Brevet 2007 L intégrale d avril 2007 à mars 2008

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1 Brevet 2007 L intégrale d avril 2007 à mars 2008 Pondichéry avril Amérique du Nord juin Antilles Guyane juin Asie juin Centres étrangers juin Centres étrangers (Lyon) juin Centres étrangers (Nice) juin Métropole juin Liban juin Polynésie juin Antilles-Guyane septembre Métropole septembre Polynésie septembre Amérique du Sud novembre Nouvelle-Calédonie décembre Nouvelle-Calédonie mars

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3 Brevet Pondichéry avril 2007 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES Exercice 1 On donne : A= B= ( 10 2) 4 Dans chaque cas, indiquer les étapes de calculs C= Calculer A et donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible. 2. Calculer B et donner son écriture scientifique, puis son écriture décimale. 3. Écrire C sous la forme a 5 où a est un nombre entier. Exercice 2 On considère l expression suivante : E = (3x 5) 2 + (3x 5)(7x 4). 1. Développer puis réduire E. 2. Factoriser E. 3. Calculer E pour x= Résoudre l équation (3x 5)(10x 9) = 0. Exercice 3 Voici les résultats au lancer de javelot lors d un championnat d athlétisme. Les longueurs sont exprimées en mètres Compléter le tableau suivant sur la feuille annexe Longueur l du lancer (en 30 l<35 35 l<40 40 l<45 45 l<50 Total mètres) Nombre de sportifs 7 5 Fréquence 0,04 0,2 Valeur centrale 32,5 42,5 2. En utilisant les valeurs centrales, calculer la longueur moyenne d un lancer. 3. Quel est le pourcentage de sportifs ayant lancé au moins à 40 mètres? ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES Exercice 1 On considère un cercle de diamètre [AB] et un point C appartenant à ce cercle. 1. Déterminer la nature du triangle ABC. 2. On donne AC = 39 mm et BC = 52 mm. Montrer que AB = 65 mm. 3. Le point D est tel que : AD = 25 mm et BD = 60 mm. Le triangle ABD est-il rectangle?

4 Exercice 2 La figure n est pas en vraie grandeur et n est pas à reproduire. AC = 3 cm AE = 4,5 cm AB = 4 cm Les droites (BC) et (DE) sont parallèles. 1. Calculer les longueurs AD et BD. 2. On donne : AF = 4,05 cm et AG = 5,4 cm Exercice 3 Montrer que les droites (FG) et (BC) sont parallèles. + F B D + G A C E 1. Sur votre copie, construire un carré ABCD de côté 5 cm. O étant le centre du carré, placer E, symétrique de O par rapport à D. 2. Recopier et compléter les égalités suivantes : AB = AD = AC + CD = BD + AB = Quelle est l image du point C par la translation de vecteur BA? Quelle est l image de D par la rotation de centre O, d angle 90 dans le sens inverse des aiguilles d une montre? 4. Placer F tel que EF = CO a. Quelle est la nature du quadrilatère ECOF? b. En déduire que D est le milieu du segment [FC]. PROBLÈME Les parties A et B sont indépendantes. La feuille annexe est à rendre avec votre copie Partie A DVDLOC est un magasin qui propose différentes formules de location de DVD. Formule 1 : chaque DVD est loué 3,50. Formule 2 : on paye un abonnement annuel de 12, puis 2 par DVD loué. 1. Compléter sur la feuille ANNEXE le tableau suivant : Nombre de DVD loués 2 6 Prix en euro avec la formule 1 Prix en euro avec la formule 2 2. On note x le nombre de DVD loués. a. Exprimer, en fonction de x, le prix en euro à payer pour la location de x DVD par la formule 1. b. Exprimer, en fonction de x, le prix en euro à payer pour la location de x DVD par la formule a. Résoudre l inéquation 2x+ 12 3,5x. Pondichéry 4 avril 2007

