Calcul des intégrales multiples. Abdesselam BOUARICH Université Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences de Beni Mellal

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1 Calcul des intégrales multiples Abdesselam BOUARICH Université Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences de Beni Mellal

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3 Table des matières 1 Intégrales doubles éfinitions et propriétés Construction de l intégrale double Propriétés algébriques de l intégrale double Méthodes de calcul d une intégrale double Théorème de Fibini Changement de variables Formule de Green-Riemann Intégrales doubles généralisées Cas d une fonction positive Cas d une fonction de signe quelconque Intégrales de surfaces Géométrie affine des surfaces classiques de R Surfaces définies par une équation implicite F(x, y, z) = Surfaces paramétriques Surfaces de révolution éfinition et propriétés des intégrales de surfaces Flux d un champ de vecteurs à travers une surface orientable Surfaces orientables dans l espace R Flux d un champ de vecteurs Formule de Stokes Intégrales triples éfinition et propriétés Méthodes de calcul d une intégrale triple Formule de Fubini Changement de variables Théorème d Ostrigradski-Gauss Intégrales triples généralisées

4 4 TABLE ES MATIÈRES

5 Chapitre 1 Intégrales doubles Objectifs : L étude de ce chapitre doit vous permettre de : 1. savoir calculer une intégrale double en utilisant la formule de Fubini; 2. savoir effectuer un changement de variables au sein d une intégrale double; 3. savoir appliquer la formule de Green-Riemann; 4. comprendre que les intégrales doubles généralisées convergent si elles sont absolument convergente.

6 éfinition 2. Les deux nombres réels suivants s appellent respectivement : somme de arboux inférieure et somme de arboux supérieure. 6 CHAPITRE 1. INTÉGRALES OUBLES ans ce chapitre, on se propose d établir des formules avec lesquelles on sera en mesure de calculer l aire d un domaine plan ou le volume d un domaine de l espace R 3 qui est limité par le graphe d une fonction bornée f(x, y). Les formules qu on va établir seront appelées intégrales doubles car, comme on va le voir; elles seront exprimé par deux intégrales simples itérées qui portent la fonction f(x,y) et sur son domaine de définition. 1.1 éfinitions et propriétés Construction de l intégrale double éfinition 1. On appelle domaine élémentaire du plan R 2 toute partie R 2 définie par comme suit, = {(x,y) R 2 /a x b et f 1 (x) y f 2 (x)} où f 1,f 2 : [a,b] R sont deux fonctions continues. Quand, une partie bornée fermée R 2 est réunion finie de domaines élémentaires on l appellera compacte élémentaire. a b Figure 1.1 Compacts élémentaires du plan R 2 Considérons un domaine élémentaire = {(x,y) R 2 /a x b et f 1 (x) y f 2 (x)} et f : R une fonction bornée. On désigne par [c,d] le segment obtenu en projetant le domaine sur l axe Oy. Ensuite, partageons les deux segments [a, b] et [c, d] respectivement en m et n portions, a = x 1 < x 2 < < x m = b et c = y < y 1 < < y n = d. Il est clair que si pour tout couple d indices i m et j n on pose R i,j = [x i,x i+1 ] [y j,y j+1 ] ondéfinitainsi unesubdivisiondudomaineélémentaire quiseradésignée par, Π() = {(x i,y j ) R 2 / i m, j n}. Enfin, notons que puisque la fonction f : R est bornée les deux nombres réels suivants sont donc finis, m i,j = inf{f(x,y)/(x,y) R i,j } et M i,j = sup{f(x,y)/(x,y) R i,j }.

