L économétrie avec Grocer : une première prise en main Tovonony Razafindrabe 1 Master1 économie, Université Paris Ouest Nanterre la Défense. 1. EconomiX, Université Paris Ouest Nanterre la Défense.
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Chapitre 1 Familiarisation avec le logiciel Scilab 1.1 Installation de Scilab et de Grocer Scilab est un logiciel de calcul numérique scientifique développé par l Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (INRIA) et qui permettent de faire des calculs numériques. C est un logiciel «open source» et gratuit, disponible pour téléchargement sur le site officiel de Scilab. Grocer quant à lui est une boîte à outil économétrique, crée par Eric Dubois et développée avec Emmanuel Michaux à partir de 2005, conçue pour marcher avec Scilab. 1.1.1 Installation de Scilab Dans un premier temps, il est nécessaire avant toutes choses de télécharger et d installer la dernière version disponible de Scilab 1. Pour ce faire, créer un nouveau dossier portant par exemple le nom de scilab dans le répertoire local C : de votre disque dur. 1. la dernière version disponible à ce jour est la 5.2.0 3
4 CHAPITRE 1. FAMILIARISATION AVEC LE LOGICIEL SCILAB Maintenant, aller sur le site http://www.scilab.org/ pour télécharger et installer la dernière version de Scilab. Pour plus de détails sur l installation, le lecteur est prié de voir l AnnexeA (page41). 1.1.2 Installation de Grocer Toutes les informations et les dossiers nécessaire à l installation de Grocer se trouvent sur le site web de Eric Dubois, à savoir http://dubois.ensae.net/grocer.html. Comme pour Scilab, les détails sur l installation de Grocer se trouvent dans l AnnexeB (page47). 1.2 Environnement de Scilab Le langage de programmation de Scilab est très proche de celui de Matlab. C est un outil très bien adapté aux étudiants pour un premier pas vers la programmation. Il est simple d utilisation, gratuit et surtout performant. Scilab comprend un traducteur de Matlab en Scilab, très utile pour convertir des programmes écrits avec Matlab disponibles sur internet. Après avoir installer la dernière version de Scilab, lancez le et vous allez voir apparaître une nouvelle fenêtre nommer «console» (voir figure1.1 ci-dessous) 2. La console sert à 2. à noter que les instructions «Initialisation : Chargement de l environnement de travail loading Grocer 1.32 / Copyright Éric Dubois, Emmanuel Michaux et al. 2002-2008»
1.3. SCALAIRES, VECTEURS ET MATRICES 5 rentrer une suite d instructions ou de commandes sur la ligne matérialisée par une flèche > que scilab exécutera après avoir validé par la touche Entrée. Figure 1.1 console scilab En haut de la fenêtre des commandes se trouve une barre des menus contenant : Fichier Edit Préférences Contrôle Applications (?)Aides. Ce manuel n étant qu une présentation simplifiée de Scilab et de Grocer pour une première prise en main, le lecteur peut se référer au menu contextuel (?)Aides 3. 1.3 Scalaires, vecteurs et matrices Pour commencer, voici quelques commandes utiles : - clear, clc et clf permettent d effacer respectivement toutes les données mise en mémoire 4, l écran de commande 5 et les figures. - // permet d écrire une ligne de commentaire à l intérieur de la console. est due à l installation de Grocer, cf AnnexeB (page47.). Les commandes pour scilab marcheront même si l on a pas encore installer Grocer. 3. les aides pour Grocer n y apparaissent qu après son installation. 4. ou à partir de la barre des menus : Préférences Effacer l Historique. 5. ou à partir de la barre des menus : Préférences Effacer la Console.
6 CHAPITRE 1. FAMILIARISATION AVEC LE LOGICIEL SCILAB -... permet de descendre à ligne si une commande ou une instruction est trop longue pour tenir sur une seule ligne. - Un point virgule ; à la fin d une commande permet de l exécuter sans afficher le résultat dans la console. Cela rend la fenêtre plus lisible, notamment si l on a plusieurs lignes de commandes. Dans le cas général, l instruction d affectation sous Scilab prend la forme : «variable = instruction» ou directement «instruction» Dans ce dernier cas, la valeur de l instruction est affectée à une variable par défaut nommée «ans». 1.3.1 Scalaires Pour entrer un scalaire, l instruction est la suivante : >A = 4 Cela définit un scalaire A qui a pour valeur 4. Noter que l absence d un point virgule «;» à la fin de la commande entraine l affichage du résultat après avoir appuyé sur la touche Entrée. Ainsi on verra apparaître dans la console : >A = 4 A = 4. Par conséquent, >A = 4; Permet de définir un scalaire A qui a pour valeur 4 et de ne pas afficher les résultats dans la fenêtre. Ainsi avec le point virgule à la fin de la commande, on aura l affichage suivant après avoir appuyé sur la touche Entrée : >A = 4; > Dans le cas où l instruction ne comporte pas de signe d affectation, qui est matérialisée par le signe «=», le résultat apparaît à la suite du mot «ans». Ainsi l instruction qui calcule la racine carrée de A donne : >sqrt(a) ans = 2.
1.3. SCALAIRES, VECTEURS ET MATRICES 7 Par la suite, il est possible d appliquer sur «ans» les principales fonctions sur les scalaires jusqu à l entrée d une nouvelle instruction ne comportant de signe d affectation. Les principales fonctions sur les scalaires ainsi que les constantes spéciales 6 les plus utilisées prévues par scilab sont résumé dans le tableau suivant : abs() valeur absolue ou module exp() exponentielle log() logarithme népérien sqrt() racine carrée cos() cosinus sin() sinus %pi Π %i unité imaginaire d un nombre complexe. 1.3.2 Vecteurs Les éléments d un vecteur peuvent être saisis manuellement entourés de crochets et chaque élément doit être séparé par une virgule pour un vecteur ligne ou par un point virgule pour un vecteur colonne. >V=[1,2,3,4] ; //un vecteur ligne 7. >W=[1 ;2 ;3 ;4] ; //un vecteur colonne. Incrémentation Il est possible de définir un vecteur par incrémentation symbolisée par le signe «:». >V=[1 :4] ; // définit le même vecteur ligne V précédent. Le pas de l incrémentation est ici implicite et est égal à 1. Cependant, il est possible de définir le pas explicitement de la manière suivante : nom-vecteur=[début :pas :fin] ; Par exemple, l instruction suivante donne : >Z=[1 :0.5 :4] Z = 1. 1.5 2. 2.5 3. 3.5 4. 6. toujours précédées par le caractère % 7. à rappeler que la phrase après // est interprétée par Scilab comme étant un commentaire. Il est donc possible de faire une copie-coller de cette instruction directement dans la console.
8 CHAPITRE 1. FAMILIARISATION AVEC LE LOGICIEL SCILAB Pour créer un vecteur ligne à n composantes régulièrement réparties dans un intervalle [a,b], on utilise l instruction linspace(a,b,n). Ainsi, >VL=linspace(-1,1,12) ; //créer un vecteur ligne à 12 composantes régulièrement réparties entre -1 et 1. Opérations sur les vecteurs Pour voir le contenu d un vecteur précédemment défini, on tape simplement le nom : >V La transposition et la dimension d un vecteur sont données par les deux instructions suivantes : >V ; // donne la transposé du vecteur ligne V. >size(v) ; // donne la dimension du vecteur V : 1 ligne et 4 colonnes. cela donne, >size(v) ans = 1. 4. ou encore, >[nl,nc]=size(v) nc = 4. nl = 1. 1.3.3 Matrices La manière la plus simple de définir une matrice est de saisir manuellement la liste de ces éléments tout en respectant les consignes suivantes : - les éléments d une matrice sont saisis à l intérieur de crochets. - les éléments d une même ligne sont séparés par des espaces ou des virgules. - Chaque ligne doit se terminer par un point virgule sauf la dernière. Soit la matrice M = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 scilab par l instruction suivante : >M=[1,2,3 ;4,5,6 ;7,8,9] ; Cela produit la sortie : de dimension 3 lignes et 3 colonnes. Elle est définit sous
1.3. SCALAIRES, VECTEURS ET MATRICES 9 >M M = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Opérations sur les matrices ( ) ( ) 1 2 5 6 Soient deux matrices X = et Y =. Elles sont définies dans Scilab 3 4 7 8 avec les instructions suivantes : >X=[1,2 ;3,4] ; >Y=[5,6 ;7,8] ; Puis, les opérations habituelles sur les matrices sont les suivantes : >X+Y ; // addition. >X*Y ; // multiplication. >X-Y ; // soustraction. Opérations terme à terme Il est possible de faire une opération terme à terme, une multiplication et division, entre deux matrices ou deux vecteurs de même taille, entre un scalaire et une matrice ou entre scalaire et un vecteur. Il suffit pour cela de précéder les opérateurs de calcul par un «.», c est à dire : -. pour la multiplication terme à terme. -./ pour la division terme à terme. Ainsi l instruction suivante donnera : >X.*Y ans = 5. 12. 21. 32. Fonctions sur les matrices Les principales fonctions sur les matrices les plus utilisées sont : - det(m) calcule le déterminant de la matrice M. - inv(m) calcule l inverse de M. - rank(m) donne le rang de M.
