Espaces probabilisés

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1 BCPST Espaces probabilisés I Mise en place du cadre A) Tribu Soit Ω un ensemble. On dit qu'un sous ensemble T de P(Ω) est une tribu si et seulement si : Ω T. T est stable par complémentaire, c'est-à-dire : B T, B T T est stable par union dénombrable, c'est-à-dire : + (B n ) n 0 (T ) N, On appelle les éléments de la tribu évènements. n=0 B n T Proposition : Soit Ω un ensemble et T une tribu sur Ω. Alors : T T est stable par intersection dénombrable. Une intersection nie est un cas particulier d'intersection dénombrable. Il en est de même pour l'union. B) Un espace probabilisable est un couple (Ω, T ) constitué d'un ensemble Ω et d'une tribu T sur Ω. Il permet une modélisation qualitative de l'expérience (aléatoire) étudiée. L'ensemble Ω est appelé l'univers lié à l'expérience et les éléments de T sont appelés les évènements liés à l'expérience. Ainsi, une union ou une intersection dénombrable d'évènements est encore un évènement C. Courant page 1

2 Si Ω est ni : Ω = {x 1, x 2,..., x n } alors T est l'ensemble des parties de Ω. Exemple : Résultat d'un tir de dé. Si Ω est dénombrable : on notera Ω = {ω i, i N} alors T est l'ensemble des parties de Ω. Exemple : Lancer une pièce de monnaie jusquà obtenir pile. Si Ω est inni et non dénombrable. Exemple : durée de vie d'une lampe. T est dicile à expliciter. On admettra que T contient Ω et et que T est stable par passage au complémentaire, à l'intersection et à l'union. Dans les faits, on ne se pose pas de question. Proposition : Vocubulaire Soit (Ω, T ) un espace probabilisable. On appelle évènement certain l'évènement Ω. On appelle évènement impossible l'évènement. Si A est un évènement, on note A l'évènement contraire à A. On dit que les évènements A et B sont incompatibles si A B =. On appelle système complet d'évènements une famille nie ou dénombrables (A i ) i I d'évènements, où I = 1, n (famille nie) ou I = N (ou N ) (famille dénombrable), vériant : (i, j) I 2, i j, A i A j =. i I A i = Ω C. Courant page 2

3 C) Probabililité 1) Dénition Soit (Ω, T ) un espace probabilisable. On appelle probabilité sur (Ω, T ) une application P : T R + vériant : P(Ω) = 1 Pour toute suite nie ou dénombrable (A i ) i I d'évènements deux à deux incompatibles, on a : ( ) P A i = P(A i ) i I Cette propriété est appelée σ-additivité. Pour tout évènement A T, P(A) est appelé probabilité de l'évènement A. Un espace probabilisable, muni d'une probabilité est appelé espace probabilisé. On note (Ω, T, P) la donnée d'un espace probabilisé. σ-additivité Pour A et B deux évènements incompatibles, on a P(A B) = P(A) + P(B) i I On a pour tout n N, et toute suite d'évènements deux à deux incompatible : ( n ) P A i = i=1 n P(A i ) i=1 Cela pourrait se démontrer par récurrence à partir de la seule propriété énoncée pour 2 évènements. Si I est dénombrable, i I P(A i ) est une série convergente : en eet, la série est à termes positifs et les sommes partielles sont majorées par 1. La propriété porte sur la somme de la série. Soit Ω = {ω i, i N}. Soit (p i ) i N. On suppose : i N, p i R + La série p i est convergente et de somme 1. Alors, il existe une unique probabilité P telle que : i N, P({ω i }) = p i. 2) Propriétés Proposition : On a alors : P( ) = 0. Pour A T, P(A) = 1 P(A) et 0 P(A) 1. Pour A, B T tels que A B, P(A) P(B). Pour tout couple (A, B) T 2, on a : Démonstration : P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) C. Courant page 3

