Système formé de deux points

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1 MPSI / Mécanique II - Système formé de deux points matériels page /5 Système formé de deux points matériels Table des matières Éléments cinétiques. Éléments cinétiques dans R Centre de masse Référentiel barycentrique Éléments cinétiques dans R Quantité de mouvement totale Moment cinétique total en G Énergie cinétique totale Dynamique du système 3 2. Forces intérieures et forces extérieures Théorème de la quantité de mouvement Théorème du moment cinétique Étude énergétique Théorème de l énergie cinétique Puissance des forces intérieures Énergie potentielle - Énergie mécanique Système isolé de deux points matériels 4 3. Lois de conservation Conservation de la quantité de mouvement Conservation du moment cinétique Conservation de l énergie mécanique Réduction du problème à deux corps à un problème à un corps Mobile fictif - Masse réduite Éléments cinétiques Soit le système formé par deux points matériels M de masse m, de vitesse v, soumis à des forces de résultante F et M 2 de masse m 2, de vitesse v 2, soumis à des forces de résultante F 2. On notera m la somme Par défaut, les vitesses et les accélérations sont calculées par rapport à un référentiel R galiléen Éléments cinétiques. Éléments cinétiques dans R p = p i = m i v i = m v + m 2 v 2 i i est la quantité de mouvement totale ou résultante cinétique du système dans R L O = i L Oi = i OM i m i v i = OM m v + OM 2 m 2 v 2 est le moment cinétique total du système en O dans R E c = i E ci = i 2 m iv 2 i = 2 m v m 2v 2 2 est l énergie cinétique totale du système dans R.2 Centre de masse Le centre de masse du système (ou encore centre d inertie, centre de gravité, barycentre) est le point G défini par ( )OG = m OM + m 2 OM 2 O étant un point quelconque de R ; si O = G Choisissons un point O fixe dans R m GM + m 2 GM 2 = 0 v G = dog = m v + m 2 v 2 est la vitesse du centre de masse G par rapport à R

2 MPSI / Mécanique II - Système formé de deux points matériels page 2/5.3 Référentiel barycentrique Le référentiel barycentrique ou référentiel du centre de masse, noté R, est le référentiel en translation par rapport à R dans lequel le centre de masse G est fixe (souvent pris comme origine de R ) Attention : pour que R soit galiléen, il faut bien sûr que R soit galiléen mais aussi que v G = cte étant en translation par rapport à R, on peut dériver indifféremment par rapport à R ou R, la composition des vitesses s écrit R L G = (GO + OM ) m v + (GO + OM 2 ) m 2 v 2 = GO (m v + m 2 v 2) + OM m v + OM 2 m 2 v 2 = 0 + OM m (v v G ) + OM 2 m 2 (v 2 v G ) = OM m v + OM 2 m 2 v 2 (m OM + m 2 OM 2 ) v G = L O OG mv G Cette relation, qui sera étudiée en 2 e année, est appelée théorème de Koenig relatif au moment cinétique L O = L G + OG mv G v = v + v e = v + v G la composition des accélérations.4.3 Énergie cinétique totale a = a + a e = a + a G.4 Éléments cinétiques dans R E c = i E c i = i 2 m iv i 2 = 2 m v m 2v Quantité de mouvement totale E c = 2 m v m 2v 2 2 p = i p i = i m i v i = m v + m 2 v 2 = 2 m (v v G ) m 2(v 2 v G ) 2 p = m (v v G ) + m 2 (v 2 v G ) = 0 = 2 m v m 2v 2 2 (m v + m 2 v 2 ).v G + 2 ( )v 2 G = E c mv 2 G + 2 mv2 G La quantité de mouvement totale du système dans R est nulle p = 0 = E c 2 mv2 G.4.2 Moment cinétique total en G Cette relation, qui sera étudiée en 2 e année, est appelée théorème de Koenig relatif à l énergie cinétique L G = i L G i = i GM i m i v i = GM m v + GM 2 m 2 v 2 E c = E c + 2 mv2 G

