COMBINATOIRES ET PROBABILITÉS

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1 COMBINATOIRES ET PROBABILITÉS ème année. Analyse combinatoire.. Outils.. Principe de décomposition.. Permutations.. Arrangements..5 Combinaisons 8.. Développement du binôme 9..7 Ce qu il faut absolument savoir 5. Probabilités.. Introduction.. Expérience aléatoire, événement.. Notion de probabilité et axiomes 8.. Probabilités conditionnelles 5..5 Épreuves successives 8.. Théorème de Bayes *..7 Evénements indépendants..8 La loi binomiale Picchione Serge 0-0

2 ..9 Variables aléatoires discrètes 8..0 Moyenne ou espérance mathématique 0.. Variance et écart-type.. Cas particulier de la loi binomiale 7.. Variables aléatoires continues 9.. Quelques lois de probabilités continues 5..5 Ce qu il faut absolument savoir 59. Solutions des exercices 0 Picchione Serge 0-0

3 AVANT-PROPOS Ce document a été conçu pour l enseignement des mathématiques dispensé au Collège de Genève en quatrième année, en combinatoires et probabilités. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d autres filières d enseignement. Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices, des activités et des Q.C.M. à l exception de ceux faisant intervenir des démonstrations. Les exercices accompagnés d un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l option, niveau avancé (MA). Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé. Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l étude d un sous chapitre, vous pouvez vous référer aux sections : «Ce qu il faut absolument savoir» et «Questionnaire à choix multiples». Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l adresse suivante : Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter. BON TRAVAIL! Picchione Serge 0-0

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5 . Analyse combinatoire L analyse combinatoire est la science du dénombrement, elle permet de déterminer le nombre de réalisations possible d une expérience donnée. On y rencontrera des problèmes du type : - De combien de façons peut-on asseoir 0 convives autour d'une table circulaire? - Combien y a-t-il d'issues (résultats possibles) lorsqu'on lance trois dés à faces? - Dans une course de 0 chevaux, combien y a-t-il de podiums possibles? Les réponses à ce type de problèmes sont souvent des nombres gigantesques (la réponse au premier problème dépasse les 00 mille)... Outils A. Le tableau Exemple On lance successivement deux dés à faces. Combien y a-t-il d'issues (résultats possibles)? Réponse : Il y a = résultats possibles. 5 (;) (;) (;) (;) (;5) (;) (;) (;) (;) (;) (;5) (;) (;) (;) (;) (;) (;5) (;) (;) (;) (;) (;) (;5) (;) 5 (5;) (5;) (5;) (5;) (5;5) (5;) (;) (;) (;) (;) (;5) (;) Inconvénient du tableau : on ne peut pas y mettre plus de deux paramètres (dans l'exemple, on ne pourrait pas y mettre trois dés). B. La liste Exemple Combien de nombres peut-on composer avec les chiffres,, et? Réponse : On peut composer avec les chiffres,, et exactement nombres. Inconvénient de la liste : très long, et on risque d'oublier des éléments ou de les mettre plusieurs fois. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

6 C. L'arbre de classement Exemple Combien de nombres peut-on composer avec les chiffres,, et? chiffre des miliers chiffre des centaines chiffre des dizaines chiffre des unités L'arbre se lit verticalement (par exemple: la flèche indique le nombre ). Il est plus sûr que la liste, car de par sa symétrie, on voit s'il y a des doublons ou des éléments manquants. Il peut d'ailleurs être complété de façon partielle ou schématique selon la question qui nous intéresse. Définition Un arbre de classement est un schéma permettant de décrire et de dénombrer tous les résultats possibles d'une expérience donnée. D. La notation factorielle Sur l'exemple précédent, on voit que le premier étage comporte embranchements, le deuxième, le troisième et le dernier seul. L'arbre comporte donc = chemins. On peut ainsi extrapoler et deviner que si l'on rajoute un chiffre à l'énoncé, (càd: "Combien de nombres peut-on former avec les chiffres,,, et 5?") on va trouver 5 = 0 possibilités. On a recours à la notation suivante : Définition Soit n un entier positif ou nul. On appelle n factorielle, noté n!, le produit des nombres entiers de à n. si n=0 n! =... n si n > 0 Exemples 5! = 5 = 0 7! = 5 7 = ! = ,7 0 0! = 70! =... dépasse les capacités des calculatrices courantes! Remarque Sur certaines calculatrices, la touche x! effectue ce type de calcul. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

7 .. Principe de décomposition Activité Pour aller de la ville A à la ville D, on doit traverser trois rivières. Sur ces rivières, on dispose de sept ponts x, x, y, y, y, z, z. (B et C sont aussi des villes) A x x B y y C z z D y a) Combien y a-t-il de trajets différents de A à D? (sans passer deux fois par la même ville ) b) Ajoutons deux ponts z et z sur la rivière située entre les villes C et D. Combien y a-t-il de trajets différents de A à D? (sans passer deux fois par la même ville ) c) Ajoutons une ville E et une rivière située entre les villes D et E avec deux ponts w et w. Combien y a-t-il de trajets différents de A à E? (sans passer deux fois par la même ville ) Principe de décomposition Si une expérience globale peut se décomposer en k épreuves élémentaires successives, ces dernières pouvant s'effectuer respectivement de n,n,...n k manières, alors l expérience globale peut se faire de n n... nk manières différentes. C'est ce principe fondamental qui sera utilisé dans les paragraphes suivants pour aboutir aux formules les plus utiles de l'analyse combinatoire. Exemples a) On lance successivement trois dés à faces (une expérience globale). Combien y a-t-il d'issues possibles? {( ),( ),...} Réponse : D = ( chiffres distincts) D = ( chiffres distincts) D = ( chiffres distincts) Selon le principe de décomposition ( épreuves), le nombre d'issues possibles est de =. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

8 b) On veut imprimer une plaque de voiture comportant de gauche à droite, lettres distinctes et chiffres, le premier est différent de zéro (une expérience globale). A combien s'élève le nombre de plaques de ce type? {( CH ),( DE5 ),...,...} Réponse : L = ( lettres possibles) L = 5 (pour avoir des lettres distinctes) C = 9 (sans le zéro) C = 0 C5 = 0 Selon le principe de décomposition (5 épreuves), le nombre possible de plaques de ce type est de = 585'000. Remarque Dans les exemples précédents a) et b), la représentation de l'expérience globale avec un arbre de classement n'est pas conseillée car le nombre de possibilités est trop élevée... Permutations Exemple Combien de "mots" différents peut-on écrire avec toutes les lettres du mot ECROU? Réponse : Selon le principe de décomposition (5 épreuves) : E C R O U C R O U C O U C O O ère lettre : 5 possibilités ème lettre : possibilités ème lettre : possibilités ème lettre : possibilités 5ème lettre : possibilité Au total : 5 = 5! = 0 possibilités Définition Si on classe dans un ordre particulier n éléments distincts, on forme une permutation simple (de ces n éléments). Remarque Il y a dans l'exemple ci-dessus 0 permutations du "mot" ECROU. Autres exemple a) Combien de mots différents peut-on former à l aide des 7 lettres distinctes A, B, C, D, E, F, G? Réponse : Il y a P7 = 7 5 = 7! = 500 mots différents. b) De combien de façons différentes peut-on asseoir 5 personnes sur un banc? Réponse : P5 = 5 = 5! = 0 possibilités. En généralisant et en utilisant le principe de décomposition, le nombre P n de permutations simples est : P=n! n P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

9 Question Combien de mots différents peut-on écrire avec toutes les lettres du mot ERRER? Partons des permutations simples du mot ER er : on en trouve 5 = 5! = 0. Mais parmi celles-ci, certaines sont indiscernables si l'on emploie le même graphisme pour toutes les lettres : En partant du mot ERRER, on en trouve en permutant les trois r (!) : ER er ERre E Rer E rer ErRe Er er Puis, on peut multiplier par ces possibilités en permutant les deux e (!) : er Er erre e REr e rer erre er ER Nous avons donc 5! = 0 permutations simples pour le mot ERRER ; on en compte fois trop. Ils sont donc au nombre de 5!!! = 0 : RRREE RRERE RREER RERRE RERER REERR ERRRE ERRER ERERR EERRR Définition Si on classe dans un ordre particulier n éléments dont n sont identiques de type, n sont identiques de type,.., n k sont identiques de type k, on forme une permutation avec répétitions (de ces n éléments). En généralisant et en utilisant le principe de décomposition, le nombre P n(n, n,..., n k) de permutations avec répétitions est : n! P n(n, n,..., n k) = n! n!... n! k Remarques a) P n (n, n,..., n k ) < P n b) La barre sur le P signifie "avec répétitions". P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

10 .. Arrangements Exemple Dans une course de 0 chevaux, combien peut-il y avoir de podiums différents (un podium comporte places)? Réponse : Selon le principe de décomposition ( épreuves) : ère place: 0 possibilités ème place: 9 possibilités ème place: 8 possibilités Au total : = 70 possibilités. 0! 0! On peut arriver à ce résultat en utilisant la notation factorielle : = = 7! 0! ( ) Définition Si, parmi n éléments distincts, on choisit r éléments distincts (r n) en les classant dans un ordre particulier, on forme un arrangement simple (de r éléments choisis parmi n). Autre exemple Après les prolongations d'un match de football le nombre de façons de choisir les 5 tireurs!! de penalties parmi les onze joueurs et l'ordre de passage : = = = 55'0 ( 5)!! n En généralisant et en utilisant le principe de décomposition, le nombre A r d'arrangement simples est : n n! A r =n ( n-)... ( n-r+) = n-r! ( ) Remarques n n! n! a) Si r = n, An = = = n! = Pn; les permutations sont un cas particulier des arrangements. n n! 0! ( ) b) Sur certaines calculatrices, la touche npr effectue ce type de calcul. Question Combien de mots différents de lettres peux-t-on former à l aide des 7 lettres A, B, C, D, E, F, G si on peut répéter les lettres dans les mots? Réponse : Selon le principe de décomposition ( épreuves) : Il y a = 7 = 0 mots différents P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

11 Définition Si, parmi n éléments distincts, on choisit r éléments distincts ou non (on peut choisir plusieurs fois le même) en les classant dans un ordre particulier, on forme un arrangement avec répétitions (de r éléments choisis parmi n). Exemples Combien de séquences différentes peut-on lire sur un compteur kilométrique de voiture à chiffres? Réponse : Selon le principe de décomposition ( épreuves) Il y a = 0 = '000'000 choix. n En généralisant et en utilisant le principe de décomposition, le nombre A r d'arrangement avec répétitions est : A =n Remarque La barre sur le A signifie "avec répétitions". n r r P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

12 ..5 Combinaisons Exemple Combien de sous-ensembles de lettres, sans tenir compte de l'ordre, peut-on former à l aide des lettres distinctes{ A,B,C, D }?! Réponse : Si l'on tient compte de l'ordre, voici le nombre de possibilités : A = =! ABC ACB BAC BCA CAB CBA ABD ADB BAD BDA DAB DBA ADC ACD DAC DCA CAD CDA DBC DCB BDC BCD CDB CBD ( ) Or, chacune des colonnes donne les mêmes lettres, qui est alors compté fois (les! permutations du trio). Par conséquent, si l'on ne tient pas compte de l'ordre, comme c'est le cas pour les A! combinaisons, il faut diviser le nombre d'arrangements simples par! : C = = =!!! ( ) Définition Si, parmi n éléments distincts, on choisit r éléments distincts (r n) sans les classer dans un ordre particulier, on forme une combinaison simple (de r éléments choisis parmi n). Autrement dit : une combinaison est un arrangement dans lequel l'ordre ne compte pas. Autre exemple De combien de façons différentes peut-on asseoir 5 personnes sur un banc de places si la place sur le banc est indifférente? 5 5! Réponse : C = = 0 façons. ( 5 )!! n En généralisant et en utilisant le principe de décomposition, le nombre C r de combinaisons n n! simples est : C r = n-r! r! ( ) Remarques a) A C = A = P C b) A n n r n n r r r r Pr c) Autre notation : n n C r = r n r C n r "coefficients binomiaux". d) Sur certaines calculatrices, la touche ncr effectue ce type de calcul. P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

