ENS de Lyon TD septembre 2012 Introduction aux probabilités. A partie finie de N

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1 ENS de Lyon TD 7-8 septembre 0 Introduction aux probabilités Exercice Soit (u n ) n N une suite de nombres réels. On considère σ une bijection de N dans N, de sorte que (u σ(n) ) n N est un réordonnement de la suite (u n ) n N. On notera M := sup u n [0, ]. A partie finie de N n A. Dans cette question, les u n sont de plus supposés positifs ou nuls. Montrer que les séries à termes positifs (u n ) n N et (u σ(n) ) n N ont même somme (éventuellement infinie).. On suppose maintenant que M est fini. Montrer que la série de terme général (u n ) n N et (u σ(n) ) n N sont convergentes, et ont encore même somme. On dira alors que la famille (u n ) n N est sommable. Les deux cas d une famille à termes positifs et d une famille sommable sont les cas dans lesquels on peut parler de la somme d une famille, sans avoir à se soucier de l ordre de sommation. Exercice (formule d inclusion-exclusion) Soit A,..., A n des événements. Démontrer la formule suivante, dite formule d inclusion-exclusion : [ n ] [ n k ] P A i = ( ) k+ P A ij. i= k= i < <i k n Exercice 3 Calculer l espérance et la variance d une variable aléatoire. de loi de Bernoulli de paramètre p [0, ].. de loi uniforme sur {,,..., n}. 3. de loi binomiale de paramètres (n, p). 4. de loi géométrique de paramètre p [0, [. 5. de loi de Poisson de paramètre λ > 0. Exercice 4 Soit X une v.a. réelle intégrable. Montrer que Var(X) = E[X ] E[X]. Exercice 5 Soit X une variable aléatoire réelle intégrable.. On suppose que la variance de X est nulle. Montrer que X prend avec probabilité un la valeur E[X].. Montrer que inf c R E[(X c) ] est atteint en c = E[X] et vaut Var(X). Exercice 6 Soit p [0, ]. Soit X et Y deux variables aléatoires de Bernoulli de paramètre p définies sur le même espace probabilisé. Que peut être la loi de la variable aléatoire Z := max(x, Y )? Exercice 7 Un magicien tient un paquet de deux cartes. L une de ces cartes est noire des deux côtés, l autre a un côté noir et un côté rouge. Vous tirez une carte et observez son recto. Il est noir. Quelle est la probabilité que le verso de la carte soit rouge? j=

2 Pour aller plus loin... Exercice 8 (les mains au poker). En tirant cinq cartes dans un jeu de 5, quelle est la probabilité d obtenir : a.... un brelan? b.... une et une seule paire? c.... deux paires? d.... une suite?. On tire toujours cinq cartes dans un jeu de 5. On désigne par A l événement avoir une suite et B celui avoir une couleur. Comparer P[A B] et P[A]. Exercice 9 Octave est un probabiliste en herbe et un joueur dans l âme. Il aime faire des suppositions, s il estime le risque d erreur suffisamment faible. Ce jour-là, il rencontra son nouveau voisin Nestor à l arrêt de bus, et en profita pour faire plus ample connaissance. À peine celui-ci évoqua-t-il ses 3 enfants, qu Octave affirma, confiant : - Dites-moi, vous avez sans doute au moins un garçon? - Vous avez raison. À vrai dire, je n en ai pas qu un seul,... Octave n hésite pas à lui couper la parole : - Vous en avez donc au moins. Mais laissez-moi deviner... Vous avez également une fille? Interloqué et légèrement vexé, Nestor laisse traîner sa réponse : - Écoutez, vous allez tout savoir sur mes enfants. L aîné... est un garçon. Il s appelle Pierre et est acteur. À ce moment, une lueur de doute semble apparaître sur le front d Octave. Nestor continue : - Mon benjamin... est encore un garçon. Il s appelle Paul et est électricien. Quant au cadet,... - Arrêtez, interrompt encore Octave. À vrai dire, je ne sais plus du tout si vous avez une fille ou non! Quelle étrange réaction... Nestor s apprêtait pourtant à confirmer l intuition d Octave, en lui apprenant qu il s agissait d une cadette, prénommée Jeanne et en première année d école d ingénieur. Nestor ne concevait pas que les informations qu il égrenait aient pu augmenter l incertitude d Octave... jusqu à ce que celui-ci lui démontre, implacablement, quels étaient les risques que ses affirmations soient fausses, au vu des informations qu il avait. Pouvez-vous retracer cette démonstration d Octave? Exercice 0 (*) Dans une soirée mondaine, chaque invité laisse son chapeau dans le hall d entrée. Une fois la soirée terminée, les n invités, éméchés, repartent chacun avec un chapeau choisi de manière totalement aléatoire.. Modéliser mathématiquement la situation.. Comment évolue la probabilité de l événement aucun individu ne repart avec son chapeau quand n tend vers l infini? 3. Comment évolue la probabilité de l événement exactement k individus repartent avec leur chapeau quand n tend vers l infini? Discuter.

