LA PROGRAMMATION LINEAIRE La première révolution industrielle avait remplacé la force musculaire de l'homme par celle des machines. La seconde voyait la machine se commander elle-même. Les ordinateurs se sont introduits dans les entreprises et les pouvoirs publics firent surgir des problèmes de grande envergure auxquels les directions n'étaient pas préparées. La caractéristique essentielle de la Recherche Opérationnelle est le recours à la méthode scientifique. Le chercheur de la R.O. construit une représentation qu'il appelle un "modèle mathématique". Il peut manipuler les modèles et les étudier plus facilement que le système réel. Les modèles sont parfois très difficiles à construire et peuvent prendre la forme d'expressions mathématiques fort compliquées. Lorsqu'ils mettent leur modèle en formule, les chercheurs doivent énoncer formellement quelles sont les variables, l'objectif, les paramètres. La programmation linéaire est une technique mathématique permettant de déterminer la meilleure solution d un problème dont les données et les inconnues satisfont à une série d équations et d inéquations linéaires. La programmation linéaire a été formulée par Dantzig en 947 et connaît un développement rapide par suite de son application directe à la gestion scientifique des entreprises. Le facteur expliquant l essor de la P.L est la construction d ordinateurs puissants qui ont permis de traiter les problèmes concrets de taille très grande. On l applique surtout en gestion et en économie appliquée. On peut citer les domaines d application de la programmation linéaire qui sont : les transports, les banques, les industries lourdes et légères, l agriculture, les chaînes commerciales, la sidérurgie, et même le domaine des applications militaires. Les méthodes de résolution sont la méthode du simplexe, méthode duale du simplexe, méthodes des potentiels, méthode lexicographique et des méthodes récentes appelées méthodes des points intérieurs. Le but de cette partie du recueil n est pas de donner les méthodes de résolution de la programmation linéaire mais de la présenter à l aide des exemples concrets et faciles. Cours 0: Modélisation d'un programme linéaire noté P.L.
Cours 0 : Modélisation d'un programme linéaire noté PL Cours 0: Modélisation d'un programme linéaire noté P.L. 2
Exemples concrets de problèmes qui se modélisent par la programmation linéaire. 0. Un problème de restauration. Un restaurateur peut offrir deux types de plats indifféremment. Des assiettes à 80 DA, contenant 05 sardines, 2 merlans et 0 rouget. Des assiettes à 20 DA, contenant 03 sardines, 03 merlans et 03 rougets. Il dispose de 30 sardines, 24 merlans et 8 rougets. Comment doit-il disposer pour réaliser la recette maximale? Réponse 0. Soit x et y respectivement le nombre d assiettes de type et du type 2 à offrir. Le problème est de maximiser la fonction 80 x + 20 y sous les contraintes: 5 x + 3 y 30 2 x + 3 y 24 x + 3 y 8 x 0 et y 0. 02. Préparation de Gâteaux. Un boulanger a la possibilité de faire trois types de gâteaux G, G 2 et G 3. Il utilise à cet effet de la farine (E ), du beurre (E 2 ), des œufs (E 3 ), du sucre (E 4 ) et de la levure (E 5 ). Les quantités a ij de l éléments E i intervenant dans l élaboration du gâteau G j sont données dans le tableau ci dessous : G G 2 G 3 E 2 E 2 2 E 3 2 E 4 2 0 E 5 2 2 Le boulanger dispose de 20 unités de E, 0 de E 2, 20 de E 3, 20 de E 4 et 0 de E 5. Les bénéfices unitaires valent respectivement 2 pour G, 5 pour G 2 et 7 pour G 3. Ecrire le programme linéaire qui détermine le nombre de gâteaux à confectionner de façon à maximiser le bénéfice total. Cours 0: Modélisation d'un programme linéaire noté P.L. 3
