SYSTEMES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE

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1 SYSTEMES LINEIRES DU PREMIER ORDRE 1. DEFINITION e(t) SYSTEME s(t) Un système est dit linéaire invariant du premier ordre si la réponse s(t) est liée à l excitation e(t) par une équation différentielle linéaire à coefficients constants du premier ordre : ds dt : constante de temps : coefficient d amplification statique + s =. e où et sont des constantes. REPONSE INDICIELLE La réponse indicielle est la réponse à un échelon défini ainsi : pour t <, e(t) = pour t, e(t) = E.1 Solution de l'équation différentielle L équation différentielle du premier ordre admet pour solution s(t) la somme de deux termes s 1 et s qui sont respectivement la solution générale de l équation sans second membre et une solution particulière avec second membre : s ( t) = k. e 1 s ( t) =. E s( t) = s ( t) + s ( t) =. E + k. e 1 La constante d'intégration k dépend des conditions initiales, c'est à dire de l'état du système au moment où on lui applique l'échelon. Pour la déterminer, on reporte dans l'équation précédente la valeur de s(t) à l'instant t = -. - Soit s( ) = S donc S =. E + k et k = S - La solution de l'équation différentielle s'écrit donc : s( t) =. E + ( S. E). e t Suivant que la valeur initiale S de s est nulle, inférieure à.e ou supérieure à.e, nous obtiendrons différents types de réponse représentés ci-dessous pour.e = 1.. Pente à l origine Le développement limité à l origine de l exponentielle nous donne l expression de s(t) au voisinage de zéro qui est l équation de la tangente à l origine :. E + ( S. E). ( 1 t / ) elle coupe la droite d équation y(t) =.E à l instant t =. / SSyyss tt tèèmm ee dduu ppr rreemm iieer i rr oor rrddr rree 1

2 s(t) 1 1 La tangente à l'origine coupe l'axe s(t) = o.e à t = E = So = t/ Les courbes de réponse sont tracées en fonction de l'abscisse réduite t/. Pour déterminer la constante de temps d'un système du premier ordre, on peut tracer la tangente à l'origine de sa courbe de réponse et déterminer l'instant où cette droite coupe celle d'équation : y(t) =.E, mais cette méthode est imprécise car liée à la pente que l'on donne à la courbe à l'origine. On utilisera plutôt le fait qu à l'instant t =, s(t) atteint 63% de.e. C'est donc à partir de l'intersection de la courbe de réponse avec la droite d'équation : y(t) =.63..E que l'on déterminera la constante de temps d'un système du premier ordre. Lorsque les conditions initiales ne sont pas nulles, on doit considérer les 63% de la variation d'amplitude du signal s(t). Pour l'exemple ci-dessous est le temps au bout duquel s(t) atteint la valeur 3 +,63.7 = 7,41. s(t) 1 o.e = So = t/ SSyyss tt tèèmm ee dduu ppr rreemm iieer i rr oor rrddr rree

3 Lorsqu'on observe la réponse d'un système, on peut distinguer deux régimes : le régime transitoire pendant lequel la réponse varie le régime permanent qui correspond à sa stabilisation. Quelles que soient les conditions initiales, le régime permanent d'un système du premier ordre peut être considéré atteint au bout d'un temps t = 5.. s(t) So = o.e = t/.3 Temps de réponse à 5% On appelle temps de réponse à x % est le temps au bout duquel s(t) parvient à la valeur.e à x% près de la différence S -.E Le temps de réponse à 5% est le plus utilisé. Dans le deuxième cas ci-dessus on écrira :. E + ( S. E).e =. E +, 5.( S. E) dans le troisième cas :. E + ( S. E).e =. E, 5.(. E S ) (le premier cas est un cas particulier des deux précédents avec S = ) dans tous les cas on aura : e t / = 5. 1 soit : t r5% = 3 On montre de la même manière que le temps de réponse à 1% est atteint au bout de 4,6.. t = 5., le système se trouve donc à moins de 1% de son régime permanent..4 Temps de montée Le temps de montée est le temps qui s écoule entre 1% et 9% de la variation du signal. Soient t 1 et t les instants où la réponse vaut respectivement 1% et 9% de sa valeur finale. t1/. E.( 1 e ) =, 1.. E t =. Ln(, 9) 1 t1/. E.( 1 e ) =, 9.. E t =. Ln(, 1) 1 donc : = t t =. Ln( 9) =,. t m t m =,. 1 SSyyss tt tèèmm ee dduu ppr rreemm iieer i rr oor rrddr rree 3

