Yves Debard. Université du Mans Master Modélisation Numérique et Réalité Virtuelle.

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1 Méthode des éléments finis : élasticité à une dimension Yves Debard Université du Mans Master Modélisation Numérique et Réalité Virtuelle 4 mars 6 9 mars 11

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3 Table des matières 1 Rappels et hypothèses 1 Forme différentielle 3 Forme intégrale faible 3 4 Forme discrétisée : éléments finis Approximation du champ de déplacements Représentation élémentaire (ou locale) du champ de déplacements Représentation globale du champ de déplacements Partition des degrés de liberté Discrétisation de la forme intégrale faible Problèmes particuliers Problème stationnaire Modes propres de vibration Mise en œuvre pratique : assemblage Exemple de mise en équation Énoncé Discrétisation Partition des degrés de liberté Remarque Matrices élémentaires Assemblage Équation Calculs élémentaires : éléments isoparamétriques Élément isoparamétrique : définition Représentation de la géométrie Représentation du champ de déplacements Bibliothèque d éléments Élément à deux nœuds Élément à trois nœuds Calcul des matrices élémentaires Transformation des dérivées Transformation des longueurs Calcul des matrices Intégration numérique Cas particulier : la section droite est constante Élément à deux nœuds Élément à trois nœuds équidistants Calcul des contraintes 6.1 Première méthode Deuxième méthode Exemples 7.1 Poutre soumise à une force répartie et à une force nodale Modes propres d une poutre Énoncé Solution analytique

4 7..3 Modélisation Modélisation Modélisation Poutre à section droite variable soumise à une variation de température Énoncé Solution analytique Solution éléments finis Influence de la position du nœud milieu sur la performance d un élément isoparamétrique à trois nœuds Problème élastostatique : énergie potentielle et méthode de Ritz Calcul des variations Énergie potentielle Méthode de Ritz Méthode de Ritz et éléments finis Exemple Solution analytique Méthode de Ritz Éléments finis A Programmes Maple 43 A.1 3n int : élément à 3 nœuds A. 3n mat : élément à 3 nœuds A.3 3n milieu : élément à 3 nœuds Références 47

5 Élasticité à une dimension 1 1 Rappels et hypothèses Considérons une poutre droite d axe x soumise à un effort normal N(x; t). u(x; t) est le déplacement suivant x de la section droite d abscisse x à l instant t. A est l aire de la section droite. E, α et ρ sont respectivement le module de Young, le coefficient de dilatation et la masse volumique du matériau. La poutre porte une force répartie d intensité linéique p x et subit une variation de température égale à T. Figure 1 Équilibre d un tronçon de poutre L équilibre du morceau de poutre compris entre les sections droites d abscisses x et x + dx s écrit : N(x; t) + N(x + dx; t) + p x dx = N(x; t) + N(x; t) + N x dx + p x dx = ρ A ü dx (1.1) où l on a posé : ü = u t Après simplification, on obtient l équation d équilibre : N x + p x = ρ A ü (1.) Le tronçon de poutre de longueur dx à l instant initial devient à l instant t le tronçon de poutre de longueur dx (1 + ε xx ) (figure ). Figure Transformation d un tronçon de poutre L allongement unitaire ε xx est : ε xx = u(x + dx) u(x) dx = u x (1.3)

6 Méthode des éléments finis Figure 3 Loi de comportement Cet allongement unitaire est dû à la contrainte normale σ xx (loi de Hooke) et à la variation de température (figure 3) : ε xx = u x = σ xx E + α T avec σ xx = N (1.4) A d où : σ xx = E (ε xx α T ) = E (ε xx ε th ) (1.5) avec ε th = α T. Forme différentielle Résoudre un problème d élasticité à une dimension consiste à chercher un champ de déplacements u(x; t) tel que : ρ A u t = x (A σ xx) + p x tel que x O < x < x E (.1) avec la relation cinématique : la loi de comportement (ou loi constitutive) : ε xx = u x (.) σ xx = E ε xx Eα T (.3) les conditions aux limites : u(x O ; t) = u O (t) ou ( Aσ xx ) x=xo = F O (t) u(x E ; t) = u E (t) ou (Aσ xx ) x=xe = F E (t) (.4) les conditions initiales à l instant t = t : La quantité : u(x; t ) = u t (x) et u(x; t ) = u t (x) (.5) r(u) = ρ A u t x (A σ xx) p (.6) est le résidu de l équation (.1). Ce résidu est nul si le champ de déplacements u(x; t) est solution de cette équation. Notations : u(x; t) = u(x; t) t, ü(x; t) = u(x; t) t

