CHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté

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1 CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté CHAPITE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs derés de liberté Introduction : Dans ce chapitre, nous examinons les systèmes qui se composent de deux ou plusieurs oscillateurs qui sont couplés dans une certaine façon et qui ont plus d'une pulsation d'oscillation. Nous allons voir que ce couplae produit de nouveaux et d importants effets physiques. Chacune des pulsations correspondent à une manière différente dans laquelle le système peut osciller. Ces différentes façons sont appelés «modes normaux». es modes normaux d'un système sont caractérisés par le fait que toutes les parties du système oscillent avec la même pulsation. es oscillateurs sont couplé parce qu ils se trouvent rarement dans un isolement complet et sont énéralement capables d osciller avec de différentes façons. es oscillateurs couplés sont éalement importants car ils ouvrent la voie à la compréhension des ondes dans les milieux continus. e mouvement des ondes dépend des systèmes voisins qui vibrent et qui sont couplées entre elles et peuvent donc transmettre de l énerie entre elles. Définition : Un système est à plusieurs derés de liberté (ddl) si plusieurs coordonnées indépendantes sont nécessaires pour décrire son mouvement. Il y a autant d équations de arane que de derés de liberté ou de coordonnées énéralisées. IV.1 Systèmes à derés de liberté Pour l étude des systèmes à deux derés de liberté, il est nécessaire d écrire deux équations différentielles du mouvement que l on peut obtenir à partir des équations de arane : d dt q 1 d dt q q 1 = 0 q = 0 Un système à derés de liberté possède 0 coordonnées énéralisées, 0 équations différentielles et 0 pulsations propres ( ω 1, ω ). IV.1.1 es type de couplaes a) Couplae Elastique : e couplae dans les systèmes mécaniques est assuré par élasticité. Dans les systèmes électriques, on trouve les circuits couplés par capacité, ce qui est équivalent au couplae par élasticité. C C k k 1 m 1 m C es équations différentielles correspondantes sont : x 1 + δ 1 x 1 + ω x 1 = a 1 x x + δ x + ω x = a x 1 Tels que : a 1 x et a x 1 sont les termes de couplae. a 1 et a sont des constantes. Pae 1

2 CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté b) Couplae Visqueux : e couplae dans les systèmes mécaniques est assuré par amortisseur. Dans les systèmes électriques, on trouve les circuits couplés par résistance, équivalents au couplae par amortisseur. C C 1 k m 1 m es équations différentielles correspondantes sont : x 1 + δ 1 x 1 + ω x 1 = b 1 x x + δ x + ω x = b x 1 Tels que : b 1 x et b x 1 sont les termes de couplae. b 1 et b sont des constantes. c) Couplae Inertiel : e couplae dans les systèmes mécaniques est assuré par inertie. Dans les systèmes électriques, on trouve les circuits couplés par inductance, équivalents au couplae par inertie. C C 1 m 1 θ m es équations différentielles correspondantes sont : x 1 + δ 1 x 1 + ω x 1 = c 1 x x + δ x + ω x = c x 1 Tels que : c 1 x et c x 1 sont les termes de couplae. c 1 et c sont des constantes. IV.1. Méthode énérale de résolution des équations de mouvement. Pour un système mécanique, la mise en équation du système couplé passe par la méthode à suivre suivante : 1 On écrit les équations différentielles en fonction des coordonnées énéralisées. On fait l hypothèse que le système admet des solutions harmoniques. Ce qui sinifie que le système peut osciller avec la même pulsation pour tous les oscillateurs. 3 a résolution des systèmes d équations permet d obtenir pulsations particulières ω 1 et ω ; ce sont les pulsations propres. 4 - On substitue ensuite ω 1 dans l'une des équations et l on obtient le 1 er mode propre. On substitue ensuite ω dans l'une des équations et l on obtient le ème mode propre. 5 On écrit les solutions énérales des équations différentielles du mouvement. Pae