13 .. Développement du binôme (a + b) = a + b (a + b) = (a + b) (a + b) = a + ab + b (a + b) = (a + b) (a + b) (a + b) = a + a b + ab + b... Exemple Développons le binôme suivant : (a + b) = (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) a ne s'obtient que d'une seule façon ; ( a+ b) ( a+ b) ( a+ b) ( a+ b) = a +... Autrement dit : C0 = ab s'obtient de façons différentes. On choisit un b dans une parenthèse, et un a dans les trois autres : ( a+ b) (a + b) ( a+ b) ( a+ b) =... + a b +... Autrement dit, on fait un choix (non ordonné) de une parenthèse parmi quatre : C = ab s'obtient de façons différentes. On choisit un b dans deux parenthèses, et un a dans les deux autres : ( a+ b) (a + b) (a + b) ( a+ b) =... + a b +... Autrement dit, on fait un choix (non ordonné) de deux parenthèses parmi quatre : C = ab s'obtient de façons différentes. On choisit un b dans trois parenthèses, et un a dans la dernière : (a + b) (a + b) (a + b) ( a+ b) =... + ab +... Autrement dit, on fait un choix (non ordonné) de trois parenthèses parmi quatre : C = b ne s'obtient que d'une seule façon. On choisit un b dans quatre parenthèses : (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) =... + b Autrement dit, on fait un choix (non ordonné) de quatre parenthèses parmi quatre : C = En conclusion : ( ) 0 0 a+ b = C a b + C a b + C a b + C a b + C a b 0 = a + a b+ a b + ab + b a+ b = C ab + C ab+ C ab + C ab + C ab + C ab Autre exemple : ( ) En généralisant le processus, on obtient : ( ) ( ) ( n i) 0 5 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n 0 n n n n n n n n n 0 n 0 n n n a+ b = C a b + C a b + C a b C a b + C a b + C a b n noté a + b = C a b n i= 0 n i (La démonstration de cette relation ce fait par récurrence) i Propriétés du binôme ) C = C = ) n n 0 n C n p = ) n Cn p C + C = C + n n n p p+ p+ Démonstration en exercice. P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

14 Exercices (Arbre de classement) ) On lance une pièce de monnaie et on s'arrête dès qu'on a obtenu trois fois le même côté. Construire un arbre représentant cette situation. Combien y a-t-il d issues? ) Observer les figures ci-dessous. Faire une liste des critères qui les différencient et décrire à l'aide d'un arbre toutes les possibilités. Quelles figures manquent sur le dessin? ) On désire se rendre de la case A à la case X. Les seuls déplacements autorisés sont des déplacements d'une case vers la droite ou d'une case vers le bas. Combien y a-t-il de chemins différents allant de la case A à la case X? A X A ) Le diagramme ci-dessous représente des îles : A, B, C, D, E et F. Certaines d'entre elles sont reliées par des ponts. Un touriste part de l'île A et va d'île en île. Il s'arrête pour déjeuner lorsqu'il ne peut plus continuer sans repasser sur un pont qu'il a déjà traversé lors de sa promenade. Quel est le nombre de chemins différents qu'il peut prendre avant de déjeuner? X A B C D E F Exercices (Principe de décomposition) 5) a) Avec les chiffres,,5,,7,9 combien peut-on avoir de nombres de chiffres? (avec et sans répétition) b) Parmi ceux-ci, combien sont inférieurs à 00? (avec et sans répétition) c) Parmi ceux-ci, combien sont pairs? (avec et sans répétition) d) Parmi ceux-ci, combien sont impairs? (avec et sans répétition) e) Parmi ceux-ci, combien sont multiples de 5? (avec et sans répétition) ) Cette bande, partagée en 5 cases, doit être coloriée (case par case) et l'on dispose de 8 couleurs. De combien de manières peut-on procéder si deux cases adjacentes doivent être de couleurs différentes? 7) Combien y a-t-il d'issues possibles lorsqu'on lance quatre dés à faces? P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

15 8) Douze joueurs d échec participent à un tournoi dans lequel chaque joueur joue une fois contre chacun des autres joueurs. Combien y a-t-il de parties disputées? Exercices (Notation factorielle) 9) Simplifier et calculer les expressions suivantes : 7! 0! 8! 00! 0!!! 8! 7!! 98!! 5! (0 )! ( )!! Simplifier les expressions suivantes : n! (n + )! (n r + )! (n )! (n )! (n r )! Exercices (Permutations) 0) Combien de «mots» différents peut-on former avec les lettres des mots suivants : (Attention, les mots formés ne doivent pas forcément avoir un sens) a) eux b) utile c) parmi? ) Soient personnes a) De combien de manières différentes peut-on les mettre en rang? b) De combien de manières peut-on les asseoir autour d'une table circulaire? c) Mêmes questions qu'en a) et b), mais avec personnes! ) a) De combien de façons, peut-on asseoir sur un banc garçons et filles? b) Même question avec la condition supplémentaire que les garçons restent ensemble et les filles aussi. c) Même question, mais les filles s'assoient ensemble. ) Combien de mots différents peut-on écrire avec les lettres du mot : a) arranger b) rire? ) Combien de numéros de plaques différents peut-on former avec les numéros de la plaque CH ) a) Combien de mots différents peut-on écrire avec les lettres du mot : ELEVES. b) Combien de ces mots commencent et finissent par E? c) Combien sont ceux où les trois E sont adjacents? d) Combien commencent par E et se terminent par S? Exercices (Arrangements / Combinaisons) ) De combien de façons peut-on former une cordée de hommes en les choisissant parmi 0 alpinistes? (l ordre à une importance!) 7) On doit envoyer 7 lettres, mais on ne dispose que de timbres. Combien y a-t-il de choix d'envoi possibles? P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

16 8) Il y a 8 balles numérotées de à 8 dans une urne. Combien de nombres de chiffres peut-on former : a) avec replacement des balles dans l'urne? b) sans replacement des balles dans l'urne? 9) Combien de comités de personnes peut-on former avec 8 personnes? 0) Combien de comités de hommes et femmes peut-on former avec 7 hommes et 5 femmes? ) Une classe compte élèves. De combien de façons peut-on former : a) groupes de 8 élèves? b) 8 groupes de élèves? ) Combien un village doit-il avoir d'habitants au minimum pour que l'on soit sûr que deux personnes au moins aient les mêmes initiales? (initiales = lettres). Exercices (mélangés) Indications : Dans chaque exercice, indiquez les étapes de calculs qui font appels au principe de décomposition, aux permutations simples, permutations avec répétitions, arrangements simples, arrangements avec répétitions, combinaisons simples. ) Mademoiselle Combinatoire a le choix entre quatre confitures différentes pour étaler sur une tranche de pain, un toast et une biscotte. Combien y a-t-il de possibilités différentes sachant qu'elle peut éventuellement, en plus de la confiture, les beurrer? ) Dans l'alphabet Braille, chaque lettre ou signe est représenté par points, certains étant en relief. Combien de signes distincts peut-on ainsi composer? 5) Un questionnaire comprend 8 questions auxquelles il faut répondre par oui ou par non. Combien peut-on donner de réponses différentes avec oui et non? P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

17 ) Le code de la porte d'entrée de votre immeuble est composé de chiffres (pas forcément distincts) et d'une lettre. Exemple : A 5 Combien de possibilités le concierge a-t-il pour choisir un code d'entrée? A 0 B 7) Un jeu de cartes est composé de la façon suivante : il y a familles (,,, ) de 9 cartes chacune ( A, R, D, V, 0, 9, 8, 7, ) ; et sont des cartes rouges, et sont des cartes noires. Au jass (jeu de cartes), chaque joueur reçoit 9 cartes (quand l'on joue à joueurs). Quel est le nombre de distributions différentes pour un joueur? 8) De combien de façons peut-on choisir 5 cartes dans un jeu de cartes, de manière que ces 5 cartes contiennent : a) les as? b) les as? c) les as? d) as? e) 0 as? f) as et rois? g) au moins as? Indication : Sur cartes, ne sont pas des as et cartes ne sont pas des rois! 9) Pour jouer à la Loterie Suisse, il faut cocher numéros sur une carte qui en comporte 5. a) Combien y a-t-il de possibilités? b) Parmi ces possibilités, combien permettent-elles de trouver : i) les numéros gagnants? ii) 0 numéro gagnant? iii) numéro gagnant? iv) numéros gagnants? v) numéros gagnants? vi) au moins un numéro gagnant? c) Si on joue une grille, quelle est la probabilité (en %) de cocher : i) les numéros gagnants? ii) 0 numéro gagnant? iii) numéro gagnant? 0) Pour jouer à l'euro Millions, il faut cocher 5 numéros sur une carte qui en comporte 50 et numéros sur une carte qui en comporte 9. a) Combien y a-t-il de possibilités? b) Parmi ces possibilités, combien permettent-elles de trouver : i) les 7 numéros gagnants? ( er prix) ii) 5 numéros gagnant sur une carte qui en comporte 50 et numéros sur une carte qui en comporte 9. (ème prix) iii) 5 numéros gagnant sur une carte qui en comporte 50 et 0 numéros sur une carte qui en comporte 9. (ème prix) iv) numéros gagnant sur une carte qui en comporte 50 et numéros sur une carte qui en comporte 9. (ème prix) v) 0 numéro gagnant? P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

18 ) Un étudiant doit résoudre 8 problèmes sur 0 lors d'une épreuve écrite. a) Combien de choix différents peut-il faire? b) Même question en supposant qu'il doit obligatoirement résoudre : i) les premiers problèmes ii) des 5 premiers problèmes (et le reste dans les 5 derniers) ) Lorsqu'on jette 0 fois de suite une pièce de monnaie, combien de séquences différentes sont possibles? Parmi celles-ci, combien contiennent exactement fois pile? fois pile? fois pile? 0 fois pile? 0 fois pile? ) Une entreprise pharmaceutique décide d étiqueter tous ces produits avec un sigle composé trois lettres de l'alphabet. L ordre des lettres à une importance mais on peut choisir plusieurs fois la même lettre. Exemples : DFX, XDF, AAG,.. a) Combien de sigles peut-on former avec toutes les lettres de l'alphabet? b) Combien de sigles peut-on former comportant une consonne et deux voyelles? c) Combien de sigles peut-on former comportant une consonne et deux voyelles différentes? Rappel : L'alphabet français comprend lettres, dont 0 consonnes et voyelles. ) Parmi les arrangements simples de 5 lettres du mot EQUATIONS, a) Combien ne contiennent que des voyelles? b) Combien contiennent toutes les consonnes? c) Combien commencent par E et se terminent par S? d) Combien commencent par une consonne? e) Combien contiennent N? 5) Un club de football est composé de 0 joueurs dont gardiens de but. Combien d'équipes différentes de joueurs dont un gardien peut-on former? (On ne tient pas compte de la place des joueurs, sauf pour les gardiens qui ne peuvent jouer que dans les buts). ) Combien de nombres de chiffres supérieurs à 000 pouvons-nous former avec les chiffres,,,5 si la répétition des chiffres : a) n'est pas permise? b) est permise? 7) a) Combien de "mots" différents peut-on écrire avec toutes les lettres du mot MISSISSIPPI? b) Parmi ces "mots", combien commencent et se terminent par la lettre S? 8) De combien de façons peuvent s'asseoir filles et garçons dans une rangée, sachant que les filles et les garçons doivent alterner? P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

19 9) Une urne contient 5 boules blanches et boules rouges. a) Combien y a-t-il de possibilités d'extraire de l'urne boules dont deux sont blanches et l'autre rouge? b) Combien y a-t-il de possibilités d'extraire successivement de l'urne : une boule blanche, une boule rouge et une boule blanche? 0) * Soit un ensemble E contenant n éléments. Quel est le nombre de sous-ensembles de E? ) * Combien existe-t-il d'applications bijectives de l'ensemble {; ; ; } sur l'ensemble {a; b; c; d}? ) * Soit ( ) ( ) n n n... n p + n! Cp = = avec netp et p n... p n p! p! ( ) Montrer que ) C = C = ) C = C ) C + C = C + n n n n n n n 0 n p n p p p+ p+..7 Ce qu il faut absolument savoir Construire un arbre de classement d une expérience donnée Connaître la notation factorielle Connaître et comprendre le principe de décomposition Connaître la définition d une permutation simple de n éléments 5 Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre de permutations simples Connaître la définition d une permutation avec répétitions de n éléments 7 Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre de permutations avec répétitions 8 Connaître la définition d un arrangement simple de r éléments choisis parmi n 9 Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre d arrangements simples 0 Connaître la définition d un arrangement avec répétitions de r éléments choisis parmi n Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre d arrangements avec répétitions Connaître la définition d une combinaison simple de r éléments choisis parmi n Comprendre et connaître la formule permettant de calculer le nombre de combinaisons simples Connaître le développement du binôme avec la notation des combinaisons simples ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