10 CHAPITRE 1. FAMILIARISATION AVEC LE LOGICIEL SCILAB - spec(m) calcule les valeurs propres associées à M. - M donne la transposée de la matrice M. Extractions des éléments d un matrice ou vecteur Il est possible d extraire certains éléments ou une sous-matrices d une matrice. >M(1,1) ; // extrait l élément de la première ligne et première colonne. Dans notre exemple, c est égal à 1. >M(3,2) ; // extrait l élément de la troisième ligne et deuxième colonne. Dans notre exemple, c est égal à 8. >M(3, :) ; // extrait la ligne 3 de M. >M( :,2) ; // extrait la colonne 2 de M. >M(1 :2, :) ; // extrait la sous-matrice composée de la ligne 1 à 2 de M. >M( :,2 :3) ; // extrait la sous-matrice composée de la colonne 2 à 3 de M. >M(1 :2,2 :3) ; // extrait la sous-matrice composée de la ligne 1 à 2 et de la colonne 2 à 3 de M. >M([1,3],[2,3]) ; // extrait la sous-matrice composée des lignes 1 3 et des colonnes 2 3 de M. Par exemple, la dernière instruction donne : >M([1,3],[2,3]) ans = 2. 3. 8. 9. Pour une matrice carrée M, >diag(m) ; // permet d extraire les diagonales de la matrice M sous forme d un vecteur ligne. Par contre pour un vecteur V, >diag(v) ; // permet de créer une matrice diagonale dont les éléments sont ceux du vecteur V. Pour modifier un des éléments d une matrice, l instruction est la suivante : >M(1,1)=0.7 M = 0.7 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Cela permet de remplacer l élément qui se trouve sur la 1 ère ligne et 1 ère colonne de M par 0.7.
1.3. SCALAIRES, VECTEURS ET MATRICES 11 Vecteurs et valeurs propres >[Md,P] = bdiag(m) ; Cette instruction permet de diagonaliser la matrice M et donne en retour deux arguments, à savoir : - Md la matrice diagonale composée des valeurs propres de M, équivalente à D dans les cours de mathématiques. - P la matrice de passage composée de vecteurs propres associés à chaque valeurs propres de M. Ainsi, >V1=P( :,1) ;lambda1=md(1,1) ; // V1 est le vecteurs propre associé à la première valeur propre lambda1 de M. >V2=P( :,2) ;lambda1=md(2,2) ; // V2 est le vecteurs propre associé à la deuxième valeur propre lambda2 de M. >V1=P( :,3) ;lambda1=md(3,3) ; // V3 est le vecteurs propre associé à la troisième valeur propre lambda3 de M. On obtient ainsi la décomposition spectrale M = P Md P 1. Matrices prédéfinies Voici quelques listes de matrices prédéfinies : - zeros(m,n) crée une matrice à m lignes et n colonnes (m,n) ne contenant que des 0. - ones(m,n) crée une matrice à m lignes et n colonnes (m,n) ne contenant que des 1. - eye(m,n) crée une matrice à m lignes et n colonnes (m,n) dont les éléments diagonaux sont égaux à 1, les autres 0. - rand(m,n) crée une matrice à m lignes et n colonnes (m,n) de pseudo-réalisations de variables aléatoires uniformément distribuées dans [0 ;1]. - rand(m,n,"uniform") crée une matrice à m lignes et n colonnes (m,n) de pseudoréalisations de variables aléatoires uniformément distribuées dans [0 ;1]. - rand(m,n,"normal") crée une matrice à m lignes et n colonnes (m,n) de pseudoréalisations de variables aléatoires gaussienne centrée réduite N(0, 1). - N=µ+σ rand(m,n,"normal") crée une matrice N à m lignes et n colonnes (m,n) de pseudo-réalisations de variables aléatoires gaussienne de moyenne µ et d écart type σ, N(µ, σ 2 ). Les instructions zeros et ones sont utilisées pour initialiser les variables, tandis que rand et rand("normal") sont utiles pour la simulation, créer une série d innovations pour les chocs par exemple. Concaténation Les matrices peuvent être concaténées à condition que leurs dimensions soient compatibles.
12 CHAPITRE 1. FAMILIARISATION AVEC LE LOGICIEL SCILAB Concaténations des lignes : Soient encore les deux matrices X = ( 1 2 3 4 ) et Y = ( 5 6 7 8 >CL=[X Y] ; ou >CL=[X,Y] ; // donne la matrice CL qui est obtenu par concaténation en ligne de X et Y. Cela donne comme résultat, >CL=[X Y] CL = 1. 2. 5. 6. 3. 4. 7. 8. Concaténations des colonnes : La concaténation des colonnes, appelée aussi concaténation verticale, est obtenu en séparant les matrices à l intérieur des crochets par un point virgule, c est à dire : >CV=[X ;Y] ; // donne la matrice CV qui est obtenu par concaténation en colonne de X et Y. Cela affiche le résultat suivant : >CV=[X ;Y] CV = 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 1.4 Programmer avec Scilab 1.4.1 Espace de travail Avant de commencer à programmer, il est recommandé de créer et d organiser l espace de travail. Pour ce faire, créer tout d abord un nouveau dossier nommé «grocer» sous le disque local : C : \grocer. Ce nouveau dossier servira à stocker et enregistrer les fichiers de données «.xls», «.csv», «.txt». Puis, dans le dossier «grocer», créer un nouveau sous-dossier nommé «mylibrary» (mes commandes) : C : \grocer\mylibrary. Cette foisci, tous les programmes «.sce» devront être enregistrés dans ce sous-dossier. Auparavant, nous avons saisi les instructions directement sur la console de Scilab. Toutefois, ).
1.4. PROGRAMMER AVEC SCILAB 13 y écrire un programme qui implique des enchaînements de commandes compliquées n est pas recommandé. Cependant, Scilab possède un éditeur intégré, un fichier qui possède l extension «.sce» 8 que l on enregistre dans le nouveau dossier qui vienne d être crée, à savoir «C : \grocer\mylibrary», qui permet d écrire un programme et de l exécuter par la suite. L éditeur sous scilab se nomme «scipad». Pour l ouvrir, cliquer sur Application puis Editeur 9 dans le menu contextuel et la fenêtre suivante s ouvrira : Figure 1.2 éditeur Scipad Toutes les instructions seront écrites dans cette fenêtre et seront exécutées, après avoir été enregistrées, en cliquant sur le menu contextuel Exécuter puis Exécute le fichier dans scilab. Si tout est correct, les résultats apparaîtront dans la console scilab. A noter qu à partir de maintenant, toutes les lignes de commandes seront saisies dans l éditeur non plus dans la console scilab. Les commandes propres à scilab et grocer seront colorées 8. un script ne contenant que des enchaînements de commandes scilab doit être enregistré avec l extension «.sce», tandis que celui servant à créer une fonction, dont les commandes se termine donc par EndFunction, est enregistré avec l extension «.sci». 9. ou cliquer sur le bouton de raccourci sous forme de bloc-note qui se trouve juste en bas du menu Fichier.