7 Élasticité à une dimension 3 3 Forme intégrale faible Pour résoudre l équation (.1) par la méthode des éléments finis, nous utilisons la méthode des résidus pondérés. Multiplions le résidu r(u) par une fonction arbitraire u (x) et intégrons sur toute la longueur de la poutre : xe xe ( W(u, u ) = u r dx = u ρ A ü ) x O x (Aσ xx) p dx = u (3.1) Intégrons par parties la quantité xe x O xe x O u x (Aσ xx) dx = x O u x (Aσ xx) dx : xe x O x (u Aσ xx ) dx En portant cette expression dans l équation (3.1), il vient : où l on a posé xe xe xe x O u x Aσ xx dx xe W(u, u ) = A u ρ ü dx + A ε xx σ xx dx u p dx x O x O x O (3.) (A u σ xx ) x=xe + (A u σ xx ) x=xo = u ε xx = u x. ε xx est le champ de déformations induit par le champ de déplacements u. De plus, en O et en E, imposons la condition u = si le déplacement est connu. La forme intégrale faible d un problème d élasticité s écrit finalement : avec Trouver u(x; t) tel que : xe xe xe W(u, u ) = A u ρ ü dx + EA ε xx (ε xx α T ) dx x O x O x O u p dx (A u σ xx ) x=xe + (A u σ xx ) x=xo = u les conditions aux limites : les conditions initiales : Remarques : ( u(x O ; t) = u O (t) et u (x O ) = ) ou ( Aσ xx ) x=xo = F O (t) ( u(x E ; t) = u E (t) et u (x E ) = ) ou (Aσ xx ) x=xe = F E (t) (3.3b) u(x; t ) = u t (x) et u(x; t ) = u t (x) (3.3c) Les fonctions u et u doivent être suffisamment régulières pour que les expressions ci-dessus aient un sens. Le champ de déplacements u(x; t) est dit cinématiquement admissible (CA). La fonction u est appelée champ de déplacements virtuels. La formulation intégrale (3.3) est l expression du principe des travaux virtuels. Dans l équation (3.1) la fonction u doit être dérivable deux fois et une fois dans l équation (3.3). Ces équations sont dites respectivement forme intégrale forte et forme intégrale faible de l équation différentielle (.1). Sous certaines conditions de régularité, les formulations (.1) et (3.3) sont équivalentes.

8 4 Méthode des éléments finis 4 Forme discrétisée : éléments finis La solution analytique de l équation (3.3) est en général inaccessible. On est donc conduit à chercher une solution approchée par une méthode numérique : la méthode des éléments finis. Cette méthode est un cas particulier de la méthode de Galerkin : le champ de déplacements cherché u(x; t) et les fonctions test u appartiennent au même espace E u de dimension finie. 4.1 Approximation du champ de déplacements La poutre est décomposée en tronçons (les éléments) reliés entre eux en des points appelés nœuds. Cette opération s appelle maillage Représentation élémentaire (ou locale) du champ de déplacements Le champ de déplacement u e (x; t) dans élément (e) a pour expression : u e 1 (t) où : u e (x; t) = [. N1 e(x) N i e(x) N n e e(x)] u e i (t) = [N e (x)] {u e (t)} (4.1). un e e(t) n e est le nombre de nœuds de l élément. les fonctions Ni e (x) sont les fonctions d interpolation élémentaires (ou fonctions de forme). la matrice [N e (x)] est la matrice d interpolation élémentaire. le vecteur {u e (t)} regroupe les déplacements des nœuds de l élément (e). Exemple : élément à deux nœuds : Fonctions d interpolation : Champ de déplacements dans un élément à deux nœuds :

9 Élasticité à une dimension Représentation globale du champ de déplacements Le champ de déplacements u(x; t) a pour expression sur l ensemble de la poutre : u 1 (t) où : u(x; t) = [ N 1 (x)... N i (x)... N n (x) ]. u i (t) = [N(x)] {U(t)} (4.). u n (t) n est le nombre de nœuds du maillage. les fonctions N i (x) sont les fonctions d interpolation (ou fonctions de forme). [N(x)] est la matrice d interpolation. {U(t)} est le vecteur des déplacements nodaux. Les fonctions d interpolation vérifient les relations : Ni e (x j ) = δ ij N i (x j ) = δ ij i, j où x j est l abscisse du nœud j n e n Ni e = 1, N i = 1 i=1 i=1 Exemple : poutre discrétisée en n nœuds, n 1 éléments : (4.3) Fonctions d interpolation sur le domaine : Champ de déplacements sur le domaine : 4. Partition des degrés de liberté Effectuons une partition des degrés de liberté ([1], [1], [13]) en : déplacements inconnus {U L }. déplacements imposés et différents de : {U P }.

