1 e S - programme 2011 mathématiques ch4 cahier élève Page 1 sur 14 Ch4 : Statistiques Exercice n A page 286 : Calculer une médiane et une moyenne Déterminer la médiane et la moyenne de chacune des deux séries suivantes : Série A : 12 5 13 8 14 11 4 11 3 3 14 3 5 12 7 7 7 7 16 15 4 Série B : Note 5 7 9 10 12 14 15 16 18 Effectif 2 3 4 6 7 3 1 4 1 Série A B Moyenne à 0,01 près 8,62 11,29 Médiane 7 12 Exercice n B page 286 : Quartiles Vrai ou faux? On s'intéresse à la série B de notes de l'exercice A Préciser si les affirmations suivantes sont vraies Série B : Note 5 7 9 10 12 14 15 16 18 Effectif 2 3 4 6 7 3 1 4 1 1) Le premier quartile de la série est égal à 8 2) Le troisième quartile de la série est égal à 14 3) L'écart interquartile de la série est égal à 5 1) Faux : c est 9 2) Vrai 3) Vrai Exercice n C page 286 : Explorer les propriétés des indicateurs Vrai ou faux? Un examen a permis à 100 candidats de se présenter et chacun a obtenu une note entière comprise entre 0 et 20 Pour être reçu, un candidat doit avoir une note supérieure ou égale à 10 La moyenne des 100 notes est 10, la médiane 12 et l'étendue 18 Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses 1) Si une des notes est 20, il n'y a pas de 0 2) Si une des notes est 3, il y a un 20 1) Vrai : sinon 20 0 18 2) Faux 3) Faux : la moitié (50) des candidats a une note supérieure ou égale à 12 4) Faux 1 MÉDIANE, QUARTILES, DÉCILES Indication : L'étendue est l'écart entre la valeur minimale et la valeur maximale du caractère 3) Il y a exactement 45 reçus à l'examen 4) La moyenne des collés est inférieure ou égale à 8 RAPPELS ET DÉFINITIONS Soit x 1, x 2,, x n une série statistique de n valeurs rangées dans l ordre croissant La médiane est la valeur de rang n + 1 si n est impair, ou, la moyenne de celles de rangs n 2 2 et n + 1, si n est 2 pair Le premier quartile Q 1 est la plus petite valeur x j de la série, telle qu au moins 25 % des valeurs sont inférieures ou égales à Q 1 Le troisième quartile Q 3 est la plus petite valeur x j de la série, telle qu au moins 75 % des valeurs sont inférieures ou égales à Q 3 L'intervalle [Q 1 ; Q 3 ] est appelé intervalle interquartile Son étendue Q 3 Q 1 est appelée écart interquartile : c'est une mesure de la dispersion liée à la médiane Remarques : Le terme de «deuxième quartile» n'est pas utilisé : il correspond à la médiane de la série statistique Pour déterminer, les quartiles ou les déciles, il faut ordonner les séries de valeurs dans l'ordre croissant
1 e S - programme 2011 mathématiques ch4 cahier élève Page 2 sur 14 Exemple : On donne les notes obtenues à un examen par 27 candidats : Rang 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Note 3 4 4 5 6 6 6 7 8 8 8 9 10 11 Rang 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Note 11 12 12 12 12 12 14 15 15 15 17 17 18 27 0,25 = 6,75 : le premier quartile est donc la 7 e valeur ; ainsi Q 1 = 6 27 0,75 = 20,25 : le troisième quartile est donc la 21 e valeur ; ainsi Q 3 = 14 L'intervalle interquartile [6 ; 14] contient au moins la moitié des notes ; l'écart interquartile est 14 6 = 8 DÉFINITIONS Soit x 1, x 2,, x n une série statistique de n valeurs Le premier décile d 1 est la plus petite valeur x j de la série, telle qu au moins 10 % des valeurs sont inférieures ou égales à d 1 Le neuvième décile d 9 est la plus petite valeur x j de la série, telle qu au moins 90 % des valeurs sont inférieures ou égales à d 9 Exemple : Sur l'exemple précédent, on a : 27 0,10 = 2,7 : le premier décile est la 3 e valeur; ainsi d 1 = 4 27 0,9 = 24,3 : le neuvième décile est donc la 25 e valeur ; ainsi d 9 = 17 Exercice n 1 page 291 Pour chacune des séries suivantes, déterminer la médiane, les quartiles Q 1 et Q 3 ainsi que les déciles d 1 et d 9 : a) Série A : 1 2,5 3 4,2 5,3 7 9-10,2 12 15 17 20 21,7 25 27 50 54 60 63 b) Série B : 13 17 35 12 20 45 67 54 23 34 26 12 22 69 46 a) d 1 Q 1 Med Q 3 d 9 Série A 2,5 5,3 15 27 60 b) Série B : 12 12 13 17 20 22 23 26 34 35 45 46 54 67 69 d 1 Q 1 Med Q 3 d 9 Série B 12 17 