4 Soit A un évènement tel que P(A) = 1. On dit que A est presque certain ou presque sûr. Soit A un évènement tel que P(A) = 0. On dit que A est négligeable. Exemple : On joue à pile ou face et on s'arrête dès qu'on a tiré pile. Montrer que le jeu s'arrête presque sûrement. 3) Propriétés des sytèmes complets d'évènements Proposition : Soit (A i ) i I un système complet d'évènements, ni ou dénombrable. On a : Soit un évènement B T, P(A i ) = 1 i I P(B) = i I P(B A i ) Démonstration : II Probabilités conditionnelles A) Dénition Soit A un évènement vériant P(A) 0. L'application : P A : T R B P(B A) P(A) est une probabilité, appelée probabilité conditionnelle sachant A. P A (B) noté aussi P(B A) est appelée probabilité de B sachant A. B) Probabilités composées Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Soit (A i ) 1 i n une famille d'évènements telle que P(A 1 A n ) 0. On a : P(A 1 A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 1 A 2 )... P(A n A 1 A n 1 ) Il est souvent judicieux de représenter les probabilités conditionnelles à l'aide d'arbres C. Courant page 4

5 Exemple : On considère une urne contenant quatre boules blanches et trois boules noires. On tire successivement et sans remise trois boules. Calculer la probabilité de tirer 2 boules noires. Exemple : On eectue des tirages dans une urne contenant initialement a boules blanches et b boules noires. Après chaque tirage, la boule est remise dans l'urne avec c boules de la même couleur. Déterminer la probabilité p n pour que la première boule blanche soit obtenue au n-ième tirage. On pose a 0 = 1 et a n = Déterminer + n=1 n 1 k=0 p n. Conclure. b + kc a + b + kc. Montrer que p n = a n 1 a n. C) Probabilités totales Soit (A i ) i I un système complet d'évènements ni ou dénombrable. On suppose : i I, P(A i ) 0. Pour tout évènement B, on a : P(B) = i I P(B A i )P(A i ) Démonstration : On appelle système quasi-complet, une suite (A n ) d'évènements deux à deux incompatibles et tels que + i=0 P(A n ) = 1. On suppose de plus qu'on peut avoir P(A i ) = 0 pour certaines valeurs de i. Pour tout évènement B, on a : P(B) = P(B A i )P(A i ) i I en convenant que : si P(A i ) = 0 alors on pose P(B A i )P(A i ) = C. Courant page 5

6 D) Formule de Bayes Soit (A i ) i I un système complet d'évènements ni ou dénombrable. On suppose : i I, P(A i ) 0. Soit B un évènement de probabilité non nul. On a : P(A i B) = P(B A i)p(a i ) P(B A j )P(A j ) j I Démonstration : Il est peu utile d'aprendre cette formule par coeur, il vaut mieux savoir la retrouver. En voici un cas particulier très courant : Soit A, B deux évènements tels que 0 < P(A) < 1 et P(B) 0. On a : P(B A)P(A) P(A B) = P(B A)P(A) + P(B A)P(A) Exemple : Une maladie est présente dans la population, dans la proportion d'une personne malade sur Un test de dépistage donne les informations suivantes : Si la personne est malade, le test est positif à 99%. Si la personne n'est pas malade, le test est positif à 0.1%. Calculer la probablitié qu'une personne soit malade si le test est positif. Conclure? E) Indépendance Soit (Ω, T, P ) un espace probabilisé. Soit A et B deux évènements. On dit que A et B sont indépendants si et seulement si P(A B) = P(A)P(B) Soit A et B deux évènements. On suppose P(A) 0. A et B sont indépendants si et seulement si P(B A) = P(B) Soit (A i ) i I une famille nie ou dénombrable d'évènements. On dit que les évènements (A i ) sont mutuellement indépendants si et seulement si pour tout p-uples (i 1, i 2..., i p ) d'indices distincts, on a : P = P(A ik ) 1 k p A ik 1 k p C. Courant page 6