7 1.1. et ÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS 7 S(f,Π()) = (x i+1 x i )(y j+1 y j )M i,j (1.2) R i,j Figure 1.2 olume limité par et le graphe de f(x,y) Maintenant, puisqu on sait que le nombre réel (x i+1 x i )(y j+1 y j )M i,j (resp. (x i+1 x i )(y j+1 y j )M i,j ) mesure le volume du parallèlépipde de base R i,j et de hauteur M i,j (resp. m i,j ); ceci nous permet d interpréter la somme de arboux supérieure S(f,Π()) comme une mesure par excès du volume de la domine R 3 qui est limitée par le domaine élémentaire et le graphe de la fonction bornée f. e même, on peut interpréter la somme de arboux inférieure σ(f, Π()) peut être interpréter comme une mesure par défaut du domaine. éfinition 3. On garde les notations introduites ci-dessus. ans chaque rectangle R i,j de la subdivision Π() on fixe un point ζ i,j R i,j. Le nombre réel, R(f,Π(),ζ i,j ) = i=m 1 i= j=n 1 j= f(ζ i,j )(x i+1 x i )(y j+1 y j ) (1.3) s appelle somme de Riemann associée à la fonction bornée f et à la subdivision Π() munie des points ζ i,j R i,j. On vérifie facilement que les trois sommes définies ci-dessus satisfont aux propriétés suivantes : 1. Pour toute subdivision Π() d un domaine élémentaire [a,b] [c,d] et pour tout choix de points ζ i,j R i,j on a la double inégalité, σ(f,π()) R(f,Π(),ζ i,j ) S(f,Π()). (1.4) 2. La somme inférieure de arboux σ(f,π()) augmente au fur et à mesure que la subdivision Π() devient fine. 3. Tandis que la somme supérieure de arboux S(f,Π()) démunie au fur et à mesure que la subdivision Π() devient fine. éfinition 4. Soit R 3 un domaine élémentaire et f : R une fonction bornée. 1. On dira que la fonction f est intégrable au sens de arboux sur le domaine si ses sommes de arboux inférieure et supérieure sont égales, sup{σ(f,π())/π()} = inf{s(f,π())/π()}. 2. On dira que la fonction f est intégrable au sens de Riemann sur le domaine si la somme de Riemann R(f,Π(),ζ i,j ) admet une limite finie quand x i+1 x i et y j+1 y j tendent vers zéro. 3. Si f : R est intégralble au sens de Riemann ou au sens de arboux on notera les trois limits égales, lim x i+1 x i y j+1 y j R(f,Π(),z i,j ) = sup{σ(f,π())/π()} = inf{s(f,π())/π()} par le symbole f(x,y)dxdy qui se lit intégrale double de la fonction f sur le do-

8 8 CHAPITRE 1. INTÉGRALES OUBLES Théorème 1. Soit R 2 un compact élémentaire. Alors toute fonction continue f : R est intégrable au sens de Riemann. émonstration. Admise. Pour achever ce paragraphe consacré à la construction de l intégrale double d une fonction bornée f : R, notons qu on a les faits suivants : 1. Si on prend f(x,y) = 1 alors par construction de l intégrale double on déduit que l aire du domaine est donnée par, Aire() = dxdy (1.5) 2. L intégrale double f(x,y)dxdy mesure le volume algébrique du domaine R 3 limité par le domaine élémentaire et par le graphe de la fonction bornée f. 3. Si par exemple le domaine élémentaire R 2 désigne une plaque métallique dont la densité de masse (resp. temperature) est donnée en chaque point (x,y) par une fonction bornée f(x, y), alors; interpréter l intégrale double f(x,y)dxdy mesure la masse totale (resp. temperature moyenne) de la plaque métallique Propriétés algébriques de l intégrale double ans ce paragraphe, nous donnerons quelques propriétés de nature algébrique de l intégrale double. Ces propriétés se démontrent facilement à partir des sommes de arboux et de Riemann. Proposition 1. L intégrale double au sens de Riemann d une fonction bornée sur un compact élémentaire vérifie les propriétés suivantes : 1. L intégrale double est linéaire : Soient R 2 un domaine élémentaire et f,g : R deux fonctions intégrales. Alors pour tous réels λ et µ on a, (λf(x,y)+µg(x,y))dxdy = λ f(x,y)dxdy +µ g(x, y)dxdy 2. L intégrale double est additif : Soient 1 et 2 sont deux domaines élémentaires de R 2 dont l intersection 1 2 est vide ou égale à une courbe plane. Alors pour toute fonction intégrable f : 1 2 R on a, f(x,y)dxdy = f(x,y)dxdy + f(x,y)dxdy L intégrale double est croissante : Si pour tout (x,y) mathcal on a f(x,y) alors, f(x,y)dxdy ; Si la fonction f(x,y) est positive sur le domaine alors pour tout sous domaine élémentaire on a, f(x,y)dxdy f(x, y)dxdy. Si f,g : R sont deux fonctions intégrables telles que f(x,y) g(x,y) sur le