14 CHAPITRE 1. FAMILIARISATION AVEC LE LOGICIEL SCILAB en bleue. Voici quelques recommandations importantes à retenir avant de commencer la programmation : 1. tout programme écrit dans l éditeur scipad doit être sauvegardé 10 avec une extension «.sce». 2. tout texte précédé d une double slash «//» est considéré comme un commentaire. Ceci permet d avoir une meilleure lisibilité du fichier. 3. si une instruction ne tient pas sur une ligne, elle peut être continuée en mettant des points de suspension «...» à la fin de la ligne. 4. à la fin de chaque ligne d instruction, ne pas oublier de mettre un point virgule «;» à moins que l on veuille expressément afficher après l exécution le nom de la variable et la valeur qui lui est affectée. 1.4.2 Importation de données Avant de commencer, télécharger les fichiers de données «ipi.txt» et «ipi.xls» disponible en ligne sur mon site web 11. Ces derniers seront nécessaires pour les exemples d estimation présentés dans ce manuel. Pour importer des données sous forme de matrice, il suffit de taper les lignes d instruction suivantes dans l éditeur scipad. lines(0) ; chdir( C :\grocer ) ; M = fscanfmat( C :\grocer\ipi.txt ) ; - lines initialise les ligne de programmation. - chdir indique à Scilab le chemin de direction 12 vers le dossier dans lequel les données sont stockées. - fscanfmat importe sous forme de matrice le fichier de données «ipi.txt» vers Scilab. Pour voir la sortie dans la console, enregistrer le fichier éditeur sous le nom de «ipi.sce» dans le dossier «mylibrary» 13 ensuite cliquer sur le menu Exécuter puis Execute le fichier dans scilab. Bien évidemment, la matrice M n apparaît pas dans la fenêtre à cause du point virgule qui se trouve à la fin de l instruction correspondant à fscanfmat. Pour faire apparaître M, tapez M dans la console puis appuyer sur Entrée ou enlever le point virgule à la fin de l instruction et exécuter à nouveau le script. 10. dans C : \grocer\mylibrary 11. http://economix.u-paris10.fr/fr/membres/?id=914 12. A noter que à défaut d avoir crée le fichier «grocer» dans le disque local C :, il suffit juste de spécifier à grocer le dossier dans lequel se trouve les données. Par exemple, «C :\Documents and Settings\Paul\Mes documents\grocer». 13. C :\grocer\mylibrary
1.4. PROGRAMMER AVEC SCILAB 15 A noter que ces trois lignes de commandes servent à initialiser la programmation dans l éditeur. Par conséquent, toutes les instructions ainsi que les programmations doivent être saisies après ce trois lignes de commandes. 1.4.3 Graphiques L instruction plot C est l instruction la plus utilisée mais aussi la plus simple sous Scilab pour faire un graphique. Voici un exemple, clf() ; x=linspace(-1,1,61) ; // création d une variable x composée de 61 observations entre //-1 et 1. y = x.^2 ; // création d une variable y. plot(x,y) xtitle( Graphique ) // donne le titre du graphique. - clf() permet d effacer la fenêtre graphique courante et son contenu. Ceci est indispensable si une commande plot a été déjà exécuté auparavant. Cela évite de superposer les courbes. - plot(x,y) dessine y en fonction de x. Il est possible de tracer plusieurs courbes sur une même fenêtre graphique. L instruction est la suivante : clf() ; x=linspace(-1,1,61) ; y = x.^2 ; // création d une variable y. z = 1-x.^2 ; // création d une autre variable z. w = 2.*y ; // création d une autre variable w. plot(x,y, b-*,x,z, r.,x,w, g ) xtitle( Graphique, abscisse, ordonnée ) legend( x.^2, 1-x.^2, 2 x.^2 ) - plot(... ) donne respectivement les graphes de y, z et w en fonction de x avec des options graphiques mises entre guillemet pour chaque courbe. - xtitle(... ) donne le titre du graphique, de l axe des abscisses et de l axe des ordonnés. - legend(... ) donne une légende pour chaque courbe. Les options avec plot Voici une liste d options pour l instruction plot :
16 CHAPITRE 1. FAMILIARISATION AVEC LE LOGICIEL SCILAB couleur : «k» : noir ; «c» : cyan ; «b» : bleu ; «m» : blue ; «r» : rouge ; «y» : jaune ; «g» : vert ; «w» : blanc. types de traits : : trait plein ; : tirets ; «:» :pointillés ; «-.» : tiret-point. symboles : «+» ; «x» ; «o» ; «d» ou «diamond» ; «s» ou «square» ; «ˆ» ; «v» ; «<» ; «>» ; «*» ; «.» ; «pentagram». L instruction subplot Pour dessiner plusieurs graphes dans la même fenêtre graphique, on utilise l instruction subplot(m, n, p). Cette dernière subdivise la fenêtre graphique courante en m*n sousfenêtre disposées sur m lignes et n colonnes, et sélectionne la p ième sous-fenêtre. Leur parcours se fait ligne par ligne de la gauche vers la droite. Considérons l exemple ci-dessus des trois fonctions x, y, z. Dessiner les trois courbes sur une même fenêtre graphique subdivisée en trois sous-fenêtre revient à taper les instructions suivantes : clf() ; subplot(2,2,1) plot(x,y) xtitle( Graphique1 ) // donne le titre du graphique de la 1 ère sous-fenêtre. subplot(2,2,2) plot(x,z) xtitle( Graphique2 ) // donne le titre du graphique de la 2 ème sous-fenêtre. subplot(2,2,3) plot(x,w) xtitle( Graphique3 ) // donne le titre du graphique de la 3 ème sous-fenêtre. Histogramme Pour tracer un histogramme, on utilise l instruction Scilab histplot(classes,x). N = rand(100,1, normal ) ; classes = linspace(-5,5,21) ; // Création de l axe des classes : 21 classes sur des valeurs // de -5 à 5. clf() ; histplot(classes,n)
1.4. PROGRAMMER AVEC SCILAB 17 Application Dessiner la variable qui se trouve sur la deuxième colonne de M 14 en fonction du nombre d observations qui est dans cet exemple égal à 213. Pour ce faire, il faut d abord extraire la deuxième colonne de M et affecter un nom au vecteur que l on vient d extraire puis tracer le graphique par l instruction plot. Dans notre exemple, la variable qui se trouve sur la deuxième colonne de M est le logarithme de l indice de la production industrielle de l Italie, nommée LIPI. LIPI=M( :,2) ; // extrait la 2 ème colonne de M. clf() ; // efface les graphiques en mémoire. plot(lipi) ; xtitle( LIPI ) ; // donne le titre du graphique. Pour un vecteur ligne ou colonne V, l instruction plot(v) trace le graphique de V en fonction du nombre d observations. Tandis que pour une matrice M, plot(m) trace sur un même graphique chaque colonne de M en fonction du nombre d observations. 1.4.4 Boucles Les opérateurs rationnels et logiques Voici une liste d opérateur logique dans scilab : & et ou non == égal à <> ou = différent de < strictement inférieur à > strictement supérieur à <= inférieur ou égal à >= supérieur ou égal à 14. le nom ainsi que les détails concernant chaque variables seront abordés ultérieurement dans le chapitre2 section 2.1.3 page30
18 CHAPITRE 1. FAMILIARISATION AVEC LE LOGICIEL SCILAB L instruction «for» Pour faire une boucle incrémentale, on utilise l instruction for. Le mot incrémentale fait référence à un compteur «i» qui est définit par «i = début :pas :fin», c est à dire «i» allant de «début» à «fin» suivant le pas «pas». Par défaut, ce dernier vaut 1 s il n est pas spécifié. La structure des commandes est la suivante : for i = début :pas :fin ; instruction 1 ; instruction n ; end ; Prenant un exemple très simple, x=0 ; // initialisation du scalaire x. for i=1 :4 ; // compteur i avec un pas égal à 1 par défaut. x=x+i ; // l instruction réalisée à chaque itération end ; Cela donne la somme d une suite d entier naturel de 1 à 4, c est à dire x= 1 + 2 + 3 + 4. Il est possible de faire une itération sur les éléments d un vecteur ligne ou colonne et d une matrice. itération sur les éléments d un vecteur. V=[1,2,3,4] ; // un vecteur ligne. x=0 ; // initialisation du scalaire x. for i=v ; // compteur i prend successivement la valeur des éléments de V. x=x+i ; // l instruction réalisée à chaque itération end ; Cela donne la somme des éléments de V, c est à dire x= 1 + 2 + 3 + 4. Les lignes de commandes suivantes permettent d avoir le même résultat. V=[1,2,3,4] ; x=0 ; // initialisation du scalaire x. for i=1 :4 ; // compteur i avec un pas égal à 1 par défaut. x=x+v(i) ; // V(i) extrait l i ème élément de V à chaque itération end ; itération sur les éléments d une matrice.
1.4. PROGRAMMER AVEC SCILAB 19 On veut créer un vecteur colonne dont les éléments sont la somme des éléments de chaque ligne d une matrice. Pour ce faire, il faut écrire les instructions suivantes : N=ones(3,3) ; // matrice ne contenant que des 1. Y=zeros(3,1) ; // initialisation du vecteur Y. for i=n ; // compteur i prend successivement la valeur des colonnes de V. Y=Y+i ; // somme successive des colonnes à chaque itération. end ; Il est aussi possible d écrire comme suit les instructions pour un même résultat : N=ones(3,3) ; // création d une matrice ne contenant que des 1. Y=zeros(3,1) ; // initialisation du vecteur Y. for j=1 :3 ; // compteur j prend successivement la valeur de 1 jusqu à 3. Y=Y+N( :,j) ; // N( :,j) extrait la j ème colonne de V à chaque itération end ; Le plus souvent, on utilise «Y=[ ]» pour initialiser le vecteur Y à la place de «Y=zeros(3,1)». Cela a pour avantage de se passer de la spécification de la dimension de Y. Application : Soit l équation de l évolution du stock de capital par tête suivante, k t+1 = (1 δ)k t+1 + inves t où - k t est le stock de capital par tête à l instant t. - k t+1 est le stock de capital par tête à l instant t + 1. - inves t est l investissement par tête à l instant t. - δ est le taux de dépréciation du capital. Sachant que δ = 0.075 et que k 0 = 143.21, calculer le stock de capital pour chaque période t allant de 0 à 100 en stockant les résultats dans un vecteur colonne 15 nommé k en supposant dans un premier temps qu il n y a pas d investissement, c est à dire inves t = 0 t, puis dans un deuxième temps en supposant que inves = 10.7 + 0.001 rand(100,1,"normal") 16. Voici les programmes, 1. cas où inves t = 0 t. delta=0.075 ; // définit le paramètre δ. k0=141.21 ; // définit le stock de capital initial. k=[] ; // initialise le vecteur k. k=[k ;k0] ; // concaténation verticale. 15. on crée un série temporelle pour une période d observation égale à 100. 16. Dans la réalité l investissement est déterminé par une équation structurelle.
