Les probabilités dans nos familles en groupe-classe en équipe individuelle Activité 2 Au cours de cette activité, l élève construit un diagramme en arbre dans le but de trouver les différentes combinaisons possibles de garçons et de filles à l intérieur d une famille de deux ou de trois s. Pistes d observation L élève : associe des fractions aux résultats d une expérience; prédit les résultats d une expérience simple à l aide de fractions; note, dans un tableau ou un diagramme en arbre, les résultats d expériences simples de probabilité; explique les stratégies utilisées en laissant des traces de sa démarche. Matériel requis rétroprojecteur stylos à encre effaçable pour transparents feuille Une famille de deux s (1 copie par élève) feuilles Une famille de trois s (1 copie par élève) transparent Un bon déjeuner transparent de la feuille Une famille de deux s transparent des feuilles Une famille de trois s Corrigé fiche Pile ou face (1 copie par élève) Note : Après avoir terminé l activité 2, les élèves possèdent les connaissances et les habiletés nécessaires pour faire la tâche d évaluation formative qui se trouve dans la section Évaluation de ce module. Déroulement Étape 1 Projeter le transparent Un bon déjeuner. Lire la mise en situation avec les élèves. Revoir les éléments du diagramme en arbre en posant aux élèves les questions suivantes. Combien de choix doit-on faire au déjeuner à l école? On doit faire deux choix : le pain et la garniture. 231
Quelle étiquette Karine a-t-elle utilisée pour désigner le premier ensemble de choix? Karine a utilisé l étiquette Pain. Quelle étiquette Karine a-t-elle utilisée pour désigner le second ensemble de choix? Karine a utilisé l étiquette Garniture. Combien de branches Karine a-t-elle tracées sous l étiquette Pain? Pourquoi? Karine a tracé trois branches, car il y a trois sortes de pains : une rôtie, un croissant ou un baguel. Pour chaque branche du premier ensemble de choix, combien de branches Karine a-t-elle tracées sous l étiquette Garniture? Pourquoi? Pour chaque branche du premier ensemble de choix, Karine a tracé trois branches, car il y a trois sortes de garnitures : de la confiture, du beurre ou du sirop d érable. À quoi sert le diagramme en arbre dans cette situation? Le diagramme en arbre sert à trouver toutes les combinaisons possibles de pain et de garniture servies comme déjeuner à l école. Comment peut-on s y prendre pour énumérer toutes les combinaisons possibles de pain et de garniture? On peut suivre chaque branche avec son doigt et écrire la combinaison obtenue vis-à-vis de celle-ci. Demander à un ou à une élève de venir suivre une des branches avec son doigt et d écrire la combinaison possible dans la colonne Combinaisons possibles. Reprendre le même procédé jusqu à ce que toutes les combinaisons possibles soient dénombrées. Pain Garniture Combinaisons possibles Confiture rôtie et confiture Rôtie Beurre rôtie et beurre Sirop d érable rôtie et sirop d érable Confiture croissant et confiture Déjeuner Croissant Beurre croissant et beurre Sirop d érable croissant et sirop d érable Confiture baguel et confiture Baguel Beurre baguel et beurre Sirop d érable baguel et sirop d érable 232 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
Poser les questions suivantes. Combien y a-t-il de combinaisons possibles de pain et de garniture? Il y a 9 combinaisons possibles de pain et de garniture. Combien y a-t-il de combinaisons comprenant de la confiture? Nomme-les. Il y en a 3 sur 9, soit rôtie et confiture, croissant et confiture, baguel et confiture. Combien y a-t-il de combinaisons comprenant du beurre? Nomme-les. Il y en a 3 sur 9, soit rôtie et beurre, croissant et beurre, baguel et beurre. Combien y a-t-il de combinaisons comprenant du sirop d érable? Nomme-les. Il y en a 3 sur 9, soit rôtie et sirop d érable, croissant et sirop d érable, baguel et sirop d érable. Combien y a-t-il de combinaisons comprenant une rôtie? Nomme-les. Il y en a 3 sur 9, soit rôtie et confiture, rôtie et beurre, rôtie et sirop d érable. Combien y a-t-il de combinaisons comprenant un croissant? Nomme-les. Il y en a 3 sur 9, soit croissant et confiture, croissant et beurre, croissant et sirop d érable. Combien y a-t-il de combinaisons