Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés

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1 Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre Exercice 3 : schéma de Bernoulli d ordre Exercice 4 : représentation d un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré Exercice 5 : loi binomiale de paramètres et Exercice 6 : coefficient binomial et nombre de chemins d un arbre Exercice 7 : propriétés des coefficients binomiaux et formule du triangle de Pascal Exercice 8 : calcul de probabilité avec la loi binomiale Exercice 9 : espérance de la loi binomiale Exercice 10 : variance de la loi binomiale Exercice 11 : algorithme de simulation d une expérience aléatoire (tirage d une boule avec remise) 1

2 Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Dans chacune des quatre situations suivantes, reconnaître une épreuve de Bernoulli en définissant le la probabilité associée. et Situation 1 : On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on regarde si le nombre obtenu est un multiple de 3. Situation 2 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on regarde si la carte tirée est un as. Situation 3 : On jette une pièce de monnaie non truquée. Situation 4 : On extrait une boule au hasard, d une urne contenant 5 boules vertes et 2 boules rouges toutes indiscernables au toucher, et on note sa couleur. Correction de l exercice 1 Rappel : Epreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l une appelée (notée ) et l autre appelée (notée ou plus communément ). Situation 1 : On lance un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on regarde si le nombre obtenu est un multiple de 3. On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour l événement «le nombre obtenu est un multiple de 3» et pour l événement «le nombre obtenu n est pas un multiple de 3». Le dé cubique a pour faces les numéros 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Or, seuls les nombres 3 et 6 sont multiples de 3. Autrement dit, 2 faces parmi les 6 faces du dé affichent un multiple de 3. Comme le dé est équilibré, la situation est équiprobable et chaque face a 1 chance sur 6 de sortir. La probabilité d obtenir un multiple de 3 est égale à, c est-à-dire à. On a donc. Situation 2 : On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes et on regarde si la carte tirée est un as. On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour «la carte tirée est un as» et pour l événement «la carte tirée n est pas un as». l événement Un jeu de 32 cartes comporte 4 as (l as de pique, l as de cœur, l as de carreau et l as de trèfle). Le tirage de la carte se fait de manière aléatoire donc la situation est équiprobable et chaque carte a 1 chance sur 32 d être tirée. La probabilité d obtenir un des 4 as parmi les 32 cartes est donc donnée par. 2

3 Situation 3 : On jette une pièce de monnaie non truquée. On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour «on obtient Pile» et pour l événement «on obtient Face» (ou vice versa). l événement La pièce de monnaie n étant pas truquée, la situation est équiprobable et chaque face de la pièce a la même probabilité d apparaître. La probabilité d obtenir Pile est alors donnée par. Situation 4 : On extrait une boule au hasard, d une urne contenant 5 boules vertes et 2 boules rouges toutes indiscernables au toucher, et on note sa couleur. On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour l événement «on obtient une boule verte» et pour l événement «on obtient une boule rouge» (ou vice versa). Les 7 boules sont toutes indiscernables au toucher donc la situation est celle de l équiprobabilité ; chaque boule a 1 chance sur 7 d être extraite de l urne. La probabilité d obtenir une des 5 boules vertes parmi les 7 boules de l urne est donc donnée par. 3

4 Exercice 2 (1 question) Niveau : facile On lance deux dés tétraédriques parfaits et on regarde si la somme des dés est supérieure ou égale à 5. Donner la loi de probabilité associée à cette expérience. Correction de l exercice 2 Rappel : Loi de Bernoulli Une loi de Bernoulli de paramètre est une loi de probabilité définie sur l ensemble des issues d une épreuve de Bernoulli, associant la probabilité au et la probabilité à l. Issue Probabilité On peut modéliser cette expérience aléatoire comme une épreuve de Bernoulli ayant pour l événement «la somme des dés est supérieure ou égale à 5» et pour l événement «la somme des dés est strictement inférieure à 5». Le jet de 2 dés tétraédriques parfaits conduit à issues. Parmi ces 16 issues, 10 correspondent à une somme supérieure ou égale à 5. Par conséquent, dé dé 2 Il vient alors que. Issue D où la loi de probabilité ci-contre : Probabilité 4