20 . Probabilités.. Introduction Le calcul des probabilités a pour objectif un traitement mathématique de la notion intuitive de hasard. Ses origines remontent au XVII e siècle durant lequel des mathématiciens célèbres, Pascal, Fermat et Jacques Bernouilli, se sont penchés sur des questions se rapportant aux jeux de hasard. Cette association explique pourquoi les probabilités, en tant que discipline mathématique, ont toujours gardé un caractère un peu particulier. Pendant une période, elles ne constituaient en effet guère plus qu'une collection de méthodes combinatoires et algébriques. Ensuite, les probabilités ont trouvé un nombre croissant d'applications dans des domaines plus scientifiques ; d'abord dans des problèmes de statistique démographique, en théorie des erreurs d'observation et en biologie. Au XX e siècle, un nombre croissant de disciplines, qui s'étendent des sciences naturelles et techniques jusqu ' aux sciences sociales et économiques, utilisent des méthodes probabilistes et statistiques. On peut ainsi étudier de manière rigoureuse des phénomènes pour lesquels les modèles mathématiques déterministes s'avèrent inappropriés. Cette extension de la théorie des probabilités au-delà des jeux de hasard n'a été possible que grâce à un développement théorique auquel de nombreux mathématiciens ont contribué. Ce n ' est que dans la première partie du XX e siècle qu'une base axiomatique a été établie, qui attache au calcul des probabilités une théorie rigoureuse et qui en fait ainsi une branche à part entière des mathématiques... Expérience aléatoire, événements Définition Une expérience est dite aléatoire ou stochastique s'il est impossible de prévoir son résultat. En principe, on admet qu'une expérience aléatoire peut être répétée indéfiniment dans des conditions identiques son résultat peut donc varier d'une réalisation à l'autre. Exemples a) On jette un dé et l'on observe le résultat obtenu. b) Si l'on lance trois fois de suite une pièce de monnaie, on peut distinguer 8 résultats possibles : PPP, PPF,...,FFF. c) On jette une pièce de monnaie jusqu'à ce que le côté face sorte pour la première fois. Définitions L'ensemble, noté en général Ω, de tous les résultats d'une expérience aléatoire est appelé univers ou espace des résultats possibles de cette expérience. Selon la nature de cette dernière, l'ensemble Ω peut être fini (exemples a) et b) ou infini (exemple c)). Le nombre d'éléments d'un ensemble Ω est noté #Ω.,,,,5, Ω= f,pf,ppf,pppf,... #Ω = Exemples : a) Ω= { } #Ω = c) { } On appelle événement tout sous-ensemble de Ω. Un événement qui contient un unique élément de Ω est un événement élémentaire. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

21 Exemples Si on jette un dé à faces non truqué : Ω= { ; ;; ;5; } et #Ω = A est l événement "un nombre pair est tiré" alors A = { ;;} B est l événement "un nombre impair est tiré" alors B = { ;;5} C est l événement "un nombre " alors C= { ;5;} D est l événement élémentaire "le plus petit nombre" alors D= { } Rappel : opérations de la théorie des ensembles Définition Notation Illustration L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui se trouvent à la fois dans A et dans B. A B (se lit "A inter B") A B La réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui se trouvent dans A, dans B ou dans leur intersection. A B (se lit "A union B") A B Le complémentaire d'un ensemble A est l'ensemble des éléments qui ne se trouvent pas dans A. A (se lit "A barre") A La différence de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments contenus dans A, mais pas dans B. A - B (se lit "A diff. B") A B L'ensemble vide est l'ensemble qui ne contient aucun élément Opérations sur les événements Les événements associés à une expérience aléatoires étant par définition des sous-ensembles de l'univers Ω, il est naturel de définir des opérations sur les événements à l'image des opérations de la théorie des ensembles. Ainsi : A B est appelé événement "A et B" (réalisation de A et B) A B est appelé événement "A ou B" (réalisation de A ou B ou que les deux se réalisent) A est appelé événement "contraire de A" (non réalisation de A) A - B = événement "A mais pas B" (réalisation de A mais pas de B) Deux événements A, B sont dits incompatibles s'ils ne peuvent êtres réalisés simultanément, c'està-dire si A B=. Exemples A C = { ; ;5;} = événement "un nombre pair ou plus grand que quatre". B C= { 5} = événement élémentaire "un nombre impair et plus grand que quatre". C= { ;;} = événement "un nombre plus petit que quatre". B C= { ;} = événement "un nombre impair mais pas plus grand que quatre". A B = les deux événements sont incompatibles (un nombre ne peut pas être pair et impair à la fois) P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

22 .. Notion de probabilité et axiomes Le but de la présente section est d'attribuer à chaque événement A Ω un nombre réel, appelé probabilité de cet événement et noté P(A). La valeur P(A) est une mesure des chances de réalisation de l'événement A lors de l'expérience aléatoire considérée. Probabilités «combinatoires» Soit Ω un univers fini constitué de N événements élémentaires sur lequel on fait l hypothèse d équiprobabilité de réalisation des N événements élémentaires. On suppose ainsi que tous les événements élémentaires ont «la même chance» de se réaliser. Soit A un événement quelconque constitué de k événements élémentaires de Ω. On en déduit que la probabilité d'un événement A noté P(A) est le nombre : k N Cette formule s énonce souvent comme : # A nombre de cas favorables P(A) = = # Ω nombre de cas possibles Exemples a) Quelle est la probabilité «d'obtenir un nombre pair» en lançant un dé à six faces? Cas favorables : Cas possibles : P(A) = = ou 50% b) Quelle est la probabilité «d'obtenir trois fois le même côté» en lançant trois fois une pièce de monnaie? Cas favorables : Cas possibles : = 8 P(A) = = = 5% 8 c) On choisit un comité de personnes parmi 5 hommes et 7 femmes. Quelle est la probabilité que les trois personnes choisies soient «deux hommes et une femme»? Cas favorables : C C = 0 7= 70 Cas possibles : C = P(A) =,8% 0 P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

23 Axiome des probabilités (règles qu'on se fixe) Soit Ω un univers. On dit que l'on définit une probabilité sur les événements Ω si : à tout événement A Ω on associe un nombre P(A), appelé probabilité de l'événement A. Illustration A B Ω P(B) P P(A) 0 Une probabilité doit "intuitivement" satisfaire aux trois axiomes suivants : I) P(A) 0 A Ω (La probabilité de tout événement est un nombre positif). II) P( Ω ) = (La probabilité de l'événement certain Ω est égale à = 00%) III) Si A B = alors P(A B) = P(A) + P(B) A et B sont incompatibles (La probabilité de la réunion de deux événements incompatibles est égale à la somme de leurs probabilités). Remarque Une probabilité P est une application de l ensemble des événements Ω dans l intervalle [0;]. Exemple Si on jette un dé à faces non truqué : Ω= { ; ;; ;5; } A est l événement "un nombre pair est tiré" alors A = { ;;} B est l événement "un nombre impair est tiré" alors B = { ;;5} On a Ω= A B et A B = alors P( Ω ) = P(A B) = P(A) + P(B) = + = Exercice Un joueur lance deux dés à faces. Quelle est la probabilité : a) que la somme des points sur la face supérieure soit de 7 b) qu'elle soit de 8 c) qu'elle soit de 0 ou plus Exercice Dans le canton de Genève, il y a eu immatriculations automobiles qui ont été délivrées. Les plaques sont numérotées de à 00'000. Quelle est la probabilité en rencontrant au hasard une voiture que son numéro de plaque commence par? (réponse en %) P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

24 Exercice 5 On propose à Pierre de lancer simultanément trois pièces de monnaie parfaitement symétriques de 0, 0 et 50 centimes respectivement. Il pourra conserver les pièces qui présentent le côté pile. a) Décrire l'univers. b) Quelle probabilité a-t-il de gagner i) 0 centimes? ii) moins de 50 centimes? iii) plus de 0 centimes? Exercice Si une fléchette atteint le disque, quelle est la probabilité en % qu'elle se trouve dans la zone ombrée sachant que a =? a Exercice 7 Dans une enquête portant sur les pannes de voitures qui se sont produites au cours d'une année, on a pris en considération, pour un type de voiture déterminé, les possibilités suivantes : p o : il n'y a pas eu de panne; p : il y a eu deux pannes; p : il y a eu une panne; p : il y a eu plus de deux pannes. Le dépouillement de l'enquête a montré que ces possibilités se sont produites respectivement, 0, 5 et 8 fois. Quelle probabilité y a-t-il, pour un possesseur d'une voiture de ce type de tomber en panne dans l'année qui vient : (réponse en %) a) moins de deux fois? b) au moins une fois? Exercice 8 Dans un chapeau, on a mis billes jaunes et une bleue. Est-il plus probable de sortir billes jaunes ou bille jaune et bille bleue? Indication : utilisez les combinaisons. Exercice 9 Dans un lot de 80 vaccins, 0 sont périmés. Si on en tire deux au hasard, quelle est la probabilité en % : a) de tirer 0 vaccin périmé? b) de tirer vaccin périmé? c) de tirer vaccins périmés? Indication : utilisez les combinaisons. P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

25 Exercice 50 * Un jeu de 5 cartes est composé de la façon suivante : il y a familles (,,, ) de cartes chacune (A, R, D, V, 0, 9, 8, 7,, 5,,, ) ; et sont des cartes rouges, et sont des cartes noires. On admet que les 5 C5 mains possibles au poker sont équiprobables. Quelle est la probabilité en % de recevoir : (main de poker en ordre d importance) a) une quinte royale (0, V, D, R, A de la même famille)? b) une quinte flush (cinq cartes consécutives de la même famille, mais pas une quinte royale ; p. ex. A,,,, )? c) un carré (quatre cartes de même valeur ; p. ex. D, D, D, D, )? d) un full, i.e. brelan + paire (p. ex. V, V, V,, )? e) un flush (cinq cartes de la même famille mais pas une quinte royale ou flush ; p. ex.,,, 9, V )? f) une quinte (cinq cartes consécutives de familles variées, mais pas une quinte royale ou flush ; p. ex.,,, 5, )? g) un brelan (trois cartes de même valeur ; p. ex. A, A, A, 5, 8 )? h) deux paires (p. ex.,, 9, 9, 0 )? i) une paire (deux cartes de même valeur ; p. ex. R, R, 7,, )? Indication : utilisez les combinaisons. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

26 Théorème P(A) = P(A) Démonstration A A =Ω et A A = (A et A sont incompatibles) A A Ω Donc = P( Ω ) = P(A A) = P(A) + P(A) P(A) = P(A) Ax. II Ax. III Exemple Quelle est la probabilité d'avoir au moins une fois pile en lançant fois une pièce de monnaie? P(0 fois pile) + P( fois pile) + P( fois pile) + P( fois pile) + P( fois pile) = P( fois pile) + P( fois pile) + P( fois pile) + P( fois pile) = - P(0 fois pile) 5 P(au moins une fois pile) = P(0 fois pile) = = = 9,75% Théorème P(B A) = P(B) P(B A) A B Ω B A= B A Démonstration ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B A B A = B et B A B A = (B A et B A sont incompatibles) ( ) Ax. III B A Donc P(B) = P B A B A = P(B A) + P(B A) P(B A) = P(B) P(B A) Remarque Si A B alors A B = A et donc P(B A) = P(B) P(A) Thm. Ω B A B A= B A Théorème Si A B alors P(B) P(A) Démonstration B = A (A B) et A (A B) = (A et A B sont incompatibles) Donc P(B) = P(A (A B)) = P(A) + P(A B) P(A) car P(A B) 0 Ax. III Ax. I Remarque A Ω P( ) P(A) P( Ω) 0 P(A) Thm. = 0 = P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