comprenant un baguel? Nomme-les. Il y en a 3 sur 9, soit baguel et confiture, baguel et beurre, baguel et sirop d érable. Conclure avec les élèves que le diagramme en arbre est une liste ordonnée qui permet de trouver de façon organisée toutes les combinaisons possibles de pain et de garniture. En utilisant un diagramme en arbre, on risque moins d oublier certaines combinaisons. Projeter le transparent de la feuille Une famille de deux s. Lire la mise en situation avec les élèves. Étape 2 Demander aux élèves d énumérer toutes les possibilités quant au sexe des s dans une famille de deux s. Au fur et à mesure que les élèves nomment une possibilité, demander à deux élèves de se placer devant le groupe-classe en vue de la simuler. Écrire toutes les possibilités au tableau. Il y a 4 possibilités, soit : la 1 re est une fille et la 2 e, une autre fille; la 1 re est une fille et le 2 e, un garçon; le 1 er est un garçon et la 2 e, une fille; le 1 er est un garçon et le 2 e, un autre garçon. 233
Faire remarquer aux élèves qu elles et ils ont dressé une liste ordonnée pour trouver toutes les possibilités quant au sexe des s dans une famille de deux s. Dire aux élèves qu elles et ils dresseront une autre liste ordonnée en construisant un diagramme en arbre pour représenter tous les résultats possibles. Poser aux élèves la question suivante : «Que peux-tu dire au sujet du diagramme en arbre?» Voici des réponses possibles : Il y a des branches. Il y a des ensembles de choix. Il y a des étiquettes qui désignent les ensembles de choix. Il y a des éléments pour chaque ensemble de choix. Il représente tous les résultats possibles d un événement. Il permet de dresser de façon organisée une liste ordonnée de tous les résultats possibles. Il permet de trouver la probabilité d un événement en dénombrant tous les résultats possibles. Parfois, il y a une légende. Sur le transparent, remplir le diagramme en arbre pour représenter tous les résultats possibles quant au sexe des s dans une famille de deux s. Voici un exemple de diagramme en arbre : Premier Second Famille Au fur et à mesure que le diagramme est rempli, revoir avec les élèves les éléments de ce type de diagramme en se référant à la situation de la famille de deux s. Les choix et les éléments Les choix sont disposés de manière à présenter toutes les possibilités d une situation. Dans la situation d une famille de deux s, il y a deux choix, soit le premier et le second. Une fille et un garçon sont les éléments du premier ensemble de choix. Une fille et un garçon sont aussi les éléments du second ensemble de choix. 234 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
Les étiquettes Les étiquettes permettent de désigner les ensembles de choix. Dans la situation d une famille de deux s, l étiquette Premier désigne le premier ensemble de choix et l étiquette Second désigne le second ensemble de choix. Les branches Les branches permettent de dénombrer tous les résultats possibles. Dans la situation d une famille de deux s, il y a deux branches pour représenter les éléments du premier ensemble de choix, soit fille et garçon. Pour chaque branche de ce premier ensemble, il y a deux branches pour représenter le second ensemble de choix, soit fille et garçon. En suivant les branches de façon à lier les éléments du premier ensemble de choix aux éléments du second ensemble de choix, il est possible d énumérer tous les résultats possibles quant au sexe des s d une famille de deux s. Distribuer aux élèves la feuille Une famille de deux s et leur dire de remplir le diagramme en arbre sur leur feuille. À tour de rôle, demander à un ou à une élève de venir suivre une des branches avec son doigt et d écrire, sur le transparent, le résultat possible vis-à-vis de celle-ci. Premier Second Résultats possibles fille, fille Famille fille, garçon garçon, fille garçon, garçon Demander aux élèves d écrire, au fur et à mesure, les résultats possibles sur leur feuille vis-à-vis de chaque branche. Faire remarquer aux élèves que l on trouve, dans la colonne des résultats possibles, les mêmes possibilités que celles écrites au tableau. Dire aux élèves qu elles et ils utiliseront le diagramme en arbre pour trouver la probabilité de chacun des événements suivants : les deux s sont des garçons; les deux s sont des filles; les deux s sont de sexe différent. 235
