CONFERENCE PALISADE Optimisation robuste d un plan d expériences par simulation Monte-Carlo Concepts de «Design Space» et de «Quality by Design» 1
SIGMA PLUS Logiciels, Formations et Etudes Statistiques 6, rue Collange 92300 Levallois-Perret www.sigmaplus.fr Christian R. CHARLES ccharles@sigmaplus.fr 2
La société SIGMA PLUS Deux sites : Levallois-Perret et Labège Société créée en 1979 Logiciels, Formations, Conseil et Etudes Distributeur et éditeur de logiciels d analyses statistiques et graphiques Plus de 12 000 utilisateurs 60% dans l industrie 40% dans l éducation et la recherche 3
Plan de la présentation Logiciels utilisés Plan d expériences Optimisation robuste «Design Space» et «Quality by Design» Exemple présenté Mise en œuvre Conclusion 4
Logiciels utilisés Création et analyse du plan d expériences STATGRAPHICS Centurion Version 16.2.04 française StatPoint Technologies (USA) Simulation, Optimisation Monte-Carlo @RISK Industrial Version 6.2 française Palisade Corporation (USA) 5
Plan d expériences (d après Sciences de l ingénieur) Le comportement des produits industriels est généralement fonction de nombreux phénomènes, souvent dépendants les uns des autres. Pour prévoir ce comportement, le produit et les phénomènes sont modélisés, et des simulations sont effectuées ; la pertinence des résultats des simulations dépend de la qualité des modèles. Dans le cadre de la conception d'un produit, les modèles font généralement intervenir un certain nombre de grandeurs physiques que l'on s'autorise à modifier, appelés facteurs. Le problème du concepteur est alors de trouver les bonnes valeurs de ces facteurs, c'est-à-dire celles qui feront que le produit aura le comportement attendu ; cela nécessite d'identifier l'influence des facteurs sur la réponse du produit. Cela passe par des études expérimentales, consistant à imposer différentes valeurs de ces facteurs et à mesurer les réponses obtenues. 6
Plan d expériences (d après Sciences de l Ingénieur) Or, ces essais sont coûteux, et ce d'autant plus que le nombre de paramètres à faire varier est important. En effet, la modification d'un paramètre peut par exemple exiger un démontage et un remontage du produit, ou bien la fabrication de plusieurs prototypes ou encore l'interruption de la production. Le coût d'une étude expérimentale dépend donc du nombre et de l'ordre des essais effectués. Les plans d'expériences consistent à sélectionner et ordonner les essais afin d'identifier, à moindres coûts, les effets des facteurs sur la réponse du produit. Trois étapes : Postuler un modèle de comportement du système ; Définir un plan d'expériences, c'est-à-dire une série d'essais permettant d'identifier les coefficients du modèle ; Faire les essais, dépouiller les résultats, optimiser la réponse 7
Optimisation robuste Design Space, Quality by Design (d après la FDA) Optimisation robuste The robustness of an analytical procedure is a measure of its capacity to remain unaffected by small, but deliberate variations in method parameters and provides an indication of its reliability during normal usage. Design Space (DS), Quality by Design (QbD) The estimation of the Design Space is based on the current DOE models and Monte Carlo simulations for risk analysis. The DS is the estimated volume in the investigated region (experimental design region) where we can expect that all specifications are fulfilled at a specific risk level. The DS estimate considers several sources of known variability that can affect the size of the DS. 8
Exemple présenté (adapté de Derringer et Suich, Journal of Quality Technology, vol 12, n 4, Octobre 1980) Mise au point d un nouveau pneumatique Quatre composants : le caoutchouc (plus de la moitié du mélange) la silice, le silane et le soufre Au final trois composants silice, silane soufre (en parts pour 100 parts de caoutchouc) Quatre réponses : abrasion, module, rupture, dureté 9
Exemple présenté Composant Niveau bas Niveau haut Silice 0,7 1,7 Silane 40 60 Soufre 1,8 2,8 Réponse Spécifications Abrasion (test PICO) Comprise entre 150 et 170 Module à 200% Supérieur à 1000 Rupture Comprise entre 400 et 600 Dureté Comprise entre 60 et 75 Des effets de courbure sont attendus sur les réponses. Un plan centré-composite est envisagé : 2^3+étoile. 10
Définition du plan (StatGraphics) Utilisation de l assistant en 12 étapes 11
Définition du plan (StatGraphics) 1) Définition des réponses 12
Définition du plan (StatGraphics) 2) Définition des facteurs 13
Définition du plan (StatGraphics) 3) Sélection du plan : surface de réponse 14
Définition du plan (StatGraphics) 3) Sélection du plan : centré composite 2^3 + étoile + 2 points au centre = 8 + 6 + 2 = 16 essais 15