5 Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Une urne contient 3 boules blanches et 12 boules noires, toutes indiscernables au toucher. On tire successivement et avec remise 3 boules de l urne. Quelle est la probabilité d obtenir 3 boules blanches au terme des 3 tirages? Correction de l exercice 3 Rappel : Schéma de Bernoulli Un schéma de Bernoulli d ordre est une répétition de épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. L expérience aléatoire qui consiste à tirer une boule de l urne et à observer si la boule tirée est blanche peut être modélisée par une épreuve de Bernoulli ayant pour l événement «la boule extraite de l urne est blanche» et pour l événement «la boule extraite de l urne est noire». Comme les 3 boules blanches et les 12 boules noires ne sont pas discernables au toucher, la situation est équiprobable et chaque boule a 1 chance sur 15 d être tirée de l urne. On dénombre 3 boules blanches parmi le lot de 15 boules donc la probabilité d obtenir une boule blanche est donnée par. On tire successivement et avec remise 3 boules de l urne. Cette expérience aléatoire est la répétition de 3 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de paramètre. Autrement dit, l expérience est un schéma de Bernoulli d ordre. Par conséquent, la probabilité d obtenir 3 boules blanches au terme des 3 tirages est égale à. Remarque importante : Si les tirages ont lieu sans remise, il ne s agit plus d un schéma de Bernoulli car les expériences répétées ne sont plus ni identiques, ni indépendantes. 5

6 Exercice 4 (1 question) Niveau : facile On fait tourner deux fois de suite la roue ci-contre, parfaitement équilibrée, et dont les secteurs colorés sont représentés par une même aire. Représenter l expérience à l aide d un arbre pondéré. Correction de l exercice 4 L expérience aléatoire qui consiste à faire tourner la roue ci-dessus et à observer la couleur du segment obtenu peut être modélisée par une épreuve de Bernoulli ayant pour l événement «le segment est vert» et pour l événement «le segment est gris». Les 8 secteurs colorés sont tous de même aire et la roue est parfaitement équilibrée. Par conséquent, on a une situation d équiprobabilité : chaque segment a 1 chance sur 8 d apparaître. On dénombre 3 secteurs verts parmi les 8 secteurs colorés, donc la probabilité vert est donnée par. d obtenir un segment de roue. En outre, la probabilité d obtenir un segment de couleur grise est donnée par On fait tourner deux fois de suite cette roue, ce qui correspond à la répétition de deux épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. Ce schéma de Bernoulli d ordre 2 et de paramètre l arbre de probabilité suivant : peut être représenté par 6

7 Exercice 5 (1 question) Niveau : facile Un questionnaire à choix multiples (QCM) comporte 10 questions. Pour chacune d elles, quatre réponses sont proposées dont une seule correcte. Un élève répond au hasard à chaque question du QCM. On note le nombre de réponses correctes qu il a données. Préciser la loi de probabilité suivie par. Correction de l exercice 5 Rappel : Loi binomiale de paramètres et Soit un schéma de Bernoulli d ordre, répétition de épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de même paramètre, et soit la variable aléatoire qui associe à cette répétition de épreuves le nombre de. La loi de probabilité de est alors appelée loi binomiale de paramètres et et est notée. Le choix aléatoire d une réponse à une question peut être modélisé par une épreuve de Bernoulli ayant pour l événement «la réponse choisie est la réponse correcte» et pour l événement «la réponse choisie est une réponse erronée». A chaque question sont proposées 4 réponses, dont une seule correcte. Ainsi,. L élève répond au hasard à chacune des 10 questions du QCM donc il y a répétition de 10 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Autrement dit, l expérience décrite est un schéma de Bernoulli d ordre. La variable aléatoire prend pour valeur le nombre de réponses correctes, c est-à-dire comptabilise le nombre de ; suit donc la loi binomiale de paramètres et. 7

8 Exercice 6 (1 question) Niveau : facile A l aide d un arbre, calculer les quatre nombres suivants : Correction de l exercice 6 Rappel : Coefficient binomial On représente à l aide d un arbre un schéma de Bernoulli, répétition de épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Pour tout entier tel que, le nombre de chemins réalisant est noté et appelé coefficient binomial. En considérant l arbre ci-contre, correspondant à la répétition de 3 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, on dénombre chemins. Ces chemins sont : «--», «--», «--», «--», «--», «--», «--», «--». Un seul chemin réalise 3 ; il s agit du chemin «--». On a donc. 8

9 Trois chemins réalisent 2 ; il s agit des chemins «--», «--» et «--». On a donc. Trois chemins réalisent 1 ; il s agit des chemins «--», «--» et «--». On a donc. Un seul chemin réalise 0 ; il s agit du chemin «--». On a donc. 9

10 Exercice 7 (3 questions) Niveau : moyen Par convention, on pose. De plus, pour tous entiers et tels que et, on a : 1) Montrer que, pour tout entier non nul, on a : 2) Montrer que, pour tous entiers et tels que et, on a : 3) Calculer la somme suivante : Correction de l exercice 7 1) Remarque (autre démonstration) : Il y a en effet un seul chemin qui ne réalise aucun. Remarque (autre démonstration) : Il y a en effet un seul chemin qui ne réalise que des. 2) Remarque (autre démonstration) : Il y a autant de chemins qui réalisent réalisent s, c est-à-dire. que de chemins qui Autre remarque : On dit que les coefficients binomiaux sont symétriques. 10