5 b. Déterminer le nombre de DVD à partir duquel la formule 2 est la plus avantageuse. 4. Sur la feuille ANNEXE, tracer dans le repère les représentations graphiques des fonctions f et g définies par : f (x)=3,5x et g (x)=2x Carine ne possède pas de carte d abonnement et elle dispose de 18. Indiquer à l aide du graphique et en marquant. en couleur les pointillés nécessaires, le nombre maximum de DVD qu elle peut louer. Partie B 1. Romain se rend à vélo chez son ami David qui a loué un DVD chez DVDLOC. Sachant qu il a 3,75 kilomètres à parcourir et qu il roule à la vitesse moyenne de 15 km/h, quel temps mettra-t-il pour faire ce trajet? 2. Après avoir regardé le film, Romain propose à David d aller rendre ce DVD au magasin de location. Sachant qu il roule pendant 36 minutes, toujours à la vitesse moyenne de 15 km/h, déterminer la distance qui sépare le magasin du domicile de David. Pondichéry 5 avril 2007

6 ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE I - ACTIVITÉS NUMÉRIQUES Exercice 3 Longueur l du lancer Total (en mètres) Nombre de sportifs 7 5 Fréquence 0,04 0,2 Valeur centrale 32,5 42,5 Prix en euro II - PROBLÈME Partie A Nombre de DVD loués 2 6 Prix en euro avec la formule 1 Prix en euro avec la formule Nombre 10de DVD loués Pondichéry 6 avril 2007

7 Durée : 2 heures Brevet des collèges Amérique du Nord juin 2007 L utilisation d une calculatrice est autorisée. ACTIVITÉS NUMÉRIQUES Exercice 1 Toutes les étapes de calcul devront figurer sur la copie. On donne : A= ; B= ; C= ; D=(2+4 5)(2 4 5). 1. Donner A sous la forme d une fraction irréductible. 2. Donner les écritures décimale et scientifique de B. 3. Écrire C sous la forme a 3, où a est un entier relatif. 4. Montrer que D est un nombre entier. Exercice 2 On considère l expression E = (3x+ 2) 2 (3x+ 2)(x+ 7). 1. Développer et réduire E. 2. Factoriser E. 3. Calculer E lorsque x = Résoudre l équation (3x + 2)(2x 5) = 0. Exercice 3 1. Un confiseur reçoit une commande de caramels d un montant de 120,40 euros. Pour fidéliser son client, il décide d accorder une remise de 20 %. Calculer le montant de la facture après remise. 2. Quelques jours plus tard, le confiseur répartit 301 caramels et 172 chocolats dans des sachets identiques. a. Calculer le nombre maximal de sachets réalisables. b. Calculer le nombre de caramels et le nombre de chocolats contenus dans un sachet. ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES Exercice 1 La figure ci-contre n est pas en vraie grandeur. Il n est pas demandé de la reproduire. C est un cercle de centre O et de diamètre [AB] tel que AB = 6 cm. M est un point du cercle tel que BM = 4,8 cm. A M 1. Démontrer que le triangle ABM est rectangle en M. 2. Calculer la mesure de l angle ABM, arrondie au degré. 3. En déduire la mesure de l angle AOM, arrondie au degré. C O B

8 Exercice 1 SABCD est une pyramide à base rectangulaire ABCD, de hauteur [SA]. On donne SA = 15 cm, AB = 8 cm et BC = 11 cm. S 1. Calculer le volume V 1 de la pyramide SABCD. 2. Démontrer que SB = 17 cm. 3. On note E le point de [SA] tel que SE = 12 cm et F le point de [SB] tel que SF = 13,6 cm. Montrer que les droites (EF) et (AB) sont parallèles. E F H D G C 4. On coupe cette pyramide par le plan passant par E et parallèle à la base de la pyramide. La pyramide SEFGH ainsi obtenue, est une réduction de la pyramide SABCD. A B a. Quel est le coefficient de la réduction? b. En déduire le volume V 2 de la pyramide SEFGH en fonction de V 1. Exercice 3 Soit (O ; I, J) un repère orthonormé tel que OI = OJ = 1 cm. 1. Sur votre copie, construire ce repère et placer les points suivants : A(0 ; 3) B(3 ; 0) E( 4 ; 3) F( 1 ; 2) G( 4 ; 1) 2. Tracer la droite (AB), puis le triangle EFG, noté par la suite T. 3. Construire T 1 l image de T par la symétrie d axe (AB). 4. Construire T 2 l image de T par la translation de vecteur AB. 5. Construire T 3 l image de T par la rotation de centre E et d angle 100, le sens étant le sens inverse des aiguilles d une montre. PROBLÈME Les parties A et B sont indépendantes. La feuille ANNEXE est à rendre avec la copie. Partie A Deux établissements scolaires ont financé des déplacements en car pour se rendre dans un musée, où une grande exposition de peinture se tient durant plusieurs mois. 1. L établissement du premier groupe est situé à 250 km du musée. Le car a quitté le collège à 7 h 25 et roule à la vitesse moyenne de 100 km/h. Calculer l heure d arrivée au musée de ce premier groupe. 2. Le second groupe a quitté son établissement à 8 h 00 pour arriver à 9 h 30. Il a parcouru 120 km pour se rendre au musée. Calculer la vitesse moyenne, en km/h, du car transportant ce second groupe. Partie B Armelle souhaite travailler quelques heures par mois dans ce musée, afin de gagner un peu d argent. À la suite d un entretien, deux possibilités d indemnisation lui sont proposées : Amérique du Nord 8 juin 2007