20 CHAPITRE 1. FAMILIARISATION AVEC LE LOGICIEL SCILAB for i=1 :100 ; k1=(1-delta)*k0 ; // l instruction qui donne l évolution du capital. k=[k ;k1] ; // stocke le résultat à chaque itération en créant un vecteur colonne. k0=k1 ; // initialise le stock de capital initial qui va servir dans prochaine itération. end ; 2. cas où inves = 10.7 + 0.001 rand(100,1,"normal"). inves=10.7+0.001*rand(100,1,"normal") ; // création du vecteur inves. delta=0.075 ; // définit le paramètre δ. k0=141.21 ; // définit le stock de capital initial. k=[] ; // initialise le vecteur k. k=[k ;k0] ; // concaténation verticale. for i=1 :100 ; k1=(1-delta)*k0+inves(i) ; // l évolution du capital avec l investissement. k=[k ;k1] ; // stocke le résultat à chaque itération en créant un vecteur colonne. k0=k1 ; // initialise le stock de capital initial qui va servir dans prochaine itération. end ; L instruction «while» Pour faire une boucle conditionnelle, on utilise l instruction while. Elle permet de répéter une suite d instructions tant qu une condition est vraie. La structure des commandes est la suivante : while expression ; instruction 1 ; instruction n ; end ; Par exemple, V=zeros(10,1) ; // création d un espace pour stocker les résultats. i=1 ; // création d un compteur. while i<=10 ; // l instruction qui définit la condition. V(i,1)=rand(1,1) ; // on remplit le vecteur V de variables aléatoires tirés dans U[0,1[. i=i+1 ; end
1.4. PROGRAMMER AVEC SCILAB 21 L instruction «if» L instruction «if» permet de tester une expression et d affecter une instruction quand celle ci est vérifiée. La structure des commandes est la suivante : if expression 1 then instruction 1 ; elseif expression 2 then instruction 2 ; elseif expression n then instruction n ; else instruction n+1 ; end ; Par exemple, p = 0.4 ; // soit un scalaire p=0.4. y = rand(1) ; // choisissons y au hasard. if y < p then x = 1 ; elseif y >= p then x = 0 ; end Application : Créer un vecteur dont les éléments sont des nombres tirés au hasard, puis recoder les éléments de ce vecteur en fonction de leur valeur selon les instructions suivantes : - si la valeur de l élément est inférieur à 0.25, on le recodera comme étant égal 0. - si la valeur de l élément est compris 0.25 et 0.75, on le recodera comme étant égal 1. - sinon on recodera l élément comme étant égal 2. Voici l instruction, Z=rand(20,1) ; // un vecteur dont éléments tirés au hasard suivent une loi uniforme. V=[] ; // initialisation du vecteur qui va contenir les codes. i=1 ; // spécification du compteur. while i<=20 ; if Z(i,1)<0.25 then V(i,1)=0 ; elseif Z(i,1)>=0.25 & Z(i,1)<0.75 then V(i,1)=1 ; else V(i,1)=2 ; end ; i=i+1 ; end ;
22 CHAPITRE 1. FAMILIARISATION AVEC LE LOGICIEL SCILAB 1.5 Eléments de statistiques desciptives Pour une variable préalablement définie ou importée dans scilab et matérialisée par un vecteur ou un scalaire, il existe des commandes permettant de faire des calculs de statistiques descriptives. Les tableaux ci-après présentent une liste non exhaustive de ces commandes pour un vecteur ligne ou colonne quelconque nommé V et pour une matrice M. 1.5.1 Statistiques pour un vecteur s=sum(v) somme des éléments de V s= n i=1 V i p=prod(v) produit des éléments de V p= n i=1 V i SC=cumsum(V) somme cumulée des éléments de V SC(i)= i k=1 V k PC=cumprod(V) produit cumulé des éléments de V PC(i)= i k=1 V k min(v) max(v) minimum des éléments de V maximum des éléments de V V =mean(v) moyenne des éléments de V V = 1 n ni=1 V i median(v) v=variance(v) v=variance(v, r,0) médiane des éléments de V } variance sans biais v= 1 ni=1 n 1 (V i V ) 2 vb=variance(v, r,1) variance non corrigée vb= 1 n ni=1 (V i V ) 2 σ=st_deviation(v) écart type sans biais σ = 1 ni=1 n 1 (V i V ) 2 mk=moment(v,k) moment non-centré d ordre k mk= 1 n ni=1 V k i mck=cmoment(v,k) moment centré d ordre k mck= 1 n ni=1 (V i V ) k
1.5. ELÉMENTS DE STATISTIQUES DESCIPTIVES 23 1.5.2 Statistiques pour une matrice En ce qui concerne une matrice, les calculs statistiques s effectuent pour chaque colonne ou pour chaque ligne. L orientation du calcul, selon les colonnes ou selon les lignes, est définie dans scilab en ajoutant les options «r (ou 1)» et «c (ou 2)» dans les commandes précédentes. L instruction prend la forme suivante : «nom-d affectation=instruction(variable,option)» où, - l option «r (ou 1)» indique à scilab que l on fait un calcul sur les éléments de chaque colonne de la matrice (On obtient alors une ligne). - l option «c (ou 2)» indique à scilab que l on fait un calcul sur les éléments de chaque ligne de la matrice (On obtient alors une colonne). Sc=sum(M, r ) somme des éléments de chaque colonne de M. Sl=sum(M, c ) somme des éléments de chaque ligne de M. Pc=prod(M,1) produit des éléments de chaque colonne de M. Pl=prod(M,2) produit des éléments de chaque ligne de M. SCc=cumsum(M, r ) somme cumulée des éléments de chaque colonne de M. SCl=cumsum(M, c ) somme cumulée des éléments de chaque ligne de M. PCc=cumprod(M, r ) produit cumulée des éléments de chaque colonne de M. PCl=cumprod(M, c ) produit cumulée des éléments de chaque ligne de M... Vc=variance(V, r,0) variance sans biais de chaque colonne de M. Vl=variance(V, c,0) variance sans biais de chaque ligne de M. VBc=variance(V, r,1) variance non corrigée de chaque colonne de M. VBl=variance(V, c,1) variance non corrigée de chaque ligne de M.
