DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES

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1 BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-EXERCICE DE SYNTHESE EXERCICE RECAPITULATIF (DE SYNTHESE) CORRIGE Le jeu au poker fermé DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES On joue au poker avec un jeu de 52 cartes sans joker. Pour simplifier le raisonnement, on donne les cinq cartes au joueur dès la première donne.. Combien y a-t-il de «mains» de 5 cartes possibles? Cela revient à choisir 5 cartes sans ordre parmi un ensemble de 52 cartes Il y a donc ( 52 5 ) = «mains» de 5 cartes possibles 2. Quelle est la probabilité de recevoir... : a) Une quinte royale ( 0, V, D, R, A soit 5 cartes majeures dans la même couleur )? Il n'existe qu'une quinte royale par couleur donc 4 quintes royales au total. 4 p (a)= = p (a), b) Une quinte flush ( exemple : 7, 8, 9, 0, V : 5 cartes consécutives de la même couleur, mais pas une quinte royale )? Il y a 9 quintes possibles par couleur : (;2;3;4;5), (2;3;4;5;6 ), (3;4;5;6;7), (4;5;6;7;8), (5;6;7;8;9), (6;7;8;9;0), (7;8;9;0;V), (8;9;0;V;D), (9;0;V;D;R) soit au total 36 quintes flush possibles. p (b)= = 3 p (b), c) Un carré ( par exemple : R, R, R, R, 4 )? Il y a 3 façons de choisir le carré et il reste une carte isolée à choisir parmi les 48 cartes restantes Il y a donc 3 ( 48 ) = 3 48 = 624 mains comprenant un carré p (c)= = 465 p (c) 0,00024 d) Un full (brelan+ paire, par exemple : 8, 8, 8, V, V )? Il faut avoir un brelan ET une paire dans la même main. Il y a 3 ( 4 façons de choisir un brelan selon la valeur de la carte. 3) Il faut ensuite choisir pour chaque brelan deux cartes parmi 4 cartes mais dans les 2 valeurs qui restent pour faire la paire. Au total, il y a donc : 3 ( 4 3) ( 2 4 = 3744 fulls 2) p (d)= = p (d) 0,0044

2 BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-EXERCICE DE SYNTHESE e) un flush ou couleur :(par exemple : 3, 7, 8, V, R, 5 cartes de la même couleur mais ni quinte royale ni quinte flush)? Il y a 4 ( 3 5 ) façons de choisir 5 cartes de la même couleur mais dans ce total sont aussi compris les quintes royales et les quintes flush que l'on doit donc soustraire, ce qui donne 4 ( 3 5 ) =508 mains contenant une couleur (ou flush ) quintes flush quintes royales p (e)= = 277 p (e) 0, f) Une quinte (par exemple : 2, 3, 4, 5, 6, 5 cartes consécutives mais ni quinte flush ni quinte royale)? Il n'a que 0 valeurs qui peuvent se suivre et ensuite 4 possibilités pour chacune des 5 cartes selon la couleur. Ce qui donne un total de mais ce total comprend les quintes flush et les quintes royales. Il faut donc les retrancher. Il y a donc =0200 mains contenant une quinte p ( f )= = 5 p ( f ) 0, g) Un brelan (par exemple : A, A, A, 7, 9 )? Il faut avoir exactement 3 cartes parmi 4 de la même valeur, il y a donc 3 façons de choisir le brelan. Il faut ensuite choisir 2 cartes parmi les 48 restantes et enlever de ce résultat les fulls. Il y a donc 3 ( 4 3) ( 48 2 ) = 5492 mains contenant exactement brelan. p (g)= = p (g ) 0,02 h) Deux paires ou une double paire ( par exemple : 4, 4, V, V, 0 )? Il faut avoir deux paires qui ne forment pas un carré : pour la première paire, il y a 3 façons de choisir 2 cartes parmi 4 pour la deuxième paire, il y a 2 façons de choisir 2 cartes parmi 4 (2 au lieu de 3 pour éviter de faire des carrés) Il y a façons de choisir la cinquième carte ( pas 3 ni 2 mais pour éviter brelan, full, etc.. ; Il faut multiplier le tout 4 ( nombre de couleurs ) Ce faisant, on a deux fois plus de double paires que nécessaire, il faut donc diviser le résultat précédent par 2! Finalement, il y a 4 = mains contenant une double paire. p (h)= = ! 3 ( 4 2) 2 ( 4 2) p (h) 0,0475