11 Remarque importante (autre démonstration) : Cette égalité est également connue sous le nom de «formule du triangle de Pascal», dont voici une autre démonstration (au programme). On suppose et on considère l arbre à répétitions d une épreuve de Bernoulli. Les chemins qui indiquent sont de deux types. D une part, ceux qui indiquent lors des premières répétitions ; il y en a donc. D autre part, ceux qui indiquent les lors des premières répétitions ; il y en a donc. chemins donnent en répétitions, c est-à-dire. 3) correspond au nombre de chemins réalisant 0 dans un schéma de Bernoulli d ordre. De même, correspond au nombre de chemins réalisant 1 dans un schéma de Bernoulli d ordre etc. Par conséquent, la somme considérée correspond au nombre de chemins réalisant 0, 1, et, soit toutes les branches de l arbre 1 fois et 1 seule chacune. Comme l arbre dispose de branches, la somme considérée vaut. Autrement dit,. Remarque importante (autre démonstration) : On peut également montrer cette égalité en utilisant la formule du binôme de Newton. En effet, on a : Rappel : Formule du binôme de Newton Pour tous réels et et pour tout entier naturel non nul, on a : 11

12 Exercice 8 (3 questions) Niveau : facile Une usine fabrique des composants électroniques dont 5% présentent des défauts. On considère un échantillon de 200 objets. 1) Quelle est la probabilité qu aucun objet ne soit défectueux? 2) Quelle est la probabilité qu un seul objet soit défectueux? 3) Quelle est la probabilité qu au plus 3 objets soient défectueux? Correction de l exercice 8 Rappel : Probabilité d un événement avec la loi binomiale Si est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres et, alors, pour tout entier tel que,. Soit la variable aléatoire égale au nombre d objets défectueux dans l échantillon considéré. suit alors la loi binomiale de paramètres et. 1) Calculons la probabilité qu aucun objet ne soit défectueux. 2) Calculons la probabilité qu un seul objet soit défectueux. 3) Calculons la probabilité qu au plus 3 objets soient défectueux. 12

13 Exercice 9 (3 questions) Niveau : moyen Un fabricant produit et vend 400 consoles de jeux par mois. Le coût de fabrication est de 160 par machine. Le fabricant fait réaliser un test de conformité, dans les mêmes conditions, sur chacun de ses objets fabriqués. Le test est positif dans 93% des cas et une console de jeux reconnue conforme peut alors être vendue 290. Si le test est en revanche négatif, la console de jeux est bradée au prix de ) On note la variable aléatoire qui indique le nombre de consoles de jeux conformes parmi les 400 produites. Calculer l espérance de. 2) On note la variable aléatoire qui indique le bénéfice mensuel, exprimé en euros. Calculer l espérance de et interpréter le résultat. Correction de l exercice 9 Rappel : Espérance mathématique de la loi binomiale Si est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres et, alors l espérance mathématique de, notée, est donnée par. 1) Calculons l espérance de. Le test de conformité est une épreuve de Bernoulli dont le est l issue «la console de jeux est conforme». Le test est positif dans 93% des cas donc. On répète 400 fois cette épreuve de Bernoulli dans les mêmes conditions d indépendance. On définit ainsi un schéma de Bernoulli d ordre 400. La variable aléatoire indique le nombre de consoles de jeux conformes parmi les 400, c est-à-dire le nombre de au test de conformité. suit donc la loi binomiale de paramètres et. Il vient alors que. 2) Calculons l espérance de. indique le nombre de consoles de jeux conformes. Par conséquent, le nombre de consoles de jeux non conformes est donné par. Le prix de vente en euros est alors égal à, c est-àdire à. En outre, le prix de revient des 400 consoles est égal à, c est-à-dire à euros. On en déduit le bénéfice mensuel en euros :. En définitive,. Le fabricant peut donc espérer un bénéfice mensuel de euros pour consoles de jeux. Rappel : Linéarité de l espérance mathématique Soient et deux variables aléatoires définies sur le même univers et soit une probabilité sur. Pour tous réels et, on a : 13

