Cours de Probabilités et de Statistique
|
|
- Blanche Lessard
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est
2 Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco
3 Chapitre Notions de théorie des ensembles Ensembles et évènements L étude d une expérience aléatoire commence par la définition de l ensemble Ω de tous les résultats possibles. Exemple Une partie de pile ou face : Ω = {P, F }. 2. Un lancer de dé : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 3. Deux parties de pile ou face : Ω = {(P, P ); (P, F ); (F, P ); (F, F )}. Dans ce qui précède, il est important de distinguer l ensemble à deux éléments {P, F } et le couple ordonné (P, F ). Dans le premier cas on ne tiens pas compte de l ordre des éléments, alors que dans le second cas l ordre est important. Ainsi, on a {P, F } = {F, P } mais (P, F ) (F, P ). Définition 1.1 : Un ensemble est une collection d objets appelés éléments de l ensemble. On note souvent les ensembles avec des majuscules et leurs éléments avec des minuscules. Exemple La notation ω Ω signifie que ω est un élément de l ensemble Ω. 3
4 1.1. ENSEMBLES ET ÉVÈNEMENTS Définition 1.2 : On dit qu un ensemble E est inclus (ou contenu) dans un ensemble F, et on note E F, si les éléments de E sont tous des éléments de F. Exemple Avec les espaces usuels, on a les inclusions suivantes : N Z Q R. Définition 1.3 : Deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments, ou encore si et seulement si E F et F E. Définition 1.4 : 1. Soit Ω un ensemble fini. Le nombre d éléments de Ω est alors appelé cardinal de Ω et noté card Ω. 2. L ensemble vide, noté, a un cardinal nul. 3. Un ensemble de cardinal égal à 1 (resp. 2) est appelé singleton (resp. paire). Remarque 1.5 : Soit E un ensemble, les inclusions suivantes sont toujours vérifiées : E. E E. Définition 1.6 : 1. Soient E et F deux ensembles. On appelle produit cartésien de E et F, et on note E F, l ensemble des couples de la forme (a, b) avec a E et b F. 2. Plus généralement, si E 1, E 2,..., E n sont n ensembles, leur produit cartésien est l ensemble E 1 E 2 E n ou forme (x 1, x 2,..., x n ) avec x i E i pour i = 1, 2,..., n. n E i des n-uplets de la Exemple R 2 = R R = {(x, y), x R, y R}. Cours de Proba-Stat 4 L1.2 Science-Éco
5 CHAPITRE 1. NOTIONS DE THÉORIE DES ENSEMBLES Propriété 1.7 : Soient E 1, E 2,..., E n des ensembles finis, on a : card (E 1 E 2 E n ) = n card (E i ). Définition 1.8 : En théorie des ensembles, l ensemble des parties d un ensemble Ω est noté P(Ω). Propriété 1.9 : Si E est un ensemble fini de cardinal n, alors card (P(E)) = 2 n. Exemple Pour Ω =, P(Ω) = { }. P(Ω) est alors un singleton. Pour Ω = {1}, P(Ω) = {, {1}}. Pour Ω = {P, F }, P(Ω) = { ; {P }; {F }; {P, F }}. Remarque 1.10 : On peut remarquer dans les exemples précédents que la Proposition 1.9 est vérifiée. 1.2 Opérations sur les parties d un ensemble Soit Ω un ensemble fixé. On définit les opérations suivantes sur les parties de Ω. Définition 1.11 : Soient A et B deux parties de Ω. 1. On appelle complémentaire (dans Ω) de A l ensemble, noté Ω A ou A c, des éléments de Ω qui ne sont pas des éléments de A : A c = {w Ω, w A}. 2. On appelle union (ou réunion) de A et B, et on note A B, l ensemble des éléments de Ω appartenant à A ou à B : A B = {w Ω, w A ou w B}. 3. On appelle intersection de A et B, et on note A B, l ensemble des éléments de Ω appartenant à A et à B : A B = {w Ω, ω A et ω B}. Cours de Proba-Stat 5 L1.2 Science-Éco