3 CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté IV.1.3 Exemples de systèmes a DD IV Pendules couplés : (Couplae Elastique) y y x Considérons deux pendules qui sont couplés par un ressort horizontal de constante de raideur k à une distance a de l'axe de rotation. a O k O 1. Equations différentielles du mouvement : es coordonnées des éléments du système : a masse m 1 se trouve à une distance l 1 de O. l 1 m 1 l m m 1 x m 1 = l 1. sin y m1 = l 1. cos x m 1 = l 1 θ 1cos y m 1 = l 1 θ 1 sin v² m1 = l 1 ²θ 1 a masse m se trouve à une distance l de O. m x m = l. sin θ x m = l θ cos θ v² y m = l. cos θ m = l ²θ y m = l θ sin θ k = {a. sin a. sinθ = a(sin sinθ ) énerie cinétique du système : T = Tm 1 + Tm = 1 mv m mv m Tm 1 = 1 m 1(x m 1 + y m1 ) = 1 m 1l 1 θ 1 (cos θ 1 + sin θ 1 ) Tm 1 = 1 m 1l² 1 θ 1 Tm = 1 m (x m + y m ) = 1 m l θ (cos θ + sin θ ) Tm = 1 m l² θ T = 1 (m 1l² 1 θ 1 + m l² θ ) énerie potentielle du système : U = U k + U m1 +U m Si on choisi comme oriine des éneries potentielles l axe (Ox) on a pour les deux masses : U m1 +U m = m 1 l 1. cos m l. cos θ (e sine moins vient du fait que la masse m est inférieur à l axe choisi). U = 1 ka (sin sinθ ) m 1 l 1. cos m l. cos θ a fonction de arane sera donc : = T U = 1 m 1l² 1 θ 1 m l² θ ka (sin sinθ ) +m 1 l 1. cos +m l. cos θ On remarque bien deux coordonnées énéralisées qui décrit le mouvement donc on aura deux équations de arane : d dt = 0 d dt = 0 θ θ d dt = m 1 l 1θ 1.. = ka cos (sin sinθ ) m 1 l 1 sin m 1 l 1θ 1 + ka cos (sin sinθ ) + m 1 l 1 sin = 0 sin θ θ Dans le cas des faibles oscillations, les anles sont très petits on a : cos θ 1 θ 1 Pae 3

4 CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté m 1 l 1θ 1 + ka ( θ ) + m 1 l 1 = 0 Donc les 0 équations différentielles du mouvement sont : m 1l 1θ 1 + (ka + m 1 l 1 ) = ka θ. (1) m l θ + (ka + m l )θ = ka. () emarques : e terme de couplae ka² est en fonction de k donc le couplae est élastique. Si a = 0 ou k = 0 couplae nul : les deux systèmes sont indépendant. es deux équations différentielles possèdent 0 solutions (t)et θ (t).. On fait l hypothèse que le système admet des solutions harmoniques : Donc : (t) = A 1 sin(ωt + φ) et θ (t) = A sin(ωt + φ ) Tels que : A 1, A, φ et φ, ω est l une des pulsations propres du système. (t) = A 1 sin(ωt + φ) θ 1 = ω² θ (t) = A sin(ωt + φ ) θ = ω²θ On remplace dans les équations (1) et () donc : (ka + m 1 l 1 m 1 l² 1 ω²) ka²θ = 0. (3) ka² + (ka + m l m l² ω²)θ = 0. (4) 3. Calcul des pulsations propres : On suppose que m 1 = m = m, l 1 = l = l ka + ml ml² ω² ka² ka² ka + ml ml² ω² = 0 θ 0 Ces deux équations accepteront une solution si le déterminant =0 ka + ml ml² ω² ka² ka² ka + ml ml² ω² = 0 (ka + ml ml ω ) (ka ) = 0 (ka + ml ml ω ) (ka ) = 0 ka + ml ml ω = +ka ka ω² 1 = + k l m (a)² l ω² = tels que : ω 1 : la 1ère pulsation propre ω : la ème pulsation propre l emarques Si a = 0 ou = 0, le couplae est nul ω² 1 = ω² = l orsque le système oscille avec une de ses 0 pulsations on dit que le système oscille dans un de ses deux modes. 4. es modes d oscillations e mode c est l état dans lequel les éléments dynamiques du système effectuent une oscillation harmonique avec la même pulsation qui correspond à une de ses deux pulsations. 4.1 Calcul des modes d oscillations : Dans chaque mode les deux masses effectuent des mouvements harmoniques simples avec la même pulsation (ω 1 ou ω ) et les deux pendules passent par la position d équilibre au même instant. Premier mode : on remplace dans (3) ou (4) par ω² 1 = + k l m (a)² : l On obtient après calcul : θ = emarques : Dans le premier mode les deux pendules ont la même pulsation ω 1, la même amplitude et un déphasae π. es deux pendules ont des mouvements opposés. Pae 4