27 Théorème P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) A,B Ω Démonstration Ω A B B A= B A a) Si A B = alors P(A B) = P(A) + P(B) P( ) Ok Ax.III b) Si A B non vide A B = (B A) A et (B A) A = (B A et A sont incompatibles) Donc P(A B) = P((B A) A) = P((B A)) + P(A) = P(B) P(B A) + P(A) Ax. III = 0 Thm. A B = P(A) + P(B) P(A B) Activité I Dans une entreprise qui compte 00 personnes, 00 personnes sont assurées contre la maladie, 0 contre les accidents et 0 à la fois contre la maladie et les accidents. Si l'on choisit au hasard une personne dans l'entreprise, quelle probabilité en %, y a-t-il qu'elle soit assurée : a) contre la maladie, mais pas contre les accidents? b) contre la maladie ou (non exclusif) les accidents? c) ni contre la maladie, ni contre les accidents? P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

28 Exercice 5 Soit A et B deux événements. Montrer à l aide d un dessin ensembliste que : a) A B= A B b) A B= A B c) B A= B A d) A B= A B Exercice 5 A, B et A B sont trois événements de probabilités 0., 0.5 et 0.. Calculer la probabilité des événements : A, B, A B, A B, A B, A B, A B, A B, A B. Indication : utilisez les théorèmes. Exercice 5 Deux lignes téléphoniques L et L aboutissent à un standard. La probabilité que la ligne L soit occupée est de 70%. La probabilité que la ligne L soit occupée est de 50%. La probabilité que les deux lignes soient occupées simultanément est de 0%. Calculer la probabilité en % de chacun des événements suivants après en avoir donné une transcription ensembliste : a) une ligne au moins est occupée ; b) les deux lignes sont libres ; c) une ligne seulement est occupée ; Indication : utilisez les théorèmes. Exercice 5 On prend au hasard ampoules électriques d'un lot de 5 ampoules dont 5 sont défectueuses. Calculer la probabilité en % de chacun des événements suivants après en avoir donné une transcription ensembliste : ) aucune ampoule ne soit défectueuse; ) exactement une ampoule soit défectueuse; ) exactement deux ampoules soit défectueuses; ) exactement trois ampoules soit défectueuses; 5) au moins une ampoule soit défectueuse. ) au moins deux ampoules soit défectueuses. Indication : utilisez les théorèmes. Exercice 55 Dans une localité, 7% des habitants se déclarent adeptes de la religion X, mais 5 % seulement pratiquent effectivement cette religion. Quelle probabilité y a-t-il, en tirant au hasard un habitant de cette localité, de se trouver en présence d'un adepte non pratiquant de la religion X? (réponse en %) Indication : utilisez les théorèmes. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

29 .. Probabilités conditionnelles Définition La probabilité qu'un événement A se réalise sachant que B s'est produit est appelée P(A B) probabilité conditionnelle. Par définition, elle vaut : P(A B) = P(B) Remarques a) P(A B) peut s interpréter comme le fait que Ω se restreint à B et que les résultats de A se restreignent à A B. Ω A A B B b) Si A B = (A et B sont incompatibles), A ne peut pas se réaliser P(A B) P( ) si B s'est déjà produit et donc P(A B) = = = 0. P(B) P(B) c) P( A B) + P( A B) = B A Ω d) En général P(A B) P(B A) Exemple On jette un dé à faces non truqué : Ω= { ; ;; ;5; } et #Ω = A = «sorte» B = «nb pair sorte» P(A) = P(B) = P(A B) = La probabilité que «sorte» sachant qu il s agit «d un nombre pair» est de : P(A B) P(A B) = = P(B) La probabilité qu un «nombre pair» sorte sachant qu il s agit de est de : P(B A) P(B A) = = P(A) Dans ce cas P(A B) P(B A) La probabilité que «ne sorte pas» sachant qu il s agit «d un nombre pair» est de : P( A B) = P( A B) = = P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

30 Théorème 5 Soit A, B, C,. des événements d un univers Ω. a) P(A B) = P(A) P(B A) b) P(A B C) = P(A) P(B A) P C ( A B) c) ( ) ( ) ( ) ( ( )) P(A B C D) = P(A) P(B A) P C A B P D A B C Démonstration a) Résulte de P(A B) P(B A) = P(A) P( ( A B) C) b) Résulte de P( C ( A B) ) = P( A B) ( ) ( ) ( ) c) En exercice. Exercice 5 ( ) ( ( )) P A B C = P A B P C A B = P(A) P(B A) P C A B Un sac contient 0 jetons. La moitié d'entre eux sont noirs, les autres blancs. Un quart des jetons portent en plus une marque spéciale. Trois d'entre eux sont noirs. On tire au hasard un jeton du sac. Quelle est la probabilité que ce jeton : a) soit noir et porte une marque. b) soit noir sachant qu'il porte une marque? c) ne porte pas de marque sachant qu'il est blanc? Exercice 57 Dans une ville imaginaire, 0 % de la population ont les cheveux bruns, 5 % ont les yeux bruns et 5 % ont les yeux et les cheveux bruns. On choisit au hasard une personne. a) Si elle a les cheveux bruns, quelle est la probabilité qu'elle ait les yeux bruns? b) Si elle a les yeux bruns, quelle est la probabilité qu'elle n'ait pas les cheveux bruns? c) Quelle est la probabilité qu'elle n'ait ni les cheveux bruns ni les yeux bruns? Exercice 58 a) Les 000 habitants d un village se répartissent de la manière suivante en fonction du groupe sanguin et du facteur Rhésus. A B AB O Rh Rh Si un habitant de ce village (suite à un accident ou lors d une opération) à besoin d une transfusion sanguine, quelle est la probabilité en % qu il aie besoin : a) de sang O et Rh +? b) de sang Rh sachant qu il a un groupe sanguin AB? c) de sang B et Rh -? d) de sang A sachant qu il a un facteur Rh? e) de facteur Rh sachant qu il a un sang A? P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

31 Exercice 59 La probabilité pour les hommes d atteindre 5 ans est de 80% et celle d atteindre 80 ans est de %. Quelle est la probabilité pour un homme de 5 ans de vivre jusqu'à 80 ans? Exercice 0 On sort d'un jeu de cartes les as et les rois. On tire ensuite simultanément cartes de ces 8 cartes. Quelle probabilité a-t-on de tirer : a) deux as? b) deux as rouges? c) un as au moins? d) deux as sachant qu'une des deux cartes au moins est un as? P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

32 ..5 Épreuves successives On a souvent affaire à des problèmes qui se décomposent en épreuves successives (indépendantes ou non). On représente souvent ce type de problème sous la forme d'un arbre de classement. Exemple (Épreuves successives dépendantes) Une urne contient boules rouges et boules vertes. On tire successivement et sans remise boules de l'urne. On peut représenter cette situation par un arbre. Au bout de chaque branche, on note l événement qu elle représente et, sur la branche, on note la probabilité de l événement associé. Cela donne : 5/9 R 5 P( R R) = P( R) P( R R) = = 0 9 /0 R /9 V P( R V) = P( R) P( V R) = = /0 /9 R P( V R) = P( V) P( R V) = = V /9 V P( V V) = P( V) P( V V) = = Propriétés / remarques a) Les chemins de l arbre sont des événements élémentaires et incompatibles deux à deux. ( ) On a donc : P( Ω ) =P ( R R ) ( R V) ( V R ) ( V V) ( ) ( ) ( ) ( ) =P R R +P R V +P V R +P V V = b) La probabilité d un chemin est égale au produit des probabilités des branches qui forment ce chemin. (voir théorème 5) c) Pour calculer la probabilité d un événement qui est la réunion de plusieurs chemins, on additionne les probabilités de ces chemins. Activité II Quelle probabilité a-t-on : a) de tirer deux boules de même couleur? b) de tirer en dernier lieu une boule verte? c) de tirer deux boules de couleur verte? d) de tirer trois boules de même couleur? e) de tirer un boule rouge sachant qu une boule verte à été tirée? P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

33 Indication : Utiliser pour chaque exercice un arbre de classement. Exercice On dispose de deux urnes. La première, appelée A, contient boules vertes, boules rouges et 5 boules jaunes. La seconde, appelée B, contient 5 boules vertes et boules rouges. On procède à l expérience suivante. On lance un dé bien équilibré : - si le nombre de points obtenu est inférieur ou égal à, on tire une boule de l urne A. - si le nombre de points obtenu est strictement supérieur à, on tire une boule de l urne B. Calculer les probabilités de : (donner les réponses sous forme de fractions irréductibles) a) tirer une boule verte. b) tirer une boule verte sachant que le nombre de points obtenu est strictement plus grand que. Exercice Une urne contient billes rouges et 7 billes blanches. On tire une bille de l urne et l on remplace la bille de l urne par une bille de l autre couleur. Ensuite, on tire une seconde bille de l urne. On demande (réponses sous forme de fractions irréductibles) : a) Quelle est la probabilité de tirer une seconde bille rouge? b) Si les deux billes sont de la même couleur, quelle est la probabilité pour qu elles soient blanches? Exercice Trois machines A, B et C produisent respectivement 50 %, 0 % et 0 % du nombre total de pièces fabriquées dans une usine. Les pourcentages de pièces défectueuses produites par ces machines sont de %, % et 5 %. a) Si l'on prend une pièce au hasard, quelle est la probabilité (en %) pour que cette pièce soit défectueuse? b) Si l'on prend une pièce au hasard, quelle est la probabilité (en %) pour que cette pièce soit non défectueuse? Exercice D'une urne contenant boules rouges, noires et 5 bleues, on tire boules successivement, l'une après l'autre, sans remise. (réponses sous forme de fractions irréductibles) a) Quelle est la probabilité de tirer une rouge en deuxième? b) Quelle est la probabilité de tirer deux boules de même couleur? De cette urne, on tire successivement et sans remise boules. c) Quelle est la probabilité de tirer dans l'ordre, des boules rouges, noires et bleues? P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

34 Exercice 5 Une boîte contient 5 ampoules dont deux sont défectueuses. Les ampoules sont testées les unes après les autres jusqu'à ce que les ampoules défectueuses soit trouvées. a) Quelle est la probabilité (en %) que la recherche cesse après le deuxième test? b) Quelle est la probabilité (en %) que la recherche cesse après le troisième test? Exercice * Une entreprise horlogère a mis au point un protocole pour vérifier la qualité de ses produits. Les montres qu elle fabrique sont vendues par lots de 50 et, pour effectuer le contrôle de la qualité, on prélève montre au hasard et on la teste. Si la montre est en mauvais état, on retourne la boîte au département de la production. Si la montre est en bon état on en teste une deuxième parmi les montres restantes et on la vérifie également. Si elle est en mauvais état, on retourne le lot, sinon on fait subir le test à une troisième montre également choisie au hasard. Lorsque montres choisies successivement au hasard ont subi le test avec succès, le lot est approuvé et acheminé aux distributeurs. a) Représenter cette expérience aléatoire sous la forme d'un arbre de classement. Indications : D = «la montre testée est défectueuse» D = «la montre testée est en bon état» b) En utilisant l arbre de classement du point a), quelle est la probabilité en % qu'un lot de 50 montres contenant montres défectueuses soit rejeté «R»? accepté «A»? ( tests c) En utilisant l arbre de classement du point a), quelle est la probabilité en % qu'un lot de 50 montres contenant 0 montres défectueuses soit rejeté «R»? accepté «A»? ( tests) d) En utilisant l arbre de classement du point a), quelle est la probabilité en % qu'un lot de 50 montres contenant 5 montres défectueuses soit rejeté «R»? accepté «A»? ( tests) e) L affirmation suivante est-elle vraie ou fausse? Justifier clairement votre réponse. «Il n est pas nécessaire de vérifier toutes les montres d un lot pour pouvoir contrôler la qualité de la production» f) Si au lieu de tests on effectue tests avec le même protocole, quelle est la probabilité en % qu'un lot de 50 montres contenant montres défectueuses soit rejeté «R»? accepté «A»? Comparer les résultats obtenus avec ceux de b). Que constate-t-on? P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