9 1.2. MÉTHOES E CALCUL UNE INTÉGRALE OUBLE 9 Proposition 2. Soit un domaine élémentaire et f : R une fonction bornée intégrable. Alors on a l inégalité : f(x,y)dxdy f(x,y) dxdy sup{ f(x,y) /(x,y) }Aire() En particulier, si Aire() = alors on a f(x,y)dxdy =. 1.2 Méthodes de calcul d une intégrale double Cette section sera entièrement consacrée aux méthodes de calcul des intégrales doubles. Pour assurer une bien assimilation des méthodes que nous avons étudier ci-dessous, nous les avons suivi par des exemples de calcul d illustration Théorème de Fibini Théorème 2. Soit R 2 un domaine élémentaire et f : R une fonction continue. Si le domaine est défini par, {(x,y) R 2 /a x b,f 1 (x) y f 2 (x)} = {(x,y) R 2 /c y d,g 1 (y) x g 2 (y)} alors l intégrable double de la fonction f(x,y) est égale à, b f2 (x) f(x,y)dxdy = ( f(x,y)dy)dx = a f 1 (x) d c ( g2 (y) émonstration. Idée de la démonstration : Puisque la fonction f(x, y) est continue son intégrale double g 1 (y) f(x, y)dx)dy f(x,y)dxdy peut être donc approchée par la somme de Riemann associée à une subdivision Π() et un choix de points ζ i,j R i,j : R(f,Π(),z i,j ) = = i=m 1 i= j=n 1 j= i=m 1 j=n 1 i= [ j= f(ζ i,j )(x i+1 x i )(y j+1 y j ) f(ζ i,j )(y j+1 y j )](x i+1 x i ) Intuitivement, si dans un premier temps on fait tendre y j+1 y j vers zéro dans la quantité mise entre crochet tout en laissant x i+1 x i fixe on obtient une intégrale simple de type f(x,y)dy dont les bornes dépendent naturellement de la variable x. Ainsi, si par suite on fait tendre x i+1 x i vers zéro on obtient une intégrale double égale à l itération de deux intégrales simples de la forme, [ f(x, y)dy]dx. Corollaire 1. Sur un rectangle = [a, b] [c, d] l intégrale double d une fonction continue b d d b f(x,y) est donnée par, f(x,y)dxdy = ( f(x,y)dy)dx = ( f(x, y)dx)dy. a c c a b d En particulier, si f(x,y) = F(x)G(y) alors on a f(x,y)dxdy = ( F(x)dx)( G(y)dy). Exemple 1. 1) Calculons l intégrale double (x 2 +y 2 )dxdy où désigne le triangle limité a c

10 Pour calculer l aire du domaine nous allons appliquer la formule de Fubini à l intégrale double, 1 CHAPITRE 1. INTÉGRALES OUBLES 1 x x x 1 Figure 1.3 Triangle Pour calculer l intégrale double donnée nous allons appliquer la formule de Fubini. Pour cela nous allons définir le triangle analytiquement par les inégalités (voir figure) : = {(x,y) R 2 / x 1,x 1 y 1 x} (x 2 +y 2 )dxdy = = = ( 1 x x 1 (x 2 +y 2 )dy)dx [x 2 y + y3 3 ]1 x x 1 dx (2x 2 2x (1 x)3 1 3 (1 x)3 )dx = [ 2 3 x3 1 2 x (1 x) (1 x)4 ] 1 = 1 3 2) Calculons l aire du domaine circulaire limité par les deux cercles d équations analytiques (voir figure) : x 2 +y 2 = R 2 et (x R) 2 +y 2 = R 2. Figure 1.4 Intersection de deux disques

11 1.2. MÉTHOES E CALCUL UNE INTÉGRALE OUBLE 11 Observons que si on définit le domaine d intégration en fonction des coordonnées cartésiennes x et y par les inégalités, 3R 3R = {(x,y) R 2 / y et R R y 2 x R 2 y 2 } alors grâce à la formule de Fubini on peut écrire, Aire() = = 3R/2 3R/2 dxdy = 3R/2 3R/2 (2 R 2 y 2 R)dy. R 2 y 2 dy dx R R 2 y 2 Pour calculer l intégrale simple précédente nous allons effectuer le changement de variable y = Rsin(t) avec t [ π/3,π/3] : Aire() = π/3 π/3 = R 2 π/3 (2R cos(t) R)R cos(t)dt π/3 = R 2 [2 π ]. (1+cos(2t) cos(t))dt = R 2 [t+ 1 2 sin(2t) sin(t)]π/3 π/3 Exercice 1. Soit R 2 une partie bornée fermée non vide et f : R une fonction intégrable. Indiquer les bornes d intégration de l intégrale double, f(x,y)dxdy, dans les cas suivants : ı) 1 = {(x,y) R 2 /x a,y b,x+y 1+a+b}; ıı) 2 = {(x,y) R 2 /x 2 +y 2 ax,x 2 +y 2 ay}; ııı) 3 = {(x,y) R 2 /y x 2,1 x 2 y}. Exercice 2. écrire géométriquement le domaine d intégration des intégrales doubles données ci-dessous, ensuite, changer l ordre de leurs bornes d intégration x 2 dx f(x,y)dy, a a dx x+a x+a f(x,y)dy, 1 dy y y 2 f(x,y)dx, 2 1 dy y+2 y 2 f(x,y)dx Exercice 3. Calculer l aire du domaine plan limité par les courbes données : a) y = 4x x 2,y = x. b) y 2 = 2x,x 2 = 6y. c) y = x 3 2x,y6x x 3. Exercice 4. Calculer les intégrales doubles suivantes : a) dxdy où = {(x,y) R 2 /ax 2 y bx 2, c x y d } avec < a < b et < c < d. x b) dxdy où = {(x,y) R 2 /x 2 +y 2 1,x 2 +y 2 2y,x,y }. c) x 2 y 2 dxdy où est le tringle de sommets O = (,),A = (1,1) et B = (1, 1).