3 BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-EXERCICE DE SYNTHESE i) Une paire (par exemple : D, D, 3, 6, R )? Il faut avoir exactement 2 cartes de la même valeur et 3 autres cartes différentes Il y a 3 façons de choisir la valeur de la paire puis pour chaque valeur ( 4 2) façons de faire Pour les 3 cartes restantes, il ne faut ni paire ni brelan donc : 3! ( on divise par 3! pour éviter les triplets, n'oublions pas qu'il n'y a pas de notion d'ordre). Finalement, il y a 3 ( ) 3! = mains contenant une paire unique. p (i)= = p (i) 0,4226

4 BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES I. PROBABILITES GENERALES Cadre-type : Un jeu consiste à lancer deux dés cubiques non pipés, l'un de couleur bleue et l'autre de couleur verte dont les faces respectives sont numérotées de à 6, et à noter les numéros obtenus par le dé bleu et le dé vert. On note b le nombre marqué sur la face supérieure du dé bleu et v le nombre marqué sur la face supérieure du dé vert. On obtient ainsi à chaque lancer simultané des deux dés un couple (b, v). Exemple dé bleu : 3 et dé vert : 5 donne le couple (3;5). Dénombrement de tous les cas possibles : l'univers des possibles ou Univers certain La meilleure façon de dénombrer tous les cas, sans en omettre un seul, est sans doute de les répertorier dans un tableau comme ci-dessous. Compléter ce tableau. bleu vert (;) (;2) (;3) (;4) (;5) (;6) 2 (2;) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6) 3 (3;) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6) 4 (4;) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6) 5 (5;) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6) 6 (6;) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6) Nombre d'issues différentes possibles : obtenir un numéro sur le dé bleu ET obtenir un numéro sur le dé vert. Nombre total d'issues possibles : 6 6= 6 2 = 36 (6 choix pour le er numéro ET 6 choix pour le second) L'univers certain est noté conventionnellement et il est formé des 36 couples de résultats possibles. Il y a 36 éléments différents dans l'univers. On note Card( )= 36, et on parle de Cardinal pour donner le nombre d'éléments d'un ensemble. 2. Un cas particulier : l'évènement On veut connaître la probabilité (la chance) d'obtenir un double six à ce jeu. Il s'agit donc de dénombrer combien il existe dans notre Univers de couples (6;6). Il n'en existe qu 'un seul et on s'intéresse donc à un événement particulier noté A. Nommer l'évènement A : A : «obtenir deux numéros 6» ou «obtenir un double six». Décrire l'événement A : A ={(6 ; 6)} On dit que Card ( A)= : A ne contient qu'un seul élément. C'est un événement élémentaire. Un événement est donc un ensemble constitué de 0, ou plusieurs éléments différents. card ( A) La probabilité d'obtenir l'évènement A est alors donné par le rapport p ( A)= card (Ω) = 36 Il y a donc chance sur 36 d'obtenir le couple (6;6) à ce jeu. nombre de cas favorables (nombre d ' issues favorables) Règle générale p ( A)= nombre de cas posssibles ( nombre d ' issues possibles) a) Quelle est la probabilité de réaliser l'évènement B : «obtenir deux numéros identiques»? Décrire l'évènement B : B ={( ; ), (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5),(6 ; 6)} Card ( B) = 6 Card (B) Probabilité de l'évènement B : p ( B)= Card (Ω) = 6 36 b) Quelle est la probabilité de réaliser l'évènement C : «obtenir un total de 8» Décrire l'évènement C : C = {(2 ; 6),(3 ; 5),(4 ; 4),(5 ; 3),(6 ; 2)} et card (C )= 5 Card (C) Probabilité de l'évènement C : p (C)= Card (Ω) = 5 36 /9

