Pourquoi les arbres? Conception de structures de données. Représentation graphique d un arbre binaire. Définition des arbres BINAIRES.

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Louis Sauvé
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1 Pourquoi les arbres? Conception de structures de données Cours 6 Arbres binaires 22 avril 201 Structure de données omniprésente en Informatique : structure naturelle : arbre de décision, tournoi, généalogie, arborescence des répertoires, expressions arithmétiques,... en algorithmique du texte (Huffamn, prefix-trees) : compression, recherche de motifs, détection de répétitions,... en géométrie algorithmique (quadtrees, octrees, KD-trees, arbres rouge-noir,...) ; en linguistique et en compilation (arbres syntaxiques) ; pour la gestion du cache, les bases de données, les systèmes de fichiers,... (B-trees,). Struct 1/0 Définition des arbres BINAIRES Struct 2/0 Représentation graphique d un arbre binaire Un arbre binaire est une structure permettant de stocker une collection de données de même type. Définition récursive : un arbre binaire est : soit vide, soit un noeud contenant une donnée et ayant 2 fils (gauche et droit) qui sont eux-mêmes des arbres binaires. L espace mémoire utilisé par un arbre n est pas contigu. La taille d un arbre est inconnue à priori ; Un arbre binaire est constitué de noeuds qui sont liés entre eux par des pointeurs. On ne peut accéder directement qu au 1er élément (la racine) de l arbre. Pour accéder à un élément quelconque d un arbre, il faut descendre dans l arbre jusqu à cet élément !!! Un arbre n est PAS une structure LINÉAIRE!!! Struct /0 Struct /0

2 Type abstrait : BTree typedef... BTree; BTree makeemptybtree(void); // renvoie un arbre vide Arbres binaires récursifs int isemptybtree(btree bt); // teste si l arbre est vide BTree makenode(element e, Btree l, Btree r); // renvoie un arbre de racine e ayant l et r pour fils gauche et droit Element root(btree bt); // renvoie l élément à la racine de l arbre BTree leftchild(btree bt); // renvoie le fils gauche de l arbre BTree rightchild(btree bt); // renvoie le fils droit de l arbre BTree makeleaf(element e); // renvoie une feuille contenant l élément e int isleaf(btree bt); // teste si bt est une feuille void freenode(btree bt); // libère l espace occupé par la racine de bt Struct 5/0 Écrire une fonction récursive sur les arbres. Struct 6/0 Exemples Fonction récursive fonctionrec sur une arbre (bt) : Cas de base : isemptybtree(bt) /* arbre vide */ isleaf(bt) /* arbre réduit à une feuille */ Cas général (récursif) : résoudre le problème sur des arbres plus petits (les sous-arbres gauche et droit) et combiner les solutions. fonctionrec(leftchild(bt)) fonctionrec(rightchild(bt)) /* combiner les deux (éventuellement avec la racine)*/ Calculer la taille (nombre de noeuds) de l arbre ; Libérer l espace mémoire occupé par l arbre ; Afficher l arbre ; Renvoyer la liste des feuilles de l arbre ; Calculer la hauteur, la somme des éléments, la longueur de cheminement, le nombre de Strahler... Compter le nombre de noeuds (ou de feuilles) à hauteur k, Tester l égalité, l isomorphisme, l inclusion de 2 arbres,... Fabriquer une copie ou le miroir d un arbre,... Chercher un élément quelconque, le min (ou max), le premier ancêtre commun de 2 noeuds,... Struct /0 Struct /0

3 Les fonctions size et freebtree La fonction printbtree int size(btree bt){ if(isemptybtree(bt)) return 0; else return 1+size(leftChild(bt))+size(rightChild(bt)); void freebtreerec(btree bt){ /* fonction récursive */ if(!isemptybtree(bt)){ BTree l=leftchild(bt); /* liens vers les fils */ BTree r=rightchild(bt); freenode(bt); /* libérer le noeud */ freebtreerec(l); /* libérer les fils récursivement */ freebtreerec(r); /* fonction non récursive */ void freebtree(btree *bt){ freebtreerec(*bt); *bt= NULL; Struct /0 La fonction listofleaves /* concaténation de 2 listes */ Rlist append(rlist l1, Rlist l2){... Rlist listofleaves(btree bt){ if( isemptybtree(bt) ) return newemptyrlist(); else if( isleaf(bt) ) return cons( root(bt), newemptyrlist() ); else{ Rlist ll=listofleaves( leftchild(bt) ); Rlist lr=listofleaves( rightchild(bt) ); return append( ll, lr ); void shift(int n){ int i; for(i = 0;i < n;i++) printf("\t"); void printbtree(btree bt, int level){ if (!isemptybtree(bt) ) { printbtree( rightchild(bt), level+1 ); shift(level); printf("%d\n", root(bt)); printbtree( leftchild(bt), level+1 ); Struct /0 Parcourir un arbre en profondeur La structure d arbre n impose pas un ordre total sur les éléments, or on voudrait avoir un ordre sur ces éléments. Pour cela, on fixe une méthode de parcours de l arbre qui trie les éléments par orde de visite Struct /0 Struct 12/0