Dire aux élèves de tracer un crochet à l endroit approprié sur leur feuille chaque fois qu apparaît l événement Les deux s sont des garçons. Au fur et à mesure, tracer un crochet à l endroit approprié sur le transparent. Dire aux élèves de tracer un crochet à l endroit approprié sur leur feuille chaque fois qu apparaît l événement Les deux s sont des filles. Au fur et à mesure, tracer un crochet à l endroit approprié sur le transparent. Dire aux élèves de tracer un crochet à l endroit approprié sur leur feuille chaque fois qu apparaît l événement Les deux s sont de sexe différent. Au fur et à mesure, tracer un crochet à l endroit approprié sur le transparent. Événements recherchés Premier Second Résultats possibles Les deux s sont des garçons Les deux s sont des filles Les deux s sont de sexe différent fille, fille Famille fille, garçon garçon, fille garçon, garçon Poser aux élèves les questions suivantes. Combien y a-t-il de résultats possibles? Il y a 4 résultats possibles. Parmi tous les résultats possibles, combien de fois l événement Les deux s sont des garçons apparaît-il? L événement Les deux s sont des garçons apparaît 1 fois sur les 4 résultats possibles. Quelle est la probabilité que les deux s soient des garçons? Puisqu il y a 1 possibilité que les deux s soient des garçons sur les 4 résultats possibles, alors la probabilité est de 1 sur 4. 236 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
Expliquer aux élèves que l on peut exprimer une probabilité à l aide d une fraction. Dans ce cas, la 1 probabilité de l événement Les deux s sont des garçons est de. Le numérateur représente 4 le nombre de fois qu apparaît l événement recherché parmi tous les résultats possibles et le dénominateur représente le nombre total de résultats possibles. Poser les questions suivantes. Activité 2 Parmi tous les résultats possibles, combien de fois l événement Les deux s sont des filles apparaît-il? L événement Les deux s sont des filles apparaît 1 fois sur les 4 résultats possibles. Quelle est la probabilité que les deux s soient des filles? Puisqu il y a 1 possibilité que les deux s soient des filles sur les 4 résultats possibles, alors la probabilité est de 1 sur 4. Quelle fraction peut-on utiliser pour décrire la probabilité que les deux s soient des filles? Puisqu il y a 1 possibilité que les deux s soient des filles sur les 4 résultats possibles, alors 1 la probabilité est de. 4 Parmi tous les résultats possibles, combien de fois l événement Les deux s sont de sexe différent apparaît-il? L événement Les deux s sont de sexe différent apparaît 2 fois sur les 4 résultats possibles. Quelle est la probabilité que les deux s soient de sexe différent? Exprime la probabilité à l aide d une fraction. Puisqu il y a 2 possibilités que les deux s soient de sexe différent sur les 4 résultats possibles, 2 alors la probabilité est de 2 sur 4, soit. 4 Est-il plus probable que les deux s soient du même sexe ou de sexe différent? Non, il n est pas plus probable que les deux s soient du même sexe plutôt que de sexe différent, car ces deux événements ont la même probabilité. Les deux événements sont également probables parce que, sur les 4 résultats possibles, l événement où les deux s sont du même sexe se produit 2 fois 2 2 sur 4, soit, et l événement où les deux s sont de sexe différent se produit aussi 2 fois sur 4, soit. 4 4 237
Demander aux élèves d énumérer toutes les possibilités quant au sexe des s d une famille de trois s. Au fur et à mesure que les élèves nomment une possibilité, demander à trois élèves de se placer devant le groupe-classe en vue de la simuler. Écrire toutes les possibilités au tableau. Il y a 8 possibilités, soit : la 1 re est une fille, la 2 e est aussi une fille et la 3 e est une autre fille (FFF); la 1 re est une fille, la 2 e est une autre fille et le 3 e est un garçon (FFG); la 1 re est une fille, le 2 e est un garçon et la 3 e est une autre fille (FGF); la 1 re est une fille, le 2 e est un garçon et le 3 e est un autre garçon (FGG); le 1 er est un garçon, la 2 e est une fille et la 3 e est une autre fille (GFF); le 1 er est un garçon, la 