5 BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES 3. Réunion et intersection de deux évènements. On considère l'évènement noté B C Nommer cet événement : B C (lire B union C ) : «obtenir deux numéros identiques» OU «obtenir deux numéros dont la somme est égale à 8». Attention, dans le cadre des probabilités, le OU est à prendre dans son sens inclusif et non exclusif. Le «OU» impliquera nécessairement le PRINCIPE ADDITIF B ={( ; ), (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5),(6 ; 6)} C = {(2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4) ; (5 ; 3) ; (6 ; 2)} L'évènement B C correspond aux éléments communs et non communs des deux évènements B et C Il faut prendre garde au doublon (4;4) qui est dans la description des deux évènements. Il ne faut donc le reprendre qu'une seule fois dans la réunion des deux évènements. B C ={( ; ), (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5), (6 ; 6), (2 ; 6), (3 ; 5), (5 ; 3), (6 ; 2)} Card ( B C )=0 et p ( B C )= 0 36 Remarque : p ( B)+ p (C )= = 36 et p ( B C )= 0 36 L'évènement élémentaire {(4;4)} est inclus dans l'évènement B et dans l'évènement C. On dit que (4 ; 4) = B C, c'est l'intersection des deux évènements B et C. p ( B C )= 36 p ( B C )= p (B)+ p (C) p (B C ) B C est l'évènement : «obtenir deux numéros identiques ET deux numéros dont la somme vaut 8». La description de cet événement est (4 ; 4) = B C ={(4 ; 4)} p ( B C )= = 0 36 p ( A B)= p ( A)+ p (B) p ( A B) Remarque : on dit que deux évènements A et B sont incompatibles si A B = Si deux évènements A et B sont incompatibles, on a alors par application de la formule : p ( A B)= p ( A)+ p ( B) la somme des probabilités sur un même univers est égale à p (Ω)= p ( )=0 Pour tout événement A, il existe l'évènement contraire Ā qui se lit «A barre» tel que p ( Ā)= p ( A) 2/9

6 BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES II. PROBABILITES CONDITIONNELLES Cadre-type : Sondage sur Internet Voici les résultats d'un sondage effectué auprès de 000 personnes à propos d'internet. 40% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet 35% des personnes interrogées ont moins de 25 ans et parmi celles-ci 80% déclarent être intéressées pas internet 30% des personnes interrogées ont plus de 50 ans et parmi celles-ci 85% ne sont pas intéressées par internet. Compléter le tableau suivant Personnes Intéressés par internet Non intéressés par internet Total Moins de 25 ans De 25 à 50 ans Plus de 50 ans Total On choisit au hasard une personne parmi les 000 interrogées. On considère les évènements suivants : A : «la personne interrogée a moins de 25 ans» B : «la personne interrogée a plus de 50 ans» I : «la personne interrogée est intéressée par Internet» a) calculer les probabilités p A, p B, p I 350 p ( A) = 000 =0,35 p ( B) = p ( I ) = =0, =0,4 b) définir par une phrase l'évènement B et calculer p B B : «la personne interrogée a 50 ans ou moins de 50 ans» p ( B) = = =0,7 ou p ( B) = p ( B)= 0,3= 0,7 c) calculer p A I et p A I 280 p A I = 000 =0,28 p( A I ) = p ( A)+ p (I ) p (A I )=0,35 + 0,4 0,28 =0,47 p A I = = = 0,47 3/9

7 BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES 3. On sait maintenant que la personne interrogée n'est pas intéressée par Internet. Quelle est la probabilité pour qu'elle ait plus de 50 ans? Qu'elle ait 50 ans ou moins de 50 ans? On change d'univers pour se trouver dans l'univers des personnes non intéressées par Internet (Ī ) Card ( Ī )= 600 Card (B Ī) p Ī (B)= Card ( Ī ) = = 0,425 p Ī ( B) = Card ( B Ī ) card ( Ī) = = = 0,575 p Ī ( B) = p Ī (B)=,425= 0, On sait maintenant que la personne interrogée n'a pas plus de 50 ans. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit intéressée par Internet? On change à nouveau d'univers pour être dans celui des personnes de 50 ans ou moins de 50 ans qui a pour effectif total : = 700. c'est l'univers constitué par l'évènement B On cherche p B ( I ) p B ( I ) = p ( B I ) p ( B) p B ( I ) = p B ( I ) = 40 4/9