6 1.2. OPÉRATIONS SUR LES PARTIES D UN ENSEMBLE Remarque 1.12 : 1. La notation Ω A pour le complémentaire de A est utile lorsqu on peut être amené à considérer A comme sous-ensemble de plusieurs ensembles. Mais c est rarement le cas et on lui préfère la notation plus simple A c. 2. Le ou de la définition de la réunion n est pas un ou exclusif, c est-à-dire que des éléments de l union peuvent être à la fois dans A et dans B. On a donc l inclusion suivante : A B A B. Propriété 1.13 : Soit Ω un ensemble et A et B deux sous-ensembles de Ω. Alors, les propriétés suivantes sont vérifiées : 1. Ω c =, c = Ω, (A c ) c = A. 2. Commutativité de la réunion et de l intersection : 3. Associativité : A B = B A, A B = B A. (A B) C = A (B C) et (A B) C = A (B C). 4. A =, A Ω = A, A = A, A Ω = Ω. 5. Si A et B sont des ensembles finis, card (A B) = card (A) + card (B) card (A B). Remarque 1.14 : On définit aussi la réunion et l intersection d une famille finie A 1, A 2,..., A n d ensembles de la façon suivante : n A i = {ω Ω, i {1, 2,..., n} ω A i }, n A i = {ω Ω, i {1, 2,..., n} ω A i }, La proposition suivante énonce les propriétés de distributivité de l union par rapport à l intersection et de l intersection par rapport à l union. Proposition 1.15 : Si A, B et C sont des parties de Ω, A (B C) = (A B) (A C) et A (B C) = (A B) (A C). Démonstration : Pour montrer que A (B C) = (A B) (A C), il est nécessaire de montrer la double inclusion. Cours de Proba-Stat 6 L1.2 Science-Éco
7 CHAPITRE 1. NOTIONS DE THÉORIE DES ENSEMBLES Soit ω A (B C). Si ω A, comme on a A A B et A A C, on sait que ω (A B) (A C). Sinon, si ω B C, comme on a B A B et C A C, on a B C (A B) (A C). Donc, ω (A B) (A C). Par conséquent, dans tous les cas on a ω (A B) (A C). Ainsi, on a l inclusion suivante : A (B C) (A B) (A C). Soit ω (A B) (A C). Si ω A, alors ω A (B C). Sinon, si ω A, alors ω B C. Donc, ω A (B C). Par conséquent, dans tous les cas on a ω A (B C). On a donc l inclusion suivante : Ce qui montre l égalité : (A B) (A C) A (B C). A (B C) = (A B) (A C). L autre égalité est laissée en exercice. Proposition 1.16 : Si A et B sont deux parties de Ω, on a : (A B) c = A c B c et (A B) c = A c B c. Remarque 1.17 : Plus généralement, on a : ( n ) c ( n n ) c n A i = A c i et A i = A c i. Définition 1.18 : Soit Ω un ensemble et A 1, A 2,..., A n n sous-ensembles de Ω. On dit que ces sous-ensembles forment une partition de Ω si : 1. A i pour tout i = 1, 2,..., n. 2. A i A j = si i j. n 3. A i = Ω. 1.3 Dénombrement Soit E un ensemble de n éléments et k n. Cours de Proba-Stat 7 L1.2 Science-Éco
8 1.3. DÉNOMBREMENT Arrangements et permutations Définition 1.19 : On appelle arrangements de k éléments de E ou k- arrangements de E, et on note A k n, un k-uplet (ordonné) d éléments deux à deux distincts de E. Remarque 1.20 : Le nombre n dans la notation A k n renvoie au cardinal de E. Il est évident que si n < k alors A k n = 0. Sinon, pour le premier élément du k-uplet on a n choix possibles, on a n 1 choix pour le second,...ce qui nous donne l expression suivante pour A k n : Propriété 1.21 : Le nombre d arrangements de k éléments d un ensemble à n éléments est donné par : A k n = n (n 1) (n k + 1). Remarque 1.22 : Quand k = n, on parle