4 3. REPONSE HRMONIQUE L excitation e(t) est alors sinusoïdale : e(t) = E.sin(ωt) 3.1 Fonction de transfert Elle peut être calculer de deux manières : en calculant le rapport S/E des grandeurs complexes associées aux valeurs de e(t) et s(t) en reprenant l'équation différentielle du système et en passant à la notation complexe De cette façon et en associant à une dérivée par rapport au temps un produit par jω, on obtient à partir de l'équation différentielle du premier paragraphe : jωs + S =. E S T = = = E 1 + jω 1 + jω / ω d' où la fonction de transfert : ω étant la pulsation propre du système. Son module a pour expression : T = 1+ ω / ω et son argument : ϕ = -arctan( ω / ω ) si >, ϕ = π - arctan( ω / ω ) si < 3. symptotes si ω << ω : T = donc G =.log l'asymptote est horizontale. ϕ = si >, ϕ = π si < si ω >> ω : T = donc G =.log.ω -.logω jω / ω en coordonnées semi-logarithmiques cela correspond à une asymptote oblique de pente égale à - db/décade. ϕ = -π/ si >, ϕ = π/ si < Les asymptotes se coupent en ω = ω, pulsation obtenue en identifiant leurs équations. 3.3 Pulsation de coupure à - 3dB C'est la pulsation ω c pour laquelle le module de la fonction de transfert est égal au quotient de sa valeur maximale par. T = = 1+ ω / ω c donc ω c = ω La pulsation de coupure à - 3 db, ω c est donc égale à la pulsation propre ω du système du premier ordre. cette pulsation : ϕ = -π/4 si >, ϕ = 3π/4 si < SSyyss tt tèèmm ee dduu ppr rreemm iieer i rr oor rrddr rree 4

5 3.4 Diagrammes de Bode Les diagrammes de Bode sont représentés ci-dessous pour = 1. G(dB) Gain,1, La différence entre le diagramme réel et le diagramme asymptotique est de : 3 db à f = f 1 db à f = f / et à f =.f. φ(degré) rgument,1, La différence de phase est de -45 à la fréquence f = f. f/fo f/fo SSyyss tt tèèmm ee dduu ppr rreemm iieer i rr oor rrddr rree 5

6 3.5 Relation entre temps de montée et fréquence de coupure La constante de temps d un système du premier ordre étant l inverse de sa pulsation de coupure ω c à -3 db, le temps de montée d un système du premier ordre est donc lié à la fréquence de coupure f c par la relation :,, t m =,. = = t m =,35/f c. ω πf c c 4. DIGRMME DE NYQUIST Le diagramme de Nyquist s obtient en traçant dans le plan complexe la courbe d affixe T(ω) lorsque la pulsation ω (ou la fréquence f) varie entre zéro et l infini. On montre qu il s agit d un demi-cercle. Diagramme de Nyquist Im(T) -,1 Re(T),,4,6,8 1 ω infini ω = -, -,3 -,4 ω -,5 -,6 ω = ωο La courbe peut être obtenue théoriquement à partir des expressions des parties réelle et imaginaire de la fonction de transfert : S T = = = E 1 + jω / ω Donc : 1 jω / ω 1+ ω Re( T ) et Im( T) / ω. ω / ω = = + / + 1 ω ω 1 ω / ω Elle peut également faire l'objet d'un relevé expérimental. Si les grandeurs d'entrée et de sortie sont des tensions, on mesurera leurs amplitudes (ou leurs valeurs efficaces) et leur déphasage pour différentes fréquences. Le rapport des amplitudes fournira le module et le déphasage, l'argument de la fonction de transfert. SSyyss tt tèèmm ee dduu ppr rreemm iieer i rr oor rrddr rree 6