10 6 Méthode des éléments finis déplacements nuls : {U S } = {}. Il vient : {U L } =? {U {U} = {U P } = {}, {U L } } = {U P } = {} {U P } = {} {US } = {} Cette partition induit une partition de la matrice d interpolation : (4.4) [N] = [ [N L ] [N P ] [N S ] ] (4.5) d où l expression de u et u : u = [ [N L ] [N P ] [N S ] ] {U L } {U P }, u = [ [N L ] [N P ] [N S ] ] {UL } {} {} {} (4.6) Remarque : u représente une variation quelconque de u : δu = [ [N L ] [N P ] [N S ] ] {δu L } {δu P } = {} = u où {δu L } = {UL} (4.7) {} 4.3 Discrétisation de la forme intégrale faible De l expression du champ de déplacements sur le domaine : u(x; t) = [N] {U(t)} (4.8) on déduit : où la matrice [B] est égale à : [B] = ü = u = [N] {Ü} (4.9) t ε xx = u = [B] {U} (4.1) x [ N1 x N i x N ] n x (4.11) u = [N] {U } = {U } T [N] T, ε xx = [B] {U } = {U } T [B] T (4.1) En portant ces expressions dans l équation (3.3a), il vient : W({U}, {U }) = {U } T ( [M] {Ü} + [K] {U} {F } ) (4.13) où : xe [M] = ρ A [N] T [N] dx x O xe [K] = EA [B] T [B] dx x O xe xe {F } = [N] T p dx + [B] T EA α T dx + {F nod } x O x O {F nod } T = { } (A σ xx ) x=xo... (A σ xx ) x=xe (4.14)

11 Élasticité à une dimension 7 [M] est la matrice masse (kg). [K] est la matrice rigidité (N/m). {F } est le vecteur force (N). {U} est le vecteur des déplacements nodaux (m). {Ü} est le vecteur des accélérations nodales (m/s ). Le vecteur {F nod } ne contient que deux composantes non nulles : F O (t) et F E (t). Ces forces sont connues si le déplacement associé est inconnu. Dans le cas contraire ces forces sont des réactions d appui. Remarques : les matrices [M] et [K] sont par construction symétriques. dans l equation (4.13), il convient d ajouter éventuellement la contribution de l amortissement : {U } T [C] { U} (4.15) où [C] est la matrice d amortissement (kg/s) et { U} le vecteur des vitesses nodales (m/s). La partition des degrés de liberté ( 4.) induit une partition de [M], [C], [K] et {F } : [M LL ] [M LP ] [M LS ] [K LL ] [K LP ] [K LS ] [M] = [M P L ] [M P P ] [M P S ], [K] = [K P L ] [K P P ] [K P S ] (4.16) [M SL ] [M SP ] [M SS ] [K SL ] [K SP ] [K SS ] [C LL ] [C LP ] [C LS ] {F L } [C] = [C P L ] [C P P ] [C P S ], {F } = {F P } [C SL ] [C SP ] [C SS ] {F S } (4.17) La forme discrétisée d un problème d élasticité s écrit finalement : Trouver {U L (t)} tel que : W({U L }, {U L}) ={U L} T ( [[MLL ] [M LP ] ] { } {ÜL} + [ [C LL ] [C LP ] ] { { U L } {ÜP } { U P } } + [ [K LL ] [K LP ] ] { {U L } {U P } ) {F L } = {UL} } (4.18) avec les conditions initiales {U L (t )} = {U L, }, { U L (t )} = { U L, } Les déplacements nodaux inconnus {U L (t)} sont donc les solutions de l équation : avec les conditions initiales : [M LL ]{ÜL} + [C LL ]{ U L } + [K LL ]{U L } = {F L } [M LP ]{ÜP } [C LP ]{ U P } [K LP ]{U P } (4.19a) {U L (t )} = {U L, }, { U L (t )} = { U L, } (4.19b) Remarque : par construction, les matrices [K LL ] et [M LL ] sont symétriques.

