Démontrer qu'un point est le milieu d'un segment

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1 émntrer qu'un pint est le milieu d'un segment P 1 Si un pint est sur un segment et à égale distance de ses etrémités alrs ce pint est le milieu du segment. P 2 Si un quadrilatère est un alrs ses diagnales se cupent en leur milieu. ('est aussi vrai pur les lsanges, rectangles et carrés qui snt des s particuliers.) appartient à [] et = est le milieu de []. est un ses diagnales [] et [] se cupent en leur milieu. P 3 Si et ' snt smétriques par rapprt à un pint alrs est le milieu du segment [']. ' et ' snt smétriques par rapprt au pint le pint est le milieu de [']. P 4 Si une drite est la médiatrice d'un segment alrs elle cupe ce segment en sn milieu. est la médiatrice du segment [] cupe le segment [] en sn milieu. P 5 Si un triangle est rectangle alrs sn cercle circnscrit a pur centre le milieu de sn hpténuse. est un triangle rectangle d'hpténuse [] le centre de sn cercle circnscrit est le milieu de []. P 6 Si, dans un triangle, une drite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuième côté alrs elle passe par le milieu du trisième côté. I J ans le triangle, I est le milieu de [] et la parallèle à () cupe [] en J J est le milieu de []. émntrer que deu drites snt parallèles P 7 Si deu drites snt parallèles à une même trisième drite alrs elles snt parallèles entre elles. (d 1) (d 2) (d 3) (d 1) // (d 2) et (d 2) // (d 3) (d 1) // (d 3). P 8 Si deu drites snt perpendiculaires à une même trisième drite alrs elles snt parallèles entre elles. (d 3) (d 1) (d 2) (d 1) (d 3) et (d 2) (d 3) (d 1) // (d 2). P 9 Si un quadrilatère est un alrs ses côtés ppsés snt parallèles. ('est aussi vrai pur les lsanges, rectangles et carrés qui snt des s particuliers.) est un () // () et () // (). 246 L'SSNTIL S PRPRIÉTÉS UTILS UX ÉNSTRTINS

2 P 10 Si deu drites cupées par une sécante frment des angles alternes-internes de même mesure alrs ces drites snt parallèles. u v w G t Les drites (vt) et (u) snt cupées par la sécante (w), v G w et snt alternes-internes et de même mesure (vt) // (u). P 11 Si deu drites cupées par une sécante frment des angles crrespndants de même mesure alrs ces drites snt parallèles. u v w G t Les drites (vt) et (u) snt cupées par la sécante (w), Gt et snt crrespndants et de même mesure (vt) // (u). P 12 Si, dans un triangle, une drite passe par les milieu de deu côtés alrs elle est parallèle au trisième côté. I J ans le triangle, I est le milieu de [] et J est le milieu de [] (IJ) est parallèle à (). P 13 Si deu drites snt smétriques par rapprt à un pint alrs elles snt parallèles. P 14 Réciprque du thérème de Thalès : Sient et (d') deu drites sécantes en. et snt deu pints de distincts de. et N snt deu pints de (d') distincts de. Si les pints,, d'une part et les pints,, N d'autre part snt alignés dans le même rdre et si = N, alrs les drites () et (N) snt parallèles. ' (d') N ' (d') Les drites et (d') snt smétriques par rapprt au pint // (d'). Les pints,, d'une part et les pints N,, d'autre part snt alignés dans le même rdre. Si, de plus, = N, alrs, d'après la réciprque du thérème de Thalès, les drites (N) et () snt parallèles. émntrer que deu drites snt perpendiculaires P 15 Si deu drites snt parallèles et si une trisième drite est perpendiculaire à l'une alrs elle est perpendiculaire à l'autre. (d 3) (d 1) (d 2) (d 1) (d 3) et (d 1) // (d 2) (d 2) (d 3). P 16 Si un quadrilatère est un lsange alrs ses diagnales snt perpendiculaires. ('est aussi vrai pur le carré qui est un lsange particulier.) est un lsange () (). P 17 Si un quadrilatère est un rectangle alrs ses côtés cnsécutifs snt perpendiculaires. ('est aussi vrai pur le carré qui est un rectangle particulier.) est un rectangle () (), () (), () () et () (). L'SSNTIL S PRPRIÉTÉS UTILS UX ÉNSTRTINS 247

3 P 18 Si une drite est la médiatrice d'un segment alrs elle est perpendiculaire à ce segment. est la médiatrice du segment [] est perpendiculaire à []. P 19 Si une drite est tangente à un cercle en un pint alrs elle est perpendiculaire au ran de ce cercle qui a pur etrémité ce pint. est tangente en au cercle de centre est perpendiculaire à []. émntrer qu'un triangle est rectangle P 20 Réciprque du thérème de Pthagre : Si, dans un triangle, le carré de la lngueur du plus grand côté est égal à la smme des carrés des lngueurs des deu autres côtés alrs le triangle est rectangle et il admet ce plus grand côté pur hpténuse. ans le triangle, 2 = 2 2 le triangle est rectangle en. P 21 Si, dans un triangle, la lngueur de la médiane relative à un côté est égale à la mitié de la lngueur de ce côté alrs ce triangle est rectangle et il admet ce côté pur hpténuse. ans le triangle, est le milieu de [] et = 2 le triangle est rectangle en. P 22 Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés alrs il est rectangle et il admet ce diamètre pur hpténuse. appartient au cercle de diamètre [] est un triangle rectangle en. émntrer qu'un quadrilatère est un P 23 Si un quadrilatère a ses côtés ppsés parallèles deu à deu alrs c'est un ans le quadrilatère, () // () et () // () est un P 24 Si un quadrilatère a ses diagnales qui se cupent en leur milieu alrs c'est un ans le quadrilatère, les diagnales [] et [] se cupent en leur milieu. nc est un P 25 Si un quadrilatère nn crisé a deu côtés ppsés parallèles et de même lngueur alrs c'est un ans le quadrilatère nn crisé, () // () et = est un 248 L'SSNTIL S PRPRIÉTÉS UTILS UX ÉNSTRTINS

4 P 26 Si un quadrilatère nn crisé a ses côtés ppsés de la même lngueur deu à deu alrs c'est un ans le quadrilatère nn crisé, = et = est un P 27 Si un quadrilatère nn crisé a ses angles ppsés de la même mesure alrs c'est un ans le quadrilatère nn crisé, = et = est un P 28 Si un quadrilatère nn crisé a un centre de smétrie alrs c'est un est centre de smétrie du quadrilatère est un émntrer qu'un quadrilatère est un lsange P 29 Si un quadrilatère a ses quatre côtés de la même lngueur alrs c'est un lsange. ans le quadrilatère = = = est un lsange. P 30 Si un a ses diagnales perpendiculaires alrs c'est un lsange. est un et () () est un lsange. P 31 Si un a deu côtés cnsécutifs de la même lngueur alrs c'est un lsange. est un et = est un lsange. émntrer qu'un quadrilatère est un rectangle P 32 Si un quadrilatère pssède tris angles drits alrs c'est un rectangle. pssède tris angles drits est un rectangle. P 33 Si un a ses diagnales de la même lngueur alrs c'est un rectangle. est un et = est un rectangle. P 34 Si un pssède un angle drit alrs c'est un rectangle. est un et () () est un rectangle. L'SSNTIL S PRPRIÉTÉS UTILS UX ÉNSTRTINS 249

5 émntrer qu'un quadrilatère est un carré P 35 Si un quadrilatère vérifie à la fis les prpriétés du lsange et du rectangle alrs c'est un carré. éterminer la mesure d'un segment P 36 Si un triangle est iscèle alrs il a deu côtés de la même lngueur. est iscèle en =. P 37 Si un triangle est équilatéral alrs il a tus ses côtés de la même lngueur. est équilatéral = =. P 38 Si un quadrilatère est un alrs ses côtés ppsés nt la même lngueur. ('est également vrai pur les rectangles, les lsanges et les carrés qui snt des s particuliers.) est un = et =. P 39 Si un quadrilatère est un lsange alrs tus ses côtés snt de la même lngueur. ('est également vrai pur les carrés qui snt des lsanges particuliers.) est un lsange = = =. P 40 Si un quadrilatère est un rectangle alrs ses diagnales nt la même lngueur. ('est également vrai pur les carrés qui snt des rectangles particuliers.) est un rectangle =. P 41 Si deu pints appartiennent à un cercle alrs ils snt équidistants du centre de ce cercle. et appartiennent au cercle de centre =. P 42 Si un pint appartient à la médiatrice d'un segment alrs il est équidistant des etrémités de ce segment. appartient à la médiatrice de [] =. P 43 Si un pint appartient à la bissectrice d'un angle alrs il est situé à la même distance des côtés de cet angle. P N appartient à la bissectrice de l'angle N = P. 250 L'SSNTIL S PRPRIÉTÉS UTILS UX ÉNSTRTINS

6 P 44 Si deu segments snt smétriques par rapprt à une drite alrs ils nt la même lngueur. ' ' Les segments [] et [''] snt smétriques par rapprt à l'ae = ''. P 45 Si un cercle est l'image d'un autre cercle par une smétrie aiale u centrale alrs ils nt le même ran. ' Les cercles de centres et ' snt smétriques par rapprt à ils nt le même ran. P 46 Si deu segments snt smétriques par rapprt à un pint alrs ils nt la même lngueur. ' ' Les segments [] et [''] snt smétriques par rapprt au pint = ''. P 47 Si, dans un triangle, un segment jint les milieu de deu côtés alrs sa lngueur est égale à la mitié de celle du trisième côté. I J ans le triangle, I est le milieu de [] et J est le milieu de [] IJ = 2. P 48 Thérème de Thalès : Sient deu drites et (d') sécantes en. et snt deu pints de distincts de. et N snt deu pints de (d') distincts de. Si les drites () et (N) snt parallèles alrs = N = N. N (d') Les drites () et (N) snt sécantes en. (N) est parallèle à (). nc = N = N. P 49 Thérème de Pthagre : Si un triangle est rectangle alrs le carré de la lngueur de l'hpténuse est égal à la smme des carrés des lngueurs des deu autres côtés. est un triangle rectangle en 2 = 2 2. P 50 Si un triangle est rectangle alrs la lngueur de la médiane issue de l'angle drit a pur lngueur la mitié de la lngueur de l'hpténuse. I est un triangle rectangle en et I est le milieu de [] I = 2. L'SSNTIL S PRPRIÉTÉS UTILS UX ÉNSTRTINS 251

7 éterminer la mesure d'un angle P 51 Si deu angles snt smétriques par rapprt à une drite alrs ils nt la même mesure. ' ' ' et ' ' ' snt smétriques par rapprt à l'ae = ' ' '. P 52 Si deu angles snt smétriques par rapprt à un pint alrs ils nt la même mesure. ' et ' ' ' snt smétriques par rapprt au pint = ' ' '. ' ' P 53 Si un quadrilatère est un alrs ses angles ppsés nt la même mesure. ('est également vrai pur les lsanges, les rectangles et les carrés qui snt des s particuliers.) est un = et =. P 54 ans un triangle, la smme des mesures des angles est égale à 180. ans le triangle, = 180. P 55 Si un quadrilatère est un alrs deu de ses angles cnsécutifs snt supplémentaires. est un = 180. P 56 Si un triangle est rectangle alrs ses angles aigus snt cmplémentaires. est un triangle rectangle en = 90. P 57 Si un triangle est iscèle alrs ses angles à la base nt la même mesure. est un triangle iscèle en =. P 58 Si un triangle est équilatéral alrs ses angles mesurent 60. est un triangle équilatéral = = = 60. P 59 Si deu angles snt ppsés par le smmet alrs ils nt la même mesure. Les angles et snt ppsés par le smmet =. 252 L'SSNTIL S PRPRIÉTÉS UTILS UX ÉNSTRTINS

8 ) ) P 60 Si deu drites parallèles snt cupées par une sécante alrs les angles alternes-internes qu'elles frment snt de même mesure. v u w G t Les angles alternes-internes snt déterminés par les drites (vt) et (u) qui snt parallèles et la sécante (w) vgw =. P 61 Si deu drites parallèles snt cupées par une sécante alrs les angles crrespndants qu'elles frment snt de même mesure. P 62 Si une drite est la bissectrice d'un angle alrs elle partage l'angle en deu angles adjacents de même mesure. P 63 Si deu angles snt inscrits dans un même cercle et s'ils interceptent le même arc de cercle alrs ils nt la même mesure. P 64 Si un angle inscrit dans un cercle et un angle au centre interceptent le même arc de cercle, alrs l'angle au centre mesure le duble de l'angle inscrit. v G u w L T t c I c L Les angles crrespndants snt déterminés par les drites (vt) et (u) qui snt parallèles et la sécante (w) Gt =. La drite () est la bissectrice de l'angle =. Les angles T et L snt inscrits dans le cercle c. Ils interceptent tus les deu l'arc. nc ils nt la même mesure. ans le cercle c, l'angle inscrit IL et l'angle au centre L interceptent le même arc nc l'angle au centre L mesure le duble de l'angle inscrit IL. L = 2 IL. émntrer avec les drites remarquables du triangle P 65 Si deu pints snt smétriques par rapprt à une drite alrs cette drite est la médiatrice du segment aant pur etrémités ces deu pints. ' ' est le smétrique de par rapprt à la drite est la médiatrice du segment [']. P 66 Si un pint est équidistant des etrémités d'un segment alrs il est situé sur la médiatrice de ce segment. = appartient à la médiatrice du segment []. L'SSNTIL S PRPRIÉTÉS UTILS UX ÉNSTRTINS 253

9 P 67 Si, dans un triangle, une drite passe par un smmet et est perpendiculaire au côté ppsé alrs c'est une hauteur du triangle. ans le triangle, passe par le smmet et est perpendiculaire au côté ppsé [] est une hauteur du triangle. P 68 Si, dans un triangle, une drite passe par un smmet et par le milieu du côté ppsé alrs c'est une médiane du triangle. ans le triangle, passe par le smmet et par le milieu du côté ppsé [] est une médiane du triangle. P 69 Si une drite partage un angle en deu angles égau alrs cette drite est la bissectrice de l'angle. = () est la bissectrice de l'angle. P 70 Si un pint est situé à la même distance des côtés d'un angle alrs il appartient à la bissectrice de cet angle. P N P = N appartient à la bissectrice de l'angle. 254 L'SSNTIL S PRPRIÉTÉS UTILS UX ÉNSTRTINS

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