26 46 67 Exercice n 1 page 308 Moyenne et médiane Déterminer la moyenne et la médiane des séries 1 et 2 : Série 1 : 4 ; 3 ; 5 ; 4 ; 6 ; 7 ; 2 ; 6 ; 9 ; 10 Série 2 : 12 ; 16 ; 10 ; 8 ; 20 ; 19 ; 15 Moyenne Médiane Série 1 5,6 5,5 Série 2 14,3 15 Exercice n 2 page 308 Effectifs cumulés, médiane, quartiles On a interrogé les 250 élèves de première d'un lycée Nombre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 sur leur nombre de frères et sœurs Voici les Effectif 80 90 46 20 8 3 1 1 1 résultats : Fréquence (en %) 1) Recopier et compléter le tableau avec les Fréquences cumulées fréquences et les fréquences cumulées 2) Quel pourcentage d'élèves ont trois frères et sœurs ou moins? 3) Déterminer la médiane de la série, puis le premier et le troisième quartile Traduire chaque résultat par une phrase en français 1) Nombre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Effectif 80 90 46 20 8 3 1 1 1 Fréquence (%) 32 36 18,4 8 3,2 1,2 0,4 0,4 0,4 Fréquences cumulées 32 68 86,4 94,4 97,6 98,8 99,2 99,6 100 2) 94,4 % 3) La médiane est 1 : 50 % des élèves au moins ont au plus un frère ou une sœur Q 1 = 0 et Q 3 = 2 Exercice n 12 page 299 QCM Pour chacune des questions suivantes, déterminer toutes les réponses correctes Soit une série statistique de médiane Me, de quartiles Q 1 et Q 3 et de déciles d 1 et d 9
1 e S - programme 2011 mathématiques ch4 cahier élève Page 3 sur 14 b) comprise entre Q 1) La médiane est toujours : a) la moyenne de Q 1 c) positive et Q 3 1 et d 9 2) Entre d 1 et d 9, on trouve environ : a) 10 % des valeurs b) 80 % des valeurs c) 90 % des valeurs 3) Environ 15 % des valeurs de la série se situent entre : 1) b et c 2) b 3) a et c a) d 1 et Q 1 b) entre Q 1 et Me c) entre Q 3 et d 9 Exercice n 40 page 305 Robustesse : moyenne ou médiane On cherche à savoir, suivant les situations, lequel des indicateurs est le plus robuste, c'est-à-dire le moins sensible à de petits changements des valeurs de la série On prendra comme exemple deux villes, Joli-Bois et Ville-Belle Dans ces deux villes, on a relevé l'évolution de la valeur de 40 appartements, entre 2008 et 2010 On exprime cette valeur en dizaine de milliers d'euros (voir les graphiques ciaprès) 1) a) Dans le cas de Ville-Belle, recopier et compléter le tableau suivant : b) À priori, y a-t-il une grande évolution entre 2008 et 2010? c) Déterminer la moyenne et la médiane en 2008 et 2010 Valeur (en k ) 2008 2010 Lequel des deux indicateurs paraît le plus robuste? 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 1) a) Valeur 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 2008 2 3 3 4 5 7 5 5 3 3 0 2010 0 3 3 4 5 7 5 5 3 3 2 b) Il y a a priori peu d évolution c) La moyenne est passée de 98 à 103 et la médiane de 100 à 100 La moyenne a augmenté de 3 % 2) Effectuer la même étude qu'à la question 1) pour la ville de Joli-Bois 2) Valeur 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 2008 4 5 6 4 1 1 4 5 6 2 2 2010 4 5 6 4 0 0 6 5 6 2 2 Au vu des deux tableaux, il y a peu d évolution La moyenne est passée de 95,75 à 96,5 et la médiane de 95 à 110 La médiane a donc augmenté de 15 %, contre moins de 1 % pour la moyenne : la moyenne est plus robuste 3) Comment décrire la différence entre les situations des deux villes? 3) La distribution des valeurs dans la ville de Joli-Bois est bimodale, avec un trou aux alentours de la médiane, tandis que celle de Ville-Belle est fortement regroupée autour de la moyenne, avec peu de valeurs extrêmes Exercice n 42 page 306 Effet de structure Voici la répartition des salaires annuels, en euros, dans deux entreprises, par catégorie de salarié SILOR compte 126 employés et 34 cadres alors que SOLIR compte 88 employés et 72 cadres Le PDG de SOLIR affirme que ses salariés sont en moyenne mieux payés que ceux de SILOR Entreprise SILOR Entreprise SOLIR Employés Cadres 171 000 37 700 Employés Cadres 147 000 32 000 «Impossible, répond le PDG de SILOR, les employés, comme les cadres sont mieux payés chez moi que chez vous!» Comment expliquer ce paradoxe?