5 CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté Elonation et compression du ressort chaque période sauf au point du milieu du ressort. θ Deuxième mode : on remplace dans (3) ou (4) par ω² = l : On obtient après calcul : θ = emarque : es deux pendules se déplacent dans le même sens. e ressort ne subit aucune variation de sa lonueur. θ = 5. Calcul des solutions des équations différentielles : Chacune des mouvements et θ possède deux composantes harmoniques de pulsations ω 1 ou ω Comme les équations différentielles sont linéaires, toute combinaison de solutions reste solution du système. a solution énérale s écrit alors comme une combinaison linéaire des deux solutions. (t) = A 1 sin(ω 1 t + φ 1 )+B 1 sin(ω t + φ ) θ (t) = A sin(ω 1 t + φ 1 )+B sin(ω t + φ ) Dans le premier mode : ω = ω 1 θ = A 1 = A V 1 1 1, V 1 est le 1 er vecteur propre Dans le deuxième mode : ω = ω θ = B 1 = B V 1 1, V est le ème vecteur propre Donc : (t) = Asin(ω 1 t + φ 1 ) + Bsin(ω t + φ ) θ (t) = Asin(ω 1 t + φ 1 ) + Bsin(ω t + φ ) 6. Calcul des constantes A, B, φ 1 et φ Supposons que : (t) = θ 0, θ 1(t) = 0 θ (t) = 0, θ (t) = 0 θ 1(t) = Aω 1 cos(ω 1 t + φ 1 ) + Bω cos(ω t + φ ) θ (t) = Aω 1 cos(ω 1 t + φ 1 ) + Bω cos(ω t + φ ) (0) = Asin(φ 1 ) + Bsin(φ ) = θ 0 θ (0) = Asin(φ 1 ) + Bsin(φ ) = 0 et θ 1(0) = Aω 1 cos(φ 1 ) + Bω cos(φ ) θ (0) = Aω 1 cos(φ 1 ) + Bω cos(φ ) φ 1 = φ = ± π A = B = θ 0 Donc : (t) = θ0 sin ω 1t + π + sin(ω t + π ) θ (t) = θ 0 sin ω 1t + π + sin(ω t + π ) avec : cosα + cosβ = cos α+β cos α β cosα cosβ = sin α+β sin α β sin α + π = cos α Pae 5

6 CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté On obtient : (t) = θ 0 cos ω ω1 θ (t) = θ 0 sin ω ω 1 t. cos ω +ω 1 t t. sin ω +ω 1 t 7. Phénomène de battement : orsque le couplae est faible (k faible), les pulsations propres des oscillateurs (ω 1 et ω ) sont voisines (ω 1 ω ω = ω ω 1 est faible), il se produit un phénomène de battement. es oscillateurs se transmettent de l énerie entre eux et vibres avec une pulsation ω éal à la moyenne des deux pulsations propres ω = 1 (ω + ω 1 ) avec une période éale à T = π ω = battement est éale à ω B = 1 (ω ω 1 ), avec une période T B = 4π ω ω 1 4π ω +ω 1 Tandis que la pulsation du 4π T B = ω ω 1 θ 4π T = ω + ω 1 IV.1.3. Pendules couplés : (Couplae inertiel) Considérons deux pendules qui sont couplés par une masse m 1 qui se trouve à une distance l 1 de l'axe de rotation. 1. Equations différentielles du mouvement : es coordonnées des éléments du système : a masse m 1 se trouve à une distance l 1 de O. m 1 x m 1 = l 1. sin x m 1 = l 1 θ 1cos v² y m1 = l 1. cos θ m1 = l 1 ²θ² 1 1 y m 1 = l 1 sin a masse m se trouve à une distance (l 1 + l ) de O. y O l 1 x m 1 θ l m x m = l 1. sin + l. sin θ y m = l 1. cos l. cos θ x m = l 1 θ 1cos + l θ 1cos θ y m = l 1 θ 1 sin + l θ sin θ m Calcul de v m v² m = l 1 cos + l θ cos θ + (l 1 sin + l θ sin θ )² v² m = l² 1 θ 1 + l² θ + l 1 cos. l θ cos θ + l 1 sin. l θ sin θ v² m = l² 1 θ 1 + l² θ + l 1 l θ (cos cos θ + sin sin θ ) Or : cos ( θ ) = cos cos θ + sin sin θ ) v² m = l² 1 θ 1 + l² θ + l 1 l θ cos ( θ ) Dans le cas des faibles oscillations, les anles sont très petits on a : {cos ( θ ) 1 Donc : v² m = l² 1 θ 1 + l² θ + l 1 l θ 1 θ = (l 1 + l θ )² énerie cinétique du système : T = Tm 1 + Tm = 1 mv m mv m Pae 6