7 BCPST Exercices Exercice 1: /home/carine/bcpst/basexo/proba/espproba/espproba01.tex Deux joueurs lancent tour à tour un dé. Le premier qui tire un six a gagné. Quelle est la probabilité de gagner pour chacun des joueurs? Que personne ne gagne? Exercice 2: /home/carine/bcpst/basexo/proba/espproba/espproba02.tex On met une boule blanche dans une urne. On répète alors les opérations suivantes : on lance un dé. si le résultat est diérent de 6, on ajoute une boule rouge dans l'urne, puis on recommence. si le résultat est 6, on tire une boule dans l'urne et on s'arrête. Quelle est la probabilité de s'arrêter? Quelle est la probabilité, qu'à la n, on tire une boule blanche dans l'urne? Exercice 3: /home/carine/bcpst/basexo/proba/espproba/espproba03.tex La probabilité qu'un forage conduise à une nappe de pétrole est 1/10. Quelle est la probabilité pour que, sur dix forages, on ait au moins un succès? Combien de forages sont-il nécessaires pour avoir au moins une chance sur deux de succès? Exercice 4: /home/carine/bcpst/basexo/proba/espproba/espproba06.tex Une urne contient 4 boules blanches, 6 rouges et 10 noires. 1 ) On tire trois boules, successivement et avec remise. Calculer la probabilité que le tirage soit tricolore, bicolore ou unicolore. 2 ) Même question si le tirage des trois boules est simultané. Exercice 5: /home/carine/bcpst/basexo/proba/espproba/espproba08.tex Un étudiant doit répondre à une question à choix multiple où cinq réponses sont proposées, une seule étant correcte. Quand l'événement A : l'étudiant à bien travaillé est réalisé, la réponse fournie est la bonne réponse. Dans le cas contraire l'étudiant répond au hasard. Si l'événement B : la réponse fournie est correcte est réalisé, calculer la probabilité P (A B) en fonction de p = P (A). Exercice 6: /home/carine/bcpst/basexo/proba/espproba/espproba09.tex Il pleut en moyenne 3 jours sur 10. Deux radios A et B annoncent la météo, avec une abilité de 95% pour la première, et de 90% pour la seconde (c'est-à-dire que, par exemple, s'il doit pleuvoir, la probabilité que la première radio ait fait la bonne prédiction est de 0, 95.) Lundi matin, la radio A annonce beau temps, et la radio B annonce de la pluie. Quelle est la probabilité qu'il pleuve? Exercice 7: /home/carine/bcpst/basexo/proba/espproba/espproba12.tex Le gardien d'un phare doit ouvrir une porte avec un trousseau de n clefs dont une seule convient. Il essaye les clefs les unes après les autres. On cherche la probabilité p k que la porte s'ouvre au bout du k-ième essai. Notons A i l'événement la i-ième clef essayée ne convient pas. Lorsque le gardien est ivre (ce qui arrive en moyenne 3 jours par semaine), il oublie, après chaque tentative, quelle clef il a essayé. 1 ) Calculer p 1 et p 2 dans chacun des cas (ivre ou non) 2 ) Exprimer p k en fonction des A i, et en déduire p k dans chacun des cas. 3 ) Un jour, le gardien utilise 9 clefs ; quelle est la probabilité qu'il soit ivre? 4 ) Même question sachant que le gardien a utilisé au moins 9 clefs C. Courant page 7