24 CHAPITRE 1. FAMILIARISATION AVEC LE LOGICIEL SCILAB 1.5.3 Autres statistiques importantes Skewness Le skewness est une mesure de l asymétrie de la distribution d une variable autour de sa moyenne. Il est obtenu en calculant le moment non-centré d ordre trois de la variable centrée-réduite. Ainsi, [ (X ) ] m 3 skew = E σ m étant la moyenne et σ l écart-type. Cela peut aussi s écrire en termes de moment centré de la manière suivante : skew = E [ (X m) 3] σ 3 = 1 n ni=1 (X i X) 3 [ 1 n ni=1 (X i X) 2 ] 3 2 = mc3 (mc2) 1.5 Donc en termes de commande sous scilab, mc3=cmoment(v,3) ; // moment centré d ordre trois. mc2=cmoment(v,2) ; // moment centré d ordre deux ou variance non corrigée. skew=mc3./(mc2.^1.5) ; Le skewness de la loi normale, qui est une distribution symétrique, vaut zéro. Ainsi un skewness positif (respectivement négatif) signifie que la distribution possède une queue étalée vers la droite (respectivement vers la gauche), cela veut dire que les valeurs positives (respectivement négative) de la variable ont plus de poids que les valeurs négatives (respectivement positive). Kurtosis Le kurtosis est une mesure de l aplatissement de la distribution d une variable. Il est obtenu en calculant le moment non-centré d ordre quatre de la variable centrée-réduite. Ainsi, [ (X ) ] m 4 skew = E σ m étant la moyenne et σ l écart-type. Cela peut aussi s écrire en termes de moment centré comme pour le skewness de la manière suivante : kur = E [ (X m) 4] σ 4 = ni=1 (X i X) 4 1 n [ 1 ] ni=1 2 = n (X i X) 2 mc4 (mc2) 2
1.5. ELÉMENTS DE STATISTIQUES DESCIPTIVES 25 Donc en termes de commande sous scilab, mc4=cmoment(v,4) ; // moment centré d ordre quatre. mc2=cmoment(v,2) ; // moment centré d ordre deux ou variance non corrigée. skew=mc4./(mc2.^2) ; Le kurtosis d une distribution normale est égale à 3. Ainsi, si le kurtosis est supérieur (respectivement inférieur) à 3, alors la distribution est élevée (respectivement aplatie) par rapport à la loi normale. On dit que la distribution est leptokurtique (respectivement platikurtique). Les queues d une distribution platikurtique sont épaisses donnant ainsi plus de poids aux valeurs extrêmes (négatives et positives) de la série. Covariance et Correlation La covariance entre deux X et Y est définie par : cov(x, Y ) = 1 n (X i X)(Y i Y ) n i=1 Avec scilab, la covariance s obtient par l instruction suivante : [Cov,Mean]=corr(X,Y,1) ; Cette commande calcule et stocke dans «Cov» la covariance entre X et Y et dans «Mean» la moyenne de X et de Y. Quant à la corrélation, elle est définie par : ρ X,Y = cov(x, Y ) σ X.σ Y où σ X et σ X sont respectivement les écart-types de X et de Y. Au final, pour avoir le coefficient de corrélation sous scilab, la commande est la suivante : [Cov,Mean]=corr(X,Y,1) ; // calcule la covariance entre X et Y varx=cmoment(x,2) ; // calcule la variance de X vary=cmoment(y,2) ; // calcule la variance de Y stdx=sqrt(varx) ; // calcule l écart type de X stdy=sqrt(vary) ; // calcule l écart type de Y cor=cov./(stdx*stdy)
26 CHAPITRE 1. FAMILIARISATION AVEC LE LOGICIEL SCILAB
Chapitre 2 Le modèle de régression multiple Les objectifs essentiels de ce manuel sont, d une part, de présenter un outil de calcul informatique permettant de mener un projet économétrique, notamment la boîte à outil Grocer, mais aussi d autre part, d interpréter les sorties et les résultats. Pour être le plus clair possible, il sera fait à chaque fois que nécessaire une brève rappel théorique, sans pour autant entrer dans les détails. Le chapitre précédent a présenté l environnement scilab, d autant plus nécessaire car Grocer y est implémenté. A partir de ce chapitre, on verra comment utiliser ces outils de calcul pour faire une étude de cas empirique. 2.1 Le modèle de régression multiple Un modèle de régression consiste à étudier la dépendance d une variable, que l on qualifie de variable expliquée, à une ou plusieurs autres variables, que l on qualifie de variables explicatives. Lorsqu il n y a qu une seule variable explicative, on parle de régression simple, tandis que lorsqu il y a plusieurs variables explicatives, on parle de régression multiple. D une façon générale, le modèle de régression multiple à «k» variables explicatives s écrit : Y t = α + β 1 X 1t + β 2 X 2t + + β k X kt + ɛ t (2.1) où - t = 1, 2,..., T est la période d observation. - Y t est la variable expliquée. - X 1t, X 2t,..., X kt sont les variables explicatives. - α est une constante. - ɛ t est un terme d erreur. Les coefficients β 1, β 2,..., β k sont appelés «coefficients de régression partiels». Le coefficient β 1 mesure l effet d une variation de un point de X 1t sur Y t, toutes choses égales par 27
28 CHAPITRE 2. LE MODÈLE DE RÉGRESSION MULTIPLE ailleurs. Sous forme matricielle, l équation (2.1) précédente s écrit : Y 1 α Y 2 β 1. } Y T {{ } Y 1 X 11 X k1 1 X 12 X k2 =... } 1 X 1T {{ X kt } X Au final, le modèle de régression multiple s écrit : +. } β k {{ } β ɛ 1 ɛ 2. } ɛ t {{ } ɛ Y = X.β + ɛ (2.2) où Y est un vecteur colonne à T éléments (T x 1) de la variable expliquée, X est une matrice à T lignes et k+1 colonnes (T x (k+1)) de la constante et des k variables explicatives X kt, β est un vecteur colonne à k + 1 éléments ((k + 1) x 1) des coefficients de régression partiel et ɛ est un vecteur (T x 1) des résidus. 2.1.1 Hypothèses Voici les hypothèses de bases d un modèle de régression multiple : Hypothèse 1 La matrice X est non aléatoire. Les valeurs des variables figurant dans la matrice X sont observées sans erreur. En d autres termes, la matrice X est indépendante de chaque valeur du terme d erreur. Autrement dit, E(ɛ X) = E(ɛ) = 0 et V (ɛ X) = V (ɛ) = σ 2 ɛ.i. Hypothèse 2 La matrice X est de plein rang : rang(x)=k+1. Autrement dit, les variables explicatives sont indépendantes entre elles. Il n existe pas de colinéarité entre les variables. Une condition nécéssaire est que T soit supérieur à k+1. Hypothèse 3 Le terme d erreur est d espérance nulle : E(ɛ 1 ) E(ɛ) =. E(ɛ t ) = 0 (2.3) Hypothèse 4 Homoscédasticité et absence d autocorrélation des erreurs. Soit la matrice de variance-covariance du terme d erreur E(ɛɛ ) définie par : V (ɛ 1 ) cov(ɛ 1, ɛ 2 ) cov(ɛ 1, ɛ T ) E[(ɛ E(ɛ))(ɛ E(ɛ)) cov(ɛ ] = 2, ɛ 1 ) V (ɛ 2 ).. (2.4).... cov(ɛ T, ɛ 1 ) cov(ɛ T, ɛ 2 ) V (ɛ 1 )
2.1. LE MODÈLE DE RÉGRESSION MULTIPLE 29 Sachant que E(ɛ) = 0 dans l équation (2.3) et que la matrice de variance-covariance est symétrique, car cov(ɛ i, ɛ j ) = cov(ɛ j, ɛ i ), on a : E(ɛ 2 1 ) E(ɛ 1ɛ 2 ) E(ɛ 1 ɛ T ) E(ɛɛ E(ɛ ) = 1 ɛ 2 ) E(ɛ 2 2 )...... E(ɛ 1 ɛ T ) E(ɛ 2 ɛ T ) E(ɛ 2 1 ) En l absence d autocorrélation des résidus, les termes en dehors du diagonal sont nuls, c est à dire E(ɛ t ɛ t ) = cov(ɛ t ɛ t ) = 0 t t. Tandis que sous l hypothèse d homoscédasticité, les variances des résidus sont constantes et sont égales à la variance du terme de l erreur, c est à dire E(ɛ 2 t ) = V (ɛ t ) = σ 2 ɛ t. Ainsi, E(ɛɛ ) = σ 2 ɛ.i (2.5) I est une matrice identité et σ 2 ɛ la variance du terme de l erreur ɛ. Hypothèse 5 L erreur suit une loi normale : ɛ N(0, σ 2 ɛ.i). 2.1.2 L estimateur MCO L estimateur β des moindres carrés ordinaires (MCO) est obtenu en minimisant la somme des carré des résidus T t=1 ɛ 2 t. Soit alors, β = argmin ɛ ɛ = argmin(y X.β) (Y X.β) } {{ } } {{ } β β Si la matrice (X X) est inversible (Hypothèse2 : X est de plein rang), on démontre aisément que l estimateur β est donné par : β = (X X) 1 X Y (2.6) La matrice de variance covariance des coefficients des MCO est définie par : Ω ˆβ = E[( ˆβ E( ˆβ))( ˆβ E( ˆβ)) ] Sachant que l estimateur ˆβ des MCO est un estimateur sans biais (si l hypothèse1 est vérifiée) 1, c est à dire E( ˆβ) = β (2.7) 1. sachant que β = (X X) 1 X Y avec Y = X.β + ɛ. On a, β = (X X) 1 X X.β + (X X) 1 X.ɛ = β + (X X) 1 X.ɛ. Soit encore, E( β) = β + E((X X) 1 X.ɛ), avec : E((X X) 1 X.ɛ) = E((X X) 1 X ).E(ɛ) = 0 si X et ɛ sont indépendants et E(ɛ) = 0. A noter que nous n avons pas utiliser l hypothèse 4 pour démontrer que l estimateur MCO est non biaisé. Cela veut dire tout simplement que «β restera toujours un estimateur sans biais en présence d autocorrélation et/ou d hétéroscédasticité».
