Chapitre 5. Le ressort. F ext. F ressort

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Vincent Laporte
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1 Chapitre 5 Le ressort Le ressort est un élément fondamental de plusieurs mécanismes. Il existe plusieurs types de ressorts (à boudin, à lame, spiral etc.) Que l on comprime ou étire un ressort, tel que le ressort à boudin de la figure 5.1, celui-ci exerce une force égale et opposée à celle qu on lui applique. Cette force du ressort produira un travail pour absorber de l énergie ou en donner. C est cette capacité de travail qui est exploitée dans l utilisation des ressorts. Que ce soit comme amortisseur de chocs sur une automobile ou pour faire fonctionner une montre mécanique. L étude du ressort nous permettra donc d étayer davantage les notions de travail et d énergie, le point central de cette étude étant le principe de conservation de l énergie mécanique. F ressort F ext m Figure 5.1 Compression d un ressort. 43

Cette force du ressort produira un travail pour absorber de l énergie ou en donner. C est cette capacité de travail qui est exploitée dans l utilisation des ressorts.

2 44 Physique des mécanismes 5.1 La loi de Hooke La loi de Hooke 1 est une loi empirique stipulant que la force de rappel d un ressort est égale à F r = kx, (5.1) où k est une constante et x est le déplacement (étirement ou compression) du ressort par rapport à sa position naturelle. Le signe négatif indique que la force est dans le sens contraire du déplacement et donc que la force du ressort est toujours dirigée en direction de la position naturelle du ressort (figure 5.). 5. L énergie potentielle d un ressort Lorsqu on comprime ou étire un ressort, on e ectue un travail sur lui. En e ectuant ce travail on donne au ressort une énergie potentielle élastique. Puisque que le travail est W = Fd, on pourrait penser que le travail nécessaire pour comprimer ou étirer un ressort est simplement W ext = kx, ce qui est faux. La figure 5. présente le graphique de la force du ressort en fonction du déplacement. On voit qu à chaque instant du déplacement la grandeur de la force varie. Le travail de la force extérieure pour déplacer un ressort n est donc pas la force du déplacement final multipliée par ce déplacement, mais correspond à l aire sous la droite d équation de la force, soit W ext = kx. (5.) Lorsqu on comprime ou étire un ressort, le travail du ressort est négatif, car il prend de l énergie potentielle. Lorsque le ressort revient à sa position naturelle, son travail est positif, car il cède son énergie. L énergie potentielle d un ressort est égale à l énergie qu une force extérieure lui a transférée en e ectuant un travail positif U r = kx. (5.3) 1. Robert Hooke ( ) était un scientifique anglais qui a joué un rôle important dans la Révolution scientifique. Contemporain de Newton, il eut par ailleurs avec lui une dispute sur sa contribution à la Loi de la gravitation universelle énoncée par Newton.

Le signe négatif indique que la force est dans le sens contraire du déplacement et donc que la force du ressort est toujours dirigée en direction de la position naturelle du ressort (figure 5.

3 Chapitre 5. Le ressort 45 F r >0 F r <0 m m -x 0 x -x 0 x Δx<0 Δx>0 F r Comprimé F r = kx Étiré x kx U r = Figure 5. Force du ressort en fonction de son étirement.

4 46 Physique des mécanismes 5.3 L énergie cinétique La figure 5.3 montre une masse appuyée sur un ressort comprimé. Lorsque le ressort revient à sa position naturelle, il pousse la masse qui acquiert de la vitesse. L énergie potentielle du ressort est convertie en énergie de mouvement par le travail du ressort. Cette énergie de mouvement est appelée énergie cinétique K = mv. (5.4) Lorsque le ressort donne son énergie, il fait un travail positif. Ce travail positif est un transfert d énergie potentielle en énergie cinétique. Lorsqu une masse acquiert de la vitesse c est qu une force a e ectué un travail positif sur elle. W = K = mv f mv i. (5.5) 5.4 Conservation de l énergie mécanique On observe que dans toutes les interactions, l énergie totale d un système isolé est toujours conservée. La seule possibilité de faire varier l énergie totale d un système est qu une force extérieure fasse un travail sur lui. Un travail fournit un apport en énergie (ex. une main qui comprime un ressort) ou prélève de l énergie (ex. la dissipation de l énergie thermique engendrée par le frottement). Nous avons vu trois formes d énergie mécanique : l énergie potentielle gravitationnelle, l énergie potentielle élastique et l énergie cinétique. L énergie mécanique étant conservée cela implique qu une variation d énergie totale sera uniquement engendrée par le travail d une force extérieure. E = U g + U r + K = W ext. (5.6). On considère ici que le frottement est une force extérieure et donc que E f = W f = W ext.

Cette énergie de mouvement est appelée énergie cinétique K = mv. (5.4) Lorsque le ressort donne son énergie, il fait un travail positif.

5 Chapitre 5. Le ressort 47 kx U r = K = 0 U r = 0 mv K = W r v m m x 0 0 Figure 5.3 Conversion de l énergie potentielle élastique en énergie cinétique.