35 Exercice 7 Dans un collège imaginaire, 0 % des garçons et 5 % des filles ont choisi l'option forte de mathématiques. De plus, dans ce collège, il y a 0 % de filles. Si un élève est choisi au hasard dans les cours de mathématiques fortes, déterminer la probabilité qu'il s'agisse d'une fille (en %)? Exercice 8 Dans une entreprise : 0 % des employés ont fait des études supérieures; 70 % de ceux qui ont fait des études supérieures occupent un poste administratif; 0 % de ceux qui n'ont pas fait d'études supérieures occupent un poste administratif. On choisit au hasard un employé dans la section administrative. Quelle est la probabilité (en %) qu'il ait fait des études supérieures?.. Théorème de Bayes * Introduction * Une entreprise utilise trois types d ampoules T, T ett dans la proportion de 0%,0% et 0%. La probabilité que ces ampoules fonctionnent est respectivement 90%,80% et 50%. Quelle est la probabilité qu une ampoule défectueuse provienne de T? Avec arbre : 0,9 D T = «utiliser une ampoule T» T = «utiliser une ampoule T» 0, T 0, D T = «utiliser une ampoule T» D = ampoule défectueuse D = ampoule non défectueuse 0, 0, T T 0,8 0, 0,5 D D D 0,5 D PT ( D) PT ( D) PT ( D) 0, 0, PD ( ) PT ( D) + PT ( D) + PT ( D) 0, 0, + 0, 0, + 0, 0,5 7 = = = = On a trois événements incompatibles T, T ett tel que Ω = T T T. De plus, on dispose de l information qu un événement D s est réalisé. On a alors la formule de Bayes : PT ( D) PDT ( ) PT ( ) 0, 0, PDT ( ) PT ( ) + PDT ( ) PT ( ) + PDT ( ) PT ( ) 0, 0, + 0, 0, + 0,5 0, 7 = = = Remarque * Cette formule se généralise à n événements incompatibles. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

36 Théorème de Bayes * (Thomas Bayes, mathématicien anglais, 70-7) Soient B, B,..., B n, n événements disjoints deux à deux (c est-à-dire Bi Bj = i j) et tels que B B... B n =Ω. P( A Bk) P( Bk) Alors, P( Bk A) =. n P( AB) P( B) i= i i Illustration * Ω B B B B A Démonstration * B B... Bn = U et A U = A Donc : (... n) ( ) ( )... ( n) Ce qui implique que : P( ( A B) ( A B )... ( A Bn )) = P( A ) P( A B) + P( A B ) P( A Bn ) = P( A) ( ) ( ) ( n) P( A B ) P( B) = P( A ) A B B B = A A B A B A B = A P A B P( B ) + P A B P( B ) P A B P( B ) = P( A ) n i i i= n Finalement : PB ( k A) PA ( Bk) PB ( k A) = = = PA ( ) PA ( ) PAB ( ) PB ( ) n i= k ( i) P A B k P( B) i Remarque * Le théorème de Bayes est utilisé de façon classique pour calculer des «probabilités de causes» dans des diagnostics (maladies, pannes, etc.). Voir exercice 9*. L application du théorème de Bayes est à la base de toute une branche de la statistique appelée statistique bayesienne. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

37 Exercice 9 * (paradoxe des tests de dépistages) Un laboratoire médical désire vérifier l'efficacité de son test de dépistage d'une maladie M. Le laboratoire recrute 5% de sujets atteints de la maladie M, le reste des sujets n'étant donc pas T. atteint de la maladie M. Le résultat du test est soit positif ( ) T, soit négatif ( ) Il se révèle que si un sujet n'est pas atteint de la maladie M, il a 9 chances sur 0 de réagir négativement au test et que, s'il est atteint de la maladie M, il a 8 chances sur 0 de réagir positivement. Autrement dit : P( T M) 0,9 = et ( ) P T M = 0,8. a) Quelle est la probabilité (en %) que le sujet soit malade si le test est négatif? b) Quelle est la probabilité (en %) que le sujet soit malade si le test est positif? c) Quelle est la probabilité (en %) que le sujet ne soit pas malade si le test est positif? d) Le test qui semble à première vue efficace, l'est-il véritablement? Indication : utilisez le théorème de Bayes. Exercice 70 * Trois marques A, B et C de biberons se partagent le marché avec des parts respectives de %, % et %. Chaque marque propose des modèles avec tétine simple (S) ou à trois vitesses (V) : 5 % des tétines de la marque A sont simples, ainsi que 5 % de la marque B et 7 % de la marque C. Un jeune père achète au hasard un biberon. Il constate que ce biberon a une tétine simple. Quelle est la probabilité qu il soit de la marque C? Indication : utilisez le théorème de Bayes...7 Evénements indépendants Imaginons que le fait de savoir qu un événement A s est produit n a aucune influence sur la probabilité d un autre événement B : P(B A) = P(B) On en déduit que P(A B) = P(B) d où P(A B) = P(A) P(B) P(A) P(A B) P(A) P(B) Mais alors P(A B) = = = P(A) P(B) P(B) En d autres termes, si B ne dépend pas de A, A ne dépend pas non plus de B. Définition On dit que deux événements A et B d un univers Ω sont indépendants si P(A B) = P(A) P(B) Dans le cas contraire on dit qu ils sont dépendants. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

38 Exemples (Épreuves successives indépendantes) { } a) Soit deux jets successifs d une pièce de monnaie. Ω= ( p;p );( p;f );( f ;p);( f ;f ) Soit les événements A = «pile au premier jet» = {( p;p );( p;f )} B = «face au deuxième jet» = {( p;f );( f ;f )} A B = «pile au premier jet et face au deuxième jet» = ( p;f ) { } On a P(A) = P(B) = et P(A B) = Ces probabilités vérifiant l égalité P(A B) = P(A) P(B), A et B sont des événements indépendants. Remarque : L'indépendance en probabilité des événements A et B est ici tout à fait en accord avec l'intuition ; la pièce n'a pas de "mémoire". b) Un joueur lance un dé à faces, trois fois. Cherchons la probabilité qu'il obtienne un nombre pair à chaque lancer. Soit les événements : / p / p p = «nombre pair au premier lancer» p = «nombre pair au deuxième lancer» / p / i / i p = «nombre pair au troisième lancer» p p p = «nombre pair à chaque lancer» / i / p On a P( p ) =, P( p ) =, P( p ) = et P( p p p ) = = 8 / i P p p p = P(p ) P(p ) P(p ) = = 8 ( ) (Evénements indépendants) Exercice 7 Une première urne contient boules blanches et boules noires ; une seconde contient boules blanches et boules noires ; enfin une troisième contient boule blanche et 5 boules noires. Si monsieur Y tire une boule de chaque urne, quelle est la probabilité que toutes soient blanches. Exercice 7 Soit deux urnes, l'urne A contenant 5 billes rouges, billes noires et 8 billes bleues, alors que l'urne B contient billes rouges et 5 billes noires. Un dé bien équilibré est lancé; si un ou un apparaît, une bille est choisie de B, autrement une bille est choisie de A. Trouver la probabilité que : a) une bille rouge soit choisie b) une bille bleue soit choisie. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

39 Exercice 7 Un joueur lance un dé à faces, trois fois. Trouver la probabilité : a) qu'il obtienne un nombre impair à chaque lancer. b) qu'il obtienne une seule fois un nombre impair. c) que la somme des trois lancers soit paire. Exercice 7 Une pièce de monnaie dissymétrique présente en moyenne 5 fois le côté pile pour fois le côté face. Quelle probabilité y a-t-il en lançant la pièce trois fois de suite d'obtenir : a) fois pile. b) fois pile. c) plus de piles que de faces? d) plus de faces que de piles? Exercice 75 Une urne contient boules blanches et noires. Monsieur X tire 5 boules successivement en replaçant chaque boule après l'avoir tirée. Trouver la probabilité : a) que les premières boules tirées soient blanches et la dernière soit noire. b) qu'exactement boules soient blanches. c) qu'au moins boules soient blanches. d) qu'au moins boule soit blanche. Exercice 7 (Introduction à la loi binomiale) a) Si la probabilité qu un garçon naisse est de /0 et celle d'une fille de /0, déterminer la probabilité qu'une famille de enfants soit constituée de : i) filles ii) filles iii) fille iv) 0 filles b) Si la probabilité qu un garçon naisse est de /0 et celle d'une fille de /0, déterminer la probabilité qu'une famille de enfants soit constituée de : i) filles ii) filles iii) filles iv) fille v) 0 filles c) Si la probabilité qu une fille naisse est de p et celle d un garçon de -p, trouver une formule qui donne la probabilité qu'une famille de n enfants soit constituée de k filles? ( 0 k n) Indication : La représentation par arbre de classement est la bienvenue! P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

40 ..8 La loi binomiale Considérons une situation où chaque épreuve ne possède que deux issues possibles et que le résultat d une épreuve n influence pas la suivante (épreuves successives indépendantes). Alors la probabilité d obtenir k succès lors de n épreuves est donnée par : B(k;n;p) = C p q avec n = nombre de répétitions de l épreuve n k n k k k = nombre de succès parmi les n épreuves (0 k n) p = probabilité de succès (S) lors d une épreuve q = p = probabilité d échec (E) lors d une épreuve Exemples a) Avec n = : p q S E p q p q S E S E p q p q p q p q S E S E S E S E 0 p p p= p q p p q= p q p q p= p q p q q= p q q p p= p q q p q= p q q q p= p q 0 q q q= p q k = 0 p q = p q = C p ( p) = B(0;;p) k = p q = p q = C p ( p) = B(;;p) k = p q = p q = C p ( p) = B(;;p) k = p q = p q = C p ( p) = B(;;p) 0 b) Quelle est la probabilité d obtenir 7 piles en lançant 0 fois une pièce de monnaie? k = 7 n = 0 p = q = 7 0 B 7;0; = C7,7% c) Quelle est la probabilité d obtenir deux fois un en jetant 5 fois un dé? k = n = 5 p = q = B ;5; = C,% P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

41 Exercice 77 Si la probabilité qu un garçon naisse est de /0 et celle d'une fille de /0, calculer en utilisant la loi binomiale : a) la probabilité qu'une famille de enfants soit constituée de : i) filles ii) filles iii) fille iv) 0 fille b) la probabilité qu'une famille de enfants soit constituée de : i) filles ii) filles iii) filles iv) fille v) 0 fille Exercice 78 Une pièce bien équilibrée est lancée fois : a) Quelle est la probabilité d'avoir exactement deux "piles"? b) Quelle est la probabilité d'avoir au moins "piles"? c) Quelle est la probabilité d'avoir au moins "pile"? Exercice 79 Mêmes questions que pour l exercice précédent mais avec une pièce qui n'est pas bien équilibrée et qui tombe avec une probabilité de sur "pile" et de sur "face". Exercice 80 Un dé à faces bien équilibré est lancé 5 fois. a) Quelle est la probabilité qu'un ou un apparaissent exactement fois? b) Quelle est la probabilité que n'apparaissent que des chiffres plus grands que? Exercice 8 Une urne contient 0 boules, dont rouges et vertes. On tire une boule de l'urne, on note sa couleur, puis on la remet dans l'urne. On répète cette épreuve fois de suite. Quelle probabilité a-t-on, au cours de ces épreuves successives indépendantes, de tirer au total boules rouges et verte? P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

42 Exercice 8 Un centre de transfusion a établi le tableau suivant donnant la répartition des principaux groupes sanguins de ses donneurs: O A B AB Rhésus + 7 % 8, %, %,8 % Rhésus - 7 % 7, %, % 0,5 % a) Quelle est la probabilité qu'un donneur pris au hasard soit A +? b) Quelle est la probabilité qu'un donneur pris au hasard soit O? c) Quelle est la probabilité que, dans un groupe de 0 donneurs aucun ne soit O-? d) Quelle est la probabilité que, dans un groupe de 0 donneurs quatre soient A+? e) Si on convoque dix donneurs, quelle est la probabilité d'avoir au moins les trois donneurs O+ nécessaires à une opération?..9 Variables aléatoires discrètes Définition Dans de nombreuses expériences aléatoires, nous sommes amenés à attacher un nombre réel à chaque issue de l'univers Ω. Une telle application X de Ω vers est appelée variable aléatoire. Exemple On jette une pièce de monnaie deux fois de suite. L'univers est : Ω = {(p ; p) ; (p ; f) ; (f ; p) ; (f ; f)} Notons X la variable aléatoire indiquant le nombre de «faces» obtenues. (p;p) (p;f) X : (f ;p) (f ;f) 0 X peut prendre diverses valeurs : il s'agit donc bien d'une variable. Comme la valeur que prend X dépend de l'issue réalisée donc du hasard, X est donc aléatoire. Exemple Une urne contient trois boules numérotées ; et 5. On tire successivement avec remises deux boules de cette urne. Ω = {( ; ) ; ( ; ) ; ( ; 5) ; ( ; ) ; ( ; ) ; ( ; 5) ; (5 ; ) ; (5 ; ) ; (5 ; 5)} Notons Y la variable aléatoire indiquant la somme des points obtenus. Y : (j ; k) j + k P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