30 CHAPITRE 2. LE MODÈLE DE RÉGRESSION MULTIPLE de plus si les hypothèses de non-autocorrélation et d homoscédasticité des résidus définies par l équation (2.5) sont vérifiées, la matrice de variance covariance des coefficients est définie par Ω ˆβ = σ 2 ɛ (X X) 1 (2.8) alors l estimateur ˆβ est de variance minimale. On parle d estimateur BLUE (Best Linear Unbiaised Estimator), le meilleur estimateur linéaire sans biais des coefficients de régression. Quant à l estimateur de la variance des résidus σ 2 ɛ, il est définit par ˆσ 2 ɛ = e e T k 1 = Tt=1 e 2 t T k 1 (2.9) où T est le nombre d observations, k le nombre de variables explicatives sans la constante et e t n est autre que les résidus après estimation de la régression présentée dans l équation (2.2), c est à dire : e = Y Ŷ = Y X. ˆβ (2.10) ou encore, 2.1.3 Application e t = Y t ˆα ˆβ 1 X 1t ˆβ 2 X 2t ˆβ k X kt Comme exemple d application, on cherche à modéliser l indice de la production industrielle de fréquence mensuelle de l Italie 2, notée IPI, en fonction des données d enquêtes sur les ménages et les industries de la commission européenne 3. L équation qui relie la variation mensuelle de l IPI, notée IPI VM, avec les séries d enquêtes est la suivante : 12 4 4 IP I_V M t = α + βj 1 IP I_V M t j + βj 2 IS_CONF t j + + βj 9 CS_SF SH t j + ɛ t j=1 j=0 j=0 (2.11) En tout, il y aura neuf variables explicatives avec leur retard respectif (4 au maximum) qui sont : - IS_CONF : l indicateur de confiance des industriels. - IS_PROD : la tendance de production observée au cours des derniers mois. - IS_AEOB : l évolution du niveau des carnets de commandes des exportations. - IS_SP : prix de vente anticipé pour les mois à venir. - IS_EE : le niveau d emploi espéré pour les mois à venir. - CS_CONF : l indicateur de confiance des ménages. - CS_MPN : les achats majeurs prévus des ménages pour les 12 prochains mois. 2. http://epp.eurostat.ec.europa.eu/portal/page/portal/statistics/themes 3. http://ec.europa.eu/economy finance/db indicators/surveys/time series/index en.htm
2.1. LE MODÈLE DE RÉGRESSION MULTIPLE 31 - CS_SFSH : l état sur la situation financière des ménages. Le but est de chercher le meilleur modèle, en choisissant les variables explicatives parmi les séries d enquêtes y compris les séries retardées, qui explique le mieux l évolution de l indice de la production industrielle de l Italie IPI_VM. C est à dire, on part d un modèle général contenant l endogène retardée, les séries d enquêtes ainsi que leur retard ; et on cherche à éliminer au fur et à mesure les exogènes non significatives pour avoir le meilleur modèle pour l IPI_VM. Les étapes de sélection du meilleur modèle sera étudiée en détails dans les prochaines sections, mais tout d abord, considérons le modèle suivant : IP I_V M t = α + β 1 IP I_V M t 1 + β 2 IP I_V M t 2 + β 3 IP I_V M t 12 + β 4 IS_P ROD t + ɛ t (2.12) La période d estimation va de 1991M04 à 2007M12 4, soit un nombre total d observations égal à 201 périodes. Pour calculer les estimateurs des coefficients de régressions ˆβ = (α, ˆβ 1, ˆβ 2, ˆβ 3, ˆβ 4 ), on utilise la formule donnée par l équation (2.6). Pour permettre les calculs matriciels dans scilab, les données ont été importées, voir section 1.4.2 page14, sous formes de matrice nommée M 5. Les lignes d instructions pour le calcul de ˆβ sont les suivantes : IPI_VM=M(13 :213,1) ; // extraction de la variable IP I_V M t L1IPI_VM=M(12 :212,1) ; // extraction de la variable IP I_V M t 1 L2IPI_VM=M(11 :211,1) ; // extraction de la variable IP I_V M t 2 L12IPI_VM=M(1 :201,1) ; // extraction de la variable IP I_V M t 12 IS_PROD=M(13 :213,4) ; // extraction de la variable IS_P ROD CTE=ones(201,1) // création du vecteur colonne pour la constante Y=IPI_VM ; // le vecteur représentant la variable endogène X=[CTE L1IPI_VM L2IPI_VM L12IPI_VM IS_PROD] ; // la matrice X des // variables exogènes et de la constante b=(inv(x *X))*(X *Y) ; 4. les observations allant de 1990M4 à 1991M3, soit 12 observations, servent pour la construction des variables retardées : 12 retards pour l endogène et 4 retards pour les exogènes 5. Si ce n est pas le cas, retaper les commandes d initialisations suivantes pour importer la matrice M : lines(0) ; chdir( C :\grocer ) ; M = fscanfmat( C :\grocer\ipi.txt ) ;
32 CHAPITRE 2. LE MODÈLE DE RÉGRESSION MULTIPLE On obtient après calcul le vecteur des coefficients de régression suivant : ˆα 0.3743458 ˆβ 1 0.5338572 ˆβ = ˆβ 2 = 0.2459785 ˆβ 3 0.2324355 ˆβ 4 0.0178021 Pour obtenir le vecteur des résidus de la régression défini par l équation (2.10), l instruction est la suivante : e=y-(x*b) ; Ainsi pour avoir l estimateur de la variance des résidus défini par l équation (2.9), l instruction est la suivante : ve=sum(e.^2)/(201-4-1) ; // T = 201 et k = 4 (4 variables explicatives) On obtient alors après calcul ve = 1.449012. D où la matrice de variance-covariance de ˆβ définie par l équation (2.8). vb=ve*(inv(x *X)) ; // matrice de variance-covariance de ˆβ stdb=(diag(vb)).^0.5 ; // diag extrait la diagonale de la matrice vb où se trouve // les variances de ˆβ tandis que stdb calcule l écart-type ˆσ ˆβ des coefficients ˆβ Après calcul on obtient la matrice de variance covariance de ˆβ, Ω ˆβ = vb = 0.0129517 0.0012453 0.0014221 0.0009002 0.0005732 0.0012453 0.0045443 0.0020493 0.0004349 0.0000652 0.0014221 0.0020493 0.0045076 0.0002606 0.0000845 0.0009002 0.0004349 0.0002606 0.0036581 0.0000612 0.0005732 0.0000652 0.0000845 0.0000612 0.0000588 puis les écart-types estimés de ˆβ, ˆσ ˆβ = ˆσˆα ˆσ ˆβ1 ˆσ ˆβ2 ˆσ ˆβ3 ˆσ ˆβ4 = stdb = 0.1138055 0.0674111 0.0671384 0.0604824 0.0076693 Pour finir, avec les valeurs des coefficients estimés ˆβ et des écart-types estimés ˆσ ˆβ, le t de student calculé s obtient facilement par t ˆβ = ˆβ ˆσ. ˆβ
2.2. TEST DE SIGNIFICATIVITÉ 33 tstud=b./stdb ; Ainsi après calcul, on obtient : tˆα t ˆβ1 t ˆβ = t ˆβ2 = tstud = t ˆβ3 t ˆβ4 3.2893458 7.91943 3.663751 3.8430301 2.3212224 (2.13) 2.2 Test de significativité Le principe du test consiste à tester la véracité d une hypothèse de base dite «hypothèse nulle» notée H 0 contre une autre hypothèse dite «hypothèse alternative» notée H 1 en se basant sur les observations statistiques et les lois qui régissent cette distribution statistique. Selon la forme de l hypothèse alternative, il existe trois sortes de tests à savoir le test unilatéral à gauche, le test unilatéral à droite et le test bilatéral. De plus, la règle de décision varie selon les différents types de tests. Tout cela est résumé dans le tableau ci-après : Tests Règles de décision sous H 0 Type de test H 0 : θ = θ 0 si T (ˆθ) > Π 1 on accepte H 0 H 1 : θ < θ 0 si T (ˆθ) Π 1 on refuse H 0 Test unilatéral à gauche H 0 : θ = θ 0 si T (ˆθ) < Π 2 on accepte H 0 H 1 : θ > θ 0 si T (ˆθ) Π 2 on refuse H 0 Test unilatéral à droite H 0 : θ = θ 0 si Π 1 < T (ˆθ) < Π 2 on accepte H 0 H 1 : θ θ 0 si T (ˆθ) Π 1 ou T (ˆθ) Π 2 on refuse H 0 Test bilatéral où θ est un paramètre que l on veut tester l égalité à θ 0 dont l estimateur est la statistique ˆθ. Comme un problème de test est équivalent à un problème de décision basée sur un échantillon, il est entaché d erreur. Il est possible de se tromper de deux manières. Accepter H 0 Refuser H 0 H 0 vraie Pas d erreur Erreur de 1 ère espèce H 0 fausse Erreur de 2 nde espèce Pas d erreur