1 e S - programme 2011 mathématiques ch4 cahier élève Page 4 sur 14 Employés Cadres Salariés total effectif moyenne total effectif moyenne total effectif moyenne Entreprise SILOR 171 000 126 1 357,14 37 700 34 1 670,45 548 000 160 3 425 Entreprise SOLIR 147 000 88 1 670,45 32 000 72 4 444,44 467 000 160 2 918,75 Catégorie par catégorie, les salariés de SILOR sont mieux payés que ceux de SOLIR Mais comme l entreprise SOLIR compte proportionnellement plus de cadres que l entreprise SILOR, le salaire moyen des salariés de SILOR est plus élevé (2 478 contre 22 485) 2 DIAGRAMME EN BOÎTE Une échelle étant choisie, le diagramme en boîte est formé d'un rectangle dont les extrémités représentent les premier et troisième quartiles Cette «boîte» est partagée par un trait vertical représentant la médiane Elle est prolongée, à gauche et à droite, par deux traits horizontaux, appelés les «moustaches» dont les extrémités sont les premier et neuvième déciles Souvent, lorsqu'elles sont connues, on indique les valeurs extrêmes de la série Remarques : Un tel diagramme s'appelle diagramme en boîte ou diagramme à moustaches ou encore diagramme de Tukey Pour la calculatrice, les extrémités des moustaches sont le min et le max Exercice corrigé : Représenter une série statistique par un diagramme en boîte Le tableau ci-dessous donne la distribution des salaires nets annuels en 2007 en France dans les collectivités territoriales (Source INSEE) d 1 d 2 d 3 d 4 médiane d 6 d 7 d 8 d 9 14 293 15 491 16 241 17 365 18 464 19 789 21 478 23 991 28 983 On sait de plus que le premier quartile est 15 991 et le troisième quartile est 22 315 1) Représenter ces données par un diagramme en boîte 2) À l'aide de ce diagramme, commenter la répartition des salaires Solution : Méthode : 1) Choisir une échelle qui permet de représenter toutes les données Partager cette boîte par un trait représentant la médiane Dessiner la boîte dont les bords représentent les premier et troisième quartiles Prolonger la boîte par les «moustaches» dont les extrémités sont les premier et neuvième déciles 2) Les bas salaires sont plus concentrés que les hauts salaires En effet, 25 % des salaires inférieurs à la médiane sont compris entre 15 991 et 18 464, soit dans un intervalle d'amplitude égale à environ 2 500, tandis que 25 % des salaires supérieurs à la médiane sont La dissymétrie de la boîte correspond à une répartition non uniforme des salaires compris entre 18 464 et 22 315, soit dans un intervalle d'amplitude égale à environ 4 000 De plus, 15 % des salaires sont compris entre 14 293 et 15 991, soit dans un intervalle d'amplitude égale à environ 1 700, tandis que 15 % des salaires sont compris entre 22 315 et 28 983, soit dans un intervalle d'amplitude égale à environ 6 650 Exercice n 2 page 291 Une maternité a étudié les tailles des bébés nés à terme au cours d'une année Elle constate que 10 % des bébés ont une taille inférieure ou égale à 44 cm, que 10 % ont une taille supérieure ou égale à 54 cm Un quart des bébés mesure plus de 52 cm et les trois quarts plus de 47 cm De plus, la moitié des bébés mesurent 49 cm Représenter ces données par un diagramme en boîte
1 e S - programme 2011 mathématiques ch4 cahier élève Page 5 sur 14 On a d 1 = 44 et d 9 = 54 ; Med = 49 ; Q 1 = 47 et Q 3 = 52 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 Taille (cm) Exercice n 3 page 291 Représenter chacune des séries de l'exercice 1 par un diagramme en boîte a) Série A : 1-2,5 3 4,2 5,3 7 9-10,2 12 15 17 20 21,7 25 27 50 54 60 63 b) Série B : 13 17 35 12 20 45 67 54 23 34 26 12 22 69 46 a) d 1 Q 1 Med Q 3 d 9 Série A 2,5 5,3 15 27 60 b) d 1 Q 1 Med Q 3 d 9 Série B 12 17 26 46 67 Exercice n 19 page 300 QCM Donner la bonne réponse Une grande surface compte en fin d'année le nombre de chèques cadeaux vendus Ces chèques cadeaux sont de cinq types : Montant 5 10 20 50 100 5 ; 10 ; 20 ; 50 ; 100 Nombre de chèques 24 48 19 2 4 1) Le nombre total de chèques vendus est : a) 5 b) 100 c) 97 1) 24 + 48 + 19 + 2 + 4 = 97 Réponse c 2) L'écart interquartile est : a) 18,5 b) 10 c) 67,5 2) 1 4 97 = 24,25 et 3 97 = 72,75 4 Q 1 est la 25 e valeur, soit 10 ; et Q 3 est la 73 e valeur, soit 20 ; donc l écart interquartile est : 20 10 = 10 Réponse b 3) Soit M la médiane de la série : a) le trait représentant M est au centre de la boîte du diagramme en boîte b) le trait représentant M est décalé vers la droite de la boîte du diagramme en boîte c) le trait représentant M est décalé vers la gauche de la boîte du diagramme en boîte 3) 1 2 97 = 48,5, donc M est la 49e valeur, soit 10 Les extrémités du diagramme, les minimum et maximum, sont : 5 et 100 Réponse c 4) 25 % des plus petits chèques cadeaux ont une valeur inférieure ou égale à : a) 10 b) 7,5 c) 5 4) Q 1 = 10 Réponse a Exercice n 20 page 301 Vrai ou faux? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses Justifier la réponse La répartition des salaires dans une entreprise privée est donnée par le diagramme en boîte cicontre 1) 25 % des femmes ont un salaire inférieur à 1 000 2) Les salaires des hommes sont supérieurs à 1 000 3) La moitié des hommes gagne autant ou plus que les trois quarts des femmes 4) L'écart interquartile pour les salaires des hommes est le double de celui des salaires des femmes 5) Le pourcentage des salaires dont le montant est compris entre 1 000 et 1 550 est 75 %
1 e S - programme 2011 mathématiques ch4 cahier élève Page 6 sur 14 1) Vrai, car Q 1 1 000 pour les femmes 2) Vrai si les extrémités représentent les extrema, faux s il s agit des déciles 3) Vrai, car M 1 550 pour les hommes, et Q 3 1 550 pour les femmes 4) Faux, car Q 3 Q 1 1 700 1 100 600 pour les hommes, et Q 3 Q 1 1 550 1 000 = 550 pour les femmes 5) Faux, car c est 50 % pour les femmes et pour les hommes Exercice n 22 page 301 Calcul et représentation graphique Déterminer la médiane, le premier et le troisième quartile des séries suivantes, puis en proposer un diagramme en boîte Série A 1 3 5 6 8 7 9 12 11 6 12 9 12 16 13 17 18 15 Série B Note 8 9 11 12 14 16 19 20 Effectif 2 3 5 2 4 3 2 1 Avec la calculatrice : Diagramme en boîte sur la calculatrice On entre les valeurs x i dans la liste 1 et les effectifs n i dans la liste 2 On obtient la boite» avec : On règle les affichages du graphique avec 2nd STAT PLOT On commence par régler les données dans, puis Grph 1 et activer la trace : Puis avec WINDOW pour et x min et avec GRAPH on obtient : Attention : les extrémités des moustaches sont le minimum et le maximum et non pas les déciles Série A : 1 3 5 6 6 7 8 9 9 11 12 12 12 13 15 16 17 18 min Q 1 Med Q 3 max Série A 3 6 10 13 18 Série B 8 11 12 16 20 Exercice n 4 page 291 Pendant 80 jours, on a relevé le niveau d'eau (en mètre) dans un réservoir et dressé le diagramme suivant : 1) Identifier les paramètres statistiques que l'on connaît grâce à ce diagramme en boîte 2) Déterminer le nombre minimum de jours où le niveau de l'eau : a) est inférieur ou égal à 1,8 m ; b) est d'au moins 2 m ; c) est compris entre 1,2 m et 2 m 1) Le minimum de la série est 0,5 m et le maximum 2,5 m Le premier décile d 1 est égal à 0,8 m et le neuvième décile d 9 à 2 2) Le premier quartile est égal à 0,8 m et le troisième à 1,8 m La médiane est égale à 1,6 m a) Au moins 75 % des jours, soit 60 jours b) 10 % des jours, soit 8 jours c) 65 % des jours, soit 52 jours Exercice n 5 page 294 Exploiter et comparer des diagrammes en boîte Les diagrammes en boîte ci-dessous représentent les salaires annuels (en milliers d'euros) en Ile-de-France et dans les régions françaises hors Ile-de-France Ile-de-France
1 e S - programme 2011 mathématiques ch4 cahier élève Page 7 sur 14 Régions hors Ile-de-France 1) Préciser pour l'ile-de-france et pour les régions hors Ile-de-France les valeurs des premier et neuvième déciles, des premier et troisième quartiles, de la médiane et de l'écart interquartile 2) En comparant les deux diagrammes en boîte, quelles différences peut-on relever? 1) Pour l'ile-de-france, on a : d 1 = 11,4, Q 1 = 14,8, Me = 19,7, Q 3 = 28,6, d 9 = 42,2 et Q 3 Q 1 = 13,8 Pour les régions hors Ile-de-France, on a : d 1 = 10,5, Q 1 = 12,5, Me = 15,7, Q 3 = 20,5, d 9 = 28 et Q 3 Q 1 = 8 Les bords de la boîte correspondent aux quartiles, le trait dans la boîte à la médiane et les extrémités des moustaches aux 1 er et 9 e déciles 2) La comparaison des deux boîtes à moustache permet non seulement de constater que les salaires en Ile-de-France sont supérieurs aux salaires de la Province, mais qu'ils sont sensiblement plus dispersés En effet, les écarts interquartiles sont de 13,8 pour l'ile-de-france et de 8 pour la Province On peut également remarquer que les hauts salaires sont beaucoup plus dispersés en Ile-de-France : la moustache de droite [Q 3 ; d 9 ] est presque deux fois plus ample pour l'ile-de-france que pour la Province Exercice n 13 page 299 Vrai ou faux? Préciser dans chaque cas si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses 1) Le premier quartile de la série ci-dessous est 12 14 7 6 12 7 20 18 2 12 13 1 19 3 5 8 1) 1 2 3 5 6 7 7 8 12 12 13 14 18 19 20 Il