7 CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté Tm 1 = 1 m 1(x m 1 + y m1 ) = 1 m 1l 1 θ 1 (cos θ 1 + sin θ 1 ) Tm 1 = 1 m 1l² 1 θ 1 Tm = 1 m v² m = 1 m (l 1 + l θ )² T = 1 m 1l 1θ m l 1 + l θ énerie potentielle du système : U = U m1 +U m Si on choisi comme oriine des éneries potentielles l axe (Ox) on a pour les deux masses : U m1 +U m = m 1 l 1. cos m (l 1. cos + l. cos θ ) (e sine moins vient du fait que la masse m est inférieur à l axe choisi). U = l 1 (m 1 + m ) cos m l. cos θ a fonction de arane sera donc : = T U = 1 m 1l² 1 θ m l 1 + l θ + l 1 (m 1 + m ) cos +m l. cos θ On remarque bien deux coordonnées énéralisées qui décrit le mouvement donc on aura deux équations de arane : d dt d dt θ d dt = m 1 l 1θ 1 + m l 1 (l 1 θ 1 + l θ ) = l 1 (m 1 + m ) sin = 0 θ = 0 m 1 l 1θ 1 + m l 1θ 1 + m l 1 l θ + l 1 (m 1 + m ) = 0 (m 1 +m )l 1 θ 1 + l 1 (m 1 + m ) = m l 1 l θ On divise sur (m 1 +m )l 1 et on trouve : l 1 θ 1 + = m l (m 1 +m )l 1 θ d dt = m l (l 1 θ 1 + l θ ) θ θ = m l. sin θ m l l 1 θ 1 + l θ + m l. θ = 0 m l θ + m l. θ = m l l 1 θ 1 On divise sur m l et on trouve : l θ + θ = l 1 θ 1 Donc les 0 équations différentielles du mouvement sont : l 1θ 1 + = m l (m 1 +m )l 1 θ. (1) l θ + θ = l 1 θ 1 (). On fait l hypothèse que le système admet des solutions harmoniques : Donc : (t) = A 1 sin(ωt + φ) et θ (t) = A sin(ωt + φ ) Tels que : A 1, A, φ et φ, ω est l une des pulsations propres du système. (t) = A 1 sin(ωt + φ) θ 1 = ω² θ (t) = A sin(ωt + φ ) θ = ω²θ On remplace dans les équations (1) et () donc : ( l 1ω²) m l (m 1 +m )l 1 ω²θ = 0. (3) l ω θ l 1 ω² = 0 (4) Pae 7

8 CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté lω² lω² 3. Calcul des pulsations propres : On suppose que m 1 = m = m, l 1 = l = l lω ( lω²) l ω²θ = 0. (5) lω θ lω²θ = 0 (6) = 0 θ 0 lω² Ces deux équations accepteront une solution si le déterminant =0 ω² 1 = ω² = l(1+ 1 ) l(1 1 ) lω² lω² lω lω² = 0 lω² 1 lω² = 0 ; C est l équation aux valeurs propres. lω² lω² = 0 lω² = lω² 1 lω² Ce sont les valeurs propres. 3.Calcul des modes d oscillations ou les vecteurs propres : Premier mode : on remplace dans (5) ou (6) par ω² 1 = l(1+ 1 ) l( l(1 + 1 ) ( l( l(1 + 1 ) ) θ ) = 0 ( Deuxième mode : on remplace dans (5) ou (6) par ω² = ) = 1 θ (1+ 1 ) θ = : c est le premier mode l(1 1 ) On trouve : θ = : c est le deuxième mode. 4. Calcul des solutions des équations différentielles : ω i valeurs propres. Chacune des mouvements et θ possède deux composantes harmoniques de pulsations ω 1 ou ω. Comme les équations différentielles sont linéaires, toute combinaison de solutions reste solution du système. a solution énérale s écrit alors comme une combinaison linéaire des deux solutions. (t) = Asin(ω 1 t + φ 1 ) + Bsin(ω t + φ ) θ (t) = A sin(ω 1 t + φ 1 ) B sin(ω t + φ ) IV.1.4 Généralisation aux systèmes à n derés de liberté : Principe des opérateurs IV Enerie cinétique énéralisée (Opérateur associé à l énerie cinétique) Un système à n derés de liberté possède n variables : x 1, x, x 3, x n. énerie cinétique énéralisée ; T= 1 m 1x m x + 1 m nx n Si m 1 = m = m n = m T = 1 m(x 1 + x + x n ) T = 1 m n i=1 x i. (1) Pae 8

