Cours de Probabilités et de Statistique

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1 Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est

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3 Chapitre Notions de théorie des ensembles Ensembles et évènements L étude d une expérience aléatoire commence par la définition de l ensemble Ω de tous les résultats possibles. Exemple Une partie de pile ou face : Ω = {P, F }. 2. Un lancer de dé : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 3. Deux parties de pile ou face : Ω = {(P, P ); (P, F ); (F, P ); (F, F )}. Dans ce qui précède, il est important de distinguer l ensemble à deux éléments {P, F } et le couple ordonné (P, F ). Dans le premier cas on ne tiens pas compte de l ordre des éléments, alors que dans le second cas l ordre est important. Ainsi, on a {P, F } = {F, P } mais (P, F ) (F, P ). Définition 1.1 : Un ensemble est une collection d objets appelés éléments de l ensemble. On note souvent les ensembles avec des majuscules et leurs éléments avec des minuscules. Exemple La notation ω Ω signifie que ω est un élément de l ensemble Ω. 3

4 1.1. ENSEMBLES ET ÉVÈNEMENTS Définition 1.2 : On dit qu un ensemble E est inclus (ou contenu) dans un ensemble F, et on note E F, si les éléments de E sont tous des éléments de F. Exemple Avec les espaces usuels, on a les inclusions suivantes : N Z Q R. Définition 1.3 : Deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments, ou encore si et seulement si E F et F E. Définition 1.4 : 1. Soit Ω un ensemble fini. Le nombre d éléments de Ω est alors appelé cardinal de Ω et noté card Ω. 2. L ensemble vide, noté, a un cardinal nul. 3. Un ensemble de cardinal égal à 1 (resp. 2) est appelé singleton (resp. paire). Remarque 1.5 : Soit E un ensemble, les inclusions suivantes sont toujours vérifiées : E. E E. Définition 1.6 : 1. Soient E et F deux ensembles. On appelle produit cartésien de E et F, et on note E F, l ensemble des couples de la forme (a, b) avec a E et b F. 2. Plus généralement, si E 1, E 2,..., E n sont n ensembles, leur produit cartésien est l ensemble E 1 E 2 E n ou forme (x 1, x 2,..., x n ) avec x i E i pour i = 1, 2,..., n. n E i des n-uplets de la Exemple R 2 = R R = {(x, y), x R, y R}. Cours de Proba-Stat 4 L1.2 Science-Éco

5 CHAPITRE 1. NOTIONS DE THÉORIE DES ENSEMBLES Propriété 1.7 : Soient E 1, E 2,..., E n des ensembles finis, on a : card (E 1 E 2 E n ) = n card (E i ). Définition 1.8 : En théorie des ensembles, l ensemble des parties d un ensemble Ω est noté P(Ω). Propriété 1.9 : Si E est un ensemble fini de cardinal n, alors card (P(E)) = 2 n. Exemple Pour Ω =, P(Ω) = { }. P(Ω) est alors un singleton. Pour Ω = {1}, P(Ω) = {, {1}}. Pour Ω = {P, F }, P(Ω) = { ; {P }; {F }; {P, F }}. Remarque 1.10 : On peut remarquer dans les exemples précédents que la Proposition 1.9 est vérifiée. 1.2 Opérations sur les parties d un ensemble Soit Ω un ensemble fixé. On définit les opérations suivantes sur les parties de Ω. Définition 1.11 : Soient A et B deux parties de Ω. 1. On appelle complémentaire (dans Ω) de A l ensemble, noté Ω A ou A c, des éléments de Ω qui ne sont pas des éléments de A : A c = {w Ω, w A}. 2. On appelle union (ou réunion) de A et B, et on note A B, l ensemble des éléments de Ω appartenant à A ou à B : A B = {w Ω, w A ou w B}. 3. On appelle intersection de A et B, et on note A B, l ensemble des éléments de Ω appartenant à A et à B : A B = {w Ω, ω A et ω B}. Cours de Proba-Stat 5 L1.2 Science-Éco

6 1.2. OPÉRATIONS SUR LES PARTIES D UN ENSEMBLE Remarque 1.12 : 1. La notation Ω A pour le complémentaire de A est utile lorsqu on peut être amené à considérer A comme sous-ensemble de plusieurs ensembles. Mais c est rarement le cas et on lui préfère la notation plus simple A c. 2. Le ou de la définition de la réunion n est pas un ou exclusif, c est-à-dire que des éléments de l union peuvent être à la fois dans A et dans B. On a donc l inclusion suivante : A B A B. Propriété 1.13 : Soit Ω un ensemble et A et B deux sous-ensembles de Ω. Alors, les propriétés suivantes sont vérifiées : 1. Ω c =, c = Ω, (A c ) c = A. 2. Commutativité de la réunion et de l intersection : 3. Associativité : A B = B A, A B = B A. (A B) C = A (B C) et (A B) C = A (B C). 4. A =, A Ω = A, A = A, A Ω = Ω. 5. Si A et B sont des ensembles finis, card (A B) = card (A) + card (B) card (A B). Remarque 1.14 : On définit aussi la réunion et l intersection d une famille finie A 1, A 2,..., A n d ensembles de la façon suivante : n A i = {ω Ω, i {1, 2,..., n} ω A i }, n A i = {ω Ω, i {1, 2,..., n} ω A i }, La proposition suivante énonce les propriétés de distributivité de l union par rapport à l intersection et de l intersection par rapport à l union. Proposition 1.15 : Si A, B et C sont des parties de Ω, A (B C) = (A B) (A C) et A (B C) = (A B) (A C). Démonstration : Pour montrer que A (B C) = (A B) (A C), il est nécessaire de montrer la double inclusion. Cours de Proba-Stat 6 L1.2 Science-Éco