8 BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice n : Enquête sur le cinéma Une enquête faite auprès d'une population comprenant 5% de femmes et 49% d'hommes montre que 20% des femmes et 5% des hommes de cette population ne vont jamais au cinéma. On choisit un individu au hasard dans cette population, tous les choix étant équiprobables. On note F l'évènement «l'individu choisi est une femme» C l'évènement «l'individu choisi va au cinéma». Construire un arbre pondéré (arbre de probabilité) décrivant cette enquête. 2. Donner p F, p F C, p F C, p F C, p F C 3. Calculer p F C, p F C 4. En écrivant C=(F C ) ( F C ), calculer p C. En déduire p C , 5 F 0, 8 0 0, 2 0 C C p F ( C )= p (F C) p (F ) p F (C )= = 0,02 0,5 = 0,20 p (F C) = 0,408 p (F ) 0,5 =0,80 0, 4 9 C 0, 8 5 F 0, 5 C 2. p ( F )= 0,5 p ( F C )= 0,5 0,80 = 0,408 p F C = 0,5 0,20 = 0,02 p F C = 0,49 0,85 = 0,465 p F C = 0,49 0,5 = 0,0735 remarque : La somme de toutes les probabilités est égale à 4. C=(F C ) ( F C ) p (C)= p (F C )+ p ( F C ) p (C)=0, ,465= 0,8245= p ( C)= p (C)= 0,8245= 0,755 ou p ( C)= p (F C)+ p ( F C) p ( C)=0,02 + 0,0735= 0,755= p C (F )= p (C F ) = 0408 p (C) 0,8245 = p C ( F )= p (C F ) = 0,465 p (C) 0,8245 = p C (F )= p ( C F ) = 0,02 p ( C) 0,755 = 68 7 p C ( F )= p ( C F ) = 0,0735 p ( C) 0,755 = /9

9 BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice n 2 : Jeu de cartes On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes. On considère les évènements suivants : A : «la carte tirée est un cœur» B : «la carte tirée est un roi». Calculer p A, p B, p A B, p B A 2. Comparer p A B à p(b) puis p B A à p ( A) 3. Comparer p A B à p A p B. Il y a 8 cartes de coeur dans le jeu donc p ( A)= 8 32 = 4 Il y a 4 rois dans le jeu donc p ( B)= 4 32 = 8 Sachant que la carte est un roi, quelle est la probabilité que ce soit un coeur : p B ( A)= 4 Sachant que la carte est un coeur, quelle est la probabilité que ce soit un roi : p A (B)= 8 2. p A (B)= p (B)= 8 p B ( A)= p (A)= 4 3. p ( A B)= 32 : la carte est un roi et elle est coeur donc c'est le roi de coeur. p ( A B)= p ( A) p A (B)= 4 8 = 32 p ( A B)= p ( B) p B (A)= 8 4 = 32 On dit que deux évènements A et B sont indépendants si et seulement si : p A ( B)= p ( B) p B ( A)= p ( A) p (A B)= p ( A) p ( B) 6/9

10 BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice n 3 : dénombrement et probabilités Dans une urne, il y a 7 boules blanches et 0 boules rouges indiscernables au toucher. On en prend 4 simultanément. On considère les évènements suivants : A : «obtenir 4 boules blanches» B : «obtenir 2 boules blanches et 2 boules rouges» Calculer p A, p B. Il s'agit d'un tirage simultané et sans remise, on est dans le domaine des Combinaisons.. Nombre d'issues possibles (univers ) : nombre de possibilités de tirer 4 boules parmi 7 boules : ( 7 = ) Card (Ω)= 2380 A: «obtenir 4 boules blanches» c'est l'issue favorable suivante : «obtenir 4 boules blanches parmi les 7 boules blanches» ET «obtenir 0 boule rouge parmi les 0 boules rouges», ce qui se traduit par : Nombre d'issues favorables : ( 7 4) ( 0 = 35 = 35 0 ) p ( A)= Nombre d ' issues favorables Npmbre d ' issues possibles = Card ( A) Card (Ω) = = Le nombre d'issues possibles est inchangé : Card (Ω)= 2380 B : «obtenir 2 boules blanches et 2 boules rouges» est l'issue favorable suivante : «obtenir 2 boules blanches parmi les 7 boules blanches» ET «obtenir 2 boules rouges parmi les 0 boules rouges», ce qui donne : Nombre d'issues favorables : ( 7 2) ( 0 = 2 45 =945 2 ) p ( B)= Nombre d ' issues favorables Nombre d ' issues possibles Card ( B) 27 = =945 / 2380= Card (Ω) 68 7/9