9 Somme d argent S 1 : 8 euros par heure. Somme d argent S 2 : versement de 90 euros en début de mois, puis 5 euros par heure. Ne sachant pas quelle forme d indemnisation privilégier, elle décide d étudier ces deux propositions. 1. Sur la feuille ANNEXE, compléter le tableau : Somme d argent perçue S 1 par mois en ) S 2 Nombre d heures effectuées par mois 20 heures 25 heures 2. Soit x le nombre d heures effectuées par Armelle pendant un mois dans ce musée. Exprimer en fonction de x les sommes d argent s 1 (x) et s 2 (x), versées Armelle selon les deux formes d indemnisation proposées. 3. Résoudre l équation 8x = 5x À quoi correspond la solution de cette équation? 4. Sur le repère fourni sur la feuille ANNEXE, représenter graphiquement les deux fonctions suivantes : s 1 : x 8x et s 2 : x 5x a. Utiliser une couleur pour marquer les traits qui permettent de déterminer graphiquement le résultat de la question 3. b. Utiliser une autre couleur pour marquer les traits qui permettent de déterminer graphiquement l indemnisation la plus avantageuse pour Armelle si elle souhaite effectuer 35 heures par mois. Indiquer alors la somme d argent perçue. 6. En s aidant du graphique, indiquer à Armelle l indemnisation la plus avantageuse en fonction du nombre d heures effectuées par mois dans ce musée. Amérique du Nord 9 juin 2007

10 ANNEXE PROBLÈME : PARTIE B 1 Somme d argent perçue S 1 par mois en ) S 2 Partie B 4 À rendre avec la copie Nombre d heures effectuées par mois 20 heures 25 heures Somme en euros Nombre d heures Amérique du Nord 10 juin 2007

11 Diplôme national du brevet juin 2007 Antilles Guyane ACTIVITÉS NUMÉRIQUES Exercice 1 Pour chaque question, il n y a qu une bonne réponse. Barème : 1 point par bonne réponse, 0 autrement. QUESTIONS 1. Une solution de 3x 2 5x+2=0est 1 ( 2. Les solution de x 1 ) (x+2) sont 2 et RÉPONSES A B C et et 2 3. Les solutions de 2x+1<4x 2 sont x < 1 2 x > 3 2 x < Le développement de : (x 1)(x + ( 3) x 1 ) (x+ 1) est 2 x 2 3x+ 9 x x x La factorisation de 25x 2 16 est (5x 4) 2 (5x 4)(5x+4) (5x+ 4) 2 6. La fraction irréductible égale à : est L écriture sous forme scientifique de est , , L écriture sous la forme a 5 de est Exercice 2 Le tableau ci-dessous (source : site national de la Sécurité routière) donne la répartition, par tranche d âges, du nombre des victimes dans des accidents dus à l alcool, en 2005 : Tranches d âges ans Âge inconnu ans ans ans ans et plus Nombre de tués On sait de plus que le nombre total de tués dans des accidents dus à l alcool en 2005 est de Compléter le tableau. 2. Quelle est la tranche d âge la plus touchée? 3. Parmi les victimes d accidents dus à l alcool, calculer le pourcentage de tués de moins de 25 ans. Donner l arrondi à l unité. 4. En 2005, il y a eu en tout tués dans des accidents de la circulation. Quel est le pourcentage de tués dans des accidents dus à l alcool? On donnera l arrondi à l unité.