Définition du plan (StatGraphics) 3) Sélection du plan : propriétés Ajout de 7 points au centre pour les propriétés statistiques Au total : 23 essais 16
Définition du plan (StatGraphics) 4) Choix du modèle : quadratique 17
Définition du plan (StatGraphics) 5) Sélection des essais (D-optimalité) 6) Evaluation du plan 7) Enregistrement du plan, saisie des données 18
Données du plan (StatGraphics) 19
Analyse du plan (StatGraphics) 8) Analyse des données des 4 réponses 20
Analyse du plan (StatGraphics) 8) Etude spécifique de la réponse Abrasion 21
Analyse du plan (StatGraphics) 8) Réponse Abrasion : maximisation [150;170] 22
Analyse du plan (StatGraphics) Optimum 195.86 pour : silice = 1.7 silane = 60 soufre = 2.8 Optimum déterministe ponctuel ne prenant pas en compte les erreurs d estimation des coefficients du modèle ni les spécifications 23
Analyse du plan (StatGraphics) Le réglage optimal des facteurs est obtenu au bord du domaine expérimental Un risque d inadéquation du modèle L optimum obtenu (195) est largement supérieur à la LSS (170) Transfert du modèle dans @RISK Industrial 24
Transfert du modèle dans @RISK Même optimum avant utilisation de la simulation Problème DPMO 25
Définition des lois des coefficients A chaque coefficient du modèle de régression est associé une loi de Student pour prendre en compte l erreur-type d estimation de ce coefficient. 26
Définition de la réponse Sortie = Abrasion Spécifications et Six Sigma 27
Simulation Monte-Carlo (@RISK) Cellules ajustables : nécessaires pour l optimisation Ce sont les réglages optimaux recherchés pour optimiser la réponse sous d éventuelles contraintes Rappel des plages possibles des facteurs Silice : [ 0.7 ; 1.7 ] Silane : [ 40 ; 60 ] Soufre : [ 1.8 ; 2.8 ] Rappel de la plage Abrasion : [ 150 ; 170 ] 28
Simulation Monte-Carlo (@RISK) Même en tenant compte des erreurs d estimation du modèle, les valeurs pour l abrasion sont toujours au-dessus de la LSS. La simulation affiche la variabilité de l optimum. Cp 1 et Cpk < 0 29
Optimisation avec RISK Optimizer Recherche des valeurs optimales des trois facteurs Silice, Silane et Soufre permettant de : Cibler la valeur : 160 Pour la statistique Moyenne Sous la contrainte des spécifications» Abrasion dans la plage [150 ; 170] = [LSI ; LSS] 30
Optimisation avec RISK Optimizer Objectif Statistique Facteurs Contrainte 31
Optimisation avec RISK Optimizer Contrainte ferme Définition de la contrainte Spécifications 32
Optimisation avec RISK Optimizer Progression de l optimisation 50 essais demandés Evolution de la valeur de l abrasion vers la valeur cible 33
Optimisation avec RISK Optimizer Affichage de la synthèse : Meilleur essai Premier essai Dernier essai 34
Optimisation avec RISK Optimizer Affichage du journal des 50 essais Il est possible de générer un rapport complet dans une feuille Excel. 35
Optimisation avec RISK Optimizer Réglage optimal des facteurs Moyenne au voisinage de la cible et DPMO 36
Optimisation avec RISK Optimizer Simulation autour du réglage optimal trouvé : Moyenne = 159.64 Ecart-type = 1.450 Indices d aptitude : Cp = 2.3 Cpk = 2.2 37
Optimisation avec RISK Optimizer Nouvelle recherche des valeurs optimales des trois facteurs Silice, Silane et Soufre au voisinage de l optimum obtenu ( +/-10%) : Silice = 1,4421 => [ 1,3 ; 1,6 ] Silane = 55,4753 => [ 50 ; 60 ] Soufre = 2,4159 => [ 2,2 ; 2,7 ] Minimiser les DPMO, par exemple < 10000 38
Optimisation avec RISK Optimizer Objectif Statistique Plage pour les facteurs Contrainte DPMO 39
Optimisation avec RISK Optimizer Progression de l optimisation 100 essais demandés Evolution de la valeur de l abrasion vers la valeur cible 40
Optimisation avec RISK Optimizer Demande de génération du rapport complet : Synthèse Tous les essais Progression But : récupérer les valeurs DPMO et les visualiser sous forme graphique 41
Optimisation avec RISK Optimizer Meilleur essai : le 87 car sur cible 42
Affichage des résultats Evolution DPMO en fonction de l écart à la cible de 160 43
Affichage des résultats (DPMO) 44
Affichage des résultats (Abrasion) 45
Affichage des résultats 46
En conclusion 1) Optimisation initiale : 195,86 Réglage : 1,7 ; 60 ; 2,8 Au bord du domaine 2) Optimisation avec cible : 159,61 et contrainte Spécifications Réglage : 1,44 ; 55,48 ; 2,42 3) Optimisation avec cible : 160 et contrainte DPMO < 10000 Réglage : 1,45 ; 54,90 ; 2, 45 47
En conclusion Cas 1 Un optimum par défaut en-dehors des spécifications 48
En conclusion Cas 2 Un optimum dans les spécifications 49
En conclusion Cas 3 Un optimum dans les spécifications avec DPMO < 10 000 50
En conclusion 51
En conclusion Vous souhaitez recevoir cette présentation et le modèle @RISK : SIGMA PLUS Christian CHARLES 01 47 30 37 30 ccharles@sigmaplus.fr 52