plutôt de permutation que d arrangement. On a donc que le nombre de permutations d un ensemble à n éléments est égal à : A n n = n (n 1) 2 1 = n!. Exercice 1.23 : Dans une course de chevaux avec 15 partants, combien y a-t-il de tiercés dans l ordre différents possibles? Remarque 1.24 : A k n est en fait le nombre d injections que l on peut faire d un ensemble à k éléments vers un ensemble à n éléments. Propriété 1.25 : L expression de A k n peut aussi être donnée par : A k n = n! (n k)!, 0 k n, avec 0! = 1 et n! = n (n 1) Combinaisons Définition 1.26 : On appelle combinaison ( ) de k éléments de l ensemble E, ou n k-combinaison de E, et on note Cn k ou, tout sous-ensemble de E ayant k k éléments. Remarque 1.27 : Ici, contrairement aux arrangements, l ordre des éléments n a pas d importance. Cours de Proba-Stat 8 L1.2 Science-Éco
9 CHAPITRE 1. NOTIONS DE THÉORIE DES ENSEMBLES Exemple On tire au hasard 5 cartes d un jeu de 32 cartes (main de poker). Le résultat de cette expérience est une combinaison de 5 cartes parmi 32. Il est évident que si n < k, C k n = 0. Sinon, à chaque k-combinaison, on fait correspondre k! k-arrangements distincts. Exemple À la 3-combinaison {a, b, c}, on fait correspondre les 3! = 6 arrangements : (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). On a donc la propriété suivante : Propriété 1.28 : Le nombre de combinaisons à k éléments pris parmi n est donné par : C k n k! = A k n, soit C k n = n! (n k)!k!. Exercice 1.29 : 1. Combien y a-t-il de mains de poker différentes? 2. Combien y a-t-il de tiercés dans l ordre ou non sur une course avec 15 partants? Propriété 1.30 : 1. C 0 n = C n n = 1, C 1 n = C n 1 n = n, C 2 n = n(n 1)/2. 2. C k n = C n k n, 0 k n. 3. C k 1 n 1 + C k n 1 = C k n, 1 k n. Remarque 1.31 : La dernière porpriété permet de construire le triangle de Pascal, dont la n ième ligne donne les coefficients C k n pour k = 0,..., n Théorème 1.32 (Binôme de Newton) : Pour tous nombres réels a et b et pour tout entier naturel n 1, on a :... (a + b) n = Cna k k b n k. Cours de Proba-Stat 9 L1.2 Science-Éco
10 1.3. DÉNOMBREMENT Démonstration : On raisonne par récurrence sur n. 1. Pour n = 1, on a (a + b) 1 = a + b et C 0 1a 0 b 1 + C 1 1a 1 b 0 = b + a. L égalité est donc bien vérifiée au rang n = On suppose que l égalité est satisfaite pour un certain entier n : (a + b) n = Cna k k b n k. 3. On va maintenant montrer qu elle est aussi vraie au rang n + 1. On écrit : (a + b) n+1 = (a + b) (a + b) n ( ) = (a + b) Cna k k b n k = Cna k k+1 b n k + Cna k k b n k+1 n+1 = Cn j 1 a j b n+1 j + j=1 = a n+1 + j=1 n+1 = Cn+1a j j b n+1 j. j=0 Cna k k b n k (C j 1 n + C j n)a j b n+1 j + b n+1 Cours de Proba-Stat 10 L1.2 Science-Éco
Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités
Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements
Calculs de probabilités
Calculs de probabilités Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 13 mars 2008 1. Définitions et notations 1 L origine des probabilités est l analyse de jeux de hasard, tels que pile
Coefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
Probabilités. C. Charignon. I Cours 3
Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3
Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...
1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................
Qu est-ce qu une probabilité?
Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont
Bureau N301 (Nautile) benjamin@leroy-beaulieu.ch
Pre-MBA Statistics Seances #1 à #5 : Benjamin Leroy-Beaulieu Bureau N301 (Nautile) benjamin@leroy-beaulieu.ch Mise à niveau statistique Seance #1 : 11 octobre Dénombrement et calculs de sommes 2 QUESTIONS
Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres
Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire
Objets Combinatoires élementaires
Objets Combinatoires élementaires 0-0 Permutations Arrangements Permutations pour un multi-ensemble mots sous-ensemble à k éléments (Problème du choix) Compositions LE2I 04 1 Permutations Supposons que
Analyse Combinatoire
Analyse Combinatoire 1) Équipes On dispose d un groupe de cinq personnes. a) Combien d équipes de trois personnes peut-on former? b) Combien d équipes avec un chef, un sous-chef et un adjoint? c) Combien
Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Calculs de probabilités conditionelles
Calculs de probabilités conditionelles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 20 mars 2008 1. Indépendance 1 Exemple : On lance deux pièces. Soit A l évènement la première est Pile
Structures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Cours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II
PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits
Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2
Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre
Axiomatique de N, construction de Z
Axiomatique de N, construction de Z Table des matières 1 Axiomatique de N 2 1.1 Axiomatique ordinale.................................. 2 1.2 Propriété fondamentale : Le principe de récurrence.................
De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
LES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES
LES GENERATEURS DE NOMBRES ALEATOIRES 1 Ce travail a deux objectifs : ====================================================================== 1. Comprendre ce que font les générateurs de nombres aléatoires
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
INF 162 Probabilités pour l informatique
Guy Melançon INF 162 Probabilités pour l informatique Licence Informatique 20 octobre 2010 Département informatique UFR Mathématiques Informatique Université Bordeaux I Année académique 2010-2011 Table
Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
La NP-complétude. Johanne Cohen. PRISM/CNRS, Versailles, France.
La NP-complétude Johanne Cohen PRISM/CNRS, Versailles, France. Références 1. Algorithm Design, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Addison-Wesley, 2006. 2. Computers and Intractability : A Guide to the Theory of
Cryptographie et fonctions à sens unique
Cryptographie et fonctions à sens unique Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Octobre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Cryptographie et fonctions
Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon
Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,
Exercices de dénombrement
Exercices de dénombrement Exercice En turbo Pascal, un entier relatif (type integer) est codé sur 6 bits. Cela signifie que l'on réserve 6 cases mémoires contenant des "0" ou des "" pour écrire un entier.
Marc HINDRY. Introduction et présentation. page 2. 1 Le langage mathématique page 4. 2 Ensembles et applications page 8
COURS DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ANNÉE (L1) UNIVERSITÉ DENIS DIDEROT PARIS 7 Marc HINDRY Introduction et présentation. page 2 1 Le langage mathématique page 4 2 Ensembles et applications page 8 3 Groupes,
Chaînes de Markov au lycée
Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat
Introduction au Calcul des Probabilités
Université des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées Bât. M2, F-59655 Villeneuve d Ascq Cedex Introduction au Calcul des Probabilités Probabilités à Bac+2 et plus
Probabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
I. Cas de l équiprobabilité
I. Cas de l équiprobabilité Enoncé : On lance deux dés. L un est noir et l autre est blanc. Calculer les probabilités suivantes : A «Obtenir exactement un as» «Obtenir au moins un as» C «Obtenir au plus
Le produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Développement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Définitions. Numéro à préciser. (Durée : )
Numéro à préciser (Durée : ) On étudie dans ce problème l ordre lexicographique pour les mots sur un alphabet fini et plusieurs constructions des cycles de De Bruijn. Les trois parties sont largement indépendantes.