12 ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES Exercice 1 1. Construire un cercle C de diamètre [EF] tel que LE = 6 cm. Placer un point G sur le cercle tel que la corde [EG] mesure 4,8 cm. 2. Montrer que le triangle EFG est un triangle rectangle. 3. Calculer la distance FG au mm près. 4. Calculer la valeur arrondie au degré de la mesure de l angle EFG. 5. a. Placer un point K sur la demi-droite [EG) tel que EK = 8 cm. Tracer la droite passant par K et parallèle à (EF). Elle coupe la droite (FG) en un point L. b. Calculer la distance LK. Exercice 2 1. Dans un repère orthonormé (O ; I, J) du plan, placer les points A(1 ; 4) et B(3 ; 1) et tracer le triangle OAB. 2. Donner les coordonnées du vecteur AB. 3. Calculer la distance AB arrondie au mm. 4. Construire l image du triangle OAB par la rotation de centre O et d angle 90 dans le sens inverse des aiguilles d une montre. On le nomme OA B. 5. Construire le point C image du point A par la translation de vecteur BO. PROBLÈME On transfère le pétrole contenu dans un réservoir B vers un réservoir A à l aide d une pompe. B A Après démarrage de la pompe, on constate que la hauteur de pétrole dans le réservoir A augmente de 3 cm par minute. Le réservoir A est vide au départ. 1. Remplissage du réservoir A a. Recopier et compléter le tableau suivant : Temps (en min) Hauteur du pétrole dans le réservoir A (en cm) 0 60 b. On appelle x le temps (en minutes) de fonctionnement de la pompe et f (x) la hauteur du pétrole (en cm) dans le réservoir A. Parmi les trois fonctions suivantes, laquelle correspond à la fonction f : x 2x x 3x+ 20 x 3x? Antilles Guyane 12 juin 2007

13 Brevet des collèges A. P. M. E. P. c. Représenter graphiquement la fonction f pour x variant de 0 à 40, sur le graphique ci-dessous. Les unités : en abscisses 2 cm représenteront 5 minutes, en ordonnées 1 cm représentera une hauteur de 10 cm de pétrole dans la cuve. C 200 Échelle cm 0 5 mm 40D d. Déterminer graphiquement le temps nécessaire pour obtenir une hauteur de pétrole de 105 cm dans le réservoir A. On fera apparaître les tracés sur le graphique. 2. Vidage du réservoir B Sur le graphique précédent, le segment [CD] représente la hauteur (en centimètre) de pétrole dans la cuve B en fonction du temps (en minute). Les unités sont les mêmes que dans la première partie : en abscisses 2 cm représenteront 5 minutes, en ordonnées 1 cm représentera une hauteur de 10 cm de pétrole dans la cuve. a. Compléter le tableau ci-dessous en utilisant le graphique précédent Temps (en min) Hauteur du pétrole dans le réservoir B (en cm) Antilles Guyane 13 juin 2007

14 b. On appelle x le temps (en minutes) de fonctionnement de la pompe et g (x) la hauteur du pétrole (en cm) dans le réservoir B. Parmi les trois fonctions suivantes, laquelle correspond à la fonction g : x 4x x 3x+ 20 x 5x+ 200? c. Déterminer par le calcul le temps au bout duquel les hauteurs de pétrole dans les cuves A et B sont égales. d. Expliquer continent on peut retrouver graphiquement ce dernier résultat. Antilles Guyane 14 juin 2007