2 e est une fille et le 3 e est un autre garçon (GFG); le 1 er est un garçon, le 2 e est un autre garçon et la 3 e est une fille (GGF); le 1 er est un garçon, le 2 e est aussi un garçon et le 3 e est un autre garçon (GGG). Dire aux élèves qu elles et ils rempliront un diagramme en arbre pour représenter tous les résultats possibles quant au sexe des s d une famille de trois s. Distribuer les feuilles Une famille de trois s. Lire les consignes avec les élèves. Revoir avec les élèves que, pour trouver la probabilité d un événement, il faut procéder par étapes. Première étape Deuxième étape Troisième étape Quatrième étape Construire le diagramme en arbre et écrire tous les résultats possibles. Mettre des crochets vis-à-vis de l événement recherché. Trouver la probabilité de l événement recherché en comptant le nombre de fois que l événement apparaît parmi tous les résultats possibles. Exprimer la probabilité de l événement à l aide d une fraction. Laisser aux élèves le temps nécessaire pour leur permettre de réaliser le travail en équipes de deux. S assurer que les élèves : remplissent le diagramme en arbre; répondent aux questions. Circuler parmi les élèves et intervenir, au besoin, en leur posant des questions. Exemples de questions : Que dois-tu faire? Par quoi vas-tu commencer? Combien y a-t-il d ensembles de choix dans cette situation? Quelle étiquette est utilisée pour désigner le premier ensemble de choix? le deuxième ensemble de choix? le troisième ensemble de choix? 238 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
Quels sont les éléments du premier ensemble de choix? du deuxième ensemble de choix? du troisième ensemble de choix? Combien de branches représentent le premier ensemble de choix? Pour chaque branche du premier ensemble de choix, combien de branches doit-on tracer pour le deuxième ensemble de choix? Pour chaque branche du deuxième ensemble de choix, combien de branches doit-on tracer pour le troisième ensemble de choix? Comment vas-tu t y prendre pour énumérer tous les résultats possibles? Combien y a-t-il de résultats possibles? As-tu mis un crochet vis-à-vis de l événement recherché chaque fois qu il apparaît? Combien de crochets y a-t-il dans la colonne Deux s du même sexe? Parmi tous les résultats possibles, combien de fois l événement Deux s du même sexe apparaît-il? Quelle est la probabilité que deux s soient du même sexe dans une famille de trois s? Combien de crochets y a-t-il dans la colonne Trois s du même sexe? Parmi tous les résultats possibles, combien de fois l événement Trois s du même sexe apparaît-il? Quelle est la probabilité que trois s soient du même sexe dans une famille de trois s? Quelle fraction peux-tu utiliser pour décrire cette probabilité? Que représente le numérateur de cette fraction? Que représente le dénominateur de cette fraction? Projeter le transparent des feuilles Une famille de trois s Corrigé. Activité 2 Faire la mise en commun des réponses en observant le diagramme en arbre, les résultats possibles et les événements recherchés projetés à l aide du rétroprojecteur. Faire remarquer aux élèves que l on trouve, dans la colonne des résultats possibles, les mêmes possibilités que celles écrites au tableau. Faire ressortir : que le diagramme en arbre est un schéma qui sert à représenter tous les résultats possibles d une situation; qu il est possible de trouver la probabilité d un événement à l aide d un diagramme en arbre; que l on peut décrire la probabilité d un événement à l aide d une fraction; que le numérateur représente le nombre de fois qu apparaît un événement parmi tous les résultats possibles; que le dénominateur représente le nombre total de résultats possibles; que certains événements sont moins probables que d autres; que certains événements sont également probables; que certains événements sont plus probables que d autres. 239
Un bon déjeuner Au cours d un déjeuner à l école, les s peuvent manger des rôties, des croissants ou des baguels. Elles et ils peuvent mettre de la confiture, du beurre ou du sirop d érable sur leur pain. Pour connaître toutes les combinaisons possibles de pain et de garniture, Karine a construit un diagramme en arbre. Pain Garniture Combinaisons possibles Confiture Rôtie Beurre Sirop d érable Confiture Déjeuner Croissant Beurre Sirop d érable Confiture Baguel Beurre Sirop d érable 240 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