4 Parcours préfixe (la racine en 1er) Parcours infixe (la racine au milieu) Struct 1/0 Parcours postfixe (la racine en dernier) Struct 1/0 Les fonctions de parcours void printprefixorder(btree bt){ if(!isemptybtree(bt)){ printf("%d ",root(bt)); printprefixorder(leftchild(bt)); printprefixorder(rightchild(bt)); Struct 15/0 void printinfixorder(btree bt){ if(!isemptybtree(bt)){ printinfixorder(leftchild(bt)); printf("%d ",root(bt)); printinfixorder(rightchild(bt)); void printpostfixorder(btree bt){... Et une version itérative? Et le parcours en largeur? Struct 16/0

5 Définition d un arbre binaire en C arbre vide: arbre contenant éléments Arbres binaires en C Struct 1/0 Définition d un arbre binaire en C (suite) Struct 1/0 Définition d un arbre binaire en C (suite) typedef int Element; typedef struct node{ Element elem; struct node *left; struct node *right; Node; typedef Node *BTree; BTree makeemptybtree(void){ return (BTree)NULL; int isemptybtree(btree bt){ return (bt==null); BTree makenode(element e, BTree l, BTree r){ BTree new; if ((new=(btree)malloc(sizeof(node)))==null) erreur("allocation ratée!"); new->elem=e; new->left=l; new->right=r; return new; BTree makeleaf(element e){ return makenode(e,makeemptybtree(),makeemptybtree()); Element root(btree bt){ if(isemptybtree(bt)) erreur("pas de noeud à la racine!"); return bt->elem; Struct 1/0 Struct 20/0

6 Définition d un arbre binaire en C (suite) BTree leftchild(btree bt){ if(isemptybtree(bt)) erreur("pas de fils gauche!"); return bt->left; BTree rightchild(btree bt){ if(isemptybtree(bt)) erreur("pas de fils droit!"); return bt->right; Arbres binaires modifiables int isleaf(btree bt){ return!isemptybtree(bt) && isemptybtree(leftchild(bt)) && isemptybtree(rightchild(bt)); void freenode(node *c){ free(c); Struct 21/0 Quelques fonctions de modification Struct 22/0 Quelques fonctions de modification Fonctions bas niveau pour insérer ou supprimer des éléments dans un arbre : void insertright(node *n, Element e); void insertleft(node *n, Element e); Element deleteright(node *n); Element deleteleft(node *n); void insertrightmostnode(btree *bt, Element e); void insertleftmostnode(btree *bt, Element e); Element deleterightmostnode(btree *bt); Element deleteleftmostnode(btree *bt); void insertright(node *n, Element e){ if(!isemptybtree(n) && isemptybtree(rightchild(n))) n->right=makeleaf(e); else erreur("insertright impossible!"); void insertleft(node *n, Element e){ if(!isemptybtree(n) && isemptybtree(leftchild(n))) n->left=makeleaf(e); else erreur("insertleft impossible!"); Element deleteright(node *n){ if(isemptybtree(n)!isleaf(rightchild(n))) erreur("deleteright imossible!"); Attention : ces fonctions modifient les arbres ; elles ne fabriquent pas des copies! Struct 2/0 Element res=root(n->right); n->right=makeemptybtree(); return res; Struct 2/0

7 Quelques fonctions de modification Quelques fonctions de modification Element deleteleft(node *n){ if(isemptybtree(n)!isleaf(leftchild(n))) erreur("deleteleft imossible!"); Element res=root(n->left); n->left=makeemptybtree(); return res; void insertrightmostnode(btree *bt, Element e){ if(isemptybtree(*bt)) *bt=makeleaf(e); else{ BTree tmp=*bt; while(!isemptybtree(rightchild(tmp))) tmp=rightchild(tmp); insertright(tmp,e); Struct 25/0 Element deleteleftmostnode(btree *bt){ Element res; if(isemptybtree(*bt)) erreur("deleteleftmostnode imossible!"); if(isemptybtree(leftchild(*bt))){ res=root(*bt); *bt=rightchild(*bt); else{ BTree tmp=*bt; while(!isemptybtree(leftchild(leftchild(tmp)))) tmp=leftchild(tmp); res=root(leftchild(tmp)); tmp->left=(tmp->left)->right; return res; Struct 26/0 Extensions Extensions Problèmes avec les arbres binaires (à n noeuds) : Chercher un élément coûte cher : O(n) ; Insérer un élément (pas n importe où!) : O(n) ; Supprimer un élément : on ne peut pas toujours... Solution? Ordonner (trier) les éléments dans l arbre... Un arbre binaire de recherche (BST) est : soit vide, soit un noeud : contenant une donnée (la racine), dont le fils gauche est un BST dont les éléments sont inférieurs à la racine, dont le fils droit est un BST dont les éléments sont supérieurs à la racine Struct 2/0 Struct 2/0

8 Extensions (suite) Extensions - fin Arbre binaire équilibré (AVL) : les hauteurs des deux sousarbres d un même noeud diffèrent au plus de 1. Un arbre général (chaque noeud a une liste de fils :) BST (pas AVL) AVL Difficulté : conserver l équilibrage. Gain : meilleure complexité! Struct 2/0 Struct 0/0

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