15 Brevet Asie juin 2007 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES Exercice 1 1. a. Écrire chacun des trois nombres 12, 27 et 75 sous la forme a 3, avec a entier. b. On donne A= ; donner une écriture simplifiée de A. 2. On pose : Exercice 2 B= ; C= ; D= Donner l écriture décimale de ces trois nombres. 1. Déterminer le PGCD des nombres 408 et Écrire 408 sous forme d une fraction irréductible. 578 Exercice 3 On donne E = 9 (2x 1) Développer et réduire E. 2. Factoriser E. 3. Calculer E pour x= Résoudre (2+2x)(4 2x)= 0. ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES Exercice 1 Soit (O, I, J) un repère orthonormé du plan (unité le cm). 1. Sur la copie, dans le repère (O, I, J), placer les points A( 3 ; 1) ; B( 2 ; 3) et C(2 ; 1). 2. Calculer la distance BC. 3. On admet que AB= 5 et AC = 5. Démontrer que le triangle ABC est rectangle. 4. Calculer les coordonnées du milieu M de [AB]. 5. Construire le point N, image de M par la translation de vecteur BC. 6. Calculer les coordonnées du vecteur BC. 7. Calculer les coordonnées du point N. 8. Démontrer que la droite (MN) coupe le segment [AC] en son milieu. Exercice 2 On donne la figure ci-contre dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées. On ne demande pas de refaire la figure. L unité de longueur est le cm. Le triangle MNP est rectangle en P avec MP = 6 et NP = 2. Le triangle MRS est rectangle en S avec MR = 5. M, R et N sont alignés ; M, S et P sont alignés. M R S P N

16 1. Déterminer la valeur de l angle PMN. 2. En déduire la longueur RS. 3. Justifier que les droites (NP) et (RS) sont parallèles. 4. Calculer la distance MS ; l arrondir au mm. PROBLÈME Première partie 1. On considère le tableau de proportionnalité ci-dessous b a a. Calculer b. b. On appelle a le coefficient de proportionnalité. Calculer a. 2. On considère la fonction linéaire f définie par : f : x 3,5x. Sur la feuille de papier millimétré, tracer la droite d représentant la fonction f. On prendra un repère orthonormé ; l origine sera placée en bas et à gauche de la feuille ; sur chaque axe : 1 cm représentera 10 unités. Deuxième partie 1. Dans le repère précédent, placer les points A(20 ; 70) et B(60 ; 90). 2. Déterminer la fonction affine g dont la représentation graphique est la droite (AB). { y = 3,5x 3. a. Résoudre le système y = 0,5x+ 60. b. Que représente le couple (x ; y), solution de ce système, pour les droites d et (AB)? Troisième partie On dispose d un ressort de 60 mm. Quand on lui suspend une masse de 20 g, il s allonge de 10 mm. 1. On admet que l allongement du ressort est toujours proportionnel à la masse accrochée. Démontrer que la longueur totale du ressort pour une masse de 80 g est 100 mm. 2. Soit x la masse suspendue en grammes. Exprimer l allongement du ressort en fonction de x. 3. Exprimer la longueur totale du ressort en fonction de x. 4. Sachant que la masse volumique de l or est 19,5 g/cm 3, calculer la masse d un cube en or de 2 cm d arête. 5. On suspend ce cube à ce ressort. Déterminer la longueur totale du ressort. Retrouver cette longueur sur le graphique. Faire apparaître les pointillés nécessaires. Asie juin 2007

17 Diplôme national du brevet juin 2007 Centres étrangers Calculatrice autorisée 2 heures Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction et de la présentation (4 points) ACTIVITÉS NUMÉRIQUES Exercice 1 1. a. Écrire chacun des trois nombres 12, 27 et 75 sous la forme a 3, avec a entier. b. On donne A= ; donner une écriture simplifiée de A. 2. On pose : B = ; C = ; D = Donner l écriture décimale de ces trois nombres. Exercice 2 : 1. Déterminer le PGCD des nombres 408 et Écrire 408 sous forme d une fraction irréductible. 578 Exercice 3 : On donne E = 9 (2x 1) Développer et réduire E. 2. Factoriser E. 3. Calculer E pour x= Résoudre (2+2x)(4 2x)= 0. Partie II : Activités géométriques Exercice 1 : Soit (O ; I, J) un repère orthonormé du plan (unité le cm). 1. Sur la copie, dans le repère (O ; I, J), placer les points A( 3 ; 1) ; B( 2 ; 3) ; C(2 ; 1). 2. Calculer la distance BC. 3. On admet que AB= 5 et AC = 5. Démontrer que le triangle ABC est rectangle. 4. Calculer les coordonnées du milieu M de [AB]. 5. Construire le point N, image de M par la translation de vecteur BC. 6. Calculer le coordonnées du vecteur BC. 7. Calculer les coordonnées du point N. 8. Démontrer que la droite (MN) coupe le segment [AC] en son milieu.