Réponse 2. Si on note x j le nombre de gâteaux de type G j, j =, 2, 3. Le problème s écrit : Maxz = 2 x + 5 x 2 + 7 x 3 x + x 2 + 2 x 3 20 x + 2 x 2 + x 3 0 2 x + x 2 + x 3 20 x + 2 x 2 20 x + 2 x 2 + 2x 3 0 x 0, x 2 0, x 3 0. 03. Problème de découpe. Une usine a reçu des plaques de métal d une largeur de 200 cm et d une longueur de 500 cm. Il faut en fabriquer au moins 30 plaques de largeur de 0 cm, 40 plaques de largeur de 75 cm et 5 plaques de largeur de 60 cm. Donner le modèle mathématique pour que les déchets soient les plus petits possibles. Réponse 3. Une plaque de 200 cm de largeur peut être découpée de cinq façons :. une plaque de 75 cm et deux plaques de 60 cm. Les déchets seront de 05 cm. 2. une plaque de 0 cm et une plaque de 75 cm. Les déchets seront de 5 cm. 3. une plaque de 0 cm et une plaque de 60 cm. Les déchets seront de 30 cm. trois plaques de 60 cm. Les déchets seront de 20 cm. deux plaques de 75 cm. Les déchets seront de 50 cm. Soit x i : le nombre de plaques à découper par la façon i, le problème s écrit : Min z = 5 x + 5 x 2 + 30 x 3 + 20 x 4 + 50 x 5 x 2 + x 3 30 x + x 2 + x 5 40 2 x + x 3 + 3 x 4 5. x 0,, x 5 0. 04. Un problème de transport. Une entreprise stocke un produit dans trois dépôts A, A 2 et A 3. Les quantités stockées sont respectivement a, a 2 et a 3. Les dépôts doivent alimenter quatre magasins de vente B, B 2, B 3 et B 4. La quantité du produit nécessaire au point de vente B i est b i ( i =,, 4 ). Comment l entreprise doit-elle répartir les stocks entre les points de vente ou quelle quantité le dépôt A i doit-il livrer au point de vente B j? Cours 0: Modélisation d'un programme linéaire noté P.L. 4
Réponse 4. Le problème de transport est un problème particulier de la programmation linéaire. Sa formulation mathématiques est : m n Minz = c ij x ij i= j= m a i i= n b j j=. Cette équation traduit que la demande doit être satisfaite. n x ij j= a i, i =,, m. m x ij = b j, j =,, n -. i= x ij 0, i =,, m et j =,, n. a i 0, i =,, m, b j 0, j =,, n, c ij 0, i =,, m et j =,, n. 05. Un problème de répartition de ressources. Une entreprise peut produire différents biens. Chaque bien est repéré par un indice «j». Pour réaliser sa production, elle utilise des matières premières, des machines, de la main d œuvre, c est à dire des ressources mesurées en unités appropriées. Ces ressources, ou facteurs de production, sont disponibles en quantité limitée ; soit b i la quantité disponible de la ressource «i». On sait par ailleurs, quelle quantité a ij la production d une unité du bien «j» nécessite une ressource «i». Supposons que la production soit à rendement constant, c est à dire que la production de x j unités du bien «j» exige a ij x j unités de la ressource «i». Ecrire un programme de production de l entreprise sous forme de programme linéaire. n Réponse 05. Il s écrit, Max z = c j x j j= n a ij x j j= b i i =,, m. x j 0, j =,, n. Cours 0: Modélisation d'un programme linéaire noté P.L. 5
06. Une usine fabrique trois sortes de pièces ( p, p 2, p 3 ) à l aide de deux machines ( m, m 2 ). Chaque pièce en cours de fabrication doit passer successivement sur les deux machines dans un ordre indifférent et pendant les temps suivants ( en minutes ) Temps d usinage (minutes par pièce) Machines P P 2 P 3 M 2 M 2 La machine m est disponible 8 heures, la machine m 2 est disponible 0 heures. Le profit réalisé sur une pièce p est de 50 DA, sur une pièce p 2 est de 80 DA, celui réalisé sur une pièce p 3 est de 60 DA. Combien doit-on fabriquer de pièces p, p 2 et p 3 pour avoir un profit total maximum? Donner un modèle mathématique du problème. Réponse 06. Si x, x 2, x 3 représentent les nombres de pièces de type p, p 2, p 3 à fabriquer, le profit total est: max Z = 50 x + 80 x 2 + 60 x 3 2 x + 4 x 2 + 3 x 3 480 6 x + 2 x 2 + 3 x 3 600 6 x 0, x 2 0, x 3 0. 07. Problème de Mélange. Il faut mélanger trois gaz de telle manière que le gaz mixte soit le plus bon marché que possède un pouvoir calorifique entre plus de 700 et 2000 k. cal/ m 3 et un taux de sulfure au plus de 2,8 g/ m 3. Indications sur les trois gaz : Gaz 2 3 Pouvoir calorifique en Taux de sulfure k. cal/ m 3 En g/ m 3 000 2000 500 6 2 3 4 2 3 3 Prix en DA 00 250 200 Ecrire le modèle mathématique de ce problème. Cours 0: Modélisation d'un programme linéaire noté P.L. 6