3 ENS de Lyon TD - octobre 0 Introduction aux probabilités Exercice Soit X,..., X n des variables aléatoires réelles. Soit f,..., f n des fonctions définies sur R. Montrer que si les X i forment une famille de variables aléatoires indépendantes, il en est de même pour les f i (X i ). Exercice (regroupement par paquet) Soit X,..., X n des variables aléatoires réelles. On suppose qu elles forment une famille de variables aléatoires indépendantes. Soit {,..., n} = une partition de {,..., n}. Pour k K, posons Z k := (X i ) i Ak. Montrer que les Z k forment une famille de variables aléatoires indépendantes. Exercice 3 Soit X,..., X n des variables aléatoires. Montrer que les X i forment une famille de variables aléatoires indépendantes si et seulement si, pour tout i < n, X i+ est indépendante de (X,..., X i ) Exercice 4 Montrer que X et Y sont indépendantes ssi la loi p de (X, Y ) peut s écrire sous la forme (x, y) f(x)g(y) K k= Généraliser à un nombre (fini) quelconque de variables. Exercice 5 Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes uniformes sur Z/nZ. Soit Z := X + Y. Montrer que les variables X, Y et Z sont indépendantes deux à deux mais pas globalement. Exercice 6 Calculer astucieusement la variance de la loi binomiale de paramètre (n, p). Exercice 7 Calculer la fonction génératrice ainsi que les moments d ordre et (i.e. E[X] et E[X ]) des variables aléatoires :. de loi de Bernoulli de paramètre p [0, ].. de loi binomiale de paramètres n et p. 3. de loi de Poisson de paramètre λ > de loi géométrique de paramètre p [0, [. Exercice 8 Soit λ et µ deux réels strictement positifs. Soit X (resp. Y ) une variable aléatoire de Poisson de paramètre λ (resp. µ). On supposera de plus X et Y indépendantes. Prouver de deux manières différentes que X + Y est une variable aléatoire de Poisson de paramètre λ + µ. A k

4 Exercice 9 (L inégalité de Tchebychev est-elle optimale?). (Oui.) Montrer que si a > 0, il existe une variable aléatoire réelle X telle que P[ X E[X] a] = Var(X) a. (Non.) Montrer que si X est une variable aléatoire de carré sommable, alors a P[ X E[X] a] n 0

5 ENS de Lyon TD octobre 0 Introduction aux probabilités Exercice (intégrale de Gauss) Calculer l intégrale double R e (x +y) dxdy, et en déduire π R e x dx =. Exercice Pour n N, on désigne par H n = {0, } n l ensemble des sommets de l hypercube de dimension n. Ses points ont donc une norme euclidienne comprise entre 0 et n. Soit maintenant Xn une variable aléatoire uniforme sur H n. Montrer que la norme euclidienne de X n divisée par n converge en probabilité vers / quand n tend vers l infini, à savoir ( ) ε > 0, P X n n ε 0. n Exercice 3 Soit µ une loi réelle de carré sommable. On note m son espérance et σ sa variance. Si n N, on introduit X,..., X n des variables aléatoires indépendantes de loi µ et note S n := n i= X i. Notons µ n la loi de la variable aléatoire (S n nm)/ nσ.. Soit I un intervalle (éventuellement non borné). En utilisant le théorème de la limite centrale, démontrer qu on a la convergence suivante ( µ n (I) = P (S n nm)/ ) nσ I n π I e x / dx.. Soit f une fonction continue bornée de R vers R. En utilisant le théorème de la limite centrale, démontrer que [ E f ((S n nm)/ )] nσ Exercice 4 On pose, pour n 0 et α R +, n αn T n (α) = e n + f(x)e x / dx. π. Interpréter T n (α) comme la probabilité qu une variable aléatoire de Poisson (à préciser) soit dans un intervalle (à préciser). k=0 n k k!.