12 8 Méthode des éléments finis 4.4 Problèmes particuliers Problème stationnaire Dans un problème stationnaire, l équation (4.19) se réduit à : [K LL ] {U L } = {F L } [K LP ] {U P } = { F L } (4.) Si le nombre de liaisons est suffisant, la matrice [K LL ] n est pas singulière (det [K LL ] ) et les déplacements inconnus sont égaux à : {U L } = [K LL ] 1 { F L } (4.1) Remarque : les réactions d appui {R} sont les composantes (P ) et (S) du vecteur {F nod }. Les déplacements étant connus, elles sont égales à : [ ] { } { } [KP {R} = L ] [K P P ] {UL } {FP } (4.) [K SL ] [K SP ] {U P } {F S } En pratique, cette méthode est peu utilisée : les blocs de matrices [K P L ], [K P P ], [K SL ], [K SP ], {F P } et {F S } ne sont pas assemblés Modes propres de vibration Les modes propres de vibration de la poutre sont les solutions de l équation : En posant : où {ŨL} est indépendant du temps, il vient : [M LL ] {ÜL} + [K LL ] {U L } = {} (4.3) {U L (t)} = {ŨL} sin ω t (4.4) [K LL ]{ŨL} = ω [M LL ]{ŨL} (4.5) où ω est une pulsation propre de la poutre et {ŨL} le vecteur propre associé. Les pulsations propres sont les solution de l équation : 4.5 Mise en œuvre pratique : assemblage det ( [K LL ] ω [M LL ] ) = (4.6) Dans la pratique, [M], [K] et {F } sont construits élément par élément. Cette opération s appelle assemblage. De l expression du champ de déplacements dans l élément (e) : u e (x; t) = [N e (x)] {u e (t)} (4.7) on déduit : ε e xx = [B e ] {u e } avec [B e ] = [ B e 1 B e i B e n e ] ü e = [N e ] {ü e } (4.8), B e i = N e i x (4.9) u e = [N e ] {u e } = {u e } T [N e ] T, ε e xx = [B e ] {u e } = {u e } T [B e ] T (4.3)

13 Élasticité à une dimension 9 En reportant ces expressions dans l équation (3.3a), il vient : W({U}, {U }) = e {u e } T ( [m e ] {ü e } + [k e ] {u e } {f e } ) {U } T {F nod } (4.31) où : [m e ] = ρ A [N e ] T [N e ] dx L e [k e ] = EA [B e ] T [B e ] dx L e {f e } = [N e ] T p dx + [B e ] T E A α T dx L e L e Dans ces formules, L e représente la longueur de l élément (e). (4.3) Exemple : soit un élément de longueur L et de section droite constante (aire A). Cet élément porte une force uniformément répartie d intensité linéique p. La masse volumique du matériau est égale à ρ. Les matrices élémentaires sont égales à : L équation (3.3a) s écrit : [N e ] = 1 [ ] L x x, [B e ] = 1 [ ] 1 1 L L [m e ] = ρ A L [ ] [ ] L x [L ] ρ AL 1 x x dx = L x 6 1 [k e ] = EA L [ ] [ ] 1 [ 1 ] EA dx = L 1 L 1 1 {f e } = 1 L { } L x p dx = p L { 1 L x 1} W({U}, {U }) = {U } T ( e ) ( ) [M e ] {Ü} + [Ke ] {U} {F e } {F nod } (4.33) Dans les matrices [M e ] et [K e ] et dans le vecteur {F e }, obtenus par expansion respectivement de [m e ], [k e ] et {f e }, les seuls termes non nuls sont les termes associés aux degrés de liberté de l élément (e). Par exemple, pour l élément (i j), le terme {u e } T [k e ] {u e } est égal à : {u e } T [k e ] {u e } = [ u i u ] [ ] { } k 11 k 1 ui j k 1 k u j u = [ u 1... u i... u j... u ]... k k 1... u i n (4.34)..... k 1... k... u j = {U } T [K e ] {U} u n On en déduit : [M] = e [M e ], [K] = e [K e ], {F } = e {F e }