La mesure de Lebesgue sur la droite réelle
Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et
Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés
Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre
Cours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
9 5 2 5 Espaces probabilisés
BCPST2 9 5 2 5 Espaces probabilisés I Mise en place du cadre A) Tribu Soit Ω un ensemble. On dit qu'un sous ensemble T de P(Ω) est une tribu si et seulement si : Ω T. T est stable par complémentaire, c'est-à-dire
Théorie et codage de l information
Théorie et codage de l information Les codes linéaires - Chapitre 6 - Principe Définition d un code linéaire Soient p un nombre premier et s est un entier positif. Il existe un unique corps de taille q
FONDEMENTS MATHÉMATIQUES 12 E ANNÉE. Mathématiques financières
FONDEMENTS MATHÉMATIQUES 12 E ANNÉE Mathématiques financières A1. Résoudre des problèmes comportant des intérêts composés dans la prise de décisions financières. [C, L, RP, T, V] Résultat d apprentissage
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
L E Ç O N. Marches aléatoires. Niveau : Terminale S Prérequis : aucun
9 L E Ç O N Marches aléatoires Niveau : Terminale S Prérequis : aucun 1 Chaînes de Markov Définition 9.1 Chaîne de Markov I Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (X n, n N) qui permet
Introduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes
IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de
Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5.
DÉVELOPPEMENT 32 A 5 EST LE SEUL GROUPE SIMPLE D ORDRE 60 Proposition. Si G est un groupe simple d ordre 60 alors G est isomorphe à A 5. Démonstration. On considère un groupe G d ordre 60 = 2 2 3 5 et
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Limites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Equations cartésiennes d une droite
Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Exercices sur le chapitre «Probabilités»
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de
Loi binomiale Lois normales
Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli
Polynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par
ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D
ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2008 - Partie D TITRE : Les Fonctions de Hachage Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant le jury :.10 minutes Entretien avec le jury :..10 minutes GUIDE
Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
dénombrement, loi binomiale
dénombrement, loi binomiale Table des matières I) Introduction au dénombrement 1 1. Problème ouvert....................................... 2 2. Jeux et dénombrements...................................
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités
Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien
Chapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
La classification automatique de données quantitatives
La classification automatique de données quantitatives 1 Introduction Parmi les méthodes de statistique exploratoire multidimensionnelle, dont l objectif est d extraire d une masse de données des informations
D'UN THÉORÈME NOUVEAU
DÉMONSTRATION D'UN THÉORÈME NOUVEAU CONCERNANT LES NOMBRES PREMIERS 1. (Nouveaux Mémoires de l'académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1771.) 1. Je viens de trouver, dans un excellent
Leçon 01 Exercices d'entraînement
Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =
Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface
Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3
Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014. Paul Honeine Université de technologie de Troyes France
Théorie et Codage de l Information (IF01) exercices 2013-2014 Paul Honeine Université de technologie de Troyes France TD-1 Rappels de calculs de probabilités Exercice 1. On dispose d un jeu de 52 cartes
Les nombres entiers. Durée suggérée: 3 semaines
Les nombres entiers Durée suggérée: 3 semaines Aperçu du module Orientation et contexte Pourquoi est-ce important? Dans le présent module, les élèves multiplieront et diviseront des nombres entiers concrètement,
Poker. A rendre pour le 25 avril
Poker A rendre pour le 25 avril 0 Avant propos 0.1 Notation Les parties sans * sont obligatoires (ne rendez pas un projet qui ne contient pas toutes les fonctions sans *). Celles avec (*) sont moins faciles
Les probabilités. Guide pédagogique Le présent guide sert de complément à la série d émissions intitulée Les probabilités produite par TFO.
Guide pédagogique Le présent guide sert de complément à la série d émissions intitulée produite par TFO. Le guide Édition 1988 Rédacteur (version anglaise) : Ron Carr Traduction : Translatec Conseil Ltée
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
1 de 46. Algorithmique. Trouver et Trier. Florent Hivert. Mél : Florent.Hivert@lri.fr Page personnelle : http://www.lri.fr/ hivert
1 de 46 Algorithmique Trouver et Trier Florent Hivert Mél : Florent.Hivert@lri.fr Page personnelle : http://www.lri.fr/ hivert 2 de 46 Algorithmes et structures de données La plupart des bons algorithmes
Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12
Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont
Logique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples.
LEÇON N 7 : Schéma de Bernoulli et loi binomiale. Exemples. Pré-requis : Probabilités : définition, calculs et probabilités conditionnelles ; Notion de variables aléatoires, et propriétés associées : espérance,
Image d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Moments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Texte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe
Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d
Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher.