12 12 CHAPITRE 1. INTÉGRALES OUBLES Changement de variables ans ce paragraphe, étant donné un compact élémentaire et une fonction continue f : R; on se propose d étudier l influence du changement de variables dans la définition géométrique du domaine sur l expression de l intégrale double f(x, y)dxdy. Théorème 3 (Formule du changement de variables). Soient et deux domaines élémentaires du plan R 2. Soit T : une application bijective de classe C 1 dont les composantes sont désignées par (x(u,v),y(u,v)) = T(u,v). Si le déterminant de la matrice jacobienne de l application T(u,v) = (x(u,v),y(u,v)) est non nul sur le domaine alors pour toute fonction continue, f : R, on a la formule suivante dite de changement de variables : f(x,y)dxdy = f(x(u,v),y(u,v)) (x,y) (u,v) dudv (1.6) où (x,y) (u,v) = x y u v x y désigne le déterminant de la matrice jacobienne de l application v u différentiable T(u, v) = (x, y). émonstration. ans cette démonstration, pour guider notre imagination nous travaillerons avec la figure suivante : Figure 1.5 Changement de variables Pour calculer l intégrale double f(x,y)dxdy nous allons subdiviser le domaine en utilisant la famille des courbes C i = T(u i,v) et C j = T(u,v j) (oir la figure), et puis; nous allons considérer la somme de Riemann associée à la fonction f et aux données ci-dessus : i=m 1 i= j=n 1 j= f(ζ i,j )Aire(T(R i,j )) où R i,j = [u i,u i+1 ] [v j,v j+1 ]. Rappelons que la somme de Riemann tend vers l intégrale double de la fonction f(x,y) sur. Notons que puisque l application T : est bijective donc on peut trouver des points η i,j tels que T(η i,j ) = ζ i,j. autre part, observons que si on approche l aire du domaine T(R i,j ) par la norme du produit vectoriel T u (u i,v j ) T v (u i,v j ), ı j k x u (u y i,v j ) u (u i,v j ) = x x v (u y u (u i,v j ) y v (u i,v j ) x v (u i,v j ) y u (u i,v j ) = (x,y) (u,v) (u i,v j ) i,v j ) v (u i,v j ) on peut alors approcher la somme de Riemann précédente de la fonction f par l expression suivante, i=m 1 i= j=n 1 j= f T(η i,j ) (x,y) (u,v) (u i,v j ) (u i+1 u i )(v j+1 v j ). Ainsi, si on fait tendre les u i+1 u i et v j+1 v j vers zéro on la formule du changement de

13 1.2. MÉTHOES E CALCUL UNE INTÉGRALE OUBLE 13 Corollaire 2. Si T(r,θ) = (rcos(θ),rsin(θ)) réalise un changement de variables de sur, alors, pour toute fonction continue f : on a la formule de changement de variables en coordonnées polaires : f(x,y)dxdy = f(rcos(θ),rsin(θ))rdrdθ (1.7) Exemple 2. 1) Calculons l intégrale double (1 x 2 y 2 )dxdy où désigne le domaine limité par le quart du cercle de ration r = 1 centré en (,) et les demies droites x et y en passant en coordonnées polaires : x = rcos(θ) et y = rsin(θ). Notons qu en coordonnées polaires la fonction f(x,y) prend la forme 1 r 2 tandis que le domaine d intégration devient = {(r,θ)/ r 1, θ π 2. Ainsi, avec ces notations on applique la formule du changement de variables à l intégrale double donnée on obtient : (1 x 2 y 2 )dxdy = (1 r 2 )rdrdθ 2) Calculons l intégrale double = = π/2 π/2 = π 8. ( 1 (1 r 2 )rdr)dθ [ r2 2 r4 4 ]1 dθ x 2 +y 2 dxdy où = {(x,y) R 2 /r 2 x 2 + y 2 R 2 }. En passant en coordonnées polaires x = ρcos(θ) et y = ρsin(θ) on obtient : 2π R x 2 +y 2 dxdy = ( ρ 2 dr)dθ = 2π( R3 r 3 ) 3 Exercice 5. Calculer les intégrales doubles suivantes en utilisant un changement de variables. a) (x 2 +y 2 )dxdy où = {(x,y) R 2 /x 2 +y 2 x}. b) dxdy où est le domaine limité par la lemniscate de Bernoulli : ( x2 a 2 + y2 b 2)2 = x2 k 2 y2 h 2. r c) d) Figure 1.6 Lemniscate de Bernoulli : (x 2 +y 2 ) 2 = x 2 y 2 y a 2 +x 2dxdy où = {(x,y) R2 /x 2 +y 2 a 2,x,y }. cos( x y )dxdy où = {(x,y) R 2 /x + y 1,x,y 1} (Indication : poser