14 1 Méthode des éléments finis Remarques : la partition des degrés de liberté ( 4.) est effectuée avant la phase d assemblage. dans le logiciel RDM seuls les blocs [K LL ], [K LP ], [M LL ], [M LP ] et {F L } sont assemblés. 4.6 Exemple de mise en équation Énoncé Soient E et ρ respectivement le module de Young et la masse volumique du matériau de la poutre représentée sur la figure 4. Figure 4 Exemple de mise en équation L aire de la section droite est égale à A entre et L et à A entre L et L. Elle est soumise à : une force uniformément répartie d intensité linéique p entre les abscisses et L. un déplacement imposé : u( L; t) = a sin ω t. Les conditions initiales sont : u t (x) =, u t (x) = Discrétisation La poutre est discrétisée en trois éléments à deux nœuds : (1 ), ( 3) et (3 4). Les variables nodales sont donc : u 1 (t) = u {U(t)} = (t) =? u 3 (t) =? u 4 (t) = a sin ω t Partition des degrés de liberté Effectuons une partition des degrés de liberté en déplacements connus et inconnus : { } u (t) =? {U L } =, {U u 3 (t) =? P } = {u 4 (t) = a sin ω t}, {U S } = {u 1 (t) = } d où : u {U L } (t) =? {U} = {U P } = u 3 (t) =? u {U S } 4 (t) = a sin ω t u 1 (t) =

15 Élasticité à une dimension 11 On en déduit la localisation des degrés de liberté dans les matrices globales : u 1 u {DDL} = 1 u 3 u Remarque La figure 5 représente la forme de la solution cherchée u(x; t) et des fonctions test u = δu. Figure 5 Forme de la solution cherchée et fonctions test Matrices élémentaires Les matrices élémentaires sont : élément 1 : [k 1 ] = 4 EA L [ 1 ] { } u1 {ddl 1 } = u 1, [m 1 ] = ρ A L 6 [ ] 1 1, {f 1 } = p L 4 { } 1 1 élément 3 : {ddl 3 } = { } u 1 u 3 [k 3 ] = [k 1 ], [m 3 ] = [m 1 ], {f 3 } = {f 1 } élément 3 4 : [k 3 4 ] = EA L {ddl 3 4 } = [ 1 ] { } u3 u 4 3, [m 3 4 ] = ρ A L 6 [ ] Assemblage L assemblage des matrices élémentaires conduit à la relation : ρ A L 6 [ ] ü ü 3 a ω + EA L sin ωt [ ] u u 3 = p L 4 a sin ωt { } 1 Remarque : seuls les blocs [K LL ], [K LP ], [M LL ], [M LP ] et {F L } sont assemblés.

16 1 Méthode des éléments finis Équation Les déplacements inconnus u et u 3 sont les solutions de l équation : ρ A L 6 = p L 4 avec les conditions initiales : { } u (t ) = u 3 (t ) [ ] } 4 1 {ü + EA [ ] { } 8 4 u 1 4 ü 3 L 4 5 u 3 { } + ρ A L { } 1 6 a ω + EA sin ωt L { } u (t ) = u 3 (t ) { } { a sin ωt 5 Calculs élémentaires : éléments isoparamétriques 5.1 Élément isoparamétrique : définition À chaque élément réel, on associe un élément de référence. } Figure 6 Élément isoparamétrique Représentation de la géométrie La transformation géométrique qui fait passer de l élément de référence à l élément réel possède les propriétés suivantes : elle est de la forme : où : x(ξ) = n N i (ξ) x i (5.1) i=1 n est le nombre de nœuds de l élément réel. ξ est la coordonnée d un point de l élément de référence. x(ξ) est la coordonnée du point de l élément réel. les fonctions N i (ξ) sont les fonctions d interpolation (ou fonctions de forme). les x i sont les abscisses des nœuds de l élément. Le jacobien de la transformation est égal à : x 1 J(ξ) = x ξ = n i=1 [ N i ξ x N1 i = ξ N i ξ N n ξ ]. x i. x n (5.)