6 . Montrer, en utilisant la loi faible des grands nombres, que lim T n(α) = 0 si α < et lim T n (α) = si α >. n n 3. Montrer, en utilisant le théorème de la limite centrale, que lim n T n () =. Exercice 5 Dans une urne, il y a b boules blanches et r boules rouges. On suppose que b r. Les boules sont tirées successivement sans remise jusqu à épuisement de l urne. On cherche à calculer la probabilité de l événement tout au long de la procédure, il y a toujours au moins autant de boules blanches que de boules rouges hors de l urne.. Modéliser mathématiquement la situation.. Posons n = b + r. On appelle chemin un (n + )-uplet (x 0,..., x n ) Z n+ tel que x 0 = 0 et k < n, x k+ x k =. Pour k entre 0 et n, notons B k (resp. R k ) le nombre de boules blanches (resp. rouges) tirées jusqu au temps k inclus. Posons X k := B k R k. On définit ainsi un chemin aléatoire. Quelle est sa loi? 3. Exprimer en fonction de (X 0,..., X n ) l événement qui nous intéresse. 4. Pour k Z, combien y a-t-il de chemins vérifiant x n = k? Cela vous suffit-il pour répondre à la question initiale? Pourquoi? 5. Mettre en bijection l ensemble des chemins vérifiant x n = b r et k, x k < 0 avec l ensemble des chemins vérifiant x n = r b. Répondre à la question initiale. Exercice 6 Dans une population de N individus, K individus votent rouge et N K individus votent vert. Un sondage sur n individus (n N) consiste à tirer aléatoirement un échantillon de taille n de la population, et à noter X le nombre de ces individus qui votent rouge. Les votes sont supposés décidés une fois pour toutes, et les sondés honnêtes.. Modéliser l expérience et déterminer la loi de la variable aléatoire X. Cette loi s appelle la loi hypergéométrique (de paramètre (n, K, N K)).. On suppose maintenant que la taille de l échantillon est fixée tandis que la taille de la population tend vers +, avec la proportion d individus votant rouge tendant vers p ]0, [. Pour k n fixé, montrer la convergence de P(X = k) vers p(k), où les poids p(k) sont ceux d une loi connue que l on précisera. Interpréter. Exercice 7 Grégory choisit deux réels distincts x et y en secret. Il tire ensuite à pile ou face avec une pièce équilibrée pour choisir l un d entre eux, qu il vous dévoile. Vous devez alors dire si vous pensez qu il vous a révélé le plus grand ou le plus petit des deux. Trouvez une stratégie telle que, quels que soient les réels choisis par Grégory, vous gagniez avec probabilité strictement supérieure à /.

7 Exercice 8 (tirage non borné de pile ou face) Une pièce tombe sur pile (ou ) avec probabilité p ]0, [ et sur face (ou 0) avec probabilité q = p. On cherche à modéliser une suite de tirages de cette pièce, non bornée a priori. On notera, pour n N, l ensemble E n = {0, } n des issues possibles après n tirages, ou mots à n lettres sur l alphabet {0, }. De manière similaire, on définit E := {0, } N, ainsi que E n et E l ensemble des mots infinis, de longueur inférieure ou égale à n, et quelconque, respectivement. Pour e E, on note l(e) la longueur du mot, l (e) le nombre de qu il contient, et l 0 (e) le nombre de 0. Pour n l(e), on notera encore e n la projection canonique de e sur E n (ou restriction aux n premiers tirages).. (tirage infini?) On introduit ici Ω = E. On dira qu une loi de probabilité P sur Ω modélise un tirage cohérent infini si pour tout n N et tout mot e de longueur n, on a P({ω Ω, ω n = e}) = p l (e) q l 0(e). Après vous être convaincu de la pertinence de cette définition, montrer qu il n existe pas de loi sur Ω modélisant un tirage cohérent infini.. (tirage jusqu à un temps d arrêt fini presque-sûrement) On souhaite tirer la pièce seulement jusqu à un temps T (pas nécessairement borné ou fini a priori) qui peut dépendre du résultat des tirages antérieurs au temps T. Formellement, T est une application de E dans N { }, telle que si T (e) = n et si e n = e n, alors T (e ) = T (e). Par abus de notation, on écrira encore T (e) = n si e est le préfixe de longueur n d un mot infini e (i.e. e n = e) vérifiant T (e ) = n. Soit Ω T := {ω E, T (ω) = l(ω)} l ensemble des tirages arrêtés à l instant T. Une loi de probabilité P sur Ω T modélise un tirage cohérent arrêté à l instant T si pour tout n N et tout mot e de longueur n, on a Ou bien Ω T contient ω préfixe de e, et alors P({ω}) = p l (ω) q l 0(ω). Ou bien P ({ω Ω T, ω n = e}) = p l (e) q l 0(e). Après vous être convaincu de la pertinence de cette définition, donner une condition nécessaire et suffisante pour qu existe une telle loi. Vérifier qu elle est alors unique. 3. (premier pile) En utilisant la question précédente, modéliser un tirage cohérent arrêté au premier instant où l on obtient pile. Quelle est la loi de cet instant? 4. Avec un nombre de tirages éventuellement non borné, construire un événement de probabilité / (avec cette pièce biaisée!). Est-il possible en général de construire un tel événement avec un nombre de tirages borné?. dans le cadre des probabilités discrètes, i.e. dans le cadre de ce cours. 3