14 14 CHAPITRE 1. INTÉGRALES OUBLES Formule de Green-Riemann ans ce paragraphe, nous allons démontrer la formule de Green-Riemann qui relie les intégrales double sur un domaine à une intégrales curviligne d une forme différentielle de degré un le long du bord orienté du domaine. Avant qu on démontre la formule de Green-Riemann nous allons d abord préciser le sens géométrique de l adjectif : orienté. éfinition 5. Un domaine plan ( ou surface plane) R 2 est dit orienté positivement s il reste du côté gauche d un promeneur P qui se déplace dans le sens trigonométrique le long du bord (frontière) du domaine (oir figure). x y 1 y x y 2 x Figure 1.7 omaines de R 2 orientés positivement Notons que si en particulier la frontière d un domaine est constituée que par une seule composante alors pour orienter positivement il suffit qu on parcourt sa frontière dans le sens trigonométrique. Théorème 4. Soit R 2 un domaine élémentaire dont le bord est orienté positivement. Si ω = P(x,y)dx+Q(x,y)dy est une forme différentielle définie sur le domaine et de classe C 1 alors on a la formule de Green-Riemann : (P(x,y)dx+Q(x,y)dy) = ( Q x P (x,y) (x,y))dxdy (1.8) y émonstration. Supposons que le domaine élémentaire est défini par les inégalités suivantes, = {(x,y) R 2 /a x b,f 1 (x) y f 2 (x)} = {(x,y) R 2 /c y d,g 1 (y) x g 2 (y)} et parcourant sa frontière dans le sens trigonométrique pour l orienter positivement (oir la figure). Sous les hypothèses précédentes calculons l intégrale double En effet, si on applique la formule de Fubini on peut écrire : Q x (x,y)dxdy = d c g2 (y) Q ( g 1 (y) x (x,y))dx)dy Q x (x,y)dxdy.

15 x y 1.2. MÉTHOES E CALCUL UNE INTÉGRALE OUBLE 15 B y x A Figure 1.8 Orientation positive du domaine élémentaire d = Q(g 2 (y),y)dy (Q(g 1 (y),y)dy c c = Q(x,y)dy + Q(x,y)dy = Q(x,y).dy C 2 C 1 emêmelamêmefaçon,sionappliquelaformuledefubiniàl intégraledouble P on vérifie aisément qu on a, y (x,y)dxdy = P(x, y)dx. d P y (x,y)dxdy La formule de Green-Riemann s obtient finalement par soustraction des deux intégrales doubles précédentes, (P(x,y)dx+Q(x,y)dy) = ( Q P (x,y) x y (x,y))dxdy. Corollaire 3. Si ω = P(x,y)dx + Q(x,y)dy désigne une forme différentielle de classe C 1 et fermée sur le domaine élémentaire alors son intégrale curviligne ω =. Corollaire 4. L aire d un compact élémentaire R 2 est donnée par la formule, Aire() = 1 (xdy ydx). (1.9) 2 émonstration. Il suffit qu on applique la formule de Green-Riemann à la forme différentielle ω = 1 (xdy ydx) sur le domaine orienté positivement. 2 Exemple 3. 1) Appliquons la formule de Green-Riemann pour calculer l intégrale curviligne de la forme différentielle suivante, ω = P(x,y)dx+Q(x,y)dy = Log( 2+y x(3y +7) 1+x2)dx+ dy 2+y le long du cercle de rayon R = 1 centré au point (,) orienté positivement.

16 c) C est la lemniscate de Bernoulli d équation : ( x2 + y2 ) 2 = x2 y2. 16 CHAPITRE 1. INTÉGRALES OUBLES nous permet d écrire, ω = = = ( Q x P y )dxdy 3y +7 ( y +2 1 y +2 )dxdy 3dxdy = 3Aire() = 3π 2) Calculons l aire du domaine limité par le folium C de escate qui est défini par le système paramétrique, (x(t),y(t)) = ( 1 t2 1+t 2,t1 t2 1+t2) où t 1 Observons que les équations paramétriques de la courbe C impliquent qu on a y = tx = ω = 1 2 (xdy ydx) = 1 2 (x(tdx+xdt) txdx) = 1 2 x2 dt Aire() = 1 2 = 1 2 C 1 (xdy ydx) 1(x(t)) 2 dt = ( 1 t2 1+t 2)2 dt. Maintenant, si dans l intégrale simple précédente on effectue le changement de variable, tg(θ) = t, on obtient : Aire() = 1 2 π/4 π (1 tg(θ) 2 ) 2 1+tg(θ) 2 dθ = 2 π 2. Exercice 6. Calculer les intégrales suivantes en utilisant la formule de Green-Riemann. a) (2x 3 y 3 )dx+(x 3 +y 3 )dy où C désigne le cercle d équation, x 2 +y 2 = 2x. C b) x 2 +y 2 dx+y(x+log(x+ x 2 +y 2 ))dy où C désigne l ellipse d équation, x2 + y2 = 1. a 2 b 2 C Exercice 7. Calculer l aire du domaine limité par la courbe C définie ci-dessus. a) C est l ellipse : x2 a 2 + y2 b 2 = 1. b) C est l hypocycloïde d équation x 2/3 +y 2/3 = a 2/3 (oir la figure). Figure 1.9 L hypocycloïde : x = 2cos(t)+cos(2t),y = 2sin(t) sin(2t),t [,2π].

