Unité 2 Leçon 2 Les permutations et les combinaisons

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1 Unité 2 Leçon 2 Les permutations et les combinaisons Qu'apprenons nous dans cette leçon? La différence entre un arrangement ordonné (une permutation) et un arrangement nonordonné (une combinaison). La distinction entre les diverses permutations, comme les permutations ayant des objets identiques, les arrangements circulaires, et les permutations de n objets pris r à la fois. 1

2 Les permutations Une permutation d'un ensemble d'objets distincts est un arrangement ordonné de ces objets. Pour effectuer une différente permutation d'un ensemble d'objets, il faut les réorganiser. Le nombre de permutations de n objets distincts est n! À titre d'exemple, si on crée des arrangements ordonnés des lettres C, A et T, on obtient les six permutations suivantes : CAT, CTA, ACT, ATC, TAC et TCA. Alors, il exist... résultats possibles Le nombre de choix et d arrangements possibles parmi des objets s appelle une permutation. 2 ACTIONS!!! 1. Détermine le nombre de permutations des lettres du mot MATH. 2. Détermine le nombre de permutations des lettres du mot CHAISE. 2

3 Les répétitions Il existe des situations dans lesquelles certains des objets dans l'ensemble sont identique. Dans ces situations, il faut enlever les répétitions. Le nombre de permutations de n objets parmi lesquels a objets sont identiques, b autres objets sont identiques, c autres objets sont identiques, etc. est # de permutations avec objets identiques : 3. Détermine le nombres de permutations des lettres du mot STREET. 1. Détermine le nombre de permutations des lettres dans les motes ci dessous: TRIANGLE RECTANGLE CERCLE CALCULATRICE 3

4 Les arrangements circulaire Puisque les arrangements circulaires n'ont pas de commencement ni fin distincts, nous avons besoin de modifier notre formule. Le nombre de permutations de n objets dans un arrangement circulaire est (n 1)! : 4. Combien de façons peut on arranger 5 personnes autour d'une table circulaire? Détermine le nombre de permutations. 3. Toi et 4 de tes amis faites prendre une photo (par un photographe) côte à côte. 4. Toi et 4 de tes amis allez souper ensemble et vous assoyez à une table circulaire. 4

5 Les permutations de n objets pris r à la fois Il existe des situations dans lesquelles nous utilisons juste une sous ensemble de tout les objets disponibles. Dans ces situations, le nombre de permutations se calcule de la façon suivante. Le nombre de façons dont on peut placer n objets (en ordre) dans r positions disponibles est : 5. De combien de façons peut 8 athlètes finir 1 er, 2 e et 3 e dans une course. 6. Récris chaque expression sous la forme d'un produit de nombres naturels irréductible. 5P 2 9 P 4 12 P 3 5

6 7. Récris chaque expression sous la forme n P r. 7 x 6 x 5 19 x 18 x 17 x x 56 Détermine le nombre de permutations. 5. Détermine le nombre de permutations de 5 personnes si toutes les 5 personnes se mettent en file à la caisse. 6. Détermine le nombre de permutations de 5 personnes si 3 de ces personnes se mettent en file à la caisse. 6

7 Détermine le nombre de permutations. 7. Eva joue à SCRABBLE et a tiré les lettres A, W, L, N, S, O et D. Combien de permutations de quatre de ces lettres sont possibles? 8. De combien de façons trois élèves peuvent ils être assis devant six pupitres? 9. Combien de façons différentes peut 3 ampoules rouges, 4 ampoules vertes et 2 ampoules blues être disposés dans une chaîne de lumières de Noël à 9 prises? 10. Combien de façons peut on arranger 5 personnes autour d'une table circulaire de telle sorte que 2 personnes doivent s'asseoir ensemble. 11. De combien de façons peuvent 6 filles et 2 gars être arrangés côte à côte si... a. il n'y a aucune restrictions? b. les 2 gars doivent être ensemble? c. les 2 gars doivent être séparés? 7

8 Les combinaisons Il existe des situations dans lesquelles l'ordre n'intervient pas. Dans ces situations, on ne peut pas employer une permutation. Une situation qui demande de prendre des objets dans n'importe ordre s'appelle une combinaison. Activité: Dresse une liste d'au moins 12 situations dans lesquelles on trouve les permutations (l'ordre est important) et les combinaisons (l'ordre n'est pas important). La liste a été déjà commencée. Permutations File au supermarché Combinaisons Garnitures sur une pizza Les combinaisons de n objets pris r à la fois Dans le cas des combinaisons, on ne considère pas les arrangements dont l'ordre est différent comme des résultats différents (l ordre n est pas important). Alors, on enlève la nombre d'arrangements ordonnés de notre formule dans la façon suivante: Le nombre de combinaisons (arrangements sans ordre) de n objets pris r à la fois est égale à le nombre des permutations de ces objets n P r diviser par le nombre d'arrangements des objets prises r!. Dans d'autres mots... N.B. Les combinaisons sont un sous ensemble des permutations, alors on va toujours avoir moins de combinaisons que de permutations. En choisissant les objets, on forme des combinaisons (la première action), et en arrangeant ces objets, on forme une permutation (la deuxième action). 8

9 1. Récris chaque expression sous la forme d'un produit irréductible. 5C 2 6 C 4 29C 5 2. Récris chaque expression sous la forme n C r. 9

10 3. Combien existe t il de combinaisons différentes au 6/49? 4. Au poker, on remet cinq cartes à chaque joueur. Combien y a t il de combinaisons possibles parmi 52 cartes? 5. À un examen on demande de répondre à seulement 6 questions sur 10. Combien y a t il de choix différents possibles? 6. Dans un groupe de huit élèves, trois seront choisis de faire parti d'une assemblé scolaire. a) Dans combien de façons peut on former cette assemblée? b) Si les trois élèves vont recevoir les positions de président(e), vice président(e) et secrétaire, combien de façons peut on former cette assemblée? 10

11 7. Une certaine université a trouvé que le pourcentage de femmes qui s'inscrivaient aux programmes des sciences et sciences appliqués était insuffisant. Parmi une groupe de 35 hommes et 25 femmes, détermine le nombres de groupes possibles de 10 personnes si... a. il n'y a aucunes restrictions b. Exactement 2 femmes seront acceptées. c. Au moins 2 femmes seront acceptées. 1. Combien de façons différents peut on choisir 3 garnitures parmi une liste de 7 à mettre sur une pizza? 2. Combien y a t il de mains différentes de 13 cartes au bridge? 11

12 3. Avec les 5 couleurs rouge, jaune, bleu, vert et noir, combien peut on colorer de drapeaux différents de la forme ci contre en utilisant 3 des couleurs? 4. Nous avons à former un comité de 5 personnes choisies parmi 10 hommes et 12 femmes. Combien de comités différents peut on former d'au moins 1 homme? 12