8 ENS de Lyon TD octobre 0 Introduction aux probabilités Exercice On pose, pour n 0 et α R +, αn T n (α) = e n. Interpréter T n (α) comme la probabilité qu une variable aléatoire de Poisson (à préciser) soit dans un intervalle (à préciser).. Montrer, en utilisant la loi faible des grands nombres, que k=0 n k k!. lim T n(α) = 0 si α < et lim T n (α) = si α >. n n 3. Montrer, en utilisant le théorème de la limite centrale, que lim n T n () =. Exercice Dans une urne, il y a b boules blanches et r boules rouges. On suppose que b r. Les boules sont tirées successivement sans remise jusqu à épuisement de l urne. On cherche à calculer la probabilité de l événement tout au long de la procédure, il y a toujours au moins autant de boules blanches que de boules rouges hors de l urne.. Modéliser mathématiquement la situation.. Posons n = b + r. On appelle chemin un (n + )-uplet (x 0,..., x n ) Z n+ tel que x 0 = 0 et k < n, x k+ x k =. Pour k entre 0 et n, notons B k (resp. R k ) le nombre de boules blanches (resp. rouges) tirées jusqu au temps k inclus. Posons X k := B k R k. On définit ainsi un chemin aléatoire. Quelle est sa loi? 3. Exprimer en fonction de (X 0,..., X n ) l événement qui nous intéresse. 4. Pour k Z, combien y a-t-il de chemins vérifiant x n = k? Cela vous suffit-il pour répondre à la question initiale? Pourquoi? 5. Mettre en bijection l ensemble des chemins vérifiant x n = b r et k, x k < 0 avec l ensemble des chemins vérifiant x n = r b. Répondre à la question initiale. Exercice 3 Montrer qu une intersection dénombrable d événements presque sûrs forme un événement presque sûr. Est-ce toujours le cas pour une intersection quelconque? Exercice 4 Soit (X n ) une suite infinie de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées. On les supposera à valeurs dans N.. Exprimer E[X ] R + { } en fonction des P[X n].. Démontrer que si X est intégrable, alors l événement X n /n converge vers 0 est presque sûr. 3. Montrer que si X n est pas intégrable, alors la limite supérieure des X n /n est infinie est un événement presque sûr.