y a 15 valeurs, et 1 4 15 = 3,75, donc Q 1 est la 4e valeur : Q 1 = 5 Des représentations en «diagramme en boîte» à la même échelle permettent de comparer des séries statistiques et d'évaluer la dispersion de la «moitié centrale» (intervalle [Q 1 ; Q 3 ]) autour de la médiane : plus la boîte est resserrée autour de la médiane, moins grande est la dispersion L affirmation est fausse 2) Une série contient 500 valeurs ; le premier décile vaut 50 2) On ne connait pas les valeurs, jute leur quantité, on ne peut pas trouvé le premier décile L affirmation est fausse 3) Dans un diagramme en boîte, la médiane se trouve toujours au centre de la boîte 3) L affirmation est fausse 4) Si on ajoute 10 à toutes les valeurs d'une série, alors la longueur de la boîte reste inchangée 4) L affirmation est vraie Exercice n 14 page 299 Vrai ou faux? Préciser dans chaque cas si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses Dans une usine de fabrications d'ampoules de 20 watts, on a prélevé 200 ampoules et mesuré leur puissance Les données collectées ont permis de réaliser le diagramme ci-dessous 1) Au moins 100 ampoules ont une puissance comprise entre 19,3 W et 21 W 2) La puissance moyenne des 200 ampoules est 20 W 3) Au moins 75 % des ampoules ont une puissance effective de 21,4 W 4) Au plus 19 ampoules ont une puissance strictement inférieure à 19 W 1) Vrai, cela représente la moitié des valeurs 2) Faux, c est la médiane 3) Faux, c est 90 % 4) Vrai, car d 1 = 19 W Exercice n 18 page 300 À partir des quartiles et des déciles Voici les paramètres de la série des notes obtenues par 160 candidats à une épreuve lors d'un concours : Min = 3 ; d 1 = 5 ; Q 1 = 8 ; Me = 10 ; Q 3 = 14 ; d 9 = 16 ; Max = 19 1) a) Combien de candidats ont obtenu une note d'au moins 10? d'au moins 14? b) Toute note strictement inférieure à 5 est éliminatoire Combien de candidats sont éliminés à cause de cette épreuve? 2) Exprimer en pourcentage la proportion de notes n vérifiant :
1 e S - programme 2011 mathématiques ch4 cahier élève Page 8 sur 14 a) n < 14 ; b) 8 n ; c) 10 n < 16 3) Les candidats sont classés dans l'ordre décroissant des notes Quel est l'écart des notes entre le 41 e candidat et le 121 e? 1) a) 80 ont eu au moins 10, 40 au moins 14 2) b) On sait que 16 candidats ont obtenu une note inférieure ou égale à 5, mais on ne peut pas dire combien ont eu une note strictement inférieure à 5, sauf à supposer que tous les candidats ont eu des notes différentes a) n < 14 : 75 % b) 25 % c) 40 % 3) 16 8 = 12 Exercice n 21 page 301 Diagramme en boîte On a représenté le diagramme en boîte d'une série, les extrémités des moustaches correspondant aux déciles d 1 et d 9 On sait que la médiane est 12, et le premier quartile 8 Déterminer le troisième quartile et le décile d 9 de la série On peut déduire de l'énoncé qu'un carreau représente deux unités Le troisième quartile est donc égale à 14 et le neuvième décile à 21 Exercice n 23 page 301 Comparaison de diagrammes Les diagrammes en boîte ci-contre représentent les répartitions des salaires mensuels, en euros, des employés de deux entreprises E 1 et E 2 Commenter ces diagrammes Les salaires médians sont identiques, mais l entreprise E 2 a un premier quartile et un deuxième quartile nettement supérieurs à la première Toutefois, l écart inter-décile est supérieur dans la deuxième entreprise, le premier décile étant plus faible, et le dernier décile plus élevé Exercice n 25 page 302 À partir d'un histogramme L'histogramme suivant représente une série statistique On suppose que la répartition est uniforme à l'intérieur de chaque classe 1) Déterminer une approximation de la médiane, des premier et troisième quartiles, et des premier et neuvième déciles 2) Construire le diagramme en boite associé à cette série 1) Valeur Effectif Fréquence Fréquence cumulée [10 ; 15[ 250 18 % 18 % [15 ; 20[ 250 18 % 36 % [20 ; 25[ 200 15 % 51 % [25 ; 30[ 200 15 % 65 % [30 ; 35[ 150 11 % 76 % [35 ; 40[ 75 5 % 82 % [40 ; 45[ 75 5 % 87 % [45 ; 50[ 75 5 % 93 % [50 ; 55[ 50 4 % 96 % [55 ; 60[ 50 4 % 100 % Médiane : 24,7 ; d 1 : 12,8 ; Q 1 : 16,9 ; Q 3 : 34,4 ; d 9 : 47,5