Réponse 07. Soient x, x 2 et x 3 le nombre de m 3 à fabriquer respectivement du er, 2 nd et du 3 ième gaz. Min Z = 00 x + 250 x 2 + 200 x 3 700 000 x + 2000 x 2 + 500 x 3 2000 6 x + 2 x 2 + 3 x 3 2.8 x 0, x 2 0, x 3 0 08. Problème de nutrition. On se propose de fournir quotidiennement et à chaque individu d une population un minimum de 70 g de protéines, 3000 unités de calories, 800 mg de calcium et 2 mg de fer. Les produits disponibles sont le pain, le beurre, le fromage, les pois et les épinards. Les prix par 00 g de ces produits sont respectivement de 5, 34, 40, 0 et 5 DA. Le problème est de constituer, aux moindres frais, des rations quotidiennes respectant les exigences du régime imposé. Les quantités de protéines (en g ), de calories ( en unités ), de calcium ( en mg) et de fer ( en mg ) par 00 g de ces aliments sont donnés dans le tableau suivant : Pain Beurre Fromage Pois Epinards Protéines Calories Calcium Fer 0 30 35 20 25 300 800 800 500 300 50 400 450 750 20 Réponse 08. Soit x le nombre de pain introduit dans la ration de 00g x 2 le nombre de beurre introduit dans la ration de 00g x 3 le nombre de fromage introduit dans la ration de 00g x 4 le nombre de pois introduit dans la ration de 00g x 5 le nombre d épinards introduit dans la ration de 00g Max Z = 3 x + 7 x 2 + 7 x 3 + 5 x 4 + 5 x 5 0 x + 30 x 2 + 35 x 3 + 20 x 4 + 25 x 5 70 300 x + 800 x 2 + 800 x 3 + 500 x 4 + 300 x 5 3000 50 x + 400 x 2 + 450 x 3 + 750 x 4 + 20 x 5 800 4 x + 4 x 4 + 5 x 5 2 x i 0, i =,, 5 4 - - 4 5 Cours 0: Modélisation d'un programme linéaire noté P.L. 7
09. Une usine possède trois tours, qui au cours d un mois, peuvent être utilisés pendant les temps indiqués dans le tableau ci dessous. Quatre pièces peuvent être usinées sur ces machines. Les quantités de chaque pièce à fabriquer au cours du mois sont fixées de façon impérative et sont indiquées dans le tableau. Le temps d usinage en heures par pièce figurent également. Tours Temps d usinage ( heures par pièces ) Heures de disponibilité des machines I II III IV A 3 3 2 5 80 B 4 2 30 C 2 2 3 30 Productions exigées (nombre au moins de pièces) 0 40 50 20 Ecrire un programme linéaire pour réduire au minimum l utilisation des machines. Quel sera le programme d affectation de diverses fabrications aux diverses machines. Réponse 09. Soit x ij le nombre de pièces i à fabriquer sur la machine j. On aura 2 variables. Le problème s écrit : Minz = 3x + 3x 2 + 2x 3 + 5x 4 + 4x 2 + x 22 + x 32 + 2x 42 + 2x 3 + 2x 23 + 3 x 33 + 4 x 43 Sous les contraintes : 3x + 3x 2 + 2x 3 + 5x 4 80 4x 2 + x 22 + x 32 + 2x 42 30 2x 3 + 2x 23 + 3 x 33 + 4 x 43 30 3x +x 2 + x 3 = 0 x 2 + x 22 + x 23 = 40 x 3 + x 32 + x 33 = 50 x 4 + x 42 + x 43 = 20 x ij 0, i =,, 4 et j =, 2, 3. Cours 0: Modélisation d'un programme linéaire noté P.L. 8
0. Une usine peut fabriquer quatre sortes de bureaux. La fabrication requiert un certain temps de travail dans l atelier des composants, un certain temps de travail dans l atelier d assemblage et un certain temps dans l atelier de finition. Ces temps sont donnés par : Bureaux Composants Montage Finition A B C D 3 2 2 0 4 Le profit réalisé sur la vente de chacun de ces bureaux est respectivement de 900 DA, 800 DA, 400 DA et 450 DA. On désire maximiser le profit sachant qu on ne dispose que de 4500, 4000 et 3000 unités de travail dans les ateliers de composants, de montage et de finition respectivement. Ecrire le problème linéaire correspondant à ce problème. Réponse 0. Soient x le nombre de bureau A, x 2 le nombre de bureau B, x 3 le nombre de bureaux C, x 4 le nombre de bureau D à fabriquer. Max z = 900 x + 800 x 2 + 400 x 3 + 450 x 4 x + 3 x 2 + x 3 + x 4 4500 2 x + x 2 + 2 x 3 + x 4 4000 x 2 + 4 x 3 + x 4 3000 x i 0, i =,, 4.. Une entreprise possède trois usines situées respectivement à Boufarik, Blida et Médéa. Elle importe un métal, du cuivre, non disponible sur le marché interne qui lui est acheminé vers deux ports celui d Alger et d Oran. Les quantités de cuivre nécessaires aux usines respectives sont de 400, 500 et 600 tonnes tandis que les quantités disponibles sont de 500 et 300 tonnes par semaine respectivement à Alger et Oran. Les coûts unitaires de transport en dinars sont donnés par le tableau suivant: Boufarik Blida Médéa Alger 500 600 700 Oran 000 900 800 Cours 0: Modélisation d'un programme linéaire noté P.L. 9