11 BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice d'apprentissage n (ERREUR DANS L'ENONCE) Les individus d'une population peuvent être atteints de deux maladies M et M 2. On prélève au hasard un individu dans la population. On note A l'évènement : «l'individu est atteint de la maladie M.», et B l'évènement : «l'individu est atteint de la maladie M 2.» On admet que p ( A)= 0,3, p ( B)= 0,05, et que la probabilité qu'un individu pris au hasard dans la population soit atteint de la maladie M, sachant qu'il est atteint de la maladie M 2 est 0,60.. Calculer la probabilité de l'évènement:«l'individu est atteint de la maladie M et de la maladie M 2.» 2. Calculer la probabilité de l'évènement : «l'individu est atteint de la maladie M sachant qu'il est atteint de la maladie M 2.» 3. Calculer la probabilité de l'évènement:«l'individu est atteint de la maladie M ou de la maladie M 2.» p ( A)= 0,3= p (M ) p ( B)= 0,05= p (M 2 ) p M 2 (M )=0,6. On cherche p (M M 2 ) p (M M 2 )= p (M 2 ) p M 2 (M )= 0,05 0,6 =0,03 2. On cherche p M 2 (M ) p M (M 2 )= p (M M ) 2 = 0,03 p (M ) 0,3 =0, 3. On cherche p (M M 2 ) p (M M 2 )= p (M )+ p (M 2 ) p (M M 2 ) p (M M 2 )=0,3 +0,05 0,03= 0,32 8/9

12 BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice d'apprentissage n 2 Une grande entreprise recrute chaque année des étudiants au niveau Bac + 2. Elle effectue une sélection à l'aide d'un test écrit sous forme de QCM ; les candidats retenus doivent ensuite passer un entretien. Les candidats choisissent, selon leurs compétences, un test parmi deux. On admet que 40 % des candidats choisissent le premier test, à l'issue duquel 0 % sont sélectionnés et que le reste des candidats choisit le second test, à l'issue duquel 30 % sont sélectionnés. On prélève une fiche au hasard dans le fichier des candidats. Toutes les fiches ont la même probabilité d'être prélevées. On définit les évènements suivants : T : «le candidat choisit le premier test» T 2 : «le candidat choisit le second test» S : «le candidat est sélectionné». A l'aide des informations contenues dans l'énoncé, déterminer les probabilités : p (T ), p (T 2 ), p T (S ), p T 2 (S). 2. Calculer p (S T ) et p (S T 2 ). 3. On admet que S =(S T ) (S T 2 ) et que les évènements (S T ) et (S T 2 ) sont incompatibles;calculer p (S). En déduire p ( S) 4. Calculer la probabilité qu'un candidat ait choisi le premier test sachant qu'il est sélectionné. Arrondir le résultat à 0 2 près.. p (T )=0,4 p (T 2 )= p (T )= 0,4= 0,6 p T (S)= 0, p T 2 (S)=0,3 2. p (S T )= p (T S)= p (T ) p T (S)= 0,4 0, =0,04 p (S T 2 )= p (T 2 S)= p (T 2 ) p T2 (S)= 0,6 0,3 =0,8 3. p (S)= p (S T )+ p (S T 2 )=0,04 + 0,8= 0,22 p ( S)= p (S)= 0,22= 0,78 4. On recherche donc p S (T ) p S (T )= p (S T ) = 0,04 p (S) 0,22 = 2 9/9

13 BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE VARIABLE ALEATOIRE, LOI DE PROBABILITE D'UNE VARIABLE ALEATOIRE I. VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE Activité : Exemple Un patineur artistique participe à une compétition durant laquelle il doit effectuer deux sauts. Il réussit le premier de ces deux sauts dans 95 % des cas. Comme il est émotif, s'il échoue à ce premier saut, il rate le deuxième trois fois sur dix. Sinon, si tout va bien au premier saut, il réussit le second saut dans 90 % des cas.. On note l'événement R «le patineur réussit son saut» et l'événement R «le patineur ne réussit pas son saut» Compléter l'arbre de probabilité correspondant à une compétition : 0, 9 R 2 R 0, 0, 9 5 R 2 0, 0 5 R 2 0, 7 R 0, 3 R 2 Le règlement est tel que manquer le premier saut donne 0, point de pénalité ; manquer le second saut donne une pénalité de 0,2 point. Le règlement prévoit également que les pénalités se cumulent. On désigne par X le nombre de pénalités obtenues lors de la compétition. 2. Quelles sont les valeurs que peut prendre X? Compléter le tableau ci-dessous. Réussite des sauts Premier et deuxième sauts réussis 0+0=0 Premier réussi et deuxième raté 0+0,2=0,2 Premier raté et deuxième réussi 0,+0=0, Valeurs prises par X Premier et deuxième sauts ratés 0,+0,2=0,3