8 BCPST 952 Exercices : Espaces probabilisés Lycée du Parc Exercice 8: /home/carine/bcpst/basexo/proba/espproba/espproba13.tex On signale m soucoupes volantes dans le ciel américain. L'armée envoie nm missiles, ayant chacun une probabilité p d'atteindre leur objectif. On dispose de deux stratégies : S1 : on vise chaque soucoupe avec n missiles ; S2 : on laisse chaque missile se choisir une cible au hasard. (On suppose qu'un missile ne peut atteindre, avec une probabilité p, que sa cible, mais en aucun cas une autre cible. On suppose de plus que les missiles agissent indépendamment les uns des autres.) 1 ) Quelle est la probabilité d'atteindre une soucoupe donnée avec chacune de deux stratégies? 2 ) Que se passe-t-il lorsque m tend vers l'inni, n étant xé? Quelle stratégie choisir? Exercice 9: /home/carine/bcpst/basexo/proba/espproba/espproba14.tex Deux joueurs A et B jouent. A lance deux fois une pièce équilibrée. B ne lance qu'une fois une pièce qui fait pile avec la probabilité p. Le gagnant est celui qui fait le plus de faces. Tant qu'il y a égalité, ils rejouent. 1 ) Quelle est la probabilité qu'il y ait égalité au premier tour? 2 ) Quelle est la probabilité que le jeu de n'arrête jamais? 3 ) Quelle est la probabilité que A gagne le jeu? 4 ) Existe-t-il un p tel que le jeu soit équitable? Qui a le plus de chance de gagner? Exercice 10: /home/carine/bcpst/basexo/proba/espproba/espproba05.tex 1 ) Quelle est la probabilité d'obtenir une quinte ush au premier coup sans tricher avec un jeu de 52 cartes? 2 ) Vous jouez au poker avec Pat Poker (tricheur célèbre dans Lucky Luke, probabilité qu'il triche 0, 9, probabilité qu'il réussisse son coup et sorte une quinte ush s'il triche : 0, 9). Il abat une quinte ush au premier coup. Quelle est la probabilité qu'il ait triché? 3 ) Vous avez eu le malheur de répondre à la question précédente et de conclure à voix haute. Comme vous êtes moins bon tireur que Pat Poker, vous vous retrouvez devant Saint-Pierre. Pour passer le temps, vous commencez à jouer au poker avec lui. Probabilité que Saint-Pierre soit tenté de tricher : Probabilité de réussir son coup et de sortir une quinte ush s'il triche : 0, 5. Il abat une quinte ush au premier coup. Quelle est la probabilité qu'il ait triché? 4 ) Vous l'accusez, il nie trois fois. Le jour se lève et un coq se met à chanter. (Au paradis, après les nuits où Saint-Pierre a menti trois fois, le coq chante avec une probabilité 0, 9 ; après les autres, avec une probabilité un demi) Muni de cette information supplémentaire, calculer la probabilité que Saint-Pierre ait triché. Exercice 11: /home/carine/bcpst/basexo/proba/espproba/espproba11.tex Vaut-il mieux PPF ou FPP? On considère une suite innie de lancers d'une pièce équilibrée. Igor et Willow s'arontent dans un jeu dont les règles sont les suivantes. Igor est gagnant si la conguration pile, pile, face apparaît dans la suite des lancers avant que la conguration face, pile, pile n'apparaisse. Willow est gagnant si la conguration face, pile, pile apparaît dans la suite des lancers avant que la conguration pile, pile, face n'apparaisse. On se propose de déterminer lequel des deux joueurs a plus de chances de gagner. 1 ) Pour tout n 3, on note G n l'événement : Igor est déclaré gagnant à l'issue du n-ième lancer, et l'on pose g n = P (G n ) C. Courant page 8

9 BCPST 952 Exercices : Espaces probabilisés Lycée du Parc 1 Calculer g 3 et g 4. Montrer que, pour tout n 3, on a g n = 1. pour tout n. 2n 2 En déduire la probabilité qu'igor soit déclaré gagnant. 2 ) On note d n la probabilité que, lors des n premiers lancers, n'apparaisse jamais deux pile consécutifs. 1 Calculer d 1 et d 2. 2 En considérant le résultat des deux premiers lancers, montrer, pour tout n, 3 En déduire d n. d n+2 = 1 2 d n d n 4 En déduire que la série d n converge et calculer sa somme. 5 Pour tout n 3, on note A n l'événement un joueur est déclaré gagnant à l'issue du n-ième lancer et, pour tout n 2, on note B n : aucun joueur n'est encore déclaré gagné gagnant à l'issue du n-ième lancer. 3 ) 1 Montrer, pour tout n 2 : P (B n ) = 1 2 n + d n. 2 En déduire, pour tout n 4 : P (A n ) = 1 2 n d n 3. 3 Montrer que la probabilité que l'un des joueurs soit déclaré gagnant vaut 1. 4 En déduire la probabilité que Willow soit déclaré gagnant. 5 Conclure C. Courant page 9