43 Exemple La loi binomiale avec Z comme variable aléatoire indiquant le nombre de succès. Remarque Dans ces trois exemples, il est possible de calculer la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur donnée. Par exemple, la probabilité que X prenne la valeur 0 est. Définition On dit qu'une variable aléatoire est discrète si elle ne peut prendre qu'un nombre fini ou dénombrable de valeurs. Par exemple, les variables aléatoires définies dans les exemples précédents sont discrètes : X ne peut prendre que trois valeurs, 0 ; ou, Y ne peut prendre que six valeurs, ; 5 ; ; 7 ; 8 ou 0. Z ne peut prendre que n+ valeurs, 0 ; ; ; ;... ; k ;... ; n- ; n. Situation générale Considérons Ω l'univers attaché à une expérience aléatoire et X une variable aléatoire pouvant prendre un nombre fini de valeurs. Si à chacune de ces valeurs nous associons la probabilité de l'événement correspondant, nous obtenons alors la loi de probabilité ou la distribution de probabilité de la variable aléatoire X. Notations La variable X peut prendre les valeurs x ; x ;... ; x n. p est la probabilité que X prenne la valeur x : p = P(X = x ) p est la probabilité que X prenne la valeur x : p = P(X = x )... p n est la probabilité que X prenne la valeur x n : p n = P(X = x n ) Ces valeurs peuvent être présentées dans un tableau appelé tableau de distribution de X : Exemple X x x... x n P p p... p n Reprenons la variable X indiquant le nombre de «faces» obtenues après avoir lancé une pièce deux fois de suite. X 0 Le tableau de distribution de X est : P P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

44 Exemple Reprenons la variable aléatoire Y indiquant la somme des points obtenus après deux tirages avec remise. Le tableau de distribution de Y est : Y P Remarques 9 ) Dans un tableau de distribution, n pi =. (p + p p n = ) i= ) Il est possible de visualiser ces distributions à l'aide de diagrammes en bâtons. Variable X Variable Y 0 0 % 0 0 % Moyenne ou espérance mathématique Les dés honnêtes et les autres : On lance un dé une fois. Notons X la variable aléatoire indiquant le nombre de points affiché par le dé. X 5 P Une telle distribution est dite uniforme. Considérons maintenant un dé pipé, c'est-à-dire déséquilibré dans le but de faire apparaître certaines faces plus souvent que d'autres. Notons Y la variable aléatoire indiquant le nombre de points affiché par ce nouveau dé et supposons que la distribution de Y soit donnée par le tableau ci-dessous. Y 5 P Question En lançant un très grand nombre de fois l'un ou l'autre de ces dés, quelle sera en moyenne le nombre de points obtenus? P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

45 Commençons avec le dé équilibré. En lançant N fois ce dé, nous devrions obtenir théoriquement : N/ fois le N/ fois le... N/ fois le La moyenne des points serait donc : m X = N + N + N N + + N N N 5 + = 7 =,5. En utilisant le dé pipé, cette moyenne serait alors : m Y = N 8 + N 8 + N 8 + N + 8 N N N 8 7 = 8,9. En moyenne, nous pouvons nous attendre à obtenir environ 0, points de plus avec le dé pipé qu'avec le dé équilibré. Remarque Ces moyennes ne dépendent pas du nombre N de lancers. Définition Considérons X une variable aléatoire pouvant prendre les valeurs x ; x ;... ; x n avec des probabilités respectives p ; p ;... ; p n. L'espérance mathématique de X est : E(X) = p x + p x p x = n n i i i= n p x E(X) se note parfois m lorsqu'il n'y a pas d'ambiguïté. Remarque Il est possible de compléter le tableau de distribution de X pour y faire figurer l'espérance mathématique. Pour le dé équilibré : X 5 P P X Pour le dé pipé : 5 = Y 5 P P Y ,5,9 P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

46 .. Variance et écart-type Considérons trois variables aléatoires dont les distributions sont représentées ci-dessous. Variable X Variable Y Variable Z % % % X 5 P P X 5 =,5 Y 5 P P Y = 0,5 Z 5 P P Z =, Malgré des distributions différentes, ces trois variables aléatoires ont la même espérance mathématique. Nous remarquons cependant que la distribution de Z est la plus regroupée autour de la moyenne. Il est possible de quantifier les différences entre ces distributions, par exemple en calculant la probabilité que ces variables prennent une valeur proche de,5. (moyenne ou espérance) Par exemple, la probabilité que la variable prenne une valeur située entre et est : P( X ) = P(X = ) + P(X = ) =, % P( Y ) = P(Y = ) + P(Y = ) = 0 = 0 % 0 P ( Z ) = P(Z = ) + P(Z = ) = = 50 % 0 P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

47 La variance et l'écart-type sont deux mesures du degré de dispersion des distributions. Ce degré de dispersion n'est pas toujours très visible dans un diagramme ou un tableau. Définitions La variance de X, notée V(X) est, en notant m = E(X) : n n n i i i= V(X) = p (x - m) + p (x - m) p (x - m) = p (x m) L'écart-type de X, noté σ(x) est : σ (X) = V(X) (même unité que X) Remarque Il serait aussi possible de mesurer le degré de dispersion en remplaçant (x i m) par x i m dans la formule de la variance. Ce choix à été fait pour des raisons théoriques essentiellement. Activité I Calculer la variance et l'écart-type des variables X, Y et Z définies à la page précédente. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

48 Proposition La variance de X, notée V(X) peut se calculer, en notant m = E(X) : n n n = i i i= V(X) =p x p x... p x m p x m Démonstration n i i Définition de V(X) i= V(X) = p (x m) ( + ) n i i i Identité remarquable i= = p x x m m n i= ( i i i i + i) = px mpx mp Distributivité n n n i i i i + i i= i= i= Propriétés des sommes = px m px m p n n n = px i i m px i i + m pi i= i= i = = m = n n i i + i i i= i= Algèbre = p x m m = p x m Définition de E(X)=m et n i= p = i Exemple Calculons la variance et l'écart-type de la variable X définie à la page précédente. Pour des raisons pratiques, nous ajouterons encore une ligne au tableau des distributions. X 5 P P X 5 =,5 P X Nous obtenons alors : E(X) =,5 = 9 05 V(X) = =,9 05 σ(x) =,7 P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

49 Exercice 8 On jette une pièce de monnaie trois fois. Quel est l'univers? Décrire la variable aléatoire X associant à chaque évènement de U, le nombre de «faces» se présentant à l'épreuve. En faire la distribution de probabilité. Déterminer l'espérance mathématique, la variance et l écart-type. Exercice 8 On jette une pièce de monnaie trois fois. Quel est l'univers? Décrire la variable aléatoire X associant à chaque évènement de U, le nombre de «faces» moins le nombre de piles. En faire la distribution de probabilité. Déterminer l'espérance mathématique, la variance et l écart-type. Exercice 85 On jette fois une pièce de monnaie. Si X représente le nombre de piles obtenu, calculer l espérance, la variance et l écart-type de la variable aléatoire X. Exercice 8 Un échantillon de objets est choisi au hasard d'une boîte contenant objets parmi lesquels sont défectueux. Si X détermine le nombre d objets défectueux, calculer l'espérance mathématique, la variance et l écart-type. Exercice 87 Une boîte contient 0 stylos dont sont défectueux. On choisit un stylo au hasard et on le teste. On poursuit jusqu'à obtenir un stylo en état de marche. Soit X la variable aléatoire qui représente le nombre de stylos que l'on tire de la boîte. Calculer l'espérance mathématique de X. Exercice 88 Au lieu de corriger les travaux de ses élèves, un professeur décide de mettre les notes de la façon suivante. Pour chaque travail, il lance deux dés et retient, comme note pour le travail, le plus petit des deux nombres indiqués par les dés. ) A quelle moyenne de classe ce professeur (imaginaire bien sûr!) peut-il s'attendre? ) Quel sera probablement le pourcentage de notes insuffisantes? ) Quelle serait la moyenne de classe s'il retenait le plus grand des deux nombres indiqués par les dés? P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

50 Exercice 89 Sur la Plaine de Plainpalais, un forain propose le jeu suivant, pour 0 francs la partie : dix enveloppes sont placées dans une corbeille, dont une contient un carton vert, deux contiennent un carton rouge et sept contiennent un carton blanc. Le jeu consiste, après versement des 0 francs, à choisir une enveloppe au hasard dans la corbeille, à l'ouvrir et à regarder la couleur du carton. Un carton vert donne droit à un gros lot, un carton rouge donne droit à un lot simple et un carton blanc donne droit à un lot de consolation. Les lots simples reviennent à 8 francs au forain, alors que les lots de consolation ne lui reviennent qu'à francs. Soit X la variable aléatoire égale au bénéfice du forain sur une partie. ) Quel est le prix maximal auquel le forain peut acheter ses gros lots, s'il désire gagner en moyenne au moins francs par partie? ) S'il achète ses gros lots au prix de la question ), calculer l'écart-type de la variable X. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

51 .. Cas particulier de la loi binomiale Considérons une série de n épreuves successives indépendantes. Pour chacune de ces n épreuves, nous avons deux possibilités : soit l'événement A se réalise avec une probabilité p, soit l'événement A ne se réalise pas avec un probabilité de p. Donc P( A) = p et P( A) = p Notons X la variable aléatoire indiquant le nombre k de réalisations de l'événement A dans la série de n épreuves. n k n k Nous savons que P( X = k ) = C p ( p) pour k = 0,,,..., n. k Question Quelle est l'espérance mathématique, la variance et l écart-type d une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale? Exemple Dans une famille de n = enfants, on admet que la probabilité d avoir un garçon est de Si X représente le nombre de garçons parmi les enfants alors on a : p =. 0 P(X = 0) = B 0;; = C0 = 0,05 P(X = ) = B ;; = C = 0,5 P(X = ) = B ;; = C = 0,75 P(X = ) = B ;; = C = 0,5 0 P(X = ) = B ;; = C = 0,05 Remarque : X suit une loi binomiale. X 0 P 0,05 0,5 0,75 0,5 0,05 P X 0 0,5 0,75 0,75 0,5 P X 0 0,5,5,5 5 E(X) = 0,5 + 0,75 + 0,5 + 0,05 = garçons (Ce résultat paraît normal) V(X) = 0,5 + 0,75 + 0,5 + 0,05 = ( ) σ (X) = = garçon P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

52 Proposition Dans le cas de la loi binomiale on a : E(X) = np ; V(X) = np( p) ; σ (X) = np( p) (La démonstration de cette proposition, sort du cadre de ce cours et ne sera donc pas exposée ici). Vérification dans notre exemple : E(X) = =, V(X) = = et σ (X) = = Exercice 90 Un habitué des casinos joue régulièrement à la roulette. Le cylindre de la roulette comporte 7 cases numérotées de 0 à : 8 cases sont de couleur rouge, 8 cases sont de couleur noire, et case est de couleur verte pour le numéro zéro. Chaque samedi, il mise 0 fois de suite sur le 7. En moyenne, combien de fois par semaine ce joueur va-t-il gagner? Exercice 9 Un questionnaire de type QCM est composé de questions. Pour chacune de ces questions, trois réponses sont proposées dont une seule est la bonne. En répondant au hasard à ce questionnaire, combien de bonnes réponses pouvons-nous espérer? (Au sens mathématique du terme!) Exercice 9 Onze personnes montent au rez-de-chaussée dans l'ascenseur d'un immeuble de quinze étages. (en plus du rez-de-chaussée) Considérons la variable aléatoire Y = nombre de personnes qui quittent l'ascenseur au 7 e étage. ) Quelle est la loi suivie par Y? ) Calculer p(y = 0) ; p(y = ) ; p(y = ) ) Calculer E(Y) P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