9 Exercice 5 Soit µ une probabilité sur N. On considère le processus de branchement associé. Pour n N, Z n désignera le nombre d individus à la nème génération. Enfin, on notera m = k=0 kµ k.. Démontrer que, pour n N, E[Z n ] = m n.. En déduire, par une preuve différente de celle du cours, que si m <, alors la probabilité de survivre au moins n étapes décroît exponentiellement vite en n. Exercice 6 On cherche à définir une probabilité discrète décrivant précisément toutes les générations d un processus de branchement de loi de reproduction µ. Pour cela, on code les individus de la n-ième génération par un mot de n lettres sur l alphabet N, codant sa généalogie. Ainsi, la génération 0 est composée d un unique individu, l ancêtre, codé par le mot vide, tandis que le ème fils du 3ème fils du er fils de l ancêtre est codé par le mot 3. On définit une généalogie de population comme l ensemble des mots codant tous les individus (de toutes les générations). Soit Ω l ensemble des généalogies de populations finies. Pour A Ω, on notera A n l ensemble des individus de la n-ième génération et Z n son cardinal. On définit un poids sur Ω par A Ω, p(a) = x A µ(n x ), où n x désigne le nombre de fils de l individu x, et par p(a) = A A p(a) pour A Ω.. Soit (z,..., z n ) N n une suite finie. Montrer que p(z = z,..., Z n = z n, Z n+ = 0) = p n+ (z,..., z n, 0), où p n+ désigne la loi du processus de branchement en n + générations vue en cours.. Montrer que p est une probabilité discrète sur Ω exactement dans le cas d extinction presque sûre. Exercice 7 Un faux mage blanc a pris 000 mathématiciens en otages ; voulant tester leur acuité intellectuelle, il leur propose un jeu. J ai choisi une manière de vous numéroter entre et 000 ; sachez que chaque numéro n est porté qu une fois. J ai rentré toutes ces données dans l ordinateur central. Au début du jeu, je vous mettrai chacun dans un cachot, de telle sorte que vous ne pourrez plus communiquer. Vous aurez chacun à votre disposition un petit ordinateur dont la seule fonctionnalité est la suivante : si vous rentrez un nombre entre et 000, le nom de l individu correspondant s affiche. Chacun d entre vous aura 000 tentatives. Si ne serait-ce que l un d entre vous ne voit pas s afficher son nom au cours de ses 000 tentatives, vous serez tous exécutés. Tout est clair? Je vous laisse une semaine pour, ensemble, mettre au point une stratégie. Alea jacta est. Les mathématiciens sont parvenus à trouver une stratégie leur garantissant une probabilité de survie supérieure à 30%. Êtes-vous capables d en faire autant?

10 ENS de Lyon Introduction aux probabilités Devoir à la Maison À rendre le 6 novembre On rappelle que la variance d une variable aléatoire réelle intégrable X est donnée par les deux formules équivalentes suivantes : Exercice [Théorème de Weierstrass] Var X = E[X ] E[X] = E [ (X E[X]) ]. Soit f une fonction continue de [0, ] dans R. On souhaite démontrer le théorème de Weierstrass, à savoir que f est limite simple d une suite de fonctions polynomiales, par des moyens probabilistes. On se donne, pour x [0, ] et n N, une variable aléatoire X n (x), de loi binomiale de paramètre (n, x).. Vérifier que les fonctions sont des fonctions polynomiales. [ x E f ( )] Xn (x). Montrer que cette suite de fonctions converge simplement vers f (ce qui prouve le théorème avec construction explicite d une suite de polynômes qui convient). On pourra penser à un théorème limite concernant la suite de variables aléatoires X n (x)/n. 3. De la même manière, montrer le théorème de Weierstrass d-dimensionnel : Une fonction continue de [0, ] d dans R est limite simple d une suite de fonctions polynomiales (à d variables). 4. En dimension, montrer, par un calcul de premier et de deuxième moments, que la convergence est uniforme en x. (On pourra utiliser l uniforme continuité de f). Exercice [Inégalité de Hoeffding] I : Soit X une variable aléatoire réelle centrée (i.e E[X] = 0), qui prend un nombre fini de valeurs dans l intervalle compact [a, b]. On introduit la fonction λ ψ(λ) := log(e[e λx ]). n. Montrer que ψ est bien définie et C sur R. Calculer ψ(0), ψ (0), puis montrer : ( ) λ R, ψ (λ) = E[X e λx ] E[Xe λx ]. E[e λx ] E[e λx ]. Soit λ R. On introduit une variable X λ dont la loi est déterminée par x R, P[X λ = x] = eλx P[X = x]. E[e λx ] Vérifier qu on définit ainsi bien une loi de probabilité, puis exprimer la variance de la variable aléatoire X λ.