17 1.3. INTÉGRALES OUBLES GÉNÉRALISÉES Figure 1.1 Lemniscate de Bernoulli : r 2 = a 2 cos(2θ),θ [,2π] 1.3 Intégrales doubles généralisées ans cette section, nous allons étendre la définition de l intégrale double aux deux cas suivants : 1) R 2 est un domaine borné et f : R est continue mais non bornée. 2) R 2 est un domaine non borné et f : R est continue et bornée Cas d une fonction positive éfinition 6. Soit R 2 un ouvert non vide et f : R + une fonction positive. On dira que f est localement intégrable si pour tout compact élémentaire K l intégrale double f(x,y)dxdy est un nombre réel fini. K Puisque on sait que les fonctions continues sont intégrables au sens de Riemann sur les compacts élémentaires du plan R 2 elles sont donc localement intégrables au-dessus de tous les ouvert de R 2. éfinition 7. Soit R 2 un ouvert non vide et f : R + une fonction positive localement intégrable. S il existe une famille croissante de compacts élémentaires K n K n+1 telle que, 1. = n K n, 2. lim f(x,y)dxdy existe dans R, n + K n on dira que l intégrale double généralisée Une intégrale double généralisée non convergente est dite divergente. f(x,y)dxdy := lim f(x,y)dxdy converge. n + K n Théorème 5. Soit R 2 un ouvert vide et f : R + une fonction positive localement intégrable. La nature de l intégrale généralisée f(x,y)dxdy ne dépend pas du choix de la famille croissante de compacts élémentaires K n K n+1 telle que = n K n. émonstration. Admise.

18 1 x 1 18 CHAPITRE L intégrale double généralisée f(x, y)dxdy converge. INTÉGRALES OUBLES 2. Il existe une suite croissante de compactes élémentaires K n K n+1 dont la réunion K n = telle que la suite numérique f(x,y)dxdy soit majorée. K n n émonstration. 1) implique 2) Est vraie parce que toute suite numérique convergente est bornée. 2) implique 1) En effet, puisque la fonction est positive f(x,y) donc si on l intègre sur les compacts élémentaires K n+1 = K n (K n+1 K n ) on obtient les inégalités : u n+1 = f(x,y)dxdy = K n+1 f(x,y)dxdy + K n f(x,y)dxdy u n + K n+1 K n qui montrent que la suite numérique u n = f(x,y)dxdy est croissante. Ainsi, comme on K n sait que la suite u n est majorée dans R elle est donc convergete. Théorème 6 (Critère de comparaison). Soit R 2 un ouvert non vide; et soient f,g : R + deux fonctions positives et localement intégrables telles que f(x,y) g(x,y), (x,y). Alors on a les propositions : 1. Si l intégrale généralisée g(x, y)dxdy converge alors l intégrale généralisée f(x,y)dxdy converge. 2. Si l intégrale généralisée f(x, y)dxdy diverge alors l intégrale généralisée f(x,y)dxdy diverge. Exemple 4. 1) Montrons que l intégrale double généralisée, dxdy x+y2, converge sur le domaine = {(x,y)/ x 1,y 2 x}. K n 1 n 1 Figure 1.11 Suite croissante de compacts élémentaires de Considérons la suite de compacts K n = {(x,y)/ y 1, 1 n y2 x} et intégrons la fonction f(x,y) = 1 x+y 2 sur les K n en appliquant la formule de Fubini :

19 1.3. INTÉGRALES OUBLES GÉNÉRALISÉES 19 Ainsi, si maintenant on fait tendre l entier n vers + dans la suite numérique u n on déduit dxdy que l intégrale double généralisée x+y 2 converge vers π 2. dxdy 2) Etudions la nature de convergence de l intégrale double généralisée R 2 (1+x 2 +y 2 ) α selon les valeurs du nombre réel α. Notons que si on considère la suite des disques n = {(x,y)/x 2 +y 2 n 2 } on obtient après passage en coordonnées polaires que : u n = n dxdy (1+x 2 +y 2 ) α = 2π n 2 = π n ( rdr (1+r 2 ) α)dθ dt (1+t) α = π α+1 ( 1 (1+n 2 ) α 1 1), si α 1 Log(n 2 +1), si α = 1 Ainsi, si on passe à la limite sur l entier n dans la suite numérique u n on déduit alors que dxdy l intégrale double généralisée (1+x 2 +y 2 converge si et seulement si le réel α > 1. ) α R 2 3) émontrons que l intégrale simple généralisée I = calculons sa valeur exacte. + e t2 dt est convergente. Ensuite, a) L intégrale généralisée simple I = avons les inégalités : 1 < t < t 2 = e t2 < e t = + 1 e t2 dt e t2 dt converge parce que pour tout réel t > 1 nous e t = lim n + b) Pour calculer la valeur exacte de l intégrale double généralisée I = étudier l intégrale double généralisée K = dxdy. n 1 x2 y2 e R + R + e t dt = lim n + ( e n +e 1 ) = e 1 + e t2 dt nous allons En effet, si on considère la suite de compacts K n = { ( x,y)/x,y,x 2 +y 2 n 2 } on obtient à passage en coordonnées polaires, x2 y2 e K n dxdy = π/2 ( n re r2 dr)dθ = π 4 (1 e n2 ) = e x2 y2dxdy = π R + R + 4 autre part, si on considère le suite des compacts L n = [,n] [,n] on obtient la suite numérique : u n = x2 y2 e K n dxdy = n ( n e x2 e y2 dx)dy = ( n e x2 dx) 2 dont la limite est égale à, π + 2 π