2) 1 e S - programme 2011 mathématiques ch4 cahier élève Page 9 sur 14 3 VARIANCE ET ÉCART TYPE Notation : Le symbole On utilise le symbole pour écrire de façon condensée une somme de nombres Si par exemple on pose : a 1 = 1, a 2 = 3, a 3 = 5, a 4 = 7, a 5 = 9, a 6 = 11, alors : a i = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + a 6 = 36 i = 1 PROPRIÉTÉS ET DÉFINITION Soit x 1, x 2,, x n, une série statistique de n valeurs et de moyenne x Soit f la fonction définie sur IR par : x 1 n [(x 1 x)2 + (x 2 x) 2 + + (x n x) 2 ] ou x 1 n (x i x) 2 i = 1 f (x) est la moyenne des carrés des écarts entre la valeur x et les valeurs de la série Le minimum de f s'appelle la variance de la série et est noté V Il est atteint pour x = x : n n V = 1 n ( x i x ) 2 = 1 2 n x i x 2 i = 1 i = 1 C'est la moyenne des carrés des écarts entre les valeurs de la série et la valeur moyenne C'est aussi l'écart entre la moyenne des carrés des valeurs de la série et le carré de la moyenne Démonstration : Voir la démonstration à l'exercice 38, page 305 Remarque : Une variance est un nombre positif ou nul En pratique : Cas d'une série statistique donnée par un tableau d'effectifs : On considère la série statistique donnée par le tableau ci-contre La variance V de cette série est égale à : k 1 V = n 1 + n 2 + n k n i (x i x) 2 1 2 = n i = 1 1 + n 2 + n k n i x i x 2 i = 1 V est la «moyenne pondérée des carrés des écarts à la moyenne» DÉFINITIONS Soit x 1, x 2,, x n une série statistique de n valeurs et de variance V On appelle écart type le nombre noté s avec s = V Remarque : De façon habituelle, on note l'écart type s en statistique et en probabilité Exemple : Deux élèves A et B décident de comparer leurs notes : Les notes de l'élève A sont : 8 ; 11 ; 6 ; 13 ; 12 ; 9 ; 11 ; 36 la moyenne est m A = 10 ; l'écart type est s A = 7 2,27 ; Les notes de l'élève B sont : 10 ; 7 ; 7 ; 13 ; 13 ; 8 ; 12 ; 44 la moyenne est m B = 10 ; l'écart type est s B = 7 2,51 k 6 n Valeur x 1 x 2 x k Effectif n 1 n 2 n k Les deux élèves ont la même moyenne 10, mais l'écart type de la série A est inférieur à celui de la série B Les notes de l'élève A sont plus regroupées autour de la moyenne que celles de l'élève B au sens de l'écart type, puisque s A < s B
1 e S - programme 2011 mathématiques ch4 cahier élève Page 10 sur 14 Interprétation : L'écart type d'une série statistique est une mesure de la dispersion liée à la moyenne : elle rend compte de la répartition des données autour de la moyenne Exercice n 5 page 293 Calculer la moyenne et l'écart type de chacune des séries suivantes : a) 11 7 14 8 9 15 10 6 b) 102,6 102,3 106,8 101,8 107,4 100,9 104,3 101,8 103,1 102,1 101,5 103 100 108,5 102,6 108,5 107,4 109,2 101,7 104,5 a) Moyenne : 80 8 = 10 Total x i 11 7 14 8 9 15 10 6 80 Variance : 1 8 872 102 = 9 Écart type : 9 = 3 x i 2 121 49 196 64 81 225 100 36 872 b) x i 102,6 102,3 106,8 101,8 107,4 100,9 104,3 101,8 103,1 102,1 x i 2 10526,8 10465,3 11406,2 10363,2 11534,8 10180,8 10878,5 10363,2 10629,6 10424,4 Total x i 101,5 103 100 108,5 102,6 108,5 107,4 109,2 101,7 104,5 2080 2 x i 10302,3 10609 10000 11772,3 10526,8 11772,3 11534,8 11924,6 10342,9 10920,3 216477,9 102,6 + 102,3 + Moyenne : = 2 080 20 20 = 104 Variance : 1 20 (102,62 + 102,3 2 + ) 104 2 = 1 20 216 477,9 1042 = 7,895 Écart type 7,895 2,81 Exercice corrigé : Calculer et utiliser un écart type On considère la série statistique donnée par le tableau ci-dessous : Valeur x i 3 4 5 6 7 8 9 10 Effectif n i 3 14 19 26 23 13 1 1 1) Déterminer la moyenne x et l'écart type s de la série statistique au moyen de la calculatrice 2) Calculer le pourcentage des valeurs de la série qui appartiennent à l'intervalle [ x s ; x + s] Voir les fiches Calculatrices, page 394 Solution : Méthode : 1) On entre les valeurs x i dans la liste 1 et les effectifs n i dans la liste 2 Pour cela on utilise : On active le traitement avec : Pour TI avec l'instruction : Stats 1-Var L1, L2 Pour Casio, avec d'abord on choisit les listes : sur TI : la touche sur Casio : On doit indiquer à la calculatrice : la liste contenant les x i et la liste contenant les n i ou les f i puis et on lance le traitement avec 1- Var on obtient la moyenne x = 6 et x 1,42 l'écart type s 2) On a : x s 4,58 et x + s 7,42 Dans l'intervalle [4,58 ; 7,42] il y a 19 + 26 + 23 valeurs, soit 68, pour un effectif total de n = 100 Donc 68 % des valeurs appartiennent à [ x s ; x + s] On remarque que la calculatrice a aussi calculé n i x i 2 qui vaut 3 802, ce qui permet de retrouver la variance : V = 3 802 100 x 2 = 2,02 et la valeur exacte de l'écart type qui est la racine carrée de la