11 3. Montrer que pour tout λ R, on a ψ (λ) (b a) /4. En déduire une majoration de ψ(λ) pour λ R +. (On pourra utiliser la formule Var X = min c R E[(X c) ].) II : Soit maintenant (X,..., X n ) une famille de variables aléatoires réelles indépendantes. On suppose que pour tout i, la variable aléatoire X i prend un nombre fini de valeur dans un intervalle compact [a i, b i ]. On note S n = X X n.. Soit λ R +. Montrer que, pour tout t 0, on a ( ) n P[S n E[S n ] t] E [exp (λ(s n E[S n ] t))] exp λt + λ (b i a i ). 8. En optimisant sur λ, montrer les inégalités de Hoeffding suivantes, pour t 0 : ( ) t P[S n E[S n ] t] exp n i= (b ; i a i ) ( ) t P[ S n E[S n ] t] exp n i= (b. i a i ) III : Pierre affirme posséder une pièce équilibrée, mais vous ne savez pas si vous pouvez lui faire confiance. Ensemble, vous lancez cette pièce 000 fois. Vous obtenez 550 fois pile et 450 fois face. Pierre jubile : Tu vois bien que j avais raison! On obtient une proportion de pile de 0,55, fort proche de /. Il invoque même des arguments probabilistes : C est normal de ne pas obtenir exactement 0,5. Si tu as la patience d effectuer 0000 lancers, tu verras qu on sera encore plus proche de 0,5. C est la loi des grands nombres... Montrez à Pierre votre compréhension encore supérieure des probabilités, en lui prouvant que si effectivement sa pièce était équilibrée, la probabilité que vous auriez eu d observer une proportion de pile avec (au minimum) un tel écart à la moyenne / aurait été... bien faible. Exercice 3 [Nombre de cycles d une grande permutation aléatoire] Dans ce problème, on cherche à estimer le nombre de cycles que contient une grande permutation aléatoire. Pour n, on notera S n le groupe des permutations de l ensemble {,.., n}, et S n une variable aléatoire uniforme sur S n. Cette permutation aléatoire s écrit de manière unique comme produit de cycles à supports disjoints, et on note c(s n ) le nombre de cycles dans cette écriture. Ce nombre est donc une variable aléatoire à valeurs comprises entre (si S n (ω) est un cycle) et n (si S n (ω) est l identité). On va montrer qu en fait c(s n ) est proche de log(n) lorsque n est grand. I : De S n à S n+... Pour n, soit Φ n l application Φ n : S n {,..., n + } S n+ (σ, i) σ (i (n + )), où (i (n+)) désigne la transposition échangeant i et (n+) (ou bien l identité si i = n+), et où σ est l élément de S n+ laissant fixe n + et agissant comme σ sur {,..., n}. i=

12 . Montrer que Φ n est une bijection.. Pour σ S n et i {,..., n + }, exprimer c(φ n (σ, i)) en fonction de c(σ) et de i. II : Le processus (X k ) k n. Pour n fixé, on se donne (U,..., U n ) une famille de variables aléatoires indépendantes telles que U i est uniforme sur {,..., i + }. Soit (X k ) k n le processus tel que X est le seul élément de S, et tel que, pour k n, on ait X k+ = Φ k (X k, U k ).. Montrer que c(x n ) est une somme de variables aléatoires de Bernoulli indépendantes dont on précisera les paramètres.. Montrer que pour k n, les variables aléatoires X k et S k ont la même loi. 3. Calculer l espérance et la variance de c(s n ). 4. Pour n N, on pose H n := n k=. En utilisant les questions précédentes, démontrer k que c(s n )/H n converge en probabilité vers lorsque n tend vers l infini, à savoir ε > 0, ( ) c(s n ) P H n ε 0. n 5. En déduire que c(s n )/log(n) converge en probabilité vers, c est-à-dire que ( ) c(s n ) ε > 0, P log(n) ε 0. n. Quand une variable aléatoire prend ses valeurs dans un espace produit E E n et que {,..., n} est pensé comme une suite d instants, on utilise parfois le mot processus pour parler de la variable aléatoire considérée. 3