34 CHAPITRE 2. LE MODÈLE DE RÉGRESSION MULTIPLE Par conséquent, l «erreur de première espèce» consiste à refuser H 0 alors qu elle est vraie tandis que l «erreur de seconde espèce» consiste à accepter H 0 alors qu elle est fausse en réalité. Les étapes du test consistent à : 1. prendre un échantillon, à calculer l estimateur ˆθ et à déterminer sur cet échantillon une statistique fonction de ˆθ notée T (ˆθ) dont on connait la distribution échantillonale Ψ = (loi normale, de student, de fischer, de ki-deux,...) mais dont cette loi de distribution ne dépend pas de ˆθ. 2. comparer la valeur calculée de la statistique de test par rapport à la distribution de cette statistique pour prendre la décision finale. On appelle «risque de 1 ère espèce» la probabilité α de commettre une erreur de première espèce, formellement : α = P rob(refuser H 0 /H 0 vraie) Prenons l exemple du test bilatéral qui est le plus couramment utilisé. La règle de décision est la suivante : { Π1 < T (ˆθ) < Π 2 = on accepte H 0 T (ˆθ) Π 1 ou T (ˆθ) Π 2 = on rejette H 0 (2.14) On utilise la définition de α pour connaître la valeur de Π 1 et Π 2. Ainsi, α = P rob (refuser H 0 /H 0 vraie) = P rob (T (ˆθ) Π 1 ou T (ˆθ) Π 2 / θ = θ 0 ) 1 α = P rob (Π 1 < T (ˆθ) < Π 2 = / θ = θ 0 ) = P rob (ψ α/2 < ψ < ψ 1 α/2 ) où 1 α est définie comme étant le niveau de confiance, ψ α/2 le fractile d ordre α/2 et ψ 1 α/2 le fractile d ordre 1 α/2 de la loi ψ. Sachant Π 1 = ψ α/2 et Π 2 = ψ 1 α/2, la règle de décision devient alors : { ψα/2 < T (ˆθ) < ψ 1 α/2 = on accepte H 0 T (ˆθ) ψ α/2 ou T (ˆθ) ψ 1 α/2 = on rejette H 0 (2.15) Pour des distributions symétriques comme la loi gaussienne ou la loi de student, ψ α/2 = ψ 1 α/2. Par conséquent, la règle de décision devient : { T (ˆθ) < ψ1 α/2 = on accepte H 0 T (ˆθ) ψ 1 α/2 = on rejette H 0 (2.16)
2.2. TEST DE SIGNIFICATIVITÉ 35 2.2.1 p-value Une version équivalente de la règle de décision précédente revient à comparer la p-value au seuil de critique α. Théoriquement la p-value est égale à la probabilité de rejeter à tort l hypothèse nulle H 0. C est la probabilité que la valeur statistique de test prenne des valeurs aussi extrêmes ou plus extrêmes que la valeur observée T (ˆθ) pour la statistique de test. Pour une distribution symétrique, on a : p value = P rob (refuser H 0 /H 0 vraie) = P rob (T (θ) T (ˆθ) ou T (θ) T (ˆθ) / θ = θ 0 ) = P rob (T (θ) T (ˆθ)/ θ = θ 0 )) + P rob (T (θ) T (ˆθ)/ θ = θ 0 )) ainsi, p value = 2.P rob(ψ > T (ˆθ) ) (2.17) Ainsi, si la p-value estimée est grande (c est-à-dire supérieure au niveau de risque α), la probabilité de rejeter à tort l hypothèse nulle est grande et on ne rejette pas H 0, c est à dire, on accepte H 0. Dans le cas contraire où la p-value est faible (c est-à-dire inférieure au niveau de risque α), la probabilité de rejeter à tort l hypothèse nulle est faible et on est alors en mesure de rejeter H 0. D où la règle de décision, { p value < α = on rejette H0 p value α = on accepte H 0 (2.18) 2.2.2 Test sur un coefficient de régression D après l hypothèse 5 page29, l erreur ɛ est supposée suivre une loi normale. Étant donné que l estimateur ˆβ est une fonction linéaire de ɛ, ˆβ suit alors aussi une loi normale. On sait que ˆβ est un estimateur sans biais de β, c est à dire E( ˆβ) = β, et que la matrice de variance-covariance de ˆβ est donnée par Ω ˆβ qui est définie par l équation (2.8) page30. Par conséquent, ˆβ N(β, Ω ˆβ) (2.19) Pour le coefficient ˆβ i associé à la i ème variable explicative, on a : ˆβ i N(β i, Ω iiˆβ ) où Ω iiˆβ est la i ème diagonale de la matrice de variance-covariance Ω ˆβ. Ainsi, on a la statistique T ( ˆβ i ) qui dépend de ˆβ i mais dont la loi de distribution ne dépend pas de ˆβ i, à savoir : T ( ˆβ i ) = ˆβ i β i Ω iiˆβ = ˆβ i β i σ ɛ aii N(0, 1)
36 CHAPITRE 2. LE MODÈLE DE RÉGRESSION MULTIPLE où a ii est la i ème diagonale de la matrice (X X) 1. Comme σ ɛ n est pas connu dans l expression de Ω ˆβ, le fait de le remplacer par son estimateur donné par l équation (2.9) page30 change la loi suivie par ˆβ. Ainsi on a, T ( ˆβ i ) = ˆβ i β i ˆσ ɛ aii = ˆβ i β i ˆσ ˆβ Student(T k 1) (2.20) Maintenant pour tester la significativité des coefficients de régressions, on applique le test bilatéral suivant : { H0 : β i = 0 (2.21) H 1 : β i 0 L estimateur de β i est donné par ˆβ i et la statistique de test (T (ˆθ)) est donnée par l équation (2.20) ci-dessus. Ainsi, à un niveau α donné du seuil critique, c est à dire la probabilité de refuser H 0 sachant qu elle est vraie, la règle de décision est la suivante sous l hypothèse H 0 : β i = 0 : ˆβ i ˆσ < T 1 α/2 = on accepte H 0 ˆβ ˆβ i ˆσ T 1 α/2 = on rejette H 0 ˆβ Le t de student calculé est défini par t ˆβi = ˆβ i ˆσ. Tandis que T 1 α/2 est le fractile d ordre ˆβ (1 α/2) de la loi de Student à (T-k-1) degrés de liberté. Quand le nombre d observation est grand, T 30, la loi de student tend vers la loi normale centrée réduite N(0,1). Ainsi, pour une valeur du seuil critique α = 5%, le fractile T 1 α/2 approche le fractile d ordre (1 α/2) de la loi gaussienne qui vaut 1,96. Ainsi, la règle de décision devient : { t ˆβi < T 1 α/2 = 1.96 = on accepte H0 : β i non significatif t ˆβi T 1 α/2 = 1.96 = on rejette H0 : β i significatif (2.22) 2.2.3 Application Pour tester la significativité des coefficients ˆβ dans l exemple d application de la section précédente, il suffit de comparer les t de student calculés associé à chaque coefficients donnés par l equation(2.13) page33 à la valeur de la fractile T 0.975 = 1.972 de la loi de student à T k 1 = 201 4 1 = 196 degré de liberté. Il apparaît que t ˆβi > 1.972 pour toutes les variables explicatives ainsi que la constante. tˆα t ˆβ1 t ˆβ = t ˆβ2 = tstud = t ˆβ3 t ˆβ4 3.2893458 > 1.972 7.91943 > 1.972 3.663751 > 1.972 3.8430301 > 1.972 2.3212224 > 1.972
2.2. TEST DE SIGNIFICATIVITÉ 37 Par conséquent, on rejette H 0 : β i = 0, les variables sont toutes statistiquement significatives à un seuil critique de 5%. En ce qui concerne la p-value, calculons celle associée à la constante α. p value = 2.P rob(t (196) > tˆα ) = 2.(1 P rob(t (196) < tˆα )) = 2.(1 P rob(t (196) < 3.2893458 )). En lisant la table de la loi de student à 196 degrés de liberté, P rob(t (196) < 3.2893458 ) 0.9995. Soit alors, p value = 2.(1 0.9995) = 0.001. Ainsi, p value < 0.005, la probabilité de rejeter à tort H 0 est faible et est inférieure au seuil critique α = 5% = 0.05. Il est donc possible de rejeter H 0 : α = 0 en faveur de H 1 : α 0. La constante est statitiquement différente de zéro, elle est significative. 2.2.4 Test de significativité d un sous ensemble de coefficients On teste ici la significativité jointe d une partie ou de toutes les variables explicatives hormis la constante. Le test se présente de la manière suivante : { H0 : β 1 = β 2 = = β q = 0 pour q k H 1 : au moins un β i de 0. La statistique de test communément appelée «f-statistic» est définie sous l hypothèse nulle par : f = (SCR c SCR nc )/q F (q, T k 1) (2.23) SCR nc /(T k 1) où - SCR nc est la somme des carrés des résidus du modèle non contraint, c est à dire le modèle avec toutes les variables explicatives. - SCR c est la somme des carrés des résidus du modèle contraint sous H 0. - q le nombre de contraintes, c est dire le nombre de coefficient égal à 0. - k le nombre de variables explicatives. Cette statistique suit une loi de Fischer à (q,t-k-1) degré de liberté et la règle de décision 6 est la suivante : { f < Fα (q, T k 1) = on accepte H 0 f > F α (q, T k 1) = on rejette H 0 où F α (q, T k 1) est le fractile d ordre 1 α de la loi de Fischer à (q,t-k-1) degré de liberté. Comme précédemment, on peut aboutir à la même règle de décision en calculant la p-value et en la comparant au seuil de risque α, avec : p value = P rob(f (q, T k 1) > f) 6. malgré le caractère bilatéral du test, la valeur tabulée ou critique F (q, T k 1) est déterminée de manière unilatérale.