14 BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE 3. On dit ainsi que X est une variable aléatoire discrète : cette variable est issue d'une expérience aléatoire (un saut) et elle ne peut prendre qu'un nombre limité de valeurs (similitude avec les séries à caractère quantitatif discret en statistiques) Pour chacune des valeurs prises par cette variable aléatoire X, on peut calculer une probabilité : par exemple, on peut calculer la probabilité que X prenne la valeur 0 (c'est la même probabilité que celle de réussir les deux sauts, puisque en effet dans ce cas, il ne prend pas de pénalité). Compléter le tableau suivant : Réussite des sauts Valeurs de X Probabilités associées Premier et deuxième sauts réussis 0 p(r R 2)=0,95 0,9=0,855 Premier réussi et deuxième raté 0,2 p(r R 2)=0,95 0,=0,095 Premier raté et deuxième réussi 0, p( R R 2)=0,05 0,7=0,035 Premier et deuxième sauts ratés 0,3 p( R R 2)=0,05 0,3=0,05 Remarque : Quelle est la somme des probabilités associées? : 0,855+0,095+0,035+0,05= Il n'y a pas d'autres valeurs possibles pour X. L'univers est restreint aux valeurs de X précédentes et la somme des probabilités sur un univers certain est égale à On adoptera la présentation suivante appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X a) sous forme d'un tableau X= k 0 0, 0,2 0,3 p (X = k ) 0,855 0,035 0,095 0,05 p r o b a b i l i t é 0, 9 b) Sous forme d'un diagramme à bâtons 0, 8 0, 7 0, 6 0, 5 0, 4 0, 3 0, 2 0, 0-0, 0 0, 0, 2 0, 3 0, 4 X

15 BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE Exemple 2 : On prélève simultanément et au hasard 4 cartes dans un jeu de 32 cartes. On note X la variable aléatoire associée au nombre de dames dans cette main de 4 cartes.. On peut définir la loi de probabilité de cette variable aléatoire X : a) Quelles sont les valeurs prises par X? : 0,, 2, 3, 4 b) Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire X :. Loi de probabilité de X X= k p (X = k ) Univers certain : : «ensemble des mains de 4 cartes dans un jeu de 32 cartes» Card( ) = nombre de mains de 4 cartes : ( 32 4 ) = Avoir 4 cartes parmi 32 cartes 3. Nombre de mains de 4 cartes ne contenant aucune dame : ( 4 0) ( 28 4 ) =20475 Avoir 0 dame parmi 4 dames et 4 cartes parmi les 28 autres On en déduit p(x=0)= = Nombre de mains de 4 cartes contenant exactement dame : ( 4 ) ( 28 3 ) =304 Avoir dame parmi 4 dames et 3 autres cartes parmi les 28 restantes On en déduit p(x=)= = Nombre de mains de 4 cartes contenant exactement 2 dames : ( 4 2) ( 28 2 ) =2268 Avoir 2 dames parmi les 4 dames et 2 autres cartes parmi les 28 restantes On en déduit p(x=2)= = Nombre de mains de 4 cartes contenant exactement 3 dames : ( 4 3) ( 28 ) =2 Avoir 3 dames parmi les 4 dames et autre carte parmi les 28 restantes On en déduit p(x=3)= = Nombre de mains de 4 cartes contenant exactement 4 dames : ( 4 4) ( 28 0 ) = Avoir 4 dames parmi les 4 dames et 0 carte parmi les 28 cartes restantes On en déduit p(x=4)= 35960

16 BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE 2. Espérance d'une variable aléatoire (espoir mathématique,..., oui cela existe réellement!!) Une loi de probabilité s'apparente à une série statistique à caractère quantitatif discret. On peut donc calculer la valeur moyenne de cette série statistique : dans le cas des variables aléatoires, cela s'appelle l'espérance mathématique. L'espérance mathématique est la valeur moyenne que prendrait la variable X si on répétait un grand nombre de fois (loi des grands nombres) la même opération (dans le cas étudié ci-dessus, il s'agirait de prélever un grand nombre de fois une main de 4 cartes). i= n Par définition E(X)= i= p (X= x i ) x i Dans le cas étudié, calculer la valeur de E(X) E(X) = = 2 = 0,5 E(X)=0,5 Donner une interprétation de l'espérance E(X) de la variable aléatoire X : D'après la loi des grands nombres, un joueur peut espérer obtenir 0,5 dame par main de 4 cartes s'il répète cette expérience aléatoire un grand nombre de fois.