13 ENS de Lyon TD 5-3 novembre 0 Introduction aux probabilités Exercice Soit (X n ) n une famille de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées à valeurs dans Z d, bornées. Soit (S n ) n 0 la marche aléatoire sur Z d correspondante, définie par S n = n k= X k. Pour k et i d, on note X (i) k la i ème composante de X k, et on suppose qu il existe un i pour lequel E[X (i) ] 0. Montrer qu alors la marche aléatoire est transitoire, c est-à-dire que le nombre de retours en 0 est fini presque sûrement. (Vous pourrez même montrer que, presque sûrement, chaque élément de Z d, s il est visité par la marche, ne l est qu un nombre fini de fois.) Exercice On considère la marche aléatoire simple sur Z/NZ. À savoir, pour n 0, on a S n = n k= X k, où les X k sont des variables indépendantes telles que P[X k = ] = P[X k = ] = /. (Les X k sont à valeurs dans Z/NZ!) Soit V le dernier élément de Z/NZ à être découvert par la marche. Après avoir justifié l existence de V (sur un événement presque sûr), montrer que V est une variable aléatoire uniforme sur Z/NZ {0}. Exercice 3 Cet exercice propose une preuve alternative de celle du cours de la transience de la marche aléatoire simple en dimension d 3. On pose (X n ) n une famille de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de loi uniforme sur la. -sphère unité de Z d. De plus, on pose comme d habitude S n := n k= X k. Enfin, on pose f : R d R t E[e i t,x ]. Calculer f, ainsi que f n : t E[e i t,sn ].. Démontrer que P[S n = 0] = (π) d [ π,π] d f(t) n dt. 3. Montrer que n 0 P[S n = 0] = n 0 P[S n = 0] = (π) d [ π,π] d f(t) dt. 4. En utilisant le fait que d 3, démontrer que l intégrale de la question précédente est finie, et en déduire la transience de la marche aléatoire en dimension d. Exercice 4 On cherche à comparer deux stratégies pour le problème de la ruine du joueur. Rappelons que pour modéliser le problème, on se donne (X n ) n une famille de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées telles que P[X = ] = p et P[X = ] = q = p. Ici, p désigne la probabilité que vous gagniez, à chaque étape, contre votre adversaire, la banque. Vous avez initialement un jeton et la banque N. Vous devez jouer jusqu à ce qu un des deux joueurs remporte les N jetons et que l autre soit ruiné. Par ailleurs, on supposera, afin de simplifier l étude, que N est une puissance de.

14 La stratégie prudente consiste à miser à chaque fois, jusqu à fin du jeu. On définit donc (C n ) n 0, l évolution de votre capital dans ce cadre, par C 0 = et { Cn + X C n+ := n+ si 0 < C n < N sinon C n La stratégie téméraire consiste à miser tout ce qu on a à chaque étape, jusqu à terminaison du jeu. L évolution de votre capital est alors encodée par C 0 = et C C n+ n si 0 < C n < N et X n+ = := 0 si 0 < C n < N et X n+ = C n sinon. Démontrer que, presque sûrement, (C n ) stationne en 0 ou N. De même pour (C n).. On peut définir p k la probabilité de victoire dans le cadre prudent avec un capital initial de k. Rappeler comment, dans le cours, on établit une formule de récurrence entre les p k qui permet de les déterminer. 3. On note p la probabilité de victoire dans le cadre téméraire avec un capital initial de. Calculer p. Comparer p et p dans le cas équilibré (p = q = /), puis dans le cas défavorable (p < q). Exercice 5 On considère la marche aléatoire simple sur Z d, pour un d. À savoir, pour n 0, on a S n = n k= X k, où les X k sont des variables aléatoires indépendantes uniformes sur {x Z d, x = }. Pour x Z d, on note H x = H x := inf{n > 0, S n = x} le premier temps d atteinte du point x. Plus généralement, on définit par récurrence, pour i, H x i := inf{n > H x i, S n = x} le i ième temps d atteinte du point x. Pour x et i fixés, on peut calculer la probabilité de l événement {Hi x = n} pour tout n, ainsi que pour n = +, et la somme de ces probabilités vaut un. Par ailleurs, on pourra utiliser le résultat de l exercice 3 du TD4.. (a) Montrer que, pour tout n et tout k N n, P[ i n, H 0 i = k + + k i ] = n P[H 0 = k i ]. i= (b) Supposons que H 0 est infini avec probabilité non-nulle. Démontrer que, presque sûrement, il existe n N tel que H 0 n = +. (c) Supposons que H 0 est fini presque sûrement. Démontrer que, pour n N, l événement {H 0 n < + } est presque sûr. En déduire que le nombre de retours en 0 est infini presque sûrement.

15 . (a) Montrer que, pour tous n, k N n et x Z d, P[ i n, H x i = k + + k i ] = P[H x = k ] n P[H 0 = k i ]. (b) En utilisant la question précédente, démontrer que si H 0 est infini avec probabilité non-nulle, alors, presque sûrement, tout site n est visité qu un nombre fini de fois. (c) (*) Démontrer que si H 0 est fini presque sûrement et si x Z d, alors H x est fini presque sûrement. (d) Démontrer que si H 0 est fini presque sûrement, alors, presque sûrement, tout site est visité une infinité de fois. i=. peut-être nul 3