7 CHAPITRE 1. NOTIONS DE THÉORIE DES ENSEMBLES Soit ω A (B C). Si ω A, comme on a A A B et A A C, on sait que ω (A B) (A C). Sinon, si ω B C, comme on a B A B et C A C, on a B C (A B) (A C). Donc, ω (A B) (A C). Par conséquent, dans tous les cas on a ω (A B) (A C). Ainsi, on a l inclusion suivante : A (B C) (A B) (A C). Soit ω (A B) (A C). Si ω A, alors ω A (B C). Sinon, si ω A, alors ω B C. Donc, ω A (B C). Par conséquent, dans tous les cas on a ω A (B C). On a donc l inclusion suivante : Ce qui montre l égalité : (A B) (A C) A (B C). A (B C) = (A B) (A C). L autre égalité est laissée en exercice. Proposition 1.16 : Si A et B sont deux parties de Ω, on a : (A B) c = A c B c et (A B) c = A c B c. Remarque 1.17 : Plus généralement, on a : ( n ) c ( n n ) c n A i = A c i et A i = A c i. Définition 1.18 : Soit Ω un ensemble et A 1, A 2,..., A n n sous-ensembles de Ω. On dit que ces sous-ensembles forment une partition de Ω si : 1. A i pour tout i = 1, 2,..., n. 2. A i A j = si i j. n 3. A i = Ω. 1.3 Dénombrement Soit E un ensemble de n éléments et k n. Cours de Proba-Stat 7 L1.2 Science-Éco

8 1.3. DÉNOMBREMENT Arrangements et permutations Définition 1.19 : On appelle arrangements de k éléments de E ou k- arrangements de E, et on note A k n, un k-uplet (ordonné) d éléments deux à deux distincts de E. Remarque 1.20 : Le nombre n dans la notation A k n renvoie au cardinal de E. Il est évident que si n < k alors A k n = 0. Sinon, pour le premier élément du k-uplet on a n choix possibles, on a n 1 choix pour le second,...ce qui nous donne l expression suivante pour A k n : Propriété 1.21 : Le nombre d arrangements de k éléments d un ensemble à n éléments est donné par : A k n = n (n 1) (n k + 1). Remarque 1.22 : Quand k = n, on parle plutôt de permutation que d arrangement. On a donc que le nombre de permutations d un ensemble à n éléments est égal à : A n n = n (n 1) 2 1 = n!. Exercice 1.23 : Dans une course de chevaux avec 15 partants, combien y a-t-il de tiercés dans l ordre différents possibles? Remarque 1.24 : A k n est en fait le nombre d injections que l on peut faire d un ensemble à k éléments vers un ensemble à n éléments. Propriété 1.25 : L expression de A k n peut aussi être donnée par : A k n = n! (n k)!, 0 k n, avec 0! = 1 et n! = n (n 1) Combinaisons Définition 1.26 : On appelle combinaison ( ) de k éléments de l ensemble E, ou n k-combinaison de E, et on note Cn k ou, tout sous-ensemble de E ayant k k éléments. Remarque 1.27 : Ici, contrairement aux arrangements, l ordre des éléments n a pas d importance. Cours de Proba-Stat 8 L1.2 Science-Éco

9 CHAPITRE 1. NOTIONS DE THÉORIE DES ENSEMBLES Exemple On tire au hasard 5 cartes d un jeu de 32 cartes (main de poker). Le résultat de cette expérience est une combinaison de 5 cartes parmi 32. Il est évident que si n < k, C k n = 0. Sinon, à chaque k-combinaison, on fait correspondre k! k-arrangements distincts. Exemple À la 3-combinaison {a, b, c}, on fait correspondre les 3! = 6 arrangements : (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b), (c, b, a). On a donc la propriété suivante : Propriété 1.28 : Le nombre de combinaisons à k éléments pris parmi n est donné par : C k n k! = A k n, soit C k n = n! (n k)!k!. Exercice 1.29 : 1. Combien y a-t-il de mains de poker différentes? 2. Combien y a-t-il de tiercés dans l ordre ou non sur une course avec 15 partants? Propriété 1.30 : 1. C 0 n = C n n = 1, C 1 n = C n 1 n = n, C 2 n = n(n 1)/2. 2. C k n = C n k n, 0 k n. 3. C k 1 n 1 + C k n 1 = C k n, 1 k n. Remarque 1.31 : La dernière porpriété permet de construire le triangle de Pascal, dont la n ième ligne donne les coefficients C k n pour k = 0,..., n Théorème 1.32 (Binôme de Newton) : Pour tous nombres réels a et b et pour tout entier naturel n 1, on a :... (a + b) n = Cna k k b n k. Cours de Proba-Stat 9 L1.2 Science-Éco

10 1.3. DÉNOMBREMENT Démonstration : On raisonne par récurrence sur n. 1. Pour n = 1, on a (a + b) 1 = a + b et C 0 1a 0 b 1 + C 1 1a 1 b 0 = b + a. L égalité est donc bien vérifiée au rang n = On suppose que l égalité est satisfaite pour un certain entier n : (a + b) n = Cna k k b n k. 3. On va maintenant montrer qu elle est aussi vraie au rang n + 1. On écrit : (a + b) n+1 = (a + b) (a + b) n ( ) = (a + b) Cna k k b n k = Cna k k+1 b n k + Cna k k b n k+1 n+1 = Cn j 1 a j b n+1 j + j=1 = a n+1 + j=1 n+1 = Cn+1a j j b n+1 j. j=0 Cna k k b n k (C j 1 n + C j n)a j b n+1 j + b n+1 Cours de Proba-Stat 10 L1.2 Science-Éco