53 .. Variables aléatoires continues Définition Une variable aléatoire est dite continue lorsqu'elle peut prendre un nombre infini non dénombrable de valeurs. Cela revient à dire qu'une telle variable peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle réel. Exemple La "marmite" (course de l'escalade) Notons X la variable indiquant le temps exact (en minutes) que met un concurrent choisi au hasard pour terminer la course de l'escalade. Il est évident que p(x = ) = 0 car il n'est pas possible de terminer cette course en minutes. D'autre part, p(x = 80) = 0. Cette probabilité est elle aussi nulle, même s'il est effectivement possible de terminer cette course en 80 minutes. Cela tient au fait qu'il y a une infinité non dénombrable de valeurs possibles pour X : si nous attribuions une probabilité non nulle à chacune de ces valeurs, la somme de toutes ces probabilités dépasserait 00 %. Dans cette situation, nous avons des probabilités non nulles lorsqu'elles sont attribuées à des laps de temps, par exemple lorsqu'elles sont de la forme p(79 < X < 8). (Dans ce cas, "<" peut être remplacé par " " sans que la probabilité soit modifiée.) De manière générale, ces calculs se font à l'aide de la notion de densité de probabilité. Définition La fonction f est appelée densité de probabilité attachée à la variable aléatoire X si elle vérifie les conditions suivantes : ) f(x) 0 x ) f(x)dx = + ) ( ) P a X b = f(x)dx b a Illustration y a b f x Remarques ) La probabilité que X prenne une valeur comprise entre a et b correspond à l'aire du domaine hachuré. ) L'aire totale sous f mesure. (00 %) ) ( ) P X = a = f (x)dx = 0 a a ) P( X a) + P( X a) = P( X a) = P( X a) 5) P( a X b) = P( X b) P ( X a) P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

54 Exemple Un arrêt de tram est desservi toutes les 0 minutes. Notons X la variable aléatoire indiquant le temps d'attente (en minutes) jusqu'à l'arrivée du prochain tram lorsque nous nous rendons à l'arrêt sans tenir compte de l'horaire. Les probabilités suivantes sont évidentes. p(x 0) = 00 % p(x > 0) = 0 p(x < 0) = 0 y si 0 < x < 0 f(x) = 0 0 sinon f x La probabilité d'attendre entre et 8 minutes est : 8 x P( < X < 8) = f (x)dx = = = 0 % Quelques formules Si f est la densité de probabilité d'une variable aléatoire continue X, alors : + ) E (X) = x f(x) dx (Espérance) + + (Variance) V(X) = f (x) x-e(x) dx = x f (x)dx- (E(X)) ) ( ) ) σ (X) = V(X) (Ecart-type) Exemple Dans l'exemple précédent, (attente à l'arrêt de tram) nous obtenons : E(X) = x f (x)dx = x dx = x 5 0 = L'attente moyenne est de 5 minutes. + V(X) = x f(x) dx (E(X)) 0 5 = x dx 5 = x 5 = 8, σ(x) = V(X),89 minutes P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

55 Exercice 9 Soit X une variable aléatoire continue avec la fonction de densité suivante : x si 0 x f( x) = 0 sinon a) Montrer que f ( x ) est bien une fonction de densité. y f b) Calculer P( X, 5) et PX (,5) c) Calculer EX ( ). d) Calculer V( X ) et σ ( X ). x Exercice 9 M. Carrel reçoit chaque semaine son ami M. Schmid pour une partie d échec, mais ce dernier n est pas très ponctuel. M Carrel a pu établir que le retard X (en minutes) de son ami est une variable aléatoire continue qui peut être décrite par la fonction de densité : x si 0 x < x f( x) = si 0 x< sinon a) Montrer que f ( x ) est bien une fonction de densité. b) Quelle est la probabilité que M.Schmid ait moins d un quart d heure de retard? c) Combien de fois par année en moyenne M.Schmid a-t-il plus de trois quarts d heure de retard? d) Calculer le retard moyen de M.Schmid. e*) Calculer l écart-type. y /0 f 0 0 x Exercice 95 * La taille X (en cm) atteinte par une espèce végétale k jours après sa sortie de terre ( k < 00 ) est une variable aléatoire qui a comme fonction de densité : ( kx x ) si 0 x k f( x) = k 0 sinon a) Montrer que f ( x ) est bien une fonction de densité. b) Quelle est, k jours après sa sortie de terre, la taille moyenne de l espèce? c) Quelle probabilité y a-t-il pour une plante sortie de terre depuis 0 jours que sa taille soit inférieure à cm? P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

56 .. Quelques lois de probabilité continues (cf. formulaire C.R.M.) La loi uniforme On dit que la variable aléatoire X suit une loi uniforme de paramètres a et b si sa densité de probabilité est la fonction : si a x b f(x) = b a 0 sinon y f La moyenne de cette loi est : m = et sa variance est : V = a + b (b a). a b x La loi exponentielle On dit que la variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0) si sa densité de probabilité est la fonction : λx λe si x 0 f(x) = 0 si x < 0 y La moyenne de cette loi est : m = λ et sa variance est : V = λ. f x Activité II + Pour la loi uniforme, vérifier que f (x)dx = puis démontrer les formules de la moyenne et de la variance. P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

57 La loi normale de Laplace-Gauss On dit que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ (σ >0) si sa densité de probabilité est la fonction : f(x) = σ e π (x μ ) σ f Remarques 0 μ -σ μ μ +σ x a) Cette loi se note en général N(μ ; σ). b) La fonction f est symétrique par rapport à l'axe vertical passant par la moyenne μ. c) Cette fonction est souvent appelée "courbe en cloche". d) La fonction f admet deux points d'inflexion (changement de courbure) en μ ± σ. e) La fonction f est continue et possède donc des primitives mais il n'est pas possible d'exprimer ces primitives sous forme analytique. Cette dernière remarque signifie que pour calculer la probabilité que X prenne une valeur située entre a et b, il faut calculer l'intégrale b f (x)dx par des méthodes d'approximations successives. a Les résultats de ces calculs se trouvent, en particulier, dans le formulaire C.R.M. pour la loi N(0;) appelée loi normale centrée réduite. La loi normale centrée réduite N(0;) On dit que la variable aléatoire X * suit une loi normale centrée réduite de moyenne 0 et d'écart-type ( >0) si sa densité de probabilité est la fonction : f(x) = e π x f 0 x La moyenne : La variance : L écart-type : σ (X*) =. + x x E( X*) = = = 0 xe dx e π π x x x x V ( X*) = e x dx = = = xe xdx xe e dx π π π π 0 = car f densité P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

58 Extrait du formulaire C.R.M. (édition ) Φ( x ) = P ( X * x ) = x f ( t )dt = P.S. / e t dt f Φ( x ) 0 x π x t Combinatoires et probabilités / N-A

59 Utilisation de la table numérique avec la loi normale centrée réduite Cette table donne les valeurs de P( X* x ) notée Φ( x ) pour "toutes" les valeurs positives de x. Par exemple, CRM P(X*,) = Φ (,) = 0,988 = 98,8 % Nous pouvons ensuite en déduire que : CRM P(X*,) = P(X*,) = Φ(,) = 0,988 =,8 % En utilisant la symétrie de la courbe en cloche, nous pouvons ensuite remarquer que la probabilité que X* prenne des valeurs inférieures à, est aussi de,8 % car SYM P(X*,) = P(X*,) = Φ(,) = 0,988 =,8 % CRM Φ( x ) f -x 0 x t Activité III Vérifier que si X* suit une loi normale centrée réduite, la probabilité P(- X* ) est de 8, %. P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

60 Une propriété importante pour les lois normales Si la variable X suit une loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ, X μ alors la variable X* = suit une loi normale centrée réduite. σ a μ b μ b μ a μ Autrement dit : P( a X b ) =P X* =Φ Φ σ σ σ σ (La démonstration de cette proposition, sort du cadre de ce cours et ne sera donc pas exposée ici). Exemple d'utilisation Supposons qu'en un endroit donné les températures du mois de juillet suivent une loi normale de 8, de moyenne avec un écart-type de,. Sous ces conditions, quelle est la probabilité que la température, un jour de juillet, soit comprise entre 0 et 5? Notons X la variable aléatoire indiquant la température en question. X 8, Comme X suit une loi N(8, ;,), nous savons que la variable X* = suit une loi, normale centrée et réduite N(0;). 5 8, 0 8, Si X = 5 alors X* = =,89 et si X = 0 alors X* = = 0,5,, Nous avons donc P(0 X 5) = P(0,5 X*,89) = Φ(,89) - Φ (0,5) En utilisant la table de la loi N(0;), nous trouvons : CRM P(0 X 5) = P(0,5 X*,89) = Φ(,89) Φ (0,5) = 0,970-0,9 = 7,9 %. Comment calculer la probabilité que cette même température soit inférieure à 5? 5 8, Si X = 5 alors X* = = 0,8, Nous avons donc : SYM ( ) ( ) ( ) ( ) P X 5 = P X* - 0,8 = - P X* 0,8 = Φ 0,8 0,87 = 8,7% CRM Exercice 9 Calculer les probabilités (en %) suivantes, sachant que X* suit la loi normale centrée réduite : a) P( 0 X*,) b) P( 0.8 X* 0) c) P( 0, X*,) d) P( X* 0.8) e) P( X*,8) Exercice 97 Le poids moyen de 000 colis entreposés dans un hangar est de kg et l'écart-type est de 5 kg. En supposant que ces poids sont normalement distribués, calculer le nombre de colis a) entre 0 et 55 kg b) ayant plus de 85 kg. P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

61 Exercice 98 Le diamètre intérieur moyen d'un échantillon de 00 corps de stylos est de 0,50 cm et l'écart-type moyen est de 0,005 cm. Ne peuvent être acceptées uniquement les pièces dont le diamètre est compris entre 0,9 et 0,508 cm, les autres étant considérées comme défectueuses. Quel est alors le pourcentage de corps de stylos défectueux, sachant que les diamètres des pièces sont distribués normalement. Exercice 99 Supposons que le poids de 000 gorilles est distribué normalement avec une espérance (moyenne) de 55 kg et un écart-type de 0 kg. a) Trouver le nombre de gorilles dont le poids est inférieur à 00 kg. b) Trouver le nombre de gorilles dont le poids est compris entre 0 et 0 kg. c) Quelle est la proportion de gorilles dont le poids est inférieur à 0 kg? d) Quelle est la proportion de gorilles dont le poids est supérieur à 0 kg? e) Si, lors d'une étude, on veut "éliminer" les 5 % des gorilles trop légers, quel sera le poids minimum des gorilles concernés par l'étude. Exercice 00 Une entreprise produisant des bouteilles d'un litre de sirop ne veut pas mettre en vente des bouteilles contenant moins de 0,97 litre. D'autre part, les bouteilles contenant plus de,05 litres ne peuvent pas être fermées convenablement. Le système de remplissage est réglé sur,0 litre mais on sait que sa précision n'est pas absolue et que la quantité donnée à chaque bouteille suit une loi normale d'écart-type 0, litre. (et de moyenne litre) a) Calculer le pourcentage de bouteilles acceptées. b) En admettant que le sirop des bouteilles rejetées n'est pas récupéré, est-il plus avantageux de régler le système de remplissage sur,0 litres de moyenne? (On ne tient pas compte ici de prix des bouteilles vides.) Exercice 0 Une usine utilise une machine automatique pour remplir des flacons contenant un certain produit en poudre. Par suite de variations aléatoires dans le mécanisme, le poids de poudre par flacon est une variable aléatoire de loi normale de moyenne m et d écart-type, mg. Les flacons sont vendus comme contenant 00 mg de produit. a) La machine est réglée sur m = 0, mg. Quelle est la probabilité que le poids de produit dans un flacon soit inférieur au poids annoncé de 00 mg? b) Sur quelle valeur de m faut-il régler la machine pour qu au plus % des flacons aient un poids inférieur au poids annoncé de 00 mg? P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