Une famille de deux s Dans une famille, il y a deux s. a) Quelle est la probabilité que les deux s soient des garçons? b) Quelle est la probabilité que les deux s soient des filles? c) Quelle est la probabilité que les deux s soient de sexe différent? Premier Second Résultats possibles Événements recherchés Les deux s sont des garçons Les deux s sont des filles Les deux s sont de sexe différent Famille 241
Une famille de trois s Dans une famille de trois s, deux des s peuvent être du même sexe ou les trois s peuvent être du même sexe. 1. Remplis le diagramme en arbre. 2. Écris-y tous les résultats possibles. 3. Mets un crochet à l endroit approprié chaque fois qu apparaît l événement recherché. Premier Deuxième Troisième Résultats possibles Événements recherchés Deux s du même sexe Trois s du même sexe Famille 242 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
4. Réponds aux questions suivantes. a) Combien y a-t-il de résultats possibles dans le diagramme en arbre? b) Parmi tous les résultats possibles, combien de fois l événement Deux s du même sexe apparaît-il? c) Quelle est la probabilité que deux s soient du même sexe dans une famille de trois s? Exprime cette probabilité sous forme de fraction. d) Parmi tous les résultats possibles, combien de fois l événement Trois s du même sexe apparaît-il? e) Quelle est la probabilité que trois s soient du même sexe dans une famille de trois s? Exprime cette probabilité sous forme de fraction. f) Est-il plus probable qu une famille de trois s ait deux s du même sexe ou trois s du même sexe? Explique ta réponse. 243
Une famille de trois s Corrigé Dans une famille de trois s, deux des s peuvent être du même sexe ou les trois s peuvent être du même sexe. 1. Remplis le diagramme en arbre. 2. Écris-y tous les résultats possibles. 3. Mets un crochet à l endroit approprié chaque fois qu apparaît l événement recherché. Premier Deuxième Troisième Résultats possibles Événements recherchés Deux s du même sexe Trois s du même sexe fille, fille, fille fille, fille, garçon fille, garçon, fille Famille fille, garçon, garçon garçon, fille, fille garçon, fille, garçon garçon, fille, garçon garçon, garçon, garçon 244 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
4. Réponds aux questions suivantes. a) Combien y a-t-il de résultats possibles dans le diagramme en arbre? Il y a 8 résultats possibles dans le diagramme en arbre. b) Parmi tous les résultats possibles, combien de fois l événement Deux s du même sexe apparaît-il? L événement Deux s du même sexe apparaît 6 fois. c) Quelle est la probabilité que deux s soient du même sexe dans une famille de trois s? Exprime cette probabilité sous forme de fraction. Puisqu il y a 6 possibilités que deux s soient du même sexe 6 sur 8 résultats possibles, alors la probabilité est de 6 sur 8, soit. 8 d) Parmi tous les résultats possibles, combien de fois l événement Trois s du même sexe apparaît-il? L événement Trois s du même sexe apparaît 2 fois. e) Quelle est la probabilité que trois s soient du même sexe dans une famille de trois s? Exprime cette probabilité sous forme de fraction. Puisqu il y a 2 possibilités que trois s soient du même sexe 2 sur 8 résultats possibles, alors la probabilité est de 2 sur 8, soit. 8 f) Est-il plus probable qu une famille de trois s ait deux s du même sexe ou trois s du même sexe? Explique ta réponse. Il est plus probable qu une famille de trois s ait deux s du même sexe que trois s du même sexe. La probabilité de l événement Deux s du même sexe est 6 de, tandis que la probabilité de l événement Trois s 8 2 du même sexe est de. La fraction 6 est plus grande que la 2 8 8 fraction. 8 Activité 2 245
Pile ou face Paul lance une pièce de monnaie et un dé. Les quatre événements ci-dessous peuvent se produire : il peut obtenir le côté pile et un nombre pair; il peut obtenir le côté pile et un nombre impair; il peut obtenir le côté face et un nombre pair; il peut obtenir le côté face et un nombre impair. Voici le diagramme en arbre qui représente tous les résultats possibles de cette situation. 1. Ajoutes-y les informations manquantes. Pièces de monnaie Dés Résultats possibles Pile et nombre pair Événements recherchés Pile et nombre impair Face et nombre pair Face et nombre impair 1 2 Pile 3 4 5 6 Paul 1 2 Face 3 4 5 6 246 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