9 CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté Soit le vecteur vertical (colonne) : x = x 1 x. KET. x n Soit le vecteur horizontal (line) : x = (x 1, x, x n ) BAS x x = ( x 1, x, x n ) x 1 x n. = i=1. x n x i m T = 1 (x 1, 0 m x, x 3, x n) 0 0 m m x x = ( x 1, x, x n) x 1 x = n i=1 x i T = 1 m x x x 1 x x 3. x n.. x n T = 1 x T x T : Matrice carrée (nxn), Opérateur associé à T. es éléments de τ sont déduits des dérivées T IV.1.4. Enerie potentielle énéralisée (Opérateur associé à l énerie potentielle) T= 1 k 1x k x + 1 k nx n. Si k 1 = k = k n = k U = 1 k(x 1 + x + x n ) U = 1 k n x i=1 i. () k U = 1 k x x U = 1 0 k x U x. Tel que : U = 0 0 k k U : Matrice carrée (nxn), Opérateur associé à U. es éléments de U sont déduits des dérivées U IV Equation différentielle e aranien (la fonction de arane) : = T U = 1 x T x 1 x U x Equation de arane : d = 0 dt x ı x i = 1 x T x x ı x ı = 1 x U x x i x i On a : x ı x ı x T x = I i T x et x i x U x = I i U x avec I i vecteur unité. I 1 = (1,0,0,0,.0), I = (0,1,0,0,.0),.. I n = (0,0,0,0,.1). = I i T x d dt = I x i T x ı x i = I i U x I i T x + I i U x = 0, c est l équation de arane. T x + U x = 0 x + T 1 x = 0 d² x + x = 0 dt² = T 1. U : Opérateur associé au aranien, T 1 : Matrice inverse de T. x i x i Pae 9

10 CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté IV Equation aux valeurs propres : a solution de l équation d² x + x = 0 peut être sous la forme complexe : Cejωt dt² d² x dt² = ω² x ω² x + x = 0 ( ω ) x = 0, ( ω ) x = 0 Det [ ω I] = 0, c est l équation aux valeurs propres. ω i : valeurs propres. valeurs propres : Exemple : = , équation aux valeurs propres : ω I= 11 1 ω = 11 ω 1 ω 11 ω 1 1 ω = 0 ( 11 ω )( ω ) 1. 1 = 0 A chaque valeur propre ω i correspond un vecteur propre V ı, ω 1 V 1 x 11, ω x 1 V x 1 x Pour : ω = ω 1 : ( ω 1 ) V 1 = 0 11 ω ω x 11 = 0 x ( 11 ω 1 )x x 1 = 0 1 x 11 ( ω 1 )x 1 = 0 x 11 et x 1? Pour : ω = ω : ( ω ) V = 0 11 ω 1 1 ω x 1 = 0 x 0 x 1 et x? IV Solution des équations différentielle : x 1(t) x (t) =A V e 1 j(ω 1t+φ 1 ) + BV e j(ω t+φ ) = A x 11 e j(ω 1t+φ 1 ) + B x 1 e j(ω t+φ ) x 1 x eferences: x 1(t) = Ax 11 e j(ω 1t+φ 1 ) + Bx 1 e j(ω t+φ ) x (t) = Ax 1 e j(ω 1t+φ 1 ) + Bx e j(ω t+φ ) 1. Mini manuel de mécanique du point, Henry, M. Delorme, N. 1. Fundamentals Of Physics Extended 8 th Edition By Halliday 3. Vibrations and waves, Geore C. Kin 4. The physics of vibrations and waves, Sixth Edition, H. J. Pain 5. Cours de vibrations I, Emannuel Vient 6. Waves and Oscillations,.N. Choudhuri Pae 10