16 ENS de Lyon TD novembre 0 Introduction aux probabilités Exercice Soit n. On note P n l espace des lois de probabilité sur {,..., n}. On définit une distance sur P n en posant d VT (p, p ) = n p(i) p (i) i= Cette distance s appelle la distance en variation totale. Soit p et p deux lois de probabilité sur {,..., n}. On dira que (X, X ) est un couplage de (p, p ) si X et X sont deux variables aléatoires définies sur un même espace de probabilité, de telle sorte que X i soit de loi p i.. Soit (X, X ) un couplage de (p, p ). Démontrer que P[X X ] d VT (p, p ).. Construire un couplage (X, X ) tel que P[X X ] = d VT (p, p ). Ainsi, d VT (p, p ) est le minimum sur tous les couplages (X, X ) de (p, p ) de P[X X ]. 3. En déduire que pour tout A {,..., n}, p (A) p (A) d VT (p, p ). 4. Montrer que d VT (p, p ) = max A p (A) p (A). Exercice [problème du collectionneur] Vous commencez une collection de timbres à l effigie des joueurs de votre équipe préférée. Vous achetez donc ces timbres dans la boutique du club... Le hic, c est que vous achetez ces timbres sans savoir quel joueur ils représentent, en particulier sans savoir si vous possédiez déjà le timbre en question. Combien de timbres vous faudra-t-il acheter pour obtenir la collection complète, sous l hypothèse que les timbres représentant les différents joueurs sont également fréquents? On modélise le problème par une suite (X n ) n de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées sur {,..., k}. L ensemble {,..., k} modélise les joueurs, tandis que X n désigne le joueur représenté sur le n ième timbre acheté. Pour i k, on introduit aussi la variable T i égale au nombre de timbres que vous avez dû acheter pour obtenir i joueurs différents, soit T i := inf{n, Card{X,..., X n } = i}.. Montrer que l événement les T i sont finis est presque sûr.. Soit i < k et n i. Quelle est la loi de T i+ n i sachant T i = n i? 3. Déterminer la loi du vecteur (T, T T,..., T k T k ). 4. Calculer l espérance de T k. La comparer à k, lorsque k est grand, et interpréter.

17 Exercice 3 [paradoxe des anniversaires] Soit (X n ) n N+ une suite de variables aléatoires indépendantes uniformes sur {,..., N}. Posons T N := min{n : m < n, X m = X n }.. Montrer que, pour x 0, P[T N / N > x] n e x /.. Justifier le fait que la convergence précédente indique que T N est asymptotiquement de l ordre de N. Probabilistement, le principe des tiroirs n a pas besoin de N + mais N tirages de chaussettes! Pourquoi paradoxe des anniversaires? Pensez N comme le nombre de jours dans une année (disons 365). La variable X n représente l anniversaire du n ième individu d une classe, énumérée dans un ordre quelconque. Si on demande successivement aux individus de la classe la date de leur anniversaire, T N représente le premier instant où on aura obtenu deux fois la même réponse. Notamment, si la classe ne compte en réalité que k individus, {T N k} est l événement deux personnes au moins dans la classe ont le même anniversaire, qu on notera A. On vient de démontrer que T N est de l ordre de N ; par exemple, si une classe comporte N /+ɛ individus, la probabilité de A sera très proche de, alors qu avec N / ɛ individus, elle sera très proche de 0. Vous avez compris pourquoi le terme anniversaire apparaît, mais pourquoi paradoxe? Si le passage de N + à N dans le principe des tiroirs ne vous suffit pas, les données numériques suivantes vous éclaireront peut-être à ce sujet : pour N = 365, la probabilité de A dépasse 50% à partir de 3 élèves, et 99% à partir de k = 57. Exercice 4 [suite du paradoxe des anniversaires, difficile] On pourrait reprocher à l exercice précédent de supposer les variables aléatoires uniformes. On va démontrer ici, qu en fait, le cas le moins paradoxal est celui des variables aléatoires uniformes. (Et pourtant, il est déjà paradoxal!) Plus précisément, soit N un entier naturel non-nul fixé. Notons p la loi du T N de l exercice 3. Soit (Y n ) n N+ une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées sur {,..., N} (de loi quelconque). Posons T N := min{n : m < n, Y m = Y n }. Notons p sa loi. L objectif de cet exercice est d établir l existence d un couplage (X, X ) de (p, p ) tel que P[X X ] =. Montrer que, pour tout k, P[T N k] P[T N k].. Démontrer qu il existe un couplage tel que recherché, et comprendre pourquoi on a bien établi que le cas le moins paradoxal est celui de la mesure uniforme.. suivant leur indice