18 Exercice 2 : On donne la figure ci-dessous dans laquelle les dimensions ne sont pas respectées. On ne demande pas de refaire cette figure. N R M L unité de longueur est le centimètre. Le triangle MNP est rectangle en P avec MP = 6 et NP = 2 3. Le triangle MRS est rectangle en S avec MR = 5. Les points M, R et N sont alignés, les points M, S et P sont alignés. 1. Déterminer une valeur de l angle PMN. 2. En déduire la longueur RS. 3. Justifier que les droites (NP) et (RS) sont parallèles. 4. Calculer la distance MS ; l arrondir au mm. S P Partie III : Problème Première partie : 1. On considère le tableau de proportionnalité ci-dessous : b a a. Calculer b. b. On appelle a le coefficient de proportionnalité. Calculer a. 2. On considère la fonction linéaire f définie par : f : x 3,5x. Sur la feuille de papier millimétré, tracer la droite d représentant la fonction f. On prendra un repère orthonormé ; l origine sera placée en bas et à gauche de la feuille ; sur chaque axe : 1 cm représentera 10 unitées. Deuxième partie : 1. Dans le repère précédent, placer les points A(20 ; 70) et B(60 ; 90). 2. Déterminer la fonction affine g dont la représentation graphique est la droite (AB). { y = 3,5x a. Résoudre le système y = 0,5x+ 60 b. Que représente le couple (x ; y), solution de ce système, pour les droites d et (AB)? Centres étrangers 18 juin 2007

19 Troisième partie : On dispose d un ressort de 60 mm. Quand on lui suspend une masse de 20 g, il s allonge de 10 mm. 1. On admet que l allongement du ressort est toujours proportionnel à la masse accrochée. Démontrer que la longueur totale du ressort pour une masse de 80 g est 100 mm. 2. Soit x la masse suspendue en grammes. Exprimer l allongement du ressort en fonction de x. 3. Exprimer la longueur totale du ressort en fonction de x. 4. Sachant que la masse volumique de l or est 19,5 g/cm 3, calculer la masse d un cube en or de 2 cm d arête. 5. On suspend ce cube à ce ressort. Déterminer la longueur totale du ressort. Retrouver cette longueur sur le graphique. Faire apparaître les pointillés nécessaires. Centres étrangers 19 juin 2007

20 Diplôme national du brevet juin 2007 Centres étrangers Lyon ACTIVITÉS NUMÉRIQUES Exercice 1 1. Donner l écriture scientifique du nombre A : A= 500 ( 10 3) 2 2, a. Calculer le PGCD de 854 et de b. Donner la fraction irréductible égale à Calculer le nombre B et donner le résultat sous la forme a 3 où a est un nombre entier relatif : B= Exercice 2 Pour chaque question, écrire la lettre correspondant à la bonne, réponse. Aucune justification n est demandée. Le candidat obtiendra 1 point par réponse juste, perdra 0,5 point par réponse fausse, n obtiendra pas de point en l absence de réponse. Le score du candidat ne peut pas être négatif Question A B C D Pour x = 2 5, l expression x x + 1 vaut L équation 2x 7 = 5x+8 a pour solution a pour valeur exacte 9 4, La fonction linéaire f telle que f (5)=3 a pour coefficient Exercice 3 { 2x+ 3y = Résoudre le système : 4x+y = On considère un parallélépipède rectangle. Si on prend le double de sa largeur et que l on ajoute le triple de sa longueur, on trouve 27 cm. Si on prend le quadruple de sa largeur et que l on ajoute sa longueur, on trouve 24 cm. Déterminer la largeur et la longueur de ce parallélépipède rectangle. 3. Sachant que le volume du parallélépipède rectangle est 54 cm 3, déterminer sa hauteur.