Lycée Jean Bart PCSI Année 2013-2014 17 février 2014 Probabilités Probabilités basiques Exercice 1. Vous savez bien qu un octet est une suite de huit chiffres pris dans l ensemble {0; 1}. Par exemple 01001110
4 Distributions particulières de probabilités
4 Distributions particulières de probabilités 4.1 Distributions discrètes usuelles Les variables aléatoires discrètes sont réparties en catégories selon le type de leur loi. 4.1.1 Variable de Bernoulli
Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés
Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un
Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands.
Catalogue des connaissances de base en mathématiques dispensées dans les gymnases, lycées et collèges romands. Pourquoi un autre catalogue en Suisse romande Historique En 1990, la CRUS (Conférences des
UEO11 COURS/TD 1. nombres entiers et réels codés en mémoire centrale. Caractères alphabétiques et caractères spéciaux.
UEO11 COURS/TD 1 Contenu du semestre Cours et TDs sont intégrés L objectif de ce cours équivalent a 6h de cours, 10h de TD et 8h de TP est le suivant : - initiation à l algorithmique - notions de bases
Rappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
COMBINATOIRES ET PROBABILITÉS
COMBINATOIRES ET PROBABILITÉS ème année. Analyse combinatoire.. Outils.. Principe de décomposition.. Permutations.. Arrangements..5 Combinaisons 8.. Développement du binôme 9..7 Ce qu il faut absolument
IUT de Laval Année Universitaire 2008/2009. Fiche 1. - Logique -
IUT de Laval Année Universitaire 2008/2009 Département Informatique, 1ère année Mathématiques Discrètes Fiche 1 - Logique - 1 Logique Propositionnelle 1.1 Introduction Exercice 1 : Le professeur Leblond
CHAPITRE 5. Stratégies Mixtes
CHAPITRE 5 Stratégies Mixtes Un des problèmes inhérents au concept d équilibre de Nash en stratégies pures est que pour certains jeux, de tels équilibres n existent pas. P.ex.le jeu de Pierre, Papier,
CHAPITRE IV. L axiome du choix
CHAPITRE IV L axiome du choix Résumé. L axiome du choix AC affirme qu il est légitime de construire des objets mathématiques en répétant un nombre infini de fois l opération de choisir un élément dans
S initier aux probabilités simples «Un jeu de cartes inédit»
«Un jeu de cartes inédit» 29-31 Niveau 3 Entraînement 1 Objectifs S entraîner à estimer une probabilité par déduction. Applications (exemples) En classe : tout ce qui réclame une lecture attentive d une
Licence MASS 2000-2001. (Re-)Mise à niveau en Probabilités. Feuilles de 1 à 7
Feuilles de 1 à 7 Ces feuilles avec 25 exercices et quelques rappels historiques furent distribuées à des étudiants de troisième année, dans le cadre d un cours intensif sur deux semaines, en début d année,
ENS de Lyon TD 1 17-18 septembre 2012 Introduction aux probabilités. A partie finie de N
ENS de Lyon TD 7-8 septembre 0 Introduction aux probabilités Exercice Soit (u n ) n N une suite de nombres réels. On considère σ une bijection de N dans N, de sorte que (u σ(n) ) n N est un réordonnement
Unité 2 Leçon 2 Les permutations et les combinaisons
Unité 2 Leçon 2 Les permutations et les combinaisons Qu'apprenons nous dans cette leçon? La différence entre un arrangement ordonné (une permutation) et un arrangement nonordonné (une combinaison). La
Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Probabilités. I - Expérience aléatoire. II - Evénements
Probabilités Voici le premier cours de probabilités de votre vie. N avez-vous jamais eut envie de comprendre les règles des grands joueurs de poker et de les battre en calculant les probabilités d avoir
LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL
LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL 75 LES TYPES DE DONNÉES DU LANGAGE PASCAL CHAPITRE 4 OBJECTIFS PRÉSENTER LES NOTIONS D ÉTIQUETTE, DE CONS- TANTE ET DE IABLE DANS LE CONTEXTE DU LAN- GAGE PASCAL.
Angles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.