17 BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE Exercice d'application Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l'entreprise est soumis à deux contrôles : d'une part l'aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu'il ne présente pas de défaut de finition, d'autre part sa solidité est testée. Il s'avère, à la suite d'un grand nombre de vérifications, que : 92 % des jouets sont sans défaut de finition ; Parmi ces jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité ; 2 % des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles. On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note : F l'événement : «le jouet est sans défaut de finition». S l'événement : «le jouet réussit le test de solidité».. Construction d'un arbre pondéré associé à cette situation. a) Traduire les données de l'énoncé en utilisant les notations des probabilités. p( F)=0,92 p F (S)=0,95 p( F S)=0,02 b) Démontrer que p F ( S)= 4 On sait que p( F S)=p( F) p F ( S) On en tire p F ( S)= p( F S) p( F) Or, on sait que p( F S)=0,02 et p( F)= p(f)= 0,92=0,08 0,02 On obtient : ( S)= p F 0,08 = 2 8 = 4 p F ( S)= 4

18 BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE c) Construire l'arbre pondéré correspondant à cette situation. S 0, 9 5 F 0, 0 5 0, 9 2 S 0, 0 8 S 0, 7 5 F 0, 2 5 S 2. Calculs de probabilités a) démontrer que p(s)=0,934 S=( F S) ( F S) p(s)=p(f S)+p( F S) p(s)=0, ,08 0,75=0,934 p(s)=0,934 b) Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu'il soit sans défaut de finition (ce résultat sera arrondi au millième). Il s'agit ici de déterminer p S (F) On applique la formule : p(f S)=p(S F)=p(S) p S (F) On en tire : p S (F)= p(f S) p(s) D'où : p S (F)= 0, = 0,874 0,934 0,934 0,936 p S (F)=0,936

19 BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE 3. Etude d'une variable aléatoire B. Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 0, ceux qui n'ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5. On désigne par B la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté. a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire B. La variable aléatoire B prend les valeurs 0 ; 5 et 0 p( B=0)=p(F S)=0,874 p( B=0)=p( S)= p(s)= 0,934=0,066 p( B=5)=p( F S)=0,08 0,75=0,06 ou p( B=5)= p(b=0) p( B=0)= 0,066 0,874=0,06 Loi de probabilité de la variable aléatoire B X=k p(x=k) 0,066 0,06 0,874 b) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire B. E(B)=0 0, ,06+0 0,874=9,04 E(B)=9,04 c) Interpréter ce résultat. L'entreprise peut espérer obtenir un bénéfice moyen de 9,04 par jouet fabriqué et vendu

20 BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE VARIABLE ALEATOIRE, LOI BINOMIALE II. LOI BINOMIALE Jacques BERNOULLI (654 ; 705) fut un mathématicien suisse. Il posa les principes du calcul des probabilités dans son œuvre Ars Conjectandi (l'art de la conjecture) Activité : Exemple A l'entraînement, un basketteur effectue des tentatives pour marquer un panier. Pour chaque tentative, il dispose de deux essais. On considère que la tentative est réussie si le premier essai est réussi ou si le second essai est réussi. Après plusieurs jours d'entraînement, l'entraîneur constate les faits suivants : la probabilité de réussir le premier essai est égale à 0,5. la probabilité de réussir le second essai sachant que le premier essai est raté est égale à 0,4. On note S l'événement : «la tentative est réussie». Le basketteur va effectuer quatre tentatives durant cet entraînement. On note X le nombre de réussites obtenues lors de ces tentatives.. Décrire une tentative par un arbre de probabilité R 0, 5 0, 5 0, 4 R 2 R 0, 6 R 2 R représente l'événement : «le premier essai est réussi». R2 représente l'événement : «le second essai est réussi».