17 Élasticité à une dimension 13 elle est nodale : un nœud de l élément de référence devient un nœud de l élément réel (les deux éléments possèdent donc le même nombre de nœuds) : x i = x(ξ i ) = n N j (ξ i ) x j, i = 1,..., n (5.3) j=1 où ξ i est l abscisse du i e nœud de l élément de référence. On en déduit : N j (ξ i ) = { si i j 1 si i = j (5.4) Remarque : si les nœuds de l élément de référence sont espacés régulièrement entre 1 et +1, on a : ξ i = 1 + i 1 (5.5) n 1 elle est bijective : le jacobien ne doit pas changer de signe sur l élément. Nous imposerons la condition : J(ξ) > (5.6) On appelle qualité du jacobien la quantité : Remarques : q J = longueur de l élément de référence longueur de l élément réel min(j(ξ)) ( q J 1) (5.7) La qualité est maximale est 1 : dans ce cas, le jacobien est constant dans l élément. Dans la pratique, pour évaluer q J, on se contente de calculer J(ξ) aux nœuds de l éléments. D autres définitions sont possibles, par exemple : q J = min(j(ξ)) max(j(ξ)) ( q J 1) (5.8) 5.1. Représentation du champ de déplacements Les fonctions N i (ξ) qui définissent la transformation géométrique sont les fonctions d interpolation pour le champ de déplacements (élément isoparamétrique) : où u i est le déplacement du nœud i. u(ξ) = n N i (ξ) u i (5.9) i=1 Critère de complétude : pour que la solution éléments finis converge vers la solution exacte quand la taille des éléments tend vers zéro, l élément doit pouvoir représenter un champ de déplacements qui correspond à des déformations nulles (mouvement de corps rigide) ou constantes. Considérons donc le champ de déplacements : u(x) = a + b x (5.1) d où les valeurs nodales : u i = a + b x i, i = 1,..., n (5.11)

18 14 Méthode des éléments finis Le champ de déplacements s écrit sous forme paramétrique (équation 5.9) : n n u(ξ) = N i (ξ) u i = N i (ξ) (a + b x i ) = a i=1 i=1 En utilisant la relation (5.1), il vient : n N i (ξ) + b i=1 n N i (ξ) x i (5.1) i=1 n u(x) = a N i (ξ) + b x (5.13) i=1 On retrouve le champ de déplacements (5.1) si : n N i (ξ) = 1 (5.14) Cette condition est vérifiée par les éléments décrits ci-dessous. 5. Bibliothèque d éléments 5..1 Élément à deux nœuds. i=1 Figure 7 Élément à deux nœuds Les coordonnées nodales sont x 1 et x avec L = x x 1. Soient u 1 et u les déplacements nodaux. La transformation géométrique est de la forme : x(ξ) = a + b ξ = [P (ξ)] {A} avec [P (ξ)] = [ 1 ξ ] et {A} = { } a b (5.15) [P (ξ)] est la base polynomiale de la transformation. La transformation est nodale d où : { } { } x1 x( 1) = = x(1) On en déduit x [ ] { a b d où l expression de la matrice d interpolation : } { } = [C] {A} d où {A} = [C] 1 x1 x { } x(ξ) = [P (ξ)] [C] 1 x1 x (5.16) (5.17) [N(ξ)] = [ N 1 (ξ) N (ξ) ] = [P (ξ)] [C] 1 (5.18) avec : [ 1 ξ [N(ξ)] = ] 1 + ξ, [ ] [ Ni 1 = ξ ] 1 (5.19)

19 Élasticité à une dimension 15 L élément est isoparamétrique : Figure 8 Élément à deux nœuds : fonctions d interpolation représentation de la géométrie : x(ξ) = [N] { x1 x } = 1 ξ x ξ x = x 1 + x + ξ L (5.) Le jacobien de la transformation est égal à : J = i=1 N i ξ x i = x x 1 = L (5.1) et est constant dans l élément. représentation du champ de déplacements : { } u1 u(ξ) = [N] u = 1 ξ u ξ u (5.) 5.. Élément à trois nœuds. Figure 9 Élément à trois nœuds Les coordonnées nodales sont x 1, x et x 3 avec L = x 3 x 1. Soient u 1, u et u 3 les déplacements nodaux. La transformation géométrique est de la forme : a x(ξ) = a + b ξ + c ξ = [P (ξ)] {A} avec [P (ξ)] = [ 1 ξ ξ ] et {A} = b c (5.3) [P (ξ)] est la base polynomiale de la transformation. La transformation est nodale : x 1 x( 1) a x = x() = 1 b = [C] {A} x(1) c d où {A} = [C] 1 x 3 x 1 x x 3 (5.4)