1 e S - programme 2011 mathématiques ch4 cahier élève Page 11 sur 14 variance : s = 2,02 1,42 Exercice n 6 pages 294-295 Comparer deux séries statistiques à l'aide du couple «moyenne ; écart type» Le tableau ci-dessous donne la hauteur des précipitations mensuelles moyennes (en mm) à Paris et à Nice, établies sur plusieurs décennies : Jan Fév Mars Avril Mai Juin Paris 52,4 43,7 48,5 53 65,0 54,3 Nice 85,1 59,7 60,9 69,2 49,4 38,3 Juil Août Sept Oct Nov Déc Paris 63,1 43,0 54,7 59,7 52,0 58,7 Nice 15,4 23,9 75,6 143,9 94,3 87,6 1) Pour chacune de ces deux villes, calculer la moyenne annuelle x des précipitations et l'écart type s 2) À l'aide de ces indicateurs, comparer les séries des précipitations mensuelles à Paris et à Nice 1) Pour Paris, on a x 54,0 et s 6,6 Pour Nice, on a x 66,9 et s 33,2 2) La hauteur des précipitations est plus importante en moyenne à Nice qu'à Paris L'écart type, beaucoup plus grand à Nice, indique des valeurs plus dispersées autour de la moyenne qu'à Paris En observant les données plus en détail, on constate que les précipitations sont plus régulières à Paris qu'à Nice avec peu de variations à Paris selon les mois, et de fortes variations à Nice avec une période plutôt sèche en été et une période très humide en automne et en hiver On utilise : x = 1 n x i, V = x i 2 x 2 et s = V, ou directement les fonctions de la calculatrice Exercice n 7 page 295 Exploiter l'histogramme d'un caractère quantitatif continu L'histogramme ci-contre donne la répartition des différentes tailles des élèves d'une classe de Première 1) Dresser un tableau des tailles regroupées en classes d'amplitude 10, avec les effectifs et les centres des classes 2) Calculer, à partir du regroupement en classes, une valeur approximative de la taille moyenne t et de l'écart type s 3) Montrer que plus de 90 % des élèves ont une taille comprise dans l'intervalle [t 2s ; t + 2s] La comparaison des moyennes donne une indication sur la quantité de pluie et la comparaison des écarts types sur la dispersion des données autour de la moyenne 1) Taille [140 ; 150[ [150 ; 160[ [160 ; 170[ [170 ; 180[ [180 ; 190[ Centre c i 145 155 165 175 185 Effectif n i 1 9 13 6 1 Les données sont regroupées en intervalles semi-fermés, appelés classes, dont l'amplitude correspond à la largeur des rectangles de l'histogramme 2) On a : t = n i c i n i = 4 920 30 Une valeur approximative de la taille moyenne est 164 cm On a : V = n i c i t 2 = n i 2 809 150 30 164 2, soit V 75,66 On a : s = V, soit s 8,7 Une valeur approximative de l'écart type est 8,7 cm 3) On a t 2s 146,6 et t + 2s 181,4 Toutes les tailles comprises entre 150 et 180 appartiennent à l'intervalle [t 2s ; t + 2s] Il y en a 28 parmi les 30 La proportion est 28 : 30, soit environ 93 % Donc plus de 90 % des élèves ont une taille comprise dans l'intervalle [t 2s ; t + 2s] Une valeur approximative de la moyenne et de l'écart type s'obtient en remplaçant chaque classe par son centre Attention : dans le calcul de V, le carré ne porte que sur les valeurs c i et non sur les effectifs n i On détermine l'intervalle [t 2s ; t + 2s] et l'effectif des valeurs dont on est sûr de leur appartenance à cet intervalle Exercice n 11 page 299 QCM Pour chacune des questions suivantes, déterminer toutes les réponses correctes Soit une série statistique de n valeurs, de moyenne x, de variance V et d'écart type s 1) Une formule donnant la valeur de V est : a) 1 n ( x x i ) 2 b) 1 n (x i x) 2 c) x 2 1 n x 2 i
1 e S - programme 2011 mathématiques ch4 cahier élève Page 12 sur 14 2) Pour une série de 30 valeurs comprises entre 0 et 10, on peut avoir : 3) Si les valeurs x i sont pondérées par les fréquences f i, alors on a : 1) a et b 2) b et c 3) a et c a) s = 1 b) s = 15 c) s = 2,3 a) x = f i x i b) V = (f i x i x) 2 c) V = f i (x i x) 2 Exercice n 15 page 299 Vrai ou faux? Préciser dans chaque cas si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses 1) Si deux séries statistiques ont la même moyenne et le même effectif, alors elles sont confondues 2) La variance mesure la dispersion d'une série autour de sa moyenne 3) Tous les élèves d'une classe ont obtenu 12 à un contrôle La série de leurs notes a pour moyenne 12 et pour écart type 0 1) Faux 2) Vrai 3) Vrai Exercice n 27 page 303 Vrai ou faux? Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses Justifier la réponse On considère une série statistique de moyenne x, de variance V et d'écart type s 1) V est un nombre positif ou nul 2) L'écart type n'est jamais nul 3) Si x = 0, toutes les valeurs de la série sont nulles 4) Si s = 0, toutes les valeurs de la série sont nulles 5) L'écart entre une valeur de la série et x ne peut pas dépasser 4s 1) Vrai, car c est une somme de carrés 2) Faux : cela signifie que tous les termes de la série sont égaux 3) Faux, car les écarts se compensent 4) Faux (tous les termes sont égaux) 5) Faux : on peut imaginer une série de 100 valeurs nulles et une valeur égale à 100 Exercice n 28 page 303 QCM Donner l'unique bonne réponse 1) Pour une série de 5 données, la variance est égale à 6 et pour une autre série de 15 données, la variance est égale à 8 Les moyennes des deux séries sont égales Alors la variance des 20 observations est égale à : a) 14 b) 6 c) 7,5 2) Deux séries de même effectif ont même moyenne et même écart type Elles ont alors nécessairement : a) même médiane b) même écart interquartile c) même variance 1) Réponse c 2) Réponse c Exercice n 29 page 303 Le tableau ci-contre donne la répartition des notes obtenues à un contrôle de math par les 25 élèves d'une classe de Première : 1) Calculer la note moyenne x et l'écart type s 2) Déterminer la fréquence des élèves dont la note appartient à [ x s ; x + s] 1) x = 10,44 et s 3,37 2) [ x s ; x + s] = [7,07 ; 13,81] Il y a 5 + 4 + 1 + 7 = 17 valeurs, soit une fréquence de 17 25 = 0,68 Exercice n 30 page 303 On donne la série statistique suivante : 1) Avec la calculatrice, entrer les valeurs de 0 à 5 dans la liste 1 et les effectifs Note 3 5 7 8 10 11 13 14 17 Effectif 1 2 1 5 4 1 7 3 1 3 2 3 3 1 5 4 3 1 5 2 1 4 3 3 0 1 3 3 1
1 e S - programme 2011 mathématiques ch4 cahier élève Page 13 sur 14 correspondants en liste 2 2) Calculer l'écart type de cette série 1) 2) Écart type : 1,36 (à 0,01 près) 2 4 2 4 0 0 2 2 3 2 3 2 3 3 1 5 4 3 1 5 Exercice n 32 page 303 Écart type, moyenne et pourcentage Dans un journal, on a comptabilisé le nombre de lignes de chaque petite annonce On a obtenu le tableau de répartition suivant : Nombre de lignes 1 2 3 4 5 6 1) Calculer la moyenne et l'écart type de cette série Nombre d'annonces 2 8 21 39 22 7 2) Quel est le pourcentage d'annonces dont le nombre de lignes présente un écart avec la moyenne supérieur à l'écart type? 1) Moyenne : 3,93 ; écart type : 1,10 2) Il y a 17 valeurs, soit 17 % de l effectif Exercice n 36 page 304 Comparaison de deux séries On a relevé, pendant 30 jours consécutifs, le nombre d'entrées dans deux salles de cinéma On a obtenu les résultats suivants : Salle A 219, 259, 225, 227, 236, 190, 240, 269, 229, 236, 238, 231, 192, 210, 225, 222, 241, 203, 214, 209, 217, 213, 216, 206, 175, 229, 242, 243, 226, 266 Salle B 262, 246, 212, 231, 229, 228, 216, 213, 222, 235, 210, 264, 185, 211, 232, 229, 170, 223, 226, 223, 197, 260, 228, 250, 246, 174, 224, 207, 205 Comparer les dispersions de ces deux séries autour de leur moyenne Salle A : écart type de 20,8 Salle B : écart type de 23,7 : la dispersion est plus forte Exercice n 37 page 304 Écart type d'une série en classes Le tableau suivant donne la répartition des clients d'une boutique selon le montant, en euros, de leurs achats : On supposera que l'effectif est concentré au centre des classes 1) Calculer la moyenne et l'écart type de cette série 2) Quel est le pourcentage de clients dont le montant des achats présente un écart avec la moyenne supérieur à deux fois l'écart type? Montant des achats (en ) Nombre de clients [0 ; 15[ 57 [15 ; 30[ 135 [30 ; 60[ 104 [60 ; 120[ 52 [120 ; 240] 12 Montant des achats (en ) [0 ; 15[ [15 ; 30[ [30 ; 60[ [60 ; 120[ [120 ; 240] Centre des classes (en ) 7,5 22,5 45 90 180 Nombre de clients 57 135 104 52 12 1) Moyenne : 57 7,5 + 135 22,5 + 104 45 + 52 90 + 12 180 14 985 x = = 57 + 135 + 104 + 52 + 12 360 = 41,625 2 1 092 150 Variance : V = 14 985 168 623 775 = 1 301,11 360 360 129 600 168 623 775 Écart type : s = 36,071 129 600 2) [ x 2s ; x + 2s] [ 30,5 ; 113,8] Il y a 12 valeurs, soit 12 100 3,3 % 360 Exercice n 41 page 306 Sensibilité aux valeurs extrêmes Un groupe de 8 élèves a obtenu les moyennes suivantes en mathématiques au cours du premier trimestre de l'année scolaire : 8, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12 1) Déterminer la moyenne et l'écart type de la série, ainsi que la médiane et l'écart interquartile 2) Au deuxième trimestre, deux nouveaux élèves rejoignent le groupe, avec des moyennes respectives de 4 et 14 a) Déterminer les paramètres statistiques de la nouvelle série b) Quelle est à 1 % près la variation en pourcentage de chacun des paramètres? Lequel des deux couples d'indicateurs paraît le moins sensible aux valeurs extrêmes, entre moyenne/écart type et médiane/écart interquartile?
1) 2) a) b) 1 e S - programme 2011 mathématiques ch4 cahier élève Page 14 sur 14 Moyenne Écart type Médiane [Q 1 ; Q 3 ] Q 3 Q 1 10 1,5 10 [8 ; 11] 3 9,8 2,6 10 [8 ; 12] 4 2 % 73 % 0 % 33 % C est le couple médiane/écart interquartile