21 BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE 2. Déterminer la probabilité que la tentative soit réussie, soit p(s) S = (R ) ( R R2) p(s) = p( R )+p( R R2) = 0,5+0,5 0,4=0,5+0,2=0,7 3. Pour le basketteur, la tentative n'a que deux issues possibles : S : «la tentative est réussie» avec une probabilité p = p(s) = 0,7 S : «la tentative a échoué» avec une probabilité q = -p = -0,7=0,3 Cette expérience aléatoire qui a deux issues possibles : le succès (la réussite) avec une probabilité p = 0,7 ou l'échec (l'insuccès) avec une probabilité -p = 0,3 est appelée épreuve de Bernoulli On dit qu'une tentative est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,7 4. Le basketteur effectuant 4 tentatives, il va répéter de façon identique et indépendante (l'issue d'une tentative n'a aucune influence sur l'issue de la suivante, etc...) la même épreuve de Bernoulli. C'est la répétition de n épreuves de Bernoulli de paramètre p. On dit que la répétition de 4 épreuves de Bernoulli est un schéma de Bernoulli de paramètres n = 4 et p =0,7 5. Si on appelle X la variable aléatoire associée au nombre de succès de ce schéma de Bernoulli, On dit que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 0,7 notée B(4;0,7) 6. p (X = k)= ( n k) pk ( p) n k 7. Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X? : 0 ; ; 2 ; 3 ; Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X : p(x=0)= ( 4 0) 0,70 0,3 4 =0,008 p(x=)= ( 4 ) 0,7 0,3 3 =0,0756 p(x=2)= ( 4 2) 0,72 0,3 2 =0,2646 p(x=3)= ( 4 3) 0,73 0,3 =0,46 p(x=4)= ( 4 4) 0,74 0,3 0 =0,240 Loi de probabilité de X X= k p (X = k ) 0,008 0,0756 0,2646 0,46 0,240

22 BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE 9. On notera également que dans une loi binomiale, les propriétés sont les suivantes : E (X)= n p Var (X)=n p ( p) σ (X)= Var (X)= n p ( p) 0. Calculer l'espérance la variable aléatoire X : E(X)=4 0,7=2,8 Interpréter ce résultat : Sur un grand nombre de tentatives, pour chaque série de 4 tentatives, le basketteur peut espérer réussir 2,8 tentatives (ou réussir 28 tentatives sur 40 tentatives). Calculer l'écart type de la variable aléatoire X : (X) σ(x)= 4 0,7 0,3= 0,84 0,92 Applications (pages suivantes)

23 Exercice n : BTS GPN ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE A la coopérative du Reblochon de Thônes, la probabilité qu'un reblochon soit de premier choix est de 70 %. On prélève au hasard 4 reblochons dans la cave où sont stockés les fromages (on considère que le stock est suffisamment important pour que le prélèvement d'un fromage soit assimilé à un tirage avec remise et indépendant). On note X la variable aléatoire associée au nombre de reblochons de premier choix de cet échantillon.. Démontrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. a) L'examen d'un reblochon est une expérience aléatoire à 2 issues possibles : Succès : «le reblochon est de premier choix» avec une probabilité p = 0,7 Echec : «le reblochon n'est pas de premier choix» avec une probabilité p = 0,3 C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre p =0,7. b) Le prélèvement de 4 reblochons de manière identique et indépendante est un schéma de Bernoulli de paramètres n = 4 et p = 0,7 c) La variable aléatoire X associée au nombre de reblochons de premier choix donc au nombre de succès du schéma de Bernoulli suit donc la loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 0,7 ; elle est notée B(4;0,7) 2. Quelle est l'espérance de X? Interpréter ce résultat. E( X)=4 0,7=9,8 Sur un grand nombre de prélèvement de 4 reblochons, on peut espérer obtenir 9,8 reblochons de premier choix sur les 4 prélevés (ou 98 reblochons de premier choix sur 40 prélevés) 3. Quelle est la probabilité d'avoir 9 fromages de premier choix dans cet échantillon? p(x=9)= ( 4 9 ) 0,79 0,3 5 0, Quelle est la probabilité d'avoir au moins 2 reblochons de premier choix dans cet échantillon? Première méthode : p( X 2)=p( X=2)+p( X=3)+p(X=4) = ( 4 2) 0,72 0,3 2 + ( 4 3) 0,73 0,3 + ( 4) 0,74 0,3 0 0,608 Seconde méthode p( X 2)= p( X ) =0,608 Avec la calculatrice, on obtient directement p(x 2)=0,608 (méthode en dernière page) 5. Quelle est la probabilité d'avoir au plus 4 reblochons de premier choix dans cet échantillon? p( X 4)=p(X=0)+p( X=)+p( X=2)+p(X=3)+p( X=4)=0,007 ou directement à la calculatrice (méthode en dernière page)