20 2 CHAPITRE 1. INTÉGRALES OUBLES Cas d une fonction de signe quelconque éfinition 8. Soit R 2 un ouvert non vide et f : R une fonction dont la valeur absolue f(x, y) est localement intégrable. Si l intégrale généralisée f(x,y) dxdy converge on dira que l intégrale double généralisée f(x, y)dxdy convergente absolument. Proposition 4. Soit R 2 un ouvert non vide et f : R une fonction localement intégrable. Alors les propositions suivantes sont équivalentes : 1. L intégrale double généralisée f(x, y)dxdy converge. 2. Il existe une suite croissante de compactes élémentaires K n K n+1 dont la réunion K n = telle que la suite numérique f(x,y) dxdy soit bornée (majorée). K n n Autrement dit, l intégrale double généralisée d une fonction fonction localement intégrable de signe quelconque converge si et seulement si elle converge absolument. sin(x+y)dxdy Exemple 5. 1) Montrons que l intégrale double généralisée R 2 (1+x 2 +y 2 est absolument convergente. ) 2 sin(x+y) En effet, puisque nous avons (1+x 2 +y 2 ) 2 1 (1+x 2 +y 2 ) 2, et puisqu on sait que l intégrale double généralisée dxdy R 2 (1+x 2 +y 2 est convergente (voir l exemple précédent) on en ) 2 sin(x+y)dxdy déduit donc que l intégrale généralisée R 2 (1+x 2 +y 2 converge absolument. ) 2 2) Montrons que l intégrale généralisée sin(x 2 +y 2 )dxdy est divergente. R 2 En effet, si on intègre la fonction sin(x 2 +y 2 ) sur la suite de compacts R n = [ n,n] [ n,n] on obtient la suite numérique, n n n 2 u n = sin(x 2 +y 2 )dxdy = 2( sin(x 2 )dx)( cos(y 2 sin(t) n 2 cos(t) )dy) = 2 dt) dt), R n n n t t qui, d après le théorème d Abel (voir Cours M122), converge vers un réel fini. Par contre, si on intègre la fonction sin(x 2 +y 2 ) sur la suite de disques n de centre (,) et de rayon r = n on obtient ainsi une suite de nombres qui diverge : 2π n v n = sin(x 2 +y 2 )dxdy = ( sin(r 2 )rdr)dθ = π(1 cos(n 2 )) n Exercice 8. Trouver la nature des intégrales doubles généralisées suivantes : a) Log( x 2 +y 2 )dxdy avec = {(x,y) R 2 /x 2 +y 2 1}. 1 b) (x 2 +y 2 ) adxdy avec = {(x,y) R2 /x 2 +y 2 1} et a >. 1 c) x α +y 2dxdy avec = {(x,y) R2 / x 1, y 2 x}. Exercice 9. Montrer que l intégrale double généralisée sin(x 2 +y 2 x2 y2 )e dxdy est R + R +

21 Chapitre 2 Intégrales de surfaces Objectifs : L étude de ce chapitre doit vous permettre de : 1. vous familiariser avec la géométrie affine des surfaces classiques de l espace R 3 ; 2. savoir calculer le plan tangent et déterminer la droite normale d une surface; 3. savoir calculer l élément d aire d une surface donnée soit par equation implicite ou paramétrique; 4. savoir calculer l intégrale de surface et le flux d champ de vecteurs à travers une surface orientée; 5. savoir appliquer la formule de Stokes.