L unité étant la tonne de cuivre à transporter. Ecrire le programme linéaire associé à un plan de transport à coût minimale. Réponse. Soit x ij le nombre de tonnes de métal qui sont acheminés chaque semaine depuis le port i vers l usine j ( i =, 2 et j =, 2, 3). Le programme s écrit : minz = 500 x + 600 x 2 + 700 x 3 + 000 x 2 + 900 x 22 + 800 x 23 x + x 2 400 x 2 + x 22 500 x 3 + x 23 600 x + x 2 + x 3 500 x 2 + x 22 + x 23 300 x ij 0 ( i =, 2 et j =, 2, 3 ) 2. Programme de raffinerie. Une raffinerie peut traiter trois pétroles bruts appelés brut_, brut_2 et brut_3 originaires de trois pays différents. Par distillation fractionnée dans les «toppings», ces pétroles bruts donnent des coupes qui sont des ensembles d hydrocarbures ayant des températures d ébullition comprises entre des limites fixées. Un «topping» permet d obtenir : des gaz et gaz liquéfiés Une gazoline ou coupe 0-80 c( hydrocarbures dont le point d ébullition est compris entre 0 et 80 c ) Une benzine ou coupe 80-30 c Un naphta léger ou coupe 30-60 c Un naphta lourd ou coupe 60-90 c Un kérosène ou coupe 90-230 c Un gasoil léger ou coupe 230-30 c Un gasoil lourd ou coup 30-400 c Un fuel-oil ou coupe > 400 c Ces coupes subissent ensuite des traitements complémentaires ( épuration, désulfuration, cracking, reforming catalytique ) pour devenir des bases qui, convenablement mélangées, permettront d obtenir les produits commerciaux désirés. La raffinerie considérée fabrique cinq catégories de produits finis : des gaz et gaz liquéfiés, des essences, du pétrole, du gasoil et du fuel-oil. Les rendements des pétroles bruts traités sont précisés par le tableau ci-après ( qui explicite les quantités produites à partir de 00 tonnes de brut ) : Cours 0: Modélisation d'un programme linéaire noté P.L. 0
Matière première Production Brut_ ( tonnes) Brut_2 ( tonnes) Brut_3 ( tonnes) Gaz et gaz liquéfiés Essences Pétroles Gasoil Fuel-oil Total 2 20 8 40 30 00 6 25 25 50 00 6 30 4 30 30 00 La raffinerie peut produire au maximum, au cours d une année : 300 000 tonnes de gaz et gaz liquéfiés, 050 000 t d essences, 80 000 t de pétrole, 350 000 t de gasoil et 800 000 t de fuel-oil. Elle réalise un bénéfice de 4000 DA par tonne de brut_ mise en œuvre, 5000 DA par tonne de brut_2 et 6000 DA par tonne de brut_3 mise en œuvre. Quelle quantité de chacun des bruts devra-t-elle traiter pour réaliser le bénéfice total maximal? Ecrire le programme correspondant. Réponse 2. Appelons respectivement x, x 2 et x 3 les quantités de brut, en millions de tonnes, traitées annuellement par la raffinerie. Le tableau des rendements ci-dessus montre que la production de gaz et gaz liquéfiés correspondant à million de tonnes de pétrole brut atteint : 0.02 million de tonnes quand on traite du brut n 0.06 million de tonnes quand on traite du brut n 3 Comme la fabrication de cette catégorie de produit est limitée à 300 000 tonnes, soit 0.3 million de tonnes, la contrainte correspondante s écrit : 0.2 x + 0.06 x 3 0.30 Soit encore : x + 3 x 3 5 On obtient de même, pour la limitation de production d essences : 0.20 x + 0.25 x 2 + 0.30 x 3.05 soit encore : 4 x + 5 x 2 + 6 x 3 2 pour la limitation de production de pétrole : 0.08 x + 0.04 x 3 0.8 soit encore : 4 x + 2 x 3 9 pour la limitation de production de gasoil : 0.40 x + 0.25 x 2 + 0.30 x 3.35 qui est équivalent à l équation : 8 x + 5 x 2 + 6 x 3 27 Cours 0: Modélisation d'un programme linéaire noté P.L.