21 ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES Exercice 1 On considère un repère orthonormé (O ; I, J). L unité de longueur est le centimètre. 1. Placer les points A(3 ; 7), B( 1 ; 2) et C(7 ; 2) 2. Démontrer que le triangle ABC est isocèle de sommet principal A. 3. Suit A le milieu du segment [BC]. Calculer les coordonnées de A. 4. Placer le point D tel que CD = AB. Que peut-on dire dire du quadrilatère ABDC? Justifier la réponse. 5. Montrer que A est le milieu du segment [AD]. Exercice 2 1. Tracer un cercle C de diamètre [BC] tel que BC = 10 cm. Placer un point A appartenant au cercle C tel que AB = 8 cm. 2. Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier la réponse. 3. Calculer la longueur AC. 4. Déterminer une valeur approchée, au degré près de l angle ABC. 5. Placer le point O du segment [BC] tel que BO = 2 cm. Tracer la parallèle à la droite (AC) passant par B qui coupe la droite (AO) en D. Calculer la longueur BD. PROBLÈME La chaîne de télévision France Direct 1 décide d organiser un concours de la meilleure femme Disque Jockey (DJ). Puisque les téléspectateurs vont pouvoir voter pour la meilleure candidate grâce à l envoi de mini- messages (SMS) pour cette grande soirée retransmise en direct, la chaîne a décidé de s associer à trois sociétés de téléphone. Ces dernières proposent un tarif spécial pour ce soir-là : Société Pamplemousse : un forfait de 9 et 0,15 par SMS ; Société Triangle vert : 0,30 par SMS ; Société Brique Mobile : 21 pour un nombre de SMS illimité. 1. Le temps de vote est fixé à 30 minutes. Sachant qu il faut 15 secondes pour écrire un SMS et l envoyer, combien de messages au maximum pourra envoyer un téléspectateur pendant le temps de vote? 2. On suppose qu un téléspectateur envoie 50 SMS pendant le temps de vote. Compléter le tableau suivant : Société Pamplemousse Triangle Vert Brique Mobile Coût, en euros, pour 50 SMS 3. Ou appelle x le sombre de SMS envoyés par un téléspectateur. On note P(x) le coût pour x SMS s il choisit la société Pamplemousse, T (x) le coût pour x SMS s il choisit la société Triangle vert et B(x) le coût pour x SMS s il choisit la société Brique Mobile. Exprimer P(x), T (x) et B(x) en fonction de x. Centres étrangers Lyon 21 juin 2007

22 4. Dans un repère orthogonal, on prend les unités suivantes : sur l axe des abscisses, 1 cm représente 10 SMS ; sur l axe des ordonnées 1 cm représente 3. On placera l origine du repère en bas à gauche de la feuille. Tracer les représentations graphiques des fonctions f, g et h définies, pour tout nombre x, par : f (x)=0,15x+ 9 ; g (x)=0,30x et h(x)= Dans cette partie, on répondra aux différentes questions en utilisant le graphique et en faisant apparaître les tracés nécessaires. a. À partir de combien de SMS, la proposition de la société Brique Mobile devient-elle intéressante? b. Les parents d Arthur lui donnent 15 pour la soirée. Étant un fan de DJ Carmen, Arthur veut envoyer pour elle un maximum de SMS pendant la soirée. Indiquer quelle société il devra choisir et combien de SMS il pourra envoyer. 6. Le vote est terminé, Les trois concurrentes DJ Carmen, DJ Desdémone et DJ Elvira attendent les résultats SMS ont été reçus. DJ Carmen l emporte avec 60 % des voix. Donner une valeur arrondie à l unité du nombre de SMS envoyés par seconde pour DJ Carmen. Centres étrangers Lyon 22 juin 2007