38 CHAPITRE 2. LE MODÈLE DE RÉGRESSION MULTIPLE et la règle de décision est la même que celle de l équation (2.18) page(35). A noter que la statistique f statistic peut s écrire en termes de R 2 pour avoir ce que l on appelle aussi «F-statistic», à savoir : F = (Rnc 2 Rc)/q 2 1 Rnc/(T 2 F (q, T k 1) (2.24) k 1) où R 2 nc est le R 2 du modèle non contraint tandis que R 2 c est le R 2 du modèle contraint. Pour finir, quand q = k, c est à dire on teste la significativité jointe de toutes les variables hormis la constante on a la statistique de test : F = R 2 /k 1 R 2 F (k, T k 1) (2.25) /(T k 1) Cette statistique est donnée automatiquement dans le tableau des résultats par Grocer sous le nom de «Overall F test» ainsi que sa «p-value» qui est égale à P rob(f (k, T k 1) > F ). Quand il s agit de tester une ou plusieurs restrictions linéaires sur les coefficients de régression, on utilise plutôt le test de Wald présenté ci-dessous. 2.2.5 Restriction sur les coefficients de regressions Ce test permet d évaluer des restrictions linéaires sur les coefficients estimés d un modèle, avec notamment le «test de Wald» qui est basé sur l estimateur du maximum de vraisemblance. Le test est construit de la manière suivante : { H0 : R.β = b R.β b = 0 H 1 : R.β b R.β b 0 où R est une matrice à q lignes (pour les nombres de restrictions) et k colonnes, tandis que b est un vecteur composé de q lignes. Par exemple, dans le modèle de régression multiple définie par l équation (2.2) page(28), on veut imposer deux contraintes linéaires (q=2) sur les coefficients, à savoir β 1 + β 2 + + β k = 1 et β 2 = β 3. On a donc, R = ( 0 1 1 1 0 1 1 0 0 ) et b = ( 1 0 ). Le test de Wald a pour but de déterminer si l écart entre R. ˆβ et b est significativement égal à 0. La statistique de test est définie de la manière suivante : wald = (R. ˆβ b) (ˆσ ɛ R(X X) 1 R ) 1 (R. ˆβ b) χ 2 (q) (2.26) Sous l hypothèse H 0 cette statistique suit une loi de khi-deux à q degré de liberté. La règle de décision est la suivante : { wald < χ 2 1 α (q) = on accepte H 0 wald > χ 2 1 α (q) = on rejette H 0
2.3. GROCER 39 où χ 2 1 α (q) est le fractile d ordre 1 α de la loi de khi-deux à q degré de liberté. On peut aussi aboutir à la même règle de décision en calculant la p-value et en la comparant au seuil de risque α, avec : p value = P rob(χ 2 (q) > wald) où la règle de décision est toujours celle de l équation (2.18) page(35). A noter qu il existe une relation entre la statistique de Fischer f et celle de Wald wald, à savoir f = wald q F (q, T k 1). Le choix entre les deux tests est juste une question de facilité de calcul informatique. La plupart du temps, on utilise le test de Fischer pour tester la significativité jointe de toutes les variables explicatives (voir l equation (2.25)) tandis que le test de Wald est utilisé pour tester les contraintes linéaires sur les coefficients de régressions. 2.3 Grocer Pour importer des données sous forme de séries temporelles afin de les utiliser dans Grocer, les instructions sont les suivantes : lines(0) ; chdir( C :\grocer ) ; readxls2bd( C :\grocer\ipi.xls, C :\grocer\ipi.dat ) ; load( C :\grocer\ipi.dat ) ; - readxls2bd 7 permet d importer des données «.xls» sous Excel et le transforme en fichier «.dat» utilisé par Scilab. - load permet de charger les données pour son utilisation sous Grocer. Voici quelques remarques essentielles et fort utiles concernant l importation de données sous forme de séries temporelles : - la colonne (la première) des dates dans le fichier Excel doit avoir comme nom «dates». - le format des dates doit correspondre à celui reconnu par Grocer, à savoir : 2006a pour les séries annuelles, 2006q1 pour les séries trimestrielles ou 2006m1 pour les séries de fréquences mensuelles. - vérifier à ce que le classeur ne comporte qu une seule feuille, seulement celle qui contient les données. - vérifier à ce que l extension du fichier soit bien «.xls». Notamment, si vous utilisez Microsoft Excel 2007 où les fichiers possèdent une extension «.xlsx», réenregistrer le fichier en tant que format Classeur Microsoft Office excel standard (97) qui possède l extension «.xls». 7. si le fichier est un fichier «.csv(séparateur : point-virgule)» l instruction à utiliser à la place de readxls2bd est impexc2bd( C :\grocer\ipi.csv, ;, C :\grocer\ipi.dat ) ;
40 CHAPITRE 2. LE MODÈLE DE RÉGRESSION MULTIPLE - étant donné que scilab est sensible à la casse des lettres, il est conseillé (mais ce n est pas obligatoire) de mettre les noms des variables tout en majuscule pour éviter toutes confusions. 2.3.1 L instruction pltseries Il est possible de tracer avec grocer une série en fonction du nombre des observations. L instruction ci-après trace l évolution de la série LIPI. clf() ; pltseries( LIPI, title = evolution lipi ) ; Pour tracer plusieurs séries dans un même graphique, l instruction générale est : clf() ; pltseries( serie1, serie2,..., serien, title = titre ) ; A noter que title est une option qui sert à personnaliser le titre du graphique.
Annexe A Installation de Scilab Pour installer Scilab, allez sur le site http://www.scilab.org/ et cliquez sur Téléchargez Scilab pour voir apparaître la boîte de dialogue ci après. Puis appuyez sur Exécuter et la fenêtre suivante apparaîtra si nécessaire suivant votre antivirus 1 : 1. Il se peut que cette fenêtre n apparaisse pas, dans ce cas aller directement à l étape suivante 41
42 ANNEXE A. INSTALLATION DE SCILAB Cliquer sur Exécuter. Cliquer sur OK pour lancer l installation après avoir choisi la langue qui sera utilisée par l assistant d installation. Puis cliquer sur Suivant.
43 Après avoir accepter les termes du contrat de licence, cliquer sur Suivant pour faire apparaître la fenêtre suivante : C est au cours de cet étape que l on a besoin du nouveau dossier que l on a crée sous le nom de scilab. Cliquer sur Parcourir pour avoir :
44 ANNEXE A. INSTALLATION DE SCILAB Sélectionner le dossier scilab et appuyer sur OK pour avoir : Noter que le chemin pour l installation est maintenant C : \scilab\scilab-5.2.0. Si tout est correct, appuyer sur Suivant pour continuer. Continuer de cliquer sur Suivant jusqu à l apparition de la boîte de dialogue suivante :
Maintenant, cliquer sur Installer et patienter pendant l installation pour avoir : 45
46 ANNEXE A. INSTALLATION DE SCILAB Enfin, cliquer sur Terminer pour terminer l installation de Scilab 2. Maintenant, on peut procéder à l installation de Grocer. Si la fenêtre Scilab est ouvert, il est nécessaire de la fermer avant de continuer l installation. 2. noter que si l on a pas décocher la case Excécuter Scilab avant d avoir cliquer sur Terminer, la fenêtre de commande de Scilab s ouvrira automatiquement.
Annexe B Installation de Grocer Pour installer Grocer, allez sur le site http://dubois.ensae.net/grocer.html d Eric Dubois. Dans la rubrique What s new du site se trouve le fichier Zip nécessaire pour l installation. Comme la version de Scilab que nous avons installer est la 5.2, cliquer sur le lien from5.2.0 pour extraire le fichier.tar.gz. La boîte de dialogue suivante apparaîtra : 47
48 ANNEXE B. INSTALLATION DE GROCER Cliquer alors sur Enregistrer.
49 Choisissez le dossier scilab qui a été crée pour enregistrer le fichier. Maintenant que le fichier Grocer-v1.4-SCI.5.2.tar est dans C : \scilab, avec le bouton droit de la souris, ouvrir le dossier avec 7-Zip (ou avec un autre logiciel de décompression présent sur votre appareil.).
50 ANNEXE B. INSTALLATION DE GROCER Double-cliquez sur le fichier pour avoir : Sélectionner tout et appuyer sur Extraire (en haut à gauche) pour avoir :
51 Parcourir le répertoire en cliquant sur le bouton pour faire apparaître : Sélectionner le dossier scilab-5.2.0 puis cliquer sur OK. Si se passe bien, la boîte de
52 ANNEXE B. INSTALLATION DE GROCER dialogue suivante apparaîtra avec le chemin C : \scilab\scilab-5.2.0. Si le chemin est correct, cliquer sur OK.
53 Cliquez sur Oui pour tous pour faire apparaître : Après l extraction la boîte de dialogue se fermera automatiquement (le cas échéant, cliquer sur Terminer). Lancez maintenant Scilab en cliquant sur Démarrer, Tous les programmes, Scilab-5.2.0, Scilab-5.2.0 (non l icône Console scilab). Si l installation s est bien déroulée, on verra apparaître : Cliquez sur YES pour accepter les termes de licence.
54 ANNEXE B. INSTALLATION DE GROCER Patientez,
Maintenant, Grocer est installer sur votre machine. 55