6 48 Physique des mécanismes 5.5 Transfert d énergies On peut vérifier la conservation de l énergie mécanique en laissant tomber une masse d une certaine hauteur sur un ressort (figure 5.4). S il y a conservation d énergie, l énergie potentielle gravitationnelle initiale doit être égale au maximum d énergie potentielle élastique, c est-à-dire lorsque la masse est momentanément immobilisée par le ressort au plus bas de sa course En isolant les variables h 0 et x on obtient En vérifiant que le rapport (h 0 + x)/x est constant pour di érentes valeurs de h 0, nous obtiendrons une confirmation qu il y a eu transfert d énergie potentielle gravitationnelle en énergie cinétique puis en énergie potentielle élastique et que l énergie mécanique est conservée. Tableau 5.1 Mesure du raport (h 0 + x)/x. h 0 (m) x (m) (h 0 + x)/x (m 1 ) (m 1 ) ± ± ± ± ± ± ± ± ± moyenne

immobilisée par le ressort au plus bas de sa course En isolant les variables h 0 et x on obtient En vérifiant que le rapport (h 0 + x)/x est constant pour di érentes valeurs de h 0, nous obtiendrons

7 Chapitre 5. Le ressort 49 U g = mgh U = 0 = 0 r U g kx U r = W g > 0 W r < 0 K h 0 h x Figure 5.4 Conversion de l énergie potentielle gravitationnelle en énergie potentielle élastique.

8 50 Physique des mécanismes Exemple 5.1 Une sauterelle jouet est constituée d un corps de plastique et de pattes à ressorts. Supposons que l on comprime la sauterelle vers le plancher et qu on la lâche ensuite, estimez la hauteur maximale de son saut. Solution Il faut tout d abord évaluer la constante de rappel des pattes. La figure 5.5 montre une masse M qui comprime la sauterelle jusqu à un point d équilibre tout juste avant qu elle ne touche le sol. La sauterelle étant alors immobile, l équilibre des forces donne M = kg, x = m, k = N/m, m = kg. Ensuite, connaissant la masse m de la sauterelle et le déplacement x de la compression, on utilise la conservation d énergie pour estimer la hauteur h du saut. On peut évaluer l énergie mécanique totale de la sauterelle à trois instants : avant de la lâcher, lorsque les pattes sont revenues à leur position naturelle et à sa hauteur maximale atteinte et donc h = kx mg = m.

La figure 5.5 montre une masse M qui comprime la sauterelle jusqu à un point d équilibre tout juste avant qu elle ne touche le sol.

9 Chapitre 5. Le ressort 51 -x F ext = Mg F r = kx M Figure 5.5 Mesure de la constante de rappel de la sauterelle. kx U r = K = 0 U g = 0 U r = 0 mv K = U g = mgx Ur = 0 K = 0 U g = mgh h -x x Figure 5.6 Trois temps dans le saut de la sauterelle.

10 5 Physique des mécanismes 5.6 Exercices 5.1 Lors qu on attache une masse de 3 kg à un ressort vertical de masse négligeable, on constate que le ressort s allonge de 1,5 cm. (a) Quel sera l allongement du ressort si on remplace la masse de 3 kg par une masse de 1 kg? (b) Quelle quantité de travail une force extérieure devra-telle accomplir pour allonger ce ressort de 4 cm à partir de sa position naturelle? 3 kg 1,5 cm kg 5. Un bloc de kg chute d une hauteur de 40 cm avant d être arrêté par un ressort ayant une constante de rappel de N/m. Déterminez la compression maximale du ressort. 5.3 Un bloc de kg est relié à un ressort de masse négligeable ayant une constante de rappel de 500 N/m, comme à la figure 5.3. Supposons que l on comprime le bloc sur 5 cm vers la gauche à partir du point d équilibre, puis qu on le relâche. Déterminez la vitesse du bloc (a) si le frottement est négligeable et (b) si le coe cient de frottement entre le bloc et la surface est de 0,35.

(b) Quelle quantité de travail une force extérieure devra-telle accomplir pour allonger ce ressort de 4 cm à partir de sa position naturelle? 3 kg 1,5 cm kg 5.

11 Chapitre 5. Le ressort Un ressort ayant une constante de rappel k = 170 N/m se trouve au sommet d un plan sans frottement incliné de 40. L extrémité du ressort, qui est à sa longueur naturelle, se trouve à 1 m du bas 1 m du plan incliné. On pousse un bloc de kg contre le ressort jusqu à ce qu il soit comprimé de 0, m et on le laisse aller à partir du repos. 40 (a) Quelle est la grandeur de la vitesse du bloc à l instant où le ressort reprend sa longueur naturelle (qui est l instant où le bloc perd contact avec lui)? (b) Quelle est la vitesse du bloc quand il atteint le bas du plan incliné? 5.5 On attache une masse de 3 kg à un ressort de masse négligeable monté sur une poulie. La poulie est exempte de frottement et la masse quitte l état de repos lorsque le ressort est à sa position naturelle. Si la masse tombe sur une distance de 10 cm avant de s immobiliser, déterminez (a) la constante de rappel du ressort et (b) la vitesse de la masse lorsqu elle se trouve à 5 cm plus bas que sa position initiale. 3 kg 10 cm 5.6 On laisse tomber un bloc de 50 g sur un ressort vertical qui se trouve dans sa position naturelle et dont la constante de rappel est k =50N/m. Le bloc se fixe au ressort et le comprime au maximum de 1 cm. Pendant que le ressort se comprime, quel est le travail e ectué sur le bloc 50 g v (a) par la force gravitationnelle qui agit sur lui et (b) par la force du ressort? (c) Quelle est la vitesse du bloc juste avant qu il touche le ressort?

On pousse un bloc de kg contre le ressort jusqu à ce qu il soit comprimé de 0, m et on le laisse aller à partir du repos.

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