20 16 Méthode des éléments finis On en déduit x(ξ) = [P (ξ)] [C] 1 d où l expression de la matrice d interpolation (programme 3n int) : x 1 x x 3 (5.5) [N(ξ)] = [ N 1 (ξ) N (ξ) N 3 (ξ) ] = [P (ξ)] [C] 1 (5.6) avec : [ ξ(ξ 1) [N(ξ)] = ] 1 ξ ξ(ξ + 1), [ ] [ Ni ξ 1 = ξ ξ ] ξ + 1 (5.7) L élément est isoparamétrique : Figure 1 Élément à trois nœuds : fonctions d interpolation représentation de la géométrie : x(ξ) = [N] x 1 x x 3 = ξ (ξ 1) x 1 + (1 ξ ) x + ξ (ξ + 1) x 3 (5.8) Cette expression se réduit à : x(ξ) = x + ξ L si le nœud est situé au milieu de l élément. représentation du champ de déplacements : u 1 ξ (ξ 1) u(ξ) = [N] u = Le jacobien de la transformation est égal à : u 3 u 1 + (1 ξ ) u + ξ (ξ + 1) u 3 (5.9) J(ξ) = x(ξ) ξ = 3 i=1 N i ξ x i = x 3 x 1 + ξ (x 1 + x 3 x ) = L + ξ (x 1 + x 3 x ) (5.3) et se réduit à L/ si le nœud est au milieu de l élément. La qualité du jacobien est égale à : ( q J = min 1 + L (x 1 + x 3 x ), 1 ) L (x 1 + x 3 x ) (5.31) Elle est maximale (q J = 1) si le nœud est au milieu de l élément. Remarque : la condition J(ξ) > impose certaines conditions à la position du nœud. Considérons l élément réel de longueur L et de coordonnées : x 1 = L/, x, x 3 = L/.

21 Élasticité à une dimension 17 Le point de coordonnée ξ dans l élément de référence devient dans l élément réel le point de coordonnée : x(ξ) = 1 ξ L + (1 ξ ) x et le jacobien de la transformation est égal à : J(ξ) = 1 L ξ x Figure 11 Transformation géométrique x(ξ) et jacobien de la transformation J(ξ) Pour que le déterminant du jacobien reste positif quand ξ varie de 1 à +1, la quantité x doit rester comprise entre les valeurs L/4 et L/4. Si x est en dehors de cet intervalle, la transformation géométrique n est pas bijective : à certaines valeurs de l abscisse x correspondent deux valeurs de ξ (figure 11). 5.3 Calcul des matrices élémentaires Transformation des dérivées La dérivée d une fonction f(x) par rapport à ξ est égale à : f ξ = f x x ξ = J f x On en déduit l expression de la dérivée de f(x) par rapport à x : f x = 1 f J ξ (5.3) (5.33) 5.3. Transformation des longueurs L élément de longueur dξ à l abscisse ξ dans l élément de référence devient l élément de longueur dx à l abscisse x(ξ) dans l élément réel (figure 1) : dx = x dξ = J(ξ) dξ ξ

22 18 Méthode des éléments finis Remarque : la longueur de l élément est égale à : Calcul des matrices La matrice de rigidité est égale à : où : De même : [ k ] = [m] = {f th } = L Figure 1 Transformation des longueurs L = E A [B] T [B] dx = J(ξ) dξ [B] = [B 1 B i B n ] avec B i = N i x = 1 N i J ξ L {f(p)} = L Intégration numérique ρ A [N] T [N] dx = L 1 p [N] T dx = E A α T [B] T dx = 1 1 E A(ξ) [B(ξ)] T [B(ξ)] J(ξ) dξ (5.34) (5.35) ρ A(ξ) [N(ξ)] T [N(ξ)] J(ξ) dξ (5.36) p(ξ) [N(ξ)] T J(ξ) dξ (5.37) E A α T [B(ξ)] T J(ξ) dξ (5.38) Ces intégrales sont évaluées numériquement par la méthode de Gauss [3, 9, 1, 13] : 1 1 npi f(ξ) dξ w i f(ξ i ) (5.39) où npi, w i et ξ i sont respectivement le nombre de points d intégration, le poids et l abscisse du i e point d intégration. npi ξ i w i 1 ( ± ± ) 1/ i=1 ( (8/9) ± ± ) 3/ (5/9) 3 ( ) 6/5 ± ± /5 3 + ( ) 6/5 ± ± /5 Table 1 Points d intégration et coefficients de pondération pour la méthode de Gauss