23 Diplôme national du brevet juin 2007 Centres étrangers Nice ACTIVITÉS NUMÉRIQUES Exercice 1 On considère les nombres : A= ; B= ( 10 3) 3 En précisant les différentes étapes du calcul : ; C=( ) écrire A sous la forme d une fraction irréductible. 2. donner l écriture scientifique de B. 3. écrire C sous la forme a+ b 2, a et b étant des nombres entiers. Exercice 2 On donne : D = 9x 2 4+(3x 2)(x 3). 1. Développer et réduire D. 2. Factoriser 9x 2 4 et en déduire la factorisation de D. 3. Résoudre l équation (3x 2)(4x 1) = 0. Exercice 3 1. Déterminer par la méthode de votre choix et en détaillant les différentes étapes le PGCD de 144 et Une association organise une compétition sportive ; 144 filles et 252 garçons se sont inscrits. L association désire répartir les inscrits en équipes mixtes. Le nombre de filles doit être le même dans chaque équipe, le nombre de garçons doit être le même dans chaque équipe. Tous les inscrits doivent être dans une des équipes. a. Quel est le nombre maximum d équipes que cette association peut former? b. Quelle est alors la composition de chaque équipe? ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES Exercice 1 La figure ci-contre n est pas réalisée en vraie grandeur Les points A, E et C sont alignés, ainsi que les points B, E et D. A E D B AE = 7,2 cm ; EC = 5,4 cm ; ED 7,5 = cm et BE = 10 cm. 1. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 2. Sachant que CD = 6,3 cm, calculer AB. C

24 Exercice 2 La figure ci-dessous n est pas réalisée en vraie grandeur. Les points R, P et E sont alignés ainsi que les points A, P et M. R A P M 1. PAR est un triangle rectangle en A ; on donne AR = 2 cm et RP = 4 cm. Calculer AP et l exprimer sous la forme a b, où a et b sont des entiers. 2. Déterminer la mesure de l angle RPA. 3. Expliquer pourquoi les angles RPA et MPE ont la même mesure. 4. PME est un triangle rectangle en M. On donne ME = 3 cm. Calculer PM à 1 près. E Exercice 3 Le plan est muni d un repère orthonormé (O ; I, J), unité 1 cm. ABCD est un carré de centre M (figure ci-dessous). 8 7 B A J 0-7 C O 0 I D Placer le point M. Centres étrangers Nice 24 juin 2007

25 2. Lire et donner les coordonnées des points B et C. 3. Construire le point P tel que MC + MC = MP. 4. Répondre aux questions suivantes sans justifier. a. Quel est le symétrique du triangle ABM par rapport à la droite (AC)? b. Quelle est l image du triangle ABM par la translation de vecteur AD? c. Quelle est l image du triangle ABM par la rotation de centre M d angle 90, qui transforme D en C? d. Donner une transformation dans laquelle le triangle ABM a pour image le triangle CDM. PROBLÈME Au cours d une embauche pour la cueillette des pêches, un ouvrier agricole a le choix entre trois formules de salaire : Formule A : un salaire mensuel de 930, Formule B : une somme mensuelle de 310 à laquelle s ajoutent 40 par tonne de pêches cueillies, Formule C : un salaire basé uniquement sur la cueillette, 80 par tonne de pêches cueillies. 1. Compléter le tableau suivant : Nombre de tonnes de pêches cueillies dans un mois Salaire mensuel en euros avec la formule A Salaire mensuel en euros avec la formule B Salaire mensuel en euros avec la formule C Si l en appelle x la quantité de pêches récoltées en tonnes, exprimer le salaire correspondant à chaque formule. 3. Représenter graphiquement dans un repère orthogonal (on utilisera du papier millimétré) les fonctions définies par On choisira comme unités : f (x)=930 ; g (x)= x ; h(x)=80x. 1 cm pour une tonne sur l axe des abscisses ; 1 cm pour 100 sur l axe des ordonnées. 4. a. Sachant que pour un mois donné, cet ouvrier agricole gagnerait le même salaire avec les formules B et C, lire sur le graphique la quantité de pêches récoltées en tonnes (on laissera apparents les pointillés aidant à la lecture). Donner une valeur approchée du résultat. b. Répondre par le calcul à la question précédente et donner le résultat exact. 5. Par lecture graphique, préciser la formule la plus avantageuse pour l ouvrier s il espère cueillir 13 tonnes dans le mois (on laissera apparents les pointillés aidant à la lecture). Quel serait alors son salaire? Centres étrangers Nice 25 juin 2007