pour la limitation de production de fuel-oil : 0.30 x + 0.50 x 2 + 0.30 x 3.80 Soit encore : 3 x + 5 x 2 + 3 x 3 8. Le problème est de maximiser le bénéfice en millions de DA, qui s écrit : Max z = 40 x + 50 x 2 + 60 x 3 Sous les contraintes : x + 3 x 3 5 4 x + 5 x 2 + 6 x 3 2 4 x + 2 x 3 9 8 x + 5 x 2 + 6 x 3 27 3 x + 5 x 2 + 3 x 3 8 x 0, x 2 0, x 3 0. 3. Problèmes des ordures ménagères. Une ville A produit quotidiennement 500 tonnes d ordures ménagères, une autre ville B produit 400 tonnes. Les ordures doivent être incinérées à l incinérateur ou à l incinérateur 2 qui peuvent traités respectivement jusqu à 500 tonnes par jour. Le coût de l incinération des ordures est de 40 DA par tonne à l incinérateur, et de 30 DA la tonne à l incinérateur 2. L incinération des ordures réduit chaque tonne de déchets à 0.2 tonnes de débris, qui seront enfouis dans deux terrains vagues. Chaque terrain vague peut recevoir au plus 200 tonnes de débris par jours. Il coûtera 3 DA le kilomètre pour transporter une tonne de déchets ( ordures ou débris ). Les distances entre les différents lieus sont données par le tableau ci dessous. Formuler ce problème comme celui de la programmation linéaire pour minimiser le coût total de prélèvement des ordures ménagères des deux villes A et B. Ville A Ville B Terrain vague Terrain vague 2 Incinérateur Incinérateur 2 30 36 5 8 5 42 9 6 Réponse 3. Soient x ij : le nombre de tonnes de déchets à transporter de la ville i ( i =, 2 ) à l incinérateur j ( j =, 2 ) et y jk le nombre de tonnes de débris à transporter de l incinérateur j au terrain-vague k ( k =, 2 ) Cours 0: Modélisation d'un programme linéaire noté P.L. 2
min Z = 40 (x + x 2 ) + 30 (x 2 + x 22 ) + 3 ( 30 x + 5 x 2 + 36 x 2 + 42 x 22 + 5 y + 9 y 2 + 8 y 2 + 6 y 22 ) x + x 2 = 500 x 2 + x 22 = 400 y + y 2 = 0.2 ( x + x 2 ) y 2 + y 22 = 0.2 (x 2 + x 22 ) x + x 2 500 x 2 + x 22 500 y + y 2 200 y 2 + y 22 200 x ij 0, y jk 0 ( i, j, k =, 2 ) Le but des chapitres ultérieurs est de déterminer une solution à ces problèmes de la programmation linéaire, en proposant des méthodes typiques, résolution géométrique dans le cas d'un plan ou d'un espace de dimension trois, algorithme du simplexe, algorithme dual du simplexe et méthode du grand M. Cours 0: Modélisation d'un programme linéaire noté P.L. 3
Cours 0: Modélisation d'un programme linéaire noté P.L. 4