produits Transformation de produits en sommes cos a cos b = 1 [ cos (a+b) + cos (a-b) ] sin a sin b = 1 [ cos (a-b) - cos (a+b) ] sin a cos b = 1 [ sin (a+b) + sin (a-b) ] Transformation de sommes en produits sin p + sin q = sin p + q cos p + cos q = cos p q sin p - sin q = sin p q cos p - cos q = - sin p q cos p q cos p + q cos p + q sin p + q Mesure d angles et trigonométrie 5