23 Élasticité à une dimension 19 Remarque : un polynôme de degré inférieur ou égal à npi 1 est intégré exactement par la méthode de Gauss à npi points. Il vient pour les matrices élémentaires : npi [ k ] E A(ξ i ) [B(ξ i )] T [B(ξ i )] J(ξ i ) w i i=1 npi [m] ρ A(ξ i ) [N(ξ i )] T [N(ξ i )] J(ξ i ) w i i=1 npi {f(p)} p(ξ i ) [N(ξ i )] T J(ξ i ) w i i=1 npi {f th } = {f( T )} E A(ξ i ) α T (ξ i ) [B(ξ i )] T J(ξ i ) w i i=1 (5.4) 5.4 Cas particulier : la section droite est constante Élément à deux nœuds Jacobien de la transformation : Matrice [B] : Matrice de rigidité : Matrice de masse : [B] = [k] = [ N1 x [m] = J = x ξ = i=1 ] N = 1 [ N1 x J ξ N i ξ x i = L E A [B] T [B] J dξ = EA L ρ A [N] T [N] J dξ = ρ A L 6 ] N = 1 [ 1 1] ξ L [ 1 ] [ ] 1 1 Vecteur force dû à une force uniformément répartie d intensité linéique p : {f} = 1 1 [N] T p J dξ = pl Vecteur force dû à une force répartie dont l intensité linéique varie linéairement entre les valeurs p 1 et p : {f} = L { } p1 + p 6 p 1 + p { } 1 1 Vecteur force dû à une force ponctuelle d intensité P située à l abscisse x P : {f} = P { } b, a = x L a P x 1, b = x x P Vecteur force dû à une variation de température T constante : { } 1 {f th } = E A α T 1

24 Méthode des éléments finis 5.4. Élément à trois nœuds équidistants (programme 3n mat) Jacobien de la transformation : Matrice [B] : [B] = [ N1 x Matrice de rigidité : Matrice de masse : N x [k] = [m] = J = x ξ = ] N 3 = 1 [ N1 x J ξ i=1 N ξ N i ξ x i = L EA [B] T [B] J dξ = EA 3 L ρ A [N] T [N] J dξ = ρ A L 3 ] N 3 = 1 [ ] ξ 1 4 ξ ξ + 1 ξ L Vecteur force dû à une force uniformément répartie d intensité linéique p : 1 {f} = [N] T p J dξ = pl Vecteur force dû à une force répartie dont l intensité linéique varie linéairement entre les valeurs p 1 et p 3 : {f} = L p 1 p 1 + p 3 6 Vecteur force dû à une force ponctuelle d intensité P située à l abscisse x P : {f} = P b (L a) L 4 a b, a = x P x 1, b = x 3 x P a (L b) Vecteur force dû à une variation de température T constante : 1 {f th } = E A α T 1 6 Calcul des contraintes L approximation du champ de déplacements dans un élément est donnée sous forme paramétrique : p 3 où : x(ξ) = n N i (ξ) x i, u(ξ) = i=1 n N i (ξ) u i = [N] {u} (6.1) i=1 n est le nombre de nœuds de l élément.

25 Élasticité à une dimension 1 les N i (ξ) sont les fonctions d interpolation élémentaires. {u} est le vecteur déplacement élémentaire. les x i sont les coordonnées nodales. Soit L la longueur de l élément. 6.1 Première méthode Les contraintes sont calculées avec la formule : avec : [B] = [ N1 x... N i x... N ] n x σ xx = E u = E [B] {u} (6.) x, N i x = 1 N i J ξ Le champ de contraintes est alors donné sous forme paramétrique :, J = x ξ = n i=1 N i ξ x i Élément à deux nœuds : x(ξ) = x 1 + x + L ξ, σ xx(ξ) = E u x = E L [ ] { } u u (6.3) Élément à trois nœuds équidistants : x(ξ) = x 1 + x + L ξ, σ xx(ξ) = E L [ ] ξ 1 4 ξ ξ + 1 u 1 u u 3 (6.4) Cette méthode donne le résultat exact pour un champ de contraintes constant (élément à deux nœuds) ou linéaire (élément à trois nœuds). Il est préférable d utiliser la méthode présentée au paragraphe suivant. 6. Deuxième méthode L équilibre de l élément s écrit (3.3a) : xn xn xn W(u, u ) = A u ρ ü dx + A ε xx σ xx dx x 1 x 1 x 1 u p dx (6.5) + (A u σ xx ) x=x1 (A u σ xx ) x=xn = u De l expression du champ de déplacements dans l élément : u(x; t) = [N] {u(t)}, u (x) = {u } T [N] T on déduit : {u } T ( [ m ] {ü} + [ k ] {u} {f} {f nod }) = {u } (6.6)