2. Réponds aux questions suivantes. a) Combien y a-t-il de résultats possibles dans le diagramme en arbre? b) Quelle est la probabilité d obtenir le côté pile et un nombre pair? Exprime cette probabilité sous forme de fraction. c) Quelle est la probabilité d obtenir le côté pile et un nombre impair? Exprime cette probabilité sous forme de fraction. d) Quelle est la probabilité d obtenir le côté face et un nombre pair? Exprime cette probabilité sous forme de fraction. e) Quelle est la probabilité d obtenir le côté face et un nombre impair? Exprime cette probabilité sous forme de fraction. 247
f) Est-il plus probable d obtenir le côté pile et un nombre pair ou le côté face et un nombre impair? Explique ta réponse. g) Est-il plus probable d obtenir le côté pile et un nombre pair ou le côté pile et un nombre impair? Explique ta réponse. 248 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
Pile ou face Corrigé Paul lance une pièce de monnaie et un dé. Les quatre événements ci-dessous peuvent se produire : il peut obtenir le côté pile et un nombre pair; il peut obtenir le côté pile et un nombre impair; il peut obtenir le côté face et un nombre pair; il peut obtenir le côté face et un nombre impair. Voici le diagramme en arbre qui représente tous les résultats possibles de cette situation. 1. Ajoutes-y les informations manquantes. Pièces de monnaie Dés Résultats possibles Pile et nombre pair Événements recherchés Pile et nombre impair Face et nombre pair Face et nombre impair 1 pile et 1 2 pile et 2 3 Pile 4 pile et 3 pile et 4 5 6 pile et 5 pile et 6 Paul 1 2 face et 1 face et 2 3 Face 4 face et 3 face et 4 5 6 face et 5 face et 6 249
2. Réponds aux questions suivantes. a) Combien y a-t-il de résultats possibles dans le diagramme en arbre? Il y a 12 résultats possibles dans le diagramme en arbre. b) Quelle est la probabilité d obtenir le côté pile et un nombre pair? Exprime cette probabilité sous forme de fraction. Puisqu il y a 3 possibilités d obtenir le côté pile et un nombre pair sur 12 résultats possibles, alors la probabilité est de 3 sur 3 12, soit. 12 c) Quelle est la probabilité d obtenir le côté pile et un nombre impair? Exprime cette probabilité sous forme de fraction. Puisqu il y a 3 possibilités d obtenir le côté pile et un nombre impair sur 12 résultats possibles, alors la probabilité est de 3 sur 3 12, soit. 12 d) Quelle est la probabilité d obtenir le côté face et un nombre pair? Exprime cette probabilité sous forme de fraction. Puisqu il y a 3 possibilités d obtenir le côté face et un nombre pair sur 12 résultats possibles, alors la probabilité est de 3 sur 3 12, soit. 12 e) Quelle est la probabilité d obtenir le côté face et un nombre impair? Exprime cette probabilité sous forme de fraction. 250 Puisqu il y a 3 possibilités d obtenir le côté face et un nombre impair sur 12 résultats possibles, alors la probabilité est de 3 sur 3 12, soit. 12 Les mathématiques un peu, beaucoup, à la folie!
f) Est-il plus probable d obtenir le côté pile et un nombre pair ou le côté face et un nombre impair? Explique ta réponse. Non, il n est pas plus probable d obtenir le côté pile et un nombre pair que d obtenir le côté face et un nombre impair, car les deux événements ont la même probabilité. Les deux événements sont également probables, car la probabilité de l événement Pile et 3 nombre pair est de, tandis que la probabilité de l événement 12 3 Face et nombre impair est aussi de. 12 g) Est-il plus probable d obtenir le côté pile et un nombre pair ou le côté pile et un nombre impair? Explique ta réponse. Activité 2 Non, il n est pas plus probable d obtenir le côté pile et un nombre pair que d obtenir le côté pile et un nombre impair, car les deux événements ont la même probabilité. Les deux événements sont également probables, car la probabilité de l événement Pile et 3 nombre pair est de, tandis que la probabilité de l événement 12 3 Pile et nombre impair est aussi de. 12 251