62 Exercice 0 * On admet que la longueur du pied d un homme adulte suit une loi normale de moyenne cm et d écart-type cm. Un fabriquant de chaussettes étudie cette loi pour programmer sa production de chaussettes en taille et en quantité. Il décide de répartir sa production selon 5 tailles numérotées de à 5 de la façon suivante : il prend un intervalle symétrique autour de la moyenne, de probabilité 0, 9 ; il divise cet intervalle en intervalles égaux correspondant aux tailles, et. Il obtient donc ainsi son total de 5 tailles. a) Déterminer les longueurs de pied qui délimitent ces 5 intervalles. b) Quelle est la part, en pourcentage, de la production totale à affecter respectivement à chacune des 5 tailles? Exercice 0 * On a étudié le poids d une population d individus présentant certaines caractéristiques précises ; on a obtenu les résultats suivants : 0% des poids sont inférieures à 0 Kg et 0 % des poids sont supérieures à 80 Kg. Si on suppose que le poids des individus présentant ces caractéristiques suit une loi normale, déterminer la moyenne et l écart-type de cette loi. P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

63 ..5 Ce qu il faut absolument savoir 5 Connaître la définition d une expérience aléatoire Connaître la définition d un univers Ω 7 Connaître la définition d un événement et d un événement élémentaire de Ω 8 Connaître les opérations de la théorie des ensembles 9 Comprendre la notion de probabilité sur les événements Ω 0 Calculer une probabilité «combinatoire» Connaître les axiomes des probabilités Connaître et comprendre l énoncé des théorèmes à 5 Connaître la définition d une probabilité conditionnelle Calculer une probabilité conditionnelle 5 Résoudre une épreuve successive à l aide d un arbre de classement * Connaître et comprendre l énoncé du théorème de Bayes 7 Connaître la définition d événements indépendants 8 Connaître et savoir utiliser la loi binomiale 9 Connaître la définition d une variable aléatoire discrète 0 Calculer l espérance, la variance et l écart-type d une variable aléatoire discrète Connaître la définition d une variable aléatoire continue Connaître la définition d une densité de probabilité Connaître et savoir utiliser la loi normale centrée réduite Connaître et savoir utiliser la loi normale ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

64 . Solutions des exercices Ex 0 issues. Ex L'arbre donne 8 possibilités ; il manque le petit carré noir et le grand rond blanc. Ex Il y a chemins différents pour la petite grille et chemins différents pour la grande. Ex Il y a chemins différents. Ex 5 Avec répétition Sans répétition a) 0 b) 7 0 c) 7 0 d) 80 e) 0 Ex Le nombre possible de coloriage est de 9'08. Ex 7 9 issues possibles Ex 8 parties. Ex 9 7! 7! = ; 0! 80 8! = ; 8! = 7!! ; 00! 9'900 98! = ; =! 5! 0 0! (0 )! = '80 ;! ( )!! = 0' n! ( n+ )! ( n r+ )! = n = ( n+ ) ( n+ ) n = ( n r+ ) ( n r) ( n )! ( n )! ( n r )! Ex 0 a) b) 0 c) 0 Ex a) possibilités (en rang). b) manières différentes (permutation circulaire). c) possibilités (en rang). manières différentes (permutation circulaire). Ex a) 0 b) manières différentes c) 8 manières différentes. Ex a) '0 b) Ex 80 Ex 5 a) 0 mots b) mots c) mots. d) mots. Ex 70 possibilités. Ex 7 5 possibilités. Ex 8 a) 5 b) Ex 9 5 Ex 0 50 Ex a) 9'5'5'77 faç ons b) faç ons Ex 77 habitants P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

65 Ex 5 possibilités différentes. Ex Ex 5 70, les oui étant déterminés, les non le seront aussi. Ex 0'000 possibilités. Ex 7 9''80 distributions différentes pour un joueur. Ex 8 a) façons. b) '98 possibilités. c) 9'70 possibilités. d) '80 possibilités. e) 0'7 possibilités b) 008 possibilités. e) 75' possibilités. Ex 9 a) 8'5'00 possibilités différentes à la Loterie Suisse à numéros. b) i) numéros gagnants : possibilité. ii) 0 numéros gagnants : '' possibilités. iii) numéros gagnants : '5'5 possibilités. iv) numéros gagnants : ''75 possibilités. v) numéros gagnants : 8'780 possibilités. vi) au moins un numéro gagnant : '88'7 possibilités. c) i) Probabilité de "cocher les numéros gagnants si on joue une grille" 0,0000% ii) Probabilité de "cocher 0 numéros gagnants si on joue une grille" 0% iii) Probabilité de " cocher numéros gagnants si on joue une grille " % Ex 0 a) 7'75'0 possibilités différentes à l'euro Millions. b) i) 7 numéros gagnants ( er prix) : possibilité. ii) ( ème prix) possibilités. iii) ( ème prix) possibilités. iv) ( ème prix): 5 possibilités. v) 0 numéros gagnants : 5'5'99 possibilités. Ex a) 5 choix possibles b) i) possibilités différentes. b) ii) 5 choix. Ex a) '08'57 possibilités b) 0 possibilités d'avoir seule fois pile. c) 90 possibilités d) '85 possibilités. e) 8'75 possibilités. f) possibilité. Ex a) 7'57 sigles b) '0 sigles c) '800 sigles Ex a) 0 possibilités. b) 00 possibilités. c) 0 possibilités différentes. d) '70 possibilités. e) 8'00 possibilités. Ex 5 58' équipes possibles. Ex a) 8 nombres différents. b) 9 nombres différents. Ex 7 a) '50 b) '780 Ex 8 7 possibilités différentes. Ex 9 a) 0 façons b) 0 façons Ex 0 * n sous-ensembles différents (y compris l'ensemble vide et l'ensemble Ω). P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

66 Ex * bijections Ex a) b) 5 Ex P ( ) Ex 5 a) 8 Ex c) "plaques qui commencent par " 55,% b) = c) π P("la fléchette se trouve dans la zone ombrée") =,% 8 π Ex 7 a) 9,% b) 70,% Ex 8 Les deux événements sont équiprobables! Ex 9 a) P("tirer 0 vaccin périm é ") 7,% b) P(" tirer vaccin périm é "),5% c) P(" tirer vaccins périm és "),% Ex 50 a) P(«quinte royale») 0,0005 % b) P(«quinte flush») 0,009 % c) P(«carré») 0,0 % d) P(«full») 0, % 5 9 e) P(«flush») 0,97 % f) P(«quinte») 0,9 % g) P(«brelan»), % h) P(«deux paires») 9,5 % 7 i) P(«paire»),55% Ex 5 P(A) = 0, P(B) = 0,5 P( A B) = 0, P(A B) = 0, P(A B) = 0, P(A B) = 0, 9 P(A B) = 0,8 P( A B) = 0, P( A B) = 0, 7 Ex 5 a) 90 % b) 0 % c) 0 % Ex 5 ),% ) 5,7 % ),9 % Ex 55 % ),98 % 5) 95,8% ) 70, % Ex 5 a) 5% b) 0 % c) 80 % Ex 57 a) 7,5% b) 0% c) 50% Ex 58 a) % b) 7 % c).9 % d) 8 % e) 8 % Ex 59 5,5% Ex 0 a),% b), % c) 78, % d) 7,% Ex a) 9 b) Ex a) 7 50 b) P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

67 Ex a),7 % b) 9, % Ex a) 5 b) 05 c) 9 Ex 5 a) 0 % b) 0 % Ex 7 77% Ex 8 8% Ex 9 * a), % b) 9, % c) 70, % Ex 70 * 0,08 0, 0, Ex 7 Ex 7 a) b) Ex 7 a) 8 b) 8 c) Ex 7 a) 5 79 Ex 75 a) 8 5 b) c) 5 79 b) 8 5 d) 0 79 c) 7 5 d) 88 5 Ex 7 a) i) 0 ii) 0 0 iii) 0 0 iv) 0 b) i) 0 ii) 0 0 iii) 0 0 iv) 0 0 v) 0 Ex 77 a) i) 0 ii) 0 0 iii) 0 0 iv) 0 b) i) 0 ii) 0 0 iii) 0 0 iv) 0 0 v) 0 Ex 78 a),% b),% c) 98,% Ex 79 a),9% b) 0% c) 9,% Ex 80 a),% b),7% Ex 8,% Ex 8 a) P(A + ) = 8,% b) P(O) = % c) P( aucun O - ) = 8, % (loi binomiale) d) P( A ) =,9% (loi binomiale) e) ( ) + P au moins donneurs O = 77,95% (loi binomiale) + P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

68 Activité I m=e(x) =,5 V(X),9 σ (X),7 m=e(y) =,5 V(Y),05 σ (Y),0 m=e(z) =,5 V(Z),5 σ (Z),8 Ex 8 { ; ; ; ; ; ; ; } U = ppp ppf pfp fpp pff ffp fpf fff X = le nombre de «faces» se présentant à l'épreuve. X( fff ) = X( ffp) = X( pff) = X( fpf) = X( ppf) = X( fpp) = X( pfp) = X( ppp ) = 0 X 0 P E( X) =,5 V( X) = 0,75 σ ( X) 0,87 Ex 8 { ; ; ; ; ; ; ; } U = ppp ppf pfp fpp pff ffp fpf fff X = le nombre de «faces» moins le nombre de piles se présentant à l'épreuve. X( fff ) = X( ffp) = X( pff) = X( fpf) = X( ppf) = X( fpp) = X( pfp) = X( ppp ) = X - - P E( X) = 0 V( X) = σ ( X),7 Ex 85 E( X ) = V( X ) =,5 σ ( X ), Ex 8 E( X) = 0,75 V( X) 0, σ ( X) 0,8 Ex 87 E( X) =, stylos Ex 88 ) Il peut s'attendre à une moyenne de,5. ) 75% de notes insuffisantes. ) En retenant le plus grand des deux nombres, la moyenne serait :,7. Ex 89 ) Le prix ne doit pas dépasser francs. ) L'écart-type est de francs. Ex 90 Le joueur peut s'attendre à gagner environ 0,5 fois par semaine. Ex 9 Nous pouvons espérer 8 bonnes réponses. Ex 9 ) Y suit une loi binomiale avec p = et n = 5 ) P(Y = 0),8 % P Y =,79 % P Y =, % ( ) ( ) ) En moyenne, 0,7 personnes descendent au 7 e étage. P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

69 Ex 9 a) f ( x) 0 ok et f ( x) dx = x dx = x = 0 0 b) P( X,5) =, 5% PX (,5) =,75% c) E( X ) =, d) V( X ) = 0, et σ ( X ) 0,9 Ex 9 a) f( x ) 0 ok et x 0 x x (0 x) f ( x) dx = dx + dx = = 0 0+ = ok b),5% c) 0,5 0,5 5 =,5 fois. d) E( X) = 0minutes e*) V( X ) = 50 σ ( X ),5 minutes Ex 95 * a) f( x ) 0 ok k k x x k k kx x dx k k k 0 k 0 ( ) = = = b) E( X ) = k c) P(0 X ) =,% Activité III SYM CRM P X * =Φ() Φ( ) = Φ() Φ () = Φ() = 0,8 = 0, 8 = 8, % ( ) [ ] Ex 9 a) 8,9 % b) 5,8% c),7 % d),8% e) 89,97 % Ex 97 a) Il y a environ 70 colis entre 0 et 55 kg b) Il y a environ,7 colis de plus de 85 kg Ex 98 Il y donc environ % de stylos défectueux. Ex 99 a) Environ gorilles b) Environ gorilles c), % d) 98,8 % e) X, Kg Ex 00 a) Le pourcentage de bouteilles acceptées est de 5,8 % b) Oui car le pourcentage de bouteilles acceptées serait alors de 5,8 %. Ex 0 a) P( X 00) =,79 % b) m 0,95 [ mg ] P.S. / Combinatoires et probabilités / N-A

70 Ex 0 * a) Taille : inférieure à 9,05 Taille : entre 9,05 et,5 Taille : entre,5 et 5,5 Taille : entre 5,5 et 8,95 Taille 5 : supérieur à 8,95 b) Taille : 5 % Taille : % Taille : % Taille : % Taille 5 : 5 % Ex 0 * m 7, Kg σ, kg P.S. / 0-0 Combinatoires et probabilités / N-A

71 Notes personnelles

72 Notes personnelles