3 MPSI / Mécanique II - Système formé de deux points matériels page 3/5 2 Dynamique du système 2. Forces intérieures et forces extérieures Décomposons F en F ext +F 2 où F ext est la force exercée par l extérieur sur M et F 2 la force exercée par M 2 sur M. De même F 2 = F ext 2 + F 2 Les forces F 2 et F 2 s exerçant entre M et M 2 sont appelées forces intérieures au système, les autres forces étant les forces extérieures au système 2.2 Théorème de la quantité de mouvement ou théorème de la résultante cinétique R étant galiléen, on peut appliquer le principe fondamental de la dynamique à M = F = F ext + F 2 2 = F 2 = F ext 2 + F 2 en ajoutant membre à membre on fait apparaître la quantité de mouvement totale d(p + p 2 ) = F + F 2 = F ext + F ext 2 + F 2 + F 2 en utilisant la 3 e loi de Newton ou principe de l action et de la réaction = F ext où p est la quantité de mouvement totale et F ext la résultante des forces extérieures qui s exercent sur le système Le mouvement de G est identique à celui d un point matériel de masse m = soumis à une force égale à la résultante des forces extérieures 2.3 Théorème du moment cinétique Soit O un point fixe de R galiléen Appliquons le théorème du moment cinétique en O à M dl O dl O2 = OM F = OM F ext + OM F 2 = OM 2 F 2 = OM 2 F ext 2 + OM 2 F 2 en ajoutant membre à membre on fait apparaître le moment cinétique total d(l O + L O2 ) = OM F ext + OM 2 F ext 2 + M M 2 F 2 en utilisant la 3 e loi de Newton ou principe de l action et de la réaction dl O = M Oext où L O est le moment cinétique total en O et M Oext le moment résultant en O des forces extérieures qui s exercent sur le système 2.4 Étude énergétique 2.4. Théorème de l énergie cinétique R étant galiléen, on peut appliquer le théorème de l énergie cinétique à M p = m v + m 2 v 2 = mv G = m dv G = ma G = F ext 2 = F.v = F ext.v + F 2.v = F 2.v 2 = F ext 2.v 2 + F 2.v 2

4 MPSI / Mécanique II - Système formé de deux points matériels page 4/5 en ajoutant membre à membre on fait apparaître l énergie cinétique totale d(e c + E c2 ) = F ext.v + F ext 2.v 2 + F 2.v + F 2.v 2 Contrairement aux deux cas précédents, il n y a, a priori, aucune raison que les termes faisant apparaître les forces intérieures disparaissent 3. Lois de conservation 3.. Conservation de la quantité de mouvement = 0 p = mv G = cte Le référentiel barycentrique est donc galiléen = P ext + P int 3..2 Conservation du moment cinétique où E c est l énergie cinétique totale, P ext la puissance des forces extérieures et P int la puissance des forces intérieures Puissance des forces intérieures Remarquons que la puissance des forces intérieures est indépendante du référentiel P int = F 2.v + F 2.v 2 = F 2.(v 2 v ) = F 2.(v 2 v ) En particulier, pour un système rigide, P int = Énergie potentielle - Énergie mécanique Si toutes les forces sont conservatives ou ne travaillent pas = de p où E p est l énergie potentielle totale, alors l énergie mécanique totale E = E c +E p se conserve 3 Système isolé de deux points matériels Si le système est isolé, F ext = 0 et F ext 2 = 0, alors F ext = 0, M Oext = 0 et P ext = 0 dl O = 0 L O = cte R et R étant en translation l un par rapport à l autre, on peut dériver indifféremment; comme L G = L O OG mv G dl G = dl O v G mv G OG m dv G dl G = 0 L G = cte = dl O On aurait pu aussi appliquer le théorème du moment cinétique en G (fixe dans R ) dans R galiléen 3..3 Conservation de l énergie mécanique = P int Dans le cadre du programme les forces intérieures qui s exercent entre M et M 2 sont conservatives (par exemple interaction gravitationnelle ou électrostatique) de = 0 E = cte R et R étant en translation l un par rapport à l autre, on peut dériver indifféremment; comme E c = E c 2 mv2 G de c = mv G. dv G = = P int = P int = de p

5 MPSI / Mécanique II - Système formé de deux points matériels page 5/5 de = 0 E = cte 3.2 Réduction du problème à deux corps à un problème à un corps 3.2. Mobile fictif - Masse réduite Reprenons m a = F 2 a = a 2 a = F 2 m 2 F 2 m m 2 a 2 = F 2 = F 2 m 2 avec µ = m + m 2, µ appelé masse réduite + F 2 m a = a 2 a = d2 OM 2 2 d2 OM 2 = d2 M M 2 2 Soit P appelé mobile fictif et défini par GP = M M 2 = re r = F 2 µ La relation µa = F 2 peut donc être considérée comme le PFD appliqué dans le référentiel barycentrique (a = a et dérivation indifférente) à un mobile équivalent P de masse µ et soumis à une force F 2 La vitesse du mobile fictif d où v = dgp = dm M 2 = dom 2 dom v = m 2 v v 2 = + m v = v 2 v = v 2 v d autre part, les relations m GM + m 2 GM 2 = 0 et GP = M M 2 = GM 2 GM conduisent à GM = m 2 GP GM 2 = + m GP calculons alors l énergie cinétique et le moment cinétique E c = 2 m ( m ) 2 2 v + ( 2 m 2 + m ) 2 v = 2 µv2 L G = GM m v + GM 2 m 2 v2 = m ( 2 GP m m ) 2 m m v + GP m 2 v = GP µv En général, La force F 2 est conservative, portée par M M 2 et ne dépend que de la distance relative entre M et M 2 F 2 = F(r)e r Tout se passe donc comme si le mobile équivalent P ressentait la force centrale conservative créée par le centre de force fixe G Éléments cinétiques La quantité de mouvement totale dans R est nulle par définition de R p = m v + m 2 v 2 = 0