22 22 CHAPITRE 2. INTÉGRALES E SURFACES 2.1 Géométrie affine des surfaces classiques de R Surfaces définies par une équation implicite F(x, y, z) = éfinition 9. Soit F : R 3 R une fonction de classe C k, k Le sous-ensemble Σ(F) = {(x,y,z) R 3 /F(x,y,z) = } s appelle surface de classe C k définie par l équation implicite F(x,y,z) =. 2. On dira que le point (a,b,c) Σ(F) est régulier si le vecteur gradient gradf(a,b,c). Un point (a,b,c) Σ(F) non régulier (i.e. gradf(a,b,c) = ) est dit singulier. Quand la surface Σ(F) ne possède aucun point singulier on dira qu elle est régulière. 3. En un point régulier M = (a,b,c) Σ(F) on définit le plan tangent à Σ(F) par l équation affine, (x a) F x (a,b,c)+(y b) F y (a,b,c)+(z c) F(a,b,c) =. (2.1) z L ensemble des solutions de cette équation forme un sous-espace vectoriel de dimension deux; il se note par T M Σ(F). 4. En un point régulier M = (a,b,c) Σ(F) on définit le vecteur normal unitaire au plan tangent T M Σ(F) par l expression, n M = gradf(a,b,c) // gradf(a,b,c) //. (2.2) Exemple 6. Montrons que le sous-ensemble Σ = {(x,y,z) R 3 /z(x 2 +y 2 +xy+1) = x+y} est une surface de classe C régulière et calculons son plans tangent au point O = (,,). 1) Suppose qu au point M = (x,y,z) Σ on un vecteur gradient gradf(x,y,z) =. Avec cette hypothèse on déduit que l équation, F z = x2 + y 2 + xy + 1 =, possède au-moins une solution réel malgré que le discriminant du trinôme x 2 + y 2 + xy +1 d indéterminé x égal à x = 3y 3 4 <. onc la surface Σ n a pas de points singuliers. 2) Le plan tangent affine à Σ au point O = (,,) a pour équation, x F x (,,) +y F y (,,) +z F(,,) = = x y +z =. z Notons que le vecteur unitaire normal au plan tangent T O Σ est égal à, n O = ( 1, 1 1, ) ) ans cet exemple, on se propose de chercher tous les points singuliers de la surface de classe C définie par, Σ = {(x,y,z) R 3 /(x 2 +y 2 )z = z 2 2x 2y 3}. a) Supposons que le point (x,y,z) Σ est singulier. onc, (x,y,z) par définition solution du système d équations : 2xz +2 = 2yz +2 = x 2 +y 2 2z = 1 z 3 = = yz +1 = xz +1 = = (x,y,z) = ( 1, 1,1) Σ

23 2.1. GÉOMÉTRIE AFFINE ES SURFACES CLASSIQUES E R3 23 b) Au point A = (1, 1, 1) Σ donnons l expression du plan tangent et déterminons les coordonnées du vecteur unitairte normal à Σ. Puisque le point A ( 1, 1,1) il est donc régulier. Le plan affine tangent de la surface Σ au point A = (1, 1, 1) Σ a pour expression : (x 1) F x (1, 1, 1)+(y +1) F y (1, 1, 1)+(z +1) F(1, 1, 1) = = y +z +2 = z Le vecteur unitaire normal à Σ au point A = (1, 1, 1) est égal à, n A = (, Surfaces paramétriques 2 2 8, 8 ). éfinition 1. Soit U R 2 un ouvert non vide et F : U R 3 une application de classe C k,k Le sous-ensemble Σ(ϕ) = {ϕ(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) R 3 /(u,v) U} s appelle surface paramétrique de classe C k. 2. Si au point M = ϕ(u,v ) = (a,b,c) Σ(ϕ) lafamille des vecteurs { ϕ u (u,v ), ϕ v (u,v )} est libre on dira que M = (a,b,c) est un point régulier sur Σ. Un point ϕ(u,v ) = (a,b,c) Σ(ϕ) non régulier (i.e. ϕ u (u,v ) ϕ v (u,v ) = ) sera dit singulier. 3. On définit le plan tangent affine de la surface paramétrique Σ(ϕ) en un point régulier M = ϕ(u,v ) = (a,b,c) Σ(ϕ) par l équation analytique : x a y b z c x(u,v ) y(u,v ) z(u,v ) et on le note par T M Σ(ϕ). u x(u,v ) v u y(u,v ) v u z(u,v ) v = (2.3) 4. Un vecteur normal à Σ(ϕ) au point régulier M = ϕ(u,v ) est donné par le produit vectoriel N M = ϕ(u,v ) ϕ(u,v ). u v Exemple 7. 1) Montrons que la surface Σ définie par la paramétrisation, ϕ(u,v) = ((7+5cos(u))cos(v),(7+5cos(u))sin(v),5sin(u)) pour u,v 2π est régulière. En effet, pour tout couple (u,v) [,2π] [,2π] le produit vectoriel, ϕ(u, v) u ϕ(u,v) v = ı j k 5 sin(u) cos(v) 5 sin(u) sin(v) 5 cos(u) (7+5cos(u))sin(v) (7+5cos(u))cos(v) = 5(7+5cos(u))[cos(u)cos(v) ı+cos(u)sin(v) j sin(u) k] est non nul car sa norme est égale à 5(7+5cos(u)) 1 >. 2) a) Cherchons les points singuliers de la surface Σ définie par la paramétrisation,