14 Exercice 10 (1 question) Niveau : moyen On lance 50 fois un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6, truqué de telle sorte que la probabilité de faire apparaître la face numérotée 6 soit supérieure à. On compte le nombre de 6 obtenus. Quelle doit être la valeur de pour que la variance de la loi de probabilité du nombre de 6 obtenus soit égale à 10? Correction de l exercice 10 Rappel : Variance de la loi binomiale Si est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres et, alors la variance de, notée, est donnée par. Notons la variable aléatoire égale au nombre de 6 obtenus lors des 50 lancers du dé cubique. Les lancers étant réalisés dans des conditions identiques et indépendantes, suit la loi binomiale de paramètres et. On cherche ainsi à résoudre l équation Or,. Posons le discriminant du trinôme du second degré, d inconnue. Alors. donc le trinôme admet deux racines réelles distinctes : Or, et donc. Le dé doit donc être truqué de telle sorte que la probabilité d obtenir 6 soit égale à. 14

15 Exercice 11 (1 question) Niveau : moyen Une urne contient boules numérotées de 1 à. On tire au hasard, successivement et avec remise, boules de l urne, et on observe si, à chaque tirage, la boule tirée est numérotée ( entier compris entre 1 et ). Ecrire un algorithme permettant de simuler cette expérience aléatoire. Correction de l exercice 11 1 VARIABLES 2 nb_boules_dans_urne EST_DU_TYPE NOMBRE 3 numero_boule_a_tirer EST_DU_TYPE NOMBRE 4 numero_boule_tiree EST_DU_TYPE NOMBRE 5 occurrence_boule_a_tirer EST_DU_TYPE NOMBRE 6 compteur EST_DU_TYPE NOMBRE 7 nb_tirages EST_DU_TYPE NOMBRE 8 DEBUT_ALGORITHME 9 AFFICHER "Nombre de boules contenues dans l'urne : " 10 LIRE nb_boules_dans_urne (On demande à l utilisateur de préciser le nombre de boules contenues dans l urne.) 11 AFFICHER nb_boules_dans_urne 12 AFFICHER "Nombre de tirages : " 13 LIRE nb_tirages (On demande à l utilisateur de préciser le nombre de tirages à effectuer.) 14 AFFICHER nb_tirages 15 AFFICHER "Numéro de la boule à tirer : " 16 numero_boule_a_tirer PREND_LA_VALEUR floor(random()*nb_boules_dans_urne+1) (On lance un calcul automatique et aléatoire afin d obtenir un numéro de boule compris entre 1 et le nombre de boules contenues dans l urne ; la fonction random() renvoie un nombre réel entre 0 et 1 et la fonction floor renvoie la partie entière d un nombre.) 17 AFFICHER numero_boule_a_tirer 18 occurrence_boule_a_tirer PREND_LA_VALEUR 0 19 AFFICHER "Tirages obtenus : " 20 POUR compteur ALLANT_DE 1 A nb_tirages 21 DEBUT_POUR 22 numero_boule_tiree PREND_LA_VALEUR floor(random()*nb_boules_dans_urne+1) ) (A chaque tour de boucle, on effectue un tirage aléatoire d une boule dont le numéro est compris entre 1 et le nombre de boules contenues dans l urne ) 23 AFFICHER numero_boule_tiree 24 SI (numero_boule_tiree==numero_boule_a_tirer) ALORS (Si le numéro de la boule tirée correspond au numéro de la boule à tirer, alors on augmente d une unité le nombre d occurrences d affichages de cette boule.) 25 DEBUT_SI 26 occurrence_boule_a_tirer PREND_LA_VALEUR occurrence_boule_a_tirer+1 27 FIN_SI 28 FIN_POUR 29 AFFICHER "Nombre d'occurrences de la boule portant le numéro " 30 AFFICHER numero_boule_a_tirer 31 AFFICHER " parmi les " 15

16 32 AFFICHER nb_tirages 33 AFFICHER " tirages : " 34 AFFICHER occurrence_boule_a_tirer 35 FIN_ALGORITHME Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox ***Algorithme lancé*** Nombre de boules contenues dans l'urne : 10 Nombre de tirages : 5 Numéro de la boule à tirer : 6 Tirages obtenus : Nombre d'occurrences de la boule portant le numéro 6 parmi les 5 tirages : 0 ***Algorithme terminé*** ***Algorithme lancé*** Nombre de boules contenues dans l'urne : 15 Nombre de tirages : 7 Numéro de la boule à tirer : 13 Tirages obtenus : Nombre d'occurrences de la boule portant le numéro 13 parmi les 7 tirages : 2 ***Algorithme terminé*** ***Algorithme lancé*** Nombre de boules contenues dans l'urne : 5 Nombre de tirages : 8 Numéro de la boule à tirer : 1 Tirages obtenus : Nombre d'occurrences de la boule numéro 1 parmi